2. Laskettavuusteoriaa

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2. Laskettavuusteoriaa"

Transkriptio

1 2. Laskettavuusteoriaa Kaymme lapi ratkeamattomuuteen liittyvia ja perustuloksia ja -tekniikoita [HMU luku 9]. Taman luvun jalkeen opiskelija tuntee joukon keskeisia ratkeamattomuustuloksia osaa esittaa tyypillisia Turingin koneisiin liittyvia ongelmia formaalisti ja tarkastella niiden ratkeavuutta tunnettujen tulosten valosssa osaa yhdistaa kaytannon algoritmiongelmia tunnettuihin formaaleihin ratkeamattomuustuloksiin osaa tehda yksinkertaisia ratkeamattomuustodistuksia 82

2 Palautetaan mieliin terminologiaa: Kieli L koneella M. on rekursiivisesti lueteltava jos A = L(M) jollain Turingin Turingin kone on totaalinen jos se pysahtyy kaikilla syotteilla. (Joissain lahteissa kaytetaan termia "algoritmi" spesisti tallaisista koneista.) Kieli L koneella M. on rekursiivinen jos A = L(M) jollain totaalisella Turingin Vastaavasti Paatosongelma :! f 0; 1 g on osittain ratkeava jos vastaava kieli A = f x 2 j (x) = 1 g on rekursiivisesti lueteltava. Paatosongelma on ratkeava jos A on rekursiivinen. 83

3 Termien selityksia "rekursiivinen" tulee siita etta tama kieliluokka historiallisesti vakiintui Kleenen ja Godelin rekursiokonstruktion kautta "lueteltava" tulee siita etta A on rekursiivisesti lueteltava jos ja vain jos on olemassa "algoritmi" joka "luettelee" joukon A alkiot (ja vain ne) { jos x 2 A niin x esiintyy luettelossa jonkin aarellisen ajan kuluttua ja asia on selva { jos x 62 A niin x ei tule koskaan esiintymaan luettelossa, mutta tatahan ei voi tietaa pelkastaan katsomalla jotain luettelon aarellista alkuosaa Luetteloimisidea esitetaan myohemmin yksityiskohtaisemmin. Huom. kaikista laskennallisista ongelmista vain haviavan pieni osa on edes osittain ratkeavia, mutta tietojenkasittelytieteessa tietysti yleensa keskitytaan ratkeaviin ongelmiin. 84

4 Churchin-Turingin teesin mukaan ratkeavuus tarkoittaa samaa, kuin etta ongelma voidaan ratkaista jollain algoritmisella menettelylla. Esitamme jatkossa joukon Turingin koneita koskevia eksakteja matemaattisia tuloksia, mutta jos uskomme C-T:n teesin, nailla on siis yleisempia seurauksia. C-T:n teesi oikeastaan motivoi koko taman tutkimusohjelman, koska muuten Turingin koneet eivat valttamatta olisi kovin kiinnostava tutkimuskohde. (Tosin voidaan kumminkin argumentoida, etta Turingin kone on oikea malli sille mita ihminen voi mekaanisesti laskea, ja mita nykyiset tietokoneet voivat laskea.) Joka tapauksessa on kuitenkin selvaa, etta jos ongelma osataan ratkaista esim. Java-kielella, se voidaan ratkaista myos Turingin koneella (vrt. RAM-malli luvussa 1). Samoin joka tapauksessa jonkin ongelman ratkeamattomuuden osoittaminen on aina ei-triviaalia, koska pitaa osoittaa etta mikaan Turingin kone ei ratkaise sita. 85

5 Formaalin logiikan todistuvuusongelma (Motivoiva esimerkki yleisella tasolla; yksityiskohdat ks. esim. Matemaattinen logiikka) Annettu: ensimmaisen kertaluvun predikaattilogiikan kaava Kysymys: onko kaavalle olemassa todistus predikaattilogiikan aksioomista Voidaan "helposti" luetella kaikki logiikan aakkoston merkkijonot esim. leksikograsessa jarjestyksessa ja tarkistaa, sattuuko kyseinen merkkijono olemaan todistus jollekin kaavalle. Jos kaavalle ylipaansa on olemassa todistus, se loytyy jossain aarellisessa ajassa talla menettelylla. Siis todistuksen omaavien kaavojen joukko on rekursiivisesti lueteltava, ja todistuvuusongelma osittain ratkeava. Kuitenkin osoittautuu, etta todistuvuusongelma ei ole ratkeava. Emme siis voi taysin kiertaa sita ongelmaa, etta edella hahmoteltu ratkaisu ei pysahdy, jos kaavalla ei ole todistusta. 86

6 Pysahtymisongelma (johdanto) [HMU 9.1] Intuitiivisesti on kysymys seuraavasta ongelmasta: Annettu: Turingin kone M, merkkijono x Kysymys: pysahtyyko kone M syotteella x Tavoitteena on osoittaa tama ongelma ratkeamattomaksi. Ensimmainen osatavoite, puhtaasti tekninen ja kasitteellisesti yksinkertainen, on esittaa Turingin koneet merkkijonoina. Muutenhan niista ei olisi formaalisti mielekasta edes puhua algoritmin syotteena tms. Esitamme siis seuraavaksi yksinkertaisen koodauksen, joka liittaa jokaiseen Turingin koneeseen M = (Q; : : : ; F) merkkijonon w 2 f 0; 1 g ja kaantaen. 87

7 Turingin koneiden koodaus Rajoittaudutaan yksinauhaisiin koneisiin ja syoteaakkostoon = f 0; 1 g. Lisaksi oletetaan etta hyvaksyvia tiloja on tasan yksi ja se ei ole alkutila. Numeroidaan aakkoston f 0; 1 g merkkijonot siten, etta merkkijonon w numero on 1w binaariluvuksi tulkittuna. Olkoon w i merkkijono numero i; siis w 1 = ", w 2 = 0, w 3 = 1, w 4 = 00, w 5 = 01 jne. Oletetaan nyt M = (Q; f 0; 1 g ; ; ; q 1 ; #; F ) missa jqj = k, Q = f q 1 ; : : : ; q k g ja F = f q 2 g j j = m 3, = f X 1 ; : : : ; X m g, X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = # suunnat on numeroitu L = D 1 ja R = D 2 88

8 Nyt kaikki muu paitsi on numeroitu. koodataan yksittainen siirtyma (q i ; X j ) = (q k ; X l ; D m ) jonoksi 0 i 10 j 10 k 10 l 10 m huom. i; j; k; l; m 1 joten tassa ei koskaan tule kahta ykkosta perakkain merkkijono C 1 11C 2 11 : : : C n 1 11C n on koodi koneelle jossa on n siirtymaa joiden koodit ovat C 1 ; : : : ; C n Huomaa etta samalla koneella on tyypillisesti useita eri koodeja yksi merkkijono ei kuitenkaan voi koodata useita eri koneita jotkin merkkijonot eivat ole minkaan koneen koodeja 89

9 Olkoon M triv jokin kiintea Turingin kone joka hylkaa kaikki syotteet. Maaritellaan kaikille w 2 f 0; 1 g Turingin kone M w seuraavasti: jos w on jonkin koneen M koodi, niin M w on tama M muuten M w = M triv Aputuloksena pysahtymisongelman ratkeamattomuustodistuksessa osoitetaan, etta "diagonaalikieli" ei ole edes rekursiivisesti lueteltava. L d = f w 2 f 0; 1 g j w 62 L(M w ) g Kieli L d on hieman keinotekoinen. Sen merkitys on lahinna, etta sen avulla voidaan osoittaa muita kiinnostavampia ongelmia ratkeamattomaksi. 90

10 Analogia: Koodit ja ohjelmointikielet Eras mahdollinen analogia on seuraava: Tulkitaan, etta ohjelma hyvaksyy syotteen, jos sen suoritus paattyy normaalisti, ja hylkaa jos suoritus paattyy virheeseen. Lisaksi ohjelma voi jaada silmukkaan. Nyt Turingin kone M konekieliohjelma merkkijono w 2 f 0; 1 g ASCII-merkkijono (esim. C-ohjelma) M w ohjelma w kaannettyna M triv konekieliohjelma joka aina jakaa nollalla Lisaksi sovimme, etta M w = M triv C-ohjelma. jos w ei ole syntaktisesti korrekti Nyt C-ohjelma kuuluu joukkoon L d, jos se ei pysahdy normaalisti, kun (se kaannetaan ja) siille annetaan syotteena oma lahdekoodinsa. Huom. C-kieli ja konekieli ovat yhta "laskentavoimaisia", joten analogia voitaisiin ajatella toisinkin pain: konekieliohjelmasta voidaan kaantaa C-ohjelma. 91

11 Lause 2.1: [HMU Thm. 9.2] Kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L d = f w 2 f 0; 1 g j w 62 L(M w ) g Todistus: Tehdaan vastaoletus etta L d = L(M) jollain M. Olkoon w jokin koneen M koodi; siis L d = L(M w ). Nyt w 2 L d, w 62 L(M w ), w 62 L d missa on ensin kaytetty kielen L d maaritelmaa ja sitten koodin w valintaperustetta; ristiriita. Nyt olemme saaneet ensimmaisen konkreettisen ratkeamattomuustuloksen. Jatkossa osoitamme suurelle joukolle ongelmia X, etta jos X osattaisiin ratkaista, niin L d voitaisiin tunnistaa. Tasta seuraa ongelman X ratkeamattomuus yo. lauseen nojalla. 92

12 Huomaa, etta edellisessa todistuksessa ei viela puhuttu mitaan Turingin koneista. Se on vain esimerkki yleisesta diagonalisoinnista: Jos A 1 ; A 2 ; : : : on mika tahansa jono kielia, voidaan muodostaa kieli B, missa Talloin B 62 f A 1 ; A 2 ; : : : g. w i 2 B jos ja vain jos w i 62 A i : Jatkossa tulee tarkeaksi, etta olemme valinneet nimenomaan A i = L(M wi), jolloin siis B = L d. Karkeasti ottaen tasta valinnasta seuraa, etta jos osaisimme algoritmisesti vastata kysymykseen pateeko x 2 L(M w ) mielivaltaisilla x ja w, osaisimme myos vastata kysymykseen pateeko x 2 L d, joka on (negaatiota vaille) edellisen kysymyksen erikoistapaus x = w. Edellisen lauseen perusteella tama on kuitenkin mahdotonta. 93

13 Rekursiivisuuden perusominaisuuksia [HMU ] Ennen kuin ruvetaan tarkastelemaan varsinaisen pysahtymisongelman ratkeamattomuutta, on hyodyllista tarkastella rekursiivisten kielten luokan joitain perusominaisuuksia. Oletetaan jatkossa etta Turingin koneissa on tasan yksi hyvaksyva tila, ja tasta ei mitaan siirtymia tasan yksi sellainen ei-hyvaksyva tila, josta ei ole mitaan siirtymia (hylkaava lopputila) muuten kaikki siirtymat maariteltyja On helppo muuntaa mika tahansa Turingin kone tallaiseen muotoon. 94

14 Lause 2.2: Olkoot A; B rekursiivisia. Nyt myos A = A, A [ B ja A \ B ovat rekursiivisia. Todistus: Olkoon A = L(M A ) ja B = L(M B ) missa M A ja M B totaalisia. ovat Esitetaan Turingin koneet kaavamaisesti: alkutila hyvaksyva M hylkaava 95

15 Kielen A hyvaksyva kone saadaan vaihtamalla koneen M A hyvaksyva ja hylkaava lopputila keskenaan Kielen A [ B hyvaksymiseksi simuloidaan ensin konetta M A. { jos M A hyvaksyy, niin hyvaksytaan { jos M A hylkaa, niin simuloidaan konetta M B, jonka ratkaisu jaa voimaan (kuva seuraavalla sivulla) Tapaus A \ B seuraa koska A \ B = A [ B 96

16 MA MB Kielen A [ B tunnistaminen koneiden M A ja M B avulla 97

17 Lause 2.3: Olkoot A; B rekursiivisesti lueteltavia. Nyt myos A [ B ja A \ B ovat rekursiivisesti lueteltavia. Todistus: Harjoitustehtava. Sen sijaan yleisesti ei pade etta rekursiivisesti lueteltavan kielen A komplementti A olisi rekursiivisesti lueteltava. Sen sijaan patee Lause 2.4: Kieli A on rekursiivinen jos ja vain jos seka A etta A ovat rekursiivisesti lueteltavia. 98

18 Todistus: Jos A rekursiivinen, niin A on rekursiivinen, joten suunta vasemmalta oikealle on selva. Olkoot toisaalta M A ja M A koneet jotka tunnistavat kielet A ja A. Muodostetaan kaksinauhainen kone M, joka on totaalinen ja tunnistaa kielen A. Kone M simuloi konetta M A kayttaen ykkosnauhaansa ja konetta M A kayttaen kakkosnauhaansa. Simulaatiot suoritetaan lomittain, aina yksi askel kerrallaan kumpaakin. Jos simuloitava M A hyvaksyy, M hyvaksyy. Jos simuloitava M A hyvaksyy, M hylkaa. Koska jokaisella x joko x 2 L(M A ) tai x 2 L(M A ), aina tasan yksi simulaatioista hyvaksyy. (kuva seuraavalla sivulla) 99

19 MA M A Kielen A tunnistaminen totaalisella koneella jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia 100

20 Formalistisemmin tulos voidaan esittaa seuraavasti: Olkoon RE rekursiivisesti lueteltavien kielten joukko: RE = f L(M) j M mielivaltainen Turingin koneg : Olkoon co-re rekursiivisesti lueteltavien kielten komplemettien joukko: co-re = A j A 2 RE : Olkoon REC rekursiivisten kielten joukko: Edella esitetyn mukaan REC = f L(M) j M totaalinen g : REC = RE \ co-re: 101

21 Huomaa yhteys "rekursiivisen luettelemisen" ajatukseen: Oletetaan, etta jokin "algoritmi" M A osaa luetella kielen A; samoin M A kielelle A. Kun halutaan tietaa pateeko x 2 A, listataan rinnakkain joukkoja A ja A. Koska joko x 2 A tai x 2 A, niin jonkin aarellisen ajan kuluttua x esiintyy jommassa kummassa listassa ja vastaus tiedetaan. Myos A-lista tarvitaan, jotta voidaan taata pysahtyminen myos kielteisessa tapauksessa. 102

22 Universaalikieli [HMU ] Seuraava askel kohti pysahtymisongelman ratkeamattomuutta on universaalikieli L u joka on muutenkin hyvin tarkea: Huom. L u = f w111x 2 f 0; 1 g j x 2 L(M w ) g : mikaan Turingin koneen koodi ei sisalla merkkijonoa 111 siis merkkijono z 2 f 0; 1 g voidaan esittaa korkeintaan yhdella tavalla muodossa z = w111x siten, etta w on validi Turingin koneen koodi jos w ei ole validi koodi, edella sovitun mukaan x 62 L(M w ) kaikilla x Osoitamme nyt etta universaalikieli on rekursiivisesti lueteltava, mutta ei rekursiivinen. Kielen L u tunnistavaa Turingin konetta U sanotaan universaaliksi Turingin koneeksi. (Universaalikone ei tietenkaan ole yksikasitteinen.) 103

23 Lause 2.5: [HMU Thm. 9.6(a)] Universaalikieli L u on rekursiivisesti lueteltava. Todistus: Muodostetaan nelinauhainen U jolle L u = L(U). Nauhojen kaytto syotteella z = w111x missa w on koneen M koodi: Nauha 1 sisaltaa syotteen z ja siis erityisesti koneen M siirtymafunktion koodin w Nauha 2 simuloi koneen M nauhan sisaltoa kayttaen samaa koodausta kuin siirtymafunktiossa; siis esim. patkaa : : : X 3 X 1 X 4 : : : esittaisi : : : : : : Nauha 3 simuloi koneen M tilaa; tila q i koodataan 0 i Nauha 4 on tyotilaa 104

24 Koneen U laskenta: Aluksi tarkista, onko syote muotoa w111x jollain validilla koodilla w. Jos ei ole, niin hylkaa. Muuten rupea simuloimaan konetta M = M w syotteella x. Kussakin askelessa 1. Olkoon nauhalla 3 jono : : : #0 i # : : : ja nauhalla 2 nauhapaasta alkaen jono 0 j Etsi koneen M kuvauksesta nauhalla 1 kohta : : : 110 i 10 j 1 : : :; jos ei loydy, niin hylkaa. 3. Olkoon nauhalta 1 loytynyt jono : : : 110 i 10 j 10 k 10 l 10 m 11 : : :. 4. Vaihda nauhan 3 sisalloksi 0 k ja nauhalle 2 nauhapaasta alkaen 0 l ; siirra nauhan 2 loppuosuutta tarpeen mukaan. 5. Siirra nauhan 2 nauhapaa seuraavaan ykkoseen vasemmalla (jos m = 1) tai oikealla (jos m = 2). 6. Jos q k on hyvaksyva tila (siis k = 2), hyvaksy. 105

25 Lause 2.6: [HMU Thm. 9.6(b)] Universaalikieli L u ei ole rekursiivinen. Seuraavalla kalvolla on varsinainen todistus, jossa kaytetaan tasmallisemmin Turingin kone -formalismia. Todistuksen idea on seuraava: Tehdaan vastaoletus, etta kieli L u = f w111x j x 2 L(M w ) g voidaan tunnistaa totaalisella Turingin koneella. Tama tarkoittaa, etta on olemassa kaikilla syotteilla x ja w pysahtyva proseduuri p(w; x), joka palauttaa tosi joss x 2 L(M w ). Nyt seuraava proseduuri q(w) palauttaa tosi joss w 2 L d (eli w 62 L(M w )): q(w): jos p(w; w) niin palauta epatosi muuten palauta tosi Tama on ristiriita, koska L d ei ole rekursiivinen (eika edes rekursiivisesti lueteltava). 106

26 Todistus: Tehdaan vastaoletus etta L u = L(M) jollain totaalisella M. Muodostetaan totaalinen M 0 jolle L(M 0 ) = L d, missa L d on aiemmin ei-rekursiiviseksi osoitettu diagonaalikieli; ristiriita. Kone M 0 toimii syotteella w seuraavasti: 1. Jos w ei ole validi koodi, hyvaksy. 2. Muuten muunna nauhan sisalloksi w111w. 3. Simuloi koneen M laskentaa; oletuksen mukaan tama johtaa joko hylkaavaan tai hyvaksyvaan lopputilaan. 4. Jos M hyvaksyy, niin hylkaa; jos M hylkaa, niin hyvaksy. Nyt w 2 L(M 0 ), (w ei validi koodi tai w111w 62 L u ), w 62 L(M w ), w 2 L d : 107

27 Pysahtymisongelma Voimme nyt formuloida pysahtymisongelman kieleksi H = f w111x 2 f 0; 1 g j w validi koodi ja M w pysahtyy syotteella x g : Lause 2.7: Kieli H on rekursiivisesti lueteltava. Todistus: Universaalikoneen U konstruktiota on helppo muuttaa siten etta se hyvaksyy jos ja vain jos simuloitavan koneen laskenta pysahtyy. Lause 2.8: Kieli H ei ole rekursiivinen. Todistus: Tehdaan vastaoletus etta H = L(M) jollain totaalilla M. Tasta saadaan helposti sellainen totaali M 0, etta L(M 0 ) = H ja hyvaksyessaan syotteen x kone M 0 jattaa laskennan lopuksi nauhalle alkuperaisen syotteen tyhjamerkkien ymparoimana. 108

28 Tasta saadaan totaalinen kone M 00 seuraavasti: joka tunnistaa universaalikielen L u 1. Tarkista etta syote on muotoa w111x missa w on validi koodi; jos ei ole, niin hylkaa. 2. Simuloi sitten konetta M 0 ; jos hylkasi niin hylkaa. 3. Jos M 0 hyvaksyi, kasittele sama syote universaalikoneella U, jonka hyvaksyminen tai hylkaaminen jaa voimaan. Universaalikoneen konstruktiosta nahdaan, etta U pysahtyy syotteella w111x jos ja vain jos M w pysahtyy syotteella x. Siis M 00 on totaali ja tunnistaa saman kielen kuin U; ristiriita 109

29 Seuraava ongelma on oleellisesti pysahtymisongelman komplementti eika siis edes osittain ratkeava. Lause 2.9: "Pysahtymattomyysongelma" e H missa eh = f w111x j w validi koodi, M w ei pysahdy syotteella x g ei ole rekursiivisesti lueteltava. Todistus: Pysahtymisongelman komplementti H voidaan esittaa muodossa H = e H [ E missa E = f z 2 f 0; 1 g n j z ei ole w111x millaan validilla koodilla w g : Selvasti E on rekursiivinen Siis jos e H olisi rekursiivisesti lueteltava, myos H = e H [ E olisi (Lause 2.3). Kieli H on rekursiivisesti lueteltava, joten jos H myos olisi, niin H olisi rekursiivinen (Lause 2.4); ristiriita. Siis e H ei voi olle rekursiivisesti lueteltava 110

30 Ohjelmointikielen pysahtymisongelma Turingin koneet ovat analogisia jollain ohjelmointikielella kirjoitettujen ohjelmien kanssa: Turingin kone -formalismi jonkin ohjelmointikieli Turingin kone talla kielella kirjoitettu ohjelma Turingin koneen koodi ohjelma kaannettyna konekielelle universaali Turingin kone konekielen tulkki joitain ohjelmointikielten ratkeamattomuustuloksia voidaan katevasti osoittaa suoraan (kuten johdannossa C-kielen pysahtymisongelma) voidaan myos kayttaa hyvaksi Turingin koneiden ja minka tahansa yleisohjelmointikielen samaa ilmaisuvoimaa ja siirtaa tulokset Turingin koneista ohjelmointikieliin "sama ilmaisuvoima" tarkoittaa tassa, etta mika tahansa ongelma voida ratkaista Turingin koneella jos ja vain jos se voidaan ratkaista kyseisella ohjelmointikielella 111

31 Esimerkki 2.10: C-kielen pysahtymisongelma Rajoitutaan tarkastelemaan C-kielen funktioita jotka saavat parametrina yhden merkkijonon ja palauttavat 0 tai 1 tai jaavat silmukkaan. Sanotaan etta tallainen funktio f hyvaksyy merkkijonon x jos f(x) palauttaa 1, ja on totaalinen jos f(x) pysahtyy kaikilla x. Ollaan valmiit uskomaan, etta kieli A voidaan tunnistaa (totaalisella) Turingin koneella jos ja vain jos se voidaan tunnistaa tallaisella (totaalisella) C-funktiolla. Taman uskomuksen tarkka perusteleminen vaatisi tietysti C-kielen semantiikan tarkkaa lapikaymista, mutta intuitiivisesti se on "selvasti" totta (vrt. RAM-malli). Halutaan osoittaa Turingin koneiden pysahtymisongelmalle analoginen tulos: mikaan totaalinen C-funktio ei tunnista kielta H C = f w x j w on C-funktio joka syotteella x pysahtyy g 112

32 Argumentti menee paapiirtessaan seuraavasti: koska C on yhta ilmaisuvoimainen kuin Turingin koneet, voidaan Turingin koneiden universaalikieli L u tunnistaa jollain (ei-totaalisella) C-funktiolla univt siis kysymykset Turingin koneen M w toiminnasta syotteella x palautuvat kysymyksiksi C-funktion univt toiminnasta syotteella w111x. erityisesti jos jokin C-funktio halts ratkaisisi C-funktioiden pysahtymisongelman, niin tata kautta se ratkaisisi myos Turingin koneiden pysahtymisongelman koska toisaalta Turingin koneet ovat yhta ilmaisuvoimaisia kuin C-funktiot, funktiota halts voitaisiin simuloida Turingin koneella nain saataisiin ratkaistuksi Turingin koneiden pysahtymisongelma; ristiriita 113

33 Esitetaan sama hieman yksityiskohtaisemmin. Vastaoletus siis on, etta jokin totaalinen C-funktio haltsc ratkaisee C-kielen pysahtymisongelman. "Tunnetusti" on olemassa C-funktio f u joka simuloi universaalia Turingin konetta U. Siis erityisesti f u syotteella w111x pysahtyy, jos ja vain jos M w syotteella x pysahtyy. Olkoon haltst C-funktio, joka syotteella z tekee kutsun haltsc(p*z) missa p on funktion f u teksti (joka siis on jokin merkkijonovakio). Tama on helppo konstruoida, kun haltsc oletetaan annetuksi. Siis haltst on totaalinen, ja funktiota haltsc koskevan oletuksen mukaan haltst(w111x) = 1, haltsc(p w111x) = 1, f u (w111x) pysahtyy, w111x 2 H: Toisaalta on selvasti olemassa totaalinen Turingin kone M H C-funktiota haltst. Siis M H ratkaisee Turingin koneiden pysahtymisongelman; ristiriita. joka simuloi 114

2. Laskettavuusteoriaa

2. Laskettavuusteoriaa 2. Laskettavuusteoriaa Käymme läpi ratkeamattomuuteen liittyviä ja perustuloksia ja -tekniikoita [HMU luku 9]. Tämän luvun jälkeen opiskelija tuntee joukon keskeisiä ratkeamattomuustuloksia osaa esittää

Lisätiedot

Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia

Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia Lause: Pysähtymättömyysongelma H missä H = { w111x w validi koodi, M w ei pysähdy syötteellä x } ei ole rekursiivisesti lueteltava. Todistus: Pysähtymisongelman komplementti

Lisätiedot

M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej )

M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej ) 6. LASKETTAVUUSTEORIAA Churchin Turingin teesi: Mielivaltainen (riittävän vahva) laskulaite Turingin kone. Laskettavuusteoria: Tarkastellaan mitä Turingin koneilla voi ja erityisesti mitä ei voi laskea.

Lisätiedot

Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen.

Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen. Lause: Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia,

Lisätiedot

Kielenä ilmaisten Hilbertin kymmenes ongelma on D = { p p on polynomi, jolla on kokonaislukujuuri }

Kielenä ilmaisten Hilbertin kymmenes ongelma on D = { p p on polynomi, jolla on kokonaislukujuuri } 135 4.3 Algoritmeista Churchin ja Turingin formuloinnit laskennalle syntyivät Hilbertin vuonna 1900 esittämän kymmenennen ongelman seurauksena Oleellisesti Hilbert pyysi algoritmia polynomin kokonaislukujuuren

Lisätiedot

Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1]

Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Yleisesti sanomme, että ongelma P voidaan palauttaa ongelmaan Q, jos mistä tahansa ongelmalle Q annetusta ratkaisualgoritmista voidaan jotenkin muodostaa ongelmalle

Lisätiedot

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen.

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. 6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = { M pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti

Lisätiedot

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Antti-Juhani Kaijanaho 10. joulukuuta 2015 1 Diagonaalikieli Diagonaalikieli on D = { k {0, 1} k L(M k ) }. Lause 1. Päätösongelma Onko k {0, 1} sellaisen

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

5.3 Ratkeavia ongelmia

5.3 Ratkeavia ongelmia 153 5.3 Ratkeavia ongelmia Deterministisen äärellisten automaattien (DFA) hyväksymisongelma: hyväksyykö annettu automaatti B merkkijonon w? Ongelmaa vastaava formaali kieli on A DFA = { B, w B on DFA,

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.

Lisätiedot

Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet

Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet 186 Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet Myös säännöllisen kielen hyväksyvien Turingin koneiden tunnistaminen voidaan osoittaa ratkeamattomaksi palauttamalla universaalikielen tunnistaminen

Lisätiedot

Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja

Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja 581336 Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja 1. S! axc X! axc X! by c Y! by c Y! " 2. (a) Tehtävänä on konstruoida rajoittamaton kielioppi, joka tuottaa kielen f0 n 1 n jn 1g. Vaihe1: alkutilanteen

Lisätiedot

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. joulukuuta 2015 Sisällys TM vs yleiset kieliopit Lause Jokaiselle kielelle A seuraavat ovat yhtäpitävät: 1.

Lisätiedot

1. Universaaleja laskennan malleja

1. Universaaleja laskennan malleja 1. Universaaleja laskennan malleja Laskenta datan käsittely annettuja sääntöjä täsmällisesti seuraamalla kahden kokonaisluvun kertolasku tietokoneella, tai kynällä ja paperilla: selvästi laskentaa entä

Lisätiedot

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 6. maaliskuuta 2012 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 6. maaliskuuta 2012 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. maaliskuuta 2012 Sisällys Sisällys Päätösongelmat Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos se on

Lisätiedot

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 20. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 20. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 20. kesäkuuta 2013 Sisällys Päätösongelmat Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos se on muotoa Onko

Lisätiedot

Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3]

Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3] Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3] Mitä algoritmilla yleensä tarkoitetaan periaatteessa: yksiselitteisesti kuvattu jono (tietojenkäsittely)operaatioita, jotka voidaan toteuttaa mekaanisesti käytännössä:

Lisätiedot

Laskennan teoria

Laskennan teoria 581336-0 Laskennan teoria luennot syyslukukaudella 2003 Jyrki Kivinen tietojenkäsittelytieteen laudatur-kurssi, 3 ov pakollinen tietojenkäsittelytieteen suuntautumisvaihtoehdossa esitiedot käytännössä

Lisätiedot

Laskennan rajoja. Sisällys. Meta. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. Meta. Universaalikoneet. Palataan torstaihin. Ratkeavuus.

Laskennan rajoja. Sisällys. Meta. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. Meta. Universaalikoneet. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 17. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 17.10.2016 klo 15:07 passed waiting redo submitters

Lisätiedot

6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli. H = {c M w M pysähtyy syötteellä w}

6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli. H = {c M w M pysähtyy syötteellä w} 6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = {c w pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja 1. Seuraavissa laskennoissa tilat on numeroitu sarakkeittain ylhäältä alas jättäen kuitenkin hyväksyvä tila välistä. Turingin koneen laskenta

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

Turingin koneen laajennuksia

Turingin koneen laajennuksia Turingin koneen laajennuksia Turingin koneen määritelmään voidaan tehdä erilaisia muutoksia siten että edelleen voidaan tunnistaa tasan sama luokka kieliä. Moniuraiset Turingin koneet: nauha jakautuu k

Lisätiedot

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki)

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Unix-komennolla grep hahmo [ tiedosto ] voidaan etsia hahmon esiintymia tiedostosta (tai syotevirrasta): $ grep Kisaveikot SM-tulokset.txt $ ps aux

Lisätiedot

Laskennan teoria

Laskennan teoria 581336-0 Laskennan teoria luennot syyslukukaudella 2004 Jyrki Kivinen tietojenkäsittelytieteen laudatur-kurssi, 3 ov pakollinen tietojenkäsittelytieteen suuntautumisvaihtoehdossa, opettajan suuntautumisvaihtoehdossa

Lisätiedot

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,

Lisätiedot

Muita vaativuusluokkia

Muita vaativuusluokkia Muita vaativuusluokkia Käydään lyhyesti läpi tärkeimpiä vaativuusluokkiin liittyviä tuloksia. Monet tunnetuista tuloksista ovat vaikeita todistaa, ja monet kysymykset ovat vielä auki. Lause (Ladner 1975):

Lisätiedot

Laskennan teoria

Laskennan teoria 581336-0 Laskennan teoria luennot kevatlukukaudella 2006 Jyrki Kivinen tietojenkasittelytieteen laudatur-kurssi, 3 ov pakollinen tietojenkasittelytieteen suuntautumisvaihtoehdossa, opettajan suuntautumisvaihtoehdossa

Lisätiedot

Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna

Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna. q 0 x solmuina laskennan mahdolliset tilanteet juurena alkutilanne lehtinä tilanteet joista ei siirtymää,

Lisätiedot

TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut

TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut Pisteytys on ilmoitettu välikoevaihtoehdon mukaan (joko tehtävät 1, 2 ja 3 välikokeen 1 uusintana tai tehtävät 4, 5 ja 6 välikokeen 2 uusintana).

Lisätiedot

1. Universaaleja laskennan malleja

1. Universaaleja laskennan malleja 1. Universaaleja laskennan malleja Esimerkkinä universaalista laskennan mallista tarkastellaan Turingin konetta muunnelmineen. Lyhyesti esitellään myös muita malleja. Tämän luvun jälkeen opiskelija tuntee

Lisätiedot

(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3

(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3 T-79.48 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Tentti 25..23 mallivastaukset. Tehtävä: Kuvaa seuraavat kielet sekä säännölisten lausekkeiden että determinististen äärellisten automaattien avulla: (a) L = {w

Lisätiedot

Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus

Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus Luku 6 Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus Proseduurit Olkoon A aakkosto. Proseduuri aakkoston A sanoille on mikä hyvänsä prosessi (algoritmi) P, jolle annetaan syötteeksi sana w A, ja joka etenee

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 8. maaliskuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 8. maaliskuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. maaliskuuta 2012 Sisällys Ongelma-analyysiä Sisällys Ongelma-analyysiä Hypoteettinen ongelma The Elite Bugbusters

Lisätiedot

Turingin koneet. Sisällys. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi

Turingin koneet. Sisällys. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 17. kesäkuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja vähän muutakin) kieli säännöllinen LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen

Lisätiedot

δ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}.

δ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}. 42 Turingin koneiden laajennuksia 1 oniuraiset koneet Sallitaan, että Turingin koneen nauha koostuu k:sta rinnakkaisesta urasta, jotka kaikki kone lukee ja kirjoittaa yhdessä laskenta-askelessa: Koneen

Lisätiedot

Laskennan teoria

Laskennan teoria 581336-0 Laskennan teoria luennot syyslukukaudella 2003 Jyrki Kivinen tietojenkäsittelytieteen laudatur-kurssi, 3 ov pakollinen tietojenkäsittelytieteen suuntautumisvaihtoehdossa esitiedot käytännössä

Lisätiedot

Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars)

Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars) Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars) Laura Pesola Laskennanteorian opintopiiri 13.2.2013 Formaalit kieliopit Sisältävät aina Säännöt (esim. A -> B C abc) Muuttujat (A, B, C, S) Aloitussymboli

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Laskennan teoria

Laskennan teoria 581336-0 Laskennan teoria luennot syyslukukaudella 2004 Jyrki Kivinen tietojenkäsittelytieteen laudatur-kurssi, 3 ov pakollinen tietojenkäsittelytieteen suuntautumisvaihtoehdossa, opettajan suuntautumisvaihtoehdossa

Lisätiedot

Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi

Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Osoitamme seuraavan keskeisen tuloksen: Lause 1.8: [Sipser Thm. 1.54] Kieli on säännöllinen, jos ja vain jos jokin säännöllinen lauseke esittää

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 10: Lisää ratkeamattomuudesta Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Kevät 2016 Aiheet: Pysähtymisongelma Epätyhjyysongelma Rekursiiviset

Lisätiedot

vaihtoehtoja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 13. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS

vaihtoehtoja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 13. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 13. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 13.10.2016 klo 9:42 passed waiting redo submitters

Lisätiedot

Chomskyn hierarkia. tyyppi 0 on juuri esitelty (ja esitellään kohta lisää) tyypit 2 ja 3 kurssilla Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit

Chomskyn hierarkia. tyyppi 0 on juuri esitelty (ja esitellään kohta lisää) tyypit 2 ja 3 kurssilla Ohjelmoinnin ja laskennan perusmallit Chomskyn hierarkia Noam Chomskyn vuonna 1956 esittämä luokittelu kieliopeille niiden ilmaisuvoiman mukaan tyyppi kieli kielioppi tunnistaminen 0 rekurs. lueteltava rajoittamaton Turingin kone 1 kontekstinen

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja 1. Esitä tilakaaviona NFA N = (Q, Σ, δ, q 0, F ), missä Q = { q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7 }, Σ = { a, b, c }, F = { q 4 } ja δ on

Lisätiedot

Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, samastamme säännöllisen lausekkeen ja sen esittämän kielen (eli kirjoitamme R vaikka tarkoitammekin L(R)).

Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, samastamme säännöllisen lausekkeen ja sen esittämän kielen (eli kirjoitamme R vaikka tarkoitammekin L(R)). Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, samastamme säännöllisen lausekkeen ja sen esittämän kielen (eli kirjoitamme R vaikka tarkoitammekin L(R)). Esimerkkejä: Σ koostuu kaikista aakkoston Σ merkkijonoista ja

Lisätiedot

Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista

Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista Antti-Juhani Kaijanaho 15. maaliskuuta 2012 1 Apumääritelmä Määritelmä 1. Olkoon Σ merkistö, jolla on olemassa täydellinen järjestys ( ) Σ 2.

Lisätiedot

Säännölliset kielet. Sisällys. Säännölliset kielet. Säännölliset operaattorit. Säännölliset kielet

Säännölliset kielet. Sisällys. Säännölliset kielet. Säännölliset operaattorit. Säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 24. toukokuuta 2013 Sisällys Formaalit kielet On tapana sanoa, että merkkijonojen joukko on (formaali) kieli. Hieman

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 19. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 19. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. syyskuuta 2016 Sisällys Neuvoja opintoihin tee joka päivä ainakin vähän uskalla mennä epämukavuusalueelle en

Lisätiedot

4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi:

4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi: T-79.148 Kevät 2004 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 12 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi: Hyväksyykö annettu Turingin kone

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. lokakuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. lokakuuta 2016 ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. lokakuuta 2016 Sisällys ja ja Vuosi on 1936, eikä tietokoneita ollut. Computer oli ammattinimike. http://www.nasa.gov/centers/dryden/

Lisätiedot

3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU ]

3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU ] 3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU 10.3.4] erotukseksi yleisestä CNF-esityksestä, kaikilla kaavoilla ei ole 3-CNF-esitystä; esim. x 1 x 2 x 3 x 4 esitämme muunnoksen, jolla polynomisessa ajassa mielivaltaisesta

Lisätiedot

DFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet

DFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2015 Sisällys toiminta formaalisti Olkoon M = (Q, Σ, δ, q 0, F) deterministinen

Lisätiedot

Rajoittamattomat kieliopit

Rajoittamattomat kieliopit Rajoittamattomat kieliopit Ohjelmoinnin ja laskennan perusmalleista muistetaan, että kieli voidaan kuvata (esim.) kieliopilla joka tuottaa sen, tai automaatilla joka tunnistaa sen. säännölliset lausekkeet

Lisätiedot

Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit

Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Laskennan teorian opintopiiri Tuomas Hakoniemi 21. helmikuuta 2014 Käsittelen tässä laskennan teorian opintopiirin harjoitustyössäni muodollisten kielioppien

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

Muunnelmia Turingin koneista sekä muita vaihtoehtoisia malleja

Muunnelmia Turingin koneista sekä muita vaihtoehtoisia malleja sekä muita TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. kesäkuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja vähän muutakin) kieli säännöllinen LL(k) LR(1) kontekstiton

Lisätiedot

Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma

Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelmalla tarkoitetaan laskentaongelmaa Annettu: yhteydetön kielioppi G, merkkijono w Kysymys: päteekö w L(G). Ongelma voidaan periaatteessa

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

Muita universaaleja laskennan malleja

Muita universaaleja laskennan malleja Muita universaaleja laskennan malleja Tällä kurssilla Turingin kone on valittu algoritmikäsitteen formalisoinniksi. Toisin sanoen tulkitsemme, että laskentaongelmalle on olemassa algoritmi, jos ja vain

Lisätiedot

Turingin koneet. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Turingin koneet. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 7. joulukuuta 2015 Sisällys Vuosi on 1936, eikä tietokoneita ollut. Computer oli ammattinimike. http://www.nasa.gov/centers/dryden/

Lisätiedot

Miten osoitetaan joukot samoiksi?

Miten osoitetaan joukot samoiksi? Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.

Lisätiedot

Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet

Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet Osoitamme nyt, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen, konkatenaation ja tähtioperaation suhteen. Toisin sanoen jos A ja B ovat säännöllisiä,

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 26. kesäkuuta 2013

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 26. kesäkuuta 2013 ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. kesäkuuta 2013 Sisällys ja ja on yksi vanhimmista tavoista yrittää mallittaa mekaanista laskentaa. Kurt

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 20. lokakuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 20. lokakuuta 2016 .. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 20. lokakuuta 2016 Sisällys. Turingin koneiden pysähtymisongelma. Lause Päätösongelma Pysähtyykö standardimallinen

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. marraskuuta 2015

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. marraskuuta 2015 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. marraskuuta 2015 Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4 a 5 00 k 11 i

Lisätiedot

9.5. Turingin kone. Turingin koneen ohjeet. Turingin kone on järjestetty seitsikko

9.5. Turingin kone. Turingin koneen ohjeet. Turingin kone on järjestetty seitsikko 9.5. Turingin kone Turingin kone on järjestetty seitsikko TM = (S, I, Γ, O, B, s 0, H), missä S on tilojen joukko, I on syöttöaakkosto, Γ on nauha-aakkosto, I Γ, O on äärellinen ohjeiden joukko, O S Γ

Lisätiedot

582206 Laskennan mallit

582206 Laskennan mallit 582206 Laskennan mallit luennot syksylla 2006, periodit I{II Jyrki Kivinen tietojenkasittelytieteen aineopintokurssi, 6 op, paaaineopiskelijoille pakollinen esitietoina Tietorakenteet (ja sen esitiedot)

Lisätiedot

3. Laskennan vaativuusteoriaa

3. Laskennan vaativuusteoriaa 3. Laskennan vaativuusteoriaa tähän asti puhuttu siitä, mitä on mahdollista laskea äärellisessä ajassa siirrytään tarkastelemaan laskemista kohtuullisessa ajassa vaihtoehtoisesti voidaan laskenta-ajan

Lisätiedot

Ongelma(t): Mikä on Turingin kone? Miten Turingin kone liittyy funktioihin ja algoritmeihin? Miten Turingin kone liittyy tietokoneisiin?

Ongelma(t): Mikä on Turingin kone? Miten Turingin kone liittyy funktioihin ja algoritmeihin? Miten Turingin kone liittyy tietokoneisiin? Ongelma(t): Mikä on Turingin kone? Miten Turingin kone liittyy funktioihin ja algoritmeihin? Miten Turingin kone liittyy tietokoneisiin? 2013-2014 Lasse Lensu 2 Algoritmit ovat deterministisiä toimintaohjeita

Lisätiedot

Yllä osoitettiin, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen

Yllä osoitettiin, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen Yllä osoitettiin, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen suhteen, eli jos kielet A ja B ovat säännöllisiä, niin myös A B on. Tätä voi havainnollistaa seuraavalla kuvalla: P(Σ ) Säännölliset

Lisätiedot

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin Yhteydettömien kielioppien ja pinoautomaattien yhteys [Sipser s. 117 124] Todistamme, että yhteydettömien kielioppien tuottamat kielet ovat tasan samat kuin ne, jotka voidaan tunnistaa pinoautomaatilla.

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. toukokuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

ongelma A voidaan ratkaista ongelman B avulla, joten jossain mielessä

ongelma A voidaan ratkaista ongelman B avulla, joten jossain mielessä Edellä esitetyt kielten A TM ja HALT TM ratkeamattomuustodistukset ovat esimerkkejä palautuksesta (reduction). Intuitiivisesti ongelman A palauttaminen ongelmaan B tarkoittaa, että Oletetaan, että meillä

Lisätiedot

Se mistä tilasta aloitetaan, merkitään tyhjästä tulevalla nuolella. Yllä olevassa esimerkissä aloitustila on A.

Se mistä tilasta aloitetaan, merkitään tyhjästä tulevalla nuolella. Yllä olevassa esimerkissä aloitustila on A. Tehtävä. Tämä tehtävä on aineistotehtävä, jossa esitetään ensin tehtävän teoria. Sen jälkeen esitetään neljä kysymystä, joissa tätä teoriaa pitää soveltaa. Mitään aikaisempaa tehtävän aihepiirin tuntemusta

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 22. toukokuuta 2013

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 22. toukokuuta 2013 TIEA24 Automaatit ja kieliopit, kesä 3 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. toukokuuta 3 Sisällys Äärellisiä automaatteja ON PUSH PUSH OFF Q T J Q C C H S C,Q C,Q 0 40 60 80 00, 70 90 Deterministinen

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015 TIEA24 Automaatit ja kieliopit, syksy 205 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 5. marraskuuta 205 Sisällys Käsiteanalyysiä Tarkastellaan koodilukkoa äärellisenä automaattina. Deterministinen äärellinen

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2008) 2. kurssikoe , ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2008) 2. kurssikoe , ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2008) 2. kurssikoe 11.12., ratkaisuja Tehtävän 1 tarkasti Harri Forsgren, tehtävän 2 Joel Kaasinen ja tehtävän 3 Jyrki Kivinen. Palautetilaisuuden 19.12. jälkeen arvosteluun

Lisätiedot

Output. Input Automaton

Output. Input Automaton 16 Aakkostot, merkkijonot ja kielet Automaattiteoria diskreetin signaalinkäsittelyn perusmallit ja -menetelmät ( diskreettien I/O-kuvausten yleinen teoria) 1011 Input Automaton Output Automaatin käsite

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 12. tammikuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 12. tammikuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Äärellisiä automaatteja PUSH ON PUSH OFF Q T Q J C C H S C,Q C,Q 0 50s 1e

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Kertausta 1. kurssikokeeseen

Kertausta 1. kurssikokeeseen Kertausta. kurssikokeeseen. kurssikoe on to 22.0. klo 9 2 salissa A (tai CK2). Koealueena johdanto ja säännölliset kielet luentokalvot 3 ja nämä kertauskalvot harjoitukset 6 Sipser, luvut 0 ja Edellisvuosien.

Lisätiedot

Entscheidungsproblem

Entscheidungsproblem Entscheidungsproblem Antti-Juhani Kaijanaho 24. kesäkuuta 2013 Entscheidungsproblem eli ratkaisuongelma kysyy, millä mekaanisella menetelmällä voisi selvittää, onko mielivaltainen annettu ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

Formalisoimme nyt edellä kuvatun laskennan.

Formalisoimme nyt edellä kuvatun laskennan. Formalisoimme nyt edellä kuvatun laskennan. Jos M = (Q, Σ, δ, q, F ) on äärellinen automaatti ja w = w... w n on n merkkiä pitkä aakkoston Σ merkkijono, niin automaatti M hyväksyy merkkijonon w, jos on

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4

Lisätiedot

3. Turingin koneet. osaa esittää yksinkertaisia algoritmeja täsmällisesti käyttäen Turingin konetta ja sen muunnelmia

3. Turingin koneet. osaa esittää yksinkertaisia algoritmeja täsmällisesti käyttäen Turingin konetta ja sen muunnelmia 3. Turingin koneet Turingin kone on alkuaan matemaattisen logiikan tarpeisiin kehitelty laskennan malli. Tarkoituksena oli vangita mahdollisimman laajasti, millaisia asioita voidaan (periaatteessa) laskea

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3]

Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3] Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3] Yhteydettömille kielille pätee samantapainen pumppauslemma kuin säännöllisille kielille. Siinä kuitenkin pumpataan kahta osamerkkijonoa samaan tahtiin. Lause 2.25

Lisätiedot

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään

Lisätiedot

SAT-ongelman rajoitetut muodot

SAT-ongelman rajoitetut muodot SAT-ongelman rajoitetut muodot olemme juuri osoittaneet että SAT on NP-täydellinen perusidea on nyt osoittaa joukolle kiinnostavia ongelmia A NP että SAT p m A, jolloin kyseiset A myös ovat NP-täydellisiä

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. toukokuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. toukokuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. toukokuuta 2011 Sisällys engl. random-access machines, RAM yksinkertaistettu nykyaikaisen (ei-rinnakkaisen)

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot