Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009
Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö kyljelleen. Tiedät säiliön tilavuuden V. Haluaisit tietää paljonko lämmitys sinulle maksaa, joten sinun pitäisi jotenkin pystyä seuaamaan öljynkulutusta. Ainoa käytettävissä oleva mittai on mittatikku, jolla voit takistaa öljyn pinnan kokeuden. Sinun pitää siis laskea öljyn määä v tynnyissä öljyn pinnan kokeuden x peusteella. Sinun täytyy laskea pinnan kokeuden x peusteella säiliössä jäljellä olevan öljyn tilavuus v. Rakenna kaava, joka antaa sinulle öljyn määän kun syötät kaavaan x:n avon. Tosin sanoen, ilmoita öljyn tilavuus v sen pinnan kokeuden x funktiona eli johda lauseke funktiolle v(x). Alla olevaan kuvaan on piietty valmiiksi apukuvio, jota tavitset. Öljyn pinnan kokeus on x. Vihje: Laske sektoin pinta-ala ja vähennä tästä kahden kolmion pinta-alat ja keo tulos kokeudella h, jonka saat säiliön kokonaistilavuuden V avulla. (Huom! Tämä on iso V ja öljyn määä on pikku v)
RATKAISU IDEAT: 1) Öljyn määä on mustan alueen pinta-ala keottuna säiliön pituudella h. ) Meidän siis täytyy atkaista mustan alueen pinta-ala niin ettei lausekkeessa ole muita tuntemattomia kuin x. 3) Saamme tämän pinta-alan laskemalla ensin -kulmaisen ympyäsektoin pinta-alan, josta vähennämme kahden kolmion pinta-alat. Alla olevassa taulukossa on matematiikan antamat työkalut, joita sovellamme tähän käytännön ongelmaan. Joudumme käyttämään seuaavia opittuja juttuja Sektoin pinta-ala A sektoi = α π kolmion pinta-ala A kolmio = kanta kokeus cosinifunktio cos α = vieeinen kateetti hypotenuusa 1 vieeinen kateetti eli α = cos hypotenuusa pythagoaan lause c = a + b eli esim. b = c a sylintein tilavuus V sylintei = pohjan pinta ala kokeus
Rakennetaan funktio v(x) alla olevan kuvan peusteella vaihe vaiheelta atkaisemalla x:n suhteen seuaavat asiat: 1) kulma ) -keskuskulmaisen sektoin pinta-ala 3) kateetti b:n pituus 4) kolmioiden pinta-alat KULMA Kolmion kulma saadaan käyttämällä cosinifunktion käänteisfunktiota, minkä saa laskimesta 1 vieeinen kateetti näppäilemällä sift-cos. Käänteisdunktiota mekitään α = cos ja se antaa hypotenuusa kulman suuuuden kun kulman vieeinen kateetin suhde hypotenuusaan tunnetaan. 1 x Kuvasta saadaan kulman avoksi siis α = cos avulla, jotka molemmat ovat tiedossamme.. Nyt kulma on lausuttu x:n ja :n SEKTORIN PINTA-ALA Sektoin pinta-ala saatiin kun keotaan ympyän pinta-ala π tekijällä. Koska edellä atkaisimme kulman x:n suhteen voimme käyttää tätä :n paikalla. A sektoi = cos 1 π Tästä sektoin pinta-alasta täytyy siis vähentää mustan alueen yläpuolella olevien kahden kolmion pinta-alat. Seuaavaksi täytyy siis laskea b, jotta tietäisimme kolmion kannan. KOLMIOIDEN PINTA-ALA Kateetin b saamme selville pythagoaan lauseella. Kijoitetaan Pythagoaan lause kolmiolle: = + b tama lauseke atkaistaan b:n suhteen siitämällä temejä ja ottamalla neliöjuui b = b =
Nyt olemme lausuneet kolmion kannan pituuden :n ja x:n avulla Lasketaan nyt yhden kolmion pinta-ala A kolmio = kanta kokeus = b = Koska kolmioita on kaksi, keotaan ylläoleva kaava kahdella, jolloin A kolmiot = FUNKTION RAKENTAMINEN Seuaavaksi mietitään, mitä olimmekaan tekemässä! Palataan peusideaan: Mustan alueen pintaala saadaan vähentämällä sektoin pinta-alasta kolmioiden pinta-alat eli A musta alue = A sektoi A kolmiot = cos 1 π Öljyn määä eli siis öljyn tilavuus v muuttujan x funktiona (=vakio!) saadaan ketomalla yllä oleva kaava säiliön pituudella h, eli v x = h cos 1 π Tämä on siis peiaatteessa valmis funktio, jos tiedämme lukuavon h:lle. Voimme syöttä funktion Excel-ohjelmaan ja piitää kuvaaja v(x). Kuten alussa totesimme ei kannata alkaa kaivamaan säiliötä esiin maasta pituuden h määittämiseksi. Voidaan olettaa, että säiliö on asfalttipihan alla Mittatikulla saadaan selville säiliön halkaisija d helposti, josta saamme säteen avon. Lisäksi tiedämme säiliön tilavuuden V. (Miten V käytännössä selvitetään?)
Sylintein tilavuus V = pohjan ala kokeus eli V säili ö = π h Tiedämme V:n ja :n joten ainoa tuntematon on h. Ratkaistaan siis yhtälöstä (tai kaavasta) h jakamalla yhtälö puolittain h:n ketoimilla h = V π Sijoitetaan tämä edellä saatuun funktion v(x) lausekkeeseen, jolloin v x = V π cos 1 π RADIAANIT KÄYTTÖÖN! Kulman yksikkönä käytetään tigonometiassa adiaania. 180 astetta on π adiaania ja = π ad Sijoitetaan tämä kaavaan jolloin saadaan v x = V π cos 1 π π Sievennellään vähän, jolloin funktiomme saa muodon v x = V π 1 cos
Olkoon säiliö kolmen kuution vetoinen eli V = 3m 3 (3000 litaa) ja säde = 1m, jolloin v x = 3 cos 1 x (1 x) 1 1 x π Excel-ohjelman syöttöiville kijoitetaan siis: =3/PII()*(ACOS(1-A1)-(1-A1)*SQRT(1-(1-A1)^)) tai suomenkielisessä: =3/PII()*(ACOS(1-A1)-(1-A1)*NELIÖJUURI(1-(1-A1)^)) A1 solussa on ensimmäinen x:n avo. Syötä x:n avoja senttimetin välein 0-00 cm! Saadaan funktion v(x) kuvaaja, josta voi lukea öljyn määän millä tahansa mittatikun avolla (x:n avolla) 3,5 Öljyn määä säiliössä m 3 1,5 1 0,5 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, 1,4 1,6 1,8 Mittatikun näyttämä x:n avo meteinä Miksi kuvaaja on juui tämän muotoinen? Kokeile ei avoja säiliön säteelle ja tilavuudelle V ja kokeile millaisia käyiä saat.
Kun syötämme kaavan Excel-ohjelmaan voimme vakuuttua sen oikeellisuudesta takistuspisteiden avulla. Huomataan, että Kun x=0, säiliön on oltava tyhjä. v 0 = 0 Täsmää! Kun mittatikku näytää avoa x= ollaan puolessa välissä, jolloin säiliön on oltava puoliksi täynnä. v = 1,5 m 3 Täsmää! Lopuksi, kun mittatikun avo on halkaisijan avo, säiliön on oltava täynnä. v d = 3 m 3 Täsmää! x [m] v(x) [m 3 ] 0 0 0, 0,15613 0,4 0,47135 0,6 0,756947 0,8 1,1059 1 1,5 1, 1,87941 1,4,43053 1,6,57865 1,8,843868 3 Tee tehtävä uudestaa pallon muotoiselle säiliölle!