Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3 K. Tuominen 16. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 20.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi assarin nimi. Tehtävät S1 ja S2 ovat ylimääräisiä, ja niistä saa normaalit laskaripisteet, mutta maksimipisteet on mahdollista saada ilmankin. 1. Ratkaise differentiaaliyhtälö (a) ẍ + 2ẋ + x = 0, kun x(t) toteuttaa alkuehdot x(0) = 0, ẋ(0) = 1. (b) ẍ + 2ẋ + 5x = 0, kun x(t) toteuttaa alkuehdot x(0) = 1, ẋ(0) = 0. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön: karakteristinen yhtälö on: x + 2x + x = 0 γ 2 + 2γ + 1 = 0 Missä γ on vakio. Sille saadaan toistuva juuri ratkaisuksi: γ 2 + 2γ + 1 = (γ + 1) 2 = 0 γ = 1 Yleisesti, jos karakteristisen yhtälön ratkaisuksi saadaan γ 1 = γ 2, differentiaaliyhtälölle löytyy yleinen ratkaisu joka on muotoa: Joten yleinen ratkaisu on tälle esimerkille: Nyt käyttämällä alkuehtoja saadaan: Josta lopulta saadaan ratkaisu: x(t) = (c 1 + c 2 t)e γt x(t) = (c 1 + c 2 t)e t x(0) = (c 1 + 0)e 0 = 0 c 1 = 0 x (0) = c 2 (e 0 0e 0 ) = 1 c 2 = 1 x(t) = te t b) Tällä kertaa karakteristinen yhtälö on muotoa: γ 2 + 2γ + 5 = 0

matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 3 2 Jolle löytyy ratkaisut: γ = 1 ± 2i Käyttämällä toisen asteen polynomien ratkaisukaavaa. Jos karakteristisen yhtälön juuret ovat kompleksisia voidaan osoittaa että jos γ = a ± ib: Joten yleinen ratkaisu on muotoa: Eli alkuehdoista saadaan: x(t) = e at (c 1 cos(bt) + c 2 sin(bt)) x(t) = e t (c 1 cos(2t) + c 2 sin(2t)) x(0) = 1 = c 1 x (0) = 0 c 1 = 2c 2 c 2 = 1 2 Ratkaisu joka toteuttaa nämä alkuehdot on siis: x(t) = e t (cos(2t) + 1 2 sin(2t)) 2. Ratkaise differentiaaliyhtälö y + y 2y = x 2 x. Ratkaisu: y = 1 2 x2 1 2 + C 1e x + C 2 e 2x, C 1, C 2 R. Tutkitaan differentiaaliyhtälön homogeenisen version y + y 2y = 0 karakteristista yhtälöä. Yhtälö ja sen juuret ovat r 2 + r 2 = 0 r = 1 ± 1 2 4 1 ( 2) 2 1 = 1 ± 9 2 = 1 ± 3 2 r 1 = 1 r 2 = 2. Koska juuret ovat reaalisia ja erisuuria, tiedetään yhtälön ratkaisukannan olevan (y 1, y 2 ) = (e x, e 2x ), ja näin ollen yleinen ratkaisu on y yl = C 1 e x + C 2 e 2x, C 1, C 2 R. Laaditaan nyt alkuperäisen yhtälön ratkaisulle yrite. Koska yhtälön oikean puolen korkein termi on x 2, saadaan yritteeksi ja sen derivaatoiksi y p = Ax 2 + Bx + C y p = 2Ax + B y p = 2A. Sijoittamalla yritteet alkuperäiseen yhtälöön, saadaan x 2 x = y p + y p 2y p = 2A + 2Ax + B 2Ax 2 2Bx 2C = ( 2A)x 2 + (2A 2B)x + (2A + B 2C). Vertailemalla kertoimia saadaan lineaarinen yhtälöryhmä: Muista toisen kertaluvun homogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisukannat: 1. (e r 1x, e r 2x ), jos r 1, r 2 R ja r 1 r 2. 2. (e sx cos(tx), e sx sin(tx)), jos r 1, r 2 / R, r 1 = s + it ja r 2 = s it. 3. (e r 1x, xe r 1x ), jos r 1 on kaksinkertainen juuri. 1 = 2A A = 1 2 1 = 2A 2B B = 0 0 = 2A + B 2C C = 1 2

matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 3 3 Nyt, sijoittamalla ratkaistut kertoimet yritteeseen, erityisratkaisuksi saadaan y p = 1 2 x2 1 2. Yhdistämällä yleinen ratkaisu ja erityisratkaisu, saadaan täydeksi ratkaisuksi y = y p + y yl = 1 2 x2 1 2 + C 1e x + C 2 e 2x, C 1, C 2 R. (b) dx 2 + dy dx 6y = 5e 3x, dx 2 + 2 dy dx + y = 6e x. Ratkaisu: (a) Ratkaistaan ensin homogeeninen yhtälö: 3. Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöille Tehtävässä 3 muista tarkistaa, että yksittäisratkaisun yritefunktio ei ole homo- (a) geenisen yhtälön ratkaisu. a)-kohta, vrt. luennot ja b)-kohdassa sovella samaa logiikkaa, kuin a)-kohdassa. Karakteristinen yhtälö on: dx 2 + dy dx 6y = 0 r 2 + r 6 = 0, jonka juuriksi saadaan r 1 = 2 ja r 2 = 3, jolloin y 1 = e 2t ja y 2 = e 3t, ja yleinen ratkaisu on muotoa y h = Ae 2t + Be 3t Nyt lähdetään ratkaisemaan alkuperäinen yhtälö yritteen avulla. Yrite y p = Ce 3t on homogeenisen yhtälön ratkaisu, joten kokeillaan yritettä y p = Cte 3t y p = Ce 3t 3tCe 3t y p = 3Ce 3t 3Ce 3t + 9Cte 3t = 6Ce 3t + 9Cte 3t Sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön 6Ce 3t + 9Cte 3t + Ce 3t 3tCe 3t 6Cte 3t = 5e 3t 5Ce 3t = 5e 3t C = 1 Jolloin saadaan lopullinen ratkaisu muotoon y = Ae 2t + Be 3t te 3t (b) Homogeeninen yhtälö on nyt: Josta saadaan karakteristinen yhtälö: dx 2 + 2 dy dx + y = 0 r 2 + 2r + 1 = 0 r = 1 Kyseessä on siis kaksinkertainen reaalinen juuri. Homogeenisen yhtälön ratkaisu on siis:

matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 3 4 y = C 1 e x + C 2 e x x Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu on homogeenisen yhtälön ratkaisun ja epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun lineaarikombinaatio. Etsitään yksittäisratkaisu yritteellä y = Ax 2 e x. Yleinen ratkaisu on nyt: d 2 (Ae x ) dx 2 + 2 d(ae x ) + (Ae x ) = 6e x dx Ae x (x 2 4x + 2) + Ae x (2x x 2 ) + Ax 2 e x = 6e x A = 3 y = C 1 e x + C 2 e x x + 3x 2 e x 4. Etsi differentiaalityhtälön Tehtävässä 4: Nyt epähomogeenitermi yhtälön oikealla puolella sisältää dt 2 + dx dt 6x = te t cos t yksittäisratkaisu. Ratkaisu: Vastaus: x p(t) = ( 1 50 t + 11 250 )e t sin t + ( 7 50 t + 1 125 )e t cos t Toisen asteen epähomogeeninen lineaarinen toisen asteen differentiaaliyhtälö on muotoa: a d2 x dt 2 + b dx + cx = f (t) dt Yksittäisratkaisun standardiarvaukseksi otetaan epähomogeenisen termin kanssa samaa muotoa oleva funktio. 1) Jos f (t) on n-asteen polynomi, niin yritteeksi otetaan samaa astetta oleva polynomi: x p(t) = C nt n + C n 1 t n 1 + + C 0 2) Jos f (t) on eksponenttifunktio, niin yritteeksi otetaan: x p(t) = Ce kt 3) Jos f (t) on trigonometrinen funktio, niin yritteeksi otetaan sinin ja kosinin summa: x p(t) = C sin(σt) + D cos(σt) 4) Jos standardiarvauksen jokin termi toteuttaa homogeenisen yhtälön, niin arvausta kerrotaan tekijällä t. Tätä toistetaan kunnes saadaan arvaus, joka ei sisällä homogeenisen yhtälön toteuttavia termejä. 5) Menetelmä toimii myös silloin, kun f (t) on tässä käsiteltyjen erikoistapausten (polynomi-, eksponentti- ja trigonomentrisen funktion) summa tai tulo. Tässä tehtävässä epähomogeenisuustermi on: f (t) = te t cos t joka sisältää ensimmäisen asteen polynomin (t), eksponenttifunktion (e t ) ja trigonometrisen funktion (cos t). Unohdetaan hetkeksi yritteiden vakiokertoimet. Tällöin funktoiden yritteet ovat seuraavat: 1) Polynomifunktiolle: x p(t) = t + 1 2) Eksponenttifunktiolle: x p(t) = e t (sillä k = 1) 3) Trigonometrinen funktio: x p(t) = sin t + cos t (sillä σ = 1) polynomin, eksponenttifunktion ja trigonometrisen funktion. Etsi yksittäisratkaisua muodostamalla näiden tulo soveltamalla samoja sääntöjä kuin tapauksissa, joissa epähomogeenitermi on vain polynomi, eksponenttifunktio tai trigonometrinen funktio.

Muodostetaan näiden kolmen tulo: x p(t) = (t + 1)e t (sin t + cos t) = te t sin t + te t cos t + e t sin t + e t cos t Lisätään vielä asiaankuuluvat vakiokertoimet ja järjestellään termit: x p(t) = Ate t sin t + Be t sin t + Cte t cos t + De t cos t = (At + B)e t sin t + (Ct + D)e t cos t = e t ((At + B) sin t + (Ct + D) cos t) Homogeenisen yhtälön ratkaisu on C h (x) = C 1 e 2t + C 2 e 3t, joten yritettä ei tarvitse kertoa t:llä. Lopullinen yrite on siis: x p(t) = e t ((At + B) sin t + (Ct + D) cos t) Derivoidaan yritettä ensin kahdesti tulon derivoimissääntöä soveltaen: dx dt = e t ((At + B) sin t + (Ct + D) cos t) + e t (A sin t + (At + B) cos t + C cos t (Ct + D) sin t) = e t ((A At B Ct D) sin t + (At + B + C Ct D) cos t) dt 2 = e t ((A At B Ct D) sin t + (At + B + C Ct D) cos t) + e t (( A C) sin t + (A At B Ct D) cos t + (A C) cos t (At + B + C Ct D) sin t) = e t (( 2A + 2Ct + 2D 2C) sin t + (2A 2At 2B 2C) cos t) Sijoitetaan yrite yhtälöön: dt 2 + dx dt 6x = te t cos t e t (( 2A + 2Ct + 2D 2C) sin t + (2A 2At 2B 2C) cos t) +e t ((A At B Ct D) sin t + (At + B + C Ct D) cos t) 6e t ((At + B) sin t + (Ct + D) cos t) = te t cos t e t (( A + Ct + D 2C 7At 7B) sin t + (2A At B C 7Ct 7D) cos t) = te t cos t Mätsäämällä sini- ja kosinitermien kertoimet yhtälön molemmin puolin, saadaan seuraava yhtälöpari: 2A At B C 7Ct 7D = t A + Ct + D 2C 7At 7B = 0 Yllä olevan voi vielä jakaa osiin mätsäämällä t:tä kertovat termit ja vakiotermit keskenään: Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä saadaa: A 7C = 1 C 7A = 0 2A B C 7D = 0 A + D 2C 7B = 0 C = 7A A 49A = 1 A = 1 50 ja C = 7 50 Sijoittamalla A ja C kahteen alempaan yhtälöön, ne tulevat muotoon:

matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 3 6 Nyt 2 50 B + 7 50 7D = 0 B + 7D = 1 1 50 + D + 14 50 7B = 0 10 D 7B = 3 10 B = 11 250 ja D = 1 125 Yksittäisratkaisu saa lopullisen muotonsa: x p(t) = ( 1 50 t + 11 250 )e t sin t + ( 7 50 t + 1 125 )e t cos t S1. Harmonisen värähtelijän liike x(t) toteuttaa differentiaaliyhtälön dt 2 + ω2 x = 0. Tarkastellaan maapallon läpi keskipisteen kautta porattua tunnelia. Tunnelissa on tyhjiö ja m-massainen vaunu liukuu kitkatta tunnelissa Maan gravitaatiokentässä. Oletetaan tunnetuksi, että Maan sisällä etäisyydellä r Maan keskipisteestä, m-massaiseen kappaleeseen kohdistuu gravitaatiovoima F = mgr/r, missä R on maan säde ja g on gravitaatiokiihtyvyys Maan pinnalla. Sovella Newtonin II lakia ja kirjoita vaunun liikeyhtälö. Osoita, että liikeyhtälö on samaa muotoa kuin harmonisen värähtelijän liikeyhtälö. Kirjoita yhtälön yleinen ratkaisu ja johda liikkeen jaksonaika. Miten kauan aikaa vaunulta kuluu edestakaiseen matkaan Maan läpi? Ratkaisu: Newtonin II mukaan F = ma = m d2 r dt 2. Toisaalta tiedetään, että F = mgr R. Voidaan siis kirjoittaa: m d2 r dt 2 = mgr R d 2 r dt 2 = gr R d 2 r dt 2 + g R r = 0 Huomataan, että tämä vastaa harmonisen värähtelijän yhtälöä kun ω 2 = r R Seuraavaksi lasketaan yhtälön yleinen ratkaisu. Karakteristinen yhtälö ja sen ratkaisut: k 2 + g R = 0 k 2 = g R g k = ±i R Muistetaan reaalinen ratkaisukanta komplesisten juurten tapauksessa, ja saadaan yhtälön yleinen ratkaisu g g r(t) = A sin R t + B cos Seuraavaksi lasketaan matkaan kulunut aika. Kosini ja sini ovat aloitus vaiheessa, g kun t = 2π eli R R t

matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 3 7 t = 2π R g = 2π 6371 103 m 9.81 m s 2 5063s Edestakaiseen matkaan siis kuluu 5063 s eli noin 1 h 24 min. Saman olisi voinut ratkaista vaihetta miettimättä jaksonajasta T = 1 = 2π f ω = 2π R g Vastaus: g Paikan yleinen ratkaisu on r(t) = A sin ( R t) + B cos ( g t). Edestakaiseen R matkaan kuluu 1 h 24 min. S2. Tarkastellaan toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä joka ei ole vakiokertoiminen vaan muotoa dx + p(t) + q(t)x = 0. dt2 dt Oletetaan, että tunnemme tämän yhtälön yhden ratkaisun, u(t). (a) Määritellään x(t) = u(t)y(t). Sijoita tämä yllä olevaan differentiaalityhtälöön ja käytä tietoa, että u(t) on ratkaisu, osoita. Näin saat funktiolle z(t) = ẏ dy/dt 1. kertaluvun yhtälön u(t)ż + (2 u(t) + p(t)u(t)) z = 0, ( f d f /dt). (b) Etsi sopiva integroiva tekijä, ja johda ratkaisukaava missä A on integroimisvakio. Ratkaisu: (a) Lasketaan derivaatat z(t) = A u 2 e p(t)dt, ẋ = uy + uẏ, ẍ = üy + 2 uẏ + uÿ. Sijoittamalla nämä differentiaaliyhtälöön saadaan Ryhmitellään termejä hieman uudestaan: üy + 2 uẏ + uÿ + p(t)( uy + uẏ) + q(t)uy = 0. (ü + p(t) u + q(t)u) y + uÿ + 2 uẏ + p(t)uẏ = 0. Suluissa oleva lauseke on nolla koska u(t) on yhtälön ratkaisu. Jäljelle jää siis uÿ + 2 uẏ + p(t)uẏ = 0. Tässä yhtälössä ei esiinny lainkaan funktiota y, joten voidaan merkitä z = ẏ ja saadaan ensimmäisen kertaluvun yhtälö u(t)ż + (2 u(t) + p(t)u(t)) z = 0. (b) Etsitään integroiva tekijä I(t). Kerrotaan yhtälöä puolittain funktiolla u(t)i(t). Tällöin saadaan u 2 Iż + 2u uiz + p(t)u(t) 2 Iz = 0.

matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 3 8 Halutaan, että yhtälön vasen puoli olisi derivaatta d(u 2 Iz)/dt, jolloin yhtälö on suoraviivainen integroida. On siis toteuduttava u 2 İ = p(t)u 2 I, josta saadaan ratkaistua I = exp p(t)dt. Tämän jälkeen integrointi puolittain antaa u 2 Iz = A, missä A on integroimisvakio, ja josta edelleen saadaan z(t) = A u 2 e p(t)dt,

matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 3 9 1. Solve the differential equation (a) ẍ + 2ẋ + x = 0, when x(t) satisfies the initial conditions x(0) = 0, ẋ(0) = 1. (b) ẍ + 2ẋ + 5x = 0, when x(t) satisfies the initial conditions x(0) = 1, ẋ(0) = 0. 2. Solve the differential equation y + y 2y = x 2 x. 3. Find the general solution to the following differential equations In problem 3 remember to check that the ansatz for the particular integral (a) (b) dx 2 + dy dx 6y = 5e 3t, dx 2 + 2 dy dx + y = 6e t. is not a solution of the homogeneous equation. In part a) consult the lecture note and in part b) apply the same logic as in part a). 4. Find the particular integral of the differential equation Probelm 4: Now the non-homogeneous term on the right hand side contains dt 2 + dx dt 6x = te t cos t S1. The motion x(t) of a simple harmonic oscillator satisfies the differential equation dt 2 + ω2 x = 0. Consider a tunnel drilled through the center of the Earth. Inside the tunnel is a vacuum where a car of mass m slides frictionlessly under the influence of Earth gravity. We suppose known that the mass m inside Earth at distance r from Earth s center experiences gravitational force F = mgr/r, where R is radius of the Earth and g is the gravitational acceleration measured at the surface of the Earth. Apply Newton s II law and write the equation of motion of the car. Show that the equation can be cast in the form of a harmonic a polynomial, an exponential function and a trigonometric function. Find the particular integral by constructing the ansatz as a product of all these functions applying the same rules as in the cases where only a single function (a polynomial, an exponential or a trigonometric) appears on the right hand side.

matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 3 10 oscillator. Write the general solution of the equation and determine the period of oscillations. How long does it take for the car to travel once through the Earth and back to the point where it started? S2. Consider a second order differential equation with non-constant coefficients: dx + p(t) + q(t)x = 0. dt2 dt Suppose that we know one solution of this equation, u(t). (a) Define x(t) = u(t)y(t). Insert this into the above differential equation and use the fact that u(t) is a solution to show that function z(t) = ẏ dy/dt satisfies a 1. order equation u(t)ż + (2 u(t) + p(t)u(t)) z = 0, ( f d f /dt). (b) Find an integrating factor and derive the following formula for the solution: z(t) = A u 2 e p(t)dt, where A is the constant of integration.