Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 Kokoavia thtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Kirjoittaan kskiarvoll lausk :n avulla ja ratkaistaan yhtälöstä. π 4 π 4π :4 π 4 a b c b) Kskiarvo on nnn muutosta ja muutoksn jälkn a0 b0 c0 abc0 abc 0. Kskiarvo siis kasvaa kymmnllä. Mdiaani on suuruusjärjstyksssä kskimmäinn luvuista a, b ja c. Kun jokaisn lukuun lisätään 0, lukujn kskinäinn järjstys i muutu. Kskimmäinn on siis sama kuin aimmin, johon on lisätty 0, li myös mdiaani kasvaa 0:llä.
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08. a) Valitaan luokiksi 60 64 cm, 6 69 cm, 70 74 cm, 7 79 cm ja 80 84 cm. Lasktaan, kuinka monta pituutta kuhunkin luokkaan kuuluu ja kirjoittaan luokkin frkvnssit taulukkomuotoon. luokka frkvnssi 60 64 6 69 9 70 74 8 7 79 7 80 84 7 Lasktaan luokkin summafrkvnssit laskmalla yhtn luokan ja sitä dltävin luokkin frkvnssit. luokka frkvnssi summafrkvnssi 60 64 6 69 9 4 70 74 8 7 79 7 9 80 84 7 6 b) Piirrtään krtymäkuvaaja mrkitsmällä summafrkvnssi luokan todllisn ylärajan kohdall ja yhdistämällä pistt. Luokkin todllist ylärajat ovat 64,; 69,; 74,; 79, ja 84, cm. Ensimmäisn luokan todllisn alarajan 9, kohdall tul frkvnssi 0.
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 Mdiaanipituudn ylittää puolt oppilaista li 8 ja alittaa myös 8 oppilasta. Kuvasta mdiaani arvioidaan tsimällä s pituus, jonka kohdalla krtymäkuvaaja likkaa vaakatason 8; tämä on noin 7 cm. Oppilaita on yhtnsä 6, jotn mdiaanipituus on pituusjärjstyksssä kahdn kskimmäisn pituudn kskiarvo. Luokan pituusjärjstyksssä 8. ja 9. oppilaan pituudt ovat 70 ja 7 cm, jotn ainiston todllinn mdiaani on 70, cm. Krtymäkuvaajasta arvioitu mdiaani on siis, cm suurmpi kuin ainiston todllinn mdiaani.
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08. Hahmotllaan tilanntta kuvan avulla: Niidn oppilaidn osuus, jotka pitävät suklaasta tai ovat musikaalisia, on 60 % + 70 % 0 % = 80 %. Niinpä niidn opisklijoidn osuus, jotka ivät pidä suklaasta ivätkä ol musikaalisia, on 00 % 80 % = 0 %. Todnnäköisyys, ttä satunnaissti valittu koulun oppilas i pidä suklaasta ikä ol musikaalinn, on sama kuin näidn osuus kaikista oppilaista li 0 % = 0,0. TAI Hahmotllaan tilanntta kuvan avulla: Niidn oppilaidn osuus, jotka pitävät suklaasta tai ovat musikaalisia, on 0 % + 0 % + 0 % = 80 %. Niinpä niidn opisklijoidn osuus, jotka ivät pidä suklaasta ivätkä ol musikaalisia, on 00 % 80 % = 0 %. Todnnäköisyys, ttä satunnaissti valittu koulun oppilas i pidä suklaasta ikä ol musikaalinn, on sama kuin näidn osuus kaikista oppilaista li 0 % = 0,0
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 4. a) b) c) 0! 098 7 6 4 90 8! 87 6 4!!!! 8! 876! 87 6!!! 6 6! 64! 4 4! 6 4! 4!! d) 6
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08. Kaksinumroisssa positiivisssa kokonaisluvussa nsimmäinn numro on jokin luvuista,,, 9, ja toinn numro on jokin luvuista 0,,, 9 ja jokainn näistä numroista on yhtä todnnäköinn. Todnnäköisyys, ttä nsimmäinn numro on tai, on siis P(nsimmäinn numro on tai ) 0. 9 0 9 9 Vastaavasti P(toinn numro on tai ). 9 0 Lisäksi todnnäköisyys, ttä skä nsimmäinn ttä toinn numro on tai, on P(nsimmäinn on tai ja toinn on tai ). 9 0 4 Niinpä P(ainakin toinn on tai ) 7. 9 4 4 Muita tapoja: P(ainakin toinn on tai ) P(kumpikaan i ol tai ) 7 8 8 7. 9 0 4 4 Sama tulos saadaan myös luttlmalla sopivat luvut. Kaksinumroisia positiivisia kokonaislukuja ovat luvut 0,,, 99, joita on 90. N luvut, joissa ainakin toinn numroista on tai, ovat 0,,,, 4,, 6, 7,8, 9 (0 kpl) 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9 (0 kpl),, 4, 4,,, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9 (7 = 4 kpl) Kysisiä lukuja on yhtnsä 4 kappaltta. Niinpä kysytty todnnäköisyys on 4 7. 90 4
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 6. Käyttään kannattavuudn mittarina odotusarvoa. Lasktaan odotusarvo kummassakin tilantssa: siinä, jossa kilpailija vastaan nsin hlppoon kysymyksn ja myös siinä, jossa hän vastaa nsin vaikaan kysymyksn. Olkoon X = kilpailijan voittama rahasumma, kun hän vastaa nsin hlppoon kysymyksn. Muodosttaan satunnaismuuttujan X jakauma ja lasktaan sn odotusarvo. (uroa) P(X = ) 0 0, (vastaa väärin hlppoon) 00 0, 0,8 = 0,4 (vastaa oikin hlppoon ja väärin vaikaan 600 0, 0, = 0, (vastaa oikin molmpiin) Nyt E(X) = 0, 0 + 0,4 00 + 0, 600 = 40. Olkoon sittn Y = kilpailijan voittama rahasumma, kun hän vastaa nsin vaikaan kysymyksn. Muodosttaan satunnaismuuttujan Y jakauma ja lasktaan sn odotusarvo. y (uroa) P(Y = y) 0 0,8 (vastaa väärin vaikaan) 400 0, 0, = 0, (vastaa oikin vaikaan ja väärin hlppoon 600 0, 0, = 0, (vastaa oikin molmpiin) Nyt E(Y) = 0,8 0 + 0, 400 + 0, 600 = 00. Koska satunnaismuuttujan Y odotusarvo on suurmpi, kilpailijan kannattaa siis vastata nsin vaikaan kysymyksn.
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 7. C on lopullinn voittaja, jos ) C voittaa suraavat kolm pliä, tai ) suraavista kolmsta plistä C voittaa kaksi ja A yhdn, ja lisäksi sitsmännn plin voittaa C. Tapahtumat ja ovat rillist. Koska plaajat ovat yhtä taitavia, jokaislla on sama todnnäköisyys voittaa pli: P(A voittaa plin) P(B voittaa plin) P(C voittaa plin), ja ri plikirroksilla voitot ivät riipu toisistaan. Tapahtuman todnnäköisyys on krtolaskusäännön mukaan. Tapahtuma koostuu rillisistä tapahtumista, ACCC, CACC ja CCAC joista jokaisn todnnäköisyys on 4. Niinpä kysytty todnnäköisyys on 4 P(C on lopullinn voittaja) 0,074074... 0,074. 7
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 8. Funktio on f tihysfunktio, jos ) sn arvot ovat i-ngativisia ja ) sn kuvaajan ja -akslin väliin jäävän alun pinta-ala on. ) Funktion lauskkista nähdään, ttä i-ngatiivisuus totutuu silloin kun a 0. ) Pinta-alaa muodostuu vain välillä 0 <. Etsitään sllainn ingatiivinn luku a, ttä 0 f ( )d. 0 0 f ( )d d a d ln 0 ln ln) / / a a a a a a 0 0 Koska luku täyttää hdon a 0, funktio f on tihysfunktio silloin kun a. Krtymäfunktio F saadaan intgroimalla tihysfunktiota f ja käyttämällä intgroimisvakioidn määräämisn titoja F(0) = 0 ja F() = skä sitä, ttä F on jatkuva kaikkialla., kun 0 0, kun 0, kun 0 Intgroidaan funktio f( ), kun, kun 0, muulloin 0, kun osissa. < 0: F( ) 0d C 0 < < : F( ) d D < < : F( ) d lne > : F ( ) 0d G
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 Koska F(0) = 0 ja funktio F on jatkuva, täytyy olla lim F( ) lim F( ) 0: 0 0 lim F( ) lim C C, siis C = 0 0 0 F D D, siis D = 0. lim ( ) lim ( ) 0 0 Koska F() = ja funktio F on jatkuva, täytyy olla lim F( ) lim F( ) : lim F( ) lim ( ln E) ln E E, mistä E lim F( ) li m( G) G, siis G =. Tarkisttaan vilä funktion F arvo ja jatkuvuus kohdassa = kun C = 0, D = 0, E ja G = : lim F( ) lim( ) lim F( ) lim ( ln ) ln 0 Siis krtymäfunktio on 0, kun 0,, kun 0, F( ) ln, kun,, kun. Kysytty todnnäköisyys on krtymäfunktion avulla laskttuna P( X ) P( X ) F() F( ) ln 0 ln 0,8467... 0,8.
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 9. Kun yksi pallo on siirrtty laatikosta A laatikkoon B, tapahtuman laatikosta B saadaan valkoinn pallo todnnäköisyys riippuu siitä, minkä värinn pallo siirrttiin. Jataan tapahtuma laatikosta B saadaan valkoinn pallo siirrtyn pallon värin mukaan kahtn rillisn osaan: : siirrtään valkoinn pallo ja saadaan valkoinn pallo, skä : siirrtään musta pallo ja saadaan valkoinn pallo. Lasktaan kummankin todnnäköisyys. P(siirrtään valkoinn pallo ja saadaan valkoinn) 8 8 P(siirrtään musta pallo ja saadaan valkoinn) 4 8 Koska tapahtumat ovat rillisiä, kysytty todnnäköisyys on 0,7 0,8. 8 40 0. Sllaisia korttja, joissa ainakin yksi puoli on musta, on 40 + 0 = 90. Koska nosttulla kortilla on ainakin yksi musta puoli, on nostttu yksi näistä 90:stä. Jokaisn kortin todnnäköisyys tulla nosttuksi on sama. Niinpä todnnäköisyys, ttä nosttun kortin toinnkin puoli on musta, on todnnäköisyys, ttä nosttuksi tuli yksi 40:stä kokonaan mustasta kortista li 40 4 0,4444... 0,44. 90 9 Toinn tapa: P(molmmat puolt mustia toinn puoli on musta) P(molmmat puolt on mustia ja toinn puoli on musta) P(toinn puoli on musta) P(molmmat puolt on mustia) P(toinn puoli on musta) 40 0 40 4 0,4444... 0,44. 90 90 9 0
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 APUVÄLINEET SALLITTU. a) Kokn tki kaikkiaan 7 + 40 + = 0 osallistujaa. Koska jokaisssa ryhmässä arvosanojn summa on arvosanojn kskiarvo krrottuna ryhmän koolla, saadaan kaikkin osallistunidn kskiarvoksi 7 7,8 40 8, 7,97 7,98980... 7,99. 0 b) Lasktaan arvosanojn kskiarvo taulukkolaskntaohjlmalla tai matmatiikkaohjlmalla: Kskiarvo on 7,7894 7,8. Lasktaan kskihajonta matmatiikkaohjlmalla: Kskihajonta on,466,46.. a) Kirjoittaan tidot taulukkolaskntaohjlmaan, järjsttään tidot osuudn mukaan suuruusjärjstyksn ja piirrtään ympyräkuvio. b) Piirrtään pylväskuvio. Pylväskuviota vartn titoja i ol tarpn järjstää suuruusjärjstyksn, vaan luokka muu voi olla viimisnä.
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08. a) Tilanntta voidaan ajatlla toistokokna, jossa toistoja li hnkilöitä on 0 ja onnistumisn li tapahtuman hnkilö on puolun kannattaja todnnäköisyys jokaislla toistolla on % = 0,. Onnistumistn li kannattajin lukumäärä noudattaa binomijakaumaa Bin(0; 0,). Ohjlman avulla saadaan P(kannattajia on ) = 0,04909 0,044. Sama tulos saadaan, kun kysytty todnnäköisyys lasktaan toistokokn kaavalla: 0 0 P(kannattajia on ) 0, 0, 0, 0,77 0,04909... 0,044. b) Mrkitään kannattajin lukumäärää 0 hnkilön otoksssa satunnaismuuttujalla X. Kutn a-kohdassa, koska X ~ Bin(0, ), ohjlman avulla saadaan P(X 8) = 0,000 0,000. Toinn tapa: Toistokokn kaavaa käyttän saadaan rillistn tapahtumin yhtnlaskusäännön avulla P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 0) 0 8 0 9 0 8 0 0, 0,77 0, 0,77 0, 0,77 8 9 0 8 9 8 40, 0,77 00, 0,77 0, 0, 000 c) Ohjlman avulla saadaan P(X ) = 0,9 0,9. Toinn tapa: Toistokokn kaavaa käyttän saadaan rillistn tapahtumin yhtnlaskusäännön avulla P(X ) = P(X = 0) + P(X = ) 0 0 0 0 9 0, 0,77 0, 0,77 0 0 9 0,77 0 0,0,77 0,9. d) Ohjlman avulla saadaan P(X ) = 0,967 0,9. Toinn tapa: P(X ) = P(X = 0) = 0,77 0 = 0,967 0,9.
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 4. Kahtn ri joukkusn jäsnt voidaan valita 7 4 4 40 ri tavalla. Kun joukkut on valittu, lpäämään jäävä hnkilö on myös määrittty. Ajatllaan rantalntopallokntän puoliskoja nimillä A ja B. Kun nsin valitaan joukku puolll A kaikkin 7 hnkilön joukosta, ja toinn joukku puolll B loppujn 4:n joukosta, niin toinn tapa saada nämä täsmälln samat joukkut toisiaan vastaan on valita nsin joukku puolll A ja joukku puolll B. Näin olln rilaistn joukkuparin lukumäärässä 40 samat kaksi joukkutta siintyvät parina kaksi krtaa. Siis rilaisia kahdn joukkun ja yhdn lpäävän plaajan mahdollisuuksia on 40 70. Jos yksi pli kstää puoli tuntia, 70 pliin mn tuntia; niinpä plaajat ivät hdi käydä kaikkia vaihtohtoja läpi vuorokaudn li 4 tunnin aikana.. a) Plaaja voittaa uroa todnnäköisyydllä ja häviää yhdn uron 7 todnnäköisyydllä 6. Voiton odotusarvo on siis 7 6 ( ) 0,0707... 0,0 uroa. 7 7 7 b) Plaaja voittaa uroa todnnäköisyydllä ja häviää yhdn uron 7 4 todnnäköisyydllä. Voiton odotusarvo on siis 7 7 4 ( ) uroa. 7 7 7 c) Plaaja voittaa uron todnnäköisyydllä 8 ja häviää yhdn uron 7 8 9 todnnäköisyydllä. Voiton odotusarvo on siis 7 7 8 9 ( ) uroa. 7 7 7
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 6. Olkoon n turistin lukumäärä. Tapahtuman A = ainakin yksi turisti kuuluu vriryhmään O vastatapahtuma on A = yksikään ryhmän turistista i kuulu vriryhmään O. Tämän todnnäköisyys on n n P A ( 0,0) 0, 70, jotn P(A) = 0,70 n. Etsitään pinin luku n, joll P(A) > 99 = 0,99 li joll 0,70 n > 0,99, mistä saadaan päyhtälö 0,70 n < 0,00. Ratkaistaan nsin yhtälö 0,70 n = 0,00 logaritmin avulla: n 0,70 0,00 n log0,7 0,00 n 4,8... Mitä usampia turistja ryhmässä on, sitä todnnäköismpää on, ttä histä ainakin yksi kuuluu vriryhmään O. Kun turistja on tai nmmän, todnnäköisyys on yli 99 promilla.
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 7. a) Maalitaulun säd on 60 0 (cm), jotn sn pinta-ala on π0 900π (cm ). 900ππ0 Kymmnn pistn alun pinta-ala on π, jotn 4 todnnäköisyys, ttä hitto osuu 0 pistn alusn, on π. 900π 6 Tapahtuman viidstä hitosta ainakin yksi osuu 0 pistn alusn vastatapahtuma on yksikään viidstä hitosta i osu 0 pistn alusn, jonka todnnäköisyys on 869 0,4747... Todnnäköisyys, ttä 6 6 6046676 viidstä hitosta ainakin yksi osuu 0 pistn alusn on siis 0,4747 = 0,6 0,. b) Todnnäköisyys, ttä hitto osuus 00 pistn ympyrään, on π 0. Tilanntta voidaan ajatlla toistokokna, jossa toistoja li 900π 9 hittoja on viisi ja onnistumisn todnnäköisyys on. 9 Onnistumistn li 00 pistn ympyrään osumistn lukumäärä noudattaa binomijakaumaa Bin(, ). 9 Todnnäköisyys, ttä onnistumisia tul kolm, saadaan ohjlman avulla tai laskmalla 640 0, 0088... 0, 0. 9 9 9049 c) Kahdlla hitolla saadaan yhtnsä 00 pistttä kolmlla ri yhdistlmällä: 80 + 0, 70 + 0 ja 60 + 40. Jokainn yhdistlmä voidaan saada kahdlla ri tavalla, nsin suurmpi ja sittn pinmpi pistmäärä tai toisinpäin. Pistmäärin 60, 70 ja 80 aluilla on sama pinta-ala π 0 π 0 00π, jotn näillä pistmäärillä on sama todnnäköisyys 00π. 900π 9
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 Siis P(60) P(70) P(80). 9 Pistmäärin 0, 0 ja 40 aluilla on sama pinta-ala kuin pistmäärällä 0, joka laskttiin jo kohdassa a. Näidn pistmäärin todnnäköisyydt ovat siis P(0) P(0) P(40) P(0). 6 Erillistn tapahtumin yhtnlaskusäännöllä saadaan P(kahdlla hitolla 00) = P(80 ja 0) + P(0 ja 80) + P(70 ja 0) + P(0 ja 70) + P(60 ja 40) + P(40 ja 60) 9 6 6 9 9 6 6 9 9 6 6 9 0,099... 0,09. 4
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 8. a) Kaikkia alkistapauksia vastaa suorakulmio, jossa ja y. Tämän suorakulmion pinta-ala on = 4. Tapahtumaa " y " vastaa s käyrän y osa, joka jää suorakulmion alull. Käyrän pinta-ala on nolla, jotn tapahtuman on nolla. y todnnäköisyys b) Tapahtumaa A = " y " vastaa suorakulmion s osa, joka jää käyrän y alapuolll. Slvittään nsin, missä käyrä y likkaa nliön ylärunan li suoran y = : : ln Haluttu alu muodostuu siis suorakulmiosta välillä ln skä käyrin y ja y = väliin jäävästä alusta välillä ln.
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 Sn sijaan tapahtuman A vastatapahtuma A muodostuu käyrin y ja y = väliin jäävästä alusta välillä ln. Koska s saadaan laskttua krralla, lasktaan tapahtumaa A vastaavan alun pinta-ala. ln ln ln ln ln / d d ( )d Näin olln 4 ln P( A) ln 0,6. 4 4
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 9. Mrkitään = hnkilön A saapumisaika ja y = hnkilön B saapumisaika minuuttina kllo 9 jälkn. Alkistapauksia ovat siis lukuparit (, y), joissa 0 60 ja 0 y 60. Kaikkia alkistapauksia kuvaa nliö, jonka sivun pituus on 60 ja pinta-ala 60 = 600. Tapahtuman A ja B ovat kahvilassa samaan aikaan vastatapahtuma on A ja B ivät ol kahvilassa samaan aikaan. Tämä tarkoittaa, ttä A saapuu yli minuuttia myöhmmin kuin B tai vastaavasti B saapuu yli minuuttia myöhmmin kuin A; siis > y + tai y > +. Vastatapahtuman kannalta suotuisa osa kuviota koostuu kahdsta kolmiosta, joissa toisssa > y + li y < ja toisssa y > +. Kummankin kolmion kanta on 4 ja korkus samoin 4, jotn vastatapahtuman todnnäköisyys on 44 9 P(A ja B ivät ol kahvilassa samaan aikaan). 600 6 Niinpä kysytty todnnäköisyys on 9 7 P(A ja B ovat kahvilassa samaan aikaan). 6 6
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 0. Slvittään nsin s kahvimäärä, jolla kahvin pinta on 0,7 cm:n päässä mukin runasta. Muki on katkaistun ympyräkartion muotoinn. Katkaistun kartion tilavuus saadaan vähntämällä kokonaisn kartion tilavuudsta katkaistun osan tilavuus. Hahmotllaan siis poikkilikkauskuva tilantsta ja täydnntään kartio kokonaisksi. Mrkitään mukin sädttä kahvin pinnan korkudlla kirjaimlla r, skä katkaistun osan korkutta kirjaimlla. Nyt kahvin tilavuus kuutiomillilitroina on π r (9 ) π. Ratkaistaan r ja. Kuvan kolmiot ABC ja ADE ovat kk-lausn nojalla yhdnmuotoist, sillä niissä on molmmissa suora kulma ja yhtinn kulma A. Vastinosin suhtista saadaan yhtälö 00, josta = 0 (mm). Samoin yhdnmuotoistn kolmioidn avulla voidaan ratkaista r. r 9 0 0 r 4, (mm) Kahvin tilavuus, kun pinta yltää 7 mm päähän runasta, on siis π 4, (9 0) π 0 498,49... mm 4,9... cm. Kahviautomaatin laskmaa kahvimäärää (kuutiosnttimtrinä) kuvaa satunnaismuuttuja X ~ N(μ, ). Thtävänä on määrätä odotusarvo μ sitn, ttä P(X > 4,9 ) = 0,00, li ttä P(X 4,9 ) = 0,99. Ratkaistaan ohjlman avulla numrissti yhtälö Normaalijakauma(,, 4,9 ) = 0,99, jolloin ratkaisuksi saadaan =,4 cm. Kskiarvoksi tul siis säätää noin cm.