Matemaattiset oppimisvaikeudet (69213, 5 op)

Transkriptio

1 Matemaattiset oppimisvaikeudet (69213, 5 op) - kurssi matemaattisten taitojen kehityksestä, oppimisvaikeuksista, arvioinnista ja interventioista Osa 1: Kehitys Lokakuu 2016 Professori Pirjo Aunio Erityispedagogiikka

2 Kurssin aikataulu ja paikat Maanantai klo Psy. Aud A132 (2 t) klo Psy. Aud A132 (2 t) Tiistai klo Psy. Aud A132 (3 + 1t) klo OTR (2 t) (Kehitys) Keskiviikko klo Psy. Aud A132 (2 t) klo Psy. Aud A132 (2 t) klo OTR (2 t) (Arviointivälineet) Torstai klo Psy. Aud A132 (4 t) OTR (2 t) (Interventio-ohjelmat) Perjantai Klo Psy. Aud A132 (4t) 20 x 45 min luentoja ja OTR 6 x 45 Pirjo Aunio

3 Kurssin tavoitteet (sisältö): n Ymmärtää matemaattisten taitojen tavallista ja poikkeavaa kehitystä n Oppi ymmärtämään matemaattisia oppimisvaikeuksia ja niihin liittyvää arviointia sekä interventiotutkimusta n Syventää osaamistaan matematiikan oppimisvaikeuksista ja niihin liittyvistä taustatekijöistä (esim. kognitiiviset tekijät, ympäristölliset tekijät) 3 3

4 Oppimateriaali ja kirjallisuus (3 vaihtoehtoa) Vaihtoehto 1: n Berch, D., & Mazzocco, M.M.M (toim.) (2007). Why is math so hard for some children? The nature and origins of mathematical learning difficulties and disabilities. Baltimore, Paul H. Brookes. 441 s. JA n Chinn, S. (toim.) (2015). The Routledge international handbook of dyscalculia and mathematical learning difficulties. London: Routledge. 419 s. Vaihtoehto 2: n Gersten, R., & Newman-Gonchar, R. (toim.) (2011). Understanding RTI in mathematics: Proven methods and applications. Baltimore, Paul H. Brookes. 219 s. JA n Henry, L. (2012). The development of working memory in children. Los Angeles: Sage. 384 s. Pirjo Aunio 4

5 Oppimateriaali ja kirjallisuus (3 vaihtoehtoa) Vaihtoehto 3 n Price, G.R., & Ansari, D. (2013). Dyscalculia: Characteristics, causes and treatments. Numeracy, 6(1), n Jordan, N., Glutting, J., & Ramineni, C. (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades. Learning and individual differences, 20(2), n LeFevre, J-A., Berrigan, L., Vendetti, C., Kamawar, D., Bisanz, J., Skwarchuk, S-L., & Smith-Chant, B. L. (2013). The role of executive attention in acquisition of mathematical skills for children in grades 2 through 4. Journal of experimental child psychology, 114(2), n Korhonen, J., Linnanmäki, K., & Aunio, P. (2013). Learning difficulties, academic well-being and educational dropout: A person-centered approach. Learning and individual differences, 31, n Toll, S. W.M., & Van Luit, J.E.H. (2012). Early numeracy intervention for lowperforming kindergartners. Journal of early intervention, 34(4), n Gersten, R., Beckmann, S., Clarke, B., Foegen, A., Marsh, L., Star, J. R., & Witzel, B. (2009). Assisting students struggling with mathematics: Response to Intervention (RtI) for elementary and middle schools (NCEE ). Washington, DC: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. Retrieved from target=_blank> practiceguides/. Pirjo Aunio

6 Kurssin suorittaminen n Luentoasiat + yksi kokonaisuus vaihtoehtoisesta kirjallisuudesta n Kaksi tieteellistä esseetä (yksilösuorite) n aiheet annetaan perjantaina n Palautus s-postilla on klo n Arviointi 0-5, molemmat esseet oltava vähintään 1 päästäkseen läpi n Uusinnat tiedekunta/laitostentissä Pirjo Aunio 6

7 Kurssin sisältöä tarkemmin Matemaattisten perustaitojen kehitys Kehityksen taustatekijät Matematiikan oppimisvaikeudet Taitojen arviointi Pedagoginen tukeminen Ennen koulua Työmuisti (toiminnan ohajusfunktiot) Dyscalculia Kehit.psyk testit ja seulat SES Mat. Op. Vaik OPS-pohjaiset mittarit Interventioista Alakoulussa kieli Heikko osaaja Observointi, haastattelu, portfolio, päiväkirja Pirjo Aunio 7

8 Erityispedagogisen ajattelun pilarit Oppimisen/kehityksen ymmärtäminen Oppimiseen/ kehitykseen puuttuminen (interventio) Oppimisen/kehityksen arviointi (heikkojen löytäminen) 8

9 Mitkä ovat matemaattiset perustaidot? Mitä arvostetaan, mihin keskitytään, mistä ollaan huolissaan? Pirjo Aunio

10 Keskeiset matemaattiset taitorypäät esi- ja alkuopetusikäisillä lapsilla I vaihe: testit joiden tarkoituksena on arvioida 5-8 -vuotiaiden lasten matemaattista osaamista. Tarkasteluun otimme testit, n joihin oli julkaistu normit (eli on tieto miten lapset suoriutuvat testistä keskimäärin + validointiprosessi) n jotka olivat opettajien käytössä useissa eri maissa n joissa mitattiin erityyppisiä matemaattisia taitoja n jotka eivät olleet opetussuunnitelma riippuvaisia Lukukäsitetesti (Van Luit, et al. 1994), Number Knowledge Test (Griffin 2003), Early Numearcy (Wright et al. 2006) ja TEMA-3 (Ginsburg & al. 2006) II Vaihe: Pitkittäistutkimukset Pirjo Aunio

11 Keskeiset matemaattiset taitoryppäät esi-ja alkuopetusikäisillä lapsilla (Aunio & Räsänen, 2016 kts. myös Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen matemaattis-loogiset periaatteet aritmeettiset periaatteet matemaattiset symbolit paikka-arvo ja kymmenjärjestelmä Laskemisen taidot numerosymbolien hallinta Aritmeettiset perustaidot aritmeettiset yhdistelmät lukujonon luettelemisen taidot lukumäärän laskutaidot yhteen- ja vähennyslaskutaidot Lukumääräisyyden taju Pirjo Aunio

12 Laskemisen taidot Lukujonon luettelemisen taidot 1. Lukujonon luetteleminen eteen- ja taaksepäin (usein: Osaatko sinä laskea?) 2. Lukujonon luetteleminen hyppäyksittäin (l. sanomalla joka toinen, joka viides tai joka kymmenes luku) 3. Lukujonon luettelemisen jatkaminen annetusta luvusta (l. jatka laskemista luvusta kahdeksan eteenpäin) q Number words sequence skills (synonyms often acoustic counting, reciting number words, counting) (VanDerHeyden et al. 2006; Clarke and Shinn 2004) Pirjo Aunio

13 Laskemisen taidot (jatkuu) Lukumäärien laskemisen taidot: 1. Osaa luetella lukujonon oikeassa järjestyksessä 2. Osaa luoda yksi-yhteen-suhteen sanotun sanan ja laskettavan esineen sekä osoittavan eleen välille 3. Oivaltaa, että viimeiseksi sanottu luku kertoo sen kuinka monta esinettä kokonaisuudessa on 4. Oivaltaa, että kaikenlaisia keskenään erilaisiakin esineitä ja asioita voi laskea 5. Tietää, että esineet voi laskea missä järjestyksessä tahansa, kunhan laskee jokaisen esineen vain kerran n Enumeration (often counting the numerosity of a set, counting, cardinal meaning of number, counting objects) Child uses her/his number word sequence skills to enumerate (Aunio & Niemivirta 2010; Jordan et al. 2006) Pirjo Aunio

14 Laskemisen taidot (jatkuu) Numerosymbolien hallinta: 1. Yhdistää sanottu lukusana -> numerosymboliin (nimeäminen ja tunnistaminen). v Lapselle sanotaan joku lukusana, jolloin lapsen tehtävänä on kirjoittaa sitä vastaava numerosymboli v Lapselle näytetään joku numerosymboli ja lapsen tehtävä on sanoa sitä vastaava lukusana. 2. Ilmaisee numerosymboleilla lukumääriä v Pyydetään näyttämään se numerosymboli mikä on yhtä suuri kuin näytettyjen esineiden lukumäärä v Näytetään numerosymboli ja pyydetään antamaan yhtä monta esinettä n Symbol-verbal and verbal-symbol transitions = word identification and recognition of numbers (e.g. choose number in VanDerHeyden et al. 2006) Pirjo Aunio

15 Kehityskaari: Lukusanoista laskemiseen 2 v. Primäärinen ymmärrys lukumääristä lukusanoilla viitataan eri lukumääriin hyvin karkeat lukumäärät selkeitä 3 v 4 v Lorumainen laskeminen käsittelee numeroita osana lauluja ja loruja ei välttämättä erota lukusanoja erillisinä sanoina vaan rimpsuna yksikaksikolmeneljä Eriaikainen laskeminen Ymmärtää, että lukusanoja voidaan käyttää esineiden laskemiseen Osaa luetella lukusanat oikeassa järjestyksessä, mutta ei kykene osoittamaan esinettä ja merkkaamaan sitä samaan aikaan. Jättää laskematta jonkun esineen, laskee (merkkaa) yhden esineen kaksi kertaa Pirjo Aunio

16 Kehityskaari: Lukusanoista laskemiseen (2) 4-5 v 5 v 6 v. Samanaikainen laskeminen Sanoo lukusanan, osoittaa esineitä Hallitsee 1-1-suhteella operoimisen Järjestää esineet, yhdistää niihin lukusanan (l. laskee) Tuloksen laskeminen Laskeminen alkaa luvusta yksi Jokainen esine lasketaan vain kerran Viimeinen lukusana kertoo esineiden lukumäärän Lyhentynyt laskeminen Kykenee tunnistamaan tietystä lukujoukosta numeron, josta he jatkavat laskemista Ei enää tarvitse aloittaa luvusta yksi, kun heiltä kysytään esineiden lukumäärää. Pirjo Aunio

17 Aritmeettiset perustaidot n Lukujonon luettelemisen ja lukumäärän laskemisen taitojen kehittyessä alkavat lapset myös harjoitella aritmeettisia perustaitoja n Pienillä luvuilla & lukujen luettelu ja sormilla esineillä laskeminen n Kun taidot kehittyvät ja kokemus lisääntyy, lapsen ei enää tarvitse laskea yksinkertaisia ja usein toistuvia yhdistelmiä, vaan hän voi palauttaa vastauksen suoraan muistista (l. aritmeettisten yhdistelmien muistaminen) n Kehityksen kuluessa lapsi keksii uusia strategioita ja voi jättää jo opittuja käyttämättä Pirjo Aunio

18 Aritmeettiset perustaidot n Aritmeettisista perustaidoista keskeisiä esi- ja alkuopetusiässä ovat yhteen- ja vähennyslaskutaidot -> sujuva peruslaskutaito n 2lkn keväällä ja 3:lla luokalla yhteen ja vähennyslaskutaidon oletetaan yksinumeroisilla luvuilla olevan suhteellisen sujuvaa ja aletaan opetella kerto- ja jakolaskua Pirjo Aunio

19 Aritmeettiset perustaidot n Laskutoimitukset eroavat siinä, missä määrin niiden harjoittelussa painottuu muistista haku tai erilaiset laskemisen strategiat n Kertolasku pohjaa ulkoaoppimiseen ja siinä muistista hakeminen on keskeinen strategia n Vähennys ja jakolaskuissa on vähemmän ulkoaoppimista niissä käytetään erilaisia laskustrategioita useimmiten pohjaten yhteen ja kertolaskuun. Pirjo Aunio

20 Aritmeettiset perustaidot n Se mitä strategiaa lapsi käyttää riippuu esimerkiksi laskun tekijöistä: n Esikoululainen voi muistaa ulkoa vastauksen osaan pienistä laskuista (1+1, 2+2, 1+2) n Kun laskuissa vaaditaan 10-ylitystä (8+6, 9+5) on se jo hankalampi (laskemisen strategia käyttöön) n 0 ja 1 sisältävät laskut näyttää nojaavaan sääntöjen muistamiseen (esim. kun nollan lisääminen ei muuta lukumäärää) Pirjo Aunio

21 Aritmeettiset perustaidot n Strategiat selviää seuraamalla lapsen laskemista ja pyytämällä häntä selittämään, miten ratkaisee tehtävän n Tavallisesti lapsilla on käytössään useita strategioita n Sujuva laskija: n Pääasiassa palauttaa vastauksen nopeasti muistista n Tarvittaessa valitsee muista strategioista tehtävään sopivimman n Niillä lapsilla, joilla on matematiikan oppimisvaikeuksia n on käytössään yleensä vain hitaita luetteluun pohjautuvia strategioita n Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen on heille vaikeaa (pysyy vaikeina tarvitsee tukea!) Pirjo Aunio

22 Yhteen- ja vähennyslaskutaidon kehittyminen n Asteittain: n Luetteluun pohjautuvan laskemisen kautta kohti aritmeettisten yhdistelmien muistamista n Vähennyslaskustrategiat ovat vaikeampia kuin yhteenlaskustarategiat - Vähennyslaskuissa pitää muistaa useampia vaiheita kuin yhteenlaskussa - Vähennyslaskustrategioiden käytössä auttaa yhteenja vähennyslaskun välisen suhteen ymmärtäminen Pirjo Aunio

23 Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen yhteen- ja vähennyslaskussa Laskutehtävien ratkominen aloitetaan lukujen luetteluun pohjatuvien strategioiden kautta Konkretian ja visuaalisen tuen avulla (esineet, sormet, piirtäminen) Mielessä tapahtuvaa laskemista lukujonoja luettelemalla Eri tapoja käyttää lukujonoa laskemisessa tueksi: Pirjo Aunio

24 Laske kaikki, aloita alusta Lukujen luetteluun pohjautuvat strategita yhteenlaskussa konkretia/visuaalinen tuki Laske toinen luvuista, aloita alusta Laskeminen eteenpäin Laskeminen eteenpäin, aloittaen suuremmasta luvusta Esim =? Lapsi laskee kolme esinettä yksitellen "1,2,3". Hän lisää yksitellen laskien kaksi esinettä "1,2", laskee sitten alusta kaikki esineet "1,2,3,4,5" ja saa tulokseksi viisi. Esim =? Lapsi näyttää sormillaan suoraan luvun 3 ja lisää siihen luetellen neljä lisää "1, 2, 3, 4". Sitten hän laskee alusta kaikki sormet tai katsoo vastauksen suoraan sormien lukumäärästä. Esim =? Lapsi näyttää sormillaan luvun 4 ja laskee eteenpäin sormien avulla "5, 6, 7". Vastauksena on viimeiseksi sanottu lukusana. Esim =? Lapsi aloittaa laskemisen suuremmasta luvusta. Hän näyttää sormillaan luvun viisi ja laskee sormien avulla eteenpäin "6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana. Pirjo Aunio 24

25 Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia yhteenlaskussa mielessä tapahtuva laskeminen Laskeminen eteenpäin ensimmäisestä luvusta Laskeminen eteenpäin suuremmasta luvusta Esim =? Lapsi aloittaa luvusta 3 ja laskee mielessään eteenpäin "4, 5, 6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana. Esim =? Lapsi aloittaa laskemisen suuremmasta luvusta. Hän sanoo luvun viisi ja laskee mielessään eteenpäin "6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana. Pirjo Aunio 25

26 Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia vähennyslaskussa konkretia/visuaalinen tuki Laske kaikki, aloita alusta Esim. 5 3 =? Lapsi laskee viisi esinettä yksitellen. Sitten hän laskee pois kolme esinettä, laskee jäljelle jääneet ja saa tulokseksi kaksi Laskeminen eteenpäin Esim. 7 4 =? Lapsi aloittaa luvusta 4, laskee eteenpäin sormien tuella 5, 6, 7. Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli kolme. Laskeminen taaksepäin annetun luvun verran Laskeminen eteen- ja taaksepäin Esim. 8 3 =? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee sormien avulla taaksepäin kolme lukua 7, 6, 5. Vastaus on viimeiseksi sanottu luku. Lapsi valitsee laskun ratkaisemisen tavaksi edellä esitellyistä kohdista joko kohdan 2 tai 3, riippuen siitä, kummalla tavalla tarvitsee laskea vähemmän. Esim. laskussa 9 7 =?, lapsi valitsisi kohdan 2. Pirjo Aunio 26

27 Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia vähennyslaskussa mielessä tapahtuva laskeminen Laskeminen eteenpäin Esim. 7 4 =? Lapsi aloittaa luvusta 4, laskee eteenpäin mielessään 5, 6, 7. Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli kolme. Laskeminen taaksepäin annetun luvun verran Laskeminen taaksepäin annettuun lukuun asti Laskeminen eteen- tai taaksepäin Esim. 8 3 =? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee mielessään taaksepäin kolme lukua 7, 6, 5. Vastaus on viimeiseksi sanottu luku. Esim. 8-6 =? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee mielessään taaksepäin lukuun 6 asti "7, 6". Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli 2. Lapsi valitsee laskun ratkaisemiseen edellä esitellyistä kohdista joko kohdan 2, 3 tai 4, riippuen siitä millä tavalla tarvitsee laskea vähiten. Esim. laskussa 9-7 =?, lapsi valitsisi kohdan 2 tai 4. Pirjo Aunio 27

28 Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen Palauttaa muististaan suoraan laskun vastauksen (2+3=5) Johtaa laskun vastauksen jonkin tuntemansa yhdistelmän kautta 6-3=3 joten 6-4=2, koska luku 4 on yhden suurempi kuin 3 Pilkkoo laskun osavaiheisiin ja kokoaa laskun uudelleen niin, että käyttää hyväkseen tuntemiaan yhdistelmiä ja tietojaan lukujärjestelmästä 7+5 -> 7 + (3+2) -> =12 Toisen laskun kautta laskun johtaminen voi auttaa aritmeettisten yhdistelmien oppimista Tuplien kautta oppiminen + niitä lähellä olevat aritmeettiset yhdistelmät Pirjo Aunio

29 Toisen laskun kautta johtaminen yhteenlaskussa Tupla +1, +1 Tupla -1, parit 10-lasku Jaettu Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja lisätään siihen yksi tai kaksi. esim = (6 + 6) + 1 = 13 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja vähennetään siitä yksi tai kaksi. esim = (7 + 7) - 1 = 13 Käytetään hyväksi opittuja 10-pareja. esim = 10, joten = 11 Käytetään apuna 10-laskua, jossa toisena tekijänä on 10. esim = 18, joten = 17 Yhteenlasku havainnollistuu hyvin palikoilla, kun toisesta palikkapötköstä siirretään yksi palikka toiseen, jolloin saadaan tupla. Myöhemmin tästä syntynyttä mielikuvaa voidaan käyttää hyväksi laskemisessa. esim = Toisen tunnetun yhdistelmän kautta esim. 7+5=(7+4)+1=12 Pirjo Aunio 29

30 Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa lisäämisen kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskuissa Tupla +1 Tupla -1 Jaettu Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja lisätään siihen yksi. esim > 6 + = 13 --> 6 + (6 + 1) = 13 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja vähennetään siitä yksi. esim > 6 + = 11 --> 6 + (6-1) = 11 Yhteenlasku havainnollistuu hyvin palikoilla, kun toisesta palikkapötköstä siirretään yksi palikka toiseen, jolloin saadaan tupla. Tätä mielikuvaa käytetään hyväksi myös vähennyslaskussa. esim > 6+6=12, joten 7+5=12 Pirjo Aunio 30

31 Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa vähentämisen kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskuissa 10-lasku Käytetään apuna 10-laskua, jossa toisena tekijänä on 10. Esim =6, joten 16-9=7 Toisen tunnetun yhdistelmän kautta Esim 12-7=>12-8=4, joten 12-7=5 Pirjo Aunio 31

32 Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen yhteenlaskussa Lisääminen 10 kautta Luku täydennetään ensin kymmeneen ja katsotaan kuinka paljon tulee vielä kymmenen yli lisää. Esim 8+5-> (8+2)+3=10+3=13 Pirjo Aunio 32

33 Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen vähennyslaskussa Lisääminen 10 kautta Vähentäminen 10 kautta Vähentäminen kymmenestä Luku täydennetään ensin kymmeneen ja katsotaan kuinka paljon tulee vielä kymmenen yli lisää. Esim 13-6-> 6+4=10, 10+3=13 -> 4 + 3= 7 Luku vähennetään ensin kymmeneen ja otetaan vielä jäljelle jäänyt kymmenestä pois 12-7-> 12-2=10, 10-5=5 Otetaan kymmenen yli menevä luku talteen, sen jälkeen otetaan vähentäjä pois kymmenestä ja lisätään talteen laitettu luku muistista 12-4= (10-4) + 2= 8 Pirjo Aunio 33

34 Van den Heuvel-Panhuizen (1999/2001): Children Learn Mathematics Wright et al. (2012): Developing Number Knowledge Yksittäinen laskeminen esineillä ja/tai lukujonolla Välineiden lapsilähtöinen käyttö Strukturoitu laskeminen välineillä Piilottaminen Välineiden ohjattu käyttö (ryhmittely, systemaattisuus) Välineiden nivominen strategioihin Mielessä tapahtuva laskeminen ilman välineitä Muistista palauttaminen Toisten laskujen hyödyntäminen Faktojen muistaminen 34

35 Yhteen- ja vähennyslaskustrategioiden oppiminen ja kehityksen tukeminen Aritmeettiset laskustrategiat Lukujen luetteluun perustuvat strategiat Strukturoitu laskeminen Muistamiseen perustuvat strategiat Välineet vapaasti lasten käytössä Mielessä tapahtuva laskeminen Välineillä ohjatusti Toisen laskun kautta (derived facts) Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen (decomposition) Suora muistista palauttaminen (fact retrieval) Lukualue

36 Strukturoitu laskeminen välivaihe/silta lukujen luettelusta muistista palautta n Kymppipohja/viitospohja n Helmitaulu (viiden kautta) n Numeroruudukko -> lukusuoraan n Tyhjä lukusuora n Osa-kokonaisuus pallomalli (esim. Emerson & Babtie, 2010) n Matikka-vuori Math-mountain (esim. Wright et al. 2012) n Osa muistista palauttamista strategioista voidaan myös ottaa opetuksen kohteeksi n Kielellistäminen 36

37 Strukturoidun laskemisen vaihe n Osa-kokonaisuus pallo malli (esim. Emerson & Babtie, 2010) n Matikka-vuori (Wright et al. 2012)

38 Kerto ja jakolaskutaidon kehittyminen n Oppimisprosessi on suoraviivaisempi ja harjoittelussa korostuu suuremmassa määrin ulkoaopettelu kuin yhteenja vähennyslaskussa n Hakeminen muistista on keskeinen ratkaisutapa heti alusta lähtien n Jakolaskun kehityksestä tiedetään vähemmän: n Alussa yhteenlaskun avulla n Kertolasku nousee nopeasti yleisemmäksi n Jakolaskujen ratkaisu hankalaa ilman kertolaskun hallintaa (kertolaskun ja jakolaskun suhteen ymmärtäminen) Pirjo Aunio 38

39 Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen kertolaskussa Alkuvaiheessa toistuva yhteenlasku ja lukujonon luetteleminen tietyn askeleen välein on yleisesti käytettjä strategioita - Ääneen tai mielessä luettelemalla lukujonoa (ei visuaalista tukea) esim. viiden välein 5x4 -> 5, 10, 15, 20 - Sormien avulla + luettelu, auttaa muistamaan montako harppausta lukujonossa on menty ( viisi yksi sormi, kymmenen kaksi sormea) n Osalle lapsista hyppiminen lukujonossa vaikeaa - Laskee yksitellen, piirtää viivoja, ryhmittelee, laskee ne - => hidas, virhealtis, ei mielekäs Pirjo Aunio 39

40 Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen jakolaskussa n Luettelupohjaiset strategiat: - Toistuva yhteenlasku, jossa jakajaa lasketaan yhteen kunnes saavutetaan jaettava - Toistuva vähennyslasku, jossa jaettavasta vähennetään jakajan osoittamaa määrää kunnes päädytään nollaan - Ryhmittely, lapsi miettii, kuinka monta jakajan suuruista ryhmää jaettavasta saadaan Pirjo Aunio 40

41 Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen kerto- ja jakolaskussa n Aritmeettisten yhdistelmien hakeminen suoraan muistista nousee yleisemmäksi strategiaksi n Kansainväliset tutkimukset (lisää lähde): - 2- luokalla yleisin ratkaisutapa: lapset käyttävät sitä yli puolessa kertolaskuissa - 4-luokalla (9 v) suurimmaksi osaksi (noin 70-80% kertolaskuista) n Jakolaskuissa - Muistiinpohjaavat strategiat: vastauksen hakeminen suoraan muistista, kertolaskun avulla vastauksen ratkaiseminen, sekä laskun jakaminen pienempiin helpommin ratkaistaviin osiin - Vähiten automatisoituva luokalla yhdistelmien muistamista käytettiin vähemmän kuin kertolaskua Pirjo Aunio 41

42 Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen Matemaattis-loogiset periaatteet l. säännönmukaisuuksien ymmärtäminen ja soveltaminen määrällisessä kontekstissa 1. Sarjoittaminen (Bryant 1996) (esim. Järjestä nämä kukat pisimmästä lyhyinpään) 2. Vertailu (Sophian 1998) (esim. Kummassa laatikossa on enemmän kuulia?) 3. Luokittelu (Smith 2002) (esim. Laita tähän laatikkoon kaikki siniset suuret pallot?) 4. Yksi-yhteen suhde (Alibali & DiRusso 1999) (esim. Missä laatikossa on riittävästi pipoja näille viidelle lapselle?) Pirjo Aunio

43 Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen (jatkuu) Aritmeettiset periaatteet (l. osa-kokonaisuus -suhteiden ymmärtäminen) 1) kokonaisuudet muodostuvat pienemmistä osista luku kuusi voidaan muodostaa laskemalla yhteen esimerkiksi 5+1; 4+2; tai ) yhteenlaskettavat voidaan laskea yhteen missä tahansa järjestyksessä ja aina saadaan sama tulos -> a+b=b+a. Pirjo Aunio

44 Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen aritmeettiset periaatteet (jatkuu) 3) yhteenlasku voidaan hajottaa uudelleen osiin ja laskea osat yhteen uudella tavalla eri järjestyksessä ja saadaan sama tulos -> (a+b) + c = a + (b + c) 4) käänteisyyden periaate, millä tarkoitetaan sitä, että yhteen-ja vähennyslasku ovat toisilleen käänteisiä eli ne kumoavat toisensa ->3+1-1=3 n often the understanding of part-whole relations in addition or subtraction tasks (Canobi, Reeve & Pattison 2002; Robinson, Niowski & Gray, 2006, Wilkins, Baroody & Tiilikainen 2001) Pirjo Aunio

45 Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen matemaattiset symbolit n Vertailun symbolit alkuopetuksessa n mikä on suurempi kuin (>) n pienempi kuin (<), n yhtä suuri kuin (=) n eri suuri kuin ( ) Pirjo Aunio

46 Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen paikka-arvo ja kymmenjärjestelmä n Kun lapsi alkaa käyttää suurempia lukuja kuin yhdeksän täytyy oivaltaa, että luvun todellinen arvo riippuu siitä, millä paikalla se on luvussa, esimerkiksi onko se ykkösten, kymmenten vai satojen paikalla Pirjo Aunio

47 Lukumääräisyyden taju n kykyä hahmottaa lukumääriä ilman kieleen perustuvaa laskemista n lukumääräisyyden tajua pidetään perustavimmanlaatuisena matemaattisena kykynä, jonka päälle kielellinen (kulttuurinen) matemaattinen taito rakentuu (Dehaene, 1997/2011; Lipton & Spelke 2003) Pirjo Aunio

48 Lukumääräisyyden taju (2) n Myötäsyntyinen kyky lukumäärien hahmottamiseen n Ei laskemista vaan suhteellinen, epätarkkaa, lukumäärien hahmotuskyky n Aistikanavasta riippumaton kyky n Mitä suurempi ero lukumäärien välillä on, sitä helpompaa on ne erottaa toisistaan. n Kyky näyttää paranevan kohtuullisesti aina varhaislapsuuteen -> kehitys tasaantuu ei muutu täysin tarkaksi -> ainoa keino tarkkaan määrän hahmottamiseen on kieli ja laskeminen. Pirjo Aunio

49 Mitkä taidot todettu hyviksi ennustajiksi? n Pitkittäistutkimuksista (viimeisen 10 vuoden aikana) tietoa, mitkä taidot ennustavat myöhempää matematiikan osaamista Pirjo Aunio

50 Tavalliset lapset 1) Esiopetusikäisen lapsen lukujonotaidot ennustavat hyvin myöhempää yhteen- ja vähennyslaskun taitoa 2) Spontaani lukumäärien havaitseminen ja lukumääräisyyden taju nuorilla lapsilla ennustaa myöhempää lukumäärän laskemisen taitoa. 3) Yleinen matematiikan osaaminen ennen kouluikää ennustaa hyvin myöhempää aritmetiikan osaamista koulussa. Pirjo Aunio

51 Lapset, joilla oppimisvaikeuksia 1) Lukumäärän laskutaito esikoulussa on hyvä ennustaja myöhemmälle matematiikan osaamiselle. 2) Lapsilla, joilla on matematiikan ja/tai lukemisen vaikeuksia - todennäköisesti vaikeuksia kaikkien taitoryppäiden kehityksessä - erityisesti: laskuprosessien ymmärtämisessä, aritmeettisten faktojen muistamisessa ja aritmeettisten strategioiden käyttämisessä 3) Ristiriitaiset tulokset koskevat lukumäärän laskutaidon kehitystä lapsilla, joilla on kielen oppimisen vaikeuksia. - Osa raportoi, että vaikeuksia laskutaidoissa ei ole - Toiset taas, että esimerkiksi lukujonon hallinta on heikkoa nuorilla dysfasia lapsilla. Pirjo Aunio

52 Heikkous lukumääräisyyden tajussa - Potentiaalinen selittäjä vaikeille matematiikan oppimisvaikeuksille (Mazzocco, Feigenson & Halberda 2011a; Price & Ansari 2013) - Estimointiin keskittyvä lukumäärän ymmärräys (i.e., approximate number system) ennustaa myöhempiä taitoja (Libertus, Feigenson & Halberda 2011; Mazzocco, Feigenson & Halberda, 2011b) - Onko kyseessä mentaali mallinnus numerosymboleista vai ei-symbolinen lukumäärän representaatio? (De Smedt, Nöel, Gilmore & Ansari, 2013) Pirjo Aunio 52

53 Aunio, P., Laine, A. & Räsänen, P. (manuscript in preparation) Development of mathematical skills in 9-12 years old children Pirjo AUnio 53

54 Kehityksestä 9-12 vuotiaiden ikäryhmässä n Lapset, joilla matamaattisia oppimisvaikeuksia ikäryhmässä 9-12 v: n On pulmia etenkin perusaritmeettisissa taidoissa sujumattomuus (e.g. Geary 2014, Kucian & von Aster 2014) n Syy voi olla poikkeavasta neurologisesta toiminnasta lukumäärillä operoiminen on vaikeutunut (e.g. Price & Ansari, 2013) n Pulmia sanallisissa tehtävissä (syynä heikot aritmeettiset taidot vai kielellinen pulma)

55 Tutkimuksen tavoite ja menetelmä n Mitkä ovat keskeiset matemaattiset taidot, jotka kehittyvät ikäryhmässä 9-12? n Vaihe 1: n Systemaattinen luenta arviointivälineet, joilla mitataan lasten (9-12v) matemaattisia taitoja n Tehtävien luokittelu n Vaihe 2: Pitkittäistutkimuksien analyysi, mitä on tehty koskien matemaattisten taitojen kehitystä ikäryhmässä 9-12 y. ennustearvot

56 Vaihe 1 arviointivälineet Finnish 1 Räsänen (2005) Banuca. Lukukäsitteen ja laskutaidon hallinnan testi. 7-9 years old children. 2 Räsänen (2004) RMAT years old children. 3 Häyrinen, Serenius-Serve & Korkman (2013) Lukilasse years old International 1 Butterworth (2003) Dyscalculia Screener years. 2 Woodcock, McGrew & Mather (2001; 2007) Woodcock- Johnson Test of Achievement years 3 Von Aster, Weinhold Zulauf & Horn (2006) ZAREKI-R (n 7-16 y.) leerjaar 3-> 2 klas voortgezet onderwijs

57 Banuca RMAT Lukilasse Comparison bw numerosities (Lukumäärien vertailu) Numerosity-symbol-number word (Lukumäärä-symbolilukusanan yhteys) Symbol-number word (symboli-lukusanan yhteys) Continue the number word sequence (Lukujonon jatkaminen ja ymmärtäminen) Addition and substraction without manipulatives (Yhteen- ja vähennyslaskut; päässälaskut) Addition and substraction without manipulatives (Yhteen- ja vähennyslaskut; päässälaskut) Continue the number word sequence; natural numbers, fractions, desimal numbers (lukujonon jatkaminen; luonnolliset luvut, murtoluvut, desimaaliluvut) Addition and substraction without manipulatives (Yhteen-ja vähennyslaskut; päässälaskut) Addition and substraction; algorithm (Yhteen- ja vähennyslaskut; allekkain) Addition and substraction; algorithm (Yhteen- ja vähennyslaskut; allekkain) Multiplication and division without manipulatives (Kerto- ja jakolaskut; päässälaskut) Muiltiplication and division, algorithm (Kerto- ja jakolaskut; allekkain, jakokulmassa) Multiplication and division without manipulatives (Kerto- ja jakolaskut; päässälaskut) Multiplication and division without manipulatives (Kerto- ja jakolaskut; allekkain, jakokulmassa)

58 Dyscalculia Screener Number size (Lukumäärien vertailu) WJ test of achievement III Zareki-R-NL Number comparison, manipulation, (what is bigger?) Number sequence skills, backwards Number-number word numerosity relations (reading arabic numbers, writing numbers from dictation) Mental numberline Enumeration skills Addition (no manipulatives) Quantitative concepts Calculation: addition, subtraction, division, algorithms, natural numbers, fractions, decimal numbers Digit span, repeating said number Addition, subtraction and multiplication without manipulatives Multiplication (no manipulatives) Math Fluency: addition, subtraction, multiplication without manipulatives Applied problems (counting numerosity, arithmetics, money, temperature, clock, percent, area, volume) Verbally given problems, addition and subtraction, digit span, repeating said numbers

59 Vaihe 1 alustavia tuloksia n Arviointivälineissä mitattaan yleensä n Yhteenlaskua ja kertolaskua - Myös vähennyslasku ja jakolasku n Päässälaskua pienillä luvuilla (alle 100 ) n Joskus myös sanallisia tehtäviä

60 Authors Hecht, S., Torgensen, J., Wagner, R. & Rasho5e, C. Yea r Name of article 2001 The rela;ons between phonological processing abili;es and emergining individual differences in mathema;cal computa;onal skills: A longitudinal study from second to fikh grades. Journal of Experimental Child Psychology, 79,2, Mazzocco & Kover 2007 A longitudinal assessment of execu;ve func;on skills and their associa;on with math performance. Child Neuropsychology Geary, D.C Cogni;ve predictors of achievement growth in mathema;cs: 5 year longitudinal study. Developmental Psychology 47 (6) Working memory, a5en;on and mathema;cal problem solving: A longitudinal study of elementary school children. Journal of Educa;onal Psychology, Swanson, H.L. Zheng, G., Swanson, H.L. & Marcoulides, G. Alloway, T & Passolunghi, M C Alloway T P. & Alloway, R. G. Vukovic, R.K. & Lesaux, N.K Working memory components as predictors of children's mathema;cal problem solving. Journal of Experimental Child Psychology, The rela;onship between working memory, IQ, and mathema;cal skills in children 2010 Inves;ga;ng the predic;ve roles of working memory and IQ in academic a5ainment. Journal of Experimental Child Psychology, The language of mathema;cs: Inves;ga;ng the way language counts for children's mathema;cal development. Journal of Experimental Child Psychology 115,

61 Vaihe 2: alustavia tuloksia n Nyt kognitiiviset komponentit ja matematiikka n Verbal problem solving and working (Lee, Swee, Fong, Ee- Lyn & Zee-Ying 2004; Swanson & Sachse-Lee 2001; Swanson 2004;Swanson et Lee 2011; Fuchs et al 2006; Lee et al. 2009; Passolunghi, Cornoldis & Deliberto 1999; Zheng 2011) n Vain muutamassa tutkimuksessa ennustetaan matematiikan taitoja toisilla matemaattisilla taidoilla (Landerl, Bevan & Butterworth 2004; Locuniak & Jordan 2008; Mazzocco & Thompson 2005) 61

62 Katsaus suomalaiseen nykytutkimukseen YKSILÖLLISTEN EROJEN SELITTÄMINEN MATEMAATTISESSA OSAAMISESSA 62

63 Katsaus (Lee & Aunio, manuscript in process) n Viimeiset 15 vuotta n Kv-julkaisut n Kehityksen (osaamisen) selittäminen n 33 artikkelia Pirjo Aunio 63

64 Muutama yleinen huomio n Matemaattisten taitojen kehityksen tutkimusta tehdään useassa ryhmässä ja yliopistossa: n Jyväskylän yliopisto (Aunola et al., Räsänen et al. Koponen et al.) n Turun yliopisto (Kyttälä et al., Hannula-Sormunen et al.) n Itä-Suomen yliopisto (Björn et al., Hakkarainen et al., ) n Helsingin yliopisto (Aunio et al.) n 4-9 vuotiaat ja vuotiaat Pirjo Aunio 64

65 Tuloksia koskien 4-9-vuotiaita lapsia n Kyttälä et al. (2003) ja Kyttälä (2013) osoittivat, että 4-6 vuotiaana erityisesti visuospatiaalista työmuistia tarvitaan kun ratkaistaan lukumäärän laskemisen tehtäviä ja sanallisia tehtäviä (yksinkertaisia yhteen- ja vähennyslaskuja) n Kyttälä et al. (2010) osoittivat, että mikäli lapsella oli 4-6 vuotiaana heikkoutta matemaattisissa varhaistaidoissa hänellä oli heikoutta laajemmin kognitiivisessa osaamisessa (työmuisti, kielen osaaminen, joustava älykkyys) 65

66 Koulunaloittajien matemaattisten taitojen kehitys (1) n Aunola et al. (2004) ja Aunio & Niemivirta (2010) osoittivat, että varhaiset matemaattiset taidot, jotka on mitattuna ennen koulun alkua ennustaa hyvin osaamista ensimmäisellä ja toisella luokalla n Erot lasten välillä kasvoivat koulun alun jälkeen n Aunio et al. (2015) raportoi, että lapset, jotka aloittivat esikoulun heikoilla matemaattisilla taidoilla olivat heikkoja myös esikoulun lopussa, eivätkä tavoittaneet tavallisesti osaavien ikätoverien osaamistasoa. n Hannula-Sormunen et al. (2015) lisää, että spontaani lukumäärien havaitseminen ennen koulua ennustaa hyvin myöhempää matemaattista osaamista 66

67 Koulunaloittajien matemaattisten taitojen kehitys (2) n McMullen et al. (2016) tulokset osoittavat, että lasten spontaani fokusoiminen lukumääriin on hyvä ennustaja myöhemmälle rationaalilukujen osaamiselle n McMullen et al. (2014) lisäävät, että pienten lasten spontaani kyky kiinnittää huomiota lukumäärien suhteisiin ennustaa hyvin myöhempää murtolukujen osaamista. n Zhang et al (2014) tutkimus osoitti, että kirjoitettu kielitaito on tärkeää varhaisille aritmetiikan taitojen kehitykselle n Björn et al. (2016) toteavat, että luetun ymmärtämisen taidot ovat tärkeä osa matemaattista ongelman ratkaisua 67

68 Matemaattisten taitojen kehitys ja motivationaaliset tendenssit (1) n Aunola et al. (2006) osoittivat, että tehtäväorientoituminen matemaattisiin tehtäviin jo ennen koulun alkua on merkityksellinen, koska korkea matematiikan osaaminen koulun alussa nosti tehtävä orientoitumista, joka ennusti osaamista toisen luokan alussa n Opettajien toiminta vaikuttaa lasten tehtävä orientoitumiseen n Viljaranta et al. (2009) täydentää edellistä tulosta raportoimalla, että mitä enemmän lapset raportoivat tehtävä orientoitunutta motivaatiota esikoulun alussa sitä korkeampi oli heidän artimeettinen osaaminen esikoulun lopussa - Mitä parempi aritmeettinen osaaminen, sitä kiinnostuneempia lapset olivat matematiikasta Pirjo Aunio 68

69 Matemaattisten taitojen kehitys ja motivationaaliset tendenssit (2) n Aunola et al. (2003) raportoivat, että vanhempien usko lapsen yleiseen kouluosaamiseen lisäsi lapsen tehtäväorientoitunutta toimintaa ja ennusti hyvää matemaattista osaamista. n Vanhempien usko lapsen matemaattiseen osaamisen vaikutti positiivisesti lapsen matemaattiseen osaamiseen n Slilinskas et al (2010) osoittivat, että mitä alhaisempi oli vanhempien sosio-ekonominen status, sitä enemmän he opettivat lapsiaan matematiikassa ja lukemisessa ensimmäisellä luokalla - Mitä heikommat taidot lapsella oli matematiikassa koulun alussa, sitä enemmän vanhemmat raportoivat opettavansa myöhemmin Pirjo Aunio 69

70 Matemaattiset erot ja kognitiiviset taidot yläkoulussa n Kyttälä & Lehto (2008) osoittivat, että yläkoululaisten osaaminen matemaattisissa tehtävissä oli yhteydessä joustavaan älykkyyteen ja passiiviseen visuospatiaaliseen työmuistiin n Kyttälä (2008) toteaa, että sellaiset yläkoululaiste, joilla on oppimisvaikeutta matematiikassa ja lukemisessa, on myös yleisesti vaikeuttaa visuospatiaalisessa työmuistissa n Ne, joilla oli vaikeuksia vain matematiikassa, heillä oli vaikeuksia vain passiivisen visaalisen informaation samanaikaisessa säilyttämisessä Pirjo Aunio 70

71 Matemaattiset erot yläkoulussa n Hakkarainen et al. (2013, 2015) osoittivat, että matemaattiset ja lukemisen oppimisvaikeudet ennustivat vahvasti kouluosaamista 9-luokan lopussa n siirtymistä toiselle asteelle n Koulutuksellista syrjäytymistä n Hakkarainen et al. (2013) ja Korhonen et al. (2010) toteavat, että lukemisen taidot olivat yhteydessä matemaattisten taitojen osaamiseen 9-luokalla n Korhonen et al. (2014) löysi yläkoulun päättäjistä kaksi oppimisprofiilia, jotka olivat erityisen herkkiä koulutuksesta syrjäytymiselle - Heikko osaaminen ja akateeminen hyvinvointi - Osaaminen on ok; akateeminen huonovointisuus Pirjo Aunio 71

72 Matemaattiset erot yläkoulussa n Korhonen et al. (2016) havaitsi eroja tyttöjen ja poikien väillä siinä, miten matematiikka ja kiinnostus olivat yhteydessä oppimisen tavoitteisiin n Tyttöjen kohdalla kiinnostus matematiikkaan ennusti sitä mitä he tavoittelivat n Pojilla osaaminen oli parempi ennustaja n Tytöillä ja pojilla kouluun liittyvä loppuunpalaminen ennusti kiinnostuksen kautta osaamista matematiikassa ja lukemisessa - Tytöillä suora postiivinen yhteys oppimiseen liittyviin tavoitteisiin Pirjo Aunio 72

73 Matemaattiset erot yläkoulussa n Niemivirta ja Tapola (2009) n Minäpystyvyys + kiinnostus ongelmanratkaisutehtävässä n Minäpystyvyys ja kiinnostus korreloi positiivisesti n Kun osaamisen taso kontrolloitiin, alukuperäinen minäpystyvyys ja muutos kiinnostuksessa ennusti tehtävän suoritustasoa n Kyttälä & Björn (2010) toteavat, että matematiikkaan liittyvä ahdistuneisuus (anxiety) on enemmänkin opetuksellinen lopputulos kun oppimiseen vaikuttava tekijä 14-vuotiailla nuorilla - Vaikka ahdistuneisuus ei ennusta osaamista, se on uhka hyvinvoinnille kaikissa osaamisryhmissä 73