Optimoinnin haasteet ja hyödyt
|
|
|
- Johanna Karjalainen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Optimoinnin haasteet ja hyödyt esimerkkejä elävästä elämästä Prof. Marko M. Mäkelä Turun yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
2 Turku Optimization Group (TOpGroup ) Johtaja: - Marko M. Mäkelä Tutkijat: - Stefan Emet - Yury Nikulin - Napsu Karmitsa Jatko-opiskelijat: - Outi Wilppu - Kaisa Joki - Ville-Pekka Eronen - Olga Karelkina (väit ) - Seppo Pulkkinen (väit ) - Vladimit Korotkov (väit )
3 Turku Optimization Group (TOpGroup ) Optimointialat: - epäsileä optimointi - monitavoiteoptimointi - globaali optimointi - diskreetti optimointi - sekalukuoptimointi - robusti optimointi Teoriaa, menetelmiä ja sovelluksia!
4 Yhteistyökumppanit Kansalliset: - Åbo Akademi - Aalto yliopisto - Jyväskylän yliopisto - Tampereen teknillinen yliopisto (Pori) Kansainväliset: - University of Ballarat, Australia - University of Southern Denmark - Belarusian State University, Minsk, Belarus - Imperial College London, United Kingdom - Federal University of Rio de Jaineiro, Brazil - Polish Academy of Sciences, Warsaw, Poland - Witwatersrand University, Johannesburg, South Africa - Academy of Sciences, Czech Republic - Universidad Católica de la Ssma. Concepción, Chile - Pontificia Universidad Catolica de Chile
5 Matemaattinen mallintaminen mallinnus = ilmiön kuvaamista matemaattisten yhtälöiden avulla simulointi = ilmiön matkimista tietokoneella optimointi = parhaan ratkaisun etsimistä annetuissa olosuhteissa Fysikaalinen ilmiö Matemaattinen malli Numeerinen malli Tulosten analysointi
6 Optimointi: Parhaan mahdollisen ratkaisun etsimistä sallituissa olosuhteissa lyhimmän reitin ongelma, kauppamatkustaja lukujärjestys, aikataulut, pakkausongelma, selkäreppu tukiasemien sijoittelu teiden linjaus, reititys tuotantolinjan optimisäätö minimikustannukset, maksimivoitto, jne.
7 Optimointitehtävä matemaattisesti: Minimoi/maksimoi f (x) siten että x S, missä x on (päätös, suunnittelu, kontrolli, säätö)muuttuja, f on kohde(objekti, kriteeri, kustannus, hyöty)funktio, S on sallittujen pisteiden joukko (sallittu joukko, rajoitejoukko, käypä joukko, sallittu alue, jne.). Lisäksi: parametrit, esim. f (x) = x T Qx indeksit, esim x ijk
8 Optimointialoja: Lineaarinen optimointi (LP) Epälineaarinen optimointi (NLP, mathematical programming) Konveksi optimointi Kvadraattinen optimointi (QP) Diskreetti (kokonaisluku) optimointi Sekalukuoptimointi (MILP/MINLP) Kombinatorinen optimointi Stokastinen optimointi (vs. deterministinen) Sumea optimointi Robusti optimointi Dynaaminen optimointi Globaali optimointi Epäsileä optimointi Monitavoiteoptimointi Geometrinen optimointi Variaatiolaskenta Kontrolliteoria, (Optimi)säätöteoria Portfolio-optimointi Semi-ääretön optimointi (semi-infinite programming, SIP) Semidefiniitti optimointi (SDP) Fraktionaalinen optimointi (FP) jne
9 Turun saariston yhteysalusverkosto:
10 Yhteysalusverkon reititys- ja aikataulutusongelma optimointikriteerit: käyttökustannukset (min) palvelutasot (max) päätösmuuttujat - vastaavat mm. seuraaviin kysymyksiin: Ajaako tietty alus tietyn reitin tiettyyn aikaan? (bin) Käytetäänkö tiettyä alusta tiettynä vuodenaikana? (bin.) Liikennöikö tietty alus kahdella miehistöllä? (bin) Kuinka monta kysyntäyksikköä tietty alus kuljettaa? (kok.luku) Kuinka suuri palvelutaso tietyllä reitillä saavutetaan? (jatkuva) jne. rajoitukset: alus vain yhdellä reitillä kerrallaan, kapasiteetit, työaikalainsäädäntö, jne. parametrit: alusten nopeudet, reittien pituudet, aikarajat, polttoaineen hinnat, jne.
11 1. päätös: Ajaako Eivor Utön reitin kesällä maanantaiaamuisin? 2 vaihtoehtoa 2. päätös: Ajaako Eivor Utön reitin kesällä maanantai-iltaisin? 4 vaihtoehtoa 3. päätös: Ajaako Eivor Utön reitin talvella maanantai-iltaisin? 8 vaihtoehtoa 4. päätös: Ajaako Finnö Utön reitin talvella maanantai-iltaisin? 16 vaihtoehtoa 5. päätös: Ajaako Finnö Paraisten reitin talvella maanantai-iltaisin? 32 vaihtoehtoa 20. päätös: Ajaako Cheri Paraisten reitin kesällä maanantai-iltaisin? yli miljoona vaihtoehtoa
12 Matemaattiset haasteet (vs. LP-malli) epälineaarisuus transformaatiotekniikat (vs. linearisointi) monitavoitteisuus skalarisointi (rajoiteyhtälömenetelmä) sarja yksitavoitteisia MILP-tehtäviä sekalukutehtävä haaroitusmenetelmä (branch & bound) relaksointi sarja jatkuvia LP-tehtäviä tehtävän koko 300 miljoonaa päätösmuuttujaa 1 miljoona diskreettiä muuttujaa 'eksponentiaalisen kasvun kirous'
13 Monitavoitteinen lineaarinen sekalukutehtävä: min c 1T x + c 2T y + c 3T z max s 1T x + s 2T y + s 3T z (kustannukset) (palvelutasot) siten että A 1 x + A 2 y + A 3 z b, x 0, z 0, x R n, y i {0,1} kaikilla i=1,, m ja z Z k.
14 ei ratkea nykypäivän parhailla supertietokoneillakaan!!! pienemmät ratkeavat osamallit ( ~ tuhansia muuttujia) uuden aluksen hankinta (ominaisuudet) GAMS & ILOG CPLEX satsaus tulevaisuuteen
15 Ensihoidon optimaalinen järjestäminen Ambulanssien kiinteiden sijoituspaikkojen optimointi Tavoitteet: palveluvutasot, saavutettavuus (max) kustannukset (min) Mallit: monitavoitteinen diskreetti optimointimalli paikkatietokantapohjainen malli
16 Sahahakkeen laadun optimointi Uusiutuva biopolttoaine Sahahaketta ja purua 15 % Seulonta: 6 kokoluokkaa, loput purua Laatuluokat (asiakaskohtaiset) Tehtävä: optimoi hakkeen koostumus (laatu/määrä) Matemaattinen malli: LP-tehtävä Numeerinen malli: Simplex-menetelmä (Lingo) Ratkaisu: ylisuuri- ja hienojae seulotaan kokonaan pois, tikkujae kokonaan mukaan, ylipaksujakeesta pois 35 % Herkkyysanalyysi: pullonkaulana laatuarvon yläraja
17 Kuormauslavan pakkausongelma 3D-pakkausongelma Manuaalinen pakkaus automatisoitu robottilinja Tavoitteet: täyttöasteen maksimointi stabiilisuuden maksimointi Kaksitasoinen optimointi: Pakkausjärjestys (Geneettinen algoritmi) Pakkaaja (pakkausheuristiikka)
18 Tavoitteet: Paperinvalmistuslinjan mallinnus ja optimointi hyvälaatuinen lopputuote (paperi) koneen maksimaalinen ajettavuus Malli: monifysikaalinen (kytketty) malli - virtausdynamiikka (Navier-Stokes) - tilastolliset mallit
19 Häivetekniikkaan perustuvan lentokoneen muodonoptimointi Tavoitteet: mahdollisimman heikko tutkakaiku mahdollisimman hyvät aerodynaamiset ominaisuudet Malli: monifysikaalinen malli - virtausdynamiikka (Navier-Stokes) - sähkömagneettinen säteily (Maxwell) - lujuuslaskenta (Hooken laki)
20 Tavoitteet: Metsätyökoneiden optimaalinen muodonsuunnittelu tehokkuus tuotantokustannukset ergonomiset kriteerit ekologiset kriteerit psygologinen kriteeri paino Malli: analyyttinen malli (lujuuslaskenta) FEM-malli Optimointi: epäsileä ja epäkonveksi monitavoitteinen rajoitteet
21 Tulokset: Metsätyökoneiden optimaalinen muodonsuunnittelu puomien painosta pois 20 % automatisoitu tuotantoprosessi ohuempi materiaali helpompi työstää
22 Muita sovelluksia: - teräksen jatkuvavalu - EMF-kalvoon perustuvan litteän kaiuttimen muodonoptimointi - ultraäänilähettimen muodonoptimointi - aktiivinen meluntorjunta - sädehoidon suunnittelu - tietoliikenneverkon kapasiteetin optimointi - piirilevyjen suunnittelu - sokeriteollisuuden erotteluongelmat - lentokentän toiminnan suunnittelu - konttilaivaston logistiikka - sataman konttikentän mallinnus ja simulointi - ennakoiva huolto (Preventive Maintenance)
23 Optimoinnin haasteet: Reaalimailman epäjatkuvuus Epäsileä optimointi Reaalimaailman epäkonveksisuus Globaali optimointi Metaheuristiikat ja hybridimenetelmät Useita ristiriitaisia tavoitteita Monitavoiteoptimointi Sekä jatkuvia että diskreettejä muuttujia Sekalukuoptimointi Suuret tehtävät (Big Data) Menetelmien tehostaminen Vastepinta- ja metamallit Suurempien kokonaisuuksien hallinta Monitieteiset (Multidisciplinary) mallit Epätarkka tai puutteellinen data Epävarmuuden käsittely, Robusti- ja stokastinen optimointi Herkkyys- ja stabiilisuusanalyysi
24 Optimoinnin hyödyt: Paremmat (optimaaliset) lopputuotteet Tuotantoprosessien (ml. logistiikka, varastonhallinta, huolto) tehostuminen Kilpailukyvyn lisääntyminen Suurempien kokonaisuuksien hallinta Ilmiöiden ja prosessien ymmärryksen lisääntyminen Uudet innovaatiot Optimoinnin ulottaminen liikkeenjohdon tasolle Älykkäät päätöksenteon tukijärjestelmät
25 Tutkimusyhteistyö Työn tilaaja yritys julkisyhteisö (kaupunki, kunnat,...) tutkimuslaitos Työn toteutus opinnäytetyö tutkimusprojekti (Tekes, EU) tilaustutkimus Opinnäytetyö työn muoto (pro gradu, kanditutkielma, mallinnusprojekti, ) rahoitus ei rahaliikennettä ulkopuolinen palkkatyö tutkimusprojekti (apuraha) aikataulu työn julkisuus tulokset opinnäyte
26 SMAT5216 Mallinnusprojekti 8 12 op Tavoitteet: mallintaa ja ratkaista joku reaalimaailman matemaattinen ongelma omaksua työelämässä käytetyn projektityöskentelyn periaatteet Ajoitus: Syventävät opinnot, 3. n. vuosi Arvostelu: 0 5 (tarvittaessa henkilökohtainen) Soveltuvuus: MOS Muoto ja suoritustapa: projektimuotoinen (2-4 henkilön) ryhmätyö projektisuunnitelman laadinta ja esittely muiden ryhmien suunnitelmien opponointi viikoittaiset projektipalaverit (kiertävä puheenjohtajuus, mukana ohjaaja ja tilaaja) palaverimuistiot (kiertävät sihteerin tehtävät) henkilökohtainen ajankäyttöpäiväkirja (tehdyt työt ja tunnit) projektikansio (suunnitelma, tutkimusraportti, muistiot, ohjelmistot, itsearviointi), loppuesitys (20-30 min., julkinen, ohjelmistodemo) Projektityö on välttämätöntä, sillä se antaa tekosyyn syyttää virheistä muita.
