TOMMI HÖRKKÖ HYPPY DIFFUUSIO-PROSESSIN RATKAISU SPEKTRIKOLLOKAATIOMENETELMÄLLÄ. Diplomityö

Transkriptio

1 TOMMI HÖRKKÖ HYPPY DIFFUUSIO-PROSESSIN RATKAISU SPEKTRIKOLLOKAATIOMENETELMÄLLÄ Diplomityö Tarkastaja: professori Robert Piché Tarkastaja ja aihe hyväksytty Teknis-luonnontieteellisen osastoneuvoston kokouksessa

2 II TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma HÖRKKÖ, TOMMI: Hyppy diffuusio-prosessin ratkaisu spektrikollokaatiomenetelmällä Diplomityö, 44 sivua Maaliskuu 2008 Pääaine: Matematiikka Tarkastaja: professori Robert Piché Avainsanat: hyppy diffuusio-prosessi, spektrikollokaatiomenetelmä, optio, Blackin ja Scholesin malli Optioiden hinnoittelun tarkoituksena on määrittää option arvo sen haltijan ja asettajan välillä siten, että molempien osapuolien odotusarvo on sama. Diplomityössä on aluksi selvitetty kirjallisuustutkimuksen avulla optioiden hinnoittelun perusteita ja esitelty Blackin ja Scholesin malli, jossa osakkeen hintaprosessi on jatkuva. Malli on laajennettu tapaukseen, jossa option kohde-etuutena oleva osake saattaa hypätä välittömästi. Tätä mallia kutsutaan hyppy diffuusio-prosessiksi ja se kuvaa osakkeiden todellista käyttäytymistä paremmin kuin Blackin ja Scholesin malli. Stokastinen hyppy diffuusio-prosessi on saatettu reuna-arvo-ongelmaksi, jonka ratkaisemiseen on sovellettu spektrikollokaatiomenetelmää Tšebyševin kantafunktioilla. Spektrikollokaatiomenetelmä hyödyntää kahta keskeistä tieteellisen laskennan työvälinettä, derivaattamatriisia sekä matriisilaskentaa ja sitä tukevia ohjelmistoja. Spektrikollokaatiomenetelmä osoittautui menetelmänä käyttökelpoiseksi optioiden hinnoitteluun. Työssä option arvo saatiin määritettyä melko tarkasti ja nopeasti, vaikka varsinaisiin suppenemistuloksiin ei päästy. Tämä aiheutuu pääosin mallin numeerisen käsittelyn arviointivirheistä, kuten reunaehtojen epätarkkuudesta. Mallin tarkkuuden parantamiseksi reunaehtoja tulisi tarkentaa, esimerkiksi soveltamalla Monte Carlo - menetelmää osakkeen hintaprosessiin. Myös muita kuin Tšebyševin kantafunktioita voitaisiin kokeilla, jolloin virhettä hilan tiheyden ja derivaattamatriisien häiriöalttiuden välillä tehdystä kompromissista voitaisiin lieventää.

3 III ABSTRACT TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Programme of Science and Engineering HÖRKKÖ, TOMMI : Option Pricing under Jump Diffusion Process Using Spectral Collocation Method Master of Science Thesis, 44 pages March 2008 Major: Mathematics Examiner: Robert Piché Keywords: jump diffusion process, spectral collocation method, option, Black-Scholes model The purpose of option pricing is to find a fair price of an option between its holder and seller such that the expectation is the same for both parties. In this thesis the foundations of option pricing were studied and the Black-Scholes model in which the price process of the stock is continuous was introduced. The model is extended to the case where the underlying stock may undergo occasional jumps. This model is known as the jump diffusion process and it refers to reality more accurately than Black-Scholes model. The stochastic jump diffusion process is transformed to a boundary value problem. The spectral collocation method with Chebyshev s polynomials as basis functions is applied to the boundary value problem. The spectral collocation method takes advantage of two powerful ideas of scientific computing, namely the concept of the differentiation matrix and the matrix-based approach to scientific computing. The spectral collocation method proved to be applicable to option pricing. In this work, the value of the option was computed rapidly and with a fairly good accuracy, although no real convergence results were achieved. The small inaccuracies are due to approximation errors in the numerical treatment of the model, mainly due to inaccuracies in boundary conditions. To improve the results of the model the boundary conditions should be made more accurate. This could be done by applying the Monte Carlo method to the price process of the stock. Also, another set of basis functions could be used to reduce the error due to the compromise made between the density of the mesh and the ill-conditioned differentiation matrices.

4 IV ALKUSANAT Tämä diplomityö on tehty Tampereen teknillisen yliopiston Matematiikan laitoksella vuoden 2007 syksyn ja sitä seuraavan talven aikana. Minulle tarjoutui mahdollisuus soveltaa matematiikkaa sivuaineeni teollisuustalouden piiriin liittyvään ongelmaan, optioiden hinnoitteluun. Osoitan kiitokseni TkT Juho Kanniaiselle tämän poikkitieteellisen aiheen esittelystä sekä innokkaasta ohjauksesta kesän 2006 aikana, jolloin perehdyin optioiden hinnoittelun teoriaan kesäharjoittelijana. Työni ohjaajana ja tarkastajana on toiminut professori Robert Piché. Häntä kiitän työn aikana esitetystä palautteesta ja ohjeistuksesta sekä osoitetusta kärsivällisyydestä työn ongelmahetkinä. Kiitos hänelle kuuluu myös useista kursseista, joilla olen omaksunut työkalut diplomityön aikana esilletulleiden ongelmien ratkaisemiseen. Lopuksi kiitän vanhempiani, opiskelukavereitani, Päivölän Kansanopistoa sekä kaikkia niitä, jotka ovat tavalla tai toisella olleet kannustamassa ja tukemassa minua opintojeni aikana. Tampere, 2. helmikuuta 2008 Tommi Hörkkö Tumppi D Tampere Puh

5 V SISÄLLYS 1. Johdanto Optioiden hinnoittelun perusmenetelmiä Mitä optiot ovat? Yksinkertaistettu malli rahoitusmarkkinoista Kohde-etuuden hintaprosessi Blackin ja Scholesin yhtälö Hyppyprosessien mallinnus Hyppyprosessimalli Hyppy diffuusio-prosessi Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu Integraalitermin vaikutus osittaisdifferentiaaliyhtälöön Spektrikollokaatiomenetelmä Hintamuuttujan rajoittaminen äärelliselle välille Reunaehdot Spektrikollokaatiomenetelmän soveltaminen Aika-askelmenetelmät Tulokset ja virhetarkastelua Hyppy diffuusio-prosessin puolianalyyttinen ratkaisu Testiparametrien määrittäminen Numeerisia tuloksia Herkkyysanalyysia hyppy diffuusio-prosessin parametrien suhteen Mallin parannusehdotuksia Yhteenveto Lähteet

6 VI TERMIT JA SYMBOLIT MATLAB S & P 500 S K T t V r σ x max(a, b) (Ω, F, P) Ω F P R R m n x Matrix Laboratory, tieteellisen laskennan ohjelmisto osakeindeksi osakkeen hinta lunastushinta maturiteettihetki aika option arvo riskitön korko volatiliteetti hintamuuttuja, Tšebyševin hilapiste maksimifunktio todennäköisyysavaruus otosavaruus sigma-algebra todennäköisyysmitta reaalilukujen joukko m n -ulotteinen reaalilukujen joukko stokastinen prosessi muutos µ osakkeen odotettu suhteellinen vuosituotto C m,n m kertaa ensimmäisen ja n kertaa toisen muuttujan suhteen derivoituvien funktioiden luokka f, g α t β t B t Π ln N V BS d 1,d 2 τ j J t inf λ h yleiskäyttöisiä funktioita osakkeiden lukumäärä hetkellä t riskittömien velkakirjojen lukumäärä hetkellä t velkakirjan arvo hetkellä t portfolion arvo luonnollinen logaritmi normaalijakauma Blackin ja Scholesin mallin ratkaisu Blackin ja Scholesin mallin ratkaisun apumuuttujat hyppyjen ajanhetket laskurimuuttuja infimum hyppyjen intensiteetti aika-askel

7 VII q ˆΠ E c hyppyjen tiheysjakauman satunnaismuuttuja portfolion hintaprosessi odotusarvo-operaattori ääretön integraali kysessä olevan avaruuden yli hyppy diffuusio-prosessin parametri ˆµ hyppyjen suhteellisen suuruuden odotusarvo ˆσ hyppyjen suhteellisen suuruuden keskihajonta p N α(x) Φ j (x) astetta N oleva polynomi painofunktio (Tšebyševin) kantafunktio {x j } N j=1 hilapisteiden joukko δ j,k f (l) Kroneckerin deltafunktio funktion f kertaluvun l derivaatta [ f (x)] x=xk integrointia seuraava sijoitus D T N x 2:N 1 D 2:N 1,2:N 1 p,y,λ L x N j=1 cdf erf derivaattamatriisi astetta N oleva ensimmäisen luokan Tšebyševin polynomi vektorin x indeksoiduista alkioista muodostettu vektori (derivaatta)matriisista muodostettu lohkomatriisi apumuuttujia skaalaustekijä osittaisderivointioperaattori summa lognormaalijakauman kertymäfunktio error-funktio c, z integrointivektori E M A z r b (a,b) [a,b] [a, b),(a, b] integrointimatriisi massamatriisi kerroinmatriisi lisäysvektori virhevektori, residuaali vektoriarvoinen funktio avoin väli suljettu väli puoliavoin väli

8 1 1. JOHDANTO Optiot ovat laajalti käytettyjä johdannaisinstrumentteja, joiden avulla voidaan hallita portfolion riskiä tai joita voidaan käyttää yritysjohdon ja avainhenkilöiden palkitsemisvälineenä. Optioiden hinnoittelun tarkoituksena on määrittää option hinta reilulla tavalla option haltijan ja sen asettajan välillä. Tällä hinnalla kaupan odotusarvo on molemmille sama. Tässä työssä keskitytään optioihin, joiden kohde-etuutena on osake. Vaikka osakkeen hintapolkua ei voida tarkasti ennustaa, optio voidaan hinnoitella. Tällöin osakkeen hinnan käyttäytymistä mallinnetaan stokastisella prosessilla. Optioiden hinnoittelun perustana oleva Blackin ja Scholesin malli olettaa osakkeen hinnan noudattavan geometrista Brownin liikettä. Tämä malli olettaa osakkeen hinnan satunnaisvaihtelujen olevan normaalijakautuneita. Mallissa on joitakin puutteita verrattuna todellisuuteen. Todellisuudessa osakkeen hinnan merkittävät muutokset ovat todennäköisempiä kuin mitä Blackin ja Scholesin malli olettaa. [2, s. 127] Lisäksi Blackin ja Scholesin malliin ei sisälly hyppyjä, osakkeen hinnan välittömiä muutoksia. Merton on esittänyt mallin, joka huomioi hypyt [2]. Tätä mallia kutsutaan hyppy diffuusioprosessiksi. Tässä työssä esitellään spektrikollokaatiomenetelmä, jota sovelletaan hyppy diffuusio-prosessin ratkaisemiseen. Spektrikollokaatiomenetelmää on sovellettu Blackin ja Scholesin malliin viitteissä [6] ja [7]. Numeerisia menetelmiä hyppy diffuusioprosessin ratkaisemiseksi on tutkittu viitteissä [8], [9] ja [10]. Tiettävästi spektrikollokaatiomenetelmää ei kuitenkaan ole sovellettu hyppy diffuusio-prosessiin. Työssä stokastinen hyppy diffuusio-prosessi saatetaan osittaisdifferentiaaliyhtälöksi, jolle asetetaan reunaehdot. Spektrikollokaatiomenetelmä osoittaa teoriassa nopeita suppenemistuloksia reuna-arvo-ongelmille, joiden reunaehdot ovat sileitä. Option hinnan nopea ja tarkka määrittäminen on ensisijaisen tärkeää sillä kaupankäynti optioilla tapahtuu reaaliajassa. Merton olettaa hyppyjen suuruuden noudattavan lognormaalijakaumaa ja esittää tarkan, mutta ei suljetun muodon, ratkaisun hyppy diffuusio-prosessille [2, s. 135]. Yleisessä tapauksessa ratkaisua ei tunneta, jolloin on tyydyttävä numeeriseen ratkaisuun. Työ aloitetaan kirjallisuusselvityksellä optioiden hinnoittelun perusteista. Blackin ja Scholesin osittaisdifferentiaaliyhtälö johdetaan ei-arbitraasi-periaatteesta, minkä jälkeen malli laajennetaan koskemaan myös osakkeen hinnan välittömiä hyppyjä. Luvut 2 ja 3 noudattavat pitkälti Seydelin ensimmäisen luvun esitystä [1]. Tämän jälkeen esitellään spektrikollokaatiomenetelmä käyttäen Tšebyševin kantafunktioita. Spektrikollokaa-

9 1. Johdanto 2 tiomenetelmää sovelletaan hyppy diffuusio-prosessin reuna-arvo-ongelman ratkaisuun. Tuloksia vertaillaan tarkkaan ratkaisuun sekä todellisuuteen sovitetuilla parametreilla että muilla testiparametreilla. Herkkyysanalyysin avulla etsitään menetelmän parametrien arvot, joilla tulokset ovat tarkimmillaan, sekä selvitetään keinoja parantaa menetelmän tehokkuutta.

10 3 2. OPTIOIDEN HINNOITTELUN PERUSMENETELMIÄ Tässä luvussa määritellään aluksi yleisimmät optiotyypit sekä optioiden hinnoitteluun liittyvät keskeiset termit. Tämän jälkeen muodostetaan yksinkertaistettu malli rahoitusmarkkinoiden käyttäytymisestä, ja mallin avulla saadaan muodostettua osakkeen hintaprosessi. Hintaprosessia kuvaava stokastinen differentiaaliyhtälö muokataan osittaisdifferentiaaliyhtälöksi. Tätä yhtälöä kutsutaan Blackin ja Scholesin yhtälöksi 1970-luvulla sen julkaisseiden tutkijoidensa mukaisesti, ja se on vieläkin ehkä tunnetuin yleisesti käytössä oleva työväline optioiden hinnoitteluun. Tämä luku seuraa Seydelin [1] ensimmäisen luvun esitystä. 2.1 Mitä optiot ovat? Optio on oikeus, mutta ei velvollisuus, ostaa tai myydä ennalta määrätty kohde-etuus tiettyyn hintaan tietyn ajan sisällä. Kohde-etuus voi olla esimerkiksi osake, yritys, valuutta tai mikä tahansa arvopaperi. Option arvo riippuu siten kohde-etuuden arvosta, ja siksi optioita, kuten muitakin rahoitusinstrumentteja, kutsutaan myös johdannaisiksi. Optio on sopimus kahden osapuolen, option asettajan ja haltijan, välillä vaihtaa kaupankäynnin kohteena oleva kohde-etuus ennalta sovituin ehdoin. Option haltija ostaa option ja maksaa siitä etukäteen määrätyn hinnan, jota kutsutaan preemioksi. Optioiden hinnoittelun keskeinen tehtävä onkin määrittää preemio reilulla tavalla molempien osapuolten kannalta. Optioita on kahta perustyyppiä, osto- ja myyntioptioita. Osto-optio oikeuttaa haltijansa ostamaan kohde-etuuden ennalta sovittuun hintaan K hetkeen T mennessä. Myyntioptio taas oikeuttaa haltijansa myymään kohde-etuuden hinnalla K ja viimeistään hetkellä T. Hetkeä T kutsutaan maturiteetiksi eli option voimassaoloajaksi ja hintaa K lunastushinnaksi. Hetkellä t T option haltijalla on seuraavat vaihtoehdot Myydä optio markkinahinnalla. Säilyttää optio ja olla tekemättä mitään. Lunastaa optio. Optioita luokitellaan myös toisella tavalla. Eurooppalaisen option voi lunastaa vain maturiteettihetkellä T kun taas amerikkalaisen option voi lunastaa milloin tahansa option voimassaoloaikana. Lisäksi optioita voidaan luokitella maksufunktioiden perusteella.

11 2. Optioiden hinnoittelun perusmenetelmiä 4 Merkitään option arvoa symbolilla V. Option arvo V riippuu kohde-etuuden hinnasta S sekä jäljellä olevasta voimassaoloajasta T -t. Tavoitteena on määrittää option arvo V = V (S,t) kaikilla hetkillä t T sekä kohde-etuuden arvoilla S 0. Maturiteettihetkellä T option haltijan kannattaa lunastaa optio, mikäli kohde-etuuden arvo on lunastushintaa suurempi eli S T K ja muussa tapauksessa jättää lunastamatta. Näin ollen osto-option maksufunktio on V (S T,T ) = max(s T K,0). (2.1) Osto-option arvo nousee siis kohde-etuuden arvon noustessa, joten kohde-etuuden arvoon vaikuttavat tekijät vaikuttavat myös osto-option arvoon. Näitä tekijöitä ovat riskitön korko r, kohde-etuuden volatiliteetti σ sekä mahdolliset osingot. Volatiliteetti määritellään kohde-etuuden arvon vaihtelujen keskihajontana, joten se kuvaa riskin suuruutta. Kuvassa (2.1) on esitetty eurooppalaisen osto-option maksufunktio maturiteettihetkellä. Tällöin option arvo saadaan suoraan osakkeen hinnasta, eikä siihen liity mitään riskiä. Kuva 2.1: Eurooppalaisen osto-option maksufunktio maturiteettihetkellä. 2.2 Yksinkertaistettu malli rahoitusmarkkinoista Rahoitusmarkkinoista sekä siellä olevista toimijoista on tehtävä muutamia oletuksia, jotta kohde-etuuden (osakkeen) hintaprosessille saadaan yksinkertainen malli. Seuraavat oletukset ovat välttämättömiä, jotta Blackin ja Scholesin yhtälö saadaan johdettua

12 2. Optioiden hinnoittelun perusmenetelmiä 5 Markkinat ovat kitkattomat. Transaktiokustannuksia eikä veroja ole. Lainauksessa käytettävä korkotaso on sama kaikille. Kaikki informaatio markkinoilla on huomioitu osakkeiden hinnassa ja kaikilla on pääsy tähän informaatioon. Kaikkia arvopapereita voidaan ostaa ja myydä kuinka paljon tahansa ja jatkuvasti. Osakkeiden lainaaminen ja lyhyeksimyynti ovat sallittuja. Arbitraasimahdollisuutta ei ole. Osakkeen hinta noudattaa geometrista Brownin liikettä (määritellään myöhemmin). Osinkoa ei makseta ja käytettävä korkokanta sekä kohde-etuuden volatiliteetti ovat vakioita koko option voimassaoloajan. Optiotyyppi on eurooppalainen. Arbitraaseja on kahta tyyppiä. A-tyypin arbitraasissa sijoittaja saa välittömästi positiivisen rahamäärän ilman maksusitoumuksia. B-tyypin arbitraasissa sijoittaja saa vastikkeetta myöhempään ajanhetkeen liitettävän epävarman positiivisen tuoton. Tässä molempien arbitraasityyppien mahdollisuus suljetaan pois. 2.3 Kohde-etuuden hintaprosessi Luvun 2.2 oletuksilla kohde-etuuden hintaprosessille saadaan muodostettua stokastinen malli, jota kutsutaan myös Blackin ja Scholesin malliksi. Sitä ennen määritellään muutamia stokastisiin prosesseihin liittyviä käsitteitä. Nämä määritelmät löytyvät viitteestä [4]. Määritelmä 2.1. (Stokastinen prosessi). Olkoon (Ω, F, P) todennäköisyysavaruus, missä F on σ-algebra otosavaruudessa Ω, P todennäköisyysmitta ja T parametrijoukko. Stokastinen prosessi on sellainen kuvaus x : Ω T R n, että jokaisella kiinteällä t k T x(,t k ) on satunnaismuuttuja eli mitallinen kuvaus Ω R n. Määritelmä 2.2. (Wienerin prosessi). Jatkuva-aikainen stokastinen prosessi x t,t 0 on Wienerin prosessi, jos (1) x 0 = 0 (2) prosessi on riippumattomien lisäysten prosessi ja sillä on stationääriset lisäykset (3) jokaisella ajanhetkellä t > 0 x t noudattaa normaalijakaumaa N (0,σ 2 t). Wienerin prosessia merkitään jatkossa symbolilla W t. Sitä kutsutaan myös Brownin liikkeeksi. Lisäyksiä W t = W t+ t W t sanotaan riippumattomiksi, jos ne eivät riipu ajanhetkestä t vaan vain aikavälin pituudesta. Toisin sanoen, erotukset W t2 W t1 ja W t4 W t3 ovat riippumattomia kaikista ajanhetkistä 0 t 1 t 2 t 2 t 4. Osakkeen hintaprosessi voidaan nyt esittää stokastisena differentiaaliyhtälönä

13 2. Optioiden hinnoittelun perusmenetelmiä 6 ds S = µdt + σdw t, (2.2) missä S on kohde-etuuden hinta, µ osakkeen suhteellista vuosittaista kasvua kuvaava kerroin, σ osakkeen volatiliteetti, joka tässä mallissa on vakio sekä W t edellä määritelty Wienerin prosessi. Osakkeen hinta siis noudattaa prosessia, jossa on mukana tasaista kasvua aiheuttava termi sekä satunnaisuuden aiheuttava Wienerin prosessi. Korkea volatiliteetin arvo kasvattaa osakkeen hinnanvaihtelua ja päinvastoin. Mikäli volatiliteetti σ = 0, noudattaa o- sakkeen hinnankehitys eksponentiaalista kasvua. Tällöin stokastinen differentiaaliyhtälö pelkistyy tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi, jonka ratkaisuksi saadaan missä S 0 on osakkeen hinta hetkellä t = t 0. Stokastinen differentiaaliyhtälö S = S 0 e µ(t t 0), (2.3) (2.2) voidaan ratkaista myös tapauksessa, jossa volatiliteetti σ 0. Tähän tarvitaan Itôn lemmaa, joka on esitetty viitteessä [1, s. 40] Lemma 2.3. (Itôn lemma). Oletetaan, että X t noudattaa Itôn prosessia dx t = a(x t,t)dt + b(x t,t)dw t. Oletetaan ( lisäksi, että g(x,t) C 2,1. Tällöin Y t := g(x t,t) noudattaa Itôn prosessia dy t = g x a + g t g b 2) dt + g x 2 x b dw t. Osakkeen hintaprosessi (2.2) on Itôn prosessi, sillä ds t = µs t dt + σs t dw t, missä on korostettu osakkeen hinnan olevan ajan funktio. Oletetaan, että option arvo V t = V (S t,t) C 2,1 ja sovelletaan Itôn lemmaa. Osakkeen hintaprosessin yhtälöstä saadaan a := µs t ja b := σs t. Valitsemalla Y t = V t saadaan osakkeen hintaprosessille (2.2) yhtäpitävä stokastinen differentiaaliyhtälö dv t = ( V S µs t + V t ) V 2 S 2 σ2 St 2 dt + V S σs tdw t. (2.4) Muodostetaan portfolio, joka koostuu hetkellä t määrästä α t osakkeita, joiden arvo on S t sekä määrästä β t riskittömiä velkakirjoja, joiden arvo on B t. Hetkellä t portfolion arvo on Π t := α t S t + β t B t. (2.5) Portfolion on tarkoitus suojata eurooppalainen optio, jonka arvo on V t, joten oletetaan, että maturiteettihetkellä T portfolio replikoi eurooppalaisen option. Toisin sanoen Π T = V T. (2.6) Eurooppalaista optiota ei voi lunastaa ennen maturiteettihetkeä, joten siitä ei saada kassavirtoja aikavälillä 0 < t < T. Portfolio replikoi tämän option, joten portfolion kassavirto-

14 2. Optioiden hinnoittelun perusmenetelmiä 7 jen on oltava vastaavat. Oletetaan siis, että portfolio on suljettu option voimassaoloaikana eli portfolioon ei tuoda ulkopuolelta lisää rahaa eikä sitä myöskään poisteta. Näin ollen muutokset portfolion arvossa aiheutuvat vain arvonmuutoksista sen sisältämissä arvopapereissa. Tällaista portfoliota kutsutaan omarahoitteiseksi (self-financing) portfolioksi ja sen arvonmuutosta kuvaa yhtälö dπ t = α t ds t + β t db t. (2.7) Portfolion ja option arvot ovat oltava samat kaikilla hetkillä 0 < t T, jotta arbitraasilta vältytään. Jos esimerkiksi option arvo olisi jollain kiinteällä ajanhetkellä t suurempi kuin portfolion arvo, voisi option haltija myydä optionsa ja korvata sen option replikoivalla portfoliolla. Tällöin option haltija saisi välittömän ja varman voiton, jonka suuruus on option ja portfolion arvojen erotus. Myös portfolion ja option arvonmuutokset ovat oltava samat. Tästä saadaan kaavalle (2.4) yhtäpitävä esitys dπ t = ( V S µs t + V t ) V 2 S 2 σ2 St 2 dt + V S σs tdw t. (2.8) Sijoitetaan kohde-etuuden hintaprosessin yhtälö (2.2) sekä riskittömän velkakirjan hintaprosessin yhtälö db = rbdt yhtälöön (2.5) dπ t = α t (µs t dt + σs t dw t ) + β t db t = α t (µs t dt + σs t dw t ) + β t rbdt = (α t µs t + β t rb)dt + α t σs t dw t. Vertailemalla viimeisen rivin yhtälöä yhtälöön (2.8) saadaan osakkeiden lukumäärälle α t kaava α t = V S. (2.9) Vastaavasti merkitsemällä dt-termien kertoimet yhtäsuuriksi ja sijoittamalla siihen yhtälöt (2.5), (2.6) ja (2.9) saadaan ratkaistua velkakirjojen lukumäärä β t ja siten johdettua Blackin ja Scholesin osittaisdifferentiaaliyhtälö, jonka ratkaisuna saadaan option arvo ajan suhteen

15 2. Optioiden hinnoittelun perusmenetelmiä 8 V S µs t + V (2.9) V S µs t + V (2.1) V (2.6) V t V 2 S 2 σ2 St 2 = α t µs t + β t rb t V 2 S 2 σ2 St 2 = V S µs t + β t rb t V 2 S 2 σ2 St 2 = (Π t α t S t )r t V 2 S 2 σ2 St 2 = (V t α t S t )r 2 V S 2 σ2 St 2 = (V t V S S t)r (2.9) V t Kirjoittamalla viimeinen yhtälö uudestaan saadaan Blackin ja Scholesin yhtälö standardimuodossa 2.4 Blackin ja Scholesin yhtälö V t σ2 S 2 2 V S 2 + rs V rv = 0. (2.10) S Edellisessä osiossa johdettiin Blackin ja Scholesin osittaisdifferentiaaliyhtälö optioiden hinnoitteluun. Tällä yhtälöllä voidaan hinnoitella mikä tahansa johdannainen, jonka arvo riippuu vain ajasta ja kohde-etuuden hinnasta ja jonka preemio maksetaan etukäteen. Tällöin osittaisdifferentiaaliyhtälölle tulee asettaa reuna- ja alkuehtoja maksufunktion mukaan. Eurooppalaisen osto-option tapauksessa loppuehto saadaan maksufunktiosta ja reunaehdot osakkeen hinnan suhteen ei-arbitraasi-periaatteesta. V (S,T ) = max(s K,0) (2.11) V (0,t) = 0 (2.12) V (S,t) = S Ke r(t t), S (2.13) Yhtälössä (2.13) on huomioitu lunastushinnan diskonttaaminen maturiteettihetkeen. Näillä ehdoilla osittaisdifferentiaaliyhtälö voidaan ratkaista numeerisesti, mutta sille on olemassa myös yksikäsitteinen analyyttinen ratkaisu [1, s. 246] missä V (S,t) = SN (d 1 ) Ke r(t t) N (d 2 ), (2.14) d 1 = ln(s/k) + (r σ2 )(T t) σ T t, d 2 = d 1 σ T t

16 2. Optioiden hinnoittelun perusmenetelmiä 9 ja N (x) = 1 2π x e x2 2 dy (2.15) on standardoidun normaalijakauman kertymäfunktio. On yllättävää, että osakkeen hintaprosessissa esiintyvä termi µ ei lainkaan esiinny Blackin ja Scholesin yhtälössä. Näin ollen option arvo ei riipu siitä, kuinka nopeasti osakkeen arvon oletetaan nousevan tai laskevan. Sen sijaan option arvo riippuu riskittömästä korosta ja volatiliteetista. Tässä mallissa molemmat oletettiin vakioiksi, mutta Blackin ja Scholesin yhtälö pätee soveltuvilta osin myös tapauksessa, jossa korko ja volatiliteetti riippuvat deterministisesti ajasta.

17 10 3. HYPPYPROSESSIEN MALLINNUS Blackin ja Scholesin mallissa osakkeen hinnan satunnaisvaihtelujen tiheysjakauma oletetaan normaalijakaumaksi. Jos todellinen jakauma poikkeaa tästä, aiheutuu optioiden hinnoittelussa virheitä mallin yksinkertaisuuden vuoksi. Tällöin Blackin ja Scholesin malli yli- tai alihinnoittelee osto- ja myyntioption todellisen jakauman häntien mukaan. Todellisuudessa osakkeen hinnan erityisen suuret ja pienet hetkelliset muutokset ovat yleisempiä, kuin mitä normaalijakauma osoittaa [5, s. 55]. Tässä luvussa esitellään malli, jossa osakkeen hinta saattaa muuttua hetkellisinä hyppyinä jatkuva-aikaisten muutosten lisäksi. Mallin johto seuraa Seydelin [1] lukuja 1.9 ja A Hyppyprosessimalli Usein uuden informaation saapuminen markkinoille aiheuttaa osakkeen kurssissa nopean korjausliikkeen. Tehokkailla markkinoilla tämän korjausliikkeen tulisi olla välitön, jotta arbitraasin mahdollisuutta ei olisi. Blackin ja Scholesin mallissa (2.2) osakkeiden hinnanmuutosta kuvaavat polut ovat kuitenkin jatkuvia ja ne riippuvat aikavälin pituudesta. Tällaisia välittömiä hinnanmuutoksia voidaan mallintaa hyppyinä, joiden suuruus ei riipu ajasta. Näin saatua mallia kutsutaan hyppyprosessimalliksi. Merkitään ajanhetkiä, jolloin hyppy tapahtuu, symbolilla τ j, τ 1 < τ 2 < τ 3 <... Olkoon J t laskurimuuttuja (counting variable), jonka avulla lasketaan hyppyjen lukumäärä ja τ j = inf{t t 0, J t = j}. Jaetaan tarkasteltava aikaväli t osiin, joiden pituus t := n t, missä n on osavälien lukumäärä. Oletetaan, että kullakin osavälillä tapahtuu korkeintaan yksi hyppy. Hyppy tapahtuu todennäköisyydellä P(J t J t t = 1) = λ t (3.1)

18 3. Hyppyprosessien mallinnus 11 ja ei tapahdu todennäköisyydellä P(J t J t t = 0) = 1 λ t, (3.2) missä λ on hyppyprosessin intensiteetti siten, että 0 < λ t < 1. Aikavälillä 0 τ t tapahtuu k hyppyä todennäköisyydellä ( ) n P(J t J t t = k) = (λ t) k (1 λ t) n k n (λt)k e λt. (3.3) k k! Näin saadaan Poissonin jakauma, jonka intensiteetti λ > 0. Määritelmä 3.1. (Poissonin prosessi). Stokastinen prosessi {J t,t 0} on Poissonin prosessi [1, s. 45], jos (1) J 0 = 0 (2) J t J s Z, kun 0 s < t < (3) P(J t J s = k) = λk (t s) k k! e λ(t s), k = 0,1,2,... (4) Lisäykset J t2 J t1 ja J t4 J t3 ovat riippumattomia kaikilla hetkillä 0 t 1 t 2 t 3 t 4. Tarkastellaan kahta peräkkäistä hyppyä, jotka tapahtuvat ajanhetkillä τ j ja τ j+1. Tällöin τ j+1 := τ j + h j, missä h j on hyppyjen aikaväli. Oletetaan, että osakkeen S t kurssi hyppää hetkellä τ j ja olkoon τ hetki juuri ennen hyppyä ja τ + välittömästi hypyn jälkeen. Tällöin hypyn suuruus S = S τ + S τ. Hypyn suuruus voidaan esittää myös suhteessa osakkeen hintaan S τ + = qs τ, (3.4) missä parametri q 0 kuvaa hypyn suhteellista suuruutta. S = qs τ S τ = (q 1)S τ, joten osakkeen hinta hypyn jälkeen on q 1 kertaa osakkeen hinta ennen hyppyä. Näin hypyille saadaan oma prosessi, jossa hypyn suuruus q = q t on satunnaismuuttuja ds t = (q t 1)S t dj t, (3.5) missä J t on edellä määritelty Poissonin prosessi. Oletetaan, että hyppyjen suuruudet q τ1,q τ2... ovat toisistaan riippumattomia ja niillä kaikilla on sama jakauma.

19 3. Hyppyprosessien mallinnus Hyppy diffuusio-prosessi Hyppy diffuusio-prosessi yhdistää Blackin ja Scholesin mallin eli geometrisen Brownin liikkeen ja hyppyprosessin. Oletetaan, että nämä mallit ovat toisistaan riippumattomia. Tällöin yhdistämällä osakkeiden hintaprosessit yhtälöistä (2.2) ja (3.5) saadaan hyppy diffuusio-prosessi ds t = µs t dt + σs t dw t + (q t 1)S t dj t. (3.6) Osakkeen hintaan vaikuttavat siis kolme termiä. Deterministiseksi oletettu osakkeen kasvuvauhti, satunnaisia ja jatkuvia kurssiheilahteluja aiheuttava Wienerin prosessi sekä satunnaisia epäjatkuvia hyppyjä aiheuttava Poissonin prosessi. Oletetaan, että voidaan muodostaa portfolio, joka suojaa eurooppalaisen option vastaavasti kuten edellisessä luvussa esitettiin. Oletetaan lisäksi, että option kohteena o- leva osake noudattaa hyppy diffuusio-prosessia. Portfolion arvonmuutoksessa tulee nyt huomioida myös hypyt. Merkitään option arvonmuutosta hyppyhetkellä seuraavasti V = V (S τ +,τ) V (S τ,τ). Lisäämällä yhtälön (2.8) oikealle puolelle stokastinen hyppytermi saadaan arvonmuutosprosessi optiota replikoivalle portfoliolle ( V dπ t = S µs t + V t ) V 2 S 2 σ2 St 2 dt + V S σs tdw t +[V (S τ +,τ) V (S τ,τ)]dj t. (3.7) Toisaalta sijoittamalla hyppy diffuusio-prosessin yhtälö (3.6) sekä riskittömän velkakirjan hintaprosessi yhtälöön (2.7) saadaan dπ t = α t (µs t dt + σs t dw t + (q t 1)S t dj t ) + β t db t = α t µs t dt + β t db t + α t σs t dw t + α t (q t 1)S t dj t. (3.8) Vertailemalla yhtälöiden (3.7) ja (3.8) dw t -termien kertoimia havaitaan, että α = V S kuten Blackin ja Scholesin mallissa. Vähennetään molemmista yhtälöistä yhteiset termit pois, jolloin yhtälöstä (3.7) saadaan johdettua portfolion hintaprosessi d Π = ja yhtälöstä (3.8) vastaavasti ( V t + 1 ) 2 σ2 S 2 2 V S 2 dt + [V (qs,t) V (S,t)]dJ (3.9) d Π = ( rv rs V ) dt + V (q 1)SdJ. (3.10) S S Kumpikaan portfolion arvonmuutosprosesseista ei ole deterministinen, sillä molemmat

20 3. Hyppyprosessien mallinnus 13 sisältävät Poissonin prosessin. Portfolioita ei myöskään voida suojata riskiltä hyppyprosessin läsnäollessa [2, s. 131]. Lisäksi hypyn suuruutta kuvaava parametri q on satunnaismuuttuja, jonka jakauma tulee määrätä. Oletetaan, että satunnaismuuttujan q tiheysfunktio f (q) on tunnettu. Tällöin hypyn suhteellisen suuruuden odotusarvo on E(q) = q f (q)dq = 0 q f (q)dq, (3.11) sillä hypyn suuruus q 0 ja q = 0 vain siinä tapauksessa, että osakkeen kurssi romahtaa nollaan. Satunnaismuuttuja q on positiivinen ja siksi yhtälön (3.9) termi V (qs,t) on hyvin määritelty, sillä tällöin osakkeen hinta pysyy positiivisena. Näin ollen yhtälöiden (3.9) ja (3.10) odotusarvot voidaan merkitä yhtäsuuriksi, josta saadaan implisiittinen esitys option arvolle ( V t + 1 ) 2 σ2 S 2 2 V S 2 + rs V S rv dt ([ + E V (qs,t) V (S,t) (q 1)S V ] ) dj S Kaikki stokastiset termit oletettiin riippumattomiksi, joten = E ([ E V (qs,t) V (S,t) (q 1)S V [ V (qs,t) V (S,t) (q 1)S V S S ] ) dj ] E(dJ). = 0. (3.12) Yhtälön (3.1) perusteella E(dJ) = λdt ja koska hypyn suhteellinen suuruus q ei riipu option arvosta V on E(q 1) := c = vakio, joka riippuu satunnaismuuttujan q jakaumasta. Näin yhtälö (3.12) voidaan lausua muodossa V t σ2 S 2 2 V + (r λc)s V (λ + r)v + λe(v (qs,t)) = 0. (3.13) S2 S Näin saatu yhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka sisältää integraalitermin (partial integro-differential equation), joka riippuu tuntemattomasta ja ratkaistavasta funktiosta V (S,t).

21 14 4. HYPPY DIFFUUSIO-PROSESSIN NUMEERINEN RATKAISU Edellisessä luvussa osakkeen hintaprosessin oletettiin noudattavan hyppy diffuusioprosessia. Prosessia kuvaava stokastinen differentiaaliyhtälö saatiin muokattua osittaisdifferentiaaliyhtälöksi, joka sisältää integraalitermin. Tässä luvussa tarkastellaan ensin tämän osittaisdifferentiaaliyhtälön numeeriseen ratkaisuun liittyviä ongelmia, ja sen jälkeen esitellään ratkaisussa käytettävä spektrikollokaatiomenetelmä. Menetelmän tehokkuutta vertaillaan kirjallisuudessa käytettyihin menetelmiin, sekä hyppy diffuusioprosessin ratkaisua verrataan Blackin ja Scholesin mallin ratkaisuun, ja hyppy diffuusioprosessin tarkkaan ratkaisuun. 4.1 Integraalitermin vaikutus osittaisdifferentiaaliyhtälöön Tarkastellaan eurooppalaista osto-optiota, jonka kohde-etuutena oleva osake noudattaa hyppy diffuusio-prosessia. Option hinnoittelevan osittaisdifferentiaaliyhtälön (3.13) V t σ2 S 2 2 V + (r λc)s V S2 S (λ + r)v + λe(v (qs,t)) = 0 ratkaisu V (S,t) on osakkeen hinnan ja maturiteetin funktio, mutta se riippuu lisäksi osakkeen volatiliteetista, riskittömästä korosta, hyppyprosessin intensiteetistä sekä hypyn tiheysjakaumasta. Merton olettaa hypyn suhteellisen suuruuden q noudattavan lognormaalijakaumaa [2]. Tällöin tiheysfunktio f (q, ˆµ, ˆσ) = 1 2π ˆσq e (lnq ˆµ)2 2 ˆσ 2 (4.1) ja c = E(q 1) = E(q) 1 = eˆµ+ ˆσ2 2 1, (4.2) missä ˆµ on hypyn suhteellisen suuruuden odotusarvo ja ˆσ sen keskihajonta. Hypyn suhteellinen suuruus on positiivinen, ja sen vuoksi yhtälö (3.13) voidaan kirjoittaa auki V t = 1 2 σ2 S 2 2 V (r λc)s V S2 S + (λ + r)v λ V (qs,t) f (q)dq. (4.3) 0 Numeerisen ratkaisun kannalta integraalitermi tuottaa hankaluuksia. Integrandi sisältää

22 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 15 ratkaistavan funktion, joten integraalia ei voida laskea suljetussa muodossa. Lisäksi integrointiväli on puoliääretön. Numeerisen ratkaisun kannalta välin tulisi olla äärellinen. Myös osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisussa osakkeen hinta S on määritelty puoliäärettömällä välillä [0, ). Se tulee myös katkaista äärelliseksi. Tällöin integraalitermin sisällä oleva option arvo V (qs,t) ei olekaan enää määritelty äärellisellä välillä. Näihin ongelmiin esitetään ratkaisuja seuraavassa luvussa. 4.2 Spektrikollokaatiomenetelmä Tässä luvussa esitellään menetelmä reuna-arvo-ongelmien numeeriseen ratkaisemiseen, joka hyödyntää kahta keskeistä tieteellisen laskennan työvälinettä. Ensimmäinen näistä on derivaattamatriisi. Derivaattamatriisin ideana on approksimoida funktion derivaattojen arvoja hilapisteissä, kun funktion analyyttistä derivaattaa ei ole saatavilla tai funktion arvot tiedetään vain tietyissä pisteissä. Toinen keskeinen idea on matriisilaskennan ja sitä tukevien ohjelmistojen, erityisesti MATLABin, tehokas hyödyntäminen ongelman mallintamisessa ja numeerisessa ratkaisemisessa. Esitys perustuu artikkeliin [3]. Spektrikollokaatiomenetelmässä differentiaaliyhtälön tuntematonta ratkaisua arvioidaan globaalin interpoloivan polynomin tai trigonometrisen funktion avulla. Muut suositut menetelmät, kuten differenssimenetelmä ja elementtimenetelmä, hyödyntävät lokaalia interpolointia. Tämän ansiosta spektrimenetelmien tehokkuus on käytännössä huomattavasti parempi kuin edellämainituilla menetelmillä. Erityisesti ratkaisufunktion ja reunaehtojen ollessa sileitä spektrimenetelmät suppenevat eksponentiaalisesti kun taas differenssi- ja elementtimenetelmä suppenevat polynomiaalisesti [3, s. 466]. Spektrimenetelmässä derivaattamatriisit ovat kuitenkin täysiä, jolloin matriisioperaatiot ovat laskennallisesti työläämpiä kuin harvoja matriiseja hyödyntävissä differenssija elementtimenetelmässä. Spektrikollokaatiomenetelmässä tuntematon funktio f (x) esitetään muodossa f (x) p N 1 (x) = N j=1 α(x) α(x j ) Φ j(x) f j, (4.4) missä p N 1 on astetta N-1 oleva hilapisteitä interpoloiva polynomi tai trigonometrinen funktio, {x j } N j=1 on interpoloitavien hilapisteiden joukko, α(x) on painofunktio ja f j = f (x j ). Interpoloivat kantafunktiot {Φ j (x)} N j=1 toteuttavat ehdon Φ j (x k ) = δ j,k = { 1, jos j = k 0, jos j k, (4.5) missä δ j,k on Kroneckerin deltafunktio. Usein käytettyjä kantafunktioita ovat Tšebyševin, Hermiten ja Laguerren polynomit. Derivoimalla interpoloivan polynomin yhtälö puolit-

23 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 16 tain saadaan ratkaistavan funktion derivaattojen arvot hilapisteissä kaavasta f (l) (x k ) N j=1 d l [ ] α(x) dx l α(x j ) Φ j(x) f j, k = 1,,N. (4.6) x=x k Tässä derivaatan kertalukua on merkitty symbolilla l sekaannuksen välttämiseksi. Sama derivaattaoperaattori voidaan esittää matriisimuodossa [ ] D (l) k, j = dl α(x) dx l α(x j ) Φ j(x). (4.7) x=x k Olkoon f vektori, jonka alkiot ovat funktion f arvoja hilapisteissä. Funktion derivaattojen arvot solmupisteissä saadaan kertomalla funktio derivaattamatriisilla. Tarkastellaan Tšebyševin solmupisteitä ja kantafunktioita, jotka ovat polynomeja. Tšebyševin solmupisteet x k = cos on määritelty välillä [-1,1]. Erityisesti x 1 = 1 ja x N = 1. (k 1)π, k = 1,2...,N (4.8) N 1 Kuva 4.1: Tšebyševin solmupisteiden sijainti välillä [-1,1]. Kuvassa (4.1) on havainnollistettu Tšebyševin solmupisteiden sijaintia. On huomattavaa, että solmupisteet painottuvat välin [1,1] reunoille. Toisin sanoen Tšebyševin hila on keskeltä harvempi kuin reunoista, mikä tulee ottaa huomioon hyppy diffuusio-prosessin numeerisessa käsittelyssä. Tšebyševin kantafunktioiden painofunktio α(x) = 1 (4.9)

24 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 17 ja interpoloiva polynomi siten p N 1 (x) = Kantafunktiot Φ j voidaan lausua muodossa N Φ j (x) f j. (4.10) j=1 Φ j (x) = ( 1) j c j 1 x 2 (N 1) 2 T N 1 (x) x x j, (4.11) missä c 1 = c N = 2 ja c 2 =... = c N 1 = 1. Funktiot T ovat ensimmäisen luokan Tšebyševin polynomeja, jotka toteuttavat rekursion T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T N+1 (x) = 2xT N (x) T N 1 (x). (4.12) Kun spektrikollokaatiomenetelmällä ratkaistaan differentiaaliyhtälöitä, vaaditaan että interpoloiva polynomi toteuttaa differentiaaliyhtälön sisäpisteissä eli vektorin x 2:N 1 o- soittamissa pisteissä. Interpoloivan polynomin arvot sisäpisteissä ovat ja polynomin derivaattojen arvot p N 1 (x 2:N 1 ) = f 2:N 1 = I 2:N 1,: f (4.13) p (d) N 1 (x 2:N 1) = D (d) 2:N 1,: f. (4.14) Tšebyševin pisteistössä reunan pisteet ovat aina x 1 = 1 ja x N = -1, joten derivaattaa koskevat reunaehdot (Neumannin reunaehdot) voidaan esittää yksinkertaisesti muodossa p (d) N 1 (1) = D(d) 1,: f, p (d) N 1 ( 1) = D(d) f. (4.15) Tapauksessa, jossa reunaehdossa ei esiinny derivaattoja (Dirichlet n reunaehto) derivaattamatriisi korvataan identiteettimatriisilla. MATLAB Differentiation Matrix Suite sisältää MATLAB-ohjelmat chebdif.m ja chebint.m, joita voidaan käyttää hyväksi laskennassa. Funktiokutsu ohjelmalle chebdif.m on >> [x,d] = chebdif(n, M); Kokonaisluku N on vaaditun derivaattamatriisin koko ja kokonaisluku M on korkeimman tarvittavan derivaattamatriisin aste. N-vektori x sisältää Tšebyševin pisteet ja D on N N,:

25 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 18 N M-taulukko, joka sisältää derivaattamatriisit D (l), l = 1,..., M. Funktiokutsu ohjelmalle chebint.m on >> p = chebint(f, x); N-vektori f sisältää funktion f (x) arvot Tšebyševin pisteissä. Vektori x sisältää pisteet, joissa interpoloivan polynomin arvot lasketaan. Vektori p sisältää interpoloivan polynomin arvot vektorin x osoittamissa pisteissä. Menetelmä polynomin määrittämiseen on esitetty viitteen [3] kaavassa (15). 4.3 Hintamuuttujan rajoittaminen äärelliselle välille Osittaisdifferentiaaliyhtälössä (4.3) osakkeen hinta S voi saada mielivaltaisen suuria positiivisia arvoja. Numeerisen ratkaisun kannalta osakkeen hinnan tulee olla äärellisellä välillä. Tšebyševin hilapisteistön tapauksessa spektrikollokaatiomenetelmällä voidaan ratkaista vain differentiaaliyhtälöitä, joiden määrittelyalue on väli [-1,1]. Tavoitteena on soveltaa spektrikollokaatiomenetelmää osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisuun, joten o- sakkeen hinnan suhteen on tehtävä muuttujanvaihto. Merkitään uutta hintamuuttujaa symbolilla x. Muuttujanvaihdolla S = Ke Lx, (4.16) missä x [-1,1] palautuu osakkeen hinta S välille [Ke L,Ke L ]. Olkoon p 1 reaaliluku ja merkitään L = ln p. Näin ollen muuttujanvaihdon seurauksena saatu osakkeen hinta S [ K p, pk]. Osakkeen hinta S voi siis enintään p-kertaistua lunastushintaan K nähden ja olla minimissään 1 p-kertainen. Nimenomaan lunastushinnan K ympäristössä olevat option arvot ovat kiinnostavia, sillä hyvin pienillä osakkeen hinnan arvoilla option arvo on lähes nolla ja hyvin suurilla osakkeen hinnan arvoilla option arvo käyttäytyy asymptoottisesti osakkeen hinnan funktiona. Tämä muuttujanvaihto vaikuttaa luonnollisesti myös osittaisdifferentiaaliyhtälöön sekä reunaehtoihin. Olkoon muuttujanvaihdon tuloksena saatu uusi funktio v ja V (S,t) = V (Ke Lx,t) = Kv(x,t) = Kv( ln S K L,t) (4.17) Ratkaistaan osittaisdifferentiaaliyhtälön (4.2) termit uuden hintamuuttujan x ja funktion v suhteen. V S = K v x x S = K v 1 x LS = K v LS x. (4.18)

26 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 19 2 V S 2 = ( ) V = ( ) K v = K ( ) v 1 S S S LS x L S x S = K ( v L x ( 1 S 2 ) + ) S ( v x )1 = K ( v S L x ( 1 S 2 ) + x ( v x ) v ) 1 S S = K ( 1 ) v L S 2 x + 2 v 1 1 x 2 = K ( 1 v LS S L S 2 x ) v LS 2 x 2 = K L 2 S 2 2 v x 2 K LS 2 v x. (4.19) Integrandissa oleva termi V (qs,t) sieventyy muotoon qs ln K V (qs,t) = Kv( L,t) qkelx ln K = Kv( L = Kv( = Kv( lnq L,t) lnq + lnelx,t) L Sijoitetaan nämä yhtälöt osittaisdifferentiaaliyhtälöön (4.3). + x,t). (4.20) K v t = 1 2 σ2 S 2 ( K L 2 S 2 2 v +(λ + r)kv λ x 2 0 K v L 2 S 2 Kv( lnq L x ) (r λc)s K v LS x + x,t) f (q)dq = 1 K 2 v 2 σ2 L 2 x 2 + K L (1 2 σ2 r + λc) v x +(λ + r)kv λ Kv( lnq + x,t) f (q)dq, L 0 mistä supistamalla lunastushinnalla K saadaan vakiokertoiminen toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö v t = 1 2 σ2 L 2 2 v x 2 + (1 2 σ2 1 v r + λc)l 4.4 Reunaehdot x + (λ + r)v λ 0 v( lnq L + x,t) f (q)dq. (4.21) Osittaisdifferentiaaliyhtälölle (4.21) on vielä asetettava kertaluvun osoittama määrä reunaehtoja sekä alku- tai loppuehto ajan suhteen, jotta ratkaisusta saadaan yksikäsitteinen. Tässä tapauksessa reunaehtoja on siis kaksi. Oletetaan, että option arvo on nolla, kun osakkeen hinta on hyvin pieni lunastushintaan nähden. Hyvin suurilla osakkeen hin-

27 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 20 noilla option arvo toteuttaa likimain yhtälön (2.13). Osittaisdifferentiaaliyhtälön (4.21) numeerisessa ratkaisussa rajoitutaan osakkeen hinnan suhteen äärelliselle välille lunastushinnan ympäristöön. Oletetaan kuitenkin, että välin vasen päätepiste vastaa nollaa ja oikea päätepiste ääretöntä option arvon kannalta. Tällöin reunaehdot Tšebyševin pisteissä ovat v( 1,t) = 0 (4.22) KeL 1 Ke r(t t) v(1,t) = = e L e r(t t). (4.23) K On huomattava, että hyppy diffuusio-prosessissa osakkeen hinnan suuret muutokset ovat todennäköisempiä kuin Blackin ja Scholesin mallissa. Näin ollen myös osakkeen hinnan merkittävät pudotukset ovat todennäköisempiä hyppy diffuusio-prosessissa. Siten osakkeen hinnan suuria arvoja koskeva reunaehto soveltuu paremmin käytettäväksi Blackin ja Scholesin malliin. Eräs toinen vaihtoehto on asettaa option arvon toinen derivaatta osakkeen hinnan suhteen nollaksi. Tässä voidaan soveltaa kaavaa (4.15). Tarkoituksena on määrittää option arvo sopimushetkellä. Näin ollen sopimushetkeen ei voida asettaa alkuehtoa, vaan asetetaan loppuehto maturiteettihetkellä. Maturiteettihetkellä T option arvo toteuttaa maksufunktionsa (2.11), joten loppuehto hintamuuttujan x suhteen on v(x,t ) = V (S,T ) K = = max(kelx K,0) K max(s K,0) K = max(e Lx 1,0). (4.24) Loppuehdon seurauksena aika-askeleet on otettava taaksepäin, kun osittaisdifferentiaaliyhtälö ratkaistaan ajan suhteen. 4.5 Spektrikollokaatiomenetelmän soveltaminen Sovelletaan spektrikollokaatiomenetelmää reuna-arvo-ongelmaan v t v( 1,t) = 0, = 1 2 σ2 L 2 2 v x 2 + (1 2 σ2 r + λc)l + (λ + r)v λ v(1,t) = e L e r(t t), v(x,t ) = max(e Lx 1,0). 0 v( ln(q) L 1 v x + x,t) f (q)dq, (4.25) Ratkaistava funktio v riippuu osakkeen hinnan x lisäksi ajasta t. Esitetään seuraavassa menetelmä, jolla option arvo v diskretoidaan ensin hintamuuttujan x suhteen ja tämän

28 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 21 jälkeen ratkaistavaksi jää tavallinen differentiaaliyhtälö ajan suhteen. Olkoon x 1,x 2,...,x N Tšebyševin pisteistö ja merkitään lyhyesti v j = v(x j,t). Tällöin option arvoa tarkastelualueella voidaan arvioida kollokaatioyhtälöllä v(x,t) Erityisesti funktion arvot solmupisteissä saadaan kaavasta ja derivaattojen arvot kaavasta v(x i ) v (d) (x i ) N Φ j (x)v(x j,t). (4.26) j=1 N Φ j (x i )v j (4.27) j=1 N Φ (d) j (x i )v j. (4.28) j=1 Integrandissa option hinnan argumentti ei kuulu hilapisteistöön, mutta se voidaan käsitellä vastaavasti. Näin ollen v( lnq N L + x) Φ j ( lnq j=1 L + x)v j, (4.29) v( lnq N L + x i) Φ j ( lnq j=1 L + x i)v j, (4.30) v (d) ( lnq L + x i) N j=1 Φ (d) j ( lnq L + x i)v j. (4.31) Approksimoidaan option arvoa reunaehtoa vastaavalla yhtälöllä kun osakkeen hinta on oikean reunan hintaa suurempi ja oletetaan option arvo nollaksi vasenta reunaa pienemmillä osakkeen hinnoilla. Tällöin 0, x i < 1 v(x i ) N j=1 Φ j(x i )v j, 1 x i 1 e Lx i e r(t t), x i 1. (4.32) Vaihtamalla option arvon argumentti yhtälön (4.25) integraalitermissä esiintyvän option arvon argumentin kanssa samaksi saadaan v( lnq L + x i) 0, N j=1 Φ j( lnq L + x i)v j, lnq el( L +x i) e r(t t), lnq L + x i < 1 1 lnq L + x i 1 lnq L + x i 1 (4.33)

29 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 22 ja ratkaisemalla määrittelyalueiden reunat satunnaismuuttujan q suhteen saadaan v( lnq L + x i) 0, q < e L( 1 x i) N j=1 Φ j( lnq L + x i)v j, e L( 1 xi) q e L(1 x i) qe Lx i e r(t t), q e L(1 xi). (4.34) Näin osittaisdifferentiaaliyhtälössä esiintyvää integraalitermiä voidaan arvioida seuraavasti, 0 v( lnq L + x i) f (q)dq + + = e L(1 x i ) v(lnq e L( 1 x i ) L + x i) f (q)dq v(lnq e L(1 x i ) L + x i) f (q)dq e L(1 x i ) e L( 1 x i ) N Φ j ( lnq j=1 L + x i)v j f (q)dq e L(1 x i )(qelx i e r(t t) ) f (q)dq N e L(1 x i ) j=1 + e Lx i = N j=1 + e Lx i = N j=1 Φ j( lnq e L( 1 x i ) L + x i) f (q)dqv j t) q f (q)dq e r(t e L(1 x i ) e L(1 x i ) e L(1 x i ) f (q)dq Φ j( lnq e L( 1 x i ) L + x i) f (q)dqv j ( ) q f (q)dq e r(t t) 1 cdf(e L(1 xi) ) e L(1 x i ) e L(1 x i ) Φ j( lnq e L( 1 x i ) L + x i) f (q)dqv j + e Lx i q f (q)dq e L(1 x i ( ) ) e r(t t) 1 ( i) ˆµ 2 erf(lnel(1 x )) 2 ˆσ N e L(1 x i ) = Φ j( lnq j=1 e L( 1 x i ) L + x i) f (q)dqv j + e Lx i q f (q)dq e L(1 x i ) e r(t t) ( erf(l(1 x i) ˆµ 2 ˆσ ) ) := N E i j v j + c i e r(t t) z i, (4.35) j=1

30 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 23 missä cdf(x) = ˆµ erf(lnx ) (4.36) 2 2 ˆσ on lognormaalijakauman kertymäfunktio ja error-funktio. Vektoreiden c ja z komponentit ovat erf(x) = 2 x e t2 dt (4.37) π 0 c i = e Lx i q f (q)dq, (4.38) e L(1 x i ) z i = ( L(1 2 erf xi ) ˆµ ). (4.39) 2 ˆσ Matriisin E alkiot E i j = e L(1 x i ) e L( 1 x i ) Φ j( lnq L + x i) f (q)dq. (4.40) Osoitetaan, että vektorin c alkiot ovat rajoitettuja eli kyseinen integraali suppenee. Muuttujanvaihdolla y = lnq ˆµ 2 ˆσ c i = e Lx i = e Lx i e L(1 x i ) q f (q)dq = elx i 2π ˆσ = elx i 2π ˆσ q 1 e (lnq ˆµ)2 e L(1 x i ) 2π ˆσq (lnq ˆµ) 2 e 2 ˆσ 2 dq e L(1 x i ) e L(1 x i ) e 2 ˆσ 2 dq ( lnq ˆµ 2 ˆσ ) 2 dq. (4.41) q = eˆµ e 2 ˆσy dq dy = 2 ˆσeˆµ e ja uudet integrointirajat muuttujan y funktiona ovat 2 ˆσy q = e L(1 x i) y = L(1 x i) ˆµ 2 ˆσ q = y =.

31 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 24 Sijoitetaan nämä yhtälöt alkuperäiseen kaavan (4.41) integraaliin. c i = elx i 2π ˆσ = = elxieˆµ π elx ieˆµ π [ L(1 x i ) ˆµ 2 ˆσ e y2 + L(1 x i ) ˆµ 2 ˆσ e y2 2 ˆσeˆµ e 2 ˆσy dy 2 ˆσy dy 1 1 πe 2 ˆσ 2 2 ˆσ) erf(y 2 2 ] y=. y= L(1 x i ) ˆµ 2 ˆσ Error-funktio on rajoitettu, joten myös jokainen vektorin c alkio on rajoitettu. Viimeinen yhtäsuuruus voidaan todentaa derivoimalla hakasulkeiden sisällä oleva lauseke muuttujan y suhteen. Error-funktion derivaatta saadaan helposti sen määritelmästä. ( ) d 1 1 πe 2 ˆσ 2 2 ˆσ erf y dy 2 2 = 1 2 πe 1 2 ˆσ 2 2 π e (y 2 ˆσ 2 )2 = e 1 2 ˆσ2 e (y 2 ˆσ 2 )2 = e 1 2 ˆσ2 e (y2 2 ˆσy+ 1 2 ˆσ2 ) = e y2 + 2 ˆσy. Vektorien c ja z alkiot saadaan siis määritettyä analyyttisesti eikä numeeriseen integrointiin ole tarvetta. Nämä vektorit saadaan funktiokutsulla >> [C,z] = get_int_vector(n, L, muhat, sigmahat); missä N on hilapisteiden lukumäärä, L osakkeen hinnan skaalaustekijä sekä muhat ja sigmahat lognormaalijakauman parametrit. Matriisin E alkiot ovat rajoitettuja sillä integrandi on rajoitettujen funktioiden tulona rajoitettu ja integrointiväli on äärellinen. Integrointi analyyttisesti on hankalampaa kuin edellä, sillä integrandi koostuu astetta N 1 olevan polynomin ja lognormaalijakauman tiheysfunktion tulosta. Kantafunktiot Φ j voidaan määrittää esimerkiksi Newtonin interpolointimenetelmällä ja tämän jälkeen integraalia voidaan arvioida numeerisesti. MATLAB-ohjelma get_int_matrix.m käyttää hyväkseen aliohjelmaa intpolc.m, joka palauttaa kantafunktion, tässä tapauksessa polynomin, kertoimet Newtonin muodossa. Numeerisessa integroinnissa käytetään puolisuunnikasmenetelmää b a f (x)dx n h ( f (a + (i 1)h) + f (a + ih)), (4.42) i=1 2 missä h on askelpituus. MATLABin valmisohjelma trapz.m soveltaa puolisuunnikasmenetelmää numeeriseen integrointiin. Integrointimatriisi E saadaan funktiokutsulla >> E = get_int_matrix(n, L, muhat, sigmahat);

32 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 25 Sijoitetaan kaikki spektrikollokaatiomenetelmällä johdetut option arvon v(x) approksimaatiot reuna-arvo-ongelmaan (4.25) ja merkitään osittaisdifferentiaaliyhtälön molemmat puolet yhtäsuuriksi numeerista ratkaisua varten. Näin reuna-arvo-ongelma voidaan lausua muodossa v i t = 1 2 σ2 L 2 N Φ j(x i )v j + ( 1 j=1 2 σ2 r + λc)l 1 N Φ j(x i )v j j=1 ( N j=1e i j v j + c i e r(t t) z i ) N +(λ + r) Φ j (x i )v j λ, j=1 v( 1,t) = 0, (4.43) v(1,t) = e L e r(t t). Reuna-arvo-ongelmasssa (4.43) ei enää esiinny tuntemattomia derivaattoja osakkeen hinnan suhteen. Näin alkuperäinen osittaisdifferentiaaliyhtälö saatiin muokattua ryhmäksi tavallisia differentiaaliyhtälöitä ajan suhteen. Derivaattamatriiseja hyödyntäen sama reuna-arvo-ongelma voidaan esittää muodossa I 2:N 1,: v = 1 2 σ2 L 2 D (2) 2:N 1,: v + (1 2 σ2 r + λc)l 1 D (1) 2:N 1,: v + (λ + r)i 2:N 1,:v λe 2:N 1,: v λ(c 2:N 1 e r(t t) z 2:N 1 ), 0 T v = I N,: v, (4.44) 0 T v = e L e r(t t) I 1,: v, missä v viittaa derivointiin ajan suhteen. Nämä yhtälöt voidaan edelleen koota differentiaalialgebralliseksi yhtälöksi M v = Av + b, (4.45) v(1) = max(e Lx 1,0), (4.46)

33 4. Hyppy diffuusio-prosessin numeerinen ratkaisu 26 missä M = A = b = I 2:N 1,: 0 T 0 T, 1 2 σ2 L 2 D (2) 2:N 1,: + ( 1 2 σ2 r + λc)l 1 D (1) 2:N 1,: +(λ + r)i 2:N 1,: λe 2:N 1,: I N,: I 1,: λ(c 2:N 1 e r(t t) z 2:N 1 ) e L e 0 r(t t)., Yhtälö (4.45) on lineaarinen matriisiyhtälö, jossa vektori b riippuu ajasta. 4.6 Aika-askelmenetelmät Spektrikollokaatiomenetelmässä osakkeen hinta diskretoitiin äärelliselle välille reunaarvo-ongelman numeerista käsittelyä varten. Näin alkuperäinen aikaa ja osakkeen hintaa koskeva kaksiulotteinen reuna-arvo-ongelma saatiin muunnettua yksiulotteiseksi differentiaalialgebralliseksi yhtälöksi (4.45) ajan suhteen. Option arvo maturiteettihetkellä t = T saadaan loppuehdosta (4.45). Tavoitteena on ratkaista option arvo v(x,t) sen ostohetkellä t = 0 kaikilla osakkeen hinnan x arvoilla. Tarkastellaan muotoa Mv (t) = f(t,v(t)) (4.47) olevaa differentiaalialgebrallista yhtälöä, jonka Jakobin matriisi J = f (T,v(T )). (4.48) v Olkoon h aika-askeleen pituus, joka tässä tapauksessa on negatiivinen. Loppuehto v(t ) on tunnettu, joten hetkellä T + h option arvoa voidaan arvioida linearisoinnilla v(t + h) v(t ) + hz, (4.49) missä z on lisäysvektori ajanhetkien T + h ja T välillä. Seuraavassa esitellään menetelmiä lisäyksen z laskemiseksi. Ne perustuvat MATLAB-toteutuksia myöten viitteen [6] liitteeseen B. Eulerin menetelmä (backward Euler, fully implicit): Lisäys z on yhtälön r(z) = Mz f(t + h,v(t ) + hz) = 0 (4.50)