1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden BC ja CDF kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmioiden täytyy olla yhtenevät. a) Tosi b) epätosi D. Jos kolmion sivuille p, q ja r pätee p 2 + q 2 = r 2, niin kolmion pinta-ala on a) tosi b) epätosi p q. 2 E. Ympyrän kaarta b vastaavan kehäkulman suuruus on 40 astetta. Kaarta b vastaavan keskuskulman suuruus on a) 80 astetta b) 140 astetta c) 20 astetta. F. Sivun x pituus voidaan laskea kaavalla a) x 2 + 4,8 2 = 5 2 4,8 b) = x c) sin(68 ) sin (35 ) 52 = 4,8 2 + x 2 4,8x cos (35 ). Säde on 6 = 3 ja kehän pituus 2 π 3 = 6π. 2 B. k 2 = 1 4, joten k = 1 2. C. Kolmiot voivat olla erikokoisia, jolloin ne ovat yhdenmuotoisia, mutta eivät yhteneviä. D. Pythagoraan lauseen p 2 + q 2 = r 2 mukaan p ja q ovat suorakulmaisen kolmion kateetteja eli kanta ja korkeus, jolloin annettu alan kaava on oikein. E. Keskuskulma = 2 kehäkulma, joten keskuskulma on 80. F. Vain b) on tässä kolmiossa oikein (sinilause). t. 2. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 63 m ja toisen kateetin pituus on 50 m. Määritä 50 m pituisen kateetin vastaisen kulman suuruus. a) 53⁰ b) 54⁰ c) 37⁰ c) 38⁰ B. Kun lieriön muotoiseen astiaan kaadettiin 1,0 litraa vettä, veden pinta kohosi 5,0 cm. Mikä on lieriön tilavuus, kun sen korkeus on 20 cm? a) 400 cm 3 b) 4 dm 3 c) 6,4 litraa C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
. sin γ = 50 63 γ = sin 1 ( 50 ) = 52,52 53 [ Geogebra: acosd(50/63) ] 63 B. Jos on pohjan ala, niin nesteen tilavuus on 5,0 = 1000 (cm 3 ), josta = 200 (cm 2 ). Tällöin koko kappaleen tilavuus on h = 200 cm 2 20 cm = 4000 cm 3 = 4 dm 3 (= 4 l). C. Mittakaavan neliö on pinta-alojen suhde, joten saadaan k 2 =. Nyt siis uusi mittakaava on 1,05-kertainen, joten saadaan (1,05k) 2 = 1,1025k =. Pinta-ala siis kasvaa noin 10%. Valitse tehtävistä 3-10 kuusi (6) mieleisintä, jokainen 4 p 3. Laske tangenttikulman suuruus, kun ympyrän säde on 7 ja pisteiden O ja P välinen etäisyys 18. sin β = 7 18 β = sin 1 ( 7 18 ) = 22,88 α = 2 β = 2 22,88 46
4. Laske väritetyn alueen pinta-ala, kun ison ympyrän halkaisija on 10 cm. Isomman ympyrän säde on 5 cm ja pienempien 2,5 cm. Kysytty ala on π 52 2 π 2,5 2 = 19,63 20 cm 2. 2 5. Kolmion muotoisen puiston sivujen pituudet ovat 60 m, 100 m ja 150 m. Laske puiston pinta-ala. Kosinilauseella saadaan 60 2 = 100 2 + 150 2 2 100 150 cos α 3600 = 32500 30000 cos α 28900 = 30000 cos α cos α = 28900 30000 α = cos 1 ( 28900 30000 ) = 15,56 Kolmion ala on 1 2 100 150 sin 15,56 = 2012,30 2000 (m2 ). 6. Laske kartion tilavuus. Pohjaneliön lävistäjän pituus 4 2 saadaan muistikaavalla (voi laskea myös pythagoraalla: x 2 = 4 2 + 4 2 ). Lävistäjänn puolikas on 2 2. Pyramidin korkeus h saadaan kuvion suorakulmaisesta kolmiosta pythagoraalla: (2 2) 2 + h 2 = 3 2 h = 1 Pyramidin tilavuus h = 4 4 1 = 16 = 5 1. 3 3 3 3
7. Keilapallo pakataan niin pieneen kuution muotoiseen pakkauslaatikkoon kuin se on mahdollista. Kuinka monta prosenttia keilapallon pakkauslaatikkoon jää tyhjää tilaa? Jos pallon säde on r, niin kuution särmä on 2r ja kuution tilavuus (2r) 3 = 8r 3. Pallon tilavuus on 4πr3 3 ja tyhjän tilan tilavuus 8r 3 4πr3 3. Koko kuutiosta tyhjää tilaa jää 8r3 4πr3 3 = 0,476 0,48 = 48%. 8r 3 8. a) Perustele, miksi kolmiot BC ja DC ovat yhdenmuotoiset. (2 p) b) Määritä sivun C pituus, kun D = 8 ja DB = 2. (2p) C D B a) Kolmioissa BC ja CD (kärjet tässä järjestyksessä) on molemmissa suorakulma ja kulma on kolmioille yhteinen. Ne ovat siis yhdenmuotoiset (kk). [kk=kaksi kulmaa -lause] b) B = D + DB = 8 + 2 = 10 Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan verranto C = B D C C 8 = 10 C C = 80 = 4 5
9. Kuvan kolmiot BC ja DB ovat tasakylkisiä. Kolmion DB korkeus on 4. Määritä sivun C pituus. Ratkaisu D B C Koska kolmio DB on tasakylkinen ja suorakulmainen, hypotenuusa saadaan Pythagoraan lauseella: B = 4 2 + 4 2 = 32. Koska kolmio BC on tasakylkinen, sivu B = BC. Sivun C pituus saadaan myös Pythagoraan lauseella: C = 4 2 + (4 + 32) 2 = 16 + 16 + 8 32 + 32 = 64 + 32 2 = 16(4 + 2 2) = 4 4 + 2 2. 10. Piirrä geogebralla suorakulmainen särmiö, jonka mitat ovat 3, 4 ja 5. Merkitse avaruuslävistäjän ja pienimmän tahkon välinen kulma ja sen suuruus kuvaan. Ratkaisu
Valitse joko tehtävä 9 tai tehtävä 10. 11. Täysin pyöreän geenimanipuloidun omenan säde on 5,0 cm. Omenan läpi porataan sen keskeltä kulkeva reikä, jonka säde on 1,0 cm. Kuinka monta prosenttia omenan tilavuudesta tällöin häviää? nna vastaus prosenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella. (yos15 teht.9)
12. a) Suunnikkaan BCD sivulla CD oleva piste E puolittaa sivun CD. Missä suhteessa jana E jakaa lävistäjän BD? b) Neliön BCD sivulla CD oleva piste E puolittaa sivun CD. Missä suhteessa jana E jakaa neliön pintaalan? Ratkaisu a) Kolmiot DFE ja BF ovat yhdenmuotoiset (kk), sillä kulmat DFE ja BF ovat ristikulmina yhtäsuuret ja kulmat FDE ja FB samankohtaisina kulmina yhtäsuuria. Tästä saadaan verranto BF : FD = DE : B = 1 : 2 D (1) E (1) C F (2) B b) Olkoon neliön sivu a. Tällöin kolmion pinta-ala on 1 2 1 2 a a = 1 4 a2. Jäljelle jäävän alueen ala on jäl = n k = a 2 1 4 a2 = 3 4 a2. Suhde on siis k = ( 1 jäl 4 a2 ): ( 3 4 a2 ) = 1 = 1: 3. 3 D E C B