Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise yhtälö. a) f () =, kun f( ) = 5+ 3 4 b) f () = 5, kun f() = 3 4 c) cos + = 0. a) Määritä sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (3,7) kautta ja on yhdensuuntainen suoran + y 3 = 0 kanssa. b) Pisteestä (,,3) siirrytään 0 pituusyksikköä vektorin a = 3i 4k suuntaan. Mihin pisteeseen päädytään? c) Sievennä lauseke a a 3 6 a, kun a 0. 3. Mahtuuko suorakulmaisen särmiön muotoinen taipumaton levy neliön muotoisesta aukosta, kun levyn paksuus on 30 cm, leveys 90 cm ja pituus 500 cm. Neliön ala on,5 m. 4. Maailman kuuluisin hymy on Leonardo da Vincin maalauksessa Mona Lisa. Oletamme hymyn olevan taulun vasemmassa yläkulmassa kultaisen leikkauksen kohdalla sekä pysty- että leveyssuunnassa. Maalaus on 53 cm levyinen ja sen korkeus on 77 cm. Jana on jaettu kultaisesti, jos janan suhde pitempään osaan on sama kuin pitemmän osan suhde pienempään osaan. Missä kohdassa taulua on Mona Lisan hymy? b a b b 5. Sievennä lauseke + ja laske lausekkeen arvo, kun a ja b (a < b) a b a ba a ovat yhtälön 5 3= 0 juuret. 6. Millä vakion a arvolla kolmio ABC on suorakulmainen, kun A = (a,0,0), B = (,,4) ja C = (0,,)? 7. Funktion f() = / kuvaaja sekä suorat =, = e ja y = 0 rajoittavat alueen. Jaa tämä alue kahteen yhtä suureen osaan. 8. Suoraan ympyräkartioon sijoitetaan neliöpohjainen suorakulmainen särmiö siten, että särmiön pohjatahko on kartion pohjalla ja vastakkaisen tahkon kärjet ovat kartion vaipalla. Laske tällaisista särmiöistä suurimman tilavuus, kun kartion pohjan halkaisija sekä kartion korkeus ovat yksikön pituiset. 9. Kreikan Olympoksella järjestettiin kuuluisa takaa-ajojuoksukilpailu Akhilleuksen ja kilpikonnan välillä. Kilpikonnan vauhti oli tarkalleen 9 % Akhilleuksen vauhdista. Kilpikonna sai tasan kilometrin etumatkan. Vaiheessa Akhilleus juoksi tasan km samaan aikaan kuin kilpikonna 90 m. Vaiheessa Akhilleus juoksi 90 m ja kilpikonna kerkesi samaan aikaan karkuun 8, m. Näin jatkettiin, eikä Akhilleus milloinkaan saanut
kilpikonnaa kiinni. Kuinka monta juoksuvaihetta oli suoritettu, kun Akhilleus oli alle mm päässä kilpikonnasta, kuinka pitkän matkan he tällöin olivat juosseet? Kun toistetaan ajatusta äärettömän monta kertaa, niin Akhilleus saa kilpikonnan kiinni, kuinka pitkä olisi tällöin kumpaisenkin juoksumatka. 0. Luvut p ja q ovat positiivisia reaalilukuja. Luku a on p % suurempi kuin luku b ja luku b on q % pienempi kuin luku a. Kumpi luvuista p vai q on suurempi ja kuinka monta prosenttia?. Pelilauta on n n -ruudukko, joka asetetaan täyteen nappuloita. Käytössä on riittävästi sekä valkoisia että mustia nappuloita. Kuinka monta erilaista pelipöytää on a) - b) n n-ruudukossa?. Iidalla oli osakesalkussaan kahta eri lajia osakkeita. Nokian osaketta hän oli hankkinut hintaan 3,70 euroa/kpl ja Fortumia hintaan 8,70 euroa/kpl. Yhteensä Iida käytti osakkeiden hankintaan 00,00 euroa. Kuinka monta Nokian ja kuinka monta Fortumin osaketta Iidalla oli salkussaan? Osakkeita myydään vain kappaleittain eikä osina. Osakkeiden välityspalkkioita ei oteta huomioon. kt 3. Lääkkeen vaikutuksesta bakteerien määrä m vähenee funktion m( t) = C e mukaisesti. Funktiossa t on aika tunteina lääkkeen aloitushetkestä lukien, k ja C ovat vakioita. Lääkkeen aloitushetkellä bakteereja oli,0 miljoonaa ja vuorokauden kuluttua enää 00 000 kpl. a) Määritä vakiot k ja C. b) Kuinka kauan lääkettä on käytettävä, jotta saavutetaan turvallinen 0 000 bakteerin taso? c) Kuinka suuri on bakteerien vähenemisnopeus vuorokauden kuluttua? 4. ( ) a) Määrää kolmion ABC kulmien puolittajasuorien yhtälöt, kun A = (0,0), B = (,4) ja C = 5,. (4 p) b) Todista, että kaikki kolmion ABC puolittajasuorat kulkevat 3 3 saman pisteen Q kautta. ( p) c) Todista, että piste Q keskipisteenä voidaan piirtää ympyrä, joka sivuaa kolmion ABC jokaista sivua. Määrää tämän ympyrän säde ja yhtälö. (3 p) 5. ( ) a) Funktio θ () = e on eräs satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Mitä π tiheysfunktiolla tarkoitetaan? Selvitä, mikä on tiheysfunktion kertymäfunktio? ( p) b) Määrää Simpsonin säännöllä integraalin arvo θ ( ) d. Käytä jakoväliä 0,5. (5 p) c) θ () on normaalijakauman N(0,) tiheysfunktio. Määrää normaalijakauman N(0,) avulla integraalin θ ( ) d arvo. ( p)
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Ratkaisut ja pistesuositus.. Ratkaise yhtälö. a) f () =, kun c) cos + = 0 f( ) = 5+ 3 b) f () = 5, kun f() = 3 4 4 a) Derivaatta on f () = 5. Yhtälö f () =, kun = p + p b) Käänteisfunktio on f () = + 4. Yhtälö f () = 5, kun = p + p 3 π π c) cos =, josta =± + n π ja = ± + n π, n Ζ p + p 3 3 π Vastaus: a) = b) = c) = ± + n π, n Ζ 3. a) Määritä sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (3,7) kautta ja on yhdensuuntainen suoran + y 3 = 0 kanssa. b) Pisteestä (,,3) siirrytään 0 pituusyksikköä vektorin a = 3i 4k suuntaan. Mihin pisteeseen päädytään? c) Sievennä lauseke a a 3 6 a, kun a 0. a) Suoran + y 3 = 0 kulmakerroin on k = p Kysytyn suoran yhtälö y = +p b) Vektorin a = 3i 4k suuntainen yksikkövektori 0 3 4 a = i k p 5 5 0 Kysytyn pisteen P paikkavektori OP = i + j + 3k + 0a = 5i + j 5k Kysytty piste (5,,5) +p 3 6 3 6 c) a a a = a a a = a Vastaus: a) y = b) (5,,5) c) a, a 0 p + p 3. Mahtuuko suorakulmaisen särmiön muotoinen taipumaton levy neliön muotoisesta aukosta,kun levyn paksuus on 30 cm, leveys 90 cm ja pituus 500 cm. Neliön ala on,5 m.
Kuviosta p Neliön lävistäjä AE = 50 + 50 = 50 =.3... +p. Kolmio ACD on tasakylkinen, koska kantakulmat ovat 45 astetta, joten AD = CD = 30/ = 5. +p Levy ei mahdu aukosta, koska levyn leveys 90 cm on yli AE AD = 50-5 = 8.3 +p Vastaus: Ei 4. Maailman kuuluisin hymy on Leonardo da Vincin maalauksessa Mona Lisa. Oletamme hymyn olevan taulun vasemmassa yläkulmassa kultaisen leikkauksen kohdalla sekä pysty- että leveyssuunnassa. Maalaus on 53 cm levyinen ja sen korkeus on 77 cm. Jana on jaettu kultaisesti, jos janan suhde pitempään osaan on sama kuin pitemmän osan suhde pienempään osaan. Missä kohdassa taulua on Mona Lisan hymy? Merkitään origoksi taulun vasenta alanurkkaa. Kultaisen pisteen -koordinaatti 53 53 saadaan yhtälöstä =, josta = 38.755 ja = 0.44 0 ja 3p 53 77 77 y y-koordinaatti yhtälöstä =, josta y = 0.58 ja y = 9.4 9. +p 77 y y Vastaus: Mona Lisan hymy on pisteessä ( 0,48), kun origo on taulun vasen alanurkka. +p b a b b 5. Sievennä lauseke + a b a ba a yhtälön 5 3= 0 juuret. ja laske lausekkeen arvo, kun a ja b (a < b) ovat Lauseke sievenee muotoon b a b b ( b a) + ba b a b a + b + = = =. p+p a b a a( b a) a( b a) a( b a) a Yhtälön 5 3= 0 juuret a = ja b = 3, jolloin lausekkeen arvo on 5. +p a + b Vastaus: Lauseke on sievennettynä ja sen arvo on 5. a 6. Millä vakion a arvolla kolmio ABC on suorakulmainen, kun A = (a,0,0), B = (,,4) ja C = (0,,)?
Kolmio ABC on suorakulmainen (Pythagoras),. jos () AB + AC = BC,() AB + BC = AC tai (3) AC + BC = AB. () (( a) + ( 0) + (4 0) ) + ((0 a) + ( 0) + ( 0) ) = ) + ( ) + ( 4) ), josta saadaan yhtälö a 4a + 8 = 0. (( 0 Tällä yhtälöllä ei ole reaaliratkaisuja. 3p Vastaavasti yhtälö () sievenee muotoon a 4a + + 8 = a + 5, josta a = 3. +p Yhtälö (3) sievenee muotoon a + 5 + 8 = a 4a +, josta a =. +p uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vaihtoehtoisesti: Jos () AB AC = 0, () AB BC = 0, (3) AC BC = 0, niin kolmio ABC on suorakulmainen. ()(( ai ) + ( 0) j+ (4 0) k) ((0 ai ) + ( 0) j+ ( 0) k) = 0, josta a a + 9 = 0. Tällä yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua. 3p Vastaavasti yhtälöstä () saadaan a = 3 ja yhtälöstä (3) a =. p+p Vastaus: a =3 tai a =. 7. Funktion f() = / kuvaaja sekä suorat =, = e ja y = 0 rajoittavat alueen. Jaa tämä alue kahteen yhtä suureen osaan. Funktion f() = / kuvaajan sekä suorien y = 0, = ja = e e rajoittama alue on d = ln e ln =. p Suora = a jakaa alueen kahtia. Luku a saadaan integraaliyhtälöstä a d =, josta ln a =, ja a = e +4p
Suora y = jakaa myös alueen kahteen yhtä suureen osaan, sillä e kanta (e) korkeus =. +4p e Vastaus: Suora = e jakaa alueen kahteen yhtä suureen osaan. Vaihtoehtoisesti suora y = jakaa alueen kahtia. e 8. Suoraan ympyräkartioon sijoitetaan neliöpohjainen suorakulmainen särmiö siten, että särmiön pohjatahko on kartion pohjalla ja vastakkaisen tahkon kärjet ovat kartion vaipalla. Laske tällaisista särmiöistä suurimman tilavuus, kun kartion pohjan halkaisija sekä kartion korkeus ovat yksikön pituiset. Kuvion merkinnöillä: Δ GPQ ~ ΔOHQ( kk), (suorat kulmat ja yhteinen kulma) Saadaan verranto PG PQ = OH OQ. Merkitään pohjasärmiäkirjaimella ja sivusärmiä kirjaimella y, jolloin neliötahkon lävistäjän puolikas PG =, PQ = y, OQ = ja OH =. joten y =, josta y = +. p Nyt saamme särmiön tilavuudeksi V = y = V ( ) = ( + )) = 3 +. Ääritapauksena = 0, jolloin särmiö kutistuu janaksi OQ ja toisena ääritapauksena + =, josta =, joten 0,, joten suurin arvo löytyy joko () välin päätepisteistä tai () derivaatan nollakohdista. +p () V(0) =0, V ( ) = 0 () V ( ) = 3 +, josta derivaatan nollakohdiksi saadaan = 0 tai =, molemmat 0,. V(0) = 0, 3 +p V 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 7 +p. Suurin tilavuus on. 7 Tämä on koko kartion tilavuudesta 7 8 = 00% = 8,9... 8.3%. 9π π ( ) 3 +p
800 Vastaus: Suurimman särmiön tilavuus on ja se on % 8,3% kartion tilavuudesta 7 9π 9. Kreikan Olympoksella järjestettiin kuuluisa takaa-ajojuoksukilpailu Akhilleuksen ja kilpikonnan välillä. Kilpikonnan vauhti oli tarkalleen 9 % Akhilleuksen vauhdista. Kilpikonna sai tasan kilometrin etumatkan. Vaiheessa Akhilleus juoksi tasan km samaan aikaan kuin kilpikonna 90 m. Vaiheessa Akhilleus juoksi 90 m ja kilpikonna kerkesi samaan aikaan karkuun 8, m. Näin jatkettiin, eikä Akhilleus milloinkaan saanut kilpikonnaa kiinni. Kuinka monta juoksuvaihetta oli suoritettu, kun Akhilleus oli alle mm päässä kilpikonnasta, kuinka pitkän matkan he tällöin olivat juosseet? Kun toistetaan ajatusta äärettömän monta kertaa, niin Akhilleus saa kilpikonnan kiinni, kuinka pitkä olisi tällöin kumpaisenkin juoksumatka. Kun on juostu n vaihetta, Akhilleuksen juoksumatka metreissä on n 000 + 0,09 000 + 0,09 000 +... + 0,09 000 n Kilpikonnan juoksumatka on 0,09 000 + 0,09 000 +... + 0,09 000 n Akhilleuksen etäisyys kilpikonnasta on 0,09 000, jonka piti olla < 0,00, 6 n 6 lg0 josta 0,09 < 0. Ottamalla logaritmi puolittain saadaan n >, joten n > 5,737 lg 0,09 Etäisyys on alle mm vaiheen 6 jälkeen. +p Akhilleus on tällöin juossut 6 5 000 ( 0,09 ) 000 + 0,09 000 +... + 0,09 000 = 098,900549 098,9005 ja ( 0,09) 6 kilpikonna 000 0,09 + 000 0,09 +... + 000 0,096 98,9004634 98, 900 +p Kun Akhilleus on saavuttanut kilpikonnan, hän on juossut 000 000 + 000 0,09 + 000 0,09 +... = 098,900989 098,90 0,09 ja kilpikonna 000 m vähemmän eli 98,90 m. +p Vastaus: Akhilleuksen ja kilpikonnan välinen etäisyys alle mm, kun oli suoritettu 6 juoksuvaihetta, tällöin Akhilleus oli juossut 098,9005 m ja kilpikonna 98,900 m. Kun Akhilleus on saavuttanut kilpikonnan,hän on juossut 098,90 m ja kilpikonna 98,90 m. 0. Luvut p ja q ovat positiivisia reaalilukuja. Luku a on p % suurempi kuin luku b ja luku b on q % pienempi kuin luku a. Kumpi luvuista p vai q on suurempi ja kuinka monta prosenttia? p a b Luku a = b + b, josta p = 00 00 b p q Luku b = a, 00 a a b josta q = 00 a +p Luku p > q, sillä p:n nimittäjä on pienempi kuin q:n nimittäjä. +p 00( a b)( ) p q a b Luku p on 00% b a = 00% = 00% kuin q. q a b b 00 a +3p a b Vastaus: luku p on 00% suurempi kuin q. b p
. Pelilauta on n n -ruudukko, joka asetetaan täyteen nappuloita. Käytössä on riittävästi sekä valkoisia että mustia nappuloita. Kuinka monta erilaista pelipöytää on a) - b) n n- ruudukossa? Ruudukossa * on 4 ruutua, joten erilaisia pelipöytiä on 4 0 + 4 + 4 + 4 3 + 4 4 = +4+6+4+ = 6 = 4 kpl p Ruutuja on n = m kpl. Olkoon valkoisia nappuloita k kpl ja loput m k m ovat mustia. Tällöin valkoiset nappulat voidaan asettaa +p k eri tavalla. Valkoisten nappuloiden lukumäärä saa kaikki kokonaislukuarvot väliltä [ 0,m], jolloin erilaisia pelipöytiä on m m k = 0 k kpl, missä m = n. +p Voidaan todistaa, että erilaisia pelipöytiä on m. (Ei vaadita) Vastaus: ruudukossa on 6 pelipöytää ja n n - ruudukossa on pelipöytiä m m = m kpl, missä m = n. k = 0 k. Iidalla oli osakesalkussaan kahta eri lajia osakkeita. Nokian osaketta hän oli hankkinut hintaan 3,70 euroa/kpl ja Fortumia hintaan 8,70 euroa/kpl. Yhteensä Iida käytti osakkeiden hankintaan 00,00 euroa. Kuinka monta Nokian ja kuinka monta Fortumin osaketta Iidalla oli salkussaan? Osakkeita myydään vain kappaleittain eikä osina. Osakkeiden välityspalkkioita ei oteta huomioon. Ratkaisut saadaan yhtälöstä () 3,7 + 8,7 y =00, joka on identtinen yhtälön () 37 + 87y = 000 kanssa. Ratkaistaan ensin yhtälö 37 + 87y = syt(37,87). Syt(37,87) saadaan Eukleideen algoritmilla 37 = 87 + 50 87 = 3 50 + 37 50 = 37 + 3 37 = 3 + 3 = + = 5 + =, joten syt(37,87) =, joten saimme yhtälön (3) 37 + 87y = p Nyt etsimme kertoimet ja y. = 5 = 5 (3-) = 5 3 + 6 = 5 + 6 (37 3) = 6 37 7 3 = 6 37 7 (5037) = 7 50 +3 37 = 7 50 +3 (873 50) = 3 87 86 50 = 3 87 86 (3787) = 86 37 + 09 87 =, josta nähdään yhtälön (3) yksityisratkaisu = 86 ja y = 09. +p Kun kerromme yhtälön (3) luvulla 000 saamme yhtälön (), jolla on yksityisratkaisu 0 = 86 000 = 946000 ja y 0 = 09 000 = 99000 +p. Yhtälöiden () ja () kaikki kokonaislukuratkaisut 87 37 ovat: = 946000 + n, y = 99000 n, n Ζ +p Koska osakkeita on positiivinen määrä, on oltava > 0, josta n > 5058,8
sekä y > 0, josta n < 5059,07,jolloin n = 5059. Siis Joonaksen salkussa Nokiaa on 94600 +87 5059 = 33 ja Fortumia 99000 37 5059 = 7. +p Vastaus: Joonaksen salkussa 33 kpl Nokian ja 7 kpl Fortumin osakkeita. kt 3. Lääkkeen vaikutuksesta bakteerien määrä m vähenee funktion m( t) = C e mukaisesti. Funktiossa t on aika tunteina, k ja C ovat vakioita. Lääkkeen aloitushetkellä bakteereja oli,0 miljoonaa ja vuorokauden kuluttua enää 00 000 kpl. a) Määritä vakiot k ja C. b) Kuinka kauan lääkettä on käytettävä, jotta saavutetaan turvallinen 0 000 bakteerin taso? c) Kuinka suuri on bakteerien vähenemisnopeus vuorokauden kuluttua? kt a)määrätään yhtälöstä m = C e vakiot k ja C. Alkuehdosta t = 0 ja m = 000 000 saadaan C =000 000. p 4k Ehdosta t = 4 ja m = 00 000 saadaan e = 0, 0, josta ottamalla luonnolliset logaritmit saadaan ln 0, k = = 0,0670599... 0,067. +p 4 0,067t b) Yhtälöstä 000000 e = 0000 saadaan aika, joka vaaditaan 0,067t ln 0,0 turvalliseen tasoon. e = 0, 0, josta t = 69. +p 0.0670599... kt c)bakteerien muutosnopeus on m ( t) = C e ( k), joten muutosnopeus hetkellä 4 h on 0,0670599... 4 m (4) = 000000 e ( 0,0670599...) 34,98... 3000, joten bakteerien vähenemisnopeus hetkellä 4 h on 3000 bakteeria/h. +p Vastaus: a) k = 0,067ja C = 000 000,b) t = 69 h ja c) 3000 bakteeria/h. 4.(*). a) Määrää kolmion ABC kulmien puolittajasuorien yhtälöt, kun A = (0,0), B = (,4) ja C = 5,. (4 p) b) Todista, että kaikki kolmion ABC puolittajasuorat kulkevat saman 3 3 pisteen Q kautta. ( p) c) Todista, että piste Q keskipisteenä voidaan piirtää ympyrä, joka sivuaa kolmion ABC sivua. Määrää tämän ympyrän säde ja yhtälö. (3 p) y y Kolmion ABC sivujen yhtälöt saadaan kaavalla y y 0 = k( 0 ), missä k = Sivujen yhtälöiksi saadaan: L(AB): - + y = 0; L(AC): + y = 0 ja L(BC): + y - 8 =0 Puolittajasuorien yhtälöt saadaan lauseen Kulman puolittajan jokainen a 0+ by 0+ c piste (,y) on yhtä etäällä kulman kyljistä. avulla käyttäen kaavaa d =, a + b missä ( 0,y 0 ) = (,y) ja a, b ja c ovat kulman kylkisuorien kertoimet. Kulman A + y + 0 + y + 0 puolittaja L(A) saadaan yhtälöstä: =, josta sieventämällä ( ) + () + saadaan yhtälöä: 3 + y = 0 ja + 3y = 0. Koska puolittajan L(A) kulmakerroin on positiivinen,. p
niin jälkimmäinen yhtälö + 3y = 0 on puolittajan L(A) yhtälö. +p Puolittajan L(B) yhtälöksi saadaan joko y = 4 tai =, joista pystysuora = kelpaa. Puolittajan L(B) yhtälö saadaan myös huomaamalla, että kolmion ABC sivun AB kulmakerroin on ja sivun BC kulmakerroin on -, joten kulman B puolittajan täytyy olla pystysuora ja sen yhtälö on: =. +p Puolittajan L(C) yhtälöksi saadaan joko y 8 = 0 tai 3 + 3y 8 = 0, joista jälkimmäinen on puolittajan L(C) yhtälö, sillä suoran L(C) kulmakerroin on negatiivinen. +p b)piste Q saadaan puolittajien L(A) ja L(B) muodostamasta yhtälöparista, joten piste Q = (,⅔). Tämä piste Q toteuttaa myös puolittajan L(C) yhtälön, joten kaikki puolittajat kulkevat pisteen Q = (,⅔) kautta. +p c)vaaditun ympyrän keskipiste on piste Q = (,⅔) ja säde on pisteen Q etäisyys kolmion ABC sivun AB määräämästä suorasta L(AB): - + y = 0. + + 0 3 0 Säde r = = +p ( ) + 3 5 Koska piste Q on jokaisella puolittajalla, täytyy pisteen Q etäisyys jokaisesta kolmion 0 sivusta olla sama Saman asian voi myös todeta laskemalla pisteen Q etäisyyden 3 5 jokaisesta kolmion sivusta. +p 0 Vaaditun ympyrän yhtälöksi saadaan: ( ) + ( y ) = ( ) =. +p. 3 3 5 9 Vastaus: a) Puolittajien yhtälöt ovat: L(A): -+3y = 0, L(B): = ja L(C): 3 +3y 8 = 0. b) Puolittajasuorat kulkevat pisteen Q = (,⅔) kautta. c)kolmion ABC sisään piirretyn ympyrän yhtälö on: 0 0 ( ) + ( y ) = ( ) =, missä ympyrän säde r =. 3 3 5 9 3 5 5. ( ) a) Funktio θ () = e on eräs satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Mitä π tiheysfunktiolla tarkoitetaan? Selvitä, mikä on tiheysfunktion kertymäfunktio? ( p) b) Määrää Simpsonin säännöllä integraalin arvo θ ( ) d. Käytä jakoväliä 0,5. (5 p) c) θ () on normaalijakauman N(0,) tiheysfunktio. Määrää normaalijakauman N(0,) avulla integraalin θ ( ) d arvo. ( p) a) Jotta funktio θ (t) = t e π on satunnaismuuttujan tiheysfunktio, niin ehdot ()θ () 0 ja () θ ()d = on oltava voimassa. p
Tiheysfunktion θ (t) = e π t kertymäfunktio on Φ () = θ (t)dt +p b) Osavälin pituus h = 0,5. Osavälejä on 6 kpl. Simpsonin säännöllä saadaan integraalin arvon likiarvoksi 0,5 ( θ ( ) + 4θ ( 0,5) + θ (0) + 4θ (0,5) + θ () + 4θ (,5) + θ ( )) +p 3 0,5 ( ) / ( 0,5) / (0,0) / (0,5) / (,0) / (,5) / (,0) / ( e + 4e + e + 4e + e + 4e + e ) 3 π 0,8873 0,887 +p c) θ ( ) d = Φ() Φ( ) = Φ() ( Φ()) = Φ() + Φ() 0,977 + 0,843 = 0,885. +3p Vastaus: a) ()θ () 0 ja () θ ()d = on oltava voimassa. Tiheysfunktion θ (t) = b) 0,887 ja c) 0,885. π t e kertymäfunktio on Φ () = θ (t)dt