Matematiikan johdantokurssi

Matematiikan johdantokurssi Martti Pesonen, Pekka Smolander,... 30. marraskuuta 018 1

Mitä matematiikka on? Matematiikan määritteleminen lienee turhaa, kenties myös mahdotonta. Matemaatikot sanovatkin usein leikillisesti, että matematiikka on sitä mitä matemaatikot tekevät! Matemaatikkojen työ taas sisältää arvailua ja asioiden yhdistelyä, laskemista ja kokeilua, pähkäilyä ja eksaktia päättelyä, sekä runsaasti uuden opiskelua. Opintojen myötä tuon hämärän kuvan pitäisi tarkentua, kun eri kursseilla harjoitellaan matemaattisten käsitteiden ja prosessien verkoston rakentamista. Millaista matematiikka on? eksaktia: tarkkaa ja täsmällistä, väitteet perustuvat loogiseen päättelyyn, ei uskotteluun tai arvailuun. Eksakti ei kuitenkaan tarkoita mitään absoluuttista totuutta, vain sitä, että johdetut tulokset ovat totta lähtien joistain sovituista totuuksista, aksioomista. abstraktia: matematiikka sisältää paljon käsitteitä, joille ei ole todellisuuspohjaa, siis vastinetta elämässä tai luonnossa. Matematiikkaa ei siis aina käytetä jonkin havaintotodellisuuteen kuuluvan ilmiön kuvaamiseen tai selittämiseen. formaalia: käsitellään merkkejä, symboleja, joilla pitää olla sovittu merkitys. Matematiikka on muodollista kieltä, jossa on tarkat säännöt, esimerkkinä vaikkapa laskusääntö (a + b) = a + ab + b, joka sekin pitää paikkansa vain tietyillä sovituilla olettamuksilla. Seuraava sääntö on totta väljemmillä ehdoilla: (a+b) = a +ab+ba+b. Edellisessä tarvitaan oletuksena vaihdannaisuus ja osittelulaki, jälkimmäisessä vain osittelulaki. ikinuorta: matemaattinen perustietous ei vanhene: esimerkkinä Pythagoraan lause, vrt. 1950-luvun elektroniikka ja 1980-luvun tietotekniikka. Matematiikka on edelleen intensiivisen tutkimuksen kohde, se on vahvasti haarautunut sekä itsellisenä tieteenä että erikoistunut muiden tieteenalojen kehitysvälineeksi. Matematiikan perustutkimus, puhdas matematiikka, on tuonut ja tuo vastakin esille tutkimustuloksia ja menetelmiä, joille monesti löytyy yllättäviäkin soveltamiskohteita muiden tieteiden piirissä. Maailmassa julkaistaan vuosittain valtavat määrät matemaattisten alojen tieteellisiä artikkeleita ja kirjoja, nykyään yhä enemmän jopa pelkästään sähköisinä dokumentteina; ja kilpailu huipulle ja huipulla on yhä kovempaa! Onko matematiikka tieteiden kuningatar vai tieteiden palvelijatar? (saksaksi die Mathematik)

3 Matematiikan osa-alueita Muinoin pythagoralaiset jakoivat matematiikan Kuvion 1 mukaisesti. matematiikka diskreetti jatkuva absoluuttinen suhteellinen staattinen dynaaminen aritmetiikka musiikki geometria t htitiede Kuva 1: Pythagoralainen matematiikan jaotus Perinteisesti ymmärretään, että matematiikka on oppi luvusta (aritmetiikka ja algebra) ja tilasta (geometria). Nykyisin matematiikka jaetaan yli 60 eri haaraan, hienommassa jaottelussa noin 5000 osa-alueeseen. Algebralle ominaista ovat laskutoimitukset ja niitä koskevat säännöt, samoin lineaarialgebralle. Analyysi on yleisnimitys matematiikalle, joka pohjautuu raja-arvon käsitteeseen, se sisältää mm. differentiaali- ja integraalilaskennan. Calculus on analyysin alkeismuoto, jossa todistaminen ja perusteleminen on esillä vaatimattomammin; lukiomatematiikka on luonteeltaan lähellä calculusta. Geometria on enemmän tai vähemmän abstraktien olioiden piste ja suora tarkastelua. Nykyään tunnetaan monia erilaisia sovelluskelpoisiakin geometrioita. Logiikka yksinkertaisimmillaan on keino mekanisoida totuuksien käsittelyä ja perustelemista. Tutkimusalana logiikka on pedanttista ja vaativaa. Joukko-oppi pohjautuu matemaattiseen logiikkaan ja yleensä jo ns. naiivi joukkooppi riittää mm. analyysin tarpeisiin. Tutkimusalana joukko-oppi on kaikkea muuta kuin yksinkertaista, se on lähellä filosofiaa. Topologia on joukon lokaalin rakenteen ja jatkuvan tutkimista; keskeisiä ovat ominaisuudet, jotka eivät muutu jatkuvissa muunnoksissa. Sovelletun matematiikan osa-alueet pohjautuvat pitkälti perinteisen matematiikan haaroihin, mutta painottuvat enemmän matematiikan soveltamiseen ja algoritmien kehittämiseen. Vaikka menetelmät ovat usein approksimatiivisia, niiden on oltava perusteltavissa eksaktein menetelmin, joista käyvät selville mm. virhearviot ja pätevyysehdot. Matematiikan osa-alueiden rajat eivät suinkaan aina ole tarkkoja, on mm. sen kaltaisia tutkimusaloja kuin algebrallinen topologia ja analyyttinen geometria.

4 Matematiikan johdantokurssista Sana kurssi voi tarkoittaa opintojaksoa, josta saadaan suoritus opintopisteinä, tai siihen liittyvää opetustapahtumaa, joka on fyysinen toimenpide opintojakson suorittamista varten. Tämä jaotus tulee Oodi-järjestelmästä. Opintojakson voi suorittaa osallistumalla opetustapahtumaan (arkikielessä siis tämä kurssi ) kertauskuulusteluineen tai suorittaa erikseen järjestettävällä loppukuulustelulla, joita on nk. yleisinä ainekohtaisina tenttipäivinä. Matematiikan johdantokurssin merkityksestä Opintojakson nimi Matematiikan johdantokurssi viittaa siihen, että siinä käsitellään matematiikan perusasioita, joita tarvitaan pääasiassa muiden matematiikan kurssien pohjatietoina. Se antaa melko kattavan valikoiman käsitteistöä ja perustyökaluja, joita käytetään hyvin monilla matematiikan osa-alueilla. Johdantokurssissa lähtökohtana ovat logiikka ja joukko-oppi, joista lähtien lisätään rakennetta kohti systeemiä, josta muilla kursseilla voidaan alkaa käsitellä mm. algebrallisia rakenteita ja differentiaalilaskentaa. Matematiikan johdantokurssi ei siis ole lukion peruskurssien jatkoa, vaan siinä pyritään luomaan perustaa, jonka pohjalta mm. lukiossa varsin pinnallisesti ja yksipuolisesti yleensä myös perustelematta opetetut asiat voidaan perustella, todistaa. Matematiikan johdantokurssin sisällöstä Logiikkaa käytämme perustellessamme väitteitä, usein jopa tätä tiedostamatta. Arkielämässä perusteluksi käy monesti päättely, jonka osaset, premissit, ovat totta riittävällä todennäköisyydellä tai sovitaan tosiksi. Kun lapsi sanoo: Mutta kaikilla muilla jo on! olisi vanhemman yleensä helppo napauttaa: Selvitetäänpä onko asia ihan niin. Eri asia tietysti on, unohtuuko vaatimus yhden tai edes useamman vastaesimerkin avulla, eli löytämällä kaveripiiristä henkilö(i)tä, joilla sitä turhaketta ei ole (eikä ehkä tulekaan olemaan). Erityisesti matematiikassa on tarve todistaa lauseiden muotoon puettuja väitteitä, jotta voidaan rakentaa yhä rikkaampia teorioita. Silloin on lähdettävä koko populaation yhteisesti sopimista perusolettamuksista, joista kuka tahansa voi ainakin periaatteessa johtaa samat totuudet. Logiikka ja joukko-oppi tarjoavat hyvin moneen tilanteeseen sopivan kielen.

5 Miten suhtautua henkilöön, joka sanoo hänellä olevan kolme miljoonaa postimerkkiä? Määrä on suuri, ja voi hyvinkin olla, että hänellä on esimerkiksi täydellinen kokoelma suomalaisia merkkejä. Toisaalta hänellä voisi olla vaikkapa vain kahdenlaisia merkkejä, eikä tämä enää tee vastaavaa vaikutusta. Kun puhutaan kokoelmasta, tarkoitetaan yleensä erilaisten merkkien määrää. Matematiikassa puhutaan silloin joukosta ja sen alkiomäärästä. Jos yhdistetään kaksi postimerkkikokoelmaa, ei kokoelman laajuus tavallisesti ole kokoelmien laajuuksien summa, vaan merkkijoukkojen yhdisteen alkiomäärä. Kun henkilö maksaa laskun pankkitililtään, hän varmasti uskoo systeemien toimivan niin, että maksu menee juuri oikeaan osoitteeseen, eikä esimerkiksi moninkertaisesti useille eri tileille. Sähköpostilista mahdollistaa viestin lähettämisen usealle vastaanottajalle ja samaa listaa voi käyttää hyvinkin moni lähettäjä. Nämä ovat esimerkkejä relaatioista. Tässä kurssimateriaalissa tutustutaan logiikan ja joukko-opin tarjoaman matemaattisen kielen avulla erilaisiin relaatioihin kuten ekvivalenssi, järjestys ja funktio, sekä lukujoukkoihin ja niihin liittyviin funktioihin. Vaikka monet käsiteltävistä asioista ovat tuttuja jo koulumatematiikasta, voi opiskelu- ja tarkastelunäkökulman abstraktius ja formaalisuus aluksi hämmentää. Toisaalta aiheiden käsittelyn perusteellisuuden vuoksi itse käsitteellinen sisältö voi tuntua varsin suppealta. Tätä on kuitenkin vaikea välttää, koska kurssin päätarkoitus on orientoida korkeampaan matematiikkaan, siis antaa vankka teoreettinen ja käytännöllinen pohja mm. aksiomatiikkalähtöisiä matematiikan haaroja käsitteleviä kursseja varten (algebra, lineaarialgebra, todennäköisyyslaskenta, topologia). Matematiikan muilla peruskursseilla ja analyysin kursseilla perehdytään tarkemmin mm. yhden ja useamman muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskentaan. Luentomoniste on koottu pääasiassa laitoksella vuosien mittaan pidettyjen peruskurssien luento- ja harjoitusmateriaaleista. Moniste kannattaa tulostaa paperille kurssilla annettavien ohjeiden mukaan, vaikka se pdf-muodossakin on saatavilla. Muu oppiaines julkaistaan pääasiassa sähköisessä muodossa ja se sisältää harjoituksia ja visualisointeja sekä vuorovaikutteisia opiskelumoduleja Moodlejärjestelmässä. Käytämme kurssilla melko standardeja merkintöjä; kuitenkin yhdistelmä := tarkoittaa määrittelyä, ja osajoukolle käytetään (relaatioiden ja < kanssa analogisesti ja loogisesti) merkintää, ei, jonka tulisi olla aidon osajoukon merkintä. Joensuussa 30. marraskuuta 018

6 SISÄLTÖ Sisältö 1 Lauselogiikkaa 10 1.1 Logiikan lauseet ja totuusarvot................... 10 1. Tautologia ja looginen ekvivalenssi................. 14 1.3 Looginen päättely.......................... 16 1.4 Sumeasta logiikasta........................ 1 Joukko-oppia.1 Joukko ja alkio............................ Joukkojen esittäminen ja merkitseminen.............. 3.3 Joukko-opin käsitteitä ja nimityksiä................ 5.4 Joukko-opin kaavoja........................ 9.5 Joukko-opin väitteiden todistaminen................ 3.6 Yleisempää joukko-oppia...................... 35.7 Joukkojen alkiomääristä...................... 38.8 Joukko-opin ongelmista....................... 40.9 Sumeasta joukko-opista...................... 41 3 Lausefunktiot 4 3.1 Avoin lause ja kvanttorit...................... 4 3. Lausefunktion negaatio....................... 44 4 Relaatiot 46 4.1 Tulojoukko............................. 46 4. Relaatio............................... 48 4.3 Relaation osapuolet, kuvat ja alkukuvat.............. 49 4.4 Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen........... 5 4.5 Funktio............................... 56 4.6 Joukon sisäisiä relaatiotyyppejä.................. 58 4.7 Ekvivalenssirelaatio......................... 60 4.8 Järjestysrelaatio........................... 65

SISÄLTÖ 7 5 Funktiot 7 5.1 Injektio ja surjektio......................... 7 5. Yhdistetty funktio.......................... 75 5.3 Käänteisfunktio........................... 78 5.4 Osajoukkojen kuvautuminen.................... 80 6 Reaalifunktiot 84 6.1 Reaalifunktio ja sen esittämistapoja................ 84 6. Reaalifunktiotyyppejä........................ 87 6.3 Käänteiskuvaus........................... 93 6.4 Funktioiden yhdistäminen..................... 95 6.5 Reaalifunktioiden luokittelusta................... 96 7 Algebralliset alkeisfunktiot 98 7.1 Polynomit.............................. 98 7. Algebrallisista yhtälöistä...................... 10 7.3 Rationaalifunktiot.......................... 106 7.4 Potenssi- ja juurifunktio....................... 11 8 Transkendenttiset alkeisfunktiot 116 8.1 Yleiset potenssi- ja juurifunktiot.................. 116 8. Eksponentti- ja logaritmifunktiot.................. 118 8.3 Trigonometriset ja arkusfunktiot.................. 16 8.4 Hyperboliset ja areafunktiot.................... 140 9 Kahden muuttujan funktio ja laskutoimitus 144 9.1 Kahden muuttujan funktio..................... 144 9. Laskutoimitus............................ 149 10 Matemaattisesta teoriasta ja todistamisesta 154 10.1 Matemaattisen teorian käsitteitä.................. 154 10. Induktioperiaate ja induktiotodistus................ 157

8 SISÄLTÖ 10.3 Suora ja epäsuora todistus..................... 165 10.4 Ekvivalenssin osoittaminen..................... 167 10.5 Todistuksen esitysjärjestys..................... 167 10.6 Väitteen osoittaminen vääräksi................... 168 10.7 Arviointitekniikka.......................... 169 10.8 Tietokone todistuksen apuna.................... 173 11 Joukkojen mahtavuuksista 174 11.1 Mahtavuusvertailujen määrittely.................. 174 11. Joukkojen äärellisyys ja äärettömyys................ 176 11.3 Joukon kardinaliteetti........................ 177 1 Lukualueet 18 1.1 Luonnolliset luvut.......................... 18 1. Kokonaisluvut............................ 188 1.3 Rationaaliluvut........................... 19 1.4 Reaaliluvut............................. 194 1.5 Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö.................... 197 1.6 Binomikertoimet ja binomikaava.................. 199 1.7 Numeroituvuus........................... 00 1.8 Kompleksiluvut........................... 03 1.9 Kompleksinen. ja 3. asteen polynomiyhtälö........... 1 13 Parametrikäyrät ja vektorifunktiot 14 13.1 Parametrikäyrät........................... 14 13. Vektorifunktiot........................... 0

SISÄLTÖ 9

1 Lauselogiikkaa Logiikka on teoria oikeasta päättelystä. Logiikka jaetaan usein etenkin teknillisillä ja tietoteknisillä aloilla kahteen osaan: propositiologiikka eli lauselogiikka ja sen laajennus predikaattilogiikka, jossa tarkastellaan nk. avoimia lauseita (predikaatteja, lausefunktioita), joista saadaan joukko-opin ja kvanttorien ja avulla logiikan (suljettuja) lauseita. Luvuissa 1-3 tarkastelemme lauseita ja niiden yhdistämistä konnektiiveilla sekä joukko-opin alkeita ja lausefunktioita. 1.1 Logiikan lauseet ja totuusarvot Logiikan perusalkioina ovat lauseet ja niiden arvoina totuusarvot. Määritelmä 1.1.1 Logiikassa lause (proposition, statement) on väite tai ilmaisu, jolla on täsmälleen yksi mahdollisista totuusarvoista tosi (true) ja epätosi (false). Totuusarvoja merkitään jatkossa tosi = T ja epätosi = E (myös symboleja tosi = 1 ja epätosi = 0 käytetään, erityisesti tietotekniikassa). Matemaattinen logiikka ei tunne muita totuusarvoja: tämä nk. kielletyn kolmannen laki tarkoittaa, että lause ei voi olla muuta kuin tosi tai epätosi. Toiseksi, lause ei voi olla yhtä aikaa tosi ja epätosi: tämä on nk. kielletyn ristiriidan laki. Logiikan tehtävä ei ole ottaa kantaa lauseiden havainnolliseen totuuteen tai totuusarvoon sinänsä, vaan siinä pyritään esittämään menetelmiä, joiden avulla tosina pidetyistä väitteistä voidaan johtaa uusia tosia väitteitä. On kuitenkin järkevää liittää reaalielämään liittyvään lauseeseen sen havainnollinen totuusarvo. Esimerkki 1.1. Ilmaisut Rooma on Ranskassa. Luku1 on jaollinen luvulla3. 3 <. ovat kaikki logiikan lauseita, koska niiden totuusarvo on kiistatta selvitettävissä. Sen sijaan ilmaisut Avaa ikkuna! 1+1. Tämä lause on epätosi. eivät ole logiikan mielessä lauseita. Myöskään väitteen Ydinvoimaa tarvitaan lisää. totuusarvo ei liene aivan ilmeinen.

1.1 Logiikan lauseet ja totuusarvot 11 Lauseita merkitään tässä esityksessä isoilla kirjaimilla P, Q, R, S,... Ainoat logiikan vakiot ovat identtisesti tosi lausetja vastaavasti epätosi lausee. Ilmauksia, joilla on havainnollinen, sovittu tai sovittavissa oleva totuusarvo sanotaan jatkossa peruslauseiksi eli atom(ilaus)eiksi (vrt. Määritelmä 1.1.1). Annetuista peruslauseista voidaan muodostaa uusia lauseita, johdettuja lauseita (eli molekyylilauseita) loogisten konnektiivien avulla: negaatio ( ei ) vaihtaa totuusarvon disjunktio ( tai ) edes yksi tosi konjunktio ( ja ) kaikki tosia implikaatio ( jos... niin ) seuraa ekvivalenssi ( jos ja vain jos ) sama(narvoise)t totuusarvot Määritelmä 1.1.3 OlkootP jaqlogiikan lauseita. a) Lauseen P negaatio P on lause, jolla on päinvastainen totuusarvo kuin lauseellap. b) Lauseiden P ja Q disjunktio P Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, jos P on tosi taiqon tosi, ja epätosi, josp jaqovat epätosia. c) Lauseiden P ja Q konjunktio P Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, jos P jaqovat tosia, muutoin epätosi. d) LauseidenP jaqimplikaatiop Q on lause, jonka totuusarvo on epätosi, josp on tosi jaqepätosi, muulloin tosi. e) Lauseiden P ja Q ekvivalenssi P Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, jos lauseillap jaqon sama totuusarvo, muulloin epätosi. Johdettuja lauseita ovat kaikki ne lauseet, jotka saadaan äärellisen monella logiikan operaatiolla äärellisen monesta peruslauseesta. Huomautus 1.1.4 Negaatio kohdistuu yhteen, sitä seuraavaan lauseeseen, muut yhdistävät kahta lausetta, jotka voivat olla itsekin konnektiiveilla johdettuja; vrt. lukujen laskutoimitukset! Johdettuja lauseita saadaan siis myös yhdistelemällä johdettuja lauseita. Loogisten symbolien avulla saatujen lauseiden totuusarvot ilmaistaan usein nk. totuusarvotaulukon (truth table) avulla. Seuraavat perustotuusarvotaulukot on siis sovittu logiikan perustaksi:

1 1 LAUSELOGIIKKAA Negaatio ei P P T E E T Konjunktio ja P Q P Q T T T T E E E T E E E E Disjunktio tai P Q P Q T T T T E T E T T E E E Implikaatio jos... niin P Q P Q T T T T E E E T T E E T Ekvivalenssi jos ja vain jos P Q P Q T T T T E E E T E E E T Huomautus 1.1.5 a) Negaatio tarkoittaa täydellistä vastakohtaa, esimerkiksi reaalilukujen tilanteessa lauseen a < b negaatio ei ole a > b vaan a b. Mikähän on lauseen auto on musta negaatio? b) Disjunktio tai poikkeaa kieliopillisesta tai-sanasta siinä, että se ei ole poissulkeva tai ; arkikielessähän tai tarkoittaa usein joko... tai. c) Implikaatio voidaan lukea monilla eri tavoilla. LauseP Q luetaan JosP, niinq. Q, josp. Q, mikälip. P on riittävä ehto lauseelleq. Q on välttämätön ehto lauseellep. d) Lauseita yhdistettäessä on aina käytettävä tarpeellinen määrä sulkeita osoittamaan, missä järjestyksessä lauseet on yhdistetty. Sovitaan kuitenkin, että jos negaatio vaikuttaa vain seuraavaan peruslauseeseen, sulkeita ei tarvita. e) Jos johdetussa lauseessa on n eri peruslausetta, totuuarvotaulukossa johdetun lauseen kuvaamiseen tarvitaan n vaakariviä. Esimerkki 1.1.6 Olkoot seuraavassa P, Q ja R logiikan lauseita. Näistä johdettuja lauseita ovat mm. a) Q, T Q, P Q, b)(p Q) R, c)(p Q) R.

1.1 Logiikan lauseet ja totuusarvot 13 Esimerkki 1.1.7 Oletetaan, että Esimerkin 1.1.6 peruslauseella P on arvo tosi eli T, ja olkootqjarepätosia. Silloin johdettujen lauseiden totuusarvot ovat: a) Q tosi,t Q tosi, P Qepätosi, b)(p Q) R tosi, c)(p Q) R tosi. Annetuista lauseista konnektiiveilla johdetun lauseen kaikki mahdolliset totuusarvot saadaan selville mekaanisella laskulla totuusarvotaulukon avulla. Esimerkki 1.1.8 Lauseen P Q totuusarvot ovat P Q Q P Q T T E E T E T T E T E E E E T E Esimerkki 1.1.9 Olkoon S lause( P Q) Q. Määritä lauseen S totuusarvot. Ratkaisu. Muodostetaan totuusarvotaulukko, josta lauseen totuusarvot näkyvät. P Q P P Q Q S T T E T T T T E E E E T E T T T T T E E T T E E Esimerkki 1.1.10 Määritä lauseen P (Q R) totuusarvot. Ratkaisu. Muodostetaan taas totuusarvotaulukko: P Q R P R Q R P (Q R) T T T E E E E T T E E T T T T E T E E E E T E E E T E E E T T T E E T E T E T T T T E E T T E E T E E E T T E T Huomautus 1.1.11 Logiikan lause on erotettava matematiikan lauseesta, joka on tosi väite. Matematiikan lause on usein kahden logiikan lauseen implikaatio, siis muotoaa B, missäaon oletus jab väitös.

14 1 LAUSELOGIIKKAA 1. Tautologia ja looginen ekvivalenssi Identtisesti tosi lause on tautologia (nk. ajatuslaki, yleispätevä looginen totuus). Johdettu lause on tautologia, jos se on tosi riippumatta siitä, mitkä totuusarvot peruslauseilla on. Tällöin totuusarvotaulukon sarakkeessa on vain arvoja T. Esimerkki 1..1 Tutki onko lause(p (P Q)) Q tautologia. Ratkaisu. Merkitään S:llä tehtävän lauseketta ja muodostetaan totuusarvotaulukko. Koska lauseen S sarakkeeseen tulee vain arvoja T, on S tautologia. P Q P Q P (P Q) S T T T T T T E E E T E T T E T E E T E T Esimerkki 1.. Osoita tautologiaksi lause R := (P Q) (P Q). Ratkaisu. Muodostetaan totuusarvotaulukko P Q P Q (P Q) Q P Q R T T T E E E T T E E T T T T E T T E E E T E E T E T E T Koska lauseenrsarakkeeseen tuli vain arvoja T, on R tautologia. Lause 1..3 Seuraavat logiikan lauseet ovat tautologioita: 1. (P Q) (Q P) vaihdannainen. (P Q) (Q P) vaihdannainen 3. [P (Q R)] [(P Q) R] liitännäinen 4. [P (Q R)] [(P Q) R] liitännäinen 5. [P (Q R)] [(P Q) (P R)] I osittelulaki 6. [P (Q R)] [(P Q) (P R)] II osittelulaki 7. ( P) P kaksoisnegaatio

1. Tautologia ja looginen ekvivalenssi 15 8. (P Q) ( Q P) I de Morganin laki 9. (P Q) ( Q P) II de Morganin laki 10. (P Q) ( Q P) kontrapositio 11. (P Q) [(P Q) (Q P)] ekvivalenssi implikaatioiksi 1. (P Q) ( P Q) implikaatio disjunktioksi Todistus. Todistetaan malliksi lauseen kohta 10 (kontrapositio) tautologiaksi: P Q Q P P Q Q P koko lause T T E E T T T T E T E E E T E T E T T T T E E T T T T T Muut todistetaan vastaavaan tapaan (ks. mm. Tehtävä 1..4). Tehtävä 1..4 Todista Lauseesta 1..3 kohdat I de Morganin laki ja implikaatio disjunktioksi. Määritelmä 1..5 Jos P 1 ja P ovat lauseita ja jos ekvivalenssi P 1 P on tautologia, niin sanotaan, että P 1 ja P ovat loogisesti yhtäpitäviä eli loogisesti ekvivalentteja (logical equivalence). Tätä merkitäänp 1 P. Esimerkki 1..6 Koska(P (Q R)) ((P Q) (P R)) on tautologia, on P (Q R) (P Q) (P R). Kahden lauseen looginen ekvivalenssi mahdollistaa logiikan lausekkeiden sieventelyn, jossa lausekkeen osia pyritään korvaamaan yhtäpitävillä (yksinkertaisemmilla) lausekkeilla (vrt. algebrassax(x y )+xy = x 3 ). Esimerkki 1..7 Sievennetään lauseke( P Q) ( P Q). Sovelletaan ensin II osittelulakia (takaperin): NytQ Q T, joten ( P Q) ( P Q) ( P) (Q Q). ( P Q) ( P Q) ( P) (Q Q) ( P) T P. Tehtävä 1..8 Sievennä lauseetp (P Q) jap (P Q). Vihje: Muodosta totuusarvotaulukko...

16 1 LAUSELOGIIKKAA 1.3 Looginen päättely Looginen päättely (argument) muodostuu äärellisen monesta oletuksesta eli premisseistä (premise) A 1, A,..., A n ja johtopäätöksestä (conclusion) B, joiden kaikkien tulee olla logiikan lauseita. Päättelyt ovat siis muotoa: Jos A 1, A,..., A n ovat tosia, myösb on tosi. Määritelmä 1.3.1 Äärellisen monesta lauseesta koostuva päättely A 1, A,..., A n. SiisB. on johdonmukainen eli sitova (valid argument), jos päättelylause on tautologia. (A 1 A A n ) B Maistellaanpa päättelysysteemiä helpoilla premisseillä ja johtopäätöksillä: Tehtävä 1.3. Olkoot P, Q ja R peruslauseita, ja kuten ennenkin vakiot tosi = T ja epätosi= E. Mitkä seuraavista päättelyistä ovat johdonmukaisia, kun: a) Premissit:P, johtopäätös:p. b) Premissit: P, johtopäätös: Q. c) Premissinä ja johtopäätöksenä T ja E, kaikki neljä mahdollisuutta. d) Premissit:P jaq, johtopäätös:r. e) Premissit:P jaq, johtopäätös:p. f) Premissit: P ja P Q, johtopäätös: Q. g) Premissit:P,P Q jar, johtopäätös:p. Käytä tarvitessasi totuusarvotaulukkoja! Esimerkki 1.3.3 Olkoot P, Q ja R logiikan lauseita. Onko tämä päättely johdonmukainen? A 1 := P Q A := Q R A 3 := R P B := R Ratkaisun alkua: Päättelylause(A 1 A A 3 ) B on nyt C := ( (P Q) (Q R) (R P) ) R ja totuusarvotaulukko, johon on tuplattu sarake P, jotta on helpompi laskea R P :

1.3 Looginen päättely 17 A 1 A A 3 A 1 A A 3 B päättely P Q R P P Q Q R R P R C T T T T T E T E T T E E E T T E T E E E T E E E Vastauksesi? Tehtävä 1.3.4 Olkoot P, Q ja R peruslauseita. Muuttuuko Esimerkin 1.3.3 lopputulos, kun premisseihin lisätäänp ( tai Q tai R)? Ratkaisun alkua: Lisätään edelliseen premissiksi A 0 := P. Päättelylause on nyt (A 0 A 1 A A 3 ) B eli Taulukoi nyt! D := ( P (P Q) (Q R) (R P) ) R A 0 A 1 A A 3 A 0 A 1 A A 3 B päättely P Q R P P Q Q R R P R D Vastauksesi? Tehtävä 1.3.5 Annetaan nyt Esimerkin 1.3.3 ja Tehtävän 1.3.4 lauseille reaalimuuttujastaxriippuvat totuusarvot ja tarkastellaan eri tilanteita. Olkoot P := x 0, Q := x 0 ja R := x+1 1. Miten käy tapauksissax = 0 jax = 7?

18 1 LAUSELOGIIKKAA Esimerkki 1.3.6 Onko seuraava päättely johdonmukainen? Jos7 < 4, niin7ei ole alkuluku. Luku7ei ole< 4. Siis7on alkuluku. Ratkaisu. Merkitään atomeja P := 7 < 4 ja Q := 7 on alkuluku. Päättely voidaan nyt kirjoittaa muotoon A 1 := P Q A := P B := Q Muodostetaan totuusarvotaulukko päättelylausetta(a 1 A ) B varten: A 1 A A 1 A B (A 1 A ) B P Q Q P Q P (P Q) P Q T T E E E E T T T E T T E E E T E T E T T T T T E E T T T T E E Päättelylause ei ole tautologia, sillä viimeisellä rivillä sillä on arvo epätosi. Siten päättely ei ole johdonmukainen. Esimerkki 1.3.7 Onko seuraava päättely johdonmukainen? Jos on opiskelija, saa alennusta VR:ltä. En ole opiskelija, joten en saa alennusta VR:ltä. Ratkaisu. Merkitään P := Olen opiskelija. jaq := Saan alennusta VR:ltä. Päättely on muotoa A 1 := P Q A := P B := Q Totuusarvotaulukon A 1 A A 1 A B (A 1 A ) B P Q P Q P Q T T T E E E T T E E E E T T E T T T T E E E E T T T T T rivillä 3 on nyt päättelylauseella epätosi arvo, joten lause ei ole tautologia ja siten päättely ei ole johdonmukainen.

1.3 Looginen päättely 19 Koska implikaatio on tosi aina paitsi silloin, kun siinä todesta seuraa epätosi eli T E, riittää (jo hieman harjaantuneelle lukijalle) päättelyn sitovuuden toteamiseksi tutkia ne tapaukset (taulukon rivit), joissa premissien konjunktiolause A 1 A A n on tosi, mikä on totta jos ja vain jos kaikki premissit A i ovat tosia. On siis perusteltu Käytännön sääntö: Päättely on johdonmukainen eli sitova, jos johtopäätösb on tosi aina silloin, kun kaikki premissita 1, A,...,A n ovat tosia. Esimerkki 1.3.8 Tutki logiikan menetelmin seuraavien päättelyjen johdonmukaisuutta. a) Jos ei sada, menen ulos. Sataa. Siis en mene ulos. b) Jos ei sada, menen ulos. En mene ulos. Siis sataa. Ratkaisu. a) Voidaan valita peruslauseiksi P := Sataa. ja Q := Menen ulos. Päättely on muotoa A 1 := P Q A := P B := Q Tutkitaan tätä nyt edellä olevan käytännön säännön avulla. Totuusarvotaulukon A A 1 B P Q P P Q Q T T E T E T E E T T E T T T E E E T E T ensimmäisellä rivillä premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi. Päättely ei ole johdonmukainen. b) Olkoot edelleen P = Sataa. ja Q = Menen ulos., jolloin premissit ovat A 1 := P Q ja A := Q ja päättelylause on (( P Q) Q) P. Tämän totuusarvotaulukossa ainoastaan toisella rivillä ovat kaikki premissit tosia. Koska myös johtopäätös on tällä tosi, on päättely johdonmukainen. B A 1 A P Q P P Q Q T T E T E T E E T T E T T T E E E T E T

0 1 LAUSELOGIIKKAA Tehtävä 1.3.9 Olkoot P := Aurinko paistaa. Q := Menen uimaan. R := Menen markkinoille. S := On lämmin sää. Onko johdonmukaista päätellä: Jos aurinko paistaa ja on lämmin sää, menen uimaan. Jos aurinko paistaa, menen markkinoille. Menenkin uimaan. Siispä en mene markkinoille. Ratkaisun alkua. Tehdään totuusarvotaulukko premisseistä, johtopäätöksestä ja päättelylauseesta. Taulukko on aika suuri ja työläs tehdä käsin, joten koetetaan automaattista taulukon generointia. Verkosta löytyy apuja, esimerkiksi sivulta http://mrieppel.net/prog/truthtable.html Siellä olevien esimerkkien avulla muotoillaan premissita i, johtopäätösb ja päättelylausec: A 1 := (P S) Q muodossa (P & S) > Q A := P R muodossa P > R A 3 := Q muodossa Q B := R muodossa ~R C := (((P S) Q) (P R) Q) R muodossa ((((P & S) > Q) & (P > R)) & Q) > ~R Huomioi sulkeiden käyttöpakko mm. tilanteissa (A & B) & C, operaatiot kahdenvälisinä, ei A & B & C! Jos taulukkosi on tehty tähän tapaan, peruslauseiden totuusarvoyhdistelmät järjestelmällisesti aseteltuina, epäjohdonmukaisuus pitäisi löytyä jo ensimmäiseltä riviltä, jossa kaikki peruslauseet ovat tosia. Huomautus 1.3.10 On syytä tarkentaa, että edellä on logiikalla tarkoitettu nimenomaan perinteistä kaksiarvoista matemaattista logiikkaa. Tämä sopii hyvin teorianmuodostukseen, jossa tavoitellaan ehdotonta totuutta. Vaikka formaalin logiikan juuret ovat antiikin kreikassa (Aristoteles), pidetään englantilaista George Boolea (1815-1864) logiikan (ja samalla myös joukkoopin) matematisoijana. Häneltä on peräisin symbolien ja loogisten operaatioiden käyttö; nyt logiikka nousi formaaliudessaan algebran ja analyysin rinnalle. Boolen työtä jatkoivat mm. britti Augustus de Morgan (1806-1871) ja amerikkalainen Benjamin Peirce (1809-1880). Tekniikassa ja teollisuudessa käytetään nykyään paljon kulmikkaan kaksiarvoisen logiikan pehmeämpää laajennusta, nk. sumeaa logiikkaa, jonka alkuna pidetään Lotfi A. Zadeh in (191 -) julkaisua Fuzzy sets vuonna 1965.

1.4 Sumeasta logiikasta 1 1.4 Sumeasta logiikasta Sumea logiikka (fuzzy logic) on matemaattisen logiikan laajennus, jossa lauseella on diskreetin totuusarvon E = 0 ja T = 1 sijasta reaalinen totuusarvo suljetulla välillä [0, 1]. Sumeassa logiikassa ei siis ole kyse siitä, mitä jokin on, vaan siitä, kuinka varmasti tai paremminkin kuinka paljon jokin asia on. Siis esimerkiksi kuinka paljon numero 3 on sama kuin numero 5. Numero 3 on selvästikin paljon enemmän sama kuin numero5kuin esimerkiksi numero3. Sumeassa logiikassa peruskonnektiivit määritellään seuraavasti: jos P ja Q ovat totuusarvoja väliltä[0,1], niin P := 1 P P Q := max(p,q) P Q := min(p,q) Sumeaan logiikkaan liittyy analogisesti mm. sumea joukko-oppi (ks. Luku ) ja niin edelleen. Sumeat systeemit soveltuvat erinomaisesti kaikenlaiseen prosessien säätöön, jopa automaattipesukoneen ohjaukseen. Esimerkki 1.4.1 Sumea logiikka on sisäänrakennettuna myös inhimillisessä elämässä: Pitkillä ihmisillä on iso jalka. Pasi on melko pitkä. Siis: Pasilla on melko iso jalka. Esimerkki 1.4. Seuraavassa voitaisiin varmaan jopa laskea, jos skaalauksista sovittaisiin: Josxon vähän alle5, niiny on vähän alle0. Lukuxon vähän yli5. Siis: Lukuy on varmaankin vähän yli 0. Esimerkki 1.4.3 Entä nyt: Josxon noin10, niiny on erittäin pieni. Lukuxon lähes 100. Siis:??

Joukko-oppia Logiikka ja joukko-oppi ovat modernin matematiikan kulmakiviä. Esimerkiksi todennäköisyyslaskentaa on vaikea kuvitella ilman joukkoja ( tapahtumat ), ja tavanomaiset todistusmekanismit ovat helposti muotoiltavissa logiikan ja joukkojen avulla. Mutta ei joukko-opin käyttö rajoitu pelkästään matematiikan piiriin, sen käyttöalueina ovat esimerkiksi tietotekniikka, lingvistiikka ja informaatioteoria: Loogiselta kannalta tarkasteltuna käänteistiedoston käyttö on joukkoopin sovellus ja joukko-oppi on siten käänteistiedostoihin perustuvan tiedonhaun matemaattinen perusta. Jokaisen ammattimaisen tiedonhakijan on tarpeen hallita sen alkeet. Joukko-opin tuntemus on tärkeää myös tiedonhaun tutkimuksessa. Internetix/Informaatiotutkimus.1 Joukko ja alkio Joukko-opin peruskäsitteet ovat joukko (set) ja alkio (element, point). Näitä käsitteitä emme määrittele, sanomme vain, että joukko koostuu alkioista tai että tietyt alkiot muodostavat tietyn joukon. Alkeellisimmillaan joukko voidaan ilmaista luettelemalla sen alkiot, esimerkiksi arpanopan silmäluvut{1,, 3, 4, 5, 6}. Merkintä a A tarkoittaa a on joukon A alkio eli alkio a kuuluu joukkoon A. Sen negaatio a / A := (a A) tarkoittaa a ei ole joukon A alkio eli alkio a ei kuulu joukkoon A. Edellä esimerkiksi 3 S mutta 8 / S. Käsitteelle joukko asetetaan seuraavat vaatimukset: 1) JosAon joukko jaamikä tahansa alkio, niin täsmälleen yksi väittämistäa A jaa / A on tosi (vrt. Luku 1.1). ) Joukko ei saa esiintyä itsensä alkiona. Huomautus.1.1 Kohta 1) sitoo joukko-opin kaksiarvoiseen logiikkaan ja kohta ) sulkee pois ristiriitoja; esimerkiksi seuraavat määrittelyt eivät tuota joukkoja: a) A := {1, A} (kehämääritelmä). b)a:= kaikkien joukkojen joukko (kehämääritelmä). c) Joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita (Russellin paradoksi, ks. Luku.8). Joukko voi toki olla jonkin toisen joukon alkio muttei itsensä alkio. Ongelmilta välttyy yleensä sillä, että ottaa avuksi jonkin selkeän perusjoukon X, joka sisältää kaikki tarkasteltavat alkiot, ja tutkii sitten joukon X alkioista koostuvia osajoukkoja (Luku.3).

. Joukkojen esittäminen ja merkitseminen 3. Joukkojen esittäminen ja merkitseminen Joukkoja voidaan esittää merkitsemällä näkyviin sen alkiot tai kuvaamalla ne muulla täsmällisellä tavalla: a) luettelemalla sen alkiot aaltosulkeissa pilkulla erotettuina, esimerkiksi{, 6} ja {,4,6,...}, missä... merkitsee sitä, että alkioluettelo jatkuu loputtomiin alkuun merkittyjen alkioiden perusteella tunnistettavan säännön mukaan. b) antamalla aaltosulkeissa ensin joukon alkiota edustava ilmaus ja pystyviivan jälkeen ehto, joka joukon alkioiden pitää toteuttaa:{ x ehto alkiolle x}, esimerkiksi { x x on kahdella jaollinen kokonaisluku }. c) kuvaamalla joukon alkiot sanallisesti, esimerkiksi parittomien kokonaislukujen joukko. d) tavanomaisten sovittujen symbolien avulla: N, jne.... (ks. alla). e) tuloksena muista joukoista saaduilla joukko-operaatiolla (ks. alla). Tällä kurssilla käytetään seuraavia merkintöjä lukujoukoille: N := {1,,3,...} luonnollisten lukujen joukko N 0 := {0,1,,3,...} peruslukujen joukko Z := {...,, 1,0,1,,...} kokonaislukujen joukko Q := { m m Z, n N} rationaalilukujen joukko n R reaalilukujen joukko C := {x+iy x R, y R} kompleksilukujen joukko A + joukonaaidosti positiivinen osa Huomautus..1 Joskus merkitään N = {0,1,,3,...}. Nollan kuuluminen luonnollisten lukujen joukkoon on kuitenkin sopimuskysymys. Reaaliakselin väleille käytetään kurssillamme hakasulkumerkintöjä: ]a,b[ := {x R a < x < b} avoin väli [a,b[ := {x R a x < b} puoliavoin väli (avoin loppupäästä) ]a,b] := {x R a < x b} puoliavoin väli (avoin alkupäästä) [a,b] := {x R a x b} suljettu väli Esimerkki.. Joukoissa{x+1 x ]1,]} ja]3,5] on samat alkiot. Huomautus..3 Hakasulut varataan yleensä välien merkitsemiseen. Kuitenkin äärellisen lukumääräjoukon määrittelemme seuraavasti: {, josn = 0, [n] := {1,,3,...,n} muutoin.

4 JOUKKO-OPPIA Lisäksi on muistettava: Alkiot aaltosulkeissa: kyseessä on joukko. Alkiot kaarisulkeissa: kyseessä on järjestetty jono lukuja (vektori). Alkioita hakasulkeissa: voi olla myös nk. lista, joita käytetään mm. ohjelmointikielissä. Esimerkki..4 Mitä alkioita on seuraavissa joukoissa; merkitse joukot luettelomuodossa. a)a := {n R n Z} b)b := {n n Z} c)c := {1 x x N} d)d := {x N (x 1)(x 1 ) = 0} Ratkaisut. a) Joukkoon A kelpaavat täsmälleen ne reaaliluvut, joiden neliöt ovat kokonaislukuja, joten A voidaan esittää kahdellakin luonnollisella tavalla: A = {0, 1,1,,, 3, 3,,, 5, 5,...} tai yhtä hyvin A = {..., 5,, 3,, 1,0,1,, 3,, 5,...} b) Joukkoon B puolestaan tulevat kaikki kokonaislukujen neliöt, eli B = {0,1,4,9,16,...}. c) Joukkoon C kelpaavat kaikki luvut 1 x, kun x käy läpi kaikki luonnollisten lukujen puolikkaat. Ajatellaan lähdettävän luvuista x = 1,1,11,,..., jolloin luvuista 1 x saadaan joukko C = { 1,0, 1, 1, 11...}. d) Joukkoon D tulevat ne yhtälön (x 1)(x 1 ) = 0 ratkaisut, jotka ovat luonnollisia lukuja, ts. D = {1}. Tehtävä..5 Merkitse seuraavat joukot luettelomuodossa: a)a := {n Z n Z} b)b := { n n N} c)c := {1+x x Z} d)d := {x Q (x 1)(x 1 ) = 0} Tehtävä..6 Merkitse seuraavat joukot ehtomuodossa (vrt. Esimerkki..4): a) Niiden kokonaislukujen joukko, jotka ovat kolmella jaollisia. b) Ne rationaaliluvut, joiden kuutiojuuri on rationaaliluku. Koeta esittää nämä myös luettelomuodossa!

.3 Joukko-opin käsitteitä ja nimityksiä 5.3 Joukko-opin käsitteitä ja nimityksiä Seuraavassa luetellaan joitakin joukko-oppiin liittyviä peruskäsitteitä ja ilmaistaan niitä osin myös logiikan kielellä. Joukko-oppihan perustuu pitkälti logiikkaan ja sisältää jo aineksia lausefunktioista (ks. Luku 3). Perusjoukko: Jos kaikkien tarkasteltavien joukkojen alkiot ovat tietyssä laajemmassa joukossax, tätä sanotaan perusjoukoksi (fundamental, universal set). Oletamme jatkossa aina, että taustalla on jokin perusjoukko X, jonka alkioita rajoitumme kussakin tapauksessa tarkastelemaan. Logiikan vastaavuus: x X on lause, joka on identtisesti tosi, ts. tosi koko perusjoukossax, eli kaikilla sen alkioillax X. Tyhjä joukko: Joukko, jossa ei ole yhtään alkiota, on tyhjä joukko (empty set). Tyhjää joukkoa merkitään (joskus myös{}). Logiikan vastaavuus: lause x on identtisesti epätosi, siis epätosi kaikilla alkioillax X. Osajoukko: Joukko A on joukon B osajoukko (subset), jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio. Merkintä on tällä kurssilla A B, vaikka usein käytetään myös (epäloogista) merkintää A B (joka vastaisi paremmin aitoa osajoukkoa, ks. myöh.) Logiikaksi:A B, jos ja vain josx A x B on tosi kaikillax X. Esimerkki.3.1 a) Olkoot A := {1,} ja B := {1,,3}. Tällöin A B, mutta ei B A. b)n N 0 Z Q R C. c) Entäs josa := {a 1,a } jab := {b 1,b,b 3 }, millä edellytyksillä on A B? Joukkojen samuus: Joukot A, B X ovat identtiset eli sama joukko (identical, same, equal), jos niissä on täsmälleen samat alkiot. Samuutta merkitääna = B. Logiikaksi:A = B, jos ja vain josx A x B kaikillax X. Esimerkki.3. Olkoot A := {1,}, B := {,1} ja C := {1,,1}. Tällöin A = B = C. Huomautus.3.3 a) Aina päteea A. b)a = B jos ja vain josa B jab A. c) On visusti opittava erottamaan merkit ja : a B : a on joukonb alkio A B : A on joukonb osajoukko

6 JOUKKO-OPPIA Esimerkki.3.4 a) OlkoonA := {1,}. Tällöin on voimassa A, 1 A, A, 3 / A, {1} A, {} A, {1,} A ja{1,} = A, mutta esimerkiksi merkinnät 1 A ja{1} A eivät ole mielekkäitä. b) Jos kuitenkinb := {1,{1}}, niin myös{1} B on mielekäs ja totta! c) Mitähän tarkoittaa lauseen A B negaatioa B := (A B)? Aito osajoukko: JosA B jaa B, niinaon joukonb aito osajoukko (proper subset). Aitoa osajoukkoa merkitsemme jatkossaa B. Esimerkki.3.5 Selvästi {1,} {1,,3}, samoin N Z ja Q R. Mitenkä muut lukujoukot? Yhdiste: Joukkojen A, B X yhdiste (union) on joukko, joka koostuu kaikista joukkojenajab alkioista, ts. yhdiste on joukko (ks. Kuva ) A B := {x X x A tai x B} = {x X x A x B}. Logiikan vastaavuus:x A B x A x B kaikillax X. X X A B A B Kuva : Kahden joukon yhdiste A B ja leikkaus A B Esimerkki.3.6 Jos A := {1,} jab := {,3}, niina B = {1,,3}. Leikkaus: Joukkojen A, B X leikkaus (intersection) on joukko, joka koostuu joukkojenajab yhteisistä alkioista, ts. leikkaus on joukko (ks. Kuva ) A B := {x X x A jax B} = {x X x A x B}. Logiikan vastaavuus:x A B x A x B kaikillax X. Esimerkki.3.7 Jos A := {1,} jab := {,3}, niina B = {}. Erilliset joukot: Joukot A ja B ovat erilliset eli pistevieraat (disjoint), jos A B =.

.3 Joukko-opin käsitteitä ja nimityksiä 7 Esimerkki.3.8 JosA := {1,} jab := {3,4}, niina B = eli A jab ovat erilliset. Joukkoerotus: Joukkojen A, B X erotus (difference) on joukko, johon kuuluvat ne joukonaalkiot, jotka eivät kuulu joukkoonb, ts. joukko (ks. Kuva 3) A\B := {x X x A jax / B} = {x X x A x / B}. Logiikan vastaavuus:x A\B x A (x B) kaikillax X. X X A B A Kuva 3: Joukkojen erotus A\ B ja joukon komplementti A = X\ A Esimerkki.3.9 JosA := {1,} jab := {,3}, niina\b = {1}. Komplementti: Joukon A X komplementti (complement) on joukko, johon kuuluvat kaikki ne perusjoukon X alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A, ts. komplementti on joukko (ks. Kuva 3) A = X\A := {x X x / A}. Muita merkintöjä: A, A c tai A. Logiikan vastaavuus:x A (x A) kaikillax X. Esimerkki.3.10 Olkoon X := {1,,3,4,5} (perusjoukko), A := {1,} ja B := {,3}. TällöinA = {3,4,5} jab = {1,4,5}. Edellä olevia joukko-operaatioita havainnollistavia kuvioita ja 3 sanotaan Venndiagrammeiksi (englantilainen John Venn, 1834-193). Venn-diagrammiksi ei kelpaa mikä hyvänsä joukkoja illustroiva kuvio. Kun joukkoja on useita, tämä menee hyvinkin mutkikkaaksi. http://www.newworldencyclopedia.org/entry/venn_diagram

8 JOUKKO-OPPIA Esimerkki.3.11 Onko (aina) tottaa B = (A B)\C? Tällainen kysymys tarkoittaa ilman aina -sanaakin että onko ko. joukkojen samuus totta kaikissa tilanteissa; mille tahansa joukoillea, B ja C missä tahansa perusjoukossa. Ratkaisun pähkäilyä. Uuno piirsi tilanteesta mieleisensä Venn-diagrammin, Kuva 4. Siitä hän päätteli, että väite on tosi. Onko hän oikeassa? X B A C Kuva 4: Uunon Venn-diagrammi Uunon Venn-diagrammi on huonosti piirretty. Se ei täytä Venn-diagrammin vaatimuksia: siinä pitäisi nimittäin olla omat alueensa pareittaisille ja kolmittaisille leikkauksille. Uunon kuviossa on kaksikin vikaa: Joukossa B C ei voi olla alkioita eikä siis kolmittaisessakaan leikkauksessa A (B C). Kuvion tilanteessa olisi A (B C) =, mitä voimme käyttää hyväksi keksiessämme nk. vastaesimerkin: järjestämme niin, että kyseinen leikkaus ei olekaan tyhjä, jolloin väitetyn samuuden oikealta puolelta puuttuu ainakin yksi alkio, joka on vasemmassa joukossa A B. Minimalistinen vastaesimerkki, joka todistaa väitetyn samuuden vääräksi: Valitaan perusjoukoksi X := {1} ja kaikki muutkin joukot samaksi: A = B = C := {1}. SilloinA B = {1}, mutta(a B)\C = {1}\{1} =. Tulojoukko: Joukkojen X ja Y tulojoukko (product) eli karteesinen tulo on joukko, jonka alkioina ovat kaikki järjestetyt parit, joissa ensimmäinen alkio on joukostaxja jälkimmäinen alkio on joukostay, ts. joukko X Y := {(x,y) x X jay Y}. Logiikan vastaavuus:(x,y) X Y x X y Y kaikillax X,y Y. Esimerkki.3.1 Olkoon X := {1, } ja Y := {, 3}. Tällöin X Y = {(1,),(1,3),(,),(,3)}.

.4 Joukko-opin kaavoja 9 Tehtävä.3.13 Olkoon X := {1,} ja Y := {,, }. Mitkä seuraavista olioista ovat joukon X Y alkioita: a)(1, 1) b)(, ) c)(1,, ) d)(1, ) e) (3, ) f){1, } g)(,1)? Tulojoukkoja ja niiden osajoukkoja, relaatioita, käsitellään Luvussa 4. Potenssijoukko: Joukon A X potenssijoukko (power set) on joukon A kaikkien osajoukkojen joukko P(A) := {B X B A}. Esimerkki.3.14 OlkoonA := {1,} jab := {,3,4}. Tällöin P(A) = {,{1},{},A} P(B) = {,{},{3},{4},{,3},{,4},{3,4},B}. Huomautus.3.15 Jokaisen joukon potenssijoukko on aidosti suurempi joukko kuin joukko itse. Tätä asiaa käsitellään tarkemmin Luvussa 11.1. Tehtävä.3.16 Olkoon A := {,{, 4}, 5}. Mitkä seuraavista ovat totta: a) A b) A c){} A d){} A e)4 A f)4 A g){4} A h){4} A i){,4} A j){,4} A k){{,4}} A l){{,4}} A.4 Joukko-opin kaavoja Myös mutkikkaampia joukko-opin operaatioita voidaan havainnollistaa Venndiagrammeilla kuten Kuvassa 5. X X A C B A B Kuva 5: Joukko-operaatioA (B C) ja yhtälö(a\b) (A B) = A

30 JOUKKO-OPPIA Lause.4.1 Olkoot A, B ja C perusjoukon X osajoukkoja. Tällöin a) A B = B A vaihdannainen b) A B = B A vaihdannainen c) A (B C) = (A B) C liitännäinen d) A (B C) = (A B) C liitännäinen e) A (B C) = (A B) (A C) I osittelulaki f) A (B C) = (A B) (A C) II osittelulaki g) A = A kaksoiskomplementti h) A B = B A I de Morganin laki i) A B = B A II de Morganin laki j) A B B A k) A = B (A B) (B A) l) A\B = A B m) A A = A, A A = A idempotenssi n) A X = X,A X = A o) A = A, A = p) X =, = X q) A A = X, A A = r) A B A, A B B s) A A B, B A B. Todistus. Väitteet voidaan todistaa esimerkiksi käyttäen Lauseen 1..3 tautologioita, siis loogisia ekvivalenttiuksia. Todistetaan malliksi kohdat e) ja h).

.4 Joukko-opin kaavoja 31 Olkoot A, B, C X joukkoja. Kohdan e) osoittaa seuraava loogisesti ekvivalenttien vaiheiden muunnosketju: Jokaisellax X on totta x A (B C) x A x B C x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) x A B x A C x (A B) (A C). Tämä tarkoittaa, että joukoissa on samat alkiot, eli A (B C) = (A B) (A C). Todistetaan vastaavaan tapaan h), siis että A B = B A. Käytetään nyt ekvivalenssiketjua, jossa kukin vaihe on tautologia: x A B (x A B) (x A x B) (x B) (x A) (x B) (x A) x B A. SiisA B = B A. Vaihdannaisuuden takia toki myösa B = A B. Tehtävä.4. Lisää todistukseen kunkin vaiheen perustelut, esimerkiksi viittaukset sopiviin lauselogiikan kaavoihin. Huomautus.4.3 Koska liitäntälait c) ja d) ovat voimassa, on mielekästä ja yksikäsitteistä käyttää merkintäjäa B C jaa B C. MerkinnöilläA B C ja A B C ei ole sovittua tarkoitusta, vrt. kaavat e) ja f). Tällaisia ei pidä käyttää. Tehtävä.4.4 Osoita, että ei ole voimassa samuus A (B C) = (A B) C. Voit katsoa mallia Esimerkistä.3.11 keksiäksesi sopivan vastaesimerkin. Joukkoopillisten asioiden todistamiseen perehdymme Luvussa.5.

3 JOUKKO-OPPIA.5 Joukko-opin väitteiden todistaminen 1. Venn-diagrammien avulla voi usein havaita, onko väite voimassa vai ei, mutta Venn-diagrammit eivät todista väitettä.. Väitteitä todistetaan sieventämällä lausekkeita tunnettuja kaavoja käyttäen tai soveltamalla logiikan tautologioita lauseisiin x A, x B jne. 3. Se, ettei väite ole voimassa, osoitetaan aina näyttämällä vastaesimerkki, so. konkreettinen tilanne, jossa oletukset ovat voimassa, mutta väite ei. 4. Muotoa A = B oleva väite kannattaa usein osoittaa Lauseen.4.1 k) mukaisesti kahdessa vaiheessa: A B ja B A eli tosiksi x A x B ja x B x A. Esimerkki.5.1 Osoita, ettäa = (A\B) (A B). Ratkaisu. Olkoon perusjoukkona X. Kuvan 6 Venn-diagrammin mukaan kaava näyttäisi pätevän. A\B X A B U A B Kuva 6: Esimerkin.5.1 Venn-diagrammi Todistustapa 1: Joukko-opin kaavojen mukaan (kohdat n, q, f ja l) Todistustapa : Osoitetaan alkiotasolla 1)A (A\B) (A B) ja )(A\B) (A B) A. A = A X = A (B B) = (A B) (A B) = (A\B) (A B). 1) Olkoon x A. Jos x B, niin x A B. Jos x B, niin x A\B. Siis joka tapauksessax (A\B) (A B). Näin ollena (A\B) (A B).

.5 Joukko-opin väitteiden todistaminen 33 ) Olkoonx (A\B) (A B). Tällöinx A\B taix A B. Kummassakin tapauksessax A. Näin ollen(a\b) (A B) A. Kohdista1) ja) seuraaa = (A\B) (A B). Todistustapa 3: Logiikan lakien perusteella saadaan jokaisellax X: x (A\B) (A B) x A\B x A B SiisA = (A\B) (A B). [x A (x B)] [x A x B] x A [ (x B) x B] x A [x / B x B] }{{} =T, sillä aina tosi (x A) T x A. Esimerkki.5. Olkoot A, B ja C perusjoukon X osajoukkoja. Päteekö kaava (B \A) (B \C) = B \(A C)? Ratkaisu. Kuvan 7 Venn-diagrammin mukaan näyttäisi, että kaava ei päde. Venn- A B A B X C X C (B \ A) U (B \ C) B \ (A U C) Kuva 7: Onko (B \A) (B \C) = B \(A C)? diagrammista saadaan myös vihje vastaesimerkkiä varten: järjestetään yksi alkio alueelle, joka ei ole toisessa mukana. Valitaan minimalistisesti X := {1},A := {1},B := {1} ja vaikkapac :=. SilloinA, B, C X ja (B \A) (B \C) = {1} = {1} B \(A C) = {1}\{1} =. Siis kaava ei päde esimerkiksi edellä valituilla joukoilla.

34 JOUKKO-OPPIA Tehtävä.5.3 Onko Esimerkin.5. joukkoyhtälö sitten aina epätosi? Esimerkki.5.4 Todista, että josa B, niinb A. Ratkaisu. Olkoon A B. Osoitetaan, että x B x A: Olkoon x B. Tällöin x / B. Koska A B ja x / B, niin x / A. Siis x A. Näin ollen B A. Tehtävä.5.5 Päteekö yhtälö(a\b) (B \A) = (A B)\(A B)? Tehtävä.5.6 Päteekö A\(B \C) = (A\B) C? Tehtävä.5.7 Päteekö A\(B C) = (A\B) (A\C)? Todistus. Joukko-opin kaavojen mukaan (miten?) A\(B C) = A B C = A (B C) = (A B) (A C) = (A\B) (A\C).

.6 Yleisempää joukko-oppia 35.6 Yleisempää joukko-oppia OlkoonAkokoelma erään perusjoukonxosajoukkoja. Oletetaan, että joukota 1, A,..., A n A, ts. kukina i X. Äärellinen yhdiste: JoukkojenA 1, A,..., A n yhdiste on joukko n A i := {x X x A i jollakini {1,,3,...,n}}, i=1 siis joukko, joka muodostuu kaikista alkioista x, jotka kuuluvat johonkin joukoista A i, i = 1,,3,...,n. Ääärellinen leikkaus: JoukkojenA 1, A,...,A n leikkaus on joukko n A i := {x X x A i jokaisellai {1,,3,...,n}}, i=1 siis joukko, joka muodostuu kaikista alkioista x, jotka kuuluvat jokaiseen joukkoona i, i = 1,,3,...,n. Esimerkki.6.1 a) Olkoot A i := {1,,...,i}, ts. A 1 := {1}, A := {1,}, A 3 := {1,,3} jne. Tällöin (tässä tapauksessa sattumoisin) n n A i = {1,,...,n} = A n ja A i = {1} = A 1. i=1 b) Olkoot B i := {i 1,i,i+1}, ts. B 1 := {0,1,}, B := {1,,3}, B 3 := {,3,4} jne. Nyt n n B i = {0,1,,...,n+1} ja arvoillan 4 B i =. i=1 Mitkä ovat näissä sopivat perusjoukot? Äärellinen karteesinen tulo: JoukkojenX 1, X,..., X n tulojoukko eli karteesinen tulo on joukko n X i = X 1 X X n := {(x 1,x,...,x n ) x 1 X 1,...,x n X n }, i=1 siis joukko, joka muodostuu järjestetyistä jonoista (x 1,x,...,x n ). Esimerkiksi voidaan merkitä n R = R R R }{{} = R n. i=1 n kpl i=1 i=1

36 JOUKKO-OPPIA Äärettömät yhdisteet ja leikkaukset: Jos A 1, A,... ovat perusjoukon X osajoukkoja, määritellään A i := {x X x A i jollakini N}, i=1 A i := {x X x A i kaikillai N}. i=1 Vielä yleisemmin: OlkoonAkokoelma perusjoukonxosajoukkoja. Silloin A = A AA := {x X x A jollakina A}, A = A AA := {x X x A kaikillaa A}. Esimerkki.6. Olkoon perusjoukkona X := R ja A x := [x,x+1] kaikilla x R. Silloin A := {A x x R} on kaikkien yhden yksikön pituisten suljettujen välien kokoelma, ja A x = R, = A AA x R = A AA A x =. x R Erikoisesti arvoilla x = i N saadaan vain A i = [1,] [,3] [3,4]... = [1, [, i=1 A i =. i=1 Tehtävä.6.3 Laske n=1a n ja n=1a n, kun A n := {1 n, n,3 n,...}. Vihje: Koeta muodostaa alekkain joukkojaa 1, A,A 3 jne. Jatkopohdintaa: Entä jos joukostaa n jätetään pois1 n?

.6 Yleisempää joukko-oppia 37 A 1 = ]0,[ 3_ A = ]0, [ 4_ 3 A 3 = ]0, [ 0 1 0 1 0 1 Kuva 8: Esimerkin.6.4 välejä Esimerkki.6.4 OlkootA i := ] [ 0,1+ 1 i, i N. Mitä ovat i=1 A i ja i=1 A i? Ratkaisu. Kuviosta 8 voinemme saada idean, että voisi hyvinkin olla: a) i=1 A i = ]0,[, b) i=1 A i = ]0,1]. Todistetaan kohdan a) väite näyttämällä, että: 1) i=1 A i ]0,[ ja )]0,[ i=1 A i. 1) Josx i=1 A i niinx A i jollakinieli x ] 0,1+ i[ 1 ]0,[. ) Jos x ]0,[, on 0 < x < ja on olemassa i N, jolle x A i (tässä ainakin i = 1 kelpaa). Siten myösx i=1 A i. Todistetaan niinikään kohdan b) väite näyttämällä, että: 1 ) i=1 A i ]0,1] ja )]0,1] i=1 A i. 1 ) Olkoon x i=1 A i mielivaltainen, ts. x A i kaikilla i N. Täten 0 < x < 1 + 1/i kaikilla i N. Riittää osoittaa, että ei voi olla x > 1. Jos näin olisi, voitaisiin lukujen1jaxvälistä löytää luku1+1/k, kunk on riittävän suuri. Silloinx / A k, ja sitenx / i=1 A i. On siis oltavax ]0,1]. ) Olkoon x ]0,1] mielivaltainen. Silloin 0 < x 1 < 1+1/i, joten x A i jokaisellai N. Siisx i=1 A i. Tehtävä.6.5 Olkoon perusjoukkona euklidinen taso R = R R. Tason yksikkökiekko on joukko D := {(x,y) R x +y 1}. Olkoon A kaikkien niiden 1-säteisten tasoympyröiden joukko, joiden keskipiste on yksikkökiekossad. Mitä ovat joukot A A A ja A A A? Ympyröiden yhdisteen visualisointi (JSXgraph-kuvio) http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/matematiikanjohdantokurssi/ Kurssimateriaali/applet/KiekkojenYhdiste-JSX.html

38 JOUKKO-OPPIA.7 Joukkojen alkiomääristä Puetaan lauseiksi intuitiivisesti ilmeiset äärellisten joukkojen yhdisteiden ja tulojen alkiomääriä koskevat tulokset. Merkintä #X tarkoittaa jatkossa äärellisen joukonxalkioiden lukumäärää. Asiaan palataan tarkemmin Luvussa 11. Lause.7.1 a) Kahden erillisen äärellisen joukon A, B X alkiomäärille on voimassa #(A B) = #A+#B. b) Yleisemmin: Kahden äärellisen joukon A, B X alkiomäärille on voimassa #(A B) = #A+#B #(A B) c) Kolmelle äärelliselle joukollea, B, C X pätee yhteenlaskukaava #(A B C) = #A+#B +#C #(A B) #(A C) #(B C) +#(A B C). Todistus. a) Väite on varsin järkeenkäypä. b) Seuraa edellisestä samuuksiaa = (A\B) (A B),B = (B\A) (A B) ja A B = (A\B) (A B) (B \A) (ks. Luku.5) soveltaen. c) Voidaan päätellä vastaavaan tapaan. Laskettaessa kaikkien alkioiden määrää tulevat kaksittaisissa leikkauksissa olevat lasketuiksi kahteen kertaan, ja kaikkien kolmen leikkauksessa kolmesti. Mutta tästä kolmen leikkauksesta tulevat poistetuiksi kaikki, joten ne on lisättävä. Lause.7. (summaperiaate) Jos A 1, A,..., A n X on äärellinen kokoelma pareittain erillisiä äärellisiä joukkoja, niin niiden yhdiste on äärellinen ja ( n ) # A k = k=1 n #A k. k=1 Lauseiden.7. ja.7.1 yleistys joukkojen yleinen yhteenlaskukaava eli summaja erotusperiaate: