T Privacy amplification

Transkriptio

1 T Privacy amplification Ari Nevalainen T Privacy amplification 1/25

2 ALKUTILANNE Alkutilanne. Kaksi erikoistapausta. Yleinen tapaus. Yhteenveto. T Privacy amplification 2/25

3 ALKUTILANNE Alice ja Bob jakavat merkkijonon. a = {a 1,a 2,...,a n } Merkkijonosta on korjattu virheet käyttämällä korjausmatriisia H. Alice ja Bob tietävät virheiden esiintymistaajuuden. Eve tuntee korjausmatriisin ja sen avulla lasketut "syndromet". Even Rényi informaatio merkkijonosta a on korkeintaan t. T Privacy amplification 3/25

4 Eve tietää t bittiä Alice ja Bob tekevät uuden merkkijonon. α T = G a T ( ) G = a = ( ) a a 2 a 3 a 4 α = ( a 1 + a 2 + a 3 a 2 + a 3 + a 4 ) Eve tietää: α 1 + α 2 = a 1 + a 4. G täytyy valita huolellisesti. T Privacy amplification 4/25

5 Eve tietää t bittiä Teoreema 5.2.1: a Z n 2. Eve tietää t bittiä. Alice ja Bob valitsevat matriisin G joka generoi [n, k] lineaarikoodin C Z n 2, jonka minimipaino on w, ja laskevat uuden merkkijonon α T = G a T. Jos w > t niin Eve ei tiedä mitään α:sta. T Privacy amplification 5/25

6 Eve tietää t bittiä G i on matriisin rivi i β i Z 2 c C i α i = β 1 α β k α k = β 1 G i a T +...+β k G k a T =(β 1 G β k G k ) a T = c T a T w( c) > t Jokainen i α i sisältää Evelle tuntemattoman a i. T Privacy amplification 6/25

7 Eve tietää pariteetteja. Eve tietää korjausmatriisin H ja lasketut "syndromet", jotka Alice ja Bob ovat vaihtaneet julkisella kanavalla. S = H a T = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 T Privacy amplification 7/25

8 Eve tietää pariteetteja. "Syndromet" ovat summia joissa vain yksi tarkastusbitti on aina mukana a 1 + a 2 + a 3 + a 5 a 1 + a 2 + a 4 + a 6 = a 2 + a 3 + a 4 + a 7 s 1 s 2 s 3 Alice ja Bob tekevät uuden merkkijonon α poistamalla bitit a 5, a 6 ja a 7. Eve ei voi päätellä "syndromien" avulla mitään. T Privacy amplification 8/25

9 Eve tietää pariteetteja. Example: a = (1 1). Alice lähettää Bobille H = (1 1) s = 0. Poistamalla viimeisen 1 Bob muodostaa α = 1. Jos Eve tietää, että a (0 0) Eve voi päätellä, että α = 1. T Privacy amplification 9/25

10 Even tieto ei ole determinististä. P((a 1 + a 6 + a 17 ) 0(mod 2)) = 0.75 Even Rényi informaatio on korkeintaan t bittiä. Alice ja Bob voivat arvioida t suuruuden olevan väärin vastaanotettujen bittien määrä. Alicen ja Bobin tavoite on pitää Even Shannon informaatio uudesta merkkijonosta α mahdollisimman pienenä. T Privacy amplification 10/25

11 REFERENCES: Bennet, Brassard, Crépeau ja Mauer. Generalized Privacy Amplification. IEE Transactions on information theory, VOL. 41, NO. 6. November T Privacy amplification 11/25

12 Todennäköisyys sille, että kaksi riippumattomasti jakaumasta X saatua x ovat samat: P c (X) = x X P(x) 2 Toisen kertaluvun Rényi entropia: R(X) = log 2 (P c (X)) = log 2 (E[P(X)]) Esim: X = {1,0} k, P( x i = 1,0) = 0.5,0.5 R(X) = log 2 ( (P( x)) 2 ) = k x X T Privacy amplification 12/25

13 Shannon entropia: H(x) = E[log 2 (P(X))] Jenssenin epäyhtälö konveksille funktiolle φ: φ( a i x i a i ) a i φ(x i ) a i log 2 (x) on konveksi funktio. log 2 (E[x]) E[log 2 (x)] R(x) H(x) T Privacy amplification 13/25

14 G on satunnaismuuttuja [k,n]binäärimatriisille g : {0,1} n {0,1} k H(G(X) G) R(G(X) G) k log 2 (1+2 k R(X) ) k (2k R(X) ) ln(2) T Privacy amplification 14/25

15 R(G(X) G) = g P(g)R(G(X) G = g) Jensen epäyhtälöstä: = g P(g)( log 2 (P c (G(x) G = g)) log 2 ( g P(g)P c (G(X) G = g)) T Privacy amplification 15/25

16 log 2 ( g P(g)P c (G(X) G = g)) log 2 (P c (X)+(1 P c (X))2 k ) P c (X) on todennäköisyys, että x 1 = x 2, eli G(x 1 ) = G(x 2 ). (1 P c (X)) on todennäköisyys sille että x 1 x 2 ja silti G(x 1 ) = G(x 2 ). Tämä tapahtuu todennäköisyydellä 2n k 2 = 2 k n T Privacy amplification 16/25

17 Koska:P c (X) = 2 log 2(P c (X)) = 2 R(X) log 2 (P c (X)+(1 P c (X))2 k ) = log 2 (2 R(X) +(1 2 R(X) )2 k ) > log 2 (2 R(X) + 2 k ) = log 2 (2 k (1+2 k R(X) )) = k log 2 (1+2 k R(X) ) T Privacy amplification 17/25

18 Yhteensä: H(G(X) G) k 2k R(X) ln(2) T Privacy amplification 18/25

19 Eve salakuuntelee ja saa informaatiota V = ε(a) ε : {0,1} n {0,1} t v {0,1} t c v = v = ε( a A) C v on lukumäärä vektoreille a niin, että ε( a) = v P(A = a V = v) = 1 c v T Privacy amplification 19/25

20 Törmäys todennäköisyys vektorille a kun V = v P c (A V = v) = c v ( 1 c v ) 2 = 1 c v R(A V = v) = log 2 (c v ) Sijoitetaan yhtälöön:h(g(x) G) k 2k R(X) ln(2) Saadaan: H(G(A) G,V = v) k 2k log 2c v ln(2) T Privacy amplification 20/25

21 Alice ja Bob valitsevat: t=virheellisesti vastaanotettujen bittien määrä. s=varmuustekijä Alice ja Bob arpovat [k = n t s,n]matriisin G. Uusi merkkijono α = G(A) H(α G,V = v) k 2k c v ln(2) T Privacy amplification 21/25

22 Keskiarvona yli kaikkien v kun erilaisia vektoreit a on 2 n kpl, P( v) = c v 2 n H(α G,V) = P( v)h(α G,V = v) v {0,1} t T Privacy amplification 22/25

23 Yhteis informaatio: I(α;GV) = H(α) H(α GV) k P( v)h(α G,V = v) v {0,1} t c v 2 n 2k c v {0,1} t v ln(2) 2 n+t+k ln(2) = 2 s ln(2) T Privacy amplification 23/25

24 s on varmuus tekijä Alicelle ja Bobille. Kun s kasvaa yhdellä niin yläraja informaatiolle, jonka Eve tietää, pienenee tekijällä 2. Even informaatio k-merkkijonosta α on korkeintaan 2 s ln(2). 2 s ln(2) ei sisällä merkkijonon a pituutta n. T Privacy amplification 24/25

25 Yhteenveto. Even tieto n-mittaisesta merkkijonsta a ei ole determinististä. Alice ja Bob voivat arvioida Even informaation yläräjaksi väärin vastaanotettujen bittien määrän t. Valitaan varmuustekijä s. Arvotaan [n s t,n] binääri matriisi G. Uusi salattu k-merkkijono on α T = G a T. Uutta merkkijonoa voidaan generoida samalla nopeudella, kuin viestiä lähetetään. Tuloksena on one-time pad tasoinen salaus. Alicen ja Bobin saavuttama yksityisyys ei ole determinististä. T Privacy amplification 25/25