Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 4

Transkriptio

1 Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 4 K. Tuominen 22. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi assarin nimi. Tehtävät S1 ja S2 ovat ylimääräisiä, ja niistä saa normaalit laskaripisteet, mutta maksimipisteet on mahdollista saada ilmankin. 1. Tarkastellaan vakiokertoimista 1. kertaluvun yhtälöä dx + px = q. dt (a) Ratkaise yhtälöä käyttämällä integroivaa tekijää. (b) Ratkaise yhtälö etsimällä ensin homogeenisen yhtälön ratkaisu x h ja sen jälkeen jokin epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu x p. Ratkaisu: (a) Käytetään integroivaa tekijää jolloin yleisen ratkaisun tiedetään olevan I(t) = p(t)dt e = e pdt = e pt x(t)i(t) = I(t)q(t)dt x(t) = q I(t)dt I(t) = q e pt e pt dt ( ) 1 = qe pt p ept + D = q p + qde pt = Ce pt + q p Lopussa otettiin uusi integromisvakio C qd, mikä voidaan tehdä, koska q on vain vakio, eli tulo qd on myös "jokin vakio". (b) Lasketaan ensin homogeenisen ytälön ratkaisu x h

2 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 4 2 dx dt + px = 0 dx dt = px 1 dx x dt = p dx x = pdt dx x = pdt ln (x) = pt + D x = e pt+d x = e D e pt x = Ce pt Nyt tarvitaan sopiva yrite epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisuksi. Oikealla puolella yhtälö on nollannen asteen polynomi (eli vakio), siispä yritteeksi riittää x = A. Sijoitetaan yrite. da dx + pa = q pa = q A = q p Saadaan epähomogeenisen yhtälön yleiseksi ratkaisuksi x = x h + x p = Ce pt + q p Siispä saimme molemmilla metodeilla saman vastauksen! 2. Lähetetään valoa vedenpinnan alapuolella suoraan alaspäin. Valon edetessä tapahtuu absorptiota, ja valon intesiteetti pienenee. Intensiteetin pieneneminen syvyydellä h on suoraan verrannollinen intensiteettiin syvyydellä h. Verrannollisuuskerrointa µ kutsutaan lineaariseksi absorptiokertoimeksi. Johda valon intensiteettiä syvyydellä h kuvaava yhtälö ja kirjoita sen yleinen ratkaisu. Veden absorptiokerroin on µ = cm 1. Jos intensiteetti veden pinnassa on I 0, niin millä syvyydellä intensiteetti on puolet alkuperäisestä? Ratkaisu: Koska intensiteetin pieneneminen syvyydellä h on suoraan verrannollinen intensiteettiin ja on annettu lineaarinen absorptiokerroin, saamme yhtälön: di dh = µi Yleinen ratkaisu saadaan, kun muokataan yhtälöä uuteen muotoon ja integroidaan puolittain: di I di I = µdh = µdh ln(i) = µh + C

3 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 4 I = Ce µh Tiedetään, että veden pinnalla I(h) = I 0 Kun valitaan, että veden pinnalla h = 0, saadaan ratkaistua C: eli C = I 0 ja I(0) = Ce µ0 = I 0 I = I 0 e µh Seuraavaksi selvitetään, millä syvyydellä intensiteetti on puolet alkuperäisestä. I = I 0 2 eli I = I 0 e µh I 0 e µh = I 0 2 e µh = 1 2 µh = ln( 1 2 ) h = ln( 1 2 ) ln( 1 2 = ) µ = 211cm = 21.1m cm 1 Intensiteetti on puolet alkuperäisestä noin 21m syvyydellä vedenpinnasta alaspäin.. Etsi yhtälön ẍ + ẋ 2x = 12e t 6e t yleinen ratkaisu. Ratkaisu: Tehtävä ratkeaa viime viikon tehtävistä tutuksi tullein keinoin. Ratkaisu on homogeenisen yhtälön ratkaisun ja epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun summa. Homogeeninen yhtälö on: HY:n karakteristinen yhtälö on: x + x 2x = 0 Joten HY:n ratkaisu on: k 2 + k 2 = 0 k = 1 ± 9 2 k = 1 tai k = 2 x h = C 1 e 2t + C 2 e t Kuten tavallista yksittäisratkaisu selvitetään yritteellä. Hyvä yrite voisi olla x p = Ae t + Be t. Be t on kuitenkin homogeenisen yhtälön ratkaisu, joten yrite on x p = Ae t + Bte t. Sijoitetaan yrite epähomogeeniseen yhtälöön ja ratkaistaan vakiot: x p = Ae t + Bte t x p = Ae t + Bte t + Be t x p = Ae t + Bte t + 2Be t (Ae t + Bte t + 2Be t ) + ( Ae t + Bte t + Be t ) 2(Ae t + Bte t ) = 12e t 6e t Be t 2Ae t = 12e t 6e t A = 6 ja B = 2

4 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 4 4 Nyt lopullinen vastaus on siis: x = x h + x p = C 1 e 2t + C 2 e t 6e t 2te t 4. Viinilasin värähtelyä voidaan mallintaa yhtälöllä ẍ + λẋ + ω 2 x = 0. Oletetaan, että napautettaessa lasia, se värähtelee taajuudella 660 Hz. (a) Osoita, että 4ω 2 λ 2 = 2640π. (b) Syntynyt ääni vaimenee kuulumattomiin sekunnin kuluessa. Täsmällisemmin sanottuna, kolmen sekunnin kuluessa alkuperäisen värähtelyn amplitudi on vaimentunut tekijällä 1/100. Osoita, että λ = 2 ln(100). Laske λ ja ω kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö on muotoa: Ja sen kompleksiset ratkaisut ovat: γ 2 + λγ + ω 2 γ = λ ± λ 2 4ω 2 2 γ = λ 2 ± i 4ω2 λ 2 2 Jos oletetaan 4ω 2 > λ 2. Yleinen ratkaisu kyseiselle differentiaaliyhtälölle on siis: x(t) = e λt/2 (c 1 cos(at) + c 2 sin(at)) missä ollaan merkitty a = 4ω 2 λ 2 /2. x(t) kuvailee viinilasin värähtelyjä mallissamme. Huomaamme tästä että suure a kuvaa suoraan värähtelyjen kulmataajuutta. Kulmataajuuden ja taajuuden välillä pätee relaatio ν = 2π f (käytämme tässä symbolia ν koska ω on jo käytössä) joten: ν = a = 2π f 4ω 2 λ 2 = 4π f = 4π(660) = 2640π b) Värähtelyjä kuvailevien termien lisäksi löytyy maksimiamplitudia skaalaava termi x(t) n lausekkeessa: x(t) = e λt/2 (c 1 cos(at) + c 2 sin(at)) A(t) = e λt/2 Vakio λ kertoo meille kuinka voimakkaasti viinilasin värähtelyt vaimenevat, koska selvästi kun t saamme x(t) 0. Meille kerrotaan että ajanhetkellä t = maksimiamplitudi on skaalautunut tekijällä 1/100, josta voimme päätellä että: A() = e 2 λ = λ = 2 ln(100).07 Ja a) kohdan kaavasta saadaan lopulta laskettua ω: 4ω 2 (.07) 2 = 2640π

5 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 4 5 ω 4150 Joka on viinilasin luonnollinen kulmataajuus (ilman vaimennusta vakio λ = 0 ja a = ω). 5. Etsi yleinen ratkaisu yhtälölle d 4 x 16x = 64 sin(2t). dt4 Ratkaisu: Ratkaistaan ensin homogeeninen yhtälö: d 4 x dt 4 16x = 0 Sijoitetaan yhtälöön yrite x(t) = e rt, missä r on vakio: d 4 dt 4 ert 16e rt = 0 r 4 e rt 16e rt = 0 r 4 16 = 0 r 4 = 16 e rt Sitten muistetaan, mitä opittiin kurssin alkupuolella imaginaarilukujen juurista: 2, kun n = 0 ( r = 16e 2πn) 14 = 2e π 2 n 2i, kun n = 1 = 2, kun n = 2 2i, kun n = Homogeenisen yhtälön ratkaisu on siis x h (t) = C 1 e 2t + C 2 e 2t + C e i2t + C 4 e i2t Kurssin alkupuolella esiteltiin myös Eulerin kaava: jonka avulla voimme kirjoittaa: re iφ = cos φ + i sin φ (1) e i2t = cos(2t) + i sin(2t) e i2t = cos( 2t) + i sin( 2t) = cos(2t) i sin(2t) Sijoitetaan nämä homogeenisen yhtälön ratkaisuun ja saamme: x h (t) = C 1 e 2t + C 2 e 2t + C e i2t + C 4 e i2t Tässä tehtävässä epähomogeenitermi on: = C 1 e 2t + C 2 e 2t + C (cos(2t) + i sin(2t)) + C 4 (cos(2t) i sin(2t)) = C 1 e 2t + C 2 e 2t + C cos(2t) + C 4 sin(2t) f (t) = 64 sin(2t) Koska homogeenisen yhtälön ratksisun yksi termi on C 4 sin(2t), muodostetaan yksittäisratkaisun yrite sinin ja kosinin lineaarikombinaationa, ja kerrotaan sitä t:llä. Yritteeksi saadaan: x p (t) = At sin(2t) + Bt cos(2t)

6 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 4 6 Derivoidaan yritettä ensin neljästi tulon derivoimissääntöä soveltaen: dx p (t) dt = A sin(2t) + 2At cos(2t) + B cos(2t) 2Bt sin(2t) = ( 2Bt + A) sin(2t) + (2At + B) cos(2t) d 2 x p (t) dt 2 = 2B sin(2t) + 2( 2Bt + A) cos(2t) + 2A cos(2t) 2(2At + B) sin(2t) = ( 4At 4B) sin(2t) + ( 4Bt + 4A) cos(2t) d x p (t) dt = 4A sin(2t) + 2( 4At 4B) cos(2t) 4B cos(2t) 2( 4Bt + 4A) sin(2t) = (8Bt 12A) sin(2t) + ( 8At 12B) cos(2t) d 4 x p (t) dt 4 = 8B sin(2t) + 2(8Bt 12A) cos(2t) 8A cos(2t) 2( 8At 12B) sin(2t) = (16At + 2B) sin(2t) + (16Bt 2A) cos(2t) Sijoitetaan yrite yhtälöön: d 4 x p (t) dt 4 + 6x p (t) = 64 sin(2t) (16At + 2B) sin(2t) + (16Bt 2A) cos(2t) + 16(At sin(2t) + Bt cos(2t)) = 64 sin(2t) (2At + 2B) sin(2t) + (2Bt 2A) cos(2t