3 Ääni ja kuulo 3.1 Intro e1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin aallon etenemissuunta.
Ihmiskorva havaitsee ääniaallot taajuusvälillä 20 Hz 20 khz. 2 Monet eläimet kuulevat ääniaaltoja jotka ovat ihmiskorvan kuuloalueen ulkopuolella (esimerkiksi norsut ja valaat matalia taajuuksia, koirat ja lepakot korkeita). Ääniaalto voidaan määritellä joko väliaineen hiukkasten värähtelyn kautta (siirtymäaalto) tai paineenvaihteluiden kautta (paineaalto). Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta.
3 Määritellään aineen puristuvuuskerroin (bulk modulus) seuraavasti: kun paine homogeenisen kappaleen ulkopuolella kasvaa, puristuvuuskerroin on se suhde, minkä verran aineen tilavuus muuttuu suhteessa paineen muutokseen. Yhtälönä siis B = ( P V ). V
Tarkastellaan nyt yksinkertaisuuden vuoksi ääniaaltoa joka liikkuu vain yhdessä dimensiossa; etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Aallon yhtälö on siis 4 y(x, t) = A cos(kx ωt), missä y on nyt väliaineen poikkeama samaan suuntaan aallon liikesuunnan kanssa. Tässä muodossa esiintyvä A:ta kertoo siis minkä verran väliaineen atomit poikkeutuvat paikoiltaan aallon vaikutuksesta, ja sitä kutsutaankin poikkeutusamplitudiksi (displacement amplitude).
Ajatellaan tilannetta jossa aalto y liikkuu väliaineessa. Ajatellaan väliaineeseen kuvitteellinen sylinteriä, jonka pinta-ala on A ja pituus x. Nyt, kun aalto liikkuu tämän kuvitellun sylinterin läpi, sen tilavuus muuttuu määrän V = A x. 5 Toisin sanoen, kun aalto y liikkuu väliaineessa, se aiheuttaa tilavuuden muutoksen V V y(x, t) =. x Ilmaistaan äsken käsitelty puristuvuuskerroin muodossa B = y(x, t). x Huomaa että miinusmerkki on yhtälössä sen takia, että kun kuvitteellisen sylinterin pituus muuttuu x x + x, paine sylinterissä pienenee (eikä suinkaan kasva).
Nyt, sijoittamalla äskeiseen y x :n lauseke sinimuotoisille aalloille, saadaan p(x, t) = BkA sin(kx ωt). 6 Tämä yhtälö kertoo meille siis paineen muutoksen, jonka aalto liikkuessaan väliaineessa aiheuttaa. Koska, kuten alussa todettiin, ihmiskorva aistii nimenomaan paineen vaihteluita eikä ilman hiukkasten pieniä siirtymiä, tämä esitysmuoto on äänestä puhuttaessa huomattavasti mielekkäämpi ja käytännöllisempi.
Yhtälöstä nähdään tärkeä käsite jota tullaan tarvitsemaan jatkossa, nimittäin paineamplitudi (pressure amplitude). Se on muotoa p max = BkA. 7 Paineamplitudi on siis suurin aallon aiheuttama paineen muutos (ei maksimipaine väliaineessa)! Yhtälö p(x, t) = BkA sin(kx ωt) = p max sin(kx ωt) kertoo siis hetkellisen paineen, eli sen, minkä verran paine poikkeaa normaalista ilmanpaineesta. Absoluuttinen paine tietyssä paikassa tietyllä ajanhetkellä on siis p a + p(x, t), missä p a on normaali ilmankehän paine.
Pitkittäisen aallon nopeus nesteessä tai kaasussa saadaan yhtälöstä B v = ρ, missä B on aineen puristuvuuskerroin, ja ρ aineen tiheys. 8 Vastaavasti pitkittäisen aallon nopeus kiinteässä elastisessa aineessa saadaan yhtälöstä Y v = ρ, missä Y on niin kutsuttu Youngin moduli (Young modulus). (Youngin modulin määritelmä seuraavalla sivulla).
9 Youngin moduli voidaan määritellä seuraavasti: jos meillä on lieriö, jonka pituus on L ja poikkipinta-ala A, kohdistetaan voima pinta-alaa A vastaan, ja tämä voima saa kappaleen puristumaan kasaan (voiman F suunnassa) L:n verran, on materiaalin Youngi moduli tällöin E = F A L L.
3.2 Desibeliasteikko (Decibel scale) Ääniaallot, niinkuin kaikki mekaaniset aallot, kuljettavat energiaa. Äänirintaman kuljettama energia voidaan ilmaista energiana per pinta-ala, eli intensiteettinä (tämä käsiteltiin viime luennossa). 0 Äänen intensiteetti voidaan määritellä tai paineamplitudin avulla I = 1 2 BωkA2 = 1 2 ρbω 2 A 2 I = ωp2 max 2Bk = vp2 max 2B = p2 max 2ρv = p2 max 2 ρb.
Koska ihmiskorva aistii varsin laajan intensiteettiskaalan, ja koska ihminen aistii äänenpaineen muutoksen logaritmisella asteikolla pikemminkin kuin lineaarisella, on järkevä käyttää myös äänenvoimakkuuden mittaamiseen logaritmista asteikkoa. Äänenpainetaso β määritellään 1 β = (10 db) log I I 0. I 0 on referenssitaso, johon kaikkia muita äänenpainetasoja verrataan. I 0 on valittu niin, että se vastaa suunnilleen ihmisen kuuloalueen rajaa 1000 Hz taajuudella. I 0 = 10 12 W/m 2. Eli, jos äänen intensiteetti on 10 12 W/m 2, on sen desibelitaso 0 db. Jos äänen intensiteetti on 1 W/m 2, on sen desibelitaso 120 db. Tämä vastaa yleisesti ihmisen äänen kipurajaa.
2 Huomaa että log on kymmenkantainen logaritmi. Tämä tarkoittaa siis sitä, että kun desibelilukema kasvaa 10:llä, intensiteetti kasvaa kymmenkertaiseksi. Kun desibelilukema kasvaa 20:llä, intensiteetti kasvaa satakertaiseksi.
3.3 Seisovat ääniaallot 3 Tarkastellaan seuraavaa koetta. Sähköinen oskillaattori tuottaa sinimuotoista signaalia, joka vahvistetaan, ja lähetetään kaiuttimelle. Kaiuttimen vieressä on lasinen putki, jonka sisällä on ilmaa (tai muuta kaasua/nestettä). Putken toinen pää (oikealla) on suljettu, ja toisessa päässä (vasemmalla) on joustava, kuminen kalvo. Kalvo alkaa värähdellä samassa tahdissa kaiuttimen tuottaman äänen kanssa.
4 Putkessa on lisäksi jotakin kevyttä jauhetta, kuten korkkijauhoa. Jos oskillaattorin taajuus on sattumanvarainen, putkessa ei havaita mitään merkillepantavaa; jauhe pysyy tasajakautuneena. Tämä vastaa sitä tilannetta, jossa metallilankaan syötetään energiaa magneetilla joka värähtelee väärällä taajuudella nähden langan ominaisvärähtelytaajuuksiin. Niissä tapauksissa lanka värähteli vain vähän, ja mitään havaittavaa kuviota ei muodostu.
5 Muutetaan hitaasti oskillaattorin taajuutta. Jollakin tietyllä taajuudella havaitaan että korkkijauhon jakauma putkessa muuttuu merkittävästi. Sen sijaan että jauho olisi putken pohjalla tasaisena, äänen mukana hieman vellovana peittona, se kasautuukin korkeiksi paakuiksi tiettyihin kohtiin.
6 Selitys tähän ilmiöön löytyy seisovista ääniaalloista. Ilmapatsaan edestakainen liike muodostaa seisovan aallon. Muodostuu siis rintamia joissa ääni ei liiku ollenkaan, ja vastaavasti kohtia joissa ääni liikkuu edestakaisin suurella poikkeamalla (huomattavasti suuremmalla kuin jos taajuus ei ole kohdallaan! Sama ilmiö kuin värähtelevällä langalla). kohdat joissa ilma liikkuu paljon, lakaisevat korkkijauhon siltä kohdalta pois, ja tamppaavat jauhon paakuiksi kohtiin joissa ilma ei liiku.
7 Kuva tapahtuneesta tulee vielä selvemmäksi, kun merkitsemme seisovaa ääniaaltoa samantapaisella merkinnällä kuin värähtelevän langan tapauksessa. Tämä merkintä on selkeä, mutta on pidettävä mielessä että värähtelevä ilmapatsas ei toki tee poikkisuuntaista liikettä, vaikka tämä merkintätapa siltä äkkiseltään näyttääkin.
8 Värähtelevän langan symboliikalla on siis merkitty siirtymän (displacement) kuvut ja solmut, eli siis pisteet joissa ilma liikkuu eniten, ja pisteet joissa ilma ei liiku ollenkaan. Myös paine (pressure) värähtelee. Huom! : Pisteessä missä paineen vaihtelu on suurinta, on piste missä väliaineen hiukkaset ovat paikallaan. Vastaavasti pisteessä missä väliaineen hiukkaset liikkuvat eniten, on paine vakio.
9 Tämä voidaan engnanniksi ilmaista hyvin timmisti: A pressure node is always a displacement antinode; A displacement node is always a pressure antinode.
0 Kuten nähdään, tässäkin tapauksessa reunaehdot vaikuttavat siihen, kuinka seisova aalto muodostuu putkeen.: Putken vasemmassa päässä on poikkeaman kupu. Tämän saattoi arvatakin, koska juuri vasemmassa laidassa oleva värähtelevä kumikalvo on se joka tuottaa putkeen liikkuvan ilmapatsaan. Vastaavasti putken oikeassa laidassa on poikkeaman solmu; kova lasinen seinä ei anna liikkuvalle ilmalle periksi, vaan pysyy paikallaan.
1 Putken oikeassa laidassa on piste missä liikkuva ilmapatsas jaksollisesti painaa lasia vasten, joten siellä on paineen kupu; piste missä paine vaihtelee eniten (ja saa suurimman arvonsa). Kuvassa on eräs mahdollinen värähtelymoodi. Kuten arvataan, löytyy muitakin moodeja; sellaiset, joissa muodostuu suurempi tai pienempi määrä kupuja/solmuja. Nämä moodit löytyvät samalla koejärjestelyllä; muutetaan oskillaattorin taajuutta (seisovien aaltojen taajuudet riippuvat toki syötetyn värähtelyn taajuudesta).
2 Riippuen siitä onko putken toinen pää suljettu vai avoin, muodostuu putkeen ei näköisiä moodeja. Putken toinen pää on aina avoin, koska syöttävän mekamismin pitää pystyä syöttämään energiaa putkeen.
3 Esimerkkinä urkupillin suu. Kompressori tuottaa turbulentin ilmavirtauksen, ja urkupillin suu saa aikaan seisovan aallon. Huomaa että kyseinen pää ei voisi olla suljettu.
Samoin kuin värähtelevä lanka lähettää ilmaan ääniaaltoja seisovien aaltojensa taajuudella, lähettää putkessa värähtelevä ilmapatsas ympröivään ilmaan ääniaaltoja omien seisovien aaltojensa taajuuksilla. 4 Tämä on monien soittimien (esim. kirkkourkujen, puhallinsoittimien kuten huilut, torvisoittimet) toimintaperiaate, ja myös ihmisääni toimii tällä samalla periaatteella. Kuten värähtelevässä langassakin, voi värähtelevässä ilmapatsaassa olla useita eri värähtelymoodeja samanaikaisesti. Tämä selittää sen, että eri tavalla rakennetut puhallinsoittimet kuulostavat erilaisilta keskenään, vaikka ilmapatsaan pituus olisikin sama.
5 Aiemmin käsiteltyä: kun tunnemme värähtelevän langan tarvittavat parametrit (L, F, µ), voimme laskea siihen muodostuvien seisovien aaltojen taajuudet. Aivan samoin: kun tunnemme värähtelevän ilmapatsaan tarvittavat parametrit, voimme laskea siihen muodostuvien seisovien aaltojen taajuudet.
6
7 Kuten nähdään, on toisesta päästään suljetuttuun putkeen muodostuva perustaajuus (matalataajuisin seisova aalto) aallonpituuden neljännes, eli λ 1 = 4L. Kun tunnetaan äänen nopeus ilmassa, saadaan tämän moodin (perustaajuuden) taajuudeksi f 1 = v 4L. Kuvasta voidaan päätellä että f 2 = 3f 1, f 3 = 5f 1 ja niin edelleen (huomaa että tämä ei mene samalla tavalla kuin avoimella putkella!). Näin ollen kaikki harmoniset saadaan kaavalla f n = nf 1 = nv, n = 1, 3, 5, 4L Huomaa siis että n = 1, 3, 5, vastoin kuin avoimen putken tapauksessa. Tämän sivun kaavat pätevät nyt siis toisesta päästään suljetulle putkelle.
8 Vastaavsti nähdään että avoimeen putkeen muodostuva perustaajuus (matalataajuisin seisova aalto) on aallonpituuden puolikas, siis λ 1 = 2L. Kun tunnetaan äänen nopeus ilmassa, saadaan tämän aallon taajuus f 1 = v 2L. Edelleen kuvasta voidaan helposti päätellä että f 2 = 2f 1, f 3 = 3f 1, ja niin edelleen. Kaikki avoimessa putkessa mahdolliset seisovan aallon taajuudet (harmoniset) saadaan siis kaavalla f n = nf 1 = nv, n = 1, 2, 3, 2L Huomaa että tämän sivun kaavat pätevät molemmista päistään avoimelle putkelle, ja huomaa, että n = 1, 2, 3, vastoin kuin toisesta päästään suljetun putken tapauksessa.
Aiemmin puhuttiin harmonisesta oskillaattorista, joka on vaimennettu ja johon syötetään energiaa ulkoisesta lähteestä, joka vaihtelee periodisesti ajan funktiona. Tällaista systeemiä kutsuttiin pakotetuksi oskillaattoriksi. 9 Muistetaan että mitä lähempänä syöttävän lähteen taajuus on värähtelijän ominaisvärähtelytaajuutta, sitä suuremman amplitudin värähtelijä saa. Tätä ilmiötä kutsuttiin resonanssiksi. Harmonisella värähtelijällä on vain yksi ominaisvärähtelytaajuus, ja resonanssi tapahtuu vain tällä taajuudella. Huomataan että resonanssin käsite on olemassa myös värähtelevillä systeemeillä joilla on useita värähtelymoodeja.
0 Tehdään koejärjestely, jossa kaiutin syöttää sinimuotoista ääntä molemmista päistään avoimeen urkuputkeen, ja näin ollen pakottaa ilmapatsaan värähtelemään tällä taajuudella. Mitataan putkeen muodostuvan värähtelyn amplitudi. Huomataan, että aina kun syöttävä taajuus on urkuputken jonkun värähtelymoodin kohdalla, värähdyksen amplitudi nousee huomattavasti suuremmaksi kuin muualla.
3.4 Äänirintamien interferenssi 1 Tehdään koejärjestely jossa kaksi kaiutinta lähettää keskenään samaa signaalia, joka on siniaaltoa tietyllä taajuudella ja samassa vaiheessa.
2 Mikrofoni A on sijoitettu kohtaan jossa etäisyys toiseen kaiuttimeen on sama kuin etäisyys toiseen kaiuttimeen (d 1 ). Tässä pisteessä tapahtuu konstruktiivinen interferenssi (aallot ovat samassa vaiheessa). Mikrofoni B on asetettu pisteeseen missä etäisyys toiseen kaiuttimeen on etäisyys toiseen + λ 2. Tässä pisteessä tapahtuu destruktiivinen interferenssi (aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa).
Konstruktiivinen interferenssi tapahtuu paitsi silloin kun etäisyys toiseen kaiuttimeen on sama kuin etäisyys toiseen, niin myös silloin kun etäisyyksien erotus on aallonpituuden kokonainen monikerta. Eli, konstruktiivinen interferenssi tapahtuu kun 3 Etäisyyksien erotus = 0, λ, 2λ, 3λ, Vastaavasti destruktiivinen interferenssi tapahtuu kun etäisyys toiseen kaiuttimeen on etäisyys toiseen plus aallonpituuden puolikas. Eli, destruktiivinen interferenssi tapahtuu kun Etäisyyksien erotus = λ 2, 3λ 2, 5λ 2,
3.5 Dopplerin ilmiö (Doppler effect) 4 Jos äänilähde ja/tai havaitsija liikkuvat suhteessa toisiinsa, havaitsijan havaitsema äänen korkeus (taajuus) ei enää olekaan sama taajuus millä äänilähde sitä lähettää. Riippuen siitä liikkuvatko äänilähde ja/tai havaitsija toisiaan kohti vai toisistaan poispäin, havaittu äänenkorkeus on joko korkeampi tai matalampi kuin äänilähteen lähettämä taajuus. Paras esimerkki tästä ilmiöstä on ohi kiitävä auto tai juna; havaittu ääni on ensin korkeampi auton/junan lähestyessä, ja matalampi siinä vaiheessa kun se loittonee. Tätä ilmiötä kutsutaan löytäjänsä Dopplerin ilmiöksi (Doppler effect).
5 Tarkastellaan ensin tapausta jossa äänilähde on paikallaan, ja havaitsija liikkuu. Merkitään äänilähdettä kirjaimella S (source) ja havaitsijaa kirjaimella L (listener).
6 Rajoitutaan yksinkertaisuuden vuoksi tarkasastelemaan vain niitä tilanteita joissa sekä havaitsija että äänilähde on sidottu yksiulotteiseen koordinaatistoon; ne siis liikkuvat vain toisiaan kohti, toisistaan poispäin tai ovat paikallaan. Valitaan havaitsijalle positiiviseksi suunnaksi suunta äänilähdettä kohti. Äänilähteelle positiiviseksi suunnaksi valitaan suunta poispäin havaitsijasta (molemmille positiivinen suunta on siis kuvassa oikealle). Käytetään seuraavia merkintöjä: v L on havaitsijan nopeus, v S on äänilähteen nopeus ja v ilman alaindeksiä on äänen nopeus. Äänilähde lähettää aaltorintamia tasaisesti kaikkialle avaruuteen, ja koska äänilähde ei liiku, on jokaisen aaltorintaman etäisyys seuraavasta sama kuin äänen aallonpituus λ. Aaltorintamat liikkuvat suhteessa äänilähdettä lähestyvään havaitsijaan nopeudella (v + v L ).
7 Näin ollen havaitsijan havaitsema taajuus on f L = v + v L = v + v ( L v + vl = λ v + f S v ) ( f S = 1 + v L v ) f S.
8 Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta jossa sekä havaitsija että äänilähde liikkuvat. Aaltorintamat liikkuvat edelleen ilmassa nopeudella v; se, että äänilähde liikkuu ei tietenkään muuta tätä tosiasiaa.
Äänilähteen havaitsijan suuntaan lähettämän äänen aallonpituus (ja näin ollen taajuus) ei kuitenkaan ole enää sama kuin paikallaan pysyvän äänilähtene tapauksessa. 9 Kun äänilähde liikkuu, sen lähettämät aaltorintamat pakkautuvat lähemmäksi toisiaan äänilähteen edessä ja näin ollen lähtetetyn äänen aallonpituus puristuu kasaan. Vastaavasti äänilähteen taaksepäin lähettämän äänen aallonpituus venyy. Aallonpituus äänilähteen edessä on λ infront = v f S v S f S = v v S f S Vastaavasti aallonpituus äänilähteen takana on λ behind = v + v S f S
Saamme yhtälön aallonpituudelle jonka liikkuva havaitsija kuulee tapauksessa missä äänilähdekin liikkuu, kun sijoitamme äsken määritellyn λ behind :n yhtälön aiemmin määriteltyyn yhtälöön (joka kertoi havaitun aallonpituuden kun havaitsija liikkuu ja äänilähde ei): 0 f L = v + v L v + v L = = v + v L f S λ behind (v + v S )/f S v + v S Saatu yhtälö kattaa kaiken informaation tapauksissa joissa havaitsija ja äänilähde voivat liikkua vain toisiaan kohti tai toisistaan poispäin. Olipa kumman tahansa nopeus toista kohti tai toisesta pois (tai paikallaan), saadaan havaitsijan havaitsema taajuus laskettua kun sijoitetaan ylläolevaan yhtälöön sopivat luvut oikein valitulla etumerkillä.
3.6 Shokkiaallot (Shock waves) 1 Tarkastellaan äskeisen esimerkin kaltaista esimerkkiä jossa liikkuva kappale, sanotaan vaikka lentokone, liikkuu suhteessa ilmaan. Olkoon v S nyt liikkuvan kappaleen vauhti suhteessa ilmaan, eli se on aina positiivinen. (Vauhti on siis nopeuden itseisarvo fysiikan kielenkäytössä.)
2 Kun tarkastellaan käsiteltyä yhtälöä λ infront = v v S f S, huomataan että kun äänilähteen nopeus v S lähestyy äänen nopeutta v, lähetetyn äänen aallonpituus suoraan äänilähteen edessä lähestyy nollaa. Tämä tarkoittaa sitä, että äänirintamat kerääntyvät äänilähteen eteen päällekkäin (muista superpositioperiaate).
3 Voiman ja vastavoiman lain mukaisesti eteen kasautuneet äänirintamat painavat lentokonetta kulkusuuntaa vastaan. Tämä lisää huomattavasti ilman aerodynaamista vastusta. Ylittääkseen tämän nopeuden lentokoneen on siis käytettävä paljon energiaa. Tämä ilmiö tunnetaan nimellä äänivalli (sonic barrier).
4 Kun lentokoneen nopeus on ylittänyt äänennopeuden, eivät äänirintamat enää lähde siitä pallomaisina rintamina. Voidaan ajatella että äänirintamat edelleen liikkuvat pallomaisen rintaman muodossa, mutta koska lentokone liikkuu ääntä nopeammin, nämä rimtamat jäävät jälkeen koneesta. Kappaleen sanotaan silloin liikkuvan yliääninopeudella (supersonic).
Suoralla joka on ympyränmuotoisten aaltorintamien tangenttisuora tapahtuu konstruktiivinen interferenssi, ja näin ollen siihen muodostuu erittäin suuriamplitudinen aaltorintama. Tätä aaltorintamaa kutsutaan shokkiaalloksi (shock wave). 5 Oikeanpuoleisesta kuvasta voidaan päätellä kulma α. Ääniaaltorintama jonka yliääninopeudella liikkuva äänilähde on lähettänyt pisteessä S 1 on liikkunut ajassa t matkan vt. Samassa ajassa kappale itse on liikkunut matkan v S t (pisteeseen S 2 ). Näin ollen sin α = vt v S t = v v S. Suhdelukua v S /v kutsuaan Machin luvuksi (Mach number). Se on > 1 kaikille yliääninopeuksille. Shokkiaaltorintama on monissa tapauksissa 3-ulotteinen, eli kartio.