27 Toteutuneita projekteja: 2007: Geneettiset vuorovaikutukset: mallinnus ja data-analyysi (GIN, Tero Aittokallio) Eläinten kuvionmuodostus (PILVI, Kalle Parvinen) 2009: Geneettisten interaktioiden mekanistinen mallinnus (GIM, Tero Aittokallio) Satamatoimintojen mallintaminen (SATAMA, MKK) MIMO-OFDM simulation and analysis (MIMOSA, IT-laitos) 2011: Symboliset laskimet yliopisto-opetuksessa (Symppis, Kalle Parvinen) Hengitysliikkeen mallinnus sydämen PET-kuvantamisessa (Help Pete, PET-keskus) Robust discerete optimization with fuzzy parameters (SPOFI, Yury Nikulin) Cross-docking satamaterminaalissa (SATAMA 2011, MKK) Sandwich-levyjen ääneneristävyyden mallinnus (Sämpylä, Työterveyslaitos) 2013: Hengitysgeittaus PET- ja TT-kuvantamisessa (PETLAB, PET-keskus) Konttilaivaston optimointia (CFO, Cargotec Finland Oy) Massajakauman mallinnus 3-D pakkausongelmassa (MassMal, Kine Robotic Solutions Oy)
28 Kiitos!
Matemaattinen optimointi I -kurssin johdantoluento Prof. Marko M. Mäkelä Turun yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Matemaattinen optimointi I -kurssin johdantoluento 10.1.2017 Prof. Marko M. Mäkelä Turun yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Optimointi: Parhaan mahdollisen ratkaisun etsimistä sallituissa
SMAT5216 Mallinnusprojekti 10(+2) op
Projektisanastoa: Useita erilaisia lähestymistapoja kokeillaan jatkuvasti. - Me vasta arvailemme. Projektin koordinointi on tiivistä. - Olemme istuneet yhdessä kahvilla. Olemme ottaneet käyttöön kokonaan
SMAT5216 Mallinnusprojekti 8-12 op
Projektisanastoa: Useita erilaisia lähestymistapoja kokeillaan jatkuvasti. - Me vasta arvailemme. Projektin koordinointi on tiivistä. - Olemme istuneet yhdessä kahvilla. Olemme ottaneet käyttöön kokonaan
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Yleistä https://korppi.jyu.fi/kotka/r.jsp?course=96762 Sisältö Johdanto yksitavoitteiseen
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
Logistiikkajärjestelmien mallintaminen - käytännön sovelluksia
FORS-seminaari 2005 - Infrastruktuuri ja logistiikka Logistiikkajärjestelmien mallintaminen - käytännön sovelluksia Ville Hyvönen EP-Logistics Oy Taustaa Ville Hyvönen DI (TKK, teollisuustalous, tuotannon
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla
TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi
TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/
Keskeiset tulokset heikko duaalisuus (duaaliaukko, 6.2.1) vahva duaalisuus (6.2.4) satulapisteominaisuus (6.2.5) yhteys KKT ehtoihin (6.2.
Duaalisuus Lagrangen duaalifunktio ja duaalitehtävä määrittely ja geometria max θ(u,v), missä θ(u,v)=inf x X ϕ(x,u,v) s.e u 0 Lagr. funktio ϕ(x,u,v)=f(x)+u T g(x)+v T h(x) Keskeiset tulokset heikko duaalisuus
Sekalukuoptimointi. Lehtonen, Matti Matemaattisen ohjelmoinnin seminaari, Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto
Sekalukuoptimointi Lehtonen, Matti Matemaattisen ohjelmoinnin seminaari, 2000-10-11 Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto 1 Tiivistelmä Seminaarin aihe käsittelee globaalin optimoinnin erästä
Kokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:
Joonas Haapala Ohjaaja: DI Heikki Puustinen Valvoja: Prof. Kai Virtanen
Hävittäjälentokoneen reitin suunnittelussa käytettävän dynaamisen ja monitavoitteisen verkko-optimointitehtävän ratkaiseminen A*-algoritmilla (valmiin työn esittely) Joonas Haapala 8.6.2015 Ohjaaja: DI
Optimointi. Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa. Ongelman mallintaminen. Mallin ratkaiseminen. Ratkaisun analysointi
Optimointi Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa Ongelman mallintaminen Mallin ratkaiseminen Ratkaisun analysointi 1 Peruskäsitteitä Muuttujat: Sallittu alue: x = (x 1, x 2,...,
Kon Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö
Kon-15.4199 Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö 22.1.2016 Harjoituksessa 1. Varmistetaan että kaikilla on pari! Ilmoittautukaa oodissa etukäteen! 2. Tutustutaan ensimmäiseen tehtävään
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
Mat Optimointiopin seminaari kevät Monitavoiteoptimointi. Tavoitteet
Mat-2.142 Optimointiopin seminaari kevät 2000 Monitavoiteoptimointi Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 1 Tavoitteet Monitavoitteisten optimointitehtävien ratkaisukäsitteet ja soveltamismahdollisuudet
Harjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Monitavoiteoptimointi Mitä monitavoitteisuus tarkoittaa? Halutaan saavuttaa
Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista
Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista (eli mitä kaikkea kokonaisluvuilla voi mallintaa) 27. marraskuuta 2013 Pääoman budjetointiongelma Kulut Projekti Vuosi 1 Vuosi 2 Vuosi 3 Tuotto 1 5 1 8 20 2
Luodin massajakauman optimointi
Luodin massajakauman optimointi Janne Lahti 01.09.2017 Ohjaaja: DI Mikko Harju Valvoja: Prof. Kai Virtanen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki
Monitavoiteoptimointi
Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa
TTY Porin laitoksen optimointipalvelut yrityksille
TTY Porin laitoksen optimointipalvelut yrityksille Timo Ranta, TkT Frank Cameron, TkT timo.ranta@tut.fi frank.cameron@tut.fi Automaation aamukahvit 28.8.2013 Optimointi Tarkoittaa parhaan ratkaisun valintaa
Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla
Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla Erkki Heikkola Numerola Oy, Jyväskylä Laskennallisten tieteiden päivä 29.9.2010, Itä-Suomen yliopisto, Kuopio Putkistojen äänenvaimentimien suunnittelu
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Bensonin algoritmilla
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Bensonin algoritmilla Juho Andelmin 21.01.2013 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Raimo P. Hämäläinen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
Optimoinnin sovellukset
Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän
Epälineaarinen hinnoittelu: Diskreetin ja jatkuvan mallin vertailu
Epälineaarinen hinnoittelu: Diskreetin ja jatkuvan mallin vertailu 11.4.2011 Ohjaaja: TkT Kimmo Berg Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Esityksen sisältö: Hinnoittelumallien esittely Menetelmät Esimerkkitehtävän
Optimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
Optimoinnin mahdollisuudet tilaus- ja toimitusketjujen hallinnassa. Helsinki, 9.4.2013 Olli Bräysy
Optimoinnin mahdollisuudet tilaus- ja toimitusketjujen hallinnassa Helsinki, 9.4.2013 Olli Bräysy Optimointi käsitteenä Optimoinnilla viitataan parhaimman mahdollisen ratkaisun etsimiseen annettujen kriteerien
OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI
OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI 2008-2009 Muutokset on hyväksytty teknillisen tiedekunnan tiedekuntaneuvostossa 13.2.2008 ja 19.3.2008. POISTUVAT OPINTOJAKSOT:
OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAn JA FYSIIKAN LAITOS LUKUVUOSI
OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAn JA FYSIIKAN LAITOS LUKUVUOSI 007-008 POISTUVAT OPINTOJAKSOT: Ti41010 Matematiikka EnA1 op Ti41010 Matematiikka KeA1 op Ti410170 Matematiikka SäA1 op Ti410140
Matemaattinen optimointi I, demo
Matemaattinen optimointi I, demo 3 29.1.2015 Demo 3 järjestetään Quantumin mikroluokassa normaaleina demoaikoina. Tavoitteena on harjoitella kurssilla tarvittavien optimointiohjelmistojen käyttöä. Demopisteet
Eläkelaitoksen Optimointimallin Rakentaminen
Teknillinen korkeakoulu Mat-2.177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari Kevät 2006 Eläkelaitoksen Optimointimallin Rakentaminen Projektisuunnitelma 22.2.2006 Michael Gylling Matti Konttinen Jarno Nousiainen
OPERAATIOTUTKIMUS METSÄTALOUDESSA
OPERAATIOTUTKIMUS METSÄTALOUDESSA Jyrki Kangas, UPM Metsä & Annika Kangas, Helsingin yliopisto Alustus FORS-seminaarissa 'Operaatiotutkimus metsäsektorilla' 24.5.2006 Helsinki Tyypillisimmät OR-tehtävät
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Jerri Nummenpalo 17.09.2012 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.
Aircraft Maintenance Scheduling with Multi- Objective Simulation- Optimization
Aircraft Maintenance Scheduling with Multi- Objective Simulation- Optimization 7.5.2011 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Raimo Hämäläinen Tausta Ilmavoimilla tärkeä rooli maanpuolustuksessa Rauhan aikana
Harjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat
Tutkintovaatimukset suoraan DI-vaiheeseen valituille
1 / 10 Tutkintovaatimukset suoraan DI-vaiheeseen valituille Tutkintovaatimukset määräytyvät suoraan DI-vaiheeseen valituilla opiskelijoilla pääsääntöisesti samoin kuin muillakin DI-tutkintoa suorittavilla
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä
Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely)
Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely) Esitelmöijä Olli Rentola päivämäärä 21.1.2013 Ohjaaja: TkL Anssi Käki Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa
Harjoitus 1 (17.3.2015)
Harjoitus 1 (17.3.2015) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Helsinki 4 = Kuopio 5 = Joensuu. a) Tehtävänä on ratkaista Bellman
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 12.3.2018 Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 297 4 2 4 163 3 454 6 179 2 136 2 169 2 390 4 3 436 7 5 Kuva 1: Tehtävän 1
Varastonhallinnan optimointi
Varastonhallinnan optimointi Komponenttien ostojen optimointi OPTIMI-hanke Matti Säämäki tutkimusapulainen Nopea tiedonvälitys, kansainvälistyvä kilpailu ja konsulttien vaikutusvallan kasvu on tuonut vallitseviksi
Mat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 9..7 Luento Kokonaislukuoptimoinnin algoritmeja (kirja.-.) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Luentorunko Gomoryn leikkaava taso Branch & Bound Branch & Cut Muita menetelmiä
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus
Tuotantoprosessin optimaalinen aikataulutus (valmiin työn esittely)
Tuotantoprosessin optimaalinen aikataulutus (valmiin työn esittely) Joona Kaivosoja 01.12.2014 Ohjaaja: DI Ville Mäkelä Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla
Malliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
12. luento: Simplexin implementointi Mallinnusjärjestelmät. Simplexin implementointiin liittyviä asioita
Simplex-menetelm menetelmän laskennalliset tekniikat 12. luento: Simplexin implementointi Mallinnusjärjestelmät Matemaattisten algoritmien ohjelmointi Kevät 2008 / 1 Simplexin implementointiin liittyviä
Metsikkötason optimointi metsäsuunnittelussa, esimerkkinä SMA
Metsikkötason optimointi metsäsuunnittelussa, esimerkkinä SMA SIMO-seminaari 2.11.2007 Lauri Valsta Metsäekonomian laitos Sisältö Metsikkötason suunnittelun käyttökohteet Katsaus menetelmiin SMA:n rakenne
Finanssitekninen opetustarjonta Turussa
Finanssitekninen opetustarjonta Turussa Luis H. R. Alvarez Suomen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 29.3.2012 Olemassa olevan koulutuksen kuvaus Turussa vakuutusliiketoimintaan (tai laveasti ottaen finanssitoimialaan)
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
Harjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
Harjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
ENSIHOITOMALLINNUS. Malli laskee asemapaikkojen määrän ja sijainnin, ambulanssien määrän, palvelun peittoprosentin ja kustannukset
ENSIHOITOMALLINNUS Malli laskee asemapaikkojen määrän ja sijainnin, ambulanssien määrän, palvelun peittoprosentin ja kustannukset ENSIHOITO: taustaa Ensihoito on sairastuneen tai vammautuneen potilaan
Luetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin
Kasvuyrityksen tuotekehitysportfolion optimointi (valmiin työn esittely)
Kasvuyrityksen tuotekehitysportfolion optimointi (valmiin työn esittely) Santtu Saijets 16.6.2014 Ohjaaja: Juuso Liesiö Valvoja: Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 PO pisteiden määräämismenetelmät Idea: tuotetaan erilaisia PO ratkaisuita, joista
OPTIMOINNIN JA PÄÄTÖKSENTEON MAISTERI- KOULUTUS (OPTI)
OPTIMOINNIN JA PÄÄTÖKSENTEON MAISTERI- KOULUTUS (OPTI) 24.10.2013 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO INFORMAATIOTEKNOLOGIAN TIEDEKUNTA 2013 1. AJANKOHTAISUUS Kilpailu kiristyy kaikilla elämänalueilla koko ajan asiat
Kokemuksia ja näkemyksiä teollisuusmatematiikan koulutuksen kehittämisestä
Kokemuksia ja näkemyksiä teollisuusmatematiikan koulutuksen kehittämisestä Erkki Heikkola, Pasi Tarvainen Numerola Oy, Jyväskylä Teollisuusmatematiikan päivä 15.10.2009, Helsingin yliopisto Numerola Oy
MAT -2.3134 PÄÄTÖKSENTEKO JA ONGELMANRATKAISU
MAT -2.3134 PÄÄTÖKSENTEKO JA ONGELMANRATKAISU Syksy 2007 Ahti Salo / Juuso Liesiö 1 Miksi kurssi päätöksenteosta? Välitön oppimistavoite päätösongelmien jäsentäminen moniulotteisuuden hahmottaminen monenlaisiin
Lentotiedustelutietoon perustuva tykistön tulenkäytön optimointi (valmiin työn esittely)
Lentotiedustelutietoon perustuva tykistön tulenkäytön optimointi (valmiin työn esittely) Tuukka Stewen 1.9.2017 Ohjaaja: DI Juho Roponen Valvoja: prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
Sovelletun fysiikan laitoksen tutkimus- ja yritysyhteistyö osana yhteiskäyttölaboratoriota
Vesitutkimuksen koulutus- ja tutkimusympäristön esittely, 22.3.2011 Sovelletun fysiikan laitoksen tutkimus- ja yritysyhteistyö osana yhteiskäyttölaboratoriota Prof. Marko Vauhkonen Sovelletun fysiikan
Logistiikan optimointi- ja ohjausjärjestelmä TCS-Opti
Logistiikan optimointi- ja ohjausjärjestelmä TCS-Opti Taustaa.. Logistiikan ohjaus on fyysisten toimintojen ja koko logistiikan suunnittelua, kehitystä ja valvontaa. Siihen liittyvät järjestelmät voidaan
Demo 1: Branch & Bound
MS-C05 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 7 Ehtamo Demo : Branch & Bound Ratkaise lineaarinen kokonaislukuoptimointitehtävä käyttämällä Branch & Boundalgoritmia. max x + x s.e. x + 4x 9 5x + x 9 x Z
HOPS Henkilökohtainen opintosuunnitelma LuK -tutkintoon
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastotiede HOPS - Tilastotiede HOPS Henkilökohtainen opintosuunnitelma LuK -tutkintoon Nimi: Syntymäaika: Ammatti ja urasuunnitelmat: Muuta:
Lataa Matemaattinen mallinnus. Lataa
Lataa Matemaattinen mallinnus Lataa ISBN: 9789510354087 Sivumäärä: 272 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 17.27 Mb Tietokoneiden, ohjelmistojen ja informaatioteknologian nopea kehitys vahvistaa laskennallisen
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen
Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä
Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä Vesa Husgafvel 19.11.2012 Ohjaaja: DI Mirko Ruokokoski Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan
How to Support Decision Analysis with Software Case Förbifart Stockholm
How to Support Decision Analysis with Software Case Förbifart Stockholm (Valmiin työn esittely) 13.9.2010 Ohjaaja: Prof. Mats Danielson Valvoja: Prof. Ahti Salo Tausta -Tukholman ohikulkutien suunnittelu
Tuotannon jatkuva optimointi muutostilanteissa
Tuotannon jatkuva optimointi muutostilanteissa 19.4.2012 Henri Tokola Henri Tokola Esityksen pitäjä 2009 Tohtorikoulutettava Aalto-yliopisto koneenrakennustekniikka Tutkimusaihe: Online-optimointi ja tuotannonohjaus
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Katkonnanohjaus evoluutiolaskennan keinoin
Katkonnanohjaus evoluutiolaskennan keinoin Askel kohti optimaalista tavaralajijakoa Veli-Pekka Kivinen HY, Metsävarojen käytön laitos Katkonnanohjauksen problematiikkaa Miten arvo-/tavoitematriisit tulisi
MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen
MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
Mat Systeemien identifiointi, aihepiirit 1/4
, aihepiirit 1/4 Dynaamisten systeemien matemaattinen mallintaminen ja analyysi Matlab (System Identification Toolbox), Simulink 1. Matemaattinen mallintaminen: Mallintamisen ja mallin määritelmät Fysikaalinen
73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2
73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 Risto Silvennoinen Tampereen teknillinen yliopisto, kevät 2004 1. Peruskäsitteet Optimointiteoria on sovelletun matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan funktioiden
monitavoitteisissa päätöspuissa (Valmiin työn esittely) Mio Parmi Ohjaaja: Prof. Kai Virtanen Valvoja: Prof.
Epätäydellisen preferenssiinformaation hyödyntäminen monitavoitteisissa päätöspuissa (Valmiin työn esittely) Mio Parmi 15.1.2018 Ohjaaja: Prof. Kai Virtanen Valvoja: Prof. Kai Virtanen Tausta Päätöspuu
TFM-tutkinto-ohjelma, tekniikan kandidaatin tutkinnon pääaineet lv Teknillinen fysiikka Matematiikka Mekaniikka Systeemitieteet
TFM-tutkinto-ohjelma, tekniikan kandidaatin tutkinnon pääaineet lv 2006-2007 Teknillinen fysiikka Matematiikka Mekaniikka Systeemitieteet 12.7.2006 Tekniikan kandidaatin tutkinto 1, teknillinen fysiikka
Kombinatorinen optimointi
Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus
Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)
Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien
Harjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
Talousmatematiikan perusteet: Johdanto. Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen
Talousmatematiikan perusteet: Johdanto Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen Kurssin tavoitteet Matematiikkaa hyödynnetään monilla kauppa- ja taloustieteen osaalueilla Esim.
Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen
Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen
Panosprosessien integroitu hallinta
Panosprosessien integroitu hallinta Jari Hämäläinen VTT Tuotteet ja tuotanto jari.hamalainen@vtt.fi Panosprosessien integroitu hallinta - PINHA 1.10.1999-31.1.2003 Kehitettiin uusia simulointiin ja optimointiin
Malliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
TIES483 Epälineaarinen optimointi
TIES483 Epälineaarinen optimointi Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen jussi.hakanen@jyu.fi Syksy 2012 Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen Käytännössä tulee kiinnittää huomiota ainakin seuraaviin
Kon Simuloinnin Rakentaminen Janne Ojala
Kon 16.4011 Simuloinnin Rakentaminen Janne Ojala Simulointi käytännössä 1/3 Simulaatiomalleja helppo analysoida Ymmärretään ongelmaa paremmin - Opitaan ymmärtämään koneen toimintaa ja siihen vaikuttavia
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Bensonin algoritmilla
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Bensonin algoritmilla Juho Andelmin 21.1.213 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Raimo P. Hämäläinen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
ALGORITMIT & OPPIMINEN
ALGORITMIT & OPPIMINEN Mitä voidaan automatisoida? Mikko Koivisto Avoimet aineistot tulevat Tekijä: Lauri Vanhala yhdistä, kuvita, selitä, ennusta! Tekijä: Logica Mitä voidaan automatisoida? Algoritmi
F901-P Perusopinnot P (80 op) op opetusperiodi
Vanhan TFM kanditutkinnon kurssien korvaaminen uusilla 9.4.2013 F901-P Perusinnot P (80 ) Mat-1.1010 Matematiikka L1 10 MS-A0001 Matriisilaskenta MS-A0101 Differentiaali- ja I II integraalilaskenta 1 Mat-1.1020
Erasmus liikkuvuus Suomesta
Erasmus liikkuvuus Suomesta 2007 2013 2(13) ERASMUS-opiskelijaliikkuvuus Suomesta maittain Kohdemaa 2007/08 2008/09 2009/10 2010/11 2011/12 2012/13 AT - Austria 239 242 230 264 294 271 BE - Belgium 88
TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS
1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan