Kytkentäfunktioiden monimutkaisuuden alaraja, Copy-funktio, Itsereitittävyys

Transkriptio

1 Kytkentäfunktioiden monimutkaisuuden alaraja, Copy-funktio, tsereitittävyys Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka 12-1 Kopioiden muodostus binääriverkolla Kopiointi toteutetaan verkkoa edeltävällä levityspuulla, jonka jälkeen on järjestelijä. Kopioinnissa tarvitaan tieto tulojohdosta ja kopioiden lukumäärästä. Kopioinnissa verrataan kopiovälin binääriarvoja ja suoritetaan kopiointi- / reitityspäätös arvojen perusteella. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka

2 Banyan-pohjainen levityspuu Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka 12-3 Esim =8 1) /2 x /2 /2 x /2 2) Baseline -verkko Käänteinen Baseline -verkko BEES -verkko Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka

3 Benes -verkko Benes -verkko on rekursiivisesti 2x2 -kytkimistä muodostettu uudelleen järjesteltävä verkko. 1-puoliverkko tunnetaan nimellä baseline -verkko 2-puoliverkko tunnetaan nimellä käänteinen baseline - verkko Benes -verkossa on (2log 2-1) porrasta. Kytkentä pisteiden lukumäärä on 4(/2)(2log 2-1) = 4log 2-2 ~ 4log 2 Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka 12-5 Kytkentäkonfiguraatiot C - Kytkentöjen kuvaus Pt-to-pt kytkentäfunktio Multicastfunktio Yksi yhteen C = {(i,o) i, o } (i,o) C ja (i,o ) C o = o (i,o) C ja (i,o) C i = i Yksi moneen Tavoite: Selvittää kytkentöjen kokonaismääräkentässä ja kentän vähimmäismonimutkaisuus. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka

4 Keskitinfunktio Copy-funktio A A C = {(i,o) i A, o } (i,o) C ja (i,o ) C o = o (i,o) C ja (i,o) C i = i C = {(i,n i ) i, Σn i = } Lähtöjen n i järjestyksellä ja identiteetillä ei väliä (output unspecific). Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka 12-7 Kentän kombinatorinen monimutkaisuus ζ(g) - Graafin G toteuttamien legitiimien erilaisten kytkentäkonfiguraatioiden C lukumäärän kaksikantainen logaritmi. R - kentän kytkinten lukumäärä. 2 R - kentän, jossa on R kytkintä, tilojen määrä. Karkea yläraja: ζ R Tarkempia ylärajoja saadaan: - poistetaan ei legitiimit tilat esim. joissa kaksi kytkintä on liittynyt samaan lähtöön - joissa kaksi kentän tilaa tuottaa saman C. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka

5 Voidaan tarkastella eri funktioiden toteuttamien kytkentäkonfiguraatioden C määrää ζ ζ pt-pt-kytkinfunktio ζ multicastfunktio ζ keskitinfunktio Määritelmän mukaan sanomme, että graafi G on uudelleen järjestettävästi estoton, jos se toteuttaa kaikki kytkentäkonfiguraatiot C. Siis ζ f ζ(g) Siis tarkastelemalla eri funktioiden kytkentäkonfiguraatioiden lukumäärää saamme selville uudelleen järjestettävän kentän monimutkaisuuden alarajan. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka 12-9 Pt-pt-kytkentäfunktion monimutkaisuuden alaraja Pt-pt-kytkentäfunktio Haluamme siis toteuttaa! erilaista C. Käytetään Sterlingin likiarvoa:! 2π +1/2 e - = 2π exp 2 ( log 2 - log 2 e + 1/2 log 2 ) ζ pt-pt = log 2! log /2 log 2 Yksi yhteen Kaikki i kytketty tasan yhteen o. HUM: Benes verkon kytkinten määrä oli log 2 - /2, joka on hyvin lähellä alarajaa ζ pt-pt. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka

6 Multicastfunktion monimutkaisuuden alaraja Multicastfunktio Jokainen o voi siis valita minkä tahansa i. Siis me haluamme toteuttaa = exp 2 ( log 2 ) kytkentäkonfiguraatiota C. ζ mtcast - ζ pt-pt 1.44 C = {(o, i) i, o } Jokainen o on kytketty johonkin i. Kenttää, joka toteuttaisi multicastin ja olisi monimutkaisuudeltaan alarajan tuntumassa ei tunneta. Tiedetään, että Benes verkko toteuttaa multicastin, jos kytkinten määrä kaksinkertaistetaan p-to-pt kytkentäkenttään verrattuna. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka Keskitinfunktion monimutkaisuuden alaraja Keskitinfunktio A C = {i i A, i lukumäärä = (< M)} Joukkoja C on M kappaletta M ζ keskitin = log 2 M!! (M-)! ζ keskitin = M H(c) c = /M H(c) = c log 2 c (1 c) log 2 (1 c) Eli keskittemen teoreettinen monimutkaisuus on verrannollinen tulojen määrään. Käytännön ratkaisuja ei kuitenkaan tunneta ja tarvitaan tiukasti estottomia keskittimiä => käytetään M logm kenttiä. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka

7 Kuvausten lukumäärä Copy-kentässä C = {(i,n i ) i, Σn i = } Erilaisten C lukumäärä on M tuloa lähtöä M 1 + M 1 Kuinka monella tavalla oliota voidaan laittaa M koriin. 1,2 1 0,8 ζ (M 1 + ) H M 1 M 1 + 0,6 0,4 Series1 H(c) = c log 2 c (1 c) log 2 (1 c) 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka Multicast kenttien rekursiivinen rakentainen Multicast kentän voi rakentaa esim. Copykenttä + pt-to-pt kenttä. Tämä johtaa kuitenkin portaiden lukumäärän kasvuun, mikä voi olla epätoivottavaa. Moniportaisille kentille on ominaista polun haun/kontrollin monimutkaisuus. Tätä ongelmaa yritetään ratkaista mm. itsereitittävyydellä. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka

8 tsereitittävyys tsereitittävyys on pakettikytkentäkentän mahdollinen ominaisuus. Paketilla on otsikko, jota käytetään polun löytämiseksi kentän läpi. Polkuja tulolta lähdölle on yksi (tai useampi). tsereititysosoite b K... b 1 tsereititysosoite b K... b 2 tsereititysosoite b K lähtö b1 lähtö b2 lähtö bk oodi S 1 n 1 lähtöä oodi S 2 n 2 lähtöä oodi S K n K lähtöä Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka Yhden polun perusverkot Banyan verkko Baseline verkko Shuffle exchange (omega) verkko Flip verkko Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka

9 tse-reitittävä shuffleverkko = 2 n tuloa ja 2 n lähtöä. Benesrakenne => Portaita on n kpl ja kytkimiä /2 = 2 n-1 kussakin portaassa. Portaan kytkimet numeroidaan ylhäältä alas n-1-1. Portaiden numerointiin tarvitaan n - 1 bittiä. Portaita yhdistävät kaaret numeroidaan ylhäältä alas n bitillä. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka tse-reitittävä shuffleverkon numerointi porras ylä=0ala= k k+1 kaari Portaan k solmun nro = kaaren nro - oikean puoleisin bitti Portaan k +1 solmun nro = kaaren nro - vasemman puoleisin bitti Lähdön numero toimii suoraan itsereititysosoitteena. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka

10 tse-reititys esimerkki kaari tulo kaari 2 lähtö kaari 1 kaari 2 kaari 3 kaari 4 kaari 3 kaari 4 Jos = 64 soitteen pituus on 2n = 32 bittiä. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka Ratkaisun rajoitukset Banyan verkko on estollinen. Se toteuttaa exp 2 (1/2 log 2 ) = ( ) 1/2 kytkentäkonfiguraatiota. Tämä on vähemmän kuin vaadittu! exp 2 ( log 2 ). => oodien välisten kaarien määrää voidaan nostaa, tai monistamalla shufflea Cantor verkon tapaan, tai laittamalla kaksi shufflea peräkkäin (vrt BEES verkko). Myös puskurointia väliportaissa voidaan käyttää. Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka