Sisältö. Luento 1: Transformaatiot (2D) 1. Koordinaattimuunnokset. Muunnokset (jatkuu) 2. Perustransformaatiot. Perustransformaatiot (jatkuu)
|
|
- Emilia Haavisto
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sisältö ietokonegrafiikka / perusteet Ako/-.3/3 4 ov / 2 ov Perustransformaatiot ransformaatioiden hdistäminen Muunnosmatriisit Laskennallisia näkökohtia Luento : ransformaatiot (2D) Marko Mllmaa 6/4 2D transformaatiot / 2D transformaatiot / 2. Koordinaattimuunnokset Geometriset objektit ietorakenteet koostuvat leensä pisteistä: tpedef struct pointpe { float x; float ; float z; } Point; tpedef struct linepe { Point p; Point p2; } Line; Usein olisi mukavaa, jos voitaisiin määritellä objektin pisteet omassa koordinaatistossaan (C), josta objekti sitten siirrettäisiin sopivan kokoisena sopivaan paikkaan ja asentoon kättökoordinaatistossa (C'). Muunnokset (jatkuu) ämä voidaan toteuttaa suorittamalla kuvion pisteille transformaatioita eli koordinaattimuunnoksia. Kokonainen geometrinen objekti muunnetaan leensä muuntamalla jokainen piste erikseen. ärkeää on silloin pstä esittämään objektit ja muunnokset siten, että vain olennaisten määrittel- tai ohjauspisteiden käsittel riittää, ja muunnettu kuvio voidaan piirtää näiden avulla. Esim. muunnettu monikulmio voidaan piirtää muunnetujen nurkkapisteiden kautta. 2D transformaatiot / 3 2D transformaatiot / 4 2. Perustransformaatiot ) Siirto (translaatio) vektorin t verran: x + tx eli vektorimuodossa: + t tx p p + t + t ' Perustransformaatiot (jatkuu) 2) Kierto (rotaatio) kulman verran vastapäivään origon mpäri: x cos ϕ sin ϕ eli matriisimuodossa: xsin ϕ + cos ϕ cosϕ p Rp sin ϕ ' sin ϕ cosϕ Huom. Kaikki pisteet siirtvät saman verran; Kuvion muoto, koko ja asento säilvät. x siirrett (C') 2D transformaatiot / 5 ' kierrett (C') Huom. Origo ps paikallaan, kaikki muut pisteet siirtvät; Kuvion muoto ja koko säilvät. 2D transformaatiot / 6 ϕ +9 '
2 Esim. Kierto (jatkuu) ϕ 9 : sin ϕ, cosϕ : x ϕ 8 : sin ϕ, cosϕ : Perustransformaatiot (jatkuu) 3) Mittakaavan muutos (skaalaus) eri suuntiin: S x x S Sx p Sp S ' Esim. ' Sx.5 kierrett (C') ϕ +9 ' skaalattu (C') S.75 ' 2D transformaatiot / 7 2D transformaatiot / 8 Erikoistapauksia: Skaalaus (jatkuu) S x S mittasuhteet säilvät (uniform scale) S x -, S vaakapeilaus -akselin suhteen S x, S - pstpeilaus x-akselin suhteen S x -, S - kierto 8 (pistesmmetria origon suhteen) Huom. Origo ps aina paikallaan, leensä kaikki muut pisteet siirtvät, erikoistapauksia lukuunottamatta asento säil, mutta kuvion muoto litist tai ven. 2D transformaatiot / 9 Perustransformaatiot (jatkuu) 4) viistoutus (shearing): koordinaattiakseleita kallistetaan x + H x H x p Hp + H x H ' Hx.5 x.5 H H.25 ' '' x-viistottu (C') x-viistottu (C'') Huom! Samalla -arvolla olevat pisteet siirtvät vakiomatkan x- suunnassa, vaikka mös muuttuisi. Jos H, niin x-akselin pisteet psvät paikallaan (vastaavasti - akseli, jos H x ). Origo ps paikallaan; kuvion muoto ja koko muuttuvat. '' 2D transformaatiot / Hx.5 Koordinaatiston kannan muuntuminen Kuvion muuntuminen voidaan mmärtää koordinaatiston kannan vaihtumisena: sovelletaan alkuperäisen kuvion x-koordinaatteja vinokantaisessa koordinaatistossa. Lineaarimuunnoksille (edellä esitett) tämä toteutuu matriisikertolaskuna. e2 alkuperäinen kanta e M '' e2' muunnettu kanta e' '' 3. Muunnosten hdistel Perusmuunnokset ovat lineaarisia (ts. suorat viivat säilvät suorina), jolloin monikulmiosta riittää muuntaa vain nurkkapisteet. Sama ei päde kaikille esitstavoille (esim. mprälle keskipisteen ja säteen muunnos). Muunnoksia voidaan hdistellä tekemällä ne ksi kerrallaan peräkkäin, esim. skaalaus (S), kierto (R) ja siirto () kuten edellä. Huom! Järjests vaikuttaa: SR ja SR antavat eri tuloksen. 2D transformaatiot / 2D transformaatiot / 2 2
3 ' SR x ''.5 x ' Sx.5 ' Sx.5 S S '' ''' SR S S.75 ' '' R ϕ +9 '' Muunnosten hdistel (jatkuu) Ongelma: Usein halutaan tehdä hierarkkisia geometrisia malleja, joissa mallin osat muunnetaan omista koordinaatistoistaan laajemman kokonaisuuden koordinaatistoon. Osat voivat samoin muodostua pienemmistä osista jne. Kullakin tasolla voidaan joutua tekemään jopa 3 eri muunnosta (siirto, kierto, skaalaus). Onko N-tasoisen mallin kullekin osalle siis tehtävä 3 x N muunnosta, jotta päästäisiin lopulliseen piirtokoordinaatistoon? Vastaus: Onneksi ei! ransformaatiot voidaan hdistää (katenoida) hdeksi. ''' R ϕ +9 x Entä RS? ''' ''' 2D transformaatiot / 3 2D transformaatiot / 4 Muunnosten hdistel (jatkuu) Esim. skaalaus (2., 3.), kierto 9 ja siirto (+, +5): S: x' 2 x ' 3 R: x'' -' -3 '' x' 2x : x''' x'' ''' '' + 5 2x + 5 Mutta: On ikävää tehdä algebrallista käsittelä jokaiselle muunnokselle erikseen. 4. Muunnokset matriisien avulla Pitäisi lötää formalismi, joka sallisi kaikkien esitettjen transformaatioiden homogeenisen käsitteln. Lineaarialgebra tuntuisi tarjoavan oivan välineen kaikkien lineaaristen muunnosten hoitamiseen matriisikertolaskun avulla: m p Mp m Miksi translaatio ei onnistu? 2 m2 m 22 2D transformaatiot / 5 2D transformaatiot / 6 Muunnosmatriisit (jatkuu) Idea: Viistoutusmuunnos (shearing) toteutti saman x-suuntaisen translaation kaikille samalla -arvolla oleville pisteille. Vakiosiirtmät molempiin suuntiin (x) saataisiin 3-ulotteisessa koordinaatistossa tasolla z-koordinaatin suhteen tehtävällä viistoutusmuunnoksella: Z Z' x.5 z taso z z-akselin viistoutus (x' x +.5 z) saa tasolla (z) psville kuvioille aikaan vakiosiirtmän Muunnosmatriisit (jatkuu) Homogeeniset koordinaatit Laajennetaan n-ulotteisen avaruuden piste n+-ulotteiseksi lisäämällä tekijä w, jolla n-ulotteiset koordinaatit kerrotaan: [ x ] [ wx w w] [ x ], jos w Huom: htä n-ulotteisen avaruuden pistettä esittää nt äärettömän monta n+-ulotteista pistettä eri w:n arvoilla. Ne sijaitsevat origon ja pisteen [ x ] kautta kulkevalla suoralla. Huom2: Pisteet muunnetaan homogeenisista koordinaateista takaisin tavalliseen esitsmuotoon projisoimalla ne tasolle w, eli jakolaskulla: [ wx w w] [ x/w /w] [ x ], jos w 2D transformaatiot / 7 2D transformaatiot / 8 3
4 Muunnosmatriisit (jatkuu) Huom3: ämä mahdollistaa mös äärettömän kaukana olevien pisteiden esittämisen äärellisten koordinaattiarvojen avulla: [ x ] [ x / / ] [ ] Äärettömdessä sijaitsevan pisteen suunta on kuitenkin hvin määritelt, sillä suuntakulman tangentti on laskettavissa. (ällä on kättöä eritisesti 3-ulotteisissa kuvissa.) Huom4: Homogeenisilla koordinaateilla esitetn pisteen voi mmärtää mös vektorina, jonka suunnan määräävät x ja (vektorin ja koordinaattiakselien välisten kulmien kosinit) ja pituuden w(käänteisarvona): [ x w] [ cosα sinα / d] Näin esitett vektori ei muutu, jos kaikki komponentit kerrotaan samalla vakiolla. Sama vektori voidaan siis esittää lläolevassa muodossa kun x 2 + 2, tai vektorisiirtmää vastaavana pisteenä kun w. 2D transformaatiot / 9 Muunnosmatriisit (jatkuu) Kaikki perustransformaatiot voidaan nt ilmaista lineaarimuunnoksina homogeenisille koordinaateille: : w Sx S : w x w S w Huom! Näissä muunnoksissa aina pätee, että w' w Siis jos w, niin voidaan kättää suoraan tavallisia koordinaatteja; muunnetun pisteen koordinaatit saadaan ilman jakolaskua. Esim. 2D transformaatiot / 2 cosϕ sinϕ R : sinϕ cosϕ w w H : H w H x w x + x + w 5. Matriisien hdistäminen (katenointi) Matriisikertolasku on assosiatiivinen, ts. kertolaskulauseke voidaan laskea htä hvin vasemmalta oikealle tai päinvastoin: A(BC) (AB)C. Esim. Kuvion kiertäminen mielivaltaisen pisteen F [ F x F ] mpäri koostuu kolmesta vaiheesta: : Siirretään piste F origoksi translaatiolla [ -F x -F ]. R : Kierretään kuviota kulman verran origon mpäri. : Siirretään origo takaisin translaatiolla [ +F x +F ]. Matriisihdists (jatkuu) Esim2. Kuvion suurentaminen kaksinkertaiseksi (viivasuhteen säilttäen) ja siirtäminen kmmenen ksikköä oikealle: 2 S 2 Jos suurennus tehdään ensin: p' (S)p Kokonaismuunnos saadaan matriisikertolaskuna: p Rp Mp, missä M R Päinvastaisessa järjestksessä: -> eri tulokset p' (S)p 2D transformaatiot / 2 2D transformaatiot / 22 Matriisihdists (jatkuu) Huom. Pisteet voidaan esittää joko pst- tai vaakavektoreina. Matriisikertolaskun suunta on näissä erilainen, esim.: A C x p ; p Mp ; M B D A p [ x ]; p p M ; M C x leisesti matriiseille pätee: (A B) B A B D Matriisihdists (jatkuu) Erikoistapauksia: ranslaatiot summautuvat hteen ( x, ) ( x2, 2 ) ( x + x2, + 2 ) Skaalaukset kertautuvat keskenään S (S x, S ) S (S x2, S 2 ) S (S x S x2, S S 2 ) Rotaatioiden kulmat summautuvat (mutta matriisit eivät) R (ϕ ) R (ϕ 2 ) R (ϕ + ϕ 2 ) Skaalaus- ja kiertomatriisit mielivaltaisen pisteen suhteen ovat muuten samoja kuin vastaavat origon suhteen, mutta matriisiin lisätään kaikista tekijöistä riippuva translaatio 2D transformaatiot / 23 2D transformaatiot / 24 4
5 6. Laskennallisia näkökohtia Käänteismuunnokset Käänteismuunnos palauttaa muunnetun kuvion alkuperäiseksi, ts. M M p p ; M M I ranslaation käänteiskuvaus saadaan vastaavilla negatiivisilla siirtmäarvoilla ( - x, - ) Rotaation käänteismatriisi saadaan saman kulman negatiivisella arvolla. Koska cos(-ϕ) cos(ϕ) ja sin(- ϕ) -sin(ϕ), niin käänteismatriisi on alkuperäisen transpoosi: R (- ϕ) R (ϕ) Käänteinen skaalaus saadaan kättämällä skaalaustekijöiden käänteisarvoja (/S x, /S ) Laskennallisia... (jatkuu) leisen muunnosmatriisin käänteiskuvaus saadaan vain laskemalla käänteismatriisi numeerisesti. Perusmuunnoksista koostuva matriisi voidaan kuitenkin purkaa edellä esitettihin ksinkertaisiin tapauksiin, sillä leisesti pätee: (A B) B A Siis esim. (R S) ( S R ) Huom! käänteismatriisi on olemassa vain, jos determinantti M <>. ämä tarkoittaa, ettei missään vaiheessa ole skaalattu tekijällä, mikä kutistaisi 2-ulotteisen kuvion suoraksi tai pisteeksi. 2D transformaatiot / 25 2D transformaatiot / 26 Laskentanäkökohdat (jatkuu) Numeerisen laskennan tehokkuus Esitett transformaatiot ovat aina muotoa p' M p, missä p on 3-elementtinen vektori ja M on 3x3-matriisi. Kukin p':n elementti on siis 3 p i Mikpk Mip + Mi2p2 + Mi3p k arvitaanko koko matriisikertolaskun suorittamiseksi siis aina 9 kertolaskua ja 6 hteenlaskua? 3 Laskentanäkökohdat (jatkuu) Onneksi ei: Vektorin w-komponenttia ei tarvitse laskea, koska aina w. Samoin osa matriisista on aina nollia tai kkösiä, joilla ei kannata suorittaa kertolaskuja. ädellinen vektorikertolaskun muoto a b c d e f voidaankin redusoida muotoon a b d e c a f d b c + e f eli x' ax + b + c Siis vain: 4 kertolaskua ja ' dx + e + f 4 hteenlaskua! 2D transformaatiot / 27 2D transformaatiot / 28 Laskentanäkökohdat (jatkuu) Vastaavasti 3x3-matriisien välinen kertolasku leisesti vaatisi 27 kertolaskua 8 hteenlaskua mutta transformaatiomatriisien kertolaskulle M m x m2 saadaan lausekkeet: joka voidaan sieventää A aa2 + db2 B ba2 + eb2 C ca2 + fb2 + c2 eli hteensä 2 kertolaskua ja 8 hteenlaskua! D ad2 + de2 E bd2 + ee2 F cd2 + fe2 + f2 7. Muunnoskomennot ohjelmistossa hdistetn muunnoksen M (S R ) suorittava matriisi voidaan määritellä hdellä kertaa komennolla create_transf_matrix (xf, f, sx, s, xr, r, a, tx, t, matrix) Huom. järjests: ensin on skaalaus pisteen (xf, f) suhteen tekijöillä (sx, s) sitten on kierto pisteen (xr, r) mpäri kulman a verran viimeisenä on siirto vektorin (tx, t) verran Muunnoksia voidaan määritellä vaiheittain siten, että aiemmin teht matriisi kerrotaan uudella, M' (S R) M, kättäen komentoa accumulate_transf_matrix (matrix_in, xf, f, sx, s, xr, r, a, tx, t, matrix_out) Parametrit ovat vastaavia kuin edellisessä komennossa, mutta näin määritellllä mariisilla (S R ) kerrotaan matrix_in, ja tulo talletetaan matriisiin matrix_out. 2D transformaatiot / 29 2D transformaatiot / 3 5
6 Muunnoskomennot (jatkuu) Graafisessa järjestelmässä matriiseja voidaan kättää kahdella tavalla muuntaa olemassa olevia graafisia olioita (olio-keskeinen tapa) transform_object (object, matrix) asettaa voimaan muunnos, joka sitten tehdään kaikille möhemmin määriteltäville objekteille (modaalinen, proseduuri-keskeinen tapa) set_transformation (matrix) Muunnokset leensä suoritetaan graafisten primitiivien määritellille pisteille (esim. monikulmion nurkat), ja varsinainen piirtäminen tapahtuu sitten muunnettujen pisteiden perusteella. 8. Graafisten objektien muuntaminen Pisteiden avulla ilmaistut kuviot (Polmarker, Polline, Fill-area) muunnetaan kertomalla kunkin ohjauspisteen koordinaatit muunnos-matriisilla. ekstiprimitiivillä on vain ksi ohjauspiste (tekstin aloituskohta), joka voidaan käsitellä muunnosmatriisilla. Muut geometriset muunnokset on korvattava tekstiattribuuttien vastaavilla muutoksilla (skaalaus vaikuttaa kirjasinkokoon, kierto kirjainten pstvektoriin). Laiteohjaimen tasolla muunnosmahdollisuudet riippuvat tekstin toteutustavasta: laitetasolla toteutettu tekstin piirto on harvoin mahdollista muuten kuin vaakasuoraan ja ennalta määrättinä kokovaihtoehtoina. Rasterimaskeina esitettihin kirjaimiin pätee sama kuin rasteriobjekteihin leensäkin (ks. alla). vektoreina tai kärinä toteutetut kirjaimet voidaan käsitellä täsin samalla tavoin kuin viivapiirrokset (ts. jokainen ohjauspiste muunnetaan erikseen). 2D transformaatiot / 3 2D transformaatiot / 32 Objektien muunnokset (jatkuu) Rasteriobjektien kohdalla muunnosten toteutus voi olla vaikeaa ja epätarkkaa (esim. mielivaltainen kierto ja skaalaus). äsmällisesti onnistuvat vain translaatio ja skaalaus kokonaisluvuilla sekä kierto 9 kerrannaisilla. Muissa tapauksissa on approksimaationa sntvä rasteri antialiasoitava (suodatettava). Rasterikuvioiden käsittelstä Rasterikuviot ovat leensä koordinaattiakselien suuntaisia suorakaiteen muotoisia alueita, jotka esitetään tietokoneessa htenäisinä muistialueina. Perusoperaationa on suorakulmaisen osa-alueen kopiointi muistialueesta toiseen eli Bit Block ransfer (bit-blt). ämä on niin tehokasta, että usein pritään muutkin operaatiot suorittamaan sen avulla pelkkinä siirtoina. Esim. : Mielivaltaisen muotoinen rasterikuvio esitetään mpäröivän suorakaiteen kokoisena rasterina sekä siihen liittvänä vastaavan kokoisena maskina, joka ilmaisee hdellä bitillä kuuluuko kukin pikselin kuvioon Kuviota siirrettäessä kopioidaan kohteena olevaan muistialueeseean (esim. nätön kuvapuskuri) vain ne pikselit, joiden kohdalla maskissa on kkönen 2D transformaatiot / 33 2D transformaatiot / 34 Rasteri... (jatkuu) Esim.2 : Rasterikuvion pörittäminen 9 kulman verran voidaan toteuttaa siten, että neliöalueen neljännesten paikkoja vaihdetaan kiertävässä järjestksessä. oistamalla tätä rekursiivisesti osaneliöiden sisällä saadaan lopulta koko kuvion pikselit oikeille paikoilleen. 2D transformaatiot / 35 6
Luento 2: Transformaatiot (2D)
ietokonegrafiikan perusteet -.43 3 op Luento 2: ransformaatiot (2D) Lauri Savioja /7 2D transformaatiot / Sisältö Perustransformaatiot ransformaatioiden hdistäminen Muunnosmatriisit Laskennallisia näkökohtia
LisätiedotLuento 3: Transformaatiot (2D)
ietokonegrafiikan perusteet -.43 3 op Luento 3: ransformaatiot (2D) Lauri Savioja /5 2D transformaatiot / Sisältö Perustransformaatiot ransformaatioiden hdistäminen Muunnosmatriisit Laskennallisia näkökohtia
LisätiedotLuento 4: 3D Transformaatiot
ietokonegrafiikan perusteet -.43 3 op Luento 4: 3D ransformaatiot Lauri aioja /5 3D transformaatiot / isältö Lineaarialgebran kertausta Geometriset objektit 3D-maailmassa Perustransformaatiot 3D:ssä 3D
LisätiedotAvaruuden muunnokset Jukka Liukkonen 24. joulukuuta 2009
Avaruuden muunnokset Jukka Liukkonen 24. joulukuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Vektorilaskennan kertaus 3 2.1 Vektorit koordinaatistossa........................... 7 3 Siirto 9 3.1 Siirto koordinaatistossa.............................
LisätiedotLuento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
LisätiedotLuento 7: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikka / perusteet Tik-.3/3 4 ov / 2 ov Luento 7: 3D katselu Lauri Savioja /4 3D katselu / Sisältö Koorinaattimuunnokset Kameran ja maailmankoorinaatiston yhteys Perspektiivi 3D katselu / 2
LisätiedotGrafiikka 205. Tässä luvussa käsitellään geometriaa ja graafisia kohteita. Mukana on pääosin alkeisoperaatioita.
Grafiikka 205 9 Grafiikka Tässä luvussa käsitellään geometriaa ja graafisia kohteita. Mukana on pääosin alkeisoperaatioita. 9.1 Kolmio Seuraavana tutkimme kolmiota: Minkä tahansa kolmion ala saadaan kaavasta:
Lisätiedot5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot
5. Grafiikkaliukuhihna: () geometriset operaatiot Johdanto Grafiikkaliukuhihnan tarkoitus on kuvata kolmiulotteisen kohdeavaruuden kuva kaksiulotteiseen kuva eli nättöavaruuteen. aikka kolmiulotteisiakin
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =
3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
Lisätiedot9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt
9 Lineaarikuvaukset, matriisit 9 Vektoriavaruudet Aiemmin olemmme puhuneet tason (R 2 ja kotiavaruuden (R 3 vektoreista Nämä (kuten mös pelkkä R ovat esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista Yleisesti
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
Lisätiedot1. Matemaattiset perusteet
.. Kolmiulotteisten rakenteiden käsittel. Matemaattiset perusteet ietokonegrafiikka perustuu paljolti matemaattiseen laskentaan, jossa kätetään vektoreita ja matriiseja sekä näille lineaarialgebran peruskäsitteitä.
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotLuento 4: Kiertomatriisi
Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 28.9.2004) Luento 4: Kiertomatriisi Mitä pitäisi oppia? ymmärtää, että kiertomatriisilla voidaan kiertää koordinaatistoa ymmärtää, että
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =
LisätiedotJos γ on tylppä, niin. c 2 = h 2 + (b + s) 2 = a 2 s 2 + (b + s) 2 = a 2 + b 2 + 2bs
12 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Lause 1.2.5. Kosinilause: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. Perustelu: a c h γ u b Tapaus: Terävä γ b u = a cos γ c h a s γ b Tapaus: Tlppä γ s = a cos γ Yllä
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotPiste ja jana koordinaatistossa
607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotT-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
LisätiedotOppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotYleistä vektoreista GeoGebralla
Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotEllipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa
Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa Matti Lehtinen 1 Ellipsi, hyperbeli ja paraabeli suorassa Opimme lukion analyyttisen geometrian kurssilla ainakin, jos kävimme lukiota vielä muutama vuosi sitten
Lisätiedot2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?
2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotMatriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.
Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.
LisätiedotToisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö
Toisen asteen kärät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Toisen asteen kärä Toisen asteen käräksi kutsutaan kärää, jonka htälö -ssa on muuttujien
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotEnsimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotSymmetrioiden tutkiminen GeoGebran avulla
Symmetrioiden tutkiminen GeoGebran avulla Tutustutaan esimerkkien kautta siihen, miten geometrista symmetriaa voidaan tutkia ja havainnollistaa GeoGebran avulla: peilisymmetria: peilaus pisteen ja suoran
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotTRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
LisätiedotSijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari
MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotSeuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Lisätiedot6.1 Lineaarinen optimointi
6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit
Lisätiedot6.6. Tasoitus ja terävöinti
6.6. Tasoitus ja terävöinti Seuraavassa muutetaan pikselin arvoa perustuen mpäristön pikselien ominaisuuksiin. Kuvan 6.18.a nojalla ja Lukujen 3.4. ja 3.5. harmaasävjen käsittelssä esitellillä menetelmillä
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
Lisätiedotdx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.
BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotLuento 2: 2D Katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 2: 2D Katselu Lauri Savioja 11/07 2D katselu / 1 Sisältö Ikkuna ja näyttöalue Viivanleikkaus ikkunaan Monikulmion leikkaus ikkunaan Tekstin leikkaus
LisätiedotKonformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006
Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset
Lisätiedotz Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)
. Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Lisätiedot3D animaatio: liikekäyrät ja interpolointi. Tommi Tykkälä
3D animaatio: liikekäyrät ja interpolointi Tommi Tykkälä Läpivienti Keyframe-animaatio Lineaarisesta interpoloinnista TCB-splineihin Bezier-käyrät Rotaatioiden interpolointi Kameran animointi Skenegraafit
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotLineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit
Lineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit A. Sinin, kosinin ja tangentin laajennetut määritelmät 1. Määritä ao. yksikköympyrän avulla a) sin(120 o ) b) cos(180 o ) (piirrä kulman kylki, ja lue kuvasta
LisätiedotPOIKKIPINNAN GEOMETRISET SUUREET
1.10.018 POIKKIPINNAN GEOMETRISET SUUREET KOORDINAATISTON VALINTA: x akseli sauvan tai palkin akselin suuntainen akseli alaspäin akseli siten, että muodostuu oikeakätinen koordinaatisto Pintamomentti (pinnan
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
Lisätiedot