Käytännön geodesia Maa

Transkriptio

1 Käytännön geodesia Maa IV luokan takymetrijono mittaus Jyväskylä II luokan verkko IV luokka GPS III luokan verkko IV luokan takymetrijono mittaus Säynätsalo IV luokka GPS IV luokka GPS Jyväskylän kaupungin runkoverkon uudelleenmittauksen 1999 geometria (Maa-6227 Geodesian maastoharjoitukset) Martin Vermeer 12 helmikuuta 2015

2

3 Kurssiesite Laajuus 3 op Opetusjakso III Osaamistavoitteet Kurssin suorittamisen jälkeen opiskelija osaa käyttää GPS käytännön runkomittaustyössä esim kuntien mittaustoimessa, sekä oivaltaa miten GPS:n antamat koordinaatit ja korkeudet eroavat perinteisistä koordinaateista ja korkeuksista Osaa suunnittella erityyppisiä mittauksia Tuntee niiden havaintoyhtälöt, osaa linearisoida ne, osaa arvioida saavutettava tarkkuus Osaa muunnoskaavojen ja -parametrien laskenta; keskistysmittaukset, karttaprojektiot; ymmärtää rekognosoinnin ja pistekorttien merkitystä Osaa selittää monikulmio- ja korkeusjonojen ja jonoverkkojen tarkkuuskäyttäytyminen ja sen perusteella suunnittella niitä Ymmärtää mittaustarkkuusluokat ja verkkohierarkia ja on tutustunut laajemmin pienimmän neliösumman menetelmän käyttöön verkkotasoituksessa Ymmärtää datumin ja datuminmuunnoksen käsite ja merkitys kaksi- ja kolmiulotteisesti; paikalliset ja geosentriset datumit ja koordinaattijärjestelmät On valmis osallistumaan käytännön maastotyöhön Sisältö Taso-, korkeus- ja avaruusrunkoverkkojen suunnittelu, mittaus ja laskenta 2D+1D ja 3D -lähestymistapa Havaintoyhtälöiden rakentaminen pienimmän neliösumman verkkotasoitusta varten Mittausten tarkkuus ja tarkkuusluokittelu Tilastollinen testaus Koordinaatti- ja vertausjärjestelmät, vertausellipsoidi, datumit ja datum-muunnokset GPS-verkkojen laskenta ja tarkkuus Erityyppisten mittausten ja -verkkojen yhteiskäyttö ja integrointi Kalibrointi Esitiedot Maa-6211/214 tai Maa Korvaavuudet Korvaa opintojakson Maa-6222 Kohderyhmä Suoritustavat Tentti ja harjoitukset, josta yksi on Metsähovin retki Työmäärä toteutustavoittain Luennot 8 2 t = 16 t Materiaalin itsenäinen opiskelu, tenttivalmistelu 24 t Harjoitustyö, itsenäinen työskentely = 36 t Metsähovi 4 t Yhteensä 80 t Arvostelu Tentin arvosana on kokonaissuorituksen arvosana, 1-5 Oppimateriaalit Luentomoniste Taustamateriaalina Blachut, Chrzanowski, Saastamoinen: Urban Surveying and Mapping; Cooper: Control Surveys in Civil Engineering Opetuskieli Suomi

4 ii Kurssin henkilökunta ja yhteystiedot Martin Vermeer, huone M309 Vastaanottoajat CEFR-taso Lisätietoja

5 Sisältö iii Sisältö 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen 1 11 Linearisointi Skalaaritapaus Vektoritapaus Havaintoyhtälöiden linearisointi 4 12 Varianssien kasautumislaki 5 13 Geodeettinen päätehtävä 6 2 Datumit Yksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kompleksinen esitystapa Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) Kolmulotteinen datummuunnos (2) 17 3 Koordinaattijärjestelmät Yleistä Suorakulmaiset geosentriset koordinaatit Vertausellipsoidi WGS84-vertausjärjestelmä Toposentrinen koordinaattijärjestelmä Geodeettinen datum Geodeettisten datumien välinen muunnos Suuntakorjaus paikallisesta horisontista vertausellipsoidiin Ellipsoidisten normaalien erisuuntaisuus Pituuskorjaus 31 4 Keskistykset, asematasoitus Vaakakeskistys Korkeuskeskistys GPS-keskistys Vaakakulmien asematasoitus Kulmamuunnos Jäännösvirheet ja vapausasteet Asematasoituksen laskentataulukko 38 5 Vaaitus Vaaitusrefraktio Vaaituksen satunnaiset virheet Vaaituksen systemaattiset virheet Vaaituksen karkeat virheet Yksittäisen vaaitusjonon laskeminen 45 6 Korkeuden mittaus ja käsittely Refraktiokerroin 49

6 iv Sisältö 62 Pystykulma Trigonometrinen korkeudenmittaus Periaate, virhepropagaatio Trigonometrinen vaaitus Refraktion ja Maan kaarevuuden vaikutus Vastakkaiset yht aikaiset mittaukset xyh -jonomittaus, tarkka trigo Mittatanko 56 7 Monikulmiojonon laskenta Suljettu monikulmiojono Alku- ja loppuliitossuunnan laskeminen Suuntien tasoitus Koordinaattien tasoitus Laskentakaavio Huomautuksia Avoin monikulmiojono Lähtösuunta Jonon laskenta 65 8 Ehtoyhtälöiden tasoitus Teoria Esimerkki: kolmioehto Monikulmiojonotasoitus ehtoyhtälötasoituksena Ilman painotusta Painotuksen kera Jonon laskenta Painokertoimien valinnasta Realistiset painoluvut Relatiivinen pistekeskivirhe, loppupistekeskivirhe Karkeiden virheiden löytäminen Sulkuvirheiden testaus Tasoitetun pisteen keskivirhe 74 9 Kriteerivarianssit Esimerkki: jono Verkon varianssi-kovarianssimatriisi Verkon kriteerimatriisi Varianssi- ja kriteerimatriisin vertailu Pienimmän neliösumman tasoitus Teoreettinen tausta Pienimmän neliösumman ratkaisu Harhattomuus Jäännösvirheiden varianssi Vinoetäisyys avaruudessa Atsimutimittaus Zeniittikulmamittaus Käytännön esimerkki Tasoituslaskun variantit ja sovellukset Pakkoehtojen käyttö ratkaisun kiinnittamiseksi Ehto- ja havaintoyhtälöiden välinen yhteys 92

7 Sisältö v 1121 Testaussuureen laskenta Vaaitus ehtoyhtälöiden esimerkkinä Esimerkki: vaaitusverkko Helmert-muunnosparametrien estimointi Vapaa asemapiste Vapaan asemapisteen laskuesimerkki Helmert-tasomuunnos kahdesta tunnetusta pisteestä Helmert-parametrien virheiden kasautuminen GPS-mittaus ja laskenta Yleistä Rekognosointi Vektoreiden mittaus Vektoreiden määrä Verkon geometria Mittausten kesto ja aikataulu Ratatiedot Antennit ja pystytys Havaintogeometria, havainto-yhtälöt Tuntemattomien varianssimatriisi ja varianssit Esimerkki: atsimutisymmetrinen geometria Erotushavaintojen havaintoyhtälöt Vektorimittaukset Geodeettiset mittaukset ja laskennat Runkkoverkkojen hierarkia ja tarkkuusluokitus Valtakunnalliset runkoverkot Alemman luokan runkoverkot Perinteisiä ja satelliittimittauksia kkj -järjestelmän määritys Korkeusjärjestelmät ja geoidin rooli Muunnokset eri järjestelmien välillä Maastomittaus käytännössä Geodesian laboratorion maastomittaukset Maastomittauksessa käytetyt tekniikat Staattinen GPS-mittaus Digitaalinen tarkkavaaitus Trigonometrinen vaaitus: tarkka trigo Monikulmiojonomittaus Case: Jyväskylän maastomittaus 130

8

9 1 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen 11 Linearisointi Geodesiassa, kuten monessa muussakin tieteissä, on usein olemassa kahden suuren väliset yhteydet jotka käyttäytyvät epälineaarisesti Esimerkit tästä ovat havaintosuureiden ja tuntemattomien välinen yhteys, tai kahden eri koordinaattijärjestelmän koordinaattien välinen yhteys Kuitenkin monet teoriat, kuten esim pienimmän neliösumman (PNS) tasoitusmenetelmä, perustuvat lineaarisiin kaavoihin, joiden matematiikka on huomattavasti yksinkertaisempaa Myös virheiden (varianssien) kasautumislaki pätee vain lineaarisille riippuvuussuhteille suureiden välillä Käytännössä usein muodollisesti epälineaarinen yhteys, esim pistekoordinaatin ja pisteeseen mitatun suunnan välillä, on melkein lineaarinen pisteen sijainnin epävarmuusalueen sisällä Onhan mittaustarkkuus geodesiassa varsin suuri: pisteen sijainnin epävarmuus voi olla senttimetrien luokkaa kun pisteiden välinen etäisyys voi olla satoja metrejä tai kilometrejä Silloin voidaan tutkia, alkuperäisten suureiden sijasta, yhteyttä niiden pienten erotussuureiden välillä joka on lähestulkoon lineaarinen Asia näytetään Taylor-sarjakehitelmän avulla 111 Skalaaritapaus Yleensä jos on kaksi suurta, jonka välinen on funktionaalinen yhteys: y = f (x), voidaan linearisoida valitsemalla likiarvo x 0 ja kehittämällä funktio sarjakehitelmään (Taylorsarjaan) likiarvon lähistöllä Saadaan: y = f (x 0 ) + df dx (x x 0 ) + x=x0 eli y y 0 a (x x 0 ), (11) jossa y 0 f (x 0 ) ja a = df dx Tätä voidaan kirjoittaa muotoon x=x0 y = a x mitä usein lyhennetään seuraavan muotoon y = ax, kun vain muistetaan että x, y ovat linearisoidut (siis: x 0, y 0 suhteen lasketut erotus-)arvot

10 2 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen y Linearisointiväli y = f(x) y = y 0 + a (x x 0 ) y 0 x x 0 Kuva 11: Yksiulotteinen kuvaus ja linearisointi 112 Vektoritapaus Jos on kaksi vektorisuurta, x = [ x 1 x 2 x n ] T R n ja y = [ y 1 y 2 y m ] T R m, jonka välillä on funktionaalinen yhteys eli y 1 y 2 y m = y = F (x) = F (x 1, x 2,, x n ), F 1 (x) F 2 (x) F m (x) = F 1 (x 1, x 2,, x n ) F 2 (x 1, x 2,, x n ) F m (x 1, x 2,, x n ) [ tilanne mutkistuu Tässäkin tapauksessa voidaan valita likiarvovektori x 0 = ja vastaava likiarvovektori y 0 F (x 0 ), jonka jälkeen taas y = y 0 + F (x 1, x 2,, x n ) ( ) x 1 x 1 x (0) 1 x=x 0 + F (x 1, x 2,, x n ) ( ) x n xn x (0) n, x=x 0 + F (x 1, x 2,, x n ) x 2, x (0) 1 x (0) 2 x (0) n ( ) x 2 x (0) 2 + x=x 0 eli y i = y (0) i + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x 1 x 1 x (0) 1 + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x=x 0 x 2 x 2 x (0) 2 + x=x 0 + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x n xn x (0) n +, i = 1,, m x=x 0 ] T, Tässä kaavassa on m eri riviä, ja jokaisella rivillä on n eri (lineaarista) termiä Tämä yhtälöryhmän yhteenvedoksi kirjoitetaan seuraava matriisiyhtälö: y = y 0 + A (x x 0 ) +,

11 11 Linearisointi 3 x 2 F : R 2 R 2 y 2 x 1 y 1 Kuva 12: Kaksiulotteinen kuvaus jossa matriisi A on F 1 F 1 F 1 x 1 x 2 x n F 2 F 2 F 2 A = x 1 x 2 x n F m F m F m x 1 x 2 x n Tämä matriisi on kahden abstraktisen vektoriavaruuden R n ja R m välisen vektorikuvauksen F : R n R m ns Jakobin 1 matriisi Matriisi kuvaa paikallisesti, siis pisteen x = x 0 lähistöllä, millä tavalla pienet häiriöt x-vektorissa kulkevat y-vektoriin: y y y 0 A (x x 0 ) = A x, jos määritetään x = x x 0 ja y = y y 0 Siis erotussuureiden x, y välillä kuvaus on paikallisesti lineaarinen Tämä on ns linearisointi Yleisessä tapauksessa m n Erikoisessa tapauksessa, että m = n, voidaan ajatella, että kuvauksella F olisi käänteiskuvaus G = F 1, jolla x = G (y) Paikallisesti, likipisteen x 0 ympäristössä, voidaan tästä sanoa: Jos matriisi A on singulaarinen, ts sen determinantti det (A) = 0, merkitsee tämä, että kuvauksella F ei ole olemassa paikallisesti (siis pisteessä x 0, ja mahdollisesti ei myöskään sen sopivan pienellä lähialueella) käänteistä kuvausta Tämä merkitsee taas, että voi olla useita (itse asiassa äärettömän useita) eri arvoa x joilla on kaikki sama kuva y = F (x) Toisaalta jos det A 0, sellainen käänteiskuvaus on (sopivan pienikokoisella likipisteen x 0 lähistöllä) olemassa Tulkinta det A kuvaa, miten tilavuudet kuvautuvat F -kuvauksen alla: esim jos n = m = 2, se kuvaa, miten pikkuneliön pinta-ala R n -avaruudessa kuvautuu parallellogrammin pinta-alaan R m - avaruuteen, eli niiden kahden pinta-alan suhde Jos n = m = 3, se kuvaa vastaavasti suhde 1 Carl Gustav Jacob Jacobi, , juutalaissaksalainen matemaatikko, Königsbergin yliopisto

12 4 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen R n -avaruuden kuution ja sen R m -avaruuden parallellepipeedin tilavuuksien välillä Jos suhde on nolla, niin ilmeisesti neliö litistyy viivapätkäksi ja kuutio taso-parallellogrammiksi, ja kuvaus on ilmeisen singulaarinen 113 Havaintoyhtälöiden linearisointi Käsitellään esimerkkina funktionaalinen yhteys tuntemattomien x ja havaintosuureiden l välillä, joka on todellisessa havaintogeometriassa harvoin lineaarinen Joudutaan linearisoimaan: olkoon ei-lineaariset havaintoyhtälöt l + v = F ( x), (12) missä F ( ) on moniulotteinen, yleensä ei-lineaarinen havaintofunktio Mallit linearisoidaan kehittämällä ne taas Taylor-sarjaan karkeasti arvioitujen ratkaisukoordinaattien ( likiarvojen ) ympärillä, ja käyttämällä sarjasta vain ensimmäisen asteen termit Mikäli käytetyt likikoordinaatit eivät ole riittävän hyviä, joudutaan laskemaan ratkaisu iteratiivisesti Valitaan likiarvot x 0 ja yhteensopivasti l 0 joille siis pätee: l 0 = F (x 0 ) (13) eli (huomaa, että tuntemattomien määrä on m ja havaintosuureiden määrä n): ( ) l (0) i = F i x (0) 1, x (0) 2, x (0) m 1, x (0) m, i = 1 n Tämä vähennetään kaavasta (12) ja tehdään sarjakehitelmä: ( l i l (0) i ) ( ) + v i = F i ( x 1, x 2, x m ) F i x (0) 1, x (0) 2, x (0) m m j=1 F i x j xj =x (0) j ( ) x j x (0) j Kutsutaan A ij = F i x j xj =x (0) j ns second order design matrixin 2 alkiot Itse matriisi on silloin F 1 F 1 F 1 x 1 x 2 x m F 2 F 2 F 2 A = x 1 x 2 x m F n F n F n x 1 x 2 x m 2 Suom (toisen kertaluvun) rakennematriisi, i = 1 n, j = 1 m, (14) x1 =x (0) 1,x 2=x (0) 2,xm=x(0) m

13 12 Varianssien kasautumislaki 5 Tässä n on havaintojen, m tuntemattomien määrä Jos kutsutaan (l F (x 0 )) l ( x x 0 ) x ( korvaavat eli linearisoidut havaintosuureet ja tuntemattomat), saadaan linearisoiduiksi havainto-yhtälöiksi: l + v = A x (15) Tästä laskettava pienimmän neliösumman ratkaisu minimoi residuaalien neliöllinen summa v T Q 1 ll v, mistä syystä sitä kutsutaan pienimmän neliösumman menetelmäksi Matriisi Q ll, lyhyesti Q, on havaintojen tarkkuutta ja mahdollista keskinaista tilastollista riippuvuutta (korrelaatiota) kuvaava havaintovektorin varianssimatriisi 3, ks luku 12 Kaavassa (15) jätetään usein myös pois yksinkertaisuuden vuoksi -suureet ovat tyypillisesti paljon pienempiä kuin kokonaiset suureet Siksi numeriikka onnistuu hyvin vaikka A-matriisin elementit eivät olisi eksakteja Kuitenkin kaava (13) on aina laskettava eksaktisti 12 Varianssien kasautumislaki Jos stokastinen suure y on stokastisen suureen x lineaarinen funktio, ts voidaan kirjoittaa myös y = Lx, σ y = Lσ x, missä σ x, σ y ovat suureiden x ja y keskivirheet Samalla voidaan kirjoittaa E { y } = E {Lx} = LE {x} ( odotusarvojen kasautumislaki ), missä E { } on odotusarvo-operaattori, lineaarinen operaattori Jos määritetään varianssi seuraavasti: seuraa, että Var {x} = σ 2 x E { (x E {x}) 2}, σ 2 y = L 2 σ 2 x Tämä on varianssien kasautumislaki yksinkertaiselle stokastiselle suureelle Mikäli stokastisella suureella x = [ x 1 x 2 x n ] T ja y = [ y1 y 2 y m ] T on useita komponentteja (abstrakti vektorisuure ), pätee y = Lx, (16) E { y } = LE {x} 3 Tarkemmin: havaintovektorin painokerroinmatriisi Yleisesti kirjoitetaan Σ ll = σ 2 0Q ll, jossa Σ ll on varianssimatriisi ja σ 0 ns painoyksikön keskivirhe

14 6 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen ja Var ( y ) = LVar (x) L T, (17) missä nyt L ja varianssit ovat matriiseja L 11 L 12 L 1n L = L 21, L m1 L mn m n-kokoinen matriisi; Var(x) = Σ xx = σx 2 1 σ x1 x 2 σ x1 x n σ x2 x 1 σx 2 2 σ xnx1 σx 2 n, n n-kokoinen, neliönmuotoinen matriisi; ja Var ( y ) = Σ yy = σy 2 1 σ y1 y 2 σ y1 y m σ y2 y 1 σy 2 2, m m-kokoinen neliömatriisi Tässä varianssit: ja kovarianssit: ja samoin y:n komponenteille σ ymy 1 σ 2 y m σ 2 x i = Var (x i ) = E { (x i E {x i }) 2}, σ xi x j = Cov ( x i, x j ) = E { (xi E {x i }) ( x j E { x j })}, Kaava (17) kutsutaan yleiseksi varianssien kasautumislaiksi Kaavan (16) ilmaisema lineaarisuusominaisuus saadaan tarvittaessa aikaan linearisoimalla, josta puhuttiin aikaisemmin 13 Geodeettinen päätehtävä Varianssien kasautumislain sovelluksena tarkastetaan geodeettinen päätehtävä, missä suuntaja etäisyysmittauksen tunnetut epätarkkuudet kulkevat eli kasautuvat tuntemattoman pisteen koordinaattien epätarkkuuksiksi Geodeettinen päätehtävä: annettuna mittaussuureet s, A sekä lähtöpisteen P koordinaatit x P, y P, määritä tuntemattoman pisteen koordinaatit x = x P + s cos A, y = y P + s sin A

15 13 Geodeettinen päätehtävä 7 Ongelma ratkaistaan seuraavalla tavalla Otetaan likiarvot s 0, s = s 0 + s ja A 0, A = A 0 + A ja kirjoitetaan Taylor-sarjakehitelmä: cos A x = x P +s 0 cos A 0 + s cos A 0 +s 0 A A = x 0 { }} { + x P + s 0 cos A 0 x { }} { [ ] [ ] s cos A0 s 0 sin A 0 A ja samalla tavalla y = y 0 + y { }} { [ ] [ ] s sin A0 s 0 cos A 0 A Nyt meillä on (jättämällä, mutta muistamalla, 0-indeksit, ja tekemällä x- ja y-vektorit stokastisiksi eli satunnaismuuttujiksi): y [ x y ] [ s, x A ] [ cos A s sin A, ja L = sin A s cos A ja yllä olevat kaavat voidaan nyt kirjoittaa: y = Lx ] [ ; sekä Var (x) = σ 2 s 0 0 σ 2 A ] Varianssimatriisin Var ( y ) = = = [ σx 2 σ xy σ xy σy 2 ] = LVar (x) L T = [ ] [ ] [ ] cos A s sin A σs 2 0 cos A sin A = sin A s cos A 0 σa 2 s sin A s cos A [ σs 2 cos 2 A + σas 2 2 sin 2 A cos A sin A ( ) ] σs 2 s 2 σa 2 cos A sin A (, σs 2 s 2 σa) 2 σ 2 s sin 2 A + σas 2 2 cos 2 A jossa alkiot laskettiin varianssien kasautumislain (17) avulla 4 Sijoittamalla vielä saadaan vaihtoehtoinen muoto: cos A = x x P s, sin A = y y P s 4 Jos ilmaistaan suunnan A varianssi gooneissa, voidaan sijoittaa kaikkiin alla oleviiin kaavoihin ( ) 2 σa 2 σa [g] =, ρ jossa ρ on radiaanin suuruus käytetyssä asteyksikössä, tässä tapauksessa ρ = Samoin kun käytetään kaarisekunteja: silloin ( σa 2 σa [ ) 2 ] =, ρ jossa nyt ρ = =

16 8 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen N σ x Q sσ A A s σ y σ s P Kuva 13: Virhe-ellipsin geometria σ 2 x = Var ( x) = ( ) 2 x xp σs 2 + (y y P ) 2 σ 2 s A, σy 2 = Var ( y ) ( ) 2 y yp = σs 2 + (x x P ) 2 σ 2 s A, σ xy = Cov ( x, y ) [ (σs ) ] 2 = σ 2 A (x x P ) (y y P ), (18) s jossa x x P = s cos A, y y P = s sin A Näin havaintotyön keskivirheet σ s, σ A muunnetaan koordinaattikeskivirheiksi σ x, σ y Kuten näkyy, vaikuttavat tarkkuuteen vaikuttavat sekä havaintojen tarkkuus σ s, σ A että geometria A, s Virhe-ellipsi on tilastomatemaattinen varmuusalue kaksiulotteisen pisteen ratkaisulle Tätä käytetään eri testeissä Pisteen tarkkuuden mitaksi on olemassa sopivampi suure joka ei riipu koordinaattiakseleiden suunnasta Sellainen mitta saadaan seuraavasti: virhe-ellipsi on oikeastaan varianssimatriisin kuvaaja: jos pisteen P koordinaattien, tai kahden pisteiden P, Q, koordinaattierojen, x, y varianssimatriisi kirjoitetaan [ x V = Var y ] [ = Var (x) Cov ( x, y ) Cov ( x, y ) Var ( y ) Tämän matriisin invariantit ovat sen ominaisarvoja ja -vektoreita: Kaavan (V λi) x = 0 ratkaisuja (λ i, x i ) Jos käännetään koordinaatiston akselit näin, että ne ovat samansuuntaisia ellipsin pääakseleiden kanssa, saadaan V = [ s 2 σ 2 A 0 0 σ 2 s ja on selvä, että λ 1 = s 2 σ 2 A ja λ 2 = σ 2 s Yleisemmin ratkaistaan determinanttiyhtälö V 11 λ V 12 V 22 λ = 0, V 21 ] ]

17 13 Geodeettinen päätehtävä 9 ( mistä ns karakteristinen ) polynomi: (V 11 λ) (V 22 λ) V12 2 = 0, siis λ 2 (V 11 + V 22 ) λ + V11 V 22 V12 2 = 0, mistä 5 ja λ 1 + λ 2 = V 11 + V 22 = Var (x) + Var (y) = σ 2 x + σ 2 y (19) λ 1 λ 2 = V 11 V 22 V 2 12 = det (V ) = σ 2 xσ 2 y σ 2 xy (110) (missä σ 2 xy lasketaan kaavan (18) mukaan) Suureet (19, 110) ovat invariantit (siis: aina sama, koordinaattiakseleiden orientoinnista riippumatta) ja etenkin suure (19), jota kutsutaan pisteen P pistevarianssiksi σ 2 P, on sopiva pistetarkkuuden mitta: σ 2 P = σ 2 x + σ 2 y Pistekeskivirhe σ P on tämän pistevarianssin neliöjuuri 5 Ominaisarvot ovat λ 1,2 = 1 [ ] V 11 + V 22 ± (V 11 + V 22 ) 2 4 (V 11 V 22 V ) = = 1 [ ] V 11 + V 22 ± (V 11 V 22 ) 2 + 4V12 2 = 2 [1 = 1 ] 2 2 (V 11 + V 22 ) ± 2 (V 11 V 22 ) + V12 2, ja ellipsin pitkä ja lyhyt akselit puolikkaat ovat λ 1, λ 2 Myös akseleiden suunnat voidaan määrittää: tutki koordinaattien lineaariyhdistelmä joka on suuntakulman θ funktio Varianssien kasautumislain avulla saadaan z (θ) = x sin θ + y cos θ, Var (z (θ)) = V 11 sin 2 θ + V 22 cos 2 θ + 2 sin θ cos θv 12 ; ellipsin akselit ovat tämän θ-funktion stationaariset arvot, Differentioimalla eli ja d Var (z) = 0 dθ 2 sin θ cos θ (V 11 V 22 ) + 2 ( cos 2 θ sin 2 θ ) V 12 = 0 sin 2θ (V 11 V 22 ) + 2 cos 2θ V 12 = 0 θ = 1 ( 2 arctan 2V ) 12 + k 100 gon = V 11 V 22 V 12 = arctan [ V (V 11 V 22 ) ] + k 100 gon, 2 + V 2 12 käyttämällä arctangentin puolikulmakaava

18 10 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen

19 11 Datumit Luku 2 Datum-käsite voidaan matemaattisesti käsitellä tapana kiinnittää verkkoratkaisussa tiettyjen pisteiden koordinaatit oletettuun likiarvoihinsa Kiinnitettävien pisteiden valinta on mielivaltainen, siis datumin määrittely on mielivaltainen Esim syy, miksi Suomeen luotiin ja Suomessa käytettiin pitkään N60-korkeusdatumia jonka lähtöpiste on Helsingissä, on täysin poliittinen Lähtöpiste olisi voinut olla Turussakin 21 Yksiulotteiset datuminmuunnokset Yksiulotteinen datuminmuunnos on yksinkertainen translaatio eli arvojen siirto vakiomäärällä Esim korkeusjärjestelmä jossa tietty piste on määritetty lähtöpisteeksi eli datumpisteeksi, jonka arvo on 0, voidaan muunta toiseksi siirtämällä kaikki arvot näin, että uuden datumpisteen arvoksi saadaan 0 Olkoon pistejoukon korkeusarvot tietyssä datumissa H i, ja tietyssä toisessa datumissa H i Olkoon lisäksi käytettävässä joukolle korkeuksien likiarvot H 0 i Kuten myöhemmin tullaan näkemään, onko likiarvojen olemassaolosta hyötyä kun formuloidaan lineaariset havaintoyhtälöt Ensimmäisen datumin lähtöpiste olkoon A ja toisen datumin lähtöpiste B Silloin Jos määritetään H A = H 0 A, H B = H 0 B H i H i H 0 i, H i H i H 0 i, seuraa, että H A = H B = 0 Nyt johdetaan datuminmuunnoskaava! Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi sen olevan muotoa H = H + a, missä a on vakio Kaavan delta-muoto on H = H + a eli H i = H i + a

20 12 Luku 2 Datumit Pisteille A ja B saadaan ja koska H A = H B = 0, saadaan Tästä yleinen muunnoskaava pisteille i: H A = H A + a H B = H B + a a = H A = H B H i = H i H B, H i = H i H A, ts sekä eteenpäin (A-datumista B-datumiin) että taaksepäin muunnoskaava Matriisikielellä: [ H i H A ja [ Hi H B (nähdään helposti, että [ ] = ] = ] [ [ [ ] [ Hi H B ] [ H i ] = H A [ eli matriisi on oma käänteismatriisinsä Tämä matriisi kutsutaan S-muunnosmatriisiksi) Tietenkin näissä kaavoissa ] ] ], H i = [ H 1 H 2 H n ] T, jolloin Myös H 1 H 2 H n H A = = H 1 H 2 H n H B , eli matriisi on oma käänteismatriisinsa Translaatiovakio on tavoitedatumin lähtöpisteen korkeuspoikkeama likiarvosta, laskettuna lähtödatumissa

21 22 Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteinen datuminmuunnos on useimmiten yhdenmuotois- eli Helmert 1 -muunnos, kaavana [ x y ] [ c d = d c ] [ x y ] + [ a b ], ( neliparametrinen Helmert ) jossa a, b, c, d ovat muunnoksen parametrit: translaatio (siirto) a, b ja rotaatio/skaalaus c, d Selkeämpi kirjoitustapa: [ x y ] [ cos θ sin θ = (1 + m) sin θ cos θ ] [ x y ] + [ a b ], missä c = (1 + m) cos θ ja d = (1 + m) sin θ Usein m ja θ ovat pieniä, jolloin voidaan kirjoittaa likimäärin: [ x y ] [ ] [ ] [ ] 1 θ x a = (1 + m) + = θ 1 y b { } [ ] [ ] 1 + m θ (1 + m) x a = + = θ (1 + m) 1 + m y b {[ ] [ ]} [ ] [ ] m θ 1 θm x a = + + θ m θm 1 y b [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] m θ x 1 0 x a + + θ m y 0 1 y b [ ] [ ] [ ] [ ] m θ x 0 x a + +, θ m y b y 0 eli [ x x y y ] [ m θ = θ m ] [ x 0 y 0 ] + [ a b ], (21) missä x 0, y 0 x, y ovat likiarvoja; uudelleen järjestäminen antaa (helposti verifioitavissa kirjoittamalla vain kaavat (21) ja (22) raa asti auki): [ x x y y ] [ = x 0 y y 0 x Helmert-muunnoksen parametrien havaintoyhtälö ] m θ a b, (22) Kaikkien tuntemattomien määrittäminen edellyttää tietysti riittävä määrä havaintoja eli pistekoordinaattieroja vasemmalla puolella Kahden pisteen koordinaatit on minimi 1 Friedrich Robert Helmert, kuuluisa Saksalainen geodeetti

22 14 Luku 2 Datumit 23 Kompleksinen esitystapa Lähdetään Helmert-kaavasta (21) ja kirjoitetaan sen kompleksilukujen avulla 2 : z z = µz 0 + α, missä z x + iy, z x + iy, µ m + iθ, z 0 x 0 + iy 0 ja α a + ib Määrittämällä taas delta-suureet z z z 0, z z z 0, saadaan z = α + z + z 0 µ Vaaditaan nyt tavoitedatumin kahden lähtöpisteen A, B koordinaattipoikkeamat nollaksi: Eli Vähennyslaskun avulla: z A = z B = 0 α + z A + z 0 Aµ = 0 α + z B + z 0 Bµ = 0 z A z B + ( z 0 A z 0 B) µ = 0 eli : µ = z A z B z 0 A z0 B Seuraavaksi ratkaistaan α takaisinsijoituksen avulla: α = z A + z 0 A z A z B z 0 A z0 B Parametrit α, µ ovat nyt ratkaistuina ja voimme kirjoittaa yleinen muunnoskaava pisteille i: z i = z i z A + z 0 z A z B A z 0 A z0 B z 0 i z A z B z 0 A z0 B = z i z A ( ) z 0 i z 0 z A z B A z 0 A = z0 B ( ) ( z 0 = z i i z 0 A z 0 z 0 A 1 z A + i z 0 A z0 B z 0 A z0 B ( ) ( z 0 = z i i z 0 B z 0 z 0 A z A i z 0 A z0 B z 0 B z0 A = ) z B = ) z B (23) 2 Vastaavasti Helmert-muunnoksen parametrien havaintoyhtälöksi (kaava 22) saadaan [ ] [ ] z z = z 0 µ 1 α [ ] a b Huomaa, että kompleksilukujen a + bi ja 2 2 matriisien välillä on olemassa isomorfismi, eli b a ne käyttäytyvät samalla tavalla

23 24 Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) 15 Kaava (23) kutsutaan S-muunnokseksi Se kuvaa pientä yhdenmuotoisuus- eli Helmert-muunnosta millä päästään erään koordinaattijärjestelmän tietystä realisaatiosta (eli lähtöpisteiden vallinnasta) toiseen Kaavassa (23) korjaustermit jotka sisältävät z A, z B ovat pieniä, yhtä pieniä kuin nämä deltasuureet itse Oletetaan vielä, että lähtökoordinaattijärjestelmän lähtöpisteet olivat C ja D, eli että z C = z D = 0; silloin voimme kirjoittaa kaava (23) seuraavaan matriisimuotoon (selvyyden vuoksi on z i kirjoitettu auki vektoriksi [ z 1 z n ] T : z 1 z n z C z D = ( z z 0 B z 0 A z0 B ( z 0 1 n z 0 B z ( 0 A z0 B z C z 0 B ( z 0 A z0 B z D z 0 B z 0 A z0 B ) ) ) ) ( ) z 0 1 z 0 A z 0 B z0 A ( ) z 0 n z 0 A z ( 0 B z0 A ) z 0 C z 0 A ( z 0 B z0 A ) z 0 D z 0 A z 0 B z0 A z 1 z n z A z B tai vaihtoehtoisella notaatiolla, jossa datum on merkattu lähtöpisteillä [AB]tai [CD]: z [AB] 1 z [AB] n z [AB] C z [AB] D = ( z z 0 B z 0 A z0 B ( z 0 1 n z 0 B z ( 0 A z0 B z C z 0 B ( z 0 A z0 B z D z 0 B z 0 A z0 B ) ) ) ) ( ) z 0 1 z 0 A z 0 B z0 A ( ) z 0 n z 0 A z ( 0 B z0 A ) z 0 C z 0 A ( z 0 B z0 A ) z 0 D z 0 A z 0 B z0 A z [CD] 1 z [CD] n z [CD] A z [CD] B Tämä matriisi on neliön muotoinen ja kääntämiskelpoinen 3 Ks kuva Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) Myös kolmessa ulottuvuudessa käytetään yleisesti Helmert-muunnos Tässä tapauksessa meillä on kaksi joukkoa kolmiulotteisia, suorakulmaisia koordinaatteja, esim toisaalta paikallinen perinteisiin geodeettisiin mittauksiin perustuva koordinaattiratkaisu, ja toisaalta globaalinen ratkaisu, joka perustuu satelliittipaikannusmittauksiin (GPS) Sitä käytetään myös eri satelliittiratkaisujen välillä Siinä tapauksessa järjestelmien väliset muunnosparametrit ovat paljon pienempiä, mutta myös tarkempia 3 Osaatko kertoa mitään laskematta, minkä näköinen käänteismatriisi on?

24 16 Luku 2 Datumit z 0 i z i z i z C C z A A D B Kuva 21: S-muunnos Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa ei saa olettaa, että kahden järjestelmän koordinaattiakselit ovat samansuuntaisia Parametrien määrä on silloin seitsemän: X Y Z = (1 + m) 1 e z e y e z 1 e x e y e x 1 X Y Z + t x t y t z (24) Tässä muunnosparametrit ovat m, e x, e y, e z, t x, t y, t z 4 Tässä m on mittakaavapoikkeama (K = 1 + m on muunnoksen mittakaava), [ t x t y t z ] T on origon siirtymä- eli translaatiovektori, ja e x, e y, e z ovat kiertokulmat, joita oletetaan olevan pieniä 5 Usein m:n yksikkönä käytetään ppm (parts per million) ja e x, e y, e z ilmaistaan kaarisekunteina Kaikissa laskutoimituksissa on kuitenkin käytettävä radiaaneja Kaavaa voidaan kirjoittaa symbolisesti X = (1 + m) RX + t, (25) jossa X = [ X Y Z ] T, X = [ X Y Z ] T, t = [ tx t y t z ] T ja rotaatiomatriisi on R = 1 e z e y e z 1 e x e y e x 1 4 Kiertokulmien e x, e y, e z oikeaan suuntaan on kiinnittävä huomiota Jopa ammattikirjallisuudessa esiintyy virheitä! 5 Elleivät ne olisi pieniä, sisältäisi rotaatiomatriisi monimutkaisia trigonometrisia ilmaisuja itse e-kulmien sijasta

25 25 Kolmulotteinen datummuunnos (2) 17 Joskus m jätetään pois; erityisesti satelliittimittauksessa jotka perustuvat konventionaaliseen valon nopeuteen, c = ms 1 ; koska myös satelliittimittaukset tapahtuvat ilmakehän läpi, ei voi kuitenkaan aina olettaa, että alueelliset mittaukset ja näihin perustuvat verkkoratkaisut olisivat aina mittakaavoiltaan oikeita Valitettavasti kolmessa ulottuvuudessa ei ole olemassa kompleksilukujen vastine On yritetty käyttää Hamiltonin keksimät kvaterniot 6, mutta tulokset eivät olleet yhtä tyydyttäviä kuin tasokoordinaateissa kompleksiluvukuja käyttäessä 25 Kolmulotteinen datummuunnos (2) Yllä kuvattua datummuunnosta (24) kutsutaan usein Burša-Wolf esitystavaksi Tässä muunnoskaavassa rotaatio R (ja skaalaus 1 + m) tapahtuu Maan massakeskipisteen suhteen, jonka jälkeen suoritetaan translaatio t Usein paremmin käyttäytyvä muunnoskaava on Molodenskii-Badekas, jossa rotaatio ja skaalaus tapahtuu koko pistekentän painopisteen, X, suhteen Tässä tapauksessa translaatio kuvaa tämän painopisteen siirtymistä: X = X + (1 + m) R ( X X ) + t Tässä tapauksessa R ja m ovat identtisiä Burša-Wolfin vastaavien kanssa; kuitenkin t t Voimme johtaa X = (1 + m) RX + X (1 + m) RX + t, josta vertailemalla kaavan (25) kanssa saa seuraava yhteys kahden translaatiovektorin välillä: eli t = X (1 + m) RX + t t = t taas olettamalla, että m, e x, e y, e z ovat pieniä 7 m e z e y e z m e x e y e x m Molodenskii-Badekas -esitystavan etuna on, että pistekentän kohdalla translaatio ja rotaatio ovat melkein riippumattomia toisistaan Tämä tulee esille, kun ratkaistaan tuntemattomat parametrit pistekentän annetuista koordinaateista kummassa datumissa: silloin translaatio- ja rotaatioparametrien väliset korrelaatiot häviävät Haittana toisaalta on, että tämä optimaalisuus toimii vain pistekentän alueella, se ei ole globaalisesti voimassa X, 6 Kvaterniot ovat lukuja Q = a + ix + jy + kz, joiden laskusäännöt ovat: ij = k, jk = i, ki = j, ji = k, kj = i, ik = j, i 2 = j 2 = k 2 = 1 Ne ovat jollain tavalla samanlaisia kuin kompleksiluvut, muttei niin käteviä Keksijä oli Sir William R Hamilton ( ) Dublinista ( Ks myös 7 Huomaa, että jos X = 0, silloin t = t, eli B-W on sama kuin M-B jossa pistekentän painopiste on Maan massakeskipisteessä, X, Y, Z-järjestelmän origossa

26 18 Luku 2 Datumit

27 19 Koordinaattijärjestelmät Luku 3 31 Yleistä Tutkiessa koko maapallon tai sen suuren osan geometria on käyttettävä kolmiulotteisia koordinaattijärjestelmiä Näistä johdetaan sitten maanmittauksen käytön tarpeen mukaan kaksija yksiulotteisia koordinaattijärjestelmiä Korkeuksien referenssipintana käytetään geoidia; kaksiulotteiset koordinaatit lasketaan vertausellipsoidilla käyttämällä projektiomenetelmää 32 Suorakulmaiset geosentriset koordinaatit Kaiken pohjana oleva geosentrinen kolmiulotteinen suorakulmainen (karteesinen) järjestelmä koostuu kolmesta koordinaatista, X, Y, Z Z-akseli osoittaa pohjoisnavan suuntaan; Greenwichin suunta on tasossa (X, Z) Geosentrinen merkitsee, että järjestelmän origo on Maan massakeskipiste Satelliittipohjaiset järjestelmät ovat luonnostaan (lähes) geosentrisia Ehdotettu X, Y, Z-järjestelmä ei ole inertiaalinen; inertiaalinen järjestelmä X, Y, Z saadaan valitsemalla X -akseli näin että se osoittaa ns Arieksen pisteeseen, piste missä Aurinko ylittää taivaan ekvaattoria kevään alkaessa Kulma akselien X ja X välillä kutsutaan Z Pyörähdysliike Greenwich Y X Kevättasauspiste X Y Kuva 31: Geosentriset järjestelmät Greenwichin tähtiaika θ

28 20 Luku 3 Koordinaattijärjestelmät Taivaan pohjoisnapa Syystasaus Maan todellinen rata Kevät Talvi seisaus Suvi Kaamos Kesä seisaus Syksy Ekliptika (eläinrata) Auringon näennäinen polku Taivaan ekvaattori Kevättasauspiste ("Aries") Hic sunt dracones Kuva 32: Maan rata- ja pyörähdysliike ja ekliptika Greenwichin tähtiajaksi (Greenwich siderial time) Tähtiaika kuvaa Maan pyörähdysliikettä 24 t tähtiaikaa vastaa n 23 t 56 m tavallista kellonaikaa ( siviiliaika ) Eli, tähtikello tikittää nopeammin, ja vuodessa on tähtivuorokautta, yksi enemmän kuin siviilivuorokausien määrä, Syy tähän on auringon näennäinen liike taivaalla, joka on samansuuntainen kuin maapallon pyörähdysliike Siis auringon nähden maapallo pyörii hitaammin Todellinen maapallo ei pyöri säännöllisesti Hetkellinen pyörähdysakseli eroaa sen referenssisuunnasta (CIO eli Conventional International Origin), ilmiö joka tunnetaan napaliikkeenä Hetkellisen navan paikka eroaa sen keskiarvosta muutamalla metrillä Liike on kaksiulotteinen ja koostuu pääasiallisesti kahdesta komponentista: Vuotuinen liike, amplitudi n 0, 05 0, 1 Ns Chandler-wobble, periodi n 430 päivää, amplitudi myös 0, 05 0, 1 Tämän lisäksi napa siirtyy hyvin hitaasti (0, 003 / vuosi) ja tasaisesti 70 W -meridiaanin suuntaan Myös maapallon pyörimisen nopeus, eli vuorokauden pituus, muuttuu Ilmiötä seurataan ja taulukoidaan huolellisesti (IERS = International Earth Rotation Service) Siviiliaika seuraa maapallon todellista pyörähdysliikettä, ja eroaa siksi tarkasta atomiajasta Jokaisena vuonna joulu- ja kesäkuun lopulla laitetaan UTC:hen sopiva määrä karkaussekunteja UTC:n

29 33 Vertausellipsoidi 21 ero atomiajasta on siis sekuntien kokonaismäärä; UTC seuraa sekunnin sisällä Maapallon todellista liikettä 33 Vertausellipsoidi Pitkäakselin puolikas (ekvatoriaalisäde) a, Lyhytakselin puolikas (napasäde) b, Litistyneisyyssuhde f = a b a Suomessa on ollut pitkään käytössä vertausellipsoidina Kansainvälinen ellipsoidi 1924 (ns Hayford-ellipsoidi), jonka parametrit ovat a = m f = 1/297, 0 (b = , m) WGS84- ja monen muun modernin satelliittijärjestelmän pohjana (mm EUREF89) on GRS80 (Geodetic Reference System 1980) joka antaa seuraavat ellipsoidiparametrit: a = m f = 1/298, WGS84-vertausjärjestelmä Tämä vertausjärjestelmä on sidottu GPS-konstellaatioon eli tässä järjestelmässä satelliittien radat ( broadcast ephemeris ) kuvataan WGS84 on luonut ja ylläpitää Yhdysvaltain sotilasviranomaiset GPS n avulla saadut paikkakoordinaatit ovat siis periaatteessa aina WGS84- koordinaatteja WGS84-vertausjärjestelmän (suorakulmaisen, kolmiulotteisen) koordinaatiston origo on, kuten aina satellittipohjaisilla systeemeillä, Maan massakeskipisteessä Z-akseli osoittaa Maan keskimääräisen pyörähdysakselin (CIO:n) suuntaan, X-akseli Greenwichin meridiaanin suuntaan WGS84-järjestelmään kuuluu myös painovoimakentän malli Parametreista mainittakoon dynaaminen litistyneisyys ja kokonaismassa (mukaanlukien ilmakehä): C 2,0 = 484, , GM = m 3 s 2, sekä oletettu Maan pyörähdysnopeus on ω = rad s 1 Nämä arvot ovat hyvin lähellä GRS80:n vastaavia arvoja Geodeettisessa työssä käytetään tavallisesti WGS84:ää parempaa vertausjärjestelmä, esim Euroopan alueella EUREF89 Tämä järjestelmä on luotu vastaavanlaisella tavalla kuin WGS84: samat GPS-satelliitit jotka on käytetty WGS84-järjestelmän luomiseksi on myös käytetty

30 22 Luku 3 Koordinaattijärjestelmät Tähtitieteelliset koordinaatit x z Φ,Λ Luoti viiva y Geoidi profiili Kuva 33: Toposentrinen eli paikallinen tähtitieteellinen (PT) järjestelmä z- akseli osoittaa paikallisen luotiviivan, eli tähtitieteellisen leveysja pituusasteen (Φ, Λ) suuntaan tässä tapauksessa Ero on, että määritys on suoritettu International GPS Service for Geodynamics (IGS) suuren kansainvälisen siviili-gps-asemien verkkonsa avulla Joskus kutsutaan EUREF89 WGS84:n erääksi realisaatioksi, mikä ei ole aivan tarkka Muut, vastaavat, kirjallisuudessa vastaan tulevat järjestelmät ovat ITRFxx, ETRFxx, missä xx on vuosiluku (I E)TRF on (International European) Terrestrial Reference Frame Alkuperäisen WGS84:n määritystarkkuus ei ole puolta metriä parempaa Myöhemmät realisaatiot ovat parempia ja ovat lähellä ITRF-järjestelmiä tai jopa identtisiä niiden kanssa Kuitenkin on syytä aina käyttää (Euroopassa) EUREF89-järjestelmää, jonka realisaatiotarkkuus on luokkaa muutama cm Kirjallisuudessa ilmaisu WGS84 usein tarkoittaa EUREF89 EUREF89 on ETRS89:n realisaatio Euroopan alueella Suomessa EUREF-FIN on kuten EUREF89 Euroopassa, ETRS89:n realisaatio Suomen alueella Eurooppalainen INSPIRE-direktiivi vaatii, että Euroopassa käytettävät koordinaatit ja paikkatietoaineistot ovat ETRS89-pohjaisia 35 Toposentrinen koordinaattijärjestelmä Toposentrinen koordinaattijärjestelmä on järjestelmä, jonka origo on itse havaintopaikka (tarkemmin: kojeen optisten akselien ristikohta) ja sen z-akseli on paikallinen painovoiman suunta eli luotiviiva Toposentrinen järjestelmä kutsutaan usein myös paikalliseksi tähtitieteelliseksi koordinaattijärjestelmäksi Jokaisella havaintopaikalla on oma toposentinen järjestelmänsä, jota voidaan valita paikallisen datumin lähtöpisteeksi

31 36 Geodeettinen datum 23 Määritellään maastohavainnot: atsimuti A P : Toposentrisessa järjestelmässä mitattu myötäpäiväinen suunta toiseen pisteeseen P järjestelmän X T -akselista (pohjoisesta) Pystykulma z P : Paikallisesta vertikaalista Z T eli zeniitistä mitattu kulma toiseen pisteeseen: Zeniittikulma z Vaihtoehtoisesti korkeuskulma (elevaatio) η = 100 gon z Etäisyys s P : Origon O ja toisen pisteen P välinen suora avaruusjana Pisteen P toposentriset suorakulmaiset koordinaatit, ts pisteiden O ja P väliset koordinaattierot, ovat: x P y P z P T = x OP y OP z OP = s P cos A P sin z P sin A P sin z P cos z P Koska luotiviivojen suunnat vaihtelevat paikasta toiseen hieman epäsäännöllisellä tavalla 1, ei ole mahdollista yhdistellä liian suuren alueen eri pisteiden toposentriset järjestelmät yhdeksi suorakulmaiseksi koordinaattijärjestelmäksi,ainakaan yksinkertaisella tavalla Pienellä alueella, esim tontin sisällä, se on kuitenkin käyttökelpoinen; toposentrisiä koordinaattijärjestelmiä voidaan yhdistää yksinkertaisella translaatiolla (siirrolla): x (2) P x O2 P x O1 P x O2 O y (2) P = 1 x O2 O 1 x (1) P y O2 P = y O1 P + y O2 O 1 = y O2 O 1 + y (1) P z (2) z O2 P z O1 P z O2 O 1 z O2 O 1 P z (1) P Tässä O 1 ja O 2 ovat (1)- ja (2)-järjestelmien origot maastossa Vektori [ x O2 O 1 y O2 O 1 z O2 O 1 ] T on itse asiassa (yksinkertainen) datum-muunnos kahden toposentrisen järjestelmän välillä Jos alue, eli etäisyys O 1 O 2 on liian suuri, yksinkertainen translaatio ei riitä vain tarvitaan myös rotaatiota, koska (1)- ja (2)- järjestelmien akselit eivät ole samansuuntaisia Kuinka suuri on liian suuri riippuu tarkkuusvaatimuksista Maan kaarevuussäde on R = 6000 km ja maan pinnan poikkeama tasopinnasta on δ = d 2 /2R, jossa d on matka Saadaan seuraavat arviot yhteydestä sallitun virheen δ ja alueen koon d välillä: 1 cm: d 350 m 1 mm: d 110 m 01 mm: d 35 m Toposentrinen eli PT-järjestelmä ei sovi siis esim kunnan alueella käytettäväksi järjestelmäksi T 36 Geodeettinen datum Arkielämässä harvoin ajatellaan mitä oletuksia on tehtävä, että olisi mahdollista suorittaa maanmittaus jossain vertausjärjestelmässä Tuntuu selvältä, että mittaukset ja laskennat kohdistetaan johonkin tasoon, vaakatasoon Tämä intuitiivinen ajatus voidaan kutsua 1 Toisin kuin luotiviiva, vertausellipsoidin normaali muuttuu hyvin säännöllisesti paikasta toiseen Siksi myös tähän normaalin sidottua toposentrista järjestelmää ( paikallinen geodeettinen, PG ) ei voida laillisesti ulottaa kovin suuriin alueisiin

32 24 Luku 3 Koordinaattijärjestelmät Φ, Λ φ, λ Luotiviivapoikkeama Φ, Λ φ, λ Luotiviiva Ellipsoidin normaali Geodeettinen mittausverkko Tähtitieteelliset koordinaatit Geodeettiset koordinaatit Datum-piste Vertausellipsoidi Geoidi (keskimerenpinta) Kuva 34: Geodeettiset ja tähtitieteelliset koordinaatit kenkälaatikko-erheeksi ; ajatellaan, että Maa on jättimäisen suorakulmaisen kenkälaatikon sisällä ja keskimerenpinta sen pohja Kuitenkaan tämä vertaustasoksi valittu vaakataso ei ole yksiselitteinen Luotiviiva jonka kohtaan vaakataso on joka paikassa kohtisuora on paikallinen ilmiö ja jo sadan metrin päässä se on erilainen, koska luotiviivat seuraavat Maan kaarevuutta Tämän lisäksi luotiviivojen suuntaa ei voida kuvata yksinkertaisen kaavan avulla; se seuraa Maan painovoimakenttää, joka on Maan sisäisen massajakauman epäsäännöllisyydestä johtuen itse epäsäännöllinen Kuitenkin voimme konstruoida vertausellipsoidi joka on paikallisesti mahdollisimman hyvin sopiva Maan muotoon, eli ellipsoidinen normaali on mahdollisimman samansuuntainen paikallisen luotiviivan kanssa Toisin sanottuna luotiviivapoikkeamat ovat mahdollisimman pieniä On kaksi laajasti käytettyä tapaa tehdä tämä: 1 Klassinen geodeettinen datum sisältää, vertausellipsoidin muotoparametrien (a, f) lisäksi, myös lähtöpisteen P luotiviivapoikkeamien komponentit ξ P, η P (ks kuva 34) ja lähtöpisteen P geoidikorkeus vertausellipsoidista N P Siis yhteensä 5 (viisi) parametriä on kiinnittettävä valittuihin lähtöarvoihin Näin kiinnitetään laskennallisen vertausellipsoidin sijainnin avaruudessa Sellaisen geodeettisen datumin esimerkkinä voidaan mainita ED50 (European Datum 1950), joka käyttää Münchenin (Baijeri) Frauenkirche lähtöpisteenä 2 Minimoidaan alueellinen luotiviivojen ja geoidikorkeuksien poikkeama käyttämällä pienimmän neliösumman menetelmää: n ( ) ξ 2 i + ηi 2 = min i=1 n Ni 2 = min i=1

33 37 Geodeettisten datumien välinen muunnos 25 Pohjois-Ameriikka Pohjois- Atlantti (ei mitt) Eurooppa Pohjois- Ameriikan datum (NAD) NAD + + ED + Massakeskipiste Geoidi Euroopan datum (ED50, ED87) Kuva 35: Alueellisia datumeita jossa ξ i, η i N i ovat kaikki alueen mittauspisteiden (kolmiopisteiden) luotiviivapoikkeamat / geoidikorkeudet Tällä menetelmällä niiden keskiarvot kaikkien käytettyjen pisteiden kesken saadaan nollattua Toisin sanoen, tässä menetelmässä lähtöpiste ei ole yksi tietty piste vain kaikkien pisteiden painopiste Molemmissa tapauksessa voidaan, lähtöpisteen tai lähtöpistejoukon sijasta, käyttää vertausellipsoidin keskipisteen kolme koordinaattia (Maan massakeskipisteen nähden) datumparametreina Eli taas viisi parametria: a, f, X 0, Y 0, Z 0 ED50-datumin tapauksessa arvot X 0, Y 0, Z 0 ovat suuruusluokkaa ±100 m Tämä on aika tyypillistä klassisten geodeettisten datumien tapauksessa: Ei ole mahdollista mitata klassisin keinoin lähtöpisteen luotiviivan absoluuttiista suuntaa Jos oletettu luotiviivan suunta eroaa absoluuttisesta 1 :n verran, aiheuttaa tämä Maan keskipisteessä (6378 km etäisyydellä) jo 6378 km/ρ m:n virhe eli vertausellipsoidin keskipisteen poikkeama Maan massakeskipisteestä Ja eri datumit poikkeavat eri tavalla, ks kuva 35 Satelliittipohjaisten datumien tapauksessa (WGS84, EUREF-89) on eri tilanne: satellittien radat lasketaan järjestelmässä missä Maan massakeskipiste on origossa (koska liikeyhtälöt on kirjoitettu tässä järjestelmässä) ja paikat saadaan aina ns geosentrissessa järjestelmässä Vain itse mittausten epävarmuudet aiheuttavat pieniä poikkeamia geosentrisyydestä, luokkaa muutama cm 37 Geodeettisten datumien välinen muunnos Geodeettinen datum määrittää joko yhden pisteen, tai pistejoukon, ellipsoidisen normaalin suunta ϕ, λ ja pisteen korkeus h ellipsoidista, tai vertausellipsoidin origon paikka X 0, Y 0, Z 0 maan massakeskipisteeseen nähden

34 26 Luku 3 Koordinaattijärjestelmät Suorakulmaiset koordinaatit voidaan kirjoittaa näin, pallo-approksimaatiossa!: X Y Z = (R + h) cos ϕ cos λ cos ϕ sin λ sin ϕ + X 0 Y 0 Z 0 Saman pisteen tarkasti geosentriset koordinaatit (X, Y, Z) T kirjoitettuna eri datumin koordinaateiksi (eli eri vertausellipsoidin suhteen) pitäisi olla samat: ja X (1) Y (1) Z (1) X (2) Y (2) Z (2) = ( R + h (1)) cos ϕ (1) cos λ (1) cos ϕ (1) sin λ (1) sin ϕ (1) = ( R + h (2)) cos ϕ (2) cos λ (2) cos ϕ (2) sin λ (2) sin ϕ (2) + + X (1) 0 Y (1) 0 Z (1) 0 X (2) 0 Y (2) 0 Z (2) 0 Tässä merkinnät (1) ja (2) tarkoittavat kahden eri datumin suhteen laskettuja geodeettisia koordinaatteja X, Y, Z tai ϕ, λ, h tai datumien origon paikat geosentrisessa järjestelmässä Oletus on, että akselien orientaatiot ovat molemmassa datumissa samat Määritetään erotussuureet seuraavasti: X Y Z X 0 Y 0 Z 0 = = X (2) Y (2) Z (2) X (2) 0 Y (2) 0 Z (2) 0 X (1) Y (1) Z (1) X (1) 0 Y (1) 0 Z (1) 0 = 0,, h h (2) h (1), ϕ ϕ (2) ϕ (1), λ λ (2) λ (1), niin saadaan vähentämällä (huom delta-notaatio): X Y Z ( = ) cos ϕ (2) cos λ (2) R + h (2) cos ϕ (2) sin λ (2) ( ) cos ϕ (1) cos λ (1) R + h (1) cos ϕ (1) sin λ (1) sin ϕ (2) sin ϕ (1) cos ϕ cos λ X 0 = (R + h) cos ϕ sin λ + Y 0 = 0 sin ϕ Z 0 + X 0 Y 0 Z 0 =

35 37 Geodeettisten datumien välinen muunnos 27 Laskemalla osittaisderivaatat (olettaen, että kaikki -suureet ovat pieniä, niin että saa linearisoida): cos ϕ cos λ cos ϕ cos λ (R + h) cos ϕ sin λ = cos ϕ sin λ, h sin ϕ sin ϕ ja samoin myös ϕ:n ja λ:n suhteen: X Y Z = = [ h ϕ Olemme tässä asettaneet λ ] (R + h) cos ϕ cos λ cos ϕ sin λ sin ϕ h ϕ λ + cos ϕ cos λ (R + h) sin ϕ cos λ (R + h) cos ϕ sin λ cos ϕ sin λ (R + h) sin ϕ sin λ + (R + h) cos ϕ cos λ sin ϕ + (R + h) cos ϕ 0 X Y Z X (2) Y (2) Z (2) X (1) Y (1) Z (1) = 0, X 0 Y 0 Z 0 h ϕ λ = + koska nämä ovat, datumista riippumatta, samat, tarkasti geosentriset, suorakulmaiset koordinaatit Koska h << R: X 0 Y 0 Z 0 = = cos ϕ cos λ +R sin ϕ cos λ +R cos ϕ sin λ cos ϕ sin λ +R sin ϕ sin λ R cos ϕ cos λ sin ϕ R cos ϕ 0 cos ϕ cos λ +R sin ϕ cos λ +R cos ϕ sin λ cos ϕ sin λ +R sin ϕ sin λ R cos ϕ cos λ sin ϕ R cos ϕ 0 h ϕ λ = N ξ η cos ϕ Tämä kaava antaa yhteys vertausellipsoidin epägeosentrisyyden ja sen määrittämän datumin (pisteessä (ϕ, λ) välillä Se on samalla myös kaava, millä kahden geodeettisen datumin väliset erot h, ϕ, λ lähtöpisteessä voidaan muuttaa origon koordinaattisiirtymiksi X 0, Y 0, Z 0 Eli kaava, millä muunnosparametrit voidaan muuntaa toposentrisesta muodosta geosentriseen muotoon [ Olemme esittänyt toposentrinen siirtymävektori myös muotoon N ξ η ] T, cos ϕ jossa esiintyvät geoidin korkeus N ja luotiviivapoikkeamat ξ, η, kaikki kolme datum-pisteessä Ks kuva 36 Huomaa, että 2 N = h H X 0 Y 0 Z 0 = 0 missä ξ = Φ ϕ η = (Λ λ) cos ϕ 2 Lisäkerroin cos ϕ η-kaavassa johtuu meridiaanikonvergenssista Korkeimmilla leveysasteilla tietty pituusasteen muutos λ vastaa yhä pienempään matkaan maan pinnalla, ja näin yhä pienempään vertikaalin suunnan muutokseen

36 28 Luku 3 Koordinaattijärjestelmät Ellipsoidin normaali ϕ 1, λ 1 ϕ 2, λ 2 h 1 h 2 H 1 2 ξ 1 ξ 2 Luotiviiva Φ, Λ N 2 N 1 Geoidi Ellipsoidi 1 Ellipsoidi 2 Datummuunnos Kuva 36: Datum-muunnoksen (vertausellipsoidin siirron) vaikutus geodeettisiin leveys- ja pituusasteisiin ϕ, λ, luotiviivapoikkeamiin ξ, η, geoidikorkeuksiin N ja pisteiden ellipsoidikorkeuksiin h N geoidin korkeus vertausellipsoidista ( geoidikorkeus ), h pisteen korkeus ellipsoidista ( ellipsoidinen korkeus ), H pisteen korkeus geoidista ( ortometrinen korkeus ), ξ, η luotiviivapoikkeamat eli suuntaerotukset tähtitieteellisen vertikaalin ( luotiviivan ) ja vertausellipsoidin välillä ξ etelä-pohjoissuunnassa ja η länsi-itäsuunnassa, Φ,Λ tähtitieteelliset leveys- ja pituusaste (luotiviivan suunta), ϕ,λ geodeettiset leveys- ja pituusaste (ellipsoidin normaalin suunta) Koska suureet H, Φ, Λ ovat fysikaalisia suureita sekä paikallisen luotiviivan suunta tähtitaivaan nähden että pisteen korkeus geoidista eli merenpinnasta eivät riipu valitusta vertausellipsoidista seuraa josta vaihtoehtoinen muoto seuraa N = h ξ = ϕ η = λ cos ϕ Yllä olevan kaavan käänteiskaava on (Mathematica TM}!): = N ξ η cos ϕ h ϕ λ = 1 R R cos ϕ cos λ R cos ϕ sin λ R sin ϕ + sin ϕ cos λ + sin ϕ sin λ cos ϕ + sin λ cos ϕ cos λ cos ϕ 0 X 0 Y 0 Z 0 Nämä kaavat yksinkertaistuvat jonkin verran, jos kirjoitetaan toposentrinen siirtymä muotoon N R ξ R η ] T, koska silloin matriisit ovat puhtaita rotaatiomatriiseja: N h cos ϕ cos λ cos ϕ sin λ sin ϕ X 0 R ξ = R ϕ = sin ϕ cos λ sin ϕ sin λ + cos ϕ Y 0 R η R cos ϕ λ sin λ + cos λ 0 Z 0

37 38 Suuntakorjaus paikallisesta horisontista vertausellipsoidiin 29 Luotiviiva Ellipsoidinen normaali Kuva 37: Paikallisen luotiviivan poikkeama ellipsoidista normaalista 38 Suuntakorjaus paikallisesta horisontista vertausellipsoidiin Mitatut suunnat ovat paikalliseen horisonttiin projisoidut suunnat eli paikallisen horisonttitason ja jokaisen suunnan normaalitason välisten leikkausviivojen suunnatmikäli jätetään huomioimatta paikalliset luotiviivapoikkeamat (eli oletetaan että paikallinen horisonttitaso on sama kuin paikallinen vertausellipsoidin tangenttipinta), voidaan sanoa, että tähtäyssuunnat ovat suuntahavaintojen normaalitasojen ja ellipsoidipinnan leikkausviivoja, ts käyriä viivoja ellipsoidilla Tämä olettama ei ole kuitenkaan oikein Paikallinen horisontti on kohtisuora paikalliseen painovoimaan nähden jonka suunta eroaa jonkin verran vertausellipsoidin normaalin suunnasta Ilmiö kutsutaan luotiviivapoikkeamaksi (kuva 37) Luotiviivapoikkeamat ovat ξ pohjois-etelä-suunnassa ja η länsi-itä-suunnassa Kaavat: ξ = Φ ϕ η = (Λ λ) cos Φ missä (Φ, Λ) ovat tähtitieteellisesti määritettyjä leveys- ja pituusasteita Koordinaatit (ϕ, λ) taas ovat maantieteellisia leveys- ja pituusasteita, jotka ovat laskennallisia koordinaatteja kuten löytyvät kartoilta, laskettu tietyn vertausellipsoidin suhteen 3 Olkoon paikalliseen horisonttiin nähden mitattu atsimuti (absoluuttinen suunta) A, ja saman tähtäyksen atsimuti vertausellipsoidilla a Silloin voidaan sanoa, että A a = η tan Φ + (ξ sin A η cos A) cot z = = (Λ λ) sin Φ + ((Φ φ) sin A (Λ λ) cos A cos Φ) cot z (31) missä z on zeniittikulma ja A atsimuti Kaava 31 on ns Laplace-yhtälö Mikäli suunta on vaakatasossa on cot z = 0 ja ylläoleva korjaus on mittauspaikkakohtainen vakio, koska suuntakulman A riippuvuus häviää Alla oleva kuva selittää mistä molemmat termit on peräisin: ensimmäinen termi η tan Φ johtuu taivaannavan suunnan eri projektioista paikalliseen horisonttiin kuin vertausellipsoidin tangenttitasoon Se riippuu taivaannavan korkeudesta eli leveysasteesta Φ 3 Tämä merkitsee siis, että luotiviivapoikkeamat riippuvat valitusta vertausellipsoidista; Paikallisen vertausellipsoidin eli datumin valinta tehdään usein näin, että luotiviivapoikkeamien neliöllinen summa minimoituisi Eli, että ellipsoidi sopisi mahdollisimman yhteen hyvin paikallisen painovoimakentän tasopinnan eli geoidin kanssa

38 30 Luku 3 Koordinaattijärjestelmät Hic sunt leones Zeniitti Ellipsoidin normaali Luoti viiva Pohjantähti Horisontti Ellipsoidin tangenttitaso Tähys Havaitsija a A Φ Zeniitti Luoti viiva Ellipsoidin normaali Pohjantähti Hic sunt leones Tähys Horisontti Ellipsoidin tangenttitaso z Havaitsija a A Kuva 38: Laplace-ilmiö: luotiviivapoikkeaman vaikutus atsimutin suuntaan Toinen termi (ξ sin A η cos A) cot z johtuu tähyksen suunnan eri projektioista paikalliseen horisonttiin kuin ellipsoidin tangenttitasoon Se taas riippuu samalla tavalla tähyksen zeniittikulmasta z ja häviää jos z = Ellipsoidisten normaalien erisuuntaisuus Sen jälkeen kun suunnat on redukoitu paikallisesta horisonttitasosta vertausellipsoidin tangenttitasoon, kaikki ei ole vielä kunnossa Kuvassa 39 tämä on selostettu: Pisteen B tähtäyssuunta pisteessa A saadaan projisoimalla

39 38 Suuntakorjaus paikallisesta horisontista vertausellipsoidiin 31 B:n normaalitaso A:n normaalitaso A B N Geodeettinen viiva N A B A:n tangenttitaso B:n tangenttitaso Kuva 39: Luotiviivat eivät ole samassa normaalitasossa piste B pisteen A tangenttitasoon, ja pisteen A tähtäyssuunta B:hen taas saadaan projisoimalla piste B pisteen A tangenttitasoon Molemmat suunnat eroavat geodeettisen viivan eli lyhyin mahdollisen matkan viivan suunnasta ellipsoidin pinnalla Puhutaan normaalitasoista 4 : pisteen B atsimuti pisteessä A on kulma A:n meridiaanitason ja sen pisteen A normaalitason välillä, joka sisältää myös pisteen B Toisaalta, pisteen A atsimuti pisteestä B mitattuna on kulma B:n meridiaanitason ja sen B:n normaalitason välillä, joka sisältää myös A Nämä normaalitasot eivät yleensä ole samoja, ellipsoidin litistyneisyyden johdosta Vain jos pisteet A ja B ovat samalla meridiaanilla (ts niiden pituusaste on sama) tai molemmat ovat esim päiväntasaajalla, ovat normaalitasot identtisia ja geodeettinen viiva on suora (torsioton) käyrä, normaalitason leikkausviiva itse ellipsoidipinnan kanssa Geodeettisen viivan ja normaalitason atsimutien välillä on olemassa pienenpieni ero (Cooper, 1987) antaa kaavan δa [ ] = 2, l 2 sin 2A cos ϕ A jonka mukaan jopa sadan kilometrin kaarella ero on vain luokkaa 0, 03 Myös jos havaitut suunnat t i eivät ole absoluuttisia, on ne redukoitavia paikallisesta horisontista ellipsoidiin käyttämällä kaava 31, koska aniharvoin kaikki zeniittikulmat z i ovat tarkasti 100 gon Kolmioverkkoa tasoitetaan ellipsoidilla; tähtitieteelliset pohjoissuuntahavainnot ( Laplace-pisteet ) A redukoidaan myös ellipsoidiin kaavan 31 avulla, ja arvoja a käytetään silloin ehtoina koko verkon orientoimiseksi ja (mikäli on useita Laplace-pisteitä) vahvistamiseksi 382 Pituuskorjaus Tarkasti ottaen sähkömagneettisesti mitattu etäisyys ei ole suoran janan vain avaruuskäyrän pituus Tästä johtuvat korjaukset on annettu kirjassa (Blachut et al, 1979, s 113); esimerkiksi korjaus mitatusta suoraan janaan on 4 En normal section, ks (Cooper, 1987) luku 24 C = D (2k k2 ) D 3 24R 2

40 32 Luku 3 Koordinaattijärjestelmät H 1 N H 2 Luotiviiva poikkeama ξ,η Keskimeren pinta Vertaus ellipsoidi Karttataso Kuva 310: Etäisyysmittauksen korkeusreduktiot Tässä D on ei-korjattu, kaarta pitkin mitattu matka; C on korjattu matka k on ns refraktiokerroin, k = R /ρ, jossa ρ on mittaussäteen kaarevuussäde Typpillisesti k on arvoltaan Tämä korjaus on tärkeä vain pitkillä matkoilla, kymmeniä kilometrejä Myös kirjallisuudesta löytyvä ns toinen refraktiokorjaus kuuluu tähän ryhmään Aluksi valitaan sopiva vertaustaso, yleensä keskimerenpinta eli se pinta, johon paikallinen korkeusjärjestelmä on sidottu Suoraa janaa redukoidaan merenpinnan kaareksi seuraavalla tavalla Ensin merenpinnan janaksi kaavalla: C C s = 2 (H 2 H 1 ) 2 (1 + H 1 /R) (1 + H 2 /R), missä H 1 ja H 2 ovat päätepisteiden korkeudet merenpinnalta ja R on paikallisesti oikea vertausellipsoidin kaarevuussäde Sitten antaa kaaren pituus janan pituudesta S s = C s + C3 s 24R 2 Reduktio vertausellipsoidiin suoritetaan seuraavasti: S = S s + ( ξ cos A + η sin A ) (H 2 H 1 ) NS s R, missä ξ = (Φ φ) ja η = (Λ λ) cos φ ovat keskimääräiset luotiviivan poikkeamat sivua pitkin ja N on keskimääräinen geoidin korkeus Näin saadut vertausellipsoidille projisoituja kaaren pituuksia voidaan käyttää suoraan verkkotasoituksessa jos reduktio suoritetaan maantieteellisissä koordinaateissa ellipsoidin päällä

41 33 Keskistykset, asematasoitus Luku 4 Usein ei ole mahdollista laittaa havaintokojetta tai tähystä varsinaiseen kohteeseen Silloin käytetään epäkeskinen koje- tai tähyspaikka ja tehdään laskennallinen korjaus, ns keskistys On tärkeätä huomauttaa, että ilman keskistyshavaintoja epäkeskisesti suoritetut varsinaiset havainnot ovat arvottomia Huomaa myös, että kun sekä mittauskoje että tähys ovat mitattavan pisteen yläpuolella, on pystysuunnassa aina kyse keskistyksestä Pystykeskistysalkiot eli kojeen ja tähyksen tai GPS-antennin korkeudet on syytä mitata niin kauan kuin kolmijalka on vielä pystyssä 41 Vaakakeskistys Jos koje pystytetään pisteeseen H eikä K, tehdään suuntahavainnossa virhe ε Vaakageometrian keskistysalkiot e, ν mitataan havaintopaikalla: e etäisyys vaakatasossa H:n ja K:n välillä ν vaakakulma KHT Nyt voidaan laskea (ks kuva) sinisääntöä käyttäen: sin ε sin ν = e s eli sin ε = e sin ν, jossa s s etäisyys vaakatasossa K:n ja T :n välillä Jos ε on riittävän pieni, saadaan ε eρ /s sin ν, missä ρ on tuttu radiaanin suuruus ilmaistuna käytetyssä kulmayksikössä, jos käytetään gooneja Jos mittauksesta on saatu s, saadaan s kaavan s /sin ν = s /sin α avulla, missä α = 200 g ν ε Jos, kuten on tavallista, mittaukset on suoritettu avaruudessa, pitää laskea vaakaetäisyydet avaruusjanoista Tätä varten esitetään seuraavat suureet: H K H T kojepaikassa olevan tähyksen korkeus merkistä tähyksen korkeus merkistä K e α ε Oikea suunta T s ε s Tähys (keskisesti) ν Havaittu suunta H Kuva 41: Keskistys vaakatasossa

42 34 Luku 4 Keskistykset, asematasoitus z HK z HT mitattu zeniittikulma H:ssa olevasta kojeesta pisteen K tähykseen mitattu zeniittikulma H:ssa olevasta kojeesta pisteen T tähykseen Nyt lasketaan vaakaetäisyydet seuraavaksi: e = e sin z HK ; s = s sin z HT Mikäli zeniittikulmat ovat lähellä 100 g, ei ole niiden tarkka mittaus kriittinen 42 Korkeuskeskistys Myös korkeuskeskistys voidaan suorittaa: tarkoitus on laskea merkkien välinen korkeusero H T H K käytettävissä olevistä mittauksista Seuraavasti: H T H K = (H T H H ) (H K H H ) = = (s cos z HT H T + H H ) (e cos z HK H K + H H ) = = s cos z HT e cos z HK H T + H K, josta H H, kojeen korkeus H:n merkistä, on sopivasti pudonnut pois Mikäli ei koje vaan tähys on epäkeskinen, saadaan korjauskaava vastaavalla tavalla Silloin keskistysalkiot e, v ja z HT mitataan tähyksen paikalla 43 GPS-keskistys GPS-mittausten yhteydessä on usein myös suoritettava keskistys, jos mittaus varsinaisessa pisteessä ei ole mahdollista GPS:n tapauksessa tarvitaan absoluuttiset eli orientoidut keskistyselementit: olkoon mitattuna kolmiulotteiset keskistysalkiot e, ν ja z HK epäkeskisellä pisteellä H, ja suuntakulma (atsimuti) A HT tähykseen päin, niin voidaan laskea suuntakulma A HK = A HT ν Redukoitu zeniittikulma z red HK, siis zeniittikulma pultista pulttiin, saadaan seuraavasti 1 : e red cos z red HK = e cos z HK H K + H H (41) Samalla myös e redukoidaan pultista pulttiin -etäisyydeksi seuraavan kaavan avulla: e red sin z red HK = e sin z HK, (42) täytyy tehdä jos jana HK ei ole vaakatasossa Ilmeisesti kaavat 41 ja 42 on ratkaistava yhdessä, iterativisesti Meillä on nyt seuraavat absoluuttiset (napa-) keskistysalkiot kolmessa ulottuvuudessa: A HK, e red ja z red HK 1 Huomaa, että GPS-mittaukset tehdään aina pultista sillä tavalla, että antennin korkeus pultista on aina osa haivaintotiedostoa, ja se otetaan automaattisesti huomioon Siksi reduktio pulttiin on tarpeen

43 44 Vaakakulmien asematasoitus 35 Absoluuttisia keskistyselementtejä annetaan usein North, East, Up -järjestelmässä: N HK = e red cos A HK sin zhk red E HK = e red sin A HK sin zhk red U HK = e red cos zhk red Tässä on siis koordinaattierot muodossa keskipiste minus epäkeskinen piste Usein ne annetaan myös muodossa epäkeskinen piste minus keskipiste Aina on kirjallisuuslähteestä selvitettävä, kumpi muoto on valittu GPS-mittausten yhteydessä annetaan usein keskitysalkiot geosentrisesti: X, Y, Z Konvertointi N EU-systeemiin on suoranaista Kirjoitetaan N E U = R ϕ R cos ϕ λ h, ja (pallon geometria) X Y Z = (R + h) cos ϕ cos λ cos ϕ sin λ sin ϕ X Y Z = = R sin ϕ cos λ R cos ϕ sin λ cos ϕ cos λ R sin ϕ sin λ +R cos ϕ cos λ cos ϕ sin λ R cos ϕ 0 sin ϕ sin ϕ cos λ sin λ cos ϕ cos λ sin ϕ sin λ + cos λ cos ϕ sin λ cos ϕ 0 sin ϕ N E U ϕ λ h = Käänteistä muunnosta: N E = U on helppoa verifioida 2 sin ϕ cos λ sin ϕ sin λ cos ϕ sin λ + cos λ 0 cos ϕ cos λ cos ϕ sin λ sin ϕ X Y Z 44 Vaakakulmien asematasoitus Asematasoitus eli teodoliitilla tehtyjen useiden havaintosarjojen yhdistäminen yhdeksi optimaaliseksi ratkaisuksi on tasoitustehtävä, vaikkakin lähes triviaalinen sellainen Tässä annetaan esimerkki, missä on havaittu neljä mittaussarjaa kolmeen tähtyyssuuntaan Jokaisen sarjan kaksi kojeasemaa on jo yhdistetty Tässä esimerkissä on sarjoja s = 4, tähtäyksiä r = 3, siis havaintoja n = rs = 12 Tuntemattomien tähtäysten määrä sarjakeskiarvossa on r 1 = 2 Jokaisessa sarjassa on yksi 2 Itse asiassa syy, miksi tämä on niin helppo on, että kyseessä on ortogonaalinen rotaatiomatriisi, jolle pätee R 1 = R T

44 36 Luku 4 Keskistykset, asematasoitus orientointituntamaton 3 Siis ylimääräisiä havaintoja (redundanssi, vapausasteiden määrä) on rs (r 1 + s) = (r 1) (s 1) Havaintoyhtälö on 4 t ij + v ij = A j Ω i, missä i = 1 4 on sarjan numero, j = 1 3 suunnan numero, Ω i sarjan vaakakehän orientointituntematon, A j tähyksen suuntatuntematon (mitatun sivun atsimuti), ja t ij (raaka) suuntahavainto Tämän lisäksi on kiinnitettävä yksi suunta tai suuntien lineaariyhdistelmä, jotta koko ongelma olisi ratkaistavissa (suhteellisista kulmahavainnoista ei voi ratkaista absoluttisia suuntia) Eli vaaditaan lisäksi vaikkapa 5 : A 1 = 0 (43) Seuraavassa annetaan ilman todistusta, miten voi laskea asematasoituksen tulos ja miten sitä voi järjestää yksinkertaiseksi latkentataulukoksi Menetelmä on tilastollisesti optimaalinen 441 Kulmamuunnos Ensin suoritetaan seuraava toimenpide (kulmamuunnos): Vähennetään jokaisesta havainnosta t ij paitsi joka sarjan ensimmäisestä, sarjan ensimmäinen havainto t i1 3 Tilanne on hieman sama kuin GPS-mittauksessa Sielläkin jokaisen vastannottimen kaikki havainnot sisältävät kellovirhetuntematomman T, ja siksi havaintosuure kutsutaan pseudoetäisyys- eikä etäisyyshavainnoksi Samoin voitaisiin tässä puhua pseudosuuntahavainnoista Tällaiset ei-kiinnostavat lisätuntemattomat kutsutaan nuisance parametereiksi 4 Siis rakennematriisi on, neljän sarjan ja kolmen tähtäyksen tapauksessa: A = jos havaintojen vektori on l = [ t 11 t 21 t 31 t 12 t 22 t 32 t 13 t 23 t 33 t 14 t 24 t 34 ] T ja tuntemattomien vektori x = [ A i A 2 A 3 Ω 1 Ω 2 Ω 3 Ω 4 ] T, jolloin havaintoyhtälöt kirjoitetaan muotoon l + v = A x, v ollessa jäännösvirheiden vektori 5 Täysin mielivaltainen Yhtä hyvin A 2 = 0, A 3 = 0, tai vaikkapa A 1 + A 2 + A 3 = 0 joka olisi ainakin demokraattinen,

45 44 Vaakakulmien asematasoitus 37 Määritellään myös tuntemattomat uudelleen (siis, ne eivät ole enää absoluuttisia tämän jälkeen): T j A j A 1 Ratkaisu on nyt: T j = 1 s eli tasoitettu kulmamuunnos on sarjojen kulmamuunnosten keskiarvo Tässä voidaan mielivaltaisesti asettaa T 1 0 T -arvot ovat tasoitetut, mutta relatiiviset suunnat, eivätkä absoluuttiset atsimutit s i=1 Nyt saadaan ratkaisuksi orientaatiotuntemattomille: Ω i = 1 r r j=1 442 Jäännösvirheet ja vapausasteet t ij (t ij T j ) Nyt, kun tuntemattomat T j ja Ω i on laskettu, tarkemmin estimoitu pienimmän neliösumman menetelmän avulla, voidaan myös laskea jäännösvirheet eli residuaalit: v ij = T j Ω i t ij Olkoon suuntahavaintojen t ij keskivirhe σ (ja sama kaikille) ja olkoon suuntahavainnot korreloimattomia Siinä tapauksessa havaintojen varianssimatriisi on Q ll = Var {l} = σ 2 I s r, jossa I s r on (s r) (s r)-kokoinen yksikkömatriisi Tässä tapauksessa suure ( siirtosuure, Baarda) E = v T Q 1 ll v = 1 σ 2 s i=1 r v 2 ij = 1 σ 2 on jakautunut ns χ 2 b-jakauman mukaan, jonka odotusarvo on b, vapausasteiden eli ylimääräisten havaintojen määrä Aikaisemmin nähtiin, että b = (r 1) (s 1), kulmamuunnosten (riippumattomien suuntamittausten) määrä kerrottuna ylimääräisten sarjojen määrällä Siis E on jakautunut χ 2 (r 1)(s 1) mukaan ja sen odotusarvo on (r 1) (s 1) Eli: { } { } 1 E v 2 σ 2 ij = (r 1) (s 1) σ 2 i,j = E v2 ij, (r 1) (s 1) jä näemme, että i,j j=1 σ 2 s i=1 r j=1 v2 ij (r 1) (s 1) on yhden havainnon varianssin σ 2 harhaton estimaattori: { } E σ2 = σ 2 i,j v 2 ij

46 38 Luku 4 Keskistykset, asematasoitus 443 Asematasoituksen laskentataulukko Asematasoitus koostuu seuraavista askeleista: 1 Kiinnitetään mielivaltaisuus suuntien määrittelyssä, esim kiinnittämällä ensimmäinen suunta nollaan, T 1 = 0; tätä kutsutaan kulmamuunnokseksi Se tehdään vähentämällä ensimmäinen havaittu suuntaluku saman sarjan muista suuntaluvuista 2 Lasketaan jokaiselle suunnalla sen suuntahavaintojen keskiarvot kaikkien sarjojen kesken 1 s t ij jokaiselle suunnalle j; s i=1 3 Lasketaan havaintojen residuaalit sarjakeskiarvojen suhteen v ij = t ij 1 s s t ij ; 4 Lasketaan ensimmäisten residuaalien v ij summat jokaisen sarjan kaikkien suuntien yli: ( ) 1 r v ij = 1 r t ij 1 s t ij ; r r s i=1 i=1 5 Lasketaan lopulliset residuaalit v ij = v ij 1 r v r ij, mikä vastaa juuri residuaalit, jos i=1 annettaisiin jokaiselle sarjalle oman orientointituntemattoman Ω j suuntien tuntemattomien A i lisäksi, kuten alkuperäisessä havaintoyhtälöryhmässä Lopputulos on yksinkertaisesti esitetty laskentataulukko (taulukko 41), joka pitää sisällään nämä operaatiot ja pitäisi olla ilman selitystäkin selvä Kaavan täyttämisen jälkeen (järjestyksessä sarjakeskiarvo, v, sarjakohtainen summa, v) yhden tähtäyksen (eli painoyksikön) keskivirhe lasketaan ensin laskemalla residuaalien neliösumma kaikkien sarjojen ja tähtäyssuuntien residuaalien yli: v T v = s i=1 j=1 r vij 2 = [vv] j=1 (viimeinen kirjoitustapa on Gaußin keksimä joka joskus vielä käytetään) Sitten lasketaan (eli estimoidaan 6 ) v σ = σ2 = T v rs (r + s) + 1 = v T v (r 1) (s 1) = 3, 7cc Tässä: rs havaintojen määrä (r suuntaa s sarjassa) r +s tuntemattomien määrä (r suuntatuntematonta A i, s orientaatiotuntematonta Ω j ) } 6 Huomaa, että E { σ2 = σ 2,mutta kuitenkin E { σ} σ! Syy tähän on, että E-operattoria ja neliöjuurta ei saa vaihtaa keskenään: yleisesti E { x} E {x} Todistus vastaesimerkillä: jos x todennäköisyysjakauma on p (1) = 0, 5, p (4) = 0, 5, ja muulloin p (x) = 0, me saadaan E { x} = 1, 5 mutta E {x} = 2, 5 1, 58 Siis σ ei ole harhaton vaikka σ2 on j=1

47 44 Vaakakulmien asematasoitus 39 Kulmamuunnos (gon) v (cc) v (cc) 1 sarja 0, ,7 68, ,3 209, ,3 Sarjan summa, keskiarvo: ,7 2 sarja 0, ,3 68, ,3 209, ,7 Sarjan summa, keskiarvo: +4 +1,3 3 sarja 0, ,7 68, ,7 209, ,3 Sarjan summa, keskiarvo: -7-2,7 4 sarja 0, ,7 68, ,3 209, ,3 Sarjan summa, keskiarvo: Sarjakeskiarvo Taulukko 41: Asematasoituksen laskentataulukko Luku +1 edustaa ongelman defekti eli ratkaisuavaruuden ulottuvuus: se yllä mainittu seikka, että suureen lisääminen sekä A i :hin että Ω j :hen ei vaikuta havaintoihin millään havaittavalla tavalla, ja siis, että ratkaisu ei ole yksiselitteinen ilman yhtä lisäehtoa 7, esim A 1 = 0 Suuretta rs (r + s) + 1 = (r 1) (s 1) kutsutaan vapausasteiden määräksi Tämän jälkeen sarjakeskiarvon keskivirheen estimaatio on σ s = σ s = 1, 8 cc 7 Tätä lisäehtoa voidaan myös ymmärtää pseudo-havainnoksi : silloin havaintojen määrä on rs + 1

48 40 Luku 4 Keskistykset, asematasoitus

49 41 Vaaitus Luku 5 51 Vaaitusrefraktio Refraktiomallia kuvaavat parametrit ovat: α maaston kaltevuus dt lämpötilan pystygradientti eli muutos korkeuden funktiona tai funktio t (h) itse dh Kansainvälisesti asia on tutkittu paljon, etenkin TJ Kukkamäen tutkimukset ((Kukkamäki, 1938), (Kukkamäki, 1939)) on mainittava Kuvan 51 mukaisesti oletetaan, että isotermiset pinnat (saman lämpötilan pinnat) ovat samansuuntaisia maan pinnan kanssa Siksi isotermisten pintojen kulma paikallisen vaakasuunnan kanssa on α Suurin vaikeus on ilman lämpötilan pystygradientin dt, tai vaihtoehtoisesti koko funktion dh t (h), määrittäminen Tarkkaa mittausta on yritetty, mutta vaikea, mallinta (pilvisyyden, maaperän ominaisuuksien, auringon korkeuden jne jne funktiona) on jonkin verran tuottanut tuloksia 52 Vaaituksen satunnaiset virheet Kohdistus e t p t s t s e p e α Kuva 51: Vaaitusrefraktio

50 42 Luku 5 Vaaitus Väreily, huojunta; ehkäisykeino mittaamien pilvisinä päivinä, tai kuumina päivinä aamulla ja illalla Kuplan vaeltaminen, esim kun asfaltti kolmijalan alla on pehmeä kuumana kesäpäivänä Lattojen (tai kilpikonnan) vajoaminen, lika latan pohjalevyssä Pohjalevyn kuluminen johtuu epätasaisuuteen Eripitkät tähtäykset Ilmakehä eli refraktio Käytännössä tarkka korjaus ei ole oikein mahdollista, siksi valitaan yhtäpitkät tähtäykset Ja mäkisessä maastossa se ei edes auta, ks kuva Vaaituksen systemaattiset virheet Ilmakehä: Latat: Refraktio Tähtäys aina vähintään 50 cm maan pinnan yläpuolella Sään oltava sopiva, mieluiten pilvinen Lämpötilan gradientit (etenkin pystygradientti) mahdollisimman pieniä Lämpötilan vaikutus kojeisiin Kojeen annettava lämmetä tai viiletä ilman lämpötilaan noin minuutin verran jokaiselle Celsiusasteen lämpöerolle Koje ja latat on suojeltava suoralta paisteelta kuljetettaessa ja mitattaessa, laatikot, päivänvarjot, ei kosketella kojeita Tarkimmissa mittauksessa käytetään invarnauhan lämpölaajenemiskorjausta 1 Jaotusvirheet a) mittakaavavirhe; korjataan korkeuseroihin, ei lukemiin (ne ovat lattametreissä ) b) jakoviivojen satunnaiset virheet Perinteisesti niitä ei korjattu (oletettiin käyttäytyvän satunnaisesti), nykyisin on olemassa automaattinen lattakalibrointi missä kaikki viivat mitataan c) nollapistevirhe jaotus alkaa eri kohdasta latan alapään nähden eri latoissa Lääke: valitse parillinen määrä kojeasemia ja siirrä aina takalatta uuteen pisteeseen, silloin nollapistevirhe eliminoituu! d) Säännöllinen tarkastus, säännöllinen kalibrointi! Nykyisin on mahdollista kalibroida latat automaattisesti, jolloin kaikki viivat tulevat kalibroiduiksi 2 Lattatasaimen virhe Ei kumoudu vain menee latan mittakaavaan: lukemat aina liian suuria Tasain tarkistettava säännöllisin välein pitkän luotinarun avulla

51 54 Vaaituksen karkeat virheet 43 Kojeet: Pienet tasausvirheet harmittomia: esim 0, 1 gon 0, 0015 rad (15 mm kallistus metria kohtaan, näkyy selvästi luotinarun avulla) aiheuttaa kaavan cos α = α2 mukainen, relatiivinen virhe: Toisin sanoen, 1 mm per km korkeusero 0, 5 0, = 0, = 1 ppm Jo yhden goonin tasausvirhe antaisi 100 ppm:n, eli 10 cm per km, korkeuseron virheen, mikä ei ole enää hyväksyttävissä Tasainten säännöllinen tarkastus! Ensin on varmistettava, että tähtäys- ja tasainakselit ovat yhdensuuntaisia Tämä tarkistus on helppo, ks Johdanto geodesiaan -luentomoniste Jos valitaan etu- ja takaetäisyydet suunnilleen yhtäpitkiksi, kumoutuu mahdollinen jäännösvirhe Kojeen vajoaminen mittauksen aikana tai jalustat painuvat kasaan Asfaltti kuumana päivänä vaarallinen! Kompensaattorin virheet itsetasaavissa kojeissa (automaattikojeissa) Geomagneettinen vaikutus lienee korjattua valmistajien toimesta Vain kaiken tarkimmissa kojeissa Arviointivirheet latta luettaessa, jos ei optista mikrometriä Parallaksi Hyvä fokusointi tärkeä; silmälasit voi ottaa pois ellei sylinterilasit 54 Vaaituksen karkeat virheet Vaaituksella on tekniikkana huono redundanssi, eli se kontrolloi havaintoja huonosti Siksi on tarkoissa ja tuotannollisesti tärkeissä mittauksissa (siis: aina!) tehtävä sidos kahteen toisistaan riippumattomaan lähtöpisteeseen Lisäksi tarkoissa mittauksissa voidaan vaaitus suorittaa kahta rinnakkaista mittausta käyttämällä; kaksiasteikkoiset latat Asteikot voivat olla latan samalla puolella tai latan eri puolilla (kääntölatta) Asteikot alkaavat eri pisteistä (suuri ero suositeltava!); asteikkojen erotus lisäksi saa olla kokonaisluku, jotta asteikkojen pyöristysvirheet olisivat tilastollisesti riippumattomia Kutsutaan takalattaan mittausta t 1, t 1 ja etulattaan mittausta e 1, e 1 Silloin oikea mittausmenetelmä systemaattisten virheiden minimoimiseksi on t 1, e 1, e 1, t 1 Kahden asteikon lisäksi voidaan käyttää (ja joskus käytetäänkin, jos pelataan varman päällä) kaksi latta, tai kaksi kojetta Kaikissa tapauksissa saadaan kaksi korkeuseroa: H = t 1 e 1 H = t 1 e 1

52 44 Luku 5 Vaaitus Kuva 52: Kaksoisasteikko t 1 t 1 t e 2 1 t t e 2 e t 3 e 2 Kuva 53: Kahden latan käyttö Yleisemmin, jos on mitattu n:llä kojeasemalla i = 1,, n pisteestä A pisteeseen B: Välin varianssi: H i = t i e i ; h AB = σ 2 H i = σ 2 t i + σ 2 e i n t i i=1 n i=1 e i Linjan varianssi: σ 2 H AB = 2 n σi 2 = 2nσ0, 2 jossa σ 2 0 on yhden eteen- tai taakse- mittauksen varianssi Vaaituksen laadun mitaksi käytetaan usein ns kilometrikeskivirhettä i=1 σ 2 0 = w2 s Yhdestä w-arvosta ei saada luotettavia likiarvoa Monesta linjasta saadaan luotettavampi

53 55 Yksittäisen vaaitusjonon laskeminen 45 t 1 t 1 t 2 t 2 e 1 e 1 e 2 e 2 Kuva 54: Kahden kojeen käyttö tulos: σ 2 0 = 1 n n i=1 w 2 i s i, (51) missä i = 1,, n on vaaituslinjojen laskuri Jos on kyse kaksinkertaisen vaaituksen tuloksesta, voidaan laskea niiden erotuksista ja d = H H σ 2 0 = 1 2n missä nyt i = 1, n laskee mitatut korkeuserot (välit), usein suuri luku Kahden mittauksen keskiarvon keskivirheen estimaatti σ 0,2 saadaan seuraavasti: n i=1 d 2 i s i, σ 2 0,2 = σ Havaittu seikka, josta on oltava tietoinen, on että mitä suurempi havaintoaineisto yritetään sovittaa yhteen, sitä suuremmaksi arvio σ 2 0 muodostuu Myös tasoverkkotasoituksessa verkosta saatu arvo on useimmiten huomattavasti suurempi kuin mitä asematasoitukset ovat antaneet Samalla vaaitusverkoissa: välien edestakaisesta mittauksesta saaty σ 2 0 on aina pienempi kuin mitä linjoista saa, ja se on taas pienempi kuin vaaitusverkkotasoituksesta saatu arvio Tämä on vain looginen seuraus siitä, että laajempi aineisto on aina saatu suuremmalta alueelta ja pitemmältä mittausajalta, jolla on voinut tapahtua enemmän tarkuutta huonontavia seikkoja: puutteellisesti mallinnettuja geofysikaalisia tai ilmatieteellisia ilmiöitä, laitteiden ominaisuuksien muuttuminen, jne jne 55 Yksittäisen vaaitusjonon laskeminen Lähdetään kilometrikeskivirheen hypoteesista, eli oletus, että jos vaaituslinjan pituus on s, sen päätepisteiden korkeuseron h varianssi on σ 2 h = σ 2 0 s, (52) missä σ 0 on kilometrikeskivirhe Tällä järkeväksi osoitetulla olettamuksella voidaan käyttää pistevälin pituus vaaitusjonon tasoituksen painona

54 46 Luku 5 Vaaitus Pisteväli s, km dh, m ,4 0, ,6 2, ,0 3, ,2 0,517 Σ 22 6,760 Tunnetaan H 13 = 78, 278 m, H 16 = 85, 002 m; ero H 16 H 13 = 6, 724 m Sulkuvirhe w = +0, 036 m Tasoitettu korkeus: H k = alkukorkeus {}}{ + H T korkeuserot { }} { k dh i i=1 tasoituskorjaus { }} { k i=1 p i n i=1 p i w missä H T lähtöpisteen (13) korkeus Painoluvuiksi otetaan linjan pituus, p k = s k Esimerkissä:, Syy miksi p k = s k : p 1 = 0, 4 p 1 + p 2 = 0, 4 + 0, 6 = 1, 0 p 1 + p 2 + p 3 = 0, 4 + 0, 6 + 1, 0 = 2, 0 p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 0, 4 + 0, 6 + 1, 0 + 0, 2 = 2, 2 Myöhemmin luvussa 113 näytetään, että ehtotasoituksena vaaitussilmukan tasoituksessa tilastollisesti oikeat (optimaaliset) painot ovat vaaitusvälien mittausvarianssit σ 2 H i Vaaituksessa pätee kilometrivirhe-olettamus (kaava 52) Tämä merkitsee, että vaaitusvälin varianssi on suoraan verrannollinen sen pituuteen Tämä taas merkitsee, että voidaan käyttää vaaitusvälien pituudet tasoituksen painoina Miksi kilometrivirhe-olettamus pätee? Yksi havainto vaaitusjonon tasoituksessa on pulttivälin korkeusero Tämä ero on useiden taakse-eteen -lukemien erostusten summa: (ht h e ) = H Yhden tällaisen erotuksen keskivirhe on aina sama (sama menetelmä, sama koje, suunnilleen sama mittausetäisyys, : σ i Korkeuseron H keskivirhe saadaan summan keskivirheenä eli σ H = σ 2 i, σ 2 H = n σi 2 = nσi 2 i=1 Summattavien erotuksien eli kojeasemien lukumäärä pulttivälillä on suoraan verrannollinen vaaittuun matkaan eli varianssi σ 2 H on myös suoraan verrannollinen vaaittuun matkaan s: σ 2 H = σ 2 0s (53)

55 55 Yksittäisen vaaitusjonon laskeminen 47 Numeroesimerkki: Tässä numeroesimerkissa käytetään luvussa 113 johdetut tasoitetun korkeuseron varianssin kaavat σ0 2 = 385, 6 mm 2 /km (kaava 51) ( σ H 2 1 = σ ) = 125, 6 mm 2 σ H1 = 11, 2 mm eli 28 ppm 22 ( σ H 2 2 = σ ) = 168, 3 mm 2 σ H2 = 13, 0 mm eli 22 ppm 22 ( σ H 2 3 = σ ) = 210, 3 mm 2 σ H3 = 14, 5 mm eli 15 ppm 22 ( σ H 2 4 = σ ) = 78, 1 mm 2 σ H4 = 8, 4 mm eli 42 ppm 22 Tasoitetut korkeudet (huom: 0, 0164 on w Σs = 0, 036 2, 2 ): H 1 = 78, , 534 0, 4 0, 0164 = 78, 806 H 2 = 78, (0, , 634) 1, 0 0, 0164 = 81, 430 H 3 = 78, (0, , , 075) 2, 0 0, 0164 = 84, 488 Tarkistus: pisteelle 16 pitää saada annettu korkeus takaisin: H 16 = 78, (0, , , , 517) 2, 2 0, 0164 = 85, 002 Tasoitettujen korkeuksien keskivirheet (varianssit) Käytetään mittausvälien varianssit painoina: σ 2 H k = k i=1 k ) σ H 2 i=1 i (1 σ2 H i n i=1 σ2 H i Korkeuksien varianssit käyttämällä välien pituudet painoina, kaavan (53) mukaan: σ 2 H k = = ( k ) k σ0s 2 i 1 σ2 0 i=1 s i σ0 2 n i=1 s = i k ) k σ0s 2 i=1 i (1 s i n i=1 s i i=1 i=1 σ 0 kilometrikeskivirhe tai sen arvio eli estimaatti σ 0 :n arvio voidaan saada esim sulkuvirheesta Jos on käytettävissä vain yksi sulkuvirhe (vaaituslinja), arvio tulee olemaan karkea Jos sulkuvirhe on w, on suure ω w σ o s

56 48 Luku 5 Vaaitus jakautunut normaalisti (ts Gaußin kellokäyrän mukaisesti) odotusarvolla E {ω} = 0 ja keskivirheellä 1 (standardi-normaali jakauma, N {0; 1}) Kirjallisuudesta ((Cooper, 1987)) löytyvien taulukoiden mukaan on todennäköisyys, että ω > 196, eli w > 196σ 0 s, vain 5% Jos näin on kuitenkin asian laita, voidaan tehdä johtopäätös, 95%:n luottamustasolla 1, että joko 1 σ 0 on arvioitu liian pieneksi; tai 2 mittauksessa on karkea virhe Kuten yllä jo selostettu, jos on käytettävissä useita sulkuvirheitä (esim useasta linjasta ja/tai edestakaisesta vaaituksesta) voidaan estimoida kilometrikeskivirhe seuraavasti: missä n on sulkuvirheiden määrä σ 2 0 = 1 n n i=1 w 2 i s i, 1 Siis: emme voi sanoa, että todennäköisyys, että on tapahtunut virhe, on 95%!

57 49 Korkeuden mittaus ja käsittely Luku 6 61 Refraktiokerroin Refraktiota kuvataan usein samanlaisella tavalla kuin Maan kaarevuutta: Käytetään refraktiokerrointa k, joka kuvaa valonsäteen kaarevuussäteen r ja Maapallon kaarevuussäteen R keskinäistä suhdetta: k = R/r Jos jätetään mahdolliset ilman taitekertoimen n vaihtelut vaakasuunnassa huomioimatta, voidaan valonsäteen kaarevuus kirjoittaa n:n pystygradientin funktiona: k = R dn sin β, dh missä dn on taitekertoimen pystygradientti ja β valonsäteen ja paikallisen vertikaalin välinen dh kulma, yleensä lähellä 100 gon dn dh lämpögradientista dt dh liittyy tiivisti sääolosuhteisiin ja voidaan laskea ilman Avoimessa ilmakehässä kaukana maan pinnalta ilman lämpögradientti asettuu adiabaattisen gradientin mukaan Adiabaattinen gradientti on se raja-arvo, jonka yläpuolella syntyy voimakasta konvektiivista lämpökuljetusta Kysymys on, mitä tapahtuu pienellä ilmakuplalla, joka nousee Kun se nousee, se myös laajenee kun ympäröivä ilmanpaine vähenee Laajenemisella se tekee työtä ympäröivään ilmaan ja siten jäähtyy Jos nyt kuplan lämpötila on alhaisempi kuin ympäröivän ilman, se on sitä painavampi ja vajoaa takaisin Jos kupla on kuitenkin lämpimämpi eli kevyempi kuin ympäröivä ilma (ts jos kuplan ulkopuolella vallitsee voimakkaasti negatiivinen lämpögradientti) se jatkaa nousuaan ja syntyy voimakas konvektio, joka pyrkii tasoittamaan lämpögradientti Gradientin raja-arvo eli (negatiivinen) adiabaattinen gradientti (en adiabatic lapse rate) on kuivalle ilmalle 98 C/km; kostealle ilmalle se vaihtelee, mutta on tyypillisesti n 5 C/km Kirkkaana päivänä ilman lämpögradientti on lähellä adiabaattista gradienttia (paitsi aivan lähellä maan pintaa) Konvektiosolut näkyvät lammaspilveinä (cumulus) ja voidaan käyttää hyväksi purjehduslennossa (termiikka) Kirkkaana yönä toisaalta se voi aamupäivään mennessä olla vahvasti positiivinen (inversiosää), kun maan pinta jäähtyy säteilemällä lämpöenergiansa avaruuteen, ja kylmyys siirtyy myös alimpiin ilmakerroksiin Tämä toimii vain jos ilma on riittävän kuiva, muulloin voi syntyä sumua

58 50 Luku 6 Korkeuden mittaus ja käsittely Pystykehän nollasuunta Luotiviiva Luotiviiva Pystykehän nollasuunta y 0 z z 1 P z 2 0 y z z 1 P Käännä 1 kojeasento 2 kojeasento Kuva 61: Pystykulmamittaus 62 Pystykulma Pystykulmien havaitseminen korkeuden mittauksessa: Pystykulmat havaitaan kahdessa kojeasennossa I ja II, kohde kerrallaan, absoluuttisena mittauksena, referenssina luotiviiva Mittaamalla kahdessa asennossa voidaan eliminoida kojeen pystykehän indeksivirhe y, ks kuva Indeksivirhe on se, että pystykehästä luettu arvo ei ole tarkasti 100 g (kojeasento I) tai 300 g (kojeasento II), vaikka tähys olisi samassa korkeudessa kuin koje Olkoon tähyksen oikea zeniittikulma z Ensimmäisessä kojeasennossa mitataan arvo z 1 = z + y; toisessa arvo z 2 = 400 g z + y Yhdistämällä saadaan lasketuksi erikseen sekä oikea arvo z = 1 2 (400g + z 1 z 2 ), että indeksivirhe y = 1 2 (z 1 + z g ) Koska indeksivirhe kompensaattorikojeissa muuttuu lineaarisesti, jaksollisesti tai monimutkaisemmalla tavalla, mutta ainakin hitaasti, on mittaukset suoritettava mahdollisimman lyhyellä aikavälillä Silloin, jos y 1 y 2, saadaan käyttämällä sokeasti yo kaava: eli tehty virhe on z lask = 1 2 (400g + z 1 z 2 ) = z (y 1 y 2 ), z lask z = 1 2 (y 1 y 2 ) Vaihtoehtona voidaan käyttää suhteellinen pystykulman mittausta tunnetun pisteen suhteen Tällä tavoin voidaan eliminoida myös joitakin muita kojevirheita

59 63 Trigonometrinen korkeudenmittaus 51 z D s t i H K H H T Kuva 62: Trigonometrinen korkeudenmääritys 63 Trigonometrinen korkeudenmittaus 631 Periaate, virhepropagaatio Trigonometrinen korkeudenmittaus käytetään lyhyillä etäisyyksillä 1 (s < 250 m) Tässä tapauksessa ei oteta mukaan maan kaarevuutta eikä refraktion vaikutusta Kuvassa suureilla on seuraavat merkitykset: z D i t pystykulma (paikallisen luotiviivan suhteen) vinoetäisyys kojeen korkeus tähyksen korkeus H = D cos z + i t (61) H T = H K + H Tarkkuus virhepropagaatiolla eli varianssien kasautumislailla; kertoimet saadaan osittaisdifferentioimalla kaava 61 Eli δ ( H) = H D δd + H z δz = cos z δd D sin z δz, ja (järkevästi olettaen, että D ja z ovat toisistaan tilastollisesti riippumattomia) σ 2 H = (cos z) 2 σ 2 D + ( ) 2 D ρ sin z σz 2 + σi 2 + σt 2 Tässä ρ on 400 2π, muunnoskerroin radiaaneista gooneihin: oletetaan, että σ z on annettuna goonit yksikkönä Vaihtoehtoisesti jos D:n sijaan tulee mitatuksi vaakaetäisyys s: Samoin tarkkuus tassa tapauksessa kaavasta 62: σ 2 H = (cot z) 2 σ 2 s + H = s cot z + i t (62) ( ) 2 s ρ sin 2 σz 2 + σi 2 + σt 2 z 1 Perinteisesti trigonometrinen korkeudenmääritys on tehty myös vuoristoisessa maastossa, mm Lapissa, jolloin mittausetäisyydet olivat kymmeniä kilometreja

60 52 Luku 6 Korkeuden mittaus ja käsittely z t,1 z e,2 z t,2 D 2 z e,1 D 1 H Kuva 63: Trigonometrinen vaaitus 632 Trigonometrinen vaaitus Kutsutaan etutähys e ja takatähys t Niiden välisen korkeuseron H määrittämiseksi käytetään kaava missä D z e, z t H i = D i cos z e,i = D cos z t,i = 1 2 D i (cos z e,i cos z t,i ), mitattu vinoetäisyys mitatut zeniittikulmat i = 1, 2, mittausväli Pistevälin korkeuseron varianssi (johdetaan samalla tavalla kuin yllä): σ 2 H i = Oletus: σ z = σ ze = σ zt ( ) 2 ( ) (cos z e,i cos z t,i ) σ D + 2 D σ z i ρ (sin z e,i + sin z t,i ) Jonomittauksessa mitataan useita pistevälejä; koko jonon korkeuseron varianssi on silloin σ 2 H = σ 2 H 1 + σ 2 H σ 2 H n = n σ H 2 i Tässä n on kojeasemavälien lukumaara; kojeasemien määrä on n + 1 Tässä ei ole vielä esitetty, miten kojeen korkeus saadaan siirretyksi maassa olevaan kiintopisteeseen; siihen on olemassa erilaisia vaihtoehtoja i=1 633 Refraktion ja Maan kaarevuuden vaikutus Tutkitaan refraktion ja Maan kaarevuuden vaikutus korkeudenmittauksessa samalla teoreettisella lähestymistavalla: kyse on kahden erikaarevan tason tai säteen välisen etäisyyden kasvusta vaakaetäisyyden mukaan

61 63 Trigonometrinen korkeudenmittaus 53 Z B A s s 0 D C R R γ O Kuva 64: Maan kaarevuuden vaikutus Maanpinnan tangenttitaso (horizonttitaso, kohtisuora luottiviiva kohtaan) A:ssa leikkää B:n paikallinen normaali (luotiviiva) pisteessä C Kulma DAC = γ Kaarietäisyys Maan pinnalla: 2 s = γr, jossa γ oltava radiaaneissa Approksimaatio s s 0, missä s kaarietäisyys AD, s 0 janaetäisyys AD sin γ 2 = s 0 2R s 2R Tästä kolmion sinikaavan kautta ( ACO = 100 g γ): CD s = sin γ 2 sin (100 g γ) CD kaar = s sin γ 2 cos γ s sin γ 2 = s2 2R, (63) (oletus γ pieni, siis cos γ 1) mikä kuvaa maan kaarevuuden vaikutusta korkeuseromittaukseen Tässä olemme valinneet kirjoitustapaa CD CD kaar, painottakseen että tämä on maan kaarevuuteen liittyvä ilmiö Esimerkkilaskenta: s, m CD, mm 0,8 3, Kysymys: paikallinen painovoima on 98 m s 2

62 54 Luku 6 Korkeuden mittaus ja käsittely α + β 2 α β 2 s β H 2 H 1 α Kuva 65: Vastakkaiset, yht aikaiset mittaukset 1 Paljonko vapaasti putoava esine putoaa yhden sekunnin aikana? 2 Jos esine lentää vaakasuuntaan nopeudella 7906 m s 1, paljonko silloin Maan pinta putoaa esineen alta Maan kaarevuuden seurauksena? 3 Mitä olemme juuri keksineet? Refraktion vaikutuksen kaava on samanlainen (mutta vastakkaisella etumerkillä) kuin Maan kaarevuuden vaikutuksen kaava 63: se on CD refr = s2 2r = k s2 2R, josta saadaan kokonaisvaikutus (Maan kaarevuus ja refraktio): CD tot = CD kaar + CD refr = (1 k) s2 2R Nähdään, että, mikäli k = 1 (fysikaalisesti epärealistista), nettoefekti häviää Käytännössä maaston muodot monimutkaistavat refraktion käsittelyä trigonometrisessa korkeudenmäärituksessä, vaikka mittaukset suoritettaisiinkin ns pintakerroksen ulkopuolella esim puutornien avulla 634 Vastakkaiset yht aikaiset mittaukset Vastakkaiset yht aikaiset mittaukset eliminoivat refraktion ja Maan kaarevuuden vaikutuksen suurin osa jopa pitkilla mittausväleillä Menetelmä on perinteisesti käytetty kolmiomittauksen yhteydessä; kuitenkin sitä käytetään myös trigonometrisessa vaaituksessa, jolloin matkat ovat luokkaa muutama sata metriä eivätkä kymmeniä kilometrejä Syy tähän näkyy kuvasta 65 Korkeusero H 2 H 1 lasketaan sinisäännön avulla seuraavasti:

63 63 Trigonometrinen korkeudenmittaus 55 H 2 + R sin α H 2 H 1 sin α = H 1 + R sin β = s sin γ = H 1 + R sin β H 2 H 1 = (H 1 + R) = H 1 + R sin α (sin α sin β) = sin β s (sin α sin β), sin γ missä γ = 200 g α β, siis: ( sin γ = sin (α + β) = sin ( ) 1 = 2 sin (α + β) cos 2 Nyt jos kirjoitetaan α = µ + δ β = µ δ ) (α + β) ( 1 (α + β) 2 = ) sin α sin β = sin (µ + δ) sin (µ δ) = Sijoittaminen tuottaa = (sin µ cos δ + cos µ sin δ) (sin µ cos δ cos µ sin δ) = ( ) ( ) 1 1 = 2 cos µ sin δ = 2 cos (α + β) sin (α β) 2 2 H 2 H 1 = s sin ( 1 (α β)) 2 sin ( (64) 1 (α + β)) 2 Tätä kaavaa voidaan myös helposti tulkita ja ymmärtää geometrisesti, ks kuva 65 Jos kulmaetäisyys γ on alle 1 = 111 km, voidaan kirjoittaa tarkkuudella 002%: ( ) 1 sin (α + β) = cos γ 1 Jos taas voi olettaa, että refraktion seurauksena mittaussäteen polku on ympyränkaari, ja että siis mitatuille kulmille α m ja β m pätee: α m α β m β, seuraa, että kaavasta (64) saadaan erittäin hyvä likimääräinen kaava: ( ) ( ) 1 1 H 2 H 1 s sin 2 (α m β m ) = s sin 2 (z 1 z 2 ), jossa z 1 = 200 g α m, z 2 = 200 g β m ovat pisteissä 1 ja 2 mitatut zeniittikulmat Trigonometrinen korkeudenmääritys on perinteisesti käytetty vuoristomaissa Myös Mount Everestin korkeutta määritettiin ensimmäistä kertaa Survey of India n kolmiomittauksen puitteissa v 1856 Nimi Mount Everest annettiin v 1865 poikkeuksellisesti sen korkeuden määrittäjän Sir George Everestin mukaan

64 56 Luku 6 Korkeuden mittaus ja käsittely A s α α s J 1 s J 2 s A 2 A4 s α A 5 s A 1 A 3 J 3 Mittatanko Kojeasema A 6 L Jonopiste A, L Tunnettuja Kuva 66: xyh-jonomittaus 64 xyh-jonomittaus, tarkka trigo Eräs Geodesian laboratorion kehittämä sovellus on ns xyh-jonomittaus, lyhytsivuinen trigonometrinen korkeus- ja sijaintijono Ks kuva 66 Tässä menetelmässä teodoliittia ei pystytetyä koskaan mitattavalle pisteelle Se on siis vapaan asemapisteen menetelmän eräs variantti Näin kojeen pystytys on nopea eikä synny keskistysvirheitä Mitataan EDM-korkeusjono ja monikulmiojono yhdessä operaatiossa Ensin lasketaan vaillinaisesti suljettu jono ja sen pisteille A 1,, A n koordinaatit Näistä koordinaateista lähtien lasketaan varsinaiset jonopisteet J 1,, J m geodeettisella päätehtävällä Mittaamalla samalla pystykulmat, saadaan pisteille J 1,, J m myös korkeudet Jotta päästään jonomittaustarkkuuteen, on käytettävä mittatankoa, jossa on keskiset tähykset sekä vaakakulman että pystykulman havaintoa varten, sekä keskinen prisma etäisyyttä varten Ominaisuudet: Pystykulmahavainnot suoritetaan yht aikaa molemmista päistä refraktion eliminoimiseksi Taso- ja korkeusmittaukset suoritetaan yhtä aikaa Ainoastaan koordinaattisulut (ei liitossuuntia) Lyhyemmät sivut kuin normaalissa IV luokan jonossa Jonopisteiden välillä ei tarvita näköyhteyttä eli menetelmä on joustava etenkin metsäisillä tai kaupunkialueilla Jonopisteillä ei myöskään tarvita näkyvyyttä ylöspäin, kuten GPShavainnoille on vaatimus Eräs usein käytetty variantti on tarkka trigo Silloin mitataan vaan pystykulmat ja etäisyydet eikä määritetä vaakasijainteja Se korvaa tarkkavaaitusta solloin kun maaston korkeuserot ovat jyrkkiä, tai kun on pisteitä korkeissa rakennuksissa 641 Mittatanko Tämä ns xyh-tanko, johon on kiinnitetty neljä tähtäyslevyä, käytetään

65 64 xyh-jonomittaus, tarkka trigo m z 4 19 m z 1 d 13 m 10 m h Kuva 67: xyh-tanko ja sen käyttö Kuvaus Mikko Takalo ((Takalo, 1995)) 1 takymetrisen korkeusjonon siirtämiseksi tunnettuun pulttiin, ja 2 kolmiulotteisen jonomittauksen yhteydessä (xyh-jono) kuten edellisessä osassa kuvattu Tanko on tehty hiilikuidusta ja sen lämpö- ja kosteuslaajeneminen on olematon Ks kuva 67 Idea on, että pystykulmamittauksilla z 1 z 4 voidaan määrittää tuntemattomat h ja d Tähän riittäisi jo kaksi mittausta, mikäli tanko on tarkasti pystysuunnassa asennettu Neljän tähyksen käyttö antaa redundanssia Havaintoyhtälöt johdetaan seuraavasti: d cot z i = l i h, jossa l 1 = 1, 0 m, l 2 = 1, 3 m, l 3 = 1, 9 m ja l 4 = 2, 2 m Linearisointi antaa (oletetaan l i tarkoiksi, eli l i = l (0) i ja l i = l i l (0) i = 0): d cot z i d sin 2 z i z i = h eli z i = h d cot z i d [ sin 2 z i = sin 2 z i d sin 2z i 2d ] [ h d ]

66 58 Luku 6 Korkeuden mittaus ja käsittely Tämä on jo havaintoyhtälöryhmä, jossa l = z 1 z 2 z 3 z 4, x = [ h d ] ja A = sin 2 z 1 d sin 2 z 2 d sin 2 z 3 d sin 2 z 4 d sin 2z 1 2d sin 2z 2 2d sin 2z 3 2d sin 2z 4 d Ylimääräisyys (neljä havaintoa, kaksi tuntematonta) auttaa huomaamaan karkeita virheita Tarkka mittaus edellyttää, että h on l i -arvojen välillä, eli ei mitata jyrkästi alas- tai ylöspäin

67 59 Monikulmiojonon laskenta Luku 7 Vuonna 1807 Nathaniel Bowditch voitti kilpailun sopivimmasta monikulmiojonon laskentamenetelmästä Palkinto oli $10 ((Cooper, 1982, ss )) Bowditchin menetelmä, perinteinen suunta- ja koordinaattitasoitus erikseen, on yleisesti ottaen epäoptimaalinen Seuraavassa tutkitaan monikulmiojonot hieman tarkemmin Monikulmiojono (poligoni) on mittauspisteiden jono, jossa jokaisessa jonopisteessä mitataan suunnat ja etäisyydet edelliseen ja seuraavaan pisteeseen Käytetty laite on yleensä takymetri Monikulmiojonoja on kahdenlaisia: avoimia ja suljettuja Ks kuva 71 Aina tunnetaan alkuja loppupisteiden koordinaatit (x, y) Avoimen ja suljetun monikulmiojonon välinen ero on liitospisteiden käyttö jälkimmäisessä Liitospisteet ovat koordinaateiltaan tunnetut pisteet jotka auttavat orientoimaan monikulmiojono oikein 71 Suljettu monikulmiojono Tunnetaan: (x A, y A ); (x AL, y AL ) alkupiste A ja alkuliitospiste AL; Loppupiste Loppuliitospiste LL L L Suljettu monikulmiojono Jonopiste Alkuliitospiste AL Avoin monikulmiojono Alkupiste A A Kuva 71: Avoin ja suljettu monikulmiojono

68 60 Luku 7 Monikulmiojonon laskenta α 5 x AL y AL α 2 A AL 200 g α 1 α 4 x L y L A LL A LL x y LL LL α 3 x A y A Kuva 72: Monikulmiojonon kuvio Vain kulmat ja sulkusuunnat merkattu (x L, y L ); (x LL, y LL ) loppupiste L ja loppuliitospiste LL Ks kuva 72 Havaitaan: n taitekulmaa: α 1,, α n n 1 etäisyyttä: s 12, s 23,, s n 1,n Laskettava: (x i, y i )-koordinaatit jonopisteille i = 2,, n 1 Uusia pisteitä on n 2 kappaletta 72 Alku- ja loppuliitossuunnan laskeminen Geodeettisen käänteistehtävän ratkaisuna saadaan alkuliitossuunta ja loppuliitossuunta: A AL = arctan y AL y A x AL x A + kπ, (71) A LL = arctan y LL y L x LL x L + kπ, jossa k {0, 1} on valittava sopivasti oikean kvadrantin mukaan Käytettävä likimääräinen Bowditch-laskentamenetelmä on kaksivaiheinen Ensin lasketaan läpi suunnat, sitten koordinaatit 73 Suuntien tasoitus Lasketaan suunnat A AL, A 12,, A n 2,n 1, A n 1,n, A n,n+1, missä tunnetaan A AL, ja A n,n+1 on saatu havainnoista nimellä A LL

69 74 Koordinaattien tasoitus 61 Seuraavasti 1 : A 12 = A AL + α 1 A 23 = A g + α 2 A i,i+1 = A i 1,i 200 g + α i (72) A n 1,n = A n 2,n g + α n 1 A LL = A n 1,n 200 g + α n Lopuksi saadaan siis arvo A LL, joka, jos kaikki kulmahavainnot α i olisivat virheettömiä, olisi identisesti sama kuin kaavalla (71) koordinaatteista laskettu A LL Todellisuudessa näin ei kuitenkaan ole, vaan suuntasulkuvirhe on: w t = A LL A LL Tämä sulkuvirhe poistetaan, eli tasoitetaan, jakamalla se tasan kaikille taitekulmille eli jokaiseen taitekulmaan tehdään korjaus: α i = w t n, jonka jälkeen suoritetaan kulmien lasku uudelleen, tuloksena tasoitetut suunnat: Â 12 = A AL + (α 1 + α) Â 23 = A g + (α 2 + α) Â i,i+1 = A i 1,i 200 g + (α i + α) Â n 1,n = A n 2,n g + (α n 1 + α) Â LL = A n 1,n 200 g + (α n + α) 74 Koordinaattien tasoitus Näin tasoitetuilla suunnilla lasketaan pisteille 2,, n 1 koordinaatit geodeettisella päätehtävällä: Piste 2: jonka avulla x 12 = s 12 cos Â12 y 12 = s 12 sin Â12 x 2 = x 1 + x 12 y 2 = y 1 + y 12 1 Huomaa, että ensimmäisen taitekulman α 1 yhteydessä ei vähennetä 200 gon! Ja jos haluat pitää suuntakulmat A i kätevästi välillä [0, 400 gon), on joskus lisättävä tai vähennettävä 400 gon

70 62 Luku 7 Monikulmiojonon laskenta Yleinen piste i: (ja myös loppupiste i n) jonka avulla x i 1,i = s i 1,i cos Âi 1,i y i 1,i = s i 1,i sin Âi 1,i x i = x i 1 + x i 1,i y i = y i 1 + y i 1,i Yleisesti: (muista, että x A = x 1 ja y A = y 1 ) x k = x A + y k = y A + k s i 1,i cos Âi 1,i, i=2 k s i 1,i sin Âi 1,i i=2 Sijoittamalla k n saadaan loppupisteen kaavat ja koordinaatit x n, y n of the closing points Mikäli havainnot olisivat virheettömiä, olisi x n = x L ja y n = y L, mutta näin ei ole asian laita Saadaan koordinaattisulkuvirheet: w x = x n x L, w y = y n y L Sulkuvirheet tasoitetaan antamalla jokaiselle pistevälille painokerroin q i 1,i, ja näiden painokertoimien suhteessa jaetaan w x ja w y pisteväleille Pieni painokerroin suuri paino, suuri painokerroin pieni paino! Lasketaan painokerrointen summaa vastaava standardikorjaus erikseen x- ja y-koordinaateille: Tasoitetuiksi koordinaateiksi saadaan tai alkupisteestä A laskien: w x dx = n i=2 q, i 1,i w y dy = n i=2 q i 1,i x i = x i 1 + s i 1,i cos Âi 1,i + q i 1,i dx, ŷ i = ŷ i 1 + s i 1,i sin Âi 1,i + q i 1,i dy ; x k = x A + ŷ k = ŷ A + k i=2 k i=2 ( ) s i 1,i cos Âi 1,i + q i 1,i dx, ( ) s i 1,i sin Âi 1,i + q i 1,i dy

71 75 Laskentakaavio Laskentakaavio Koko laskenta voidaan suorittaa alla olevan laskentakaavion avulla, jota voidaan helposti automatisoida Annettuna t AL = 145, 3750 gon ja t LL = 72, 3818 gon, sekä alkupisteen A ja loppupisteen L koordinaatit n = 5 Käytetty painotus: tasainen i α i A i,i+1 A  i,i+1 A 345, , , , , , , , , , , , , , , ,3818 L 72,3818 Sulkuvirhe w t -0,0037 i  i,i+1 s i,i+1 s cos A s sin A x i y i x i y i x i ŷ i 1 157, , , , , , , ,241-69, , , , ,206, , , , , , , ,051, , ,125-56, , , , ,058, , , , ,595,711 L 270, ,711 Sulkuvirheet w x, w y -0,035 +0,146 Lähtö- ja loppupisteiden annetut arvot alleviivattuina, havainnot mustia, lasketut punaisia, sulkuvirheet ja tasoituksen korjaukset sinisia Tämä kaavio kelpaa käytännön työhön paikallisessa runkomittauksessa 751 Huomautuksia Yllä kuvattu tasoitusmenetelmä on likimääräinen eli suboptimaalinen Oikeaoppisessa pienimmän neliösumman tasoitusmenetelmässä lasketaan kulma- ja koordinaattikorjaukset samanaikaisesti, koska ne korreloivat keskenään Tulokset ovat silloin hieman erilaisia Kuitenkin, jos monikulmiojono on suhteellisen suora (eli sivut suunnilleen samansuuntaisia), on suboptimaalisuus pieni ja oikeaoppinen tasoitus aiheuttaisi vain pieniä muutoksia lopullisiin koordinaatteihin Toisaalta ei ole toivottavaa että sivut olisivat aivan samansuuntaisia; se hankaloittaisi mahdollisten karkeiden virheiden etsintää Jonolasku tapahtuu tasolaskuna Kuitenkin havainnot on tehty kolmiulotteisesti, avaruudessa Tämä edellyttää, että koje ja tähys ovat tarkasti ja oikein keskistettyjä ja koje tasattu, ja että kaikki relevantit reduktiot (kallistus- nollataso-, ks Johdanto geodesiaan -luentomoniste) on suoritettu Vain siinä tapauksessa voidaan sanoa, että

72 64 Luku 7 Monikulmiojonon laskenta x N t 0 x L A L A L A y Kuva 73: Avoin monikulmiojono y vaakakulmat ovat tasokulmia, ja redukoidut etäisyydet ovat tasoetäisyyksiä Tasokoordinaattien laskennassa suunnat referoidaan aina karttapohjoiseen ja myös etäisyydet ovat redukoitu karttatasoon eli projektion aiheuttama mittakaavavirhe on otettu huomioon 76 Avoin monikulmiojono Yleensä pyritään mittaamaan suljettu monikulmiojono, koska se antaa mahdollisuuden tarkistaa ja tasoittaa sekä mitattuja kulmia että etäisyyksiä On kuitenkin tilanteita, joissa tämä on mahdotonta tai hankalaa ja joissa on käytettävä vaillinaisesti suljettua jonoa Yleisin on tapaus, jossa ei tunneta alku- eikä loppusuuntaa Ks kuva 73 Tunnetaan x A, y A, alkupiste x L y L, loppupiste Laskettava jonopisteille koordinaatit (x i, y i ), i = 2, n Lähtösuunta Koska alku- ja loppuliitossuuntaa ei tunneta, suuntia ei voida tasoittaa Suunnan t 12 laskemiseksi ei ole lähtösuuntaa Sitä voidaan saada kahdella eri tavalla: 1 Havainnoista ottamalla ensimmäisen sivun suuntakulma A 12 = 0 (kuva), tai (paremmin) 2 Valitaan kartalta mittaamalla likiarvo A 12 :lle, sanotaan A 12

73 76 Avoin monikulmiojono Jonon laskenta Suoritetaan suuntien lasku tuttuun tapaan: A 12 = A 12 A 23 = A g + α 2 A i,i+1 = A i 1,i 200 g + α i A n 1,n = A n 2,n g + α n 1 Nämä suunnat ovat lopullisia Laskemme niille koordinaatit geodeettisella päätehtävällä: ja niin edelleen: Lopuksi: x 2 = x A + s 12 cos A 12, y 2 = y A + s 12 sin A 12, x i = x i 1 + s i 1,i cos A i 1,i, y i = y i 1 + s i 1,i sin A i 1,i x n = x n 1 + s n 1,n cos A n 1,n, y n = y n 1 + s n 1,n sin A n 1,n Tämä tasoitus on suoritettu oikealla tavalla, mutta väärin orientoidussa koordinaatistossa Sulkuvirheet x = x n x L ja y = y n y L eivät kerro mittausvirheistä vaan oletetun suunnan A 12 likimääräisyydestä Tästä syystä sulkuvirheitä ei saa poistaa tasoittamalla kuten täysin suljetussa jonossa Koko jono on kiertynyt kulman t 0 verran, ja sen pitää kiertää takaisin Helmert- eli yhdenmuotoisuusmuunnoksella Koska alkupiste A on molempien koordinaatistojen välinen kiertopiste, voimme yksinkertaisesti laskea niiden välisen mittakaavakertoimen K ja kiertokulman t 0, eli x2 + y K = ( x 2, ) 2 + ( y ) 2 t 0 = arctan y y arctan x x tai puolikulmakaavalla: y t 0 = 2 arctan x + x 2 + y arctan y 2 x + ( x ) 2 + ( y ) 2 missä x = x L x A, y = y L y A, x = x n x A, y = y n y A

74 66 Luku 7 Monikulmiojonon laskenta Konstruoidaan taas muunnosmatriisi: c = K cos t 0, s = K sin t 0, jonka avulla jonopisteiden i = 1,, n koordinaateiksi saadaan: x i = x A + c x i s y i, y i = y A + s x i + c y i Matriisimuodossa: [ xi y i ] = [ xa y A ] [ c s + s c ] [ x i y i ], missä x i = x i x A, y i = y i y A Huomaa, että matriisissa [ c s M = s c ] = K [ cos t0 sin t 0 sin t 0 cos t 0 ] suuntakorjaus t 0 korjaa ainoastaan alkusuunta-olettamuksen, kun taas mittakaavakorjaus K sisältää myös mittausepätarkkuuden aiheuttaman sulkuvirheen korjauksen 2 : vaikka lähtösuunta t 12 olisikin täysin oikein arvattu, kuitenkaan eivät x n, y n välttämättä osuisi tarkkaan pisteeseen x L, y L Kuitenkin sivusuunnassa (kohtisuoraan jonoa vastaan) jää havaintovirhe tasoittamatta, tai tarkemmin sanottuna, se absorboituu t 0 :aan Hyvä lopputarkastus on: x L? = x A + c x n s y n, y L? = y A + s x n + c y n Tämän lisäksi on tarkistettava, onko K realistinen, eli lähellä 1 Vaihtoehtoisesti voidaan laskea yksi koordinaattisulkuvirhe asettamalla K = 1, ja testata se tunnetun etäisyysmittauksen tarkkuutta vastaan 2 eli se on alkeellinen tasoitus

75 67 Ehtoyhtälöiden tasoitus Luku 8 81 Teoria Tasoituslaskussa tavataan usein tilanne, jossa tuttujen havaintoyhtälöiden muodostaminen ei ole tarkoituksenmukaista, vaan on helpompaa vaihtoehtoisesti muodostaa ehtoyhtälöitä Silloin kirjoitetaan: y 1 = b 11 l 1 + b 12 l b 1n l n + b 10 ; y 2 = b 21 l 1 + b 22 l b 2n l n + b 20 ; (81) y k = b k1 l 1 + b k2 l b kn l n + b k0 missä suureet y i kutsutaan nollasuureiksi, koska niiden odotusarvo on nolla Havainnoista lasketut y i -arvot kutsutaan sulkuvirheeksi Mittausvirheiden vuoksi ne eivät ole tarkasti nolla, vaan jakautuvat nollan molemmin puolin Tässä on k ehtoyhtälöa n havaintosuureiden välillä Ehdot kertovat, että teoreettisesti, jos annetut havainnot l 1, l 2,, l n olisivat virheettömiä, niiden yllä annetut lineaariyhdistelmät olisivat nolla Esimerkiksi vaaitussilmukan korkeuseromittausten summa, eli silmukan sulkuvirhe, pitäisi olla nolla Ehtoyhtälöiden tasoitusmenetelmässä havaintosuureet l j ovat samalla myös tuntemattomat l j, siis suureet joiden arvot halutaan estimoida mahdollisimman tarkasti Tasoitustehtäväna on tässä tapauksessa korjata havaintosuureet l j näin, että saadaan nämä optimaaliset estimaattorit l i Samalla tasoituksen jälkeen ehdot täyttävät ja sulkuvirheet häviävät Matriisimuotoon: y = Bl + b (82) Jos oletetaan, että kaikilla havainnoilla l i on sama keskivirhe σ ja että ne eivät korreloi keskenään (englannin kieliellä, ne ovat iid, Independent and Identically Distributed), voidaan kirjoittaa, että l = l B T ( BB T ) 1 y (83) Nollasuureiden vektorin y alkioiden lukumäärä, ehtojen määrä, on aina pienempi kuin havaintojen eli havaintovektorin l alkioiden määrä: l R n, y R k, missä k < n B on k n-kokoinen matriisi, siinä on k riviä ja n saraketta B T n k-kokoinen ja BB T on k k-kokoinen taas on

76 68 Luku 8 Ehtoyhtälöiden tasoitus 82 Esimerkki: kolmioehto Klassinen esimerkki ehtotasoituksesta on kolmion kolmen kulman ehdon α 1 + α 2 + α 3 = 200 g käyttäminen mittattujen kulmien α 1 α 2, α 3 tasoittamiseksi Kirjoitetaan tämä ehtoyhtälönä: y = [ ] α 1 α 2 α g, missä l = [ α 1 α 2 α 3 ] T ja B = [ ] Suure y on ongelman nollasuure Lasketaan matriisi BB T ja vektori B ( T BB ) T 1 y : BB T = [ ] 1 1 = 3; ( BB ) T 1 1 = 3 1 Siis ja l = α 1 α 2 α 3 B ( T BB ) T 1 y = y = l B T ( BB T ) 1 y = α 1 1 /3 y α 2 1 /3 y α 3 1 /3 y tulos yhteensopiva aikaisempien tulosten kanssa, jos muistetaan, että y = on sulkuvirhe Sulkuvirhe tasoitetaan pois havaituista kulmista, jokainen kulma saa kolmasosan korjauksesta Huomaa, että ehtotasoitus on tässä tapauksessa paljon elegantimpi ja yksinkertaisempi kuin havaintoyhtälöistä, 83 Monikulmiojonotasoitus ehtoyhtälötasoituksena 831 Ilman painotusta Suljetun monikulmiojonon suuntatasoitus (kaava (72)) voidaan kirjoittaa seuraavasti: n y A n A LL = α i + β, missä i=1 β A AL A LL (n 1) 200 g, (84) mikä on ehtoyhtälön esimerkki y on nollasuure (E { y } = 0) nimeltä sulkuvirhe Jos havainnoiksi valitaan kulmat l [ α 1 α 2 ] T α n, seuraa, että matriisi B ja vektori b (kaava 82) ovat muodoltaan B = nkpl { }} { [ ] ja b = β

77 83 Monikulmiojonotasoitus ehtoyhtälötasoituksena 69 ja jos oletamme että havainnot eivat korreloi keskenään, saadaan ja eli α 1 l α i = α n BB T = n α 1 α i α n n y, α i = α i y n = α i A n A LL, n eli suuntasulkuvirhe w t = A n A LL (joka saadaan laskemalla läpi monikulmiojonon suunnat ja vertaamalla loppusuunta A n koordinaateista saadun loppusuunnan A LL kanssa) jaetaan kristillisesti kaikkien jonon kulmapisteiden yli Suure β on vakio Se voidaan laskea suoraan pisteiden A, AL, L, LL koordinaattien (sekä monikulmiojonon pistemäärän) perusteella 832 Painotuksen kera MIkäli havaintosuureet eivät ole kaikki yhtä tarkkoja, on käytettävä painotusta Olkoon havaintovektorin varianssimatriisi (diagonaalimatriisi) σ σ Var (l) = Σ 0 0 σn 2 Ehtoyhtälötasoituskaava muuttuu seuraavaksi: ˆl = l ΣB ( T BΣB ) T 1 y, (85) missä ja BΣB T = ΣB T = n σi 2 i=1 σ1 2 σ2 2, σ 2 n lopputuloksena l α 1 α i α n = α 1 α i α n σ1 2 σ2 2 σ 2 n 1 σ 2 n 1 n i=1 σ2 i y, (86)

78 70 Luku 8 Ehtoyhtälöiden tasoitus tulos jota saatiin jo luvussa 74 vaikkakin eri notaatiolla Havaintojen varianssit toimivat ehtotasoituksessa painokertoimina Voimme määritellä painokertoimet seuraaviksi: q i σ2 i/σ 2 0, jossa σ 2 0 mielivaltainen varianssitekijä eli painoyksikön varianssi Silloin kaavasta 86 tulee: α 1 l α i = α n α 1 α i α n q 1 q 2 q n 1 q n 1 n i=1 q y i Nyt, Σ = σ0q 2 = σ0 2 q 1 q 2 q n missä Q on painokerroinmatriisi Lisäksi: 1 Havainnoille tehtävä tasoituskorjaus on verrannollinen painokertoimeen; 2 Tasoituskorjausten summa on sama kuin sulkuvirhe y päinvastaisella etumerkillä: tasoitus poistaa sulkuvirheen Jos kaikki varianssit ovat samoja, σi 2 yksinkertaisempaan tapaukseen 83 = σ 2 0, i = 1,, n; Σ = σ 2 0I, tapaus 85 palautuu 84 Jonon laskenta Jono lasketaan läpi kuten aikaisemmin on kuvattu Tässä tutkitaan lähemmin painotus, virheiden kasautuminen ja tilastillinen testaus 841 Painokertoimien valinnasta Painokertoimien q i 1,i valinta voidaan tehdä usealla eri tavalla Yllä esitetty laskumenetelmä on itse asiassa pienimmän neliösumman tasoitus, joka on optimaalinen vain jos se ottaa huomioon havaintojen tosiasialliset mittaustarkkuudet eli satunnaisvirheiden suuruuden Näin ollen käytössä on kaski erilaista painotusmenetelmää:

79 84 Jonon laskenta 71 1 Painotus pistevälien etäisyyksien mukaan: n q i 1,i = i=2 n s i 1,i Silloin koordinaattisulkuvirheet w x ja w y tasoitetaan etäisyyksien suhteessa, ja pitkiä pistevälejä korjataan suhteessa enemmän (eli ne saavat vähemmän painoa) kuin lyhyitä välejä 2 Tasainen painotus: n i=2 i=2 q i 1,i = n 1 q i 1,i = q = 1 n 1 Tällöin kaikki pistevälit, sekä lyhyet että pitkät, saavat saman suuruiset korjaukset, w x/n 1 x-koordinaattierolle ja wy /n 1 y-koordinaattierolle Intuitiivisesti on selvää, että painotus etäisyyksien mukaan on oikeampi siinä tapauksessa, että käytetyn etäisyysmittarin mittauksen tilastollinen epävarmuus kasvaa etäisyyden mukaan, eli mittausepätarkkuus on sitä suurempi, miten pitempi matka on Tasainen painotus on oikeellisempi niissä tapauksessa, missä etäisyyksien mittausvirhe ei riipu (merkittävästi) mitatusta pituudesta Nykyiset mittauslaitteet ovat niin tarkkoja että ainakin paikallisessa monikulmiojonomittauksissa tasainen painotus on oikeampi 842 Realistiset painoluvut Voidaan valita painoluvut myös realististen varianssien perusteella, käyttämällä parhaat olemassa olevat arvot etäisyys- ja suuntahavaintojen keskivirheestä Pistevälin varianssi saadaan varianssien kasautumislain perusteella (josta enempää myöhemmin): ( ) 2 σx 2 j 1,j = (cos A j 1,j σ s ) 2 σ A [g] + s j 1,j sin A j 1,j (87) ρ ( ) 2 σy 2 j 1,j = (sin A j 1,j σ s ) 2 σ A [g] + s j 1,j cos A j 1,j (88) ρ σ s etäisyyshavaintojen keskivirhe σ A [g] suuntahavaintojen keskivirhe gooneissa x j 1,j x j x j 1, y j 1,j y j y j 1 Koska nyt x:lle ja y:lle on omat painoluvut, lasketaan n 1 pxj = σx 2 j 1,j, n 1 p yj = j=1 w x dx = σ 2 xj 1,j j=1 σ 2 y j 1,j, dy = w y σ 2 yj 1,j x k = x k 1 + s k cos A k + σ 2 x k 1,k w x n 1 j=1 σ2 x j 1,j

80 72 Luku 8 Ehtoyhtälöiden tasoitus y k = y k 1 + s k sin A k + σy 2 k 1,k n 1 j=1 σ2 y j 1,j Tasoitus tapahtuu todellisten havaintoepätarkkuuksien suhteessa Pistevälin epätarkkuus johtuu sekä suunta- että etäisyyshavainnon epätarkkuudesta w y 843 Relatiivinen pistekeskivirhe, loppupistekeskivirhe Määritetään vielä relatiivinen pistekeskivirhe σ rel P j 1,P j jolloin saadaan kaavojen 87, 88 avulla σ 2 x j 1,j + σ 2 y j 1,j, σ rel P j 1,P j = = ( ) 2 (cos A j 1,j σ s ) 2 σ A [g] + s j 1,j sin A j 1,j + ρ ( ) 2 = + (sin A j 1,j σ s ) 2 σ A [g] + s j 1,j cos A j 1,j ρ σ 2 s + s 2 ( σa [g] ρ ) 2, koska sin 2 A j 1,j + cos 2 A j 1,j = 1 Tällä kaavalla voi laskea jonomittauksen loppupisteen pistekeskivirhettä summaamalla: σ Pn = n ( ) [ 2 σp rel i 1,i = n ( ) ] 2 σs 2 + s 2 σa [g] i 1,i, ρ i=1 i=1 844 Karkeiden virheiden löytäminen Suljetun monikulmiojonon tapauksessa yhden karkean virheen löytäminen on suhteellisen helppoa: Lasketaan molemmista päistä taaksepäin geodesian päätehtävää käyttäen Virhe näkyy graafisesti (Kuva 81) Kuva I on monikulmiojono ilman virheitä; kuvassa II on tapahtunut virhe pisteen 2 kulmamittauksessa, kuvassa III sivun 2-3 mittauksessa Jos on useampi karkea virhe yht aikaa, on tilanne vaikeampaa Siinä tapauksessa on kaikki mittaukset tutkittava/toistettava; samalla käytetyt mittausmenetelmät ja -organisaatio kannattaisi arvioida uudelleen, koska useiden virheiden sattuminen yht aikaa saattaa viitata sen kaltaisiin ongelmiin Seuraavassa käsitellään sulkuvirheiden tilastollista testausta yleisemmin 845 Sulkuvirheiden testaus Voimme testata koordinaattisulkuvirheet yhdessä niiden muodollisen varianssi-kovarianssimatriisin kanssa Oletetaan, että koordinaattisulkuvirheet w x, w y ovat normaalisti jakautuneet, niiden odotusarvo on nolla, ja niiden varianssi-kovarianssimatriisi on sama kuin a priori

81 84 Jonon laskenta 73 A A B C D I 1 3 B 2 4 C D II A 1 3 B 2 C 4 D Kuva 81: Karkean virheen löytäminen suljetusta monikulmiojonosta III Taulukko 81: χ 2 n-testin hylkäysrajat eri merkitsevyystasoille ja vapausasteiden määrille χ 2 n-hylkäysrajat 90% 95% 99% n = 1 2,71 3,84 6,63 n = 2 4,61 5,99 9,21 n = 3 6,25 7,81 11,34 n = 4 7,78 9,49 13,28 (siis, ennen tasoitusta laskettu, pitämällä alkupiste kiinni) loppupisteen sijainnin varianssikovarianssimatriisi: [ ] Σ ww = Silloin pitää tarkastella kvadraattinen muoto σ 2 x n σ xny n σ xnyn σy 2 n w T Σ 1 www (89) joka on χ 2 2 -jakauman mukaan jakautunut, odotusarvolla 2 Taulukon 81 mukaan todennäköisyys, että wq 1 www > 5, 99 sattumalta, eli jos nollahypoteesi mittaukset ovat kunnossa pätee, on vain 5% Eli, 95%:n merkitsevyystason testauskriteeri on: w T Σ 1 www > 5, 99 = H 0 hylätään w T Σ 1 www 5, 99 = H0 hyväksytään Testi kertoo, kuinka hyvin mittaus on onnistunut saavuttamaan mittausmenetelmän ja käytetyn laitteiston edellyttämää tarkkuutta Voisi ajatella että jos testi hyväksytään, niin mittaaja mittaa

82 74 Luku 8 Ehtoyhtälöiden tasoitus Kuva 82: Monikulmiojonon virhekuviot Ennen tasoitusta (jatkuva viiva) ja tasoituksen jälkeen (katkoviiva) Absoluuttiset punaisia, relatiiviset vihreitä 1 mittaaja mittaa oikeilla kojeilla ja menetelmillä, ja 2 suunnilleen tasapitkiä pistevälejä, ja 3 mittauksissa ei ole (suuria) karkeita virheitä Koordinaattisulkuvirheiden lisäksi on syytä testata suljetuissa monikulmiojonoissa myös suuntasulkuvirheitä Itse asiassa parasta olisi testata kaikki kolme w x, w y, w t yhdessä niiden yhteisen 3 3 varianssi-kovarianssimatriisin kanssa Silloin kvadraattisen muodon (89) jakauma on χ 2 3 ja käytettävä 95%:n raja-arvo on 872 (ks taulukko 81) 846 Tasoitetun pisteen keskivirhe Nämä kaavat johdetaan teoreettisesti osassa Absoluuttinen pistekoordinaattivarianssi, a posteriori: ( k ) σ 2 x k = σx 2 i 1,i (1 i=1 ( k ) σŷ 2 k = σy 2 i 1,i (1 i=1 k = 1 n 1 k i=1 σ2 x i 1,i n i=1 σ2 x i 1,i k i=1 σ2 y i 1,j n i=1 σ2 y i 1,i Alla olevassa kuvassa on annettu absoluuttiset ja relatiiviset virhe-ellipsit ennen (jatkuva viiva) ja jälkeen (katkoviiva) jonon tasoitusta Oletettu on, että virhe-ellipsit ovat ympyröitä Huomaa, että, jos kaikki välivarianssit ovat samoja ( ( ) 2, ( ) σx rel σ rel 2), y pätee ) σ 2 x k = ( ( ) σx rel 2 k 1 k n σŷ 2 k = ( ( ) σy rel 2 k 1 k n, ) ) ) 2 Suhteellinen eli pistekoordinaattierojen varianssi, a posteriori: σ 2 x j 1,j σ 2 x j 1,j = σx 2 j 1,j 1 ) n i=1 (σ x 2 i 1,i

83 84 Jonon laskenta 75 σ 2 y j 1,j = σy 2 j 1,j 1 n 1 i=1 σ 2 y j 1,j ) (σ 2yi 1,i Jos kaikki välivarianssit on samoja, saadaan ( σ 2 x j 1,j = σx 2 j 1,j 1 1 ), n ( σ 2 y j 1,j = σy 2 j 1,j 1 1 ) n Pistekeskivirheestä suhteessa sivun pituuteen ( ppm-virhe ) saadaan estimaatio: µ = 10 6 σ P L, missä keskivirhe-arvio saadaan tuttuun tapaan σ Pi 1,P i = σ 2 x i 1,i + σ 2 ŷ i 1,i µ, a posteriori suhteellinen pistekeskivirhe kahden pisteen välein, verrataan taas ohjeisiin Se on normaalikokoinen luku, esim 50 jos tarkkuusvaatimus on 50 ppm

84 76 Luku 8 Ehtoyhtälöiden tasoitus

85 77 Kriteerivarianssit Luku 9 Käytännössä geodeettisissa mittauksissa annetaan jonkinlainen kriteeri siitä, kuinka tarkasti monikulmiojonon mittaus pitäisi olla riippuen 1 Mittauksen tyypistä (perusrunkopistemittaus, käyttöpistemittaus, ) 2 Mitatun monikulmiojonon pituudesta L Annettu kriteeri liittyy usein mittausluokkaan, eli verkkojen luokkahierarkiaan Esimerkiksi: Runkomittauksessa meilla on viidennen luokan jono, missä ohjeen ((Anon, 1991), luku 111 p 3) mukaan sallittu suhteellinen pistekeskivirhe (kahden pisteen välisen vektorin pistekeskivirhe, eli toisen pisteen keskivihe toisesta pisteestä laskettuna) on µ = 50 ppm Tässä L on kahden pisteen välinen etäisyys Kriteerikeskivirhe on silloin: σ c P = µ 10 6 L = L, missä L on kahden pisteen välinen etäisyys Kriteerikeskivirheen määritelmä on σp c = (σx) c 2 + ( 2, σy) c missä Var c (r n ) = [ ] [ ] µ 10 6 (σ c L x) 2 0 ( ) 0 σ c 2, y eli määritelmä perustuu oletukseen, että x- ja y- koordinaatin epävarmuudet ovat yhtä suuria eivätkä korreloi keskenään Tasapainoisesti suunnitelleessa mittausgeometriassa tämä pitää likimäärin paikkansa Tässä tapauksessa kriteerivirhe-ellipsit ovat ympyröitä 91 Esimerkki: jono Kriteerikeskivirhettä voidaan soveltaa jonon kaikkiin peräkkäisten pisteparien relatiivikeskivirheisiin, ja myös kaikkiin pisteisiin jos ensimmäinen piste pidetään kiinni Huomaa, että kriteerilla arvioidaan jonon muodollisen tarkkuuden riittävyyttä mittausluokkaan, eli verrataan jonotasoituksesta saadut virhe-ellipsit vastaaviin kriteerivirhe-ellipseihin 1 1 Yleisemmin verrataan koko verkon tasoituksesta saatu varianssi-kovarianssimatriisi Σ synteettisesti generoidun kriteerimatriisin C kanssa, jossa mittausluokan µ toimii skaalatekijänä Verkkoa hyväksytään jos ominaisarvotehtävän (Σ λc) x = 0 suurin ominaisarvo λ max < 10 mitä merkitsee, että verkontuntemattomien abstraktisessa vektoriavaruudessa R m, varianssimatriisin Σ hyper-ellipsoidi on kokonaan kriteerimatriisn C hyper-ellipsoidin sisällä Jonon peräkkäisten pisteiden, tai ykkös- ja muiden pisteiden välisten, relatiivisten virhe-ellipsien testaus on vain tämän yleistestin osajoukko

86 78 Luku 9 Kriteerivarianssit σ x 07σ c P L Kuva 91: Kriteerivirhe-ellipsit Näytetty on sekä absoluuttiset (laskettu alkupisteestä, punaisia) että relatiiviset (peräkkäisten pisteiden välillä, vihreitä) Kussakin tapauksessa virhe-ellipsi on oltava kokonaan vastaavan sinisen kriteeriympyrän sisällä σ y Yllä (9) käsiteltiin jo kriteerivarianssi ja kriteerivarianssimatriisi yhden monikulmiojonon tapauksessa, ja miten kriteerivarianssia voidaan käyttää arvioimaan, onko käytetty mittausmenetelmä ja -laitteisto riittävän hyvä tavoitellun mittausluokan tarkkuusvaatimuksiin Tässä luvussa yleistään tätä tarkastelua siten, että formuloidaan kriteerimatriisi kokonaiselle geodeettiselle (sijainti-)verkolle, ja verrataan sitä pienimmän neliösumman verkkoratkaisusta saatuun varianssi-kovarianssimatriisiin 92 Verkon varianssi-kovarianssimatriisi Jos PNS-menetelmän tasoituksesta saatu tuntemattomien vektori kirjoitetaan muotoon x, on tämän vektorin, eli koko verkon, varianssi-kovarianssimatriisi vaikkapa Σ x x = σ 2 0Q x x Tässä σ 2 0 kutsutaan varianssitekijäksi, myös painoyksikön varianssiksi, ja Q x x painokerroinmatriisiksi Idea tässä on, että σ 2 0 kuvaa mittaustarkkuuden yleistasoa, eli yhden tyypillisen mittauksen tarkkuutta, ja Q-matriisi taas standardoidun varianssi-kovarianssimatriisin yleistä muotoa Tämä vastaa havaintovektorille l vastaavaan kaavaan Σ ll = σ 2 0Q ll, jossa Q ll voi olla yksikkömatriisi jos kaikki mittaukset vektorissa l ovat samanarvoisia ja ei-korreloituja, nimellistarkkuus ollessa σ 0 Tästä varianssimatriisista voidaan sitten poimia yhden pisteen, vaikkapa pisteen i, koordinaattien (x i, y i ) osavarianssimatriisi, seuraavasti: Σ ii = [ σx 2 σ xy σ xy σy 2 ] ii } = Var {x i} Cov {x i, y } } i Cov {x i, y i Var {y i Tässä on oletettu, että pistekoordinaatit ovat järjestetty x-vektorin sisällä näin, että ensin tulee pisteen 1 x- ja y-koordinaatit, sitten pisteen 2 x- ja y-koordinaatit, jne Koko matriisista saadaan siis pisteeseen i vastaava, 2 2 kokoinen blokki päälävistäjältä

87 92 Verkon varianssi-kovarianssimatriisi 79 Varianssimatriisista voidaan vastaavasti poimia kahden eri pisteen i ja j pisteen välistä eli relatiivista varianssi-kovarianssimatriisia: [ ] σ x 2 σ Σ ij = x y Var { } } x = j x i Cov {x j x i, y j y } } i = σ x y σ y 2 Cov {x j x i, y j y i Var {y j y i } } Var {x i } + Var { } { } Cov {x j, y x j 2Cov xi, x j + Cov {x i, y j } i } Cov {x i, y = j Cov {x j, y i } } = Cov {x j, y j + Cov {x i, y } } } } i } Var {y i + Var {y j 2Cov {y i, y j Cov {x i, y j Cov {x j, y i jossa = Σ ii + Σ jj Σ ij Σ ji, } Σ ii = Var {x i} Cov {x i, y } } i, Cov {x i, y i Var {y i Σ jj = Var { } } x j Cov {x j, y } } j, Cov {x j, y j Var {y j ja Σ ij = Cov { } { } x i, x j Cov x i, y } j } Cov {y i, x j Cov {y i, y j Σ ji = Cov { } { } x j, x i Cov x j, y } i } Cov {y j, x i Cov {y j, y i, = Σ T ij Eli, voimme laskea Σ ij yhdistämällä koko matriisista neljä 2 2 -kokoista osamatriisia, suuresta matriisista poimittuina: σx 2 i σ xi y i σ xi x j σ xi y j σ xi y i σy 2 i σ yi x j σ yi y j Σ ll = σ xi x j σ yi x j σx 2 j x j σ xj y j σ xi y j σ yi y j σ xj y j σy 2 j y j Tässä vasemmassa ylänurkassa näkyy Σ ii, oikeassa alanurkassa Σ jj, ja diagonaalin ulkopuolella Σ ij = Σ T ji

88 80 Luku 9 Kriteerivarianssit 93 Verkon kriteerimatriisi Voimme generoida synteettinen varianssi-kovarianssimatriisi eli kriteerimatriisi koko verkolle vaikkapa seuraavalla tavalla: Σ (C) x x = σ2 0C x x, jossa C-matriisi vastaa yllä määriteltyyn painokerroinmatriisiin Sopivan matriisin C generointi ei ole aivan yksinkertainen (Baarda, 1973) kuvaa menetelmän sopivan matriisin generoimiseksi: oletus on, että kahden pisteen välinen relatiivinen sijainnin epävarmuus on verrannollinen etäisyyteen, verrannollisuuskertoimella (vaikkapa) σ 2 Helpoin tapa kuvailla Baardan kriteerimatriisin generointimenetelmä on esittää pistekoordinaatit tasossa kompleksilukuina, ks myös osa 23: z = x + iy Silloin kriteerimatriisin mahdollinen muoto on C ij = 1 2 σ2 [ 1 z ib z AB z Ai z AB ] 0 z ia z ia z ib z ib z ja z ja 0 z AB z AB z jb z jb z AB z AB 0 1 z jb z AB z Aj z AB, jossa A ja B ovat datumpisteet eli annetut lähtöpisteet, joiden sijainnin epävarmuus on nolla Kompleksiset vektorit on määritelty esim: z AB = z B z A Yläviiva merkitsee kompleksi-konjugaatti: z = x iy 94 Varianssi- ja kriteerimatriisin vertailu Tämä tapahtuu ominaisarvotehtävän kautta Kirjoitetaan (Q x x λc x x ) x = 0 ja vaaditaan, että ominaisarvoista λ suurin on kuitenkin oltava pienempi kuin 1: λ max 1 Ilman todistusta väittäköön, että silloin kaikki absoluuttiset ja relatiiviset virhe-ellipsit ovat vastaavien kriteeriympyrien 2 sisällä 2 Käytännössä kriteerimatriisin generoimat pistevirhe-ellipsit ovat aina ympyröitä

89 94 Varianssi- ja kriteerimatriisin vertailu 81 Kuva 92: Pistevarianssi- ja kriteeriellipsit Vasen, oikea: eri datumpisteet

90 82 Luku 9 Kriteerivarianssit

91 83 Pienimmän neliösumman tasoitus Luku 10 Ks (Cooper, 1987) 101 Teoreettinen tausta Maanmittaustyössä, teknisessä maanmittausessa ja runkoverkkomittauksessa yleensä meitä kiinnostavat tuntemattomat ovat pisteiden koordinaatit Koordinaatit annetaan tavallisesti kolmiulotteisina suorakulmaisina (karteesisina) koordinaatteina Menettelytapa on seuraava: Mittaukset suoritetaan ja korjataan tunnettuja fysikaalisia efektejä varten, kuten ilmakehän ja kojeen aiheuttamat virheet; tämän jälkeen mittaukset voidaan katsoa geometristen suureiden mittauksina vektoriavaruudessa Funktionaalimalli joka yhdistää mitattu suure ja tuntemattomat, estimoitavissa olevat parametrit muodostetaan sitten tässä abstraktissa avaruudessa Joskus havaintojen korjaus ilmakehää, kojettä tai muun virhelähdettä varten ei ole mahdollista koska tarvittavaa informaatiota ei ole saatavissa Tässä tapauksessa voidaan laajentaa funktionaalimalli sisältämään lisätuntemattomia joiden arvot estimoidaan yhdessaä koordinaattien kanssa Sellaiset lisäparametrit voivat olla kellovirhe, refraktiokerroin, tai fotogrammetriassa kameran tai linssin parametrit GPS-mittausten tapauksessa lisätuntemattomat voivat olla vastaanottimen kellokorjaus, satellittirataelementtien korjaukset tai troposfääriparametrit, mm Pienimmän neliösumman menetelmän kaavat ovat kaikki lineaarisia Jos todellisessa mittaustilanteessa funktionaaliset yhteydet tuntemattomien x ja havaintosuureiden l välillä eivät ole lineaarisia, joudutaan linearisoimaan 1011 Pienimmän neliösumman ratkaisu Havaintoyhtälöt kirjoitetaan seuraavaan muotoon: l + v = A x, missä x on tuntemattomien vektori (tarkemmin: sen pienimmän neliösumman estimaattori), l havaintojen vektori ja v residuaalien (havaintojen korjausten) vektori Huomaa, että korjatut havainnot l l + v ovat tarkasti yhteensopivia linearisoidun funktionaalimallin kanssa Minimoitava suure on E = v T Q 1 v = (A x l) T Q 1 (A x l) = = x T A T Q 1 A x x T A T Q 1 l l T Q 1 A x + l T Q 1 l,

92 84 Luku 10 Pienimmän neliösumman tasoitus ja differentioimalla saadaan minimi: E x i = ( x T A T Q 1 Ae i + e T i A T Q 1 A x ) ( e i A T Q 1 l + l T Q 1 Ae i ) + 0, i = 1,, m mikä on oltava nolla kaikille i-arvoille, siis kaikille yksikkövektoreille e i = [ ] T (ykkönen paikassa i 1 ) Tämä onnistuu asettamalla ( A T Q 1 A ) x = A T Q 1 l (101) Kaavaa 101 kutsutaan normaaliyhtälöiksi Niistä ratkaistaan x, jonka jälkeen saadaan korjatut havaintosuureet seuraavasti: l + v = A x, (102) ja residuaalit v = A x l 1012 Harhattomuus Haluamme osoittaa, että yllä johdettu pienimmän neliösumman ratkaisusta x laskettava tasoitettu havaintosuureiden vektori l = A x on harhaton, siis, että sen odotusarvo on sama kuin havaintovektorin l odotusarvo Todistuksen antamiseksi meillä pitää olla malli havaintoprosessista Tämä malli voisi vaikkapa olla l = Ax + n, jossa n on ns havaintovirhe (ei: jäännösvirhe!), jonka odotusarvo on E {n} = 0 ja jonka painokerroinmatriisi 2 on Q = Q ll, eli havaintovektorin l painokerroinmatriisi Vektori x taas on ei-stokastinen ja sisältää tuntemattomien oikeat arvot 3, siis ne arvot, jotka saataisiin, jos voitaisiin mitata äärettömän tarkasti Vektori n kutsutaan joskus myös havaintojen kohinaksi Nyt: Kuitenkin myös, kaavasta (102), ja ratkaisukaavasta (101) saadaan E {l} = Ax + E {n} = Ax E {l} + E {v} = AE { x}, E { x} = ( A T Q 1 A ) 1 A T Q E {l} = = ( A T Q 1 A ) 1 A T QAx = x 1 Huomaa, että Ae i = a i, A-matriisin i:s sarakevektori 2 Siis n:n varianssimatriisi on Σ = Σ ll = σ 2 0Q ll, jossa σ 2 0 on painyksikön varianssi 3 Tämä on ns työhypoteesi Oikeat arvot eivät välttämättä edes pidä olla olemassa Niiden olemassaolon kysymys on tavallaan metafyysinen: suhiseeko tuuli puussa kun kukaan ei ole kuuntelemassa? Kuitenkin pääasia on, että oikeasti olemassa olevat havainnot l käyttäytyvät annetun kaavan mukaisesti

93 101 Teoreettinen tausta 85 Siis yhdistämällä edelliseen: ja vähentämällä sitä edeltävästä: E {l} + E {v} = Ax E {v} = 0 Siis: jäännösvirheiden odotusarvot häviävät Jäännösvirheet ovat kohinaa Silloin myös, koska l = l + v, seuraa, että } E { l = E {l} + 0 = E {l} Siis: l on l:n harhaton estimaattori, ja x on x:n harhaton estimaattori 1013 Jäännösvirheiden varianssi Varianssien kasautumislain avulla saamme suoraan normaaliyhtälön (101) ratkaisusta x:n painikerroinmatriisiksi: Q x x = ( A T Q 1 A ) 1 AQ 1 Q Q 1 A T ( A T Q 1 A ) 1 = ( A T Q 1 A ) 1 Tästä l = A x:n varianssimatriisi: Q l l = AQ x x A T = A ( A T Q 1 A ) 1 A T Lasketaan seuraavasti suureiden x ja v välinen kovarianssi: Cov ( x, v) = Q xv = Cov ( x, A x l) = Var ( x) A T Cov ( x, l) = = Q x x A T ( A T Q 1 A ) 1 A T Q 1 Var (l) = = ( A T Q 1 A ) 1 A T ( A T Q 1 A ) 1 A T Q 1 Q = 0 Sanotaan, että tuntemattomien pienimmän neliösumman estimaattorit x ja jäännösvirheet v ovat keskenään ortogonaalisia: x v Tietysti tämä merkitsee, että jokaisen tasoitetun tuntemattoman x j ja jokaisen jäännösvirheen v i välillä, j = 1 m, i = 1 n, kovarianssi on nolla Samoin tietysti myös jokaisen tasoitetun havainnon l = A x ja jokaisen jäännösvirheen välillä Tästä seuraa: ) ) ) Var (l) = Var ( l v = Var ( l + Var (v) 2 Cov ( l, v = ) = Var ( l + Var (v), koska kovarianssi on nolla Siis ( Pythagoras, ajattele Q ll = l 2 jne): Q = Q ll = Q l l + Q vv Tämä on sopiva kaava jäännösvirheiden painoyksikkömatriisin laskemiseksi (ja siitä jäännösvirheiden varianssit) kun alkuperäisten (Q) ja tasoitettujen havaintojen painoyksikkömatriisit (Q l l) on jo saatu

94 86 Luku 10 Pienimmän neliösumman tasoitus 102 Vinoetäisyys avaruudessa Olkoon kojeen ja tähyksen koordinaatit (x 1, y 1, z 1 ) ja (x 2, y 2, z 2 ) Silloin funktionaalimalli (kaava 12) on s = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 (103) Ensin oletetaan, että piste ( x 1 y 1 z 1 ) T on tunnettu Silloin tuntemattomien vektori koostuu vain toisen pisteen koordinaateista, x = ( x 2 y 2 ) T z 2 Havaintovektorilla on vain yksi alkio, l = (s) ja rakennematriisi A (kaava 14) on: A = A i = s [ s = x i x 2 Alkiot lasketaan differentioimalla 103: ja niin edelleen Lopputulos on [ x2 x A = 1 s s = x 2 x 1 x 2 s y 2 y 1 s s y 2 s z 2 z 2 z 1 s Huomaa, että matriisin A alkiot ovat yksikkövektorin alkioita! Käyttämällä suuntakulma (atsimuti) α ja zeniittikulma ζ voimme kirjoittaa ] ] A = [ cos α 12 sin ζ 12 sin α 12 sin ζ 12 cos ζ 12 ] tai jopa symbolisemmin A = [ ] e T 12 jossa e 12 on pisteen 1 ja 2 välinen suuntavektori, jolle pätee e 12 = 1 Yleisempi tapaus, missä molemmat pisteet ovat tuntemattomia, käsitellään seuraavaksi Tuntemattomien vektoriksi muodostetaan x = ( ) T x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2, ja havaintovektori on taas l = (s) Rakennematriisi A (kaava 14) on: A i = s x i = [ s x 1 s y 1 s z 1 Edellisen perusteellla on lopputulos [ A = x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 s s s [ ] [ ] = e T 21 e T = 12 e T 12 e T 12 s x 2 x 2 x 1 s s y 2 s z 2 y 2 y 1 s ] z 2 z 1 s ] = Linearisoitu havaintoyhtälö on siis: missä [ [ s + v] = e T 12 e T 12 ] [ r 1 r 2 ],

95 103 Atsimutimittaus 87 [ x2 x e 12 = 1 s y 2 y 1 s z 2 z 1 s r i = [ x i y i z i ] T, i = 1, 2 x 1 = x 1 x 0 1 s s s 0, jne Tässä indeksi 0 merkitsee likiarvoja Likiarvoille pätee funktionaalimalli tarkasti: s 0 = f (x 0 ) = (x 0 2 x 0 1) 2 + (y2 0 y1) (z2 0 z1) 0 2 ] T 103 Atsimutimittaus Jos atsimuti 4 α mitataan pisteiden 1 ja 2 välillä: ( ) y2 y 1 α = α 12 = arctan + kπ, x 2 x 1 silloin x = ( x 1 y 1 x 2 y 2 ) T Rakennematriisi saadaan taas ketjusäännön avulla, esim (lyhentämällä x 12 = x 2 x 1 jne): ( ) ( ) ( ) y arctan 12 y x 12 arctan 12 y x x 12 x = ( ) 12 = x 1 y 12 x 12 x 1 x 12 ( 1 = ( ) 2 y ) 12 ( 1) = x x 2 12 y 12 Koko matriisi: (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2, kojeen ja tähyksen välinen vaakatasoon projisoitu etäi- jossa s = syys = y 12 x y 2 12 = y 12 s 2 = sin α 21 s A i = α x = [ i = sin α 21 cos α 21 sin α 12 + cos α ] 12 = s s s s [ = + y 2 y 1 x 2 x 1 y 2 y 1 + x 2 x 1 s 2 s 2 s 2 s 2 Tästä linearisoitu havaintoyhtälö: [ α + v = + y 2 y 1 s 2 x 2 x 1 s 2 y 2 y 1 s 2 + x 2 x 1 s 2 4 Käytetään α eikä A sekaannuksen välttämiseksi rakennematriisin A kanssa ] ], x 1 y 1 x 2 y 2

96 88 Luku 10 Pienimmän neliösumman tasoitus x x 2 ( α / x) x 1 α ( α / y) y y y Kuva 101: Atsimutimittauksen geometria ja rakennematriisi 104 Zeniittikulmamittaus Jos mitataan pisteiden 1 ja 2 välinen zeniittikulma 5 : ζ = arccos z 2 z 1 s ( π = arctan 2 z ) 2 z 1, s missä s = ρ = ((x2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2) Nyt x = ( x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ) T ja A i = ζ x = [ i ζ = ρ ρ x [ 1 cos ζ21 = ( cos α 21 ) ρ [ = ζ ρ ρ cos ζ 21 y 1 s cos ζ 21 ρ (x 2 x 1 ) s 2 tan ζ 12 + (y 2 y 1 ) s 2 tan ζ 12 ζ ρ ρ x 2 sin α 21 ζ ρ ρ cos ζ 12 y 2 s s cos ζ 12 ( cos α s 2 12 ) ρ s + (x 2 x 1 ) (y 2 y 1 ) s 2 s 2 tan ζ 12 s 2 tan ζ 12 ] = cos ζ 12 sin α 12 ρ ] s s 2 s s 2 ] Tässä osittaisderivaatta ζ on laskettu lieriökoordinaateissa (ρ, α, z) Silloin ζ = ζ (ρ, z) ρ Itse asiassa ρ on sama kuin s Nyt havaintoyhtälö on [ δζ + v = (x 2 x 1 ) s 2 tan ζ + (y 2 y 1 ) s 2 tan ζ s + (x 2 x 1 ) s 2 s 2 tan ζ 5 Käytetään symboli ζ ettei tule sekaannusta z-koordinaatin kanssa (y 2 y 1 ) s 2 tan ζ s s 2 ] x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

97 105 Käytännön esimerkki 89 Zeniitti z z ( ζ/ z ) z ζ ( ζ/ ρ) ρ A ρ x ρ y 105 Käytännön esimerkki Kuva 102: Zeniittikulmamittauksen geometria Käytännön esimerkkinä voidaan mainita eteenpäin leikkaus avaruudessa Olkoon kaksi tunnettua pistettä A ja B, ja tuntematon piste C Tunnetuilta pisteiltä mitataan suuntakulmat (atsimutit) α AC ja α BC, korkeuskulmat ζ AC ja ζ BC sekä etäisyydet s AC ja s BC Tuntemattomina on pisteen C koordinaatit x C, y C, z C Havaintoyhtälöt (jäännösvirhetermi jätetty pois): y C y A + x C x A ρ 2 AC ρ 2 AC + x C x B jossa ρ AC = α AC α BC ζ AC ζ BC s AC s BC y C y B ρ 2 BC + x C x A = s 2 AC tan ζ AC + x C x B s 2 BC tan ζ BC x C x A s AC x C x B s BC (x C x A ) 2 + (y C y A ) 2 jne ρ 2 BC y C y A s 2 AC tan ζ AC y C y B s 2 BC tan ζ BC y C y A s AC y C y B s BC 0 0 ρ AC s 2 AC ρ BC s 2 BC z C z A s AC z C z B s BC x C y C z C Tässä kaavassa A-matriisi on saatu suoraan sijoittamalla yllä johdetut kaavat atsimuteille, korkeuskulmille ja vinoetäisyyksille Tietysti tämän matriisin elementit tulee evaluoida konsistentin likiarvojen joukon avulla Sellainen saa olettamalla ensin likiarvot ( x 0 C, ) yc, 0 zc 0 y tuntemattomille, ja laskemalla niistä havaintojen likiarvot αac 0 0 = arctan C y A x 0 C x, jne A Matriisissä likiarvomerkinnät on yksinkertaisuuden vuoksi jätetty pois Yllä olevalla tehtävällä on kolme tuntematonta ja kuusi havaintoa eli kolme ylimääräisyyttä (ehtoja) Mikäli jätetään etäisyysmittaus pois (eli käytetään vain perinteisiä teodoliitteja),

98 90 Luku 10 Pienimmän neliösumman tasoitus on havaintojen määrä neljä ja on vain yksi ylimääräisyys eli ehto: se, että A:lta ja B:lta lähtevät suuntaviivat pitäisi leikata eivätkä mennä vain ristiin

99 91 Luku 11 Tasoituslaskun variantit ja sovellukset 111 Pakkoehtojen käyttö ratkaisun kiinnittamiseksi Jos käytetään yllä olevia havaintoyhtälöitä verkon pisteiden koordinaattien ratkaisemiseksi, huomataan pian, että se ei välttämättä onnistu Mittaukset sitovat pisteiden suhteelliset sijainnit, muttei koko verkon absoluuttista paikkaa Siksi käytetään aina pakkoehtoja (en constraints) Esim monikulmiojonon mittauksessa on joko yksi tai molemmat päätepisteet koordinaateiltaan annettuja Jos on kyse kahden pisteen verkosta joiden välillä on mitattu etäisyys, atsimuti ja korkeuskulma, voivat pakkoehdot olla esimerkiksi: x 1 = 0 y 1 = 0 z 1 = 0 mikä luo paikallisen koordinaattijärjestelmän (datumin) jossa pisteen 2 koordinaatit (x 2, y 2, z 2 ) ratkaistaan Pakkoehtojen määrä riippuu 1 Onko kyse 1-2- tai 3-ulotteista verkosta, 2 Onko kiinnitettävä vain sijainnin vain myös orientoinnin ja mahdollisesti mittakaavan 1D 2D 3D Sijainti 1/0 2 3 Orientointi - 1 3/0 Mittakaava 1/0 1 1/0 Yhteensä 2/1/0 4 7/6/3 Kuten huomaat, on pakkoehtojen määrä sama kuin ko avaruudessa käytettävän Helmertmuunnoksen parametrien määrä Tämä ei ole sattuma Korkeusverkoissa ei yleensä käytetä mittakaavatuntematonta, koska vaaituslatat oletetaan kunnollisesti kalibroiduiksi Lisäksi korkeuksien arvoväli on vain korkeintaan muutama km, kun tasoverkkojen koko voi olla tuhansia kilometrejä Toinen yksiulotteinen verkko on painovoimamittausverkko Kun käytetään absoluuttigravimetri, ei tarvita referenssipistettä Kun käytetään relatiivinen gravimetri (yleensä jousigravimetri) on lähtöpisteen käyttö tarpeellinen ja mittaus antaa vain eri pisteiden välisiä painovoimaeroja, aivan kuten vaaitus antaa vain pisteiden välisiä korkeuseroja

100 92 Luku 11 Tasoituslaskun variantit ja sovellukset Kolmiulotteisissa verkoissa ei välttämättä tarvita orientointia eikä mittakaava, jos on kyse GPS-miitauksesta pienen alueen sisällä Silloin yksi datum-piste riittää, ja datum-muunnos on yksinkertainen translaatio avaruudessa Suurille GPS-tarkkuusverkoille kuitenkin setsemänparametrinen Helmert-muunnos rotaatiokulmineen mittakaavoineen on välttämätöntä 112 Ehto- ja havaintoyhtälöiden välinen yhteys Havaintovektori l = [ l 1 l 2 l n ] T on n-ulotteisen lineaarisen vektoriavaruuden alkio Koska tasoitetuille havainnoille l = A x, missä tuntemattomien vektorin x estimaattori x = [ x 1 x 2 x m ] T on m-ulotteinen, voidaan operaatio l l tulkita projektioksi m-ulotteiseen aliavaruuteen Jos myös pätee B l = 0 samalle l:lle (ehtoyhtälöryhmä), voidaan päätellä, että BA x = 0 Ja koska tämä pitää paikkansa x:n arvosta riippumatta, seuraa Toisin sanoen, jos kirjoitetaan seuraa, että Taas toisin sanoen: B = b 1 b 2 b k BA = 0, A = [ ] a 1 a 2 a 3 a m, b i a j = 0, i = 1 k, j = 1 m B:n rivivektorit ja A:n sarakevektorit ovat keskenään ortogonaalisia ja koska vektorit a j virittävät n-ulotteisen vektoriavaruuden m-ulotteista aliavaruutta, on b i -vektoreiden maksimimäärä k = n m: Tuntemattomien määrä m plus ehtojen määrä k on yhtä suuri kuin havaintojen määrä n Kirjoitetaan ja y = Bl Q yy = BQ ll B T, Q ly = Q ll B T Etsitään optimaalinen ratkaisu joka on yleistä muotoa: l = l Cy = (I CB) l

101 112 Ehto- ja havaintoyhtälöiden välinen yhteys 93 = E {l}, ja olemme etsimmässä optimaalinen harhaton esti- Koska E { y } } = 0, on E { l maattori Estimaattorin l painokerroinmatriisi (eli painoyksikön keskivirheellä σ 0 skaalattu varianssi Σ l l) on Q l l = (I CB) Q ll (I CB) T Tämän minimointi edellyttää dq l l dc = BQ ll (I CB) T (I CB) Q ll B T = 0, mikä toteutuu, mikäli (I CB) Q ll B T = 0 eli Q ll B T CBQ ll B T = 0 C = Q ll B T ( BQ ll B T ) 1 Tämän jälkeen pienimmän neliösumman ratkaisu voidaan kirjoittaa l = l Cy = = l Q ll B T ( BQ ll B T ) 1 y = = l Q ly Q 1 yy y l l = Q ly Q 1 yy y (111) Suureet v l l tunnetaan tässäkin jäännösvirheinä eli residuaaleina Näin n-ulotteinen havaintoavaruus jakautuu kahteen toisensa nähden ortogonaaliseen aliavaruuteen: Toisaalta m-avaruus missä tasoitetut tuntemattomat x ja tasoitetut havainnot l; toisaalta n m-avaruus missä nollasuureet (siis: Suureet jotka ehtoyhtälöiden mukaan pitää olla nolla) y ja residuaalit v = l l Yleisesti voimme todeta: Tietty pienimmän neliösumman tasoitusongelma voidaan kirjoittaa joko havaintoyhtälötasoituksena tai ehtoyhtälötasoituksena Esitystavat ovat samanarvoisia ja niitä voi muuntaa toisilleen Esimerkiksi, jos A-matriisi on annettu, voidaan ortogonaalisuusehtojen kautta B-matriisin laskea ja toisiinpäin Matriisin tulkinta on sitten jo toinen kysymys Käytännön tasoitusongelmissä tarjoutuu usein joki havaintoyhtälö- tai yhtoyhtälömenetelmä luonollisempana: jos on helposti identifioitavia sulkuvirheitä, on ehtotasoitus luultavasti paras 1121 Testaussuureen laskenta Lasketaan testaussuure E: E = v T P v = v T Q 1 ll v = = ( ) ( y T Q 1 yy Q yl Q 1 ll Qly Q 1 yy y ) = = y T Q 1 yy BQ ll Q 1 yy y = = y T Q 1 yy ll Q llb T Q 1 ( BQll B ) T Q 1 yy y = = y T Q 1 yy Q yy Q 1 yy y = y T Q 1 yy y

102 94 Luku 11 Tasoituslaskun variantit ja sovellukset Siis: testaussuuretta voidaan laskea yhtä hyvin nollasuureista (esim sulkuvirheistä ja niiden varianssimatriisista) kuin jäännösvirheistä Tämä testaussuure, joka on siis χ 2 -jakauman mukaan jakautunut, kertoo, onko verkossa jotain pielessä Se ei kerro mitä on pielessä se jää geodeetin löydettäväksi 113 Vaaitus ehtoyhtälöiden esimerkkinä Aikaisemmin on näytetty, miten vaaitussilmukan tasoituksessa voidaan käyttää vaaituslinjan pituus painona silmukkaa tasoitettaessa Tässä tutkitaan asia hieman teoreettisemmin Olkoon havainnot pulttivälit H i, i = 1, n Ehtoyhtälö on, että silmukka sulkeutuu 1 : n H i = 0 i=1 Kirjoitetaan muotoon missä ja Jos nollasuure eli sulkuvirhe l = Bl = 0, H 1 H 2 H n B = [ ] y = Bl, on sen painokerroinmatriisi Q yy = BQ ll B T = σ 2 0 n i=1 σ 2 H i ja estimaattori (kaava 111): l = l Q ll B T Q 1 yy y 1 Fysikaalista geodesiaa lukeneet varmaan huomaavat, että sulkoehdon pitäisi tarkasti olla pulttivälin painovoima n g i H i, g i i=1

103 113 Vaaitus ehtoyhtälöiden esimerkkinä 95 josta H 1 H 2 H 3 H n = = H 1 H 2 H 3 H n H 1 H 2 H 3 σ 2 0 σ 2 H 1 σ 2 H 2 σ 2 H 3 σ H σ H σ H σ H 2 n w n i=1 σ2 H i, σ 2 0 w n = i=1 σ2 H i H n σ 2 H n missä w on silmukan sulkuvirhe Siis: vaaitussilmukan tasoituksessa (ja kaikissa vastaavissa ehtotasoituksissa) sulkuvirhe jaetaan havaintoväleihin suhteessa niiden havaintojen variansseihin Mikäli, kuten on vaaituksen tapauksessa asian laita, vaaitusvälin varianssi on suoraan verrannollinen vaaituun etäisyyteen ( kilometrivirhe-olettamus, kaava 52), voidaan käyttää välien pituudet suoraan painoina Lasketaan nyt samalla tasoitetun havaintovektorin l painokerroinmatriisi: Q l l = Q ll 2Q ly Q 1 yy Q yl + Q ly Q 1 yy Q yy Q 1 yy Q yl = = Q ll Q ly Q 1 yy Q yl Laskenta antaa: Q l l = σ 2 0 σ H σ H σ H 2 n σ H 2 1 σ H 2 1 σ H 2 1 σ H σ0 2 n σ H 2 2 σ H 2 1 σ H 2 2 σ H 2 2 i=1 σ2 H i σ H 2 n σ H 2 n, ja yhden välin varianssi tasoituksen jälkeen (a posteriori): ) σ 2 Hi = σ H 2 i (1 σ2 H i n i=1 σ2 H i k Tämä voidaan yleistää helposti havaitsemalla, että H k = H 0 + H i (siis, pisteen absoluuttinen korkeus on sen suhteellinen korkeus lähtöpisteeseen nähden) ja siis, että σ 2 H k = i=1

104 96 Luku 11 Tasoituslaskun variantit ja sovellukset k σ H 2 i Mistä saadaan suoraan absoluuttisiksi pistekorkeuksien a posteriori variansseiksi: i=1 σ 2 Ĥ k = ( k i=1 Tähän voi halutessa sijoittaa σ 2 H i s i ) k ) σ H 2 i=1 i (1 σ2 H i n i=1 σ2 H i Vastaavat kaavat pätevät myös muissa ehtotasoituksissa, mm monikulmiojonojen suunta- ja koordinaattitasoituksissa Näissä tapauksissa kuitenkaan kilometrivirhe-olettama ei välttämättä päde 114 Esimerkki: vaaitusverkko Olkoon annettuna kolme pistettä 1, 2 ja 3, ja niiden tuntemattomat korkeudet h 1, h 2 ja h 3 Käytettävissä olevat mittaukset ovat korkeuserot (ks kuva): l 1 = h 12 = 5, 227 m l 2 = h 23 = 1, 219 m l 3 = h 13 = 6, 440 m h 2 h 12 h 23 h 1 h 13 h 3 Tämän lisäksi on annettu, että korkeusjärjestelmän kiinnittämiseksi h 1 = 1, 875 m, Muodostetaan linearisoidut havaintoyhtälöt, siis havaintoyhtälöt joissa sekä havainnot että tuntemattomat ovet delta-suureita joista jokaisesta on vähennetty vastaava likiarvo: h 12 v ĥ1 h 23 h 13 + v 2 v 3 = ĥ2 h 1 v ĥ3 Ensin lasketaan (käytännön heuristiikkana käyttämällä havaintoarvot mielivaltaisessa järjestyksessä) tuntemattomien eli pistekorkeuksien likiarvot: h 0 1 = 1, 875 m h 0 2 = 7, 102 m h 0 3 = 8, 315 m

105 114 Esimerkki: vaaitusverkko 97 ja näistä havaintosuureiden likiarvot (koko likiarvojen kokoelma on oltava konsistentti funktionaalimallin kanssa!): h 0 12 = h 0 2 h 0 1 = 5, 227 m h 12 = h 12 h 0 12 = 0, h 0 23 = h 0 3 h 0 2 = 1, 213 m h 23 = h 23 h 0 23 = 0, 006 m, h 0 13 = h 0 3 h 0 1 = 6, 440 m h 13 = h 13 h 0 13 = 0, h 0 1 = 1, 875 m h 1 = h 1 h 0 1 = 0 Siis linearisoitu havaintovektori eli delta-havaintovektori on 0 l = 0, 006 m 0 0 Sitten lasketaan normaaliyhtälöt; rakennematriisi on A = ja oletetaan että Q = I 4, 4 4 yksikkömatriisi 2 Silloin ja Nyt normaaliyhtälöt ovat A T Q 1 A = A T A = A T Q 1 l = A T l = ĥ1 ĥ2 ĥ3 0 0, 006 m +0, 006 m = 0 0, 006 m +0, 006 m mistä delta-ratkaisu ja koko ratkaisu (lisäämällä likiarvot takaisin) ĥ1 = 0 m ĥ1 = h ĥ1 = 1, 875 m ĥ2 = 0, 002 m ĥ2 = h ĥ2 = 7, 100 m ĥ3 = +0, 002 m ĥ3 = h ĥ3 = 8, 317 m 2 Ei kovin realistista Realistisempaa olisi muoto yhtäpitkiä Ja jos piste 1 on kiinteä lähtöpiste, q = q, olettaen että matkat 1-2, 1-3 ja 2-3 ovat

106 98 Luku 11 Tasoituslaskun variantit ja sovellukset Tasoitetut havainnot samalla tavalla käsiteltyinä: ĥ12 = 0, 002 m ĥ12 = 5, 227 m 0, 002 m = 5, 225 m ĥ23 = +0, 004 m ĥ23 = 1, 213 m + 0, 004 m = 1, 217 m ĥ13 = +0, 002 m ĥ13 = 6, 440 m + 0, 002 m = 6, 442 m ĥ1 = 0 m ĥ1 = h 0 1 = 1, 875 m Näkyy, että tasoitettujen havaintojen kohdalla pätee: eli silmukan sulkuvirhe on tasoitettu pois Korjaukset/residuaalit: Mistä painoykisikön keskivirhe: ĥ 12 + ĥ23 ĥ13 = 0 v 1 = ĥ12 h 12 = 0, 002 m v 2 = ĥ23 h 23 = 0, 002 m v 3 = ĥ13 h 13 = +0, 002 m v 4 = ĥ1 h 1 = 0 m E 4 3 = vt Q 1 v = v 1 T v = 0, 001 m 12 ±0, 004 m Luku 1 = 4 3 on vapausasteiden määrä, kun on 4 havaintoa ja 3 tuntematonta 115 Helmert-muunnosparametrien estimointi Käytännössä tulee usein vastaan tehtävä, että on estimoitava Helmert-muunnosta määrävät parametrit, kun pistekentän koordinaatit on annettu kahdessa koordinaattijärjestelmässä Esimerkiksi on muunnoskaava kahden kolmiulotteisen koordinaattijärjestelmän välillä (Ollikainen, 1993): x (2) y (2) z (2) = (1 + m) R x (1) y (1) z (1) + t x t y t z, (112) missä 1 + m on mittakaavakerroin (m yleensä pieni), R on pyörähdysmatriisi ja t x, t y, t z järjestelmien välinen siirtovektori Koska pyörähdyskulmat ovat yleensä pieniä, voidaan kirjoittaa: 1 e z e y R = e z 1 e x, e y e x 1 missä e x, e y, e z ovat pieniä kiertokulmia akseleiden x, y, z ympäri

107 116 Vapaa asemapiste 99 Kaava (112) voidaan kirjoittaa uudelleen ja linearisoida seuraavasti: x (2) x (1) y (2) y (1) = + eli z (2) z (1) x (2) i x (1) i y (2) i y (1) i z (2) i z (1) i = m e z e y e z m e x e y e x m x 0 y 0 z 0 x 0 i 0 zi 0 +yi yi 0 +zi 0 0 x 0 i zi 0 yi 0 +x 0 i t x t y t z, m e x e y e z t x t y t z (113) Tässä on yleisyyden vuoksi lisätty piste-indeksi i, i = 1,, n Pisteiden määrä on silloin n, havaintojen (annettujen koordinaattierotusten) määrä on 3n 116 Vapaa asemapiste Perinteisesti on kartoitusmittauksessa oletettu, että asemapiste tunnetaan Myös säteittäinen kartoitusmittaus suoritettiin sillä tavalla, että valittu asemapiste oli tunnettu piste, ja mittauspisteet mitattiin tästä pisteestä lähtien Nykyaikaisessa takymetrissä on sen verran tietojenkäsittelyvoima, että tämä ei ole enää välttämätöntä Sillä ehdolla, että mittauksessa otetaan mukaan riittävä määrä pisteitä, joiden koordinaatit tavoitetussa koordinaattijärjestelmässä ovat jo tiedossa, voidaan jo kentällä saada kaikki mitattujen kartoituskohteiden koordinaatit valmiiksi tähän järjestelmään Menetelmän nimi on vapaan asemapisteen menetelmä Nykyaikainen takymetria mahdollistaa suurien pisteblokkien samanaikaisen mittaamisen Mittausten tehokas suorittaminen edellyttää, että asemapisteet voidaan valita vapaasti, kartoitettavien pisteiden ehdoilla Vaatimus, että asemapiste olisi jo tunnettu piste, olisi liian rajoittava ja aiheuttaisi ylimääräistä työtä (esim kojeen ylimääräisiä siirtoja annetun pistekentän mittaamiseksi) Vapaan asemapisteen menetelmä on Helmert-muunnoksen parametrien estimoinnin sovellus 117 Vapaan asemapisteen laskuesimerkki 1 Tunnetuille jonopisteille 1 ja 2 on olemassa koordinaatit koordinaatistossa x, y: x 1, y 1 ja x 2, y 2, ja mittauksesta saadaan pisteiden kojekoordinaatit u 1, v 1 ja u 2, v 2 2 Oletetaan, että on suurehko määrä kohdepisteitä i = 1,, n Pisteille on määritettävä koordinaatit x i, y i mitatuista kojekoordinaateista u i, v i 3 Suoritetaan koordinaatistomuunnos eli Helmert- tai yhdenmuotoisuusmuunnos Tämä on lineaarinen, tasossa neljän parametrin muunnos 4 Kertoimet kahden tunnetun pisteen tapauksessa saadaan alla kuvatulla menetelmällä

108 100 Luku 11 Tasoituslaskun variantit ja sovellukset 5 muunnetaan kohdepisteiden mitatut kojekoordinaatit u i, v i koordinaatit x i, y i -koordinaateiksi Vapaan asemapisteen menetelmä mahdollistaa kohdepisteiden mittaamisen ennen kuin jonopisteitä on mitattu Muunnos kojekoordinaateista tavoitekoordinaatteisiin suoritetaan silloin jälkeenpäin Yleensä käytetään kolme tai useampi tunnettua pistettä; silloin muunnosparametrit on laskettava tasoituslaskulla Etuina ovat 1 suurempi tarkkuus, 2 mahdollisten karkeiden virheiden löytäminen, ja 3 mahdollisen x, y -koordinaatiston paikallisen vääristymän huomaaminen 118 Helmert-tasomuunnos kahdesta tunnetusta pisteestä Muunnoskaavat (u, v) (x, y): x = a + cu dv y = b + du + cv eli tai selkeämmin: [ x y [ x y ] = ] = [ a b [ a b ] [ c d + d c ] [ u v ] [ cos θ sin θ + K sin θ cos θ ] ] [ u v ] (114) Pythagoras antaa mittakaavan: ja ja tästä s xy = s uv = Samalla tavalla saadaan orientaatio 3 : (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (u 2 u 1 ) 2 + (v 2 v 1 ) 2, K = s xy s uv tai 4 θ = arccos x 2 x 1 s xy arccos u 2 u 1 s uv Tämän jälkeen siirtovektorin ( a θ = arctan y 2 y 1 x 2 x 1 arctan v 2 v 1 u 2 u 1 b ) T laskeminen on suoranaista 3 Mikä käytännön vika on tässä kaavassa? Tarkasta tapaus x 2 x 1 s xy! Ratkaisu? 4 Entä jos x 2 x 1? Ratkaisu: Käytä θ = arctan x 2 x 1 y 2 y 1 + arctan u 2 u 1 v 2 v 1!

109 119 Helmert-parametrien virheiden kasautuminen 101 Intermezzo Kompleksilukujen käyttö Helmert-muunnosta (kaava 114) saadaan helposti kompleksilukuversio: z = α + βw, missä z x + iy, w u + iv, α a + ib ja β K (cos θ + i sin θ) = Ke iθ Mikäli K on lähellä 1 (kuten lähes aina), voi kirjoittaa K = 1 + m e m ja seuraa: β = e m+iθ = e µ, missä taas µ m + iθ! Näin z = α + we µ, ja, jos sekä m että θ ovat pieniä, z α + w (1 + µ), eli käytännössä β 1 + µ 119 Helmert-parametrien virheiden kasautuminen Mikäli on enemmän kuin kaksi tukipistettä, on mahdollista analysoida miten virheet kasautuvat tukipisteiden koordinaateista Helmert-parametreihin ja niiden kauttaa tuntemattomien pisteiden (muunnettuihin) koordinaatteihin Ks esim (Kahmen and Faig, 1988, ss ) Lähdetään Helmert-muunnoskaavasta kirjoitettuna havaintoyhtälönä 5 : [ xi u i y i v i ] = [ +ui,0 v i, v i,0 +u i,0 0 1 ] m θ a b, (115) missä arvot u i,0 etc ovat riittävän hyviä likiarvoja Tietysti tukipisteiden annetut koordinaattiarvotarvot ovat riittävän hyviä m = d 1, θ = c ovat mittakaavakorjaus ja pyörähdyskulma, jotka usein ovat pieniä (useimmat, myös paikalliset, koordinaattijärjestelmät ovat suunnilleen oikean mittaisia ja orientoituvat pohjoiseen) Yllä olevissä havaintoyhtälöissä on 2n riviä, missä n on tukipisteiden määrä; i = 1,, n Rakennematriisi A on muotoa [ ] +ui v A = i 1 0 +v i +u i 0 1 Jos oletetaan, että kaikki tukipisteet ovat yhtä tarkkoja, voidaan laskea normaalimatriisi N seuraavasti ( merkitsee summaus kaikkien tukipisteiden yli): 5 Kompleksina: z i w i = [ w i,0 1 ] [ µ α ]

110 102 Luku 11 Tasoituslaskun variantit ja sovellukset N = A T A = ( u 2 + v 2) 0 u v ( 0 u 2 + v 2) v u u v n 0 v u 0 n Tämän merkitys on, että tuntemattomien [ m θ a b ] T varianssimatriisi on juuri N 1 Mikäli nyt u = v = 0, ts u, v ovat painopistekoordinaatit, saadaan N = ja parametrien varianssit ovat: ( u 2 + v 2) ( 0 u 2 + v 2) n n σ 2 m = σ 2 θ = σ 2 a = σ 2 b = σ2 0 n Ja parametrit eivät tilastollisesti korreloi σ 2 0 (u2 + v 2 ), Nyt on varianssien kasautumislain avulla suoranaista johtaa, mikä on Helmert-parametrien virheiden vaikutus muunnetun pisteen koordinaattivirheeseen Jos kirjoitetaan muunnetun pisteen sijainti muotoon l = [ x y ] T, saadaan [ ] u 2 + v σx 2 2 σ Σ ll = xy = σ0an 2 1 A T = σ 2 tp σ xy σy 2 0 (u2 + v 2 ) n tp u 2 + v 2 0 tp (u2 + v 2 ) + 1 n tp Mistä seuraa suoraan σ 2 p i = 2σ 2 x i = 2σ 2 y i = 2σ 2 0 ( ) u2 i + vi 2 tp (u2 + v 2 ) + 1 n tp Nämä ovat käytännön kaavat Helmert-muunnoskaavan kautta saatujen pisteiden pistekeskivirheille Esiintyvät koordinaatit u, v ovat painopistekoordinaatteja ts origo on tukipistekentän painopiste Pistekoordinaattien kovarianssi on σ xy = 0, ts pisteiden x- ja y-koordinaatit eivät korreloi ja pisteiden virhe-ellipsien akselit ovat x- ja y-akselein suuntaisia Tarkemmin, virhe-ellipsit ovat ympyröitä Ja niiden koko riippuu ainoastaan etäisyydestä origosta eli annettujen pisteiden painopisteestä Kuvassa 111 on kuvattu graafisesti tämän virheen käyttäytymistä Lienee intuitiivisesti selvä, että annetut pisteet on peitettävä koko alue missä näihin perustuvaa Helmert-muunnosta

111 119 Helmert-parametrien virheiden kasautuminen 103 Kuva 111: Miten annettujen pisteiden virheet (kolmiot) kasautuvat Helmert-muunnoksen kautta uusiin (muunnettuihin) pisteisiin (neliöt) aiotaan käyttää Ja miten enemmän pisteitä, sitä tarkempi tulos Minimipistemäärä on käytännön kokemuksen mukaan oltava vähintään kaksi kertaa matemaatista minimiä, eli neljä pistettä = 8 koordinaattiero, joista lasketaan 4 muunnosparametriä Sanotaan, että redundanssi on 2 Tässä laskennassa ei ole vielä otettu huomioon muut virhelähteet kuten itse lähtöpisteen ja muunnettavan pisteen piste- ja mittauskeskivirheitä Yksi selläinen on pisteen identifioinnin keskivirhe: piste ei ole maastossa välttämättä merkitty kovin tarkasti Esim pultti voi olla kulunut

112 104 Luku 11 Tasoituslaskun variantit ja sovellukset

113 105 GPS-mittaus ja laskenta Luku Yleistä Geodeettiset mittaukset tehdään yhdistettyinä pseudoetäisyys- ja vaihe-eromittauksina Käytetään vähintään kahta vastaanotinta jotka toimivat yhtäaikaa, eli mittaus on relatiivinen ja perustuu havaintopaikkojen välisten erotusten käsittelyyn Saavutettava tarkkuus on (muutaman kilometrin vektoreille) 1 5 ppm staattisella mittauksella; myöhemmin käsiteltävällä kinemaattisella tekniikalla saavutetaan mm ppm Tämä on hyvin riippuvainen olosuhteista ja mittausjakson pituudesta Runkomittaukseen pitää käyttää vain staattinen mittausmenetelmä 122 Rekognosointi Ennen mittausta on suoritettava rekognosointi, jonka ansoista itse mittaustilanteessa pisteet löytyvät vaivattomasti: tarkistettu, selkeä pistekortti piirroksineen sekä lähestymiskarttoineen ja -ohjeineen on oltava jokaiselle pisteelle GPS-konstellaation nykytila on niin hyvä, että yleisesti ei tarvitse ottaa sitä huomioon GPSmittauksia suunnitteltaessa Mittauksia voidaan suorittaa 24 tuntia vuorokaudessa ja luottaa siihen, että hyvä ratkaisu voidaan laskea On kuitenkin erikoistilanteita missä tämä ei pidä paikkansa Satelliittien näkyvyys havaintopaikalta voi olla niin huono että on tarkoin suunniteltava koska riittävä määrä satelliitteja on havaittavissa Havaintopaikkaa valitessa on otettava huomioon näkyvys ylöspäin: Jokaisesta havaintopaikasta tehdään horisonttipiirros missä kaikki esteet näkyvät Havainnot tehdään vain tietyyn korkeuskulmaan saakka, ns cut-off angle Arvo on ollut perinteisesti 20 tai 15, mutta nykyisin geodeettisia tarkkuusmittauksia tehdään jopa 5 :een saakka Ilmakehämallien parantunut laatu on mahdollistanut tätä Näin matala raja-arvo ei sovellu kuitenkaan rutiinimittauksille eikä RTK-mittauksille 123 Vektoreiden mittaus Havaintoja tehdään useimmiten vektoreiden mittauksena Vektori on kahden havaintopaikan välinen kolmiulotteinen, koordinaattieroista koostuva objekti eli mittaustulos Vektorit yhdistetään verkoksi sopivalla pienimmän neliösumman menetelmällä, jolloin testataan myös niiden oikeellisuutta

114 106 Luku 12 GPS-mittaus ja laskenta Jokainen edellisessa kohdassa muodostettu vektori mitataan (vähintään) kahdessa sessiossa Eli jokaiselle pisteparille jonka väliin on muodostettu vektori, pitää olla kaksi mittausjaksoa eli sessiota, joissa ne ovat yht aikaisesti miehitettyjä Tämä helpottaa mittausten laadun sekä tarkkuuden että luotettavuuden varmistaminen jo kenttätyön aikana 124 Vektoreiden määrä Numeerisen kartoituksen maastomittausohjeiden ((Anon, 1991)) luvussa 1391 (s 16) käsitellään, miten arvioidaan tarvittava määrä mittausjaksoja ja laskennassa tarvittava määrä riippumattomia vektoreita Julkaisussa käytetään seuraavat symbolit: R M N Yhtäaikaa mittaavien vastaanottimien siis: käytettävissä olevien vastaanottimien määrä Mitattavien pisteiden kokonaislukumäärä; tukipisteet ja määritettävät pisteet yhteenlaskettuna Haluttu mittausten ylimääräisyyskerroin (redundanssiaste, vapausastekerroin) Ylimääräisyskerroin N riippuu käytettävissä olevien vastaanotinten määrasta R ja valitaan alla olevan taulukon mukaisesti: Vastaanottimien määrä R ylimääräisyyskerroin N, vähintään ,4 4 1,2 5 tai useampia (1) Tämän takana on filosofia, että jos on useampia vastaanottimia käytettävissä yhtäaikaa, saadaan redundanssia verkkogeometrian kautta Jos on vain kaksi vastaanotinta, ei saada verkkoa vain yksi ainoa vektori kerrallaan Mittausjaksojen (sessioiden) vähimmäismäärä S ja mitattaville riippumattomien vektoreiden vähimmäismäärä B voidaan tästä laskea: S = (1 + p) MN R + km, missä p on varmuuskerroin mittausten epäonnistumisriskin ja k alueen koon (siirtymisriskin) takia: p = 01,, 02 p = 01 vastaa onnistumisprosenttiin 90%, p = 02 vastaa 80- prosenttiseen onnistumiseen k = 01,, 02 Sataa kilometriä pienemmille alueille valitaan k = 01, muuten k = 02 Arvioitu vektoreiden kokonaismäärä V (vektori AB on identtinen vektorin BA kanssa, ja vektori AA ei olekaan; siksi vektoreiden määrä yhdessä sessiossa on v = 1 (R 1) R): 2 Riippumattomia vektoreita (pistevälejä) B: V = R (R 1) S 2 B = (R 1) S

115 125 Verkon geometria Verkon geometria Kuva 121: GPS-verkon geometria Jos mitattavalla verkolla on n pistettä, voidaan muodostaa niiden välillä n 1 riippumatonta vektoria Kaikkiaan voidaan muodostaa 1 n (n 1) vektoria Kuitenkin voidaan suositella, 2 että Mitataan 2n vektoria (ks edellinen luku ja taulukko); vektorit valitaan niiden pituuksien mukaan eli mahdollisimman lyhyiksi; kuitenkin näin, että jokaiseen pisteeseen kytkeytyy ainakin kolme vektoria Esimerkiksi: jos on 10 pistettä (n = 10), on 9 riippumatonta vektoria ja mahdollisia vektoreita olisi 45 Valitaan niistä 20 lyhyimmät Verkon geometrian rakentaminen käy edelleen parhaiten käsin; ks kuva Mittausten kesto ja aikataulu Mittaukset jaetaan havaintojaksoihin eli sessioihin Yhden mittausjakson ajallinen kesto riippuu 1 Vektorin pituudesta, ja 2 halutusta tarkkuudesta Hyödyllinen käytännön kaava joka kuvaa GPS-mittauksen tarkkuutta vektorin pituuden ja session keston funktiona on: σ 2 = C l p t q, missä σ on vektorin komponenttien (koordinaattierojen) keskivirhe, l on vektorin pituus, t mittauksen kesto, ja C sopiva vakio, joka riippuu mm Auringon aktivisuudesta, mittauspaikan leveysasteesta, mittauslaitteiden ominaisuuksista jne jne Eksponentteja p ja q on

116 108 Luku 12 GPS-mittaus ja laskenta jonkin verran tutkittu empiirisesti; Bernese rule-of-thumb esim sanoo, että p = +1, eli virhe on verrannollinen etäisyyden neliöjuureen Myös q = 1 tuntuu järkevältä: Tarkkuus paranee kerättyjen havaintojen määrän neliöjuuren mukaan Käytännössä: Jos verkon vektoripituudet ovat luokkaa 1 10 km, kuten on asian laita monessa kunnallisessa runkoverkoissa, järkevä mittausaika olisi 1 h 2 h Jos vektorin toinen piste tai molemmat on peitteinen, voidaan tuplata sen vektorin mittaussession pituutta Näin voidaan saavuttaa sentrimetriluokan paikannustarkkuutta Mikäli EUREF-FIN sidospisteet ovat myös pisteisiin, jotka ovat alle 10 km etäisyydellä, pätee sama myös näihin Peitteisyyden arvointi voidaan tehdä piirtämällä horisonttikuva jossa raja-elevaatio on piirretty eri suunttin ympäri horisonttia Hyvä taivaan näkyvyys on vapaa näkyvyys korkeuskulmaan 20 saakka Yksittäiset esteet (puut, mastot) tiettyihin suuntiin eivät ole ongelma; jos on laajempi este, je voi olla syy mittausajan pidentämiseen Kuitenkin jos este on laaja ja läpinäkymätön, kuten rakennuksen seinä joka peittää taivaalta yhden puoliskon melkein kokonaan, pisteessä ei kannata mitata Kun sessioiden pituudet on saatu selville, voidaan laatia mittausaikataulu, jossa otetaan huomioon myös matkustus päämajasta pisteisiin nehän ovat rekognosoinnin ansiosta tarkoin ennakoitavissa ja työaikasäännökset Myös kustannuslaskelma on silloin jo mahdollista tehdä Kuitenkin: Muista varata ylimääräistä aikaa odottamattomiin tilanteisiin! Niitä kun tapahtuu aina: vastaanotin voi joutua epäkuntoon! Sopiva varaus lienee 10-30%, riippuen käytettävien vastaanotinten määrästä 127 Ratatiedot 1-10 km kokoisissa verkoissa broadcast-ratatietojen käyttö pitäisi olla riittävä; kuitenkin usein tarkkojen ratatietojen käyttö parantaa tulokset km pitkät vektorit pitää ehdottomasti prosessoida käyttäen precise ephemeris 128 Antennit ja pystytys Yleistä: 1 Kampanjassa käytetään aina samantyyppiset antennit; näin sähköisen keskipisteen vaihtelut eliminoituvat ongelmasta 2 Kun on kyse pitkien matkojen mittauksesta ja mittauksesta EUREF-pisteeseen, kannattaa käyttää ns choke ring -antenni, jonka maaheijastuksia torjuvat ominaisuudet ( multipath ) ovat hyviä 3 Kolmijalkojen, erityisesti optisen luodin, kunta tarkastetaan ennen mittausta ja sen jälkeen

117 129 Havaintogeometria, havainto-yhtälöt 109 Kentällä: 1 Antenni pystytetään pisteen yläpuolella kolmijalan ja pakkokeskistyslevyn avulla Keskistetään ja tasataan huolella, ja suunnataan antenni (magneettiseen) pohjoiseen kompassin avulla 2 Mitataan huolellisesti antennin korkeus pisteen yläpuolella Yleensä mittaus suoritetaan merkin keskipisteestä antennin reunaan, kolmeen eri reunan paikkaan Kolmesta arvosta otetaan keskiarvo Arvot ei saa poiketa toisistaan millimetriä enempää, muuten tarkistettava keskistys ja tasaus 3 Antennin korkeusmittaus mittauksen alussa ja lopussa, pitkissä mittausissa myös (varovasti!) mittauksen aikana 129 Havaintogeometria, havainto-yhtälöt Maastomittauksessa käytetty menetelmä on lähinnä staattinen kantoaaltovaihemittaus ja laskentamenetelmä relatiivinen paikannus, yleensä pienellä alueella (muutama kymmenen, korkeintaan sataa kilometriä) GPS:n tuottamat havaintosuureet ovat pseudoetäisyyksiä 1 : p = ρ + c ( t T ) + d ion + d trop Yksinkertaisuuden vuoksi jätetään ilmakehän vaikutus pois ja oletetaan myös että satellittirata ja radasta ja kellonajasta laskettu satelliitin hetkellinen paikka avaruudessa ja satelliitin kellovirhe t ovat tunnettuja Tässä ρ on geometrinen etäisyys satelliitti - vastaanotin ja T on vastaanottimen kellovirhe Kirjoitetaan ρ = (x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2, missä [ x y z ] T on tunnettu satelliitin paikka avaruudessa, laskettu ratatiedoista eli efemeriideista Nyt (unohdetaan tropo- ja ionosfäärin vaikutukset) p = (x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2 + c ( t T ), missä on neljä tuntematonta, X, Y, Z ja T Nämä neljän tuntemattoman ratkaisemiseksi riittää havainnot neljälle satelliitille Mikäli käytettävien satelliittien määrä on suurempi, saadaan redundanssi ja tasoitustehtävä Linearisointi on suoranaista: valitse likiarvot X 0, Y 0, Z 0 ja T 0 = 0 Silloin yhteensopiva havaintosuureen likiarvo on: p 0 = (x X 0 ) 2 + (y Y 0 ) 2 + (z Z 0 ) 2 + c t ja pienet erotussuureet (Taylor-kehitelmän ensimmäiset termit): p p p 0 ρ ρ ρ X + Y + Z c T, (121) X Y Z 1 Geodeettisissa mittauksissa käytetään ensisijaisesti ns kantoaallon vaihemittauksia, jotka kuitenkin käyttäytyvät suunnilleen samalla tavalla tasoituslaskussa Vain mittaustarkkuus on pari suuruusluokkaa parempaa

118 110 Luku 12 GPS-mittaus ja laskenta missä osittaisderivaatat lasketaan seuraavasti ketjusäännön avulla: ρ X = 1 (x X)2 2ρ X = x X, ρ ja vastaavasti ρ Y = y Y ρ, ρ Z = z Z ρ Vaihtoehtoisesti käytetään toposentrisia (taivaanpallon) pallokoordinaatteja: ρ X = cos A cos η, ρ Y = sin A cos η, ρ Z = sin η, missä A on atsimuti (suuntakulma) ja η on korkeuskulma horizontin yläpuolella [ ] ρ ρ ρ Huomaa myös, että e on yksikkövektori, ts sen pituus on e = 1 X Y Z Tällä tavoin voimme kirjoittaa linearisoitu havaintoyhtälö seuraavasti: p + v = [ e c ] [ ] R, (122) T missä v on jäännösvirhe Jos kirjoitetaan havaintoyhtälöt symboliseen muotoon l + v = Ax, on rakennematriisi: A = [ e c ] = [ cos A cos η sin A cos η sin η c ] Esimerkkimatriisissa on vain yksi rivi Yleisemmin rivien määrä vastaa havaintojen määrää: A = cos A 1 cos η 1 sin A 1 cos η 1 sin η 1 c cos A 2 cos η 2 sin A 2 cos η 2 sin η 2 c cos A i cos η i sin A i cos η i sin η i c cos A n cos η n sin A n cos η n sin η n c (123) 1210 Tuntemattomien varianssimatriisi ja varianssit Tuntemattomien x painomatriisi on normaalimatriisi: N = [ A T A ] = cos 2 A cos 2 η cos A sin A cos 2 η cos A cos η sin η c cos A cos η cos A sin A cos = 2 η sin 2 A cos 2 η sin A cos η sin η c sin A cos η cos A cos η sin η sin A cos η sin η sin 2 η c sin η c cos A cos η c sin A cos η c sin η nc 2

119 1210 Tuntemattomien varianssimatriisi ja varianssit 111 Huomaa, että tämän matriisin jokainen alkio paikassa (i, j) saadaan kertomalla A-matriisin sarake i ja sarake j keskenään ( skalaaritulo ): jos kirjoitetaan A = [ a 1 a 2 a 3 a 4 ], jossa a 1 [ cos A 1 cos η 1 cos A 2 cos η 2 cos A n cos η n ] T, jne, saadaan a 2 [ sin A 1 cos η 1 sin A 2 cos η 2 sin A n cos η n ] T, N = a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 4 a 2 a 1 a 2 a 2 a 2 a 3 a 2 a 4 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 a 3 a 3 a 4 a 4 a 1 a 4 a 2 a 4 a 3 a 4 a 4 jossa a b on kahden vektorin skalaari- eli pistetulo n a k b k Tässä summaus tapahtuu kaikkien satelliittien i = 1,, n yli, ja i-indeksi A- ja η- arvoille on jätetty merkitsemättä Tästä saa tuntemattomien a posteriori -varianssit rarkemmin, painokertoimet käänteismatriisin Qˆxˆx = N 1 alkioina: k=1 q xx (Qˆxˆx ) 11, q yy (Qˆxˆx ) 22, q zz (Qˆxˆx ) 33, q tt (Qˆxˆx ) 44, Näin laskettujen q-arvojen perusteella DOP 2 -suureet on määritelty seuraavasti 3 : GDOP = q xx + q yy + q zz + q tt PDOP = q xx + q yy + q zz HDOP = q xx + q yy VDOP = q zz TDOP = q tt Muista kuitenkin, että näin laskettu Q-matriisi 4 ja sen alkiot voidaan kutsua variansseiksi vain fiktion perusteella, että yhden satelliitin pseudoetäisyyshavainnon tarkkuus olisi σ 0 = q0 = 1 2 Dilution of Precision 3 Kirjallisuudessa määritelmät vaihtelevat hieman 4 Näin laskettu varianssimatriisi missä havaintojen todellinen tarkkuus on korvattu konventionaalisella arvolla 1 kutsutaan usein painokerroinmatriisiksi

120 112 Luku 12 GPS-mittaus ja laskenta Siinä tapauksessa, että yhden satelliitin pseudoetäisyyden todelliseksi tarkkuudeksi on tiedossa: σ 0, saadaan: PDOP = HDOP = VDOP = σ 2 x + σ 2 y + σ 2 z σ 0 σ 2 x + σ 2 y σ 2 z σ 0 σ 0 = σ(2d) P σ 0 = σ(3d) P σ 0 missä σ x, σ y σ z ovat X, Y ja Z -koordinaattien todelliset (realistiset) keskivirheet: σx 2 = q xx σ0, 2 σy 2 = q yy σ0, 2 σz 2 = q zz σ0 2 [ ] Yllä olevissä kaavoissa on käytetty myös σp 2 = σx 2 +σy 2 +σ 2 z, joko kaksi- tai kolmiulotteinen pistevarianssi, pistekeskivirheen neliö 1211 Esimerkki: atsimutisymmetrinen geometria Olettakaame nyt yksinkertaistetun analyysin vuoksi, että satelliitit on tasaisesti jaettu ympäri taivasta eli atsimutiarvojen A mukaan, erikseen jokaiselle korkeuskulmalle η Silloin yllä olevassa matriisissa 1 kaikki ei-päälävistäjän arvot häviävät, koska niissä on joko sin A tai cos A, tai jopa sin A cos A Ainoastaan sin η ei häviä 2 Päälävistäjäelementit n cos 2 A i cos 2 η i = 1 2 i=1 n sin 2 A i cos 2 η i = 1 2 i=1 n cos 2 η i, i=1 n cos 2 η i, koska sekä sin 2 A:n että cos 2 A:n keskiarvo ympyrän ympäsi on 1 2 Siksi [ A T A ] :stä tulee melkein diagonaalinen matriisi joka on suhteellisen helppoa kääntää 5 : 1 n cos 2 η i i=1 1 n [ A T A ] 0 cos 2 η i = i=1 n n 0 0 sin 2 η i c sin η i i=1 i=1 n 0 0 c sin η i nc 2 5 Tulemme kuitenkin pärjäämään ilman matriisinkäännöstä i=1 i=1

121 1211 Esimerkki: atsimutisymmetrinen geometria 113 Muunnetaan nyt havaintoyhtälö (121) ja rakennematriisi (123) seuraavalla tavalla: l + v = Ax = AIx = A [ ΛΛ 1] x = [AΛ] [ Λ 1 x ] = à x, missä ja x = X Y Z T = Λ 1 x = T X Y Z sin η nc Z cos A 1 cos η 1 sin A 1 cos η 1 sin η 1 1 sin η c n cos A 2 cos η 2 sin A 2 cos η 2 sin η 2 1 sin η c n à = AΛ = cos A i cos η i sin A i cos η i sin η i 1 sin η c n cos A n cos η n sin A n cos η n sin η n 1 sin η c n, (124) koska 6 Nyt saadaan [ÃT Ñ = Ã] = Λ = sin η, Λ 1 = sin η nc nc 1 2 n cos 2 η i i= n cos 2 η i 0 0 i=1 0 0 ( n sin η i 1 n i=1 ) 2 n sin η j 0 j= nc 2, Kirjoitetaan nyt x-vektorin virhe-ellipsoidin, eli vastaavasti matriisin Ñ 1 kuvaaja-ellipsoidin, kaava: x T à T à x = 1, missä x kuten kaavassa (124) Tulos on n 11 X 2 + n 22 Y 2 + ñ 33 Z 2 + n 44 T 2 = X 2 q xx + Y 2 q yy + Z2 q zz + T 2 = 1, q tt 6 Tarkista, että ΛΛ 1 = Λ 1 Λ = I!

122 114 Luku 12 GPS-mittaus ja laskenta mistä näkyy heti määritelmän mukaiset, varianssimatriisin Q xx = [ A T A ] 1 alkiot: q xx = q yy = 2 cos2 η, 2 cos2 η, mistä lasketaan HDOP = 4 q xx + q yy = cos2 η = 2 cos2 η Samalla, hieman uudelleen järjestämisen jälkeen, q zz = 1 sin 2 η 1 n ( sin η) 2, ja VDOP on sen neliöjuuri Erotushavaintojen havaintoyhtälöt Voimme lähteä yksinkertaisten GPS-pseudoetäisyyshavaintojen havaintoyhtälöstä (kaava 122, c on valon nopeus): p + v = [ e c ] [ R T ] Kirjoitetaan satelliitien indeksi yläindeksinä ja maa-asemien indeksi alaindeksinä: p 1 j + v 1 j p i j + v i j p i j + v i j p n j + v n j = e 1 j e i j e i j e n j c c c c [ Rj T j ] Tässä on kirjoitettu vain kahdet sarakkeet, havaintoasemalle numero j Käytännössä tulee olemaan kaksi saraketta jokaiselle maa-asemalle j Muodostetaan nyt satellittien väliset erotukset 8 vähentämällä yhtälöryhmän ensimmäinen rivi kaikista muista joilla on sama maa-asema j: 7 Huomaa, että jos η on vakio, niin nimittäjä haviää! Eli, korkeuden määritys GPS:llä edellyttää, että on satelliitteja eri korkeuksilla taivaassa 8 Notaatio ei ole mitään tekemistä vektorianalyysin -operaattorin kanssa! Se on valittu vain, koska merkin muoto kuvaa geometrisesti kahden satelliitin ja yhden maa-aseman idea

123 1212 Erotushavaintojen havaintoyhtälöt 115 "Taivaan pallo" 3 ej 13 e j 14 ej Tetraedri W 4 e j 1 ej 12 e j 2 e j N Sat 2 Havaitsija j η A 2 2 S Kuva 122: GPS-pseudoetäisyyshavaintojen ja erotushavaintojen geometria E 12 p j + 12 v j 1i p j + 1i v j 1i p j + 1i v j = 12 e j 1i e j 1i e j [ R j ] (125) 1n p j + 1n v j 1n e j Huomaa, miten ongelmasta on poistunut kellotuntematon T Koska se on sama satelliitista riippumatta, se häviää kun vähennetään saman vastaanottimen kahden eri satelliitin havainnot toisistaan Yllä annettujen kaavojen matriisimuodot ovat: p = [ e c ] [ R T ] ja p = er, missä matriisi [ ] j = koostuu blokeista jokaiselle havainto-asemalla j Huomaa, että matriisi on suorakulmainen eikä neliön muotoinen Sarakkeita on riveja yksi enempää Se kuvaa se, että erotushavaintoja on aina yksi (per maa-asema) vähemmän kuin alkuperäisiä

124 116 Luku 12 GPS-mittaus ja laskenta Tästä voimme laskea myös erotushavaintojen painokerroinmatriisi Jos alkuperäisten havaintojen p painokerroinmatriisi on Q, saadaan p:n painokerroinmatriisi kaavalla Q = Q T Jos Q on yksikkömatriisin muotoinen, siis varianssimatriisi Σ = σ0q 2 = σ0i, 2 saadaan kaunis tulos: Q = = (I + J), käyttämällä notaatio: I on yksikkömatriisi, J on ykkösten matriisi, siis sellainen, jonka kaikki elementit ovat ykkösiä 1213 Vektorimittaukset Mikäli mitataan GPS:n avulla vektoreita eikä absoluuttisia koordinaattiratkaisuja, ovat havaintoyhtälöt edelleen yllä kuvatun muotoisia, edellyttäen että vektorin toinen pää pidetään kiinni Silloin tuntemattomat R j = [ X j Y j Z j ] T ovat tämän vektorin kolme komponenttia Mikään muu ei muutu Mikäli halutaan estimoida todella absoluuttiset pistekoordinaatit geosentrisessa järjestelmässä käyttämättä jo tiedossa olevia lähtöpisteitä, on sekin mahdollista yo kaavojen avulla Emme tätä tapausta tässä käsittele Se kuuluu globaalisen tarkkuusgeodesian piiriin Mikali mitataan verkkoja jotka koostuvat useista vektoreista, mutkistuvat kuviot Olkoon alkuperäisten mittausten havaintoyhtälöryhmä p v1 1 p n 1 + v1 n p 1 m + vm 1 p n m + vm n = e c 0 e n 1 0 c 0 0 e 1 m 0 c 0 e n m 0 c R 1 R m T 1 T m Tässä n on satelliittien, m maa-asemien määrä Samalla tavalla kuin aikaisemmin konstruoidaan kaksoiserotusten havaintoyhtälöt, jolloin

125 1213 Vektorimittaukset 117 T :t taas häviävät: p v 12 1n p n v = 1m 12 p + 1m 12 v 1m 1n p + 1m 1n v 12 e 1 12 e 2 0 1n e 1 1n e e e m 1n e 1 0 1n e m R 1 R m (Tästä näkyy heti, jos R i = 0, i = 2, 3,, m, että saadaan takaisin yksinkertaisten erotusten havaintoyhtälöryhmä 125) Tässä tapauksessa nabla-matriisi on [ ] = Jos taas Q on yksikkömatriisin muotoinen eli varianssimatriisi Σ = σ 2 0Q = σ 2 0I, saadaan kaksoiserotusten p painokerroinmatriisi seuraavasti: jonka muoto on monimutkainen Q, = [ ] Q [ ] T = [ ] [ ] T, Pääpointti tässä on, että erotushavainnot ovat korreloituja keskenään Kahden satelliitin välillä lasketut yksinkertaiset erotukset korreloituvat yhteisen vertaussatelliitin (yllä: satelliitti 1) kautta Kaksinkertaiset havainnot taas korreloituvat yhteisen maa-aseman kautta jos sellainen on Tämän seurauksena samasta pisteestä lähtevät vektorit korreloituvat Kuitenkin monet käytännön GPS-laskentaohjelmistot (kuten Ashtechin WinPrism) toimivat kaksivaiheperiaatteella: 1 Lasketaan yksittäiset vektorit, jokainen kahden verkon pisteen välillä 2 Tasoitetaan vektoreista muodostettu verkko Yleensä kakkosvaiheessa oletetaan, että vektorit ovat toisistaan tilastollisesti riippumattomia Tiedämme nyt, että ne eivät sitä ole Vektorien tarkkuudeksi oletetaan yleensä funktio, joka riippuu vektorien pituudesta, esim pituuden kanssa verrannollinen funktio Likimääräinen menetelmä toimii useimmiten hyvin, vaikkei optimaalisesti Esim Berneseohjelmisto tarjoaa mahdollisuuden ottaa erotushavaintojen todelliset korrelaatiot huomioon Tulos ei välttämättä aina parane Tämä on vaikea ala

126 118 Luku 12 GPS-mittaus ja laskenta Paljon suurempi approksimaatio, jota tehdään monessa GPS-laskentaohjelmassa (myös Bernesessä), on, että peräkkäiset GPS-havainnot ovat tilastollisesti riippumattomia toisistaan Tiedämme, että sekään ei pidä paikkansa Tämän oletuksen seurauksena GPS-ohjelman tuottamat, muodolliset pistekeskivirheet voivat olla jopa kertaa liian optimistisia Luotettava tapa selvittää tulosten todellista tarkkuutta on tutkia vektorien verkkotasoituksesta saatua painoyksikön keskivirhettä Toinen lähestymistapa tähän on ristivalidointi: lasketaan verkko käyttäen vain puolet aineistosta, ensin ensimmäinen puoli, sitten toinen puoli; ja verrataan tulokset keskenään Tässä menetelmässä ei tehdä epävarmoja oletuksia Se kyllä edellyttää, että mittaukset on kerätty tavalla joka mahdollistaa tämä, siis jokainen osamittaus on tehty kahtena eri sessiona

127 119 Geodeettiset mittaukset ja laskennat Luku Runkkoverkkojen hierarkia ja tarkkuusluokitus Verkkohierarkiasta hieman erillään oleva käsite on tarkkuusluokitus Eritellään seuraavat käsitteet: Tarkkuusluokitus (class) Hierarkia eli järjestysluokitus (order) Eri luokkien verkkojen pisteet omaavat eri tarkkuuksia Tarkkuuksien sijasta voidaan puhua myös toleranssista: nyrkkisääntö on, että jos pisteen pistekeskivirhe on σ P, on toleranssi, eli pisteen sijainnin vaihteluväli jonka sisällä se todennäköisimmin on, n 2,5 kertaa σ P Tarkkuusluokituksella on seuraavat käytännön aspektit: 1 Toiminnallinen maa on kallista: sijainti ja pinta-ala on tunnettava tarkasti Pieni virhe voi aiheuttaa suuret rahalliset seuraamukset etenkin kaupunkialueilla Tarkkuusluokitus ottaa tämä huomioon 2 Paikkatietojen yhteiskäyttö Tästä syystä luokitus on standardoitu mm uusien kaavoitusmittausohjeitten ja tilusmittausohjeitten muodossa Pisteen koordinaattien lisäksi on aina ilmoitettava sijainnin epävarmuus (esim pistekeskivirhe) ja käytetty koordinaattijärjestelmä 132 Valtakunnalliset runkoverkot Valtakunnallisella I luokan kolmiomittauksella on seuraava tarkoitus: 1 Käytännön tarkoitus on luoda maahan yhtenäinen, kaikkiin käyttötarkoituksiin riittävän tarkka tasokiintopisteverkko muiden kolmiomittausten sekä kartoitustöiden pohjaksi I luokan kolmiomittaus saatiin päätökseen 1980-luvulla; sen avulla luotu kartoitusjärjestelmä (koordinaatisto) oli nimeltään kkj GPS-aikakaudella sen sisäinen tarkkuus ei enää ritä kaikkien tarkimpiin mittaus- ja kartoitustöihin On käyty yhteiskunnallinen keskustelu uuteen järjestelmään, EUREF-FIN:iin siirtymiseksi ja tällä hetkellä siirtyminen on useimmissa valtion laitoksissa ja monissa kunnissa käynnissä tai jo suoritettu GL:n mittausten tuloksena on olemassa n 450 pisteen valtakunnallinen kiintopisteistö

128 120 Luku 13 Geodeettiset mittaukset ja laskennat uudessa järjestelmässä; myös Maanmittauslaitoksella on n 2500 kiintopistettä joiden EUREF-FIN koordinaatit on maanmittareiden käytettävissä EUREF-FIN:iin siirtyminen on kallis, monivuotinen operaatio 2 Tieteellinen tarkoitus oli a) määrittää luotiviivanpoikkeamat geodeettisesti laskettujen ja tähtitieteellisesti määritettyjen leveys- ja pituusasteiden välillä; ja niistä laskea geoidin ja vertausellipsoidin väliset erot (geoidi-undulaatiot) GPS toteuttaa nykyisin tämä päämäärä paremmin määrittämällä suoraan kolmiulotteiset (X, Y, Z)-koordinaatit ja niistä geoidin korkeus vertausellipsoidin nähden Historiallisen jatkuvuuden kannalta päätettiin viisaasti käyttää Suomen EUREFtihennysverkkoa (EUREF-FIN) olemassa olevien I luokan kolmioverkon pisteitä uudelleen GPS-mittauksissa Mittaukset suoritettiin ja näissä mitattiin n 100 pistettä b) seurata mahdolliset vaaka- ja pystyliikkeet Suomen maankuoressa Vasta GPS:n ylivertainen tarkkuus on tehnyt tätä päämäärää realistiseksi ja se on ollut olemassa vasta 1990 luvusta lähtien Geodeettinen laitos mittasi I luokan kolmioverkko etelä- ja keskisuomessa ketjuverkkona, jonka reiät Maanmittauslaitos sulki omilla kolmiomittauksilla Pohjois-Suomessa GL:n mittaama kolmioverkko oli täydellinen, vaikkakin koostui suuremmista kolmioista 1990-luvulla Geodeettinen laitos perusti FinnRef TM pysyvä GPS-verkkoa 12 asemalla ympäri suomea; tämä on nykyhierarkiassa korkein luokka Vuosina GL mittasi GPStekniikalla n 100 pistettä lisää GPS-kampanjoilla; näitä oisteitä luokitellaan E1-luokkaan Vuosina mitättiin 350 pistettä lisää, jotka kuuluvat E1b-luokkaan 133 Alemman luokan runkoverkot Vanhat alemman luokan runkoverkot ja -pisteet olivat seuraavia: IIa ja IIb luokka: Maanmittauslaitoksen mittaamat kolmioverkon tihennykset III luokan pisteet muodostavat kunnallinen ylin luokka Kolmioverkko IV luokka: monikulmiojonoilla tihennystä V lk ja VI lk: käyttöjonoja Nykyluokituksessa käytetään luokkakoodit E2-E6 Kuntatasolla korkein luokka (runkoverkko) on yleensä E3, jotka ovat Maanmittauslaitoksen mittaamia staattisella GPS:lläKunnan runkoverkon tihennyksissä on syytä ottaa mukaan kaikki sen alueella olevat, MML:n mittaamat E3- ja E4- luokan pisteitä Perinteisiä ja satelliittimittauksia Tavallista on, että joudutaan mittaamaan alueella, jossa on ennestään olemassa pistekenttä, jonka koordinaatit tunnetaan perinteisessä valtakunnallisessa järjestelmässä ja/tai paikallisessa tai paikkakuntakohtaisessa järjestelmässä Kuitenkin mittaukset suoritetaan GPSmenetelmällä ja mittausten tuloksena saadaan pisteille ETRS-89 (eli sen realisaation EUREF- 89 tai EUREF-FIN) geosentrisiä koordinaatteja

129 134 Perinteisiä ja satelliittimittauksia 121 Tässä tapauksessa syntyvät seuraavat kysymykset 1341 kkj-järjestelmän määritys Suomessa on Gauß-Krüger projektio sovellettu näin, että 1 Kolmiulotteiset ED50-koordinaatit X, Y, Z ovat projisioitu Kansainväliselle ellipsoidille (Hayford) 2 Näin saadut kaksiulotteiset karttakoordinaatit (x, y) on Helmert-muunnettu tavalla, joka minimoi erotukset jo olemassa olevien Helsingin järjestelmän (x, y) kanssa, Parm (1970) Sopiva muunnos löytyy myös julkaisusta (Ollikainen, 1993): [ x y ] kkj = [ 61, , 6691 ] + [ 1, , , , ] [ x y ] ED50 3 Projektiokaistojen väliseksi etäisyydeksi on valittu λ = 3 Näin ollen saadaan Suomen alueelle neljä (4) kaistaa Keskimeridiaanit ovat 21, 24, 27, 30 Mielivaltaisen pisteen maksimietäisyys keskimeridiaanista on km meidän latituudeilla 4 y-koordinaattiin lisätään m, jotta saadaan jokaisessa kaistassa aina vain positiiviset y-arvot kkj:n yhtenäiskoordinaatisto Tässä järjestelmässä, joka käytetään pienimittakaavaisilla kartoilla joissa kuvataan koko Suomea ja sen huomattavaa osaa, on vain yksi keskimeridiaani, 27 Näin ollen kaistan leveys on peräti km Helsingin järjestelmä Nimetty myös vanha valtion järjestelmä (vvj ) Tämä on lähes sama kuin kkj On vielä yllättävän monella paikalla käytössä (muttei Helsingissä!) Tässä systeemissä ilmoitetaan pituuskaistan keskimeridiaanin pituusaste eikä kaistan numero Paikalliset järjestelmät Yleensä ne ovat kuntien omia järjestelmiä Jonkinlainen yhteys kkj:hen tai vvj:hen on yleensä olemassa Muunnoskaavat on yleensä olemassa ja dokumentoitu Kuitenkin siihen ei saisi sokeasti luottaa: koelaskenta tunnettujen pisteiden avulla kannattaa aina suorittaa 1342 Korkeusjärjestelmät ja geoidin rooli Yhteiseurooppalainen ED50-datum perustuu ns kansainväliseen ellipsoidiin eli Hayfordellipsoidiin Systeemin kanssa käytetään Bomford-geoidi, joka määritettiin astrogeodeettisesti, siis luotiviivapoikkeamien perusteella

130 122 Luku 13 Geodeettiset mittaukset ja laskennat GPS järjestelmä: WGS84 (X, Y, Z) ED50 järjestelmä: Alueellinen, astrogeodeettinen X, Y, Z 3D muunnos (muunnospisteet ja niiden korkeudet) Ellipsoidiset koordinaatit: ED50 ϕ, λ, h Karttaprojektio (Gauss Krueger) Geoidin korkeus N Geoidimalli ED50: N60 korkeusjärjestelmä: Ortometrinen korkeus Karttakoordinaatit x, y H = h N Muunnos (2D) paikalliseen järjestelmään Kartastokoordinaattijärjestelmä x, y (kkj) Kuva 131: kkj -koordinaattien tuottaminen GPS-mittauksin Taulukko 131: Kansainvälisen ellipsoidin ja GRS80-ellipsoidin parametrit Parametri Kansainvälinen GRS80 a m m f 1/297 1/298, b , ,3141 Modernit GPS-datumit kuten Suomen EUREF-FIN perustuvat GRS80-vertausellipsoidiin, jonka parametrit ovat erilaisia Sen lisäksi niiden keskipisteiden sijainnit avaruudessa on erilaisia, ks taulukko 132 Sen seurauksena samoilla pisteilla on eri geoidikorkeudet eri järjestelmässä: kun Bomfordin geoidikorkeudet vaihtelevat 7 metristä +5 metriin, on modernit geoidit Suomen alueella (kuten esim M Ollikaisen laskema FIN2000) välillä m Ks kuva 133 Aina on käytettävä sopiva geoidimalli sopivan vertausjärjestelmän ja -ellipsoidin kanssa! Eli, esimerkiksi, Bomford + ED50/Hayford, tai FIN EUREF/GRS Muunnokset eri järjestelmien välillä EUREF ja ED50 Vanha Suomen valtakunnallinen koordinaattijärjestelmä kkj perustuu eurooppalaiseen datumiin ED50 Uusi koordinaattijärjestelmä EUREF-FIN taas on geosentrinen ja perustuu

131 134 Perinteisiä ja satelliittimittauksia 123 Taulukko 132: Muunnosparametrit EUREF89 ED50 Kaava sama kuin alla (ja erilainen kuin (Ollikainen, 1993)!) Parametri Arvo Keskivirhe Yksikkö X 93,477 3,345 m Y 103,453 5,534 m Z 123,431 2,736 m m -2,062 0, e 1 0,246 0,168 e 2-0,109 0,106 e 3-0,068 0,112 GRS80 vertausellipsoidiin Kahden järjestelmän koordinaattien välillä ero on toista sataa metriä Ks taulukko, joka perustuu M Ollikaisen laskemiin arvoihin (Ollikainen, 1993) Näin voidaan ED50-datumin koordinaatit muuntaa EUREF89 (tarkemmin: ETRS89) järjestelmään, tai toisinpäin Muunnos ED50:n ja kkj :n välillä taas tapahtuu tasossa yllä jo mainitun Helmert-kaavan avulla Muunnoskaavojen johtaminen Käytännössä nämä muunnoskaavat sopivat käytettäviksi valtakunnallisesti; pienellä alueella kuitenkin kannattaa aina laskea tarkat muunnosparametrit jotka sopivat käytettäviksi siinä alueessa Menetelmiksi tarjoutuu: 1 Paikallinen Helmert-muunnos 2 Paikallinen affiininen muunnos 3 Pätkittäinen ratkaisu, jos paikallinen terrestrinen järjestelmä on pahasti deformoitunut tai koostuu useasta eri tavalla käyttäytyvästä osasta (kuntaliitos) Helmert-parametrien estimointi käy helposti pienimmän neliösumman menetelmän avulla: 1 Annetut kkj- koordinaatit muunnetaan ensin ED50-järjestelmän (x, y)-karttaprojektiokoordinaateiksi, sen jälkeen karttaprojektiokaavan kautta (Gauss-Krüger) (ϕ, λ) ED50 maantieteellisiksi koordinaateiksi Ellipsoidiset korkeudet lasketaan erikseen h ED50 = H N60 + N Bomford avulla Sen jälkeen Hayford-ellipsoidin kaavalla lasketaan (ϕ, λ, h) ED50 (X, Y, Z) vanha ED50 2 Mitatut GPS-koordinaatit EUREF-FIN järjestelmässä muunnetaan (X, Y, Z) EUREF F IN (X, YZ) uusi ED50, jonka jälkeen ne ovat vertailukelpoisia 3 Tämän jälkeen määritetään kolmiulotteisia Helmert-parametreja kahden koordinaattijoukon (X, Y, Z) vanha ED50 ja (X, Y, Z)uusi ED50 välillä Molempien koordinaattien muuntaminen ED50-järjestelmään on vain yksi menetelmä eikä välttämättä paras; parametrien estimointia voidaan suorittaa myös EUREF-FIN järjestelmästä Se edellyttää taulukon käänteismuunnoksen ED50 EUREF89 käyttöä Eri ITRF ja ETRF järjestelmät Nykyisin IERS (International Earth Rotation Service) laskee säännöllisin välein uusia geosentrisiä vertausjärjestelmiä nimeltään ITRFxx, jossa xx on vuosiluku Laskennassa käyte-

132 124 Luku 13 Geodeettiset mittaukset ja laskennat Taulukko 133: Muunnos ITRF93 ITRF89 (IERS Technical Note 18) Huomaa, että luvut ovat pari suuruusluokkaa pienempiä kuin edellisessa taulukossa Suure Arvo Yksikkö Aikaderivaatta Yksikkö X 1,9 cm 0,29 cm/y Y 4,1 cm -0,04 cm/y Z -5,3 cm -0,08 cm/y m 0, , /y e 1 0,39 0,001 0,11 0,001 /y e 2-0,80 0,001 0,19 0,001 /y e 3 0,96 0,001-0,05 0,001 /y tään erityyppiset havainnot (GPS, satelliittilaser, VLBI, ) monelta vuodelta ennen nimellisvuotta Käsiteellisellä tasolla erotetaan toisitaan reference system ja reference frame Reference system (koordinaattijärjestelmä) on teoreettisesti määritetty järjestelmä, jonka realisaatio maastossa, mitattujen pisteiden kautta, kutsutaan reference frame:ksi (koordinaatisto) Esimerkiksi: ETRS89 (European Terrestrial Reference System 1989) on koordinaattijärjestelmä, jonka eräät realisaatiot ovat ETRF89 (European Terrestrial Reference Frame 1989, perustuu yhteiseurooppalaiseen mittauskampanjaan 1980-luvun lopulla, toinen nimi EU- REF89) ja EUREF-FIN (Suomen valtakunnallisen työn tuloksena), sekä monien muiden maiden kansalliset realisaatiot Maailmanlaajuisesti ovat olemassa vastaavat ITRS (International TRS) ja ITRF (International TRF) käsitteet Esim ITRS89, ITRF97, ITRF2000 Kahden [I/E]TRF -ratkaisun välillä on olemassa muunnoskaava, joka on kolmiulotteinen yhdenmuotoismuunnos Sen paramatrit ovat kuitenkin ajasta riippuvaisia Muunnos on X Y Z (B) = X Y Z (A) + X Y Z + m e 3 e 2 e 3 m e 1 e 2 e 1 m jossa jokaiselle parametrille p (siis X, Y, Z, m, e 1, e 2, e 3 ) pätee p (t) = p (t 0 ) + ṗ (t t 0 ), jossa t on aika ja t 0 vertausepookki Esimerkiksi: Lopuksi huomautetaan vielä, että toisaalta ITR[F/S] ja toisaalta ETR[F/S] -järjestelmien välillä on mannerlaattaliike, jota otetaan huomioon mallin avulla Käytetty malli on nimeltään NNR-NUVEL1A X Y Z (A),

133 134 Perinteisiä ja satelliittimittauksia 125 Geodeettisesta GPS-mittauksesta 2D + 1D -koordinaatteihin Satelliitit Z Vastaanottimet Paikallinen GPSverkkoratkaisu Z X Y Z X Topografia Z X Y Maan massakeskipiste Y O 3D-avaruuskoordinaatisto P λ, ϕ h X λ ϕ Y Karttaprojektio Geodeettinen järjestelmä λ, ϕ, h h x, y x h = H + N P Kartastokoordinaattijärjestelmä y Maasto Geoidi Vertausellipsoidi: Bomford GRS80 H N Bomford N GRS80 Ortometrinen korkeus H Kuva 132: Geodeettisesta GPS-mittauksesta taso- ja korkeuskoordinaatteihin

134 126 Luku 13 Geodeettiset mittaukset ja laskennat Geoidi GRS Hayford Kuva 133: Kahden datum-ellipsoidin sijainti avaruudessa ja geoidin pinta Suomessa Vaakakulmat Pystykulmat Etäisyyshavainnot Tunnetut korkeudet Asematasoitus Redukointi korkeuseroiksi Korkeudet Redukointi vertausellipsoidille Projektiokorjaus Tunnetut pisteet (GPS, III lk pisteet) Verkkotasoitus Tasokoordinaatit (tasopisteiden korkeudet) Kuva 134: Mittauksista koordinaatteihin

135 127 Maastomittaus käytännössä Luku Geodesian laboratorion maastomittaukset Geodesian laboratorio järjestää joka toinen vuosi maastomittaus, yleensä suomalaisen kaupungin alueella, jonka runkoverkko mitataan uudelleen käyttämällä nykyaikaiset menetelmät, mm staattinen GPS Runkomittauksen tavoitteet ovat yleensä kaupungin kannalta: Runkoverkon pisteiden tarkka uudelleenmittaus ja kytkeminen valtakunnalliseen EUREFjärjestelmään GPS-menetelmällä; verkon tarkkuuden ja sisäisen vääristämättömyyden varmistamiseksi GPS-teknologian edellyttämällä tarkkuustasolla, n 1 2 cm Vanhan koordinaattijärjestelmän, yleensä kaupungin oma ja/tai kkj, ja uuden EUREF- FIN järjestelmän välisen muunnoksen selvittäminen Tämä edellyttää riittävä määrä pisteitä, joihin on saatavissa sekä GPS:llä mitatut kolmiulotteiset koordinaatit että perinteiset taso- ja korkeuskoordinaatit, eli kkj (tai vastaava) ja N60 (tai vastaava) Usein kaivataan myös neuvoja, miten kaupungin siirtyminen uuteen EUREF-FIN järjestelmään, ja vanhojen ja uusien mittausten ja paikkatietojen yhteiskäyttö, voidaan parhaiten suorittaa Mittauksen opetukselliset tavoitteet ovat: Käytännön tutustuminen erilaisiin nykyaikaisiin geodeettisiin mittausmenetelmiin, mm staattinen GPS-paikannus, digitaalinen tarkkavaaitus, trigonometrinen vaaitus, monikulmiojonomittaus takymetrillä ja pituusperusviivan tarkka mittaus, mikäli sellainen on olemassa kaupungin alueella; sekä kaikkien menetelmien laskentatoimiin tutustuminen Kokonaisvaltaisen tuotantoprojektin läpivieminen tiimityönä Kahden viikon kenttämittauksen sosiaalista eli yhteisöllistä puolta ei tule aliarvioimaan 142 Maastomittauksessa käytetyt tekniikat Kaupungin alueella tulee ensin identifioida olemassa olevat pisteet, jotka soveltuvat runkomittaukseen Yleensä ne ovat jo käytössä olevat pisteet, jotka ovat III luokan pisteitä (hätätapauksessa IV) sekä taso- että korkeusverkossa Näin ollen mitattavan verkon luokka on IV Muista, että perinteisissa verkoissa tasosijainti ja korkeus käsitellään erikseen, toisin kuin GPS-tekniikassa Muunnoskaavojen johtaminen, yleensä seitsemän parametrin Helmert-muunnoksen

136 128 Luku 14 Maastomittaus käytännössä muodossa, kuitenkin edellyttää, että myös perinteiset koordinaatit ovat kolmiulotteisia: on oltava samojen pisteiden sekä kkj :n tai vastaavan järjestelmän x, y -tasokoordinaatit että (vaikkapa) N60-korkeuskoordinaatit H Kuitenkin aidosti kolmiulotteisten koordinaattien laskeminen vertausellipsoidilla edellyttää ellipsoidisten korkeuksien h = H + N käyttöä, eli myös pisteiden geoidikorkeudet on laskettava geoidimallin avulla Vaatimus kaikkien kolmen koordinaatin olemassaolista samoissa pisteissä johtaa vaaitustöiden tarpeeseen, koska perinteisten taso- ja korkeusverkkojen kiintopisteet eivät yleensä ole samoja 1421 Staattinen GPS-mittaus Pisteiden määrä vaihtelee, mutta on liikkunut n 20 pisteen tienoilla Mittaukseen käytetään 6 8 geodeettista vastaanotinta, Laboratorion omien Ashtech Z12 -laitteiden lisäksi Geodeettiselta laitokselta lainatut kojeet Mikäli mahdollista käytetään geodeettisessa tarkkuusmittauksessa ns Choke ring -antenneja monitieheijastusten vaikutuksen minimoimiseksi 1 Mittausverkkoa ja mittauksen edistymista suunnitellaan etukäteen Liikutaan kompakteissa, kuuden pisteen ryhmissä, joiden välillä oltava vahvat kytkennöt Jokaisella pisteellä mitataan vähintään kaksi sessiota Mikäli pisteiden väliset etäisyydet ovat alle 10 km, riittää session pituus 1,5 2 t; pidemmät vektorit vaativat enemmän aikaa Kaupungin ympäriltä identifioidaan vähintään kolme tunnettua pistettä eri ilmansuuntiin Aiemmin valittiin tähän tarkoitukseen EUREF-FIN -pisteitä joita Geodeettinen laitos on mitannut aikoina Vektorit kaupungin pisteiden ja Geodeettisen laitoksen EUREFpisteiden välillä olivat yleensä kymmeniä kilometria pitkiä, mikä edellytti vähintään kahden 6 tunnin sessiot Nykyisin käytetään mieluummin Maanmittauslaitoksen tunnetuja pisteitä, vähintään 3 luokan pisteet joiden EUREF-FIN koordinaatit MML on määrittänyt Niiden etäisyys mittausalueelta on lyhyempi (kilometrejä), ja käyttämällä näitä, ei ohiteta verkkojen virallista hierarkiaa Edelleen pisteet on oltava alueen eri puolilla, niin että mittausalue on pisteiden muodostavan kuvion sisällä Käytännön neuvot: Käytettävät optiset luodit tarkastetaan toimistossa ennen ja jälkeen mittausta Linjeerausvirhe johtaa keskistysvirheeseen! Antenni pystytetään keskisesti pisteelle Keskistys tarkistetaan ennen ja jälkeen GPSmittausta, tarvittaessa myös mittausten aikana Horisontti oltava 10 korkeuskulmaan asti vapaata Tee tarvittaessa horizonttipiirros Havaitsija mittaa antennin korkeuden, ennen ja jälkeen GPS-mittausta, tarvittaessa myös mittausten aikana Nykyisin ei enää tehdä säähavaintoja, koska on havaittu, että niistä ei ole apua tarkkuuden kannalta Matkapuhelinyhteys mittauksen johdolle ja viereisten pisteiden mittaajille: session kesto on pisteiden yhteinen mittausaika! 1 Samalla helpottuu myös havaintojen käsittelyä yhdessä Suomen pysyvän GPS-verkon FinnRefin asemien datan kanssa, mikäli sellainen on lähellä

137 142 Maastomittauksessa käytetyt tekniikat Digitaalinen tarkkavaaitus Nykyisin runkomittauksissa käytetään digitaalivaaituskoje ja viivakoodilattoja Niiden tarkkuus on nykyisin riittävä tähän ja aikaisemmat systemaattisten virheiden ongelmat (mm Maan magneettikenttä) on ratkaistu Hyppymenetelmä : Taakse Eteen Eteen Taakse Samat etäisyydet eteen ja taakse Kojeen ja lattojen varjostus suoralta Auringonvalolta Myös varjot voivat aiheuttaa ongelmia Metsäisessä maastossa on raivattava kunnolla, koska koje käyttää latan kokonaista aluetta eikä vain yhtä viivaa Digitaalisen vaaituskojeen tarkistukseen (kollimaatioakselin vaakasuunnan tarkastamiseen) käytetään kenttätestausmenetelmä ennen mittausten aloittamista 1423 Trigonometrinen vaaitus: tarkka trigo Tämä Geodesian laboratorion (Takalo, Santala, Salminen) kehittämä menetelmä on käyttökelpoinen silloin, kun 1 Korkeuserot ovat suuria lyhyellä matkalla 2 Maaperä tekee perinteinen vaaitus hankalaksi tai mahdottomaksi: soinen maasto tai vedenylitys Tarkassa trigossa käytetään kaksi takymetria, joilla mitataan samanaikaisesti vastakkaisiin suuntiin pystykulmat toisen takymetrin päälle laitettuun tähykseen Myös etäisyydet mitataan samalla ajanketkellä, mutta vaan yhteen suuntaan Mittausdata kaukaisesta takymetrista siirtyy radiomodeemitse toiseen asemaan, kenttämikroon tallennettavaksi, kuten toisen takimetrin ja sääaseman datakin Käytännön mittauksissa vaaitus suoritetaan digitaali- ja trigonometrisen vaaituksen yhdistelmänä 1424 Monikulmiojonomittaus Tämän osuuden tavoitteena on tutustua modernin takymetrin käyttöön runko- ja kartoitusmittauksen tuontantoympäristössä Mitataan: 4 vaakakulmasarjaa 5 erillistä etäisyysmittausta 2 pystykulmasarjaa kojeen korkeus mitataan huolellisesti Epäkeskisen etäisyysmittauslaitteen tapauksessa mitataan molemmat korkeudet erikseen tähyksen korkeus (prisma) mitataan huolellisesti Säähavainnot mieluimmin molemmissa päissä etäisyysmittauksen aikana

138 130 Luku 14 Maastomittaus käytännössä Vaihtoehtoisesti suoritetaan tarkka perusviivamittaus, jos sellainen on kaupungin alueella tarjolla ja sitä käytetään pituudenmittauskojeiden kalibrointiin Käytettävä laite tässä tapauksessa on Mekometer (ME5000 tai ME2000) ja mittausmenetelmä, säähavaintoja mukaan lukien, erittäin huolellinen 143 Case: Jyväskylän maastomittaus Vuonna 1999 mitattiin Jyväskylässä kaupungin runkomittaus uudelleen käyttämällä GPS, takymetrit (monikulmiojonot) ja tarkka trigonometrinen korkeudenmääritys Työ on dokumentoitu työselostuksessa ((Geodesian ja kartografian laboratorio, 1999)) Mittauksen tarkoitus oli saada Jyväskylän oman jarjestelmän mukaiset tasokoordinaatit (2D), sekä kkj :n mukaiset kartastokoordinaatit Tämän lisäksi laskettiin geosentriset EUREF- FIN koordinaatit (3D) ja niistä myös projisoidut tasokoordinaatit Gauß-Krüger-projektion ja GRS80-vertausellipsoidin mukaisesti Näin ollen koordinaatit laskettiin kolmessa eri koordinaattijärjestelmässä Mittaukset suoritettiin Geodesian ja kartografian laboratorion kenttäharjoituksen puitteissa toukokuuta 1999 Laskennat suoritettiin kesällä 1999 Piste 1337 käytettiin paikallisena lähtöpisteenä Sen EUREF-koordinaatit laskettiin käyttämällä lähtöpisteenä 131 Puolakka, missä Geodeettisen laitoksen mittauksista oli saatu EUREF-FIN-koordinaatit: leveys pituus ellipsoidinen korkeus m Ks kansikuva

139 KIRJALLISUUTTA 131 Kirjallisuutta Anon (1991) Numeerisen kartoituksen maastomittausohjeet Geodesian laboratorian julkaisu 20/1991, Teknillinen korkeakoulu, Maanmittaustekniikan laitos, Geodesian laboratorio, Otaniemi 77, 106 Baarda, W (1973) S-transformations and criterion matrices, volume 5 no 1 of New Netherlands Geodetic Commission, Delft 80 Blachut, T J, Chrzanowski, A, and Saastamoinen, J H (1979) Mapping Springer Verlag, New York - Heidelberg - Berlin 31 Urban Surveying and Cooper, M A R (1982) Modern Theodolites and Levels Granada Publishing Ltd, London, second edition 59 Cooper, M A R (1987) Control surveys in civil engineering Collins, Department of Civil Engineering, The City University, London 31, 48, 83 Geodesian ja kartografian laboratorio (1999) Raportti jyväskylän kaupungin runkomittauksesta vuonna 1999 osa 1: Työselostus Technical report, Teknillinen korkeakoulu, Maanmittausosasto, Otaniemi 130 Kahmen, H and Faig, W (1988) Surveying Walter de Gruyter, Berlin - New York 101 Kukkamäki, T (1938) Über die nivellitische Refraktion Technical Report 25, Finnish Geodetic Institute, Helsinki 41 Kukkamäki, T (1939) Formeln und Tafeln zur Berechnung der nivellitischen Refraktion Technical Report 27, Finnish Geodetic Institute, Helsinki 41 Ollikainen, M (1993) GPS-koordinaattien muuntaminen Kartastokoordinaateiksi Tiedote 8, Geodeettinen laitos, Helsinki 98, 121, 123 Takalo, M (1995) Computer supported Finnish EDM height traversing Part I: technical description Surveying Science in Finland, 13(2):

140 132 KIRJALLISUUTTA

141 Hakemisto 133 Hakemisto A atsimuutti, 23 C Chandler-wobble, 20 CIO, katso Conventional International Origin Conventional International Origin, 20, 21 D datum, 22 E elevaatio, katso korkeuskulma ellipsoidi Hayford, 21 kansainvälinen, 21 ephemeris broadcast, 21 P painovoimakenttä, 21 projektiomenetelmä, 19 R rekursiivinen, katso rekursiivisuus rekursiivisuus, katso rekursiivinen S siviiliaika, 20 S-muunnos, 15 T tähtiaika, 20 Taylor-sarja, 1, 4 U UTC, 20 F Frauenkirche München, 24 G geosentrinen, 19 H Helmert-muunnos, 13 K karkaussekunti, 20 korkeuskulma, 23 L litistyneisyyssuhde, 21 luotiviivapoikkeamat, 24 M massakeskipiste Maan, 19 N napaliike, 20