Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö- ja magnetismiopin laboratoriotyöt AHTOTAP Työn tavoitteet aihtovirran ja jännitteen suunta vaihtelee ajan funktiona. Esimerkiksi Suomessa käytettävä verkkovirta on sinimuotoista vaihtovirtaa, jonka taajuus ja jännitteen tehollisarvo ovat 50 Hz ja 30. Tässä työssä harjoittelet vaihtovirran ja jännitteen mittaamista tutkimalla yhtä tavallisimmista vaihtovirtapiireistä; sarjapiiriä, jossa kela, vastus ja kondensaattori on kytketty sarjaan. Tutustut siihen, miten reaktanssin avulla voidaan kuvata yksittäisen komponentin jännitettä, kun komponentin kautta kulkee sinimuotoisesti vaihteleva vaihtovirta. Harjoittelet osoitindiagrammien käyttämistä kuvattaessa ja analysoitaessa sinimuotoisesti vaihtelevia virtoja ja jänniteitä. Tutustut myös käsitteisiin impedanssi ja vaihekulma, joiden avulla kuvataan vaihtovirtapiirin kykyä vastustaa virran kulkua ja virran ja jännitteen välistä vaihe-eroa. Opettelet käyttämään sekä digitaalista yleismittaria että oskilloskooppia, jotka ovat fysiikan töissä yleisesti käytettäviä sähköisiä perusmittausvälineitä. Yleismittarilla voidaan mitata vastusten resistansseja, tasa ja vaihtojännitteiden sekä tasa ja vaihtovirtojen suuruuksia. Useat mittarit soveltuvat myös diodien ja muiden puolijohdekomponenttien ominaisuuksien tutkimiseen sekä kondensaattoreiden kapasitanssien ja vaihtojännitteiden taajuuksien mittaamiseen. Oskilloskoopilla mitataan tasa ja vaihtojännitteiden suuruuksia sekä vaihtojännitteiden jaksonaikoja. isäksi sillä voidaan tutkia esimerkiksi sähköisten signaalien muotoa ja signaalien välisiä vaihe-eroja. Tässä työssä mittaat ensin digitaalisella yleismittarilla vastuksen resistanssin ja kelan sisäisen resistanssin, vaihtojännitelähteen taajuuden sekä jännitteiden tehollisarvoja piirin jännitelähteen navoissa sekä vastuksen, kelan ja kondensaattorin päiden välillä. Mittaustulosten avulla voit määrittää kondensaattorin kapasitanssin ja kelan induktanssin sekä koko piirin virran ja jännitteen välistä vaihe-eroa kuvaavan vaihekulman suuruuden. Piirrät myös osoitindiagrammin, jonka avulla voit havainnollisesti tarkastella piirin jännitteitä tutkimassasi tilanteessa. isäksi tarkastelet oskilloskoopin avulla jännitelähteen signaalin ja vastuksen päiden välisen jännitteen vaihe-eroa erilaisilla taajuuksilla. Määrität piirin resonanssitaajuuden tutkimalla, milloin jännitelähteen ja vastuksen jännitteet ovat samassa vaiheessa. esonanssitaajuuden ja kondensaattorin kapasitanssin avulla voit laskea kelan induktanssin. Tämä työ on ns. lomaketyö, josta ei tehdä erillistä työselostusta. Sen sijaan ennakkotehtävien ratkaisut, mittaustulokset ja niiden käsittely sekä pohdinnat kootaan lomakkeeseen, joka palautetaan työn ohjaajalle.
AHTOTAP Teoria. aihtojännite ja - virta aihtovirran suunta vaihtelee ajan funktiona ja vaihtojännitteessä jännite vaihtelee positiivisen ja negatiivisen huippuarvon välillä. Tavallisin on tilanne, jossa jännite ja virta ovat sinimuotoisia ajan funktioita. aihtojännitteen hetkellinen arvo v voidaan tällöin ilmaista muodossa v cos t, jossa on jännitteen positiivinen huippuarvo eli amplitudi ja f on jännitteen kulmataajuus, kun f on jännitteen taajuus. astaavasti vaihtovirran hetkellinen arvo i on i cos t, jossa on virran huippuarvo eli amplitudi. Graafisesti vaihtojännitteitä ja virtoja voidaan esittää kuvan mukaisella osoitindiagrammilla, jossa virtaa tai jännitettä kuvataan vastapäivään kulmanopeudella pyörivällä osoittimella, jonka pituus on tai jännitteen tapauksessa. irran tai jännitteen hetkellinen arvo on tämän osoittimen projektio horisontaaliakselilla. Projektion suuruus on virran tapauksessa yhtälön mukaisesti cos t. Kuva. aihtovirtaa kuvaava osoitindiagrammi.. astus, kela ja kondensaattori vaihtovirtapiirissä Ajatellaan, että yhtälön mukainen vaihtovirta i kulkee vastuksen kautta. Jos vastuksen resistanssi on, sen päiden välisen jännitteen hetkellinen arvo v on v i cos t cos t, 3 jossa vastuksen jännitteen huippuarvoa on merkitty symbolilla. Yhtälöstä 3 huomataan, että vastuksen päiden välinen jännite on samassa vaiheessa kuin virta. Jos yhtälön mukainen vaihtovirta kulkee ideaalisen kelan läpi, jolla ei ole sisäistä resistanssia ja jonka induktanssi on, niin kelan hetkellinen jännite v on
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö- ja magnetismiopin laboratoriotyöt 3 v di dt d dt cos t sin t sin t cos t 90 o. 4 jossa kelan jännitteen huippuarvoa on merkitty symbolilla. Nyt huomataan, että kelassa jännite on 90 edellä virtaa. Määritellään kelan induktiivinen reaktanssi yhtälöllä. 5 Kelan induktiivinen reaktanssi on suure, joka saadaan kelan jännitteen ja virran amplitudien suhteena ja jolla on sama yksikkö /s s/a = /A = kuin resistanssilla. eaktanssin voidaankin ajatella kuvaavan tarkasteltavan komponentin vaihtovirtavastusta. Kelan vaihtovirtavastus riippuu yhtälön 5 mukaisesti taajuudesta siten, että se kasvaa taajuuden kasvaessa. eaktanssin avulla ilmaistuna kelan päiden välinen hetkellinen jännite on o v cos t 90. 6 aihtovirtapiirissä olevan kondensaattorin jännite v on muotoa v q, jossa q on kondensaattorin varauksen hetkellinen arvo ja on kondensaattorin kapasitanssi. dq Koska virta i on määritelmän mukaan i, kondensaattorin varaukseksi saadaan dt q idt cos t dt sin t. Tällöin kondensaattorin hetkellinen jännite v on v sin t sin t cos t 90, 7 jossa kondensaattorin jännitteen huippuarvoa on merkitty symbolilla. Yhtälöstä 8 huomataan, että kondensaattorissa jännite on 90 jäljessä virtaa. Jos määritellään kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi yhtälöllä, 8 kondensaattorin hetkellinen jännite v voidaan ilmaista myös muodossa o v cos t 90. 9 Yhtälöstä 8 nähdään, että myös kondensaattorin reaktanssin yksikkö on s ja että kondensaattorin reaktanssi riippuu taajuudesta si- s As As A ten, että se on suurimmillaan pienillä taajuuksilla. Taulukkoon on koottu vastuksen, kelan ja kondensaattorin virran ja jännitteen huippuarvojen väliset yhtälöt, reaktanssit sekä virran ja jännitteen väliset vaihekulmat. Ku-
4 AHTOTAP vissa a vastus, kela ja kondensaattori on kytketty vaihtovirtalähteeseen. Kuvat b esittävät yhtälön mukaisia vaihtovirtaa ja sitä vastaavia jännitteitä vastuksen, kelan ja kondensaattorin navoissa. Kuvista c löytyvät myös vastaavat osoitindiagrammit. Taulukko. astus, kela ja kondensaattori vaihtovirtapiirissä Komponentti Jännitteen huippuarvo eaktanssi irran ja jännitteen välinen vaihe-ero astus = 0 Kela = = = 90 jännite edellä virtaa Kondensaattori = = / = / -90 jännite jäljessä virtaa Kuva. a astus, kela ja kondensaattori kytkettynä vaihtovirtalähteeseen. b Komponenttien kautta kulkevat virrat ja niiden päiden väliset jännitteet ajan funktiona. c irtoja ja jännitteitä kuvaavat osoitindiagrammit.
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö- ja magnetismiopin laboratoriotyöt 5.3 sarjapiiri sarjapiirissä kela, vastus ja kondensaattori on kytketty kuvan 3 a mukaisesti sarjaan vaihtojännitelähteen kanssa. Tällöin kaikkien komponenttien kautta kulkee sama virta i cos t. astuksen jännite on samassa vaiheessa kuin virta, mutta kelan jännite on 90 edellä ja kondensaattorin jännite 90 jäljessä virtaa. sarjapiirin hetkellinen jännite saadaan selville laskemalla eri komponenttien jännitteet yhteen vaihe huomioiden. Tarkastellaan jännitteiden yhteenlaskua kuvien 3 b ja c osoitindiagrammien avulla. Osoitindiagrammeissa on näkyvissä piirin virtaa kuvaava, kulmanopeudella vastapäivään pyörivä osoitin ajan hetkellä t. Koska vastuksessa jännite on samassa vaiheessa kuin virta, vastuksen jännitettä kuvaava osoitin on yhdensuuntainen virtaa kuvaavan osoittimen kanssa. Kelan induktiivinen jännite on 90 edellä virtaa, joten kelan jännitteen osoitin muodostaa suoran kulman virtaa kuvaavan osoittimen kanssa. Kondensaattorin jännite taas on 90 virtaa jäljessä. Kondensaattorin jännitteen osoitin on siten vastakkaissuuntainen kuin kelan jännitettä kuvaava osoitin. Kuva 3. a -sarjapiiri. Piirin osoitindiagrammi, kun b > ja c <. Osoitindiagrammeista saadaan koko piirin jännitteen amplitudi laskemalla osoittimen pituus, jolle saadaan. sarjapiirin impedanssi Z eli vaihtovirtavastus on piirin jännitteen amplitudin suhde virran amplitudiin. Yllä olevan jännitteen lausekkeen perusteella impedanssiksi saadaan
6 AHTOTAP Z. 0 sarjapiirin virran ja jännitteen väliselle vaihekulmalle saadaan kuvasta 3 tan. Usein todellisen piirissä käytettävän kelan sisäinen resistanssi ei ole häviävän pieni vastuksen resistanssiin verrattuna ja se tulee ottaa huomioon piiriä tarkasteltaessa. Todellisen kelan voidaan ajatella muodostuvan sarjaan kytketyistä vastuksesta ja ideaalisesta kelasta. Kelan resistanssi on ja puhtaasti induktiivisen kelan induktanssi on. Kelan jännitteen huippuarvo on ja se muodostuu resistiivisestä osasta sekä induktiivisesta osasta eli. Tällöin piirin impedanssi Z ja vaihekulma saadaan yhtälöistä Z 3 ja tan. 4.4 esonanssi -sarjapiirissä Yhtälöstä 3 huomataan, että kulmataajuudella 0, jolle pätee 0 0 0 0 0 5 -sarjapiirin impedanssi on pienimmillään, jolloin virran amplitudi saa maksimiarvonsa. Tällä ns. ominaiskulmataajuudella -piirin sanotaan olevan resonanssissa piirin jännitelähteen kanssa. Siksi taajuutta 0 kutsutaan myös piirin resonanssikul-
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö- ja magnetismiopin laboratoriotyöt 7 mataajuudeksi. esonanssikulmataajuudella piirin kondensaattorin jännite on siis yhtä suuri, mutta vastakkaisessa vaiheessa kuin kelan induktiivinen jännite. Tällöin koko piirin jännite on samassa vaiheessa kuin virta. Tämä voidaan havaita tutkimalla piirin jännitelähteen tuottaman jännitteen ja vastuksen päiden välisen jännitteen välistä vaihe-eroa taajuutta muuttelemalla. esonanssitaajuudella nämä jännitteet ovat samassa vaiheessa. 3 Mittaukset ja mittaustulosten käsittely. almistelut ja kytkentä: Mittaa vastuksen resistanssi ja kelan sisäinen resistanssi digitaalisella yleismittarilla ja kirjaa resistanssien arvot lomakkeeseen. Tee lomakkeen kuvan mukainen kytkentä ja tarkastuta se ohjaajalla. alitse ohjaajan kanssa sopivat arvot vaihtovirtageneraattorin taajuudelle f sekä jännitteelle G ja kirjaa ne lomakkeeseen.. Jännitteiden mittaaminen: Mittaa piirin komponenttien päiden väliset jännitteet digitaalisella yleismittarilla. Digitaalinen yleismittari antaa mittaustuloksiksi sinimuotoisten vaihtojännitteiden teholliset arvot. Tehollisen arvo rms ja huippuarvon välillä on yhteys. Koska kaikki mitatut jännitteet ovat teholli- rms sia arvoja, voit käyttää laskuissa huippuarvojen sijaan niitä. 3. nduktanssin, kapasitanssin ja vaihekulman laskeminen: aske kondensaattorin kapasitanssi ja kelan induktanssi ennakkotehtävässä tarkastelemistasi yhtälöistä ja piirin vaihekulma käytetyllä taajuudella yhtälöstä 4 käyttäen edellä saatuja mittaustuloksia. 4. Osoitindiagrammin piirtäminen: Piirrä alla olevan kuvan 4 mukainen osoitindiagrammi. Koska piirin jännitteitä ja virtaa kuvaavat vektorit pyörivät kaikki samalla kulmanopeudella, niiden väliset vaihe-erot säilyvät koko ajan samoina. Niinpä osoitindiagrammin ajanhetki voidaan valita vapaasti. Kuvan 4 diagrammi esittää tilannetta hetkellä, jolloin vastuksen jännite on suurimmillaan. Tällöin vastuksen jännitettä kuvaava osoitin on diagrammin positiivisen vaaka-akselin suuntainen ja vastaavasti kondensaattorin jännite on negatiivisen pystyakselin suuntainen. Koska kaikki mitatut jännitteet ovat tehollisia jännitteitä, voit käyttää diagrammien piirtämisessä niitä huippuarvojen sijaan. a Piirrä diagrammiin ensin oikeassa mittakaavassa ja oikeansuuntaisina osoittimet ja, jotka esittävät mittaamiasi jännitteitä vastuksen ja kondensaattorin päiden välillä. Piirrä myös näiden vektorisumma. b Piirrä tämän jälkeen ympyrä, jonka keskipiste on osoittimen päätepiste ja säde on yhtä suuri kuin mitatun jännitteen suuruus.
8 AHTOTAP c Piirrä myös ympyrä, jonka keskipiste on osoittimen alkupiste eli diagrammin koordinaatiston origo ja säde on käyttämäsi generaattorin jännitteen suuruus G. d Piirrä sitten kelan jännitettä kuvaava osoitin, jonka alkupiste on osoittimen päätepiste ja loppupiste edellä piirrettyjen ympyrän kaarien leikkauspiste. e Piirrä lopuksi generaattorin jännitettä kuvaava osoitin G, jonka alkupiste on diagrammin koordinaatiston origo ja päätepiste samoin ympyrän kaarien leikkauspiste. G + + Kuva 4. -piirin osoitindiagrammin piirtäminen. Näin sinulla on käytössäsi diagrammi, jonka avulla saat selville piirin vaihekulman 5. Jännitteiden tutkiminen oskilloskoopilla: Kytke generaattorin jännite ja vastuksen päiden välinen jännite oskilloskoopin kanaville ja. Säädä näytön asetuksia niin, että voit tarkastella jännitteiden välistä vaihe-eroa. Tutki, miten vaihe-ero käyttäytyy, kun muutat generaattorin piiriin syöttämää taajuutta. Etsi sitten resonanssitaajuus f0 hakemalla tilanne, jossa kanavilla ja näkyvät jännitteet ovat samassa vaiheessa. Määritä myös resonanssitaajuuden virhe f0 ohjaajan neuvojen mukaisesti. aske kelan induktanssi ja sen absoluuttisen virheen yläraja resonanssitaajuuden ja edellä määrittämäsi kondensaattorin kapasitanssin avulla ennakkotehtävän yhtälöistä. Määritä myös induktanssin suhteellisen virheen yläraja. Kokoa lopuksi saamasi tulokset lomakkeen viimeiselle sivulle. Kiinnitä huomiota tulosten esittämistarkkuuteen. Pohdi saamiasi tuloksia ja niiden tarkkuutta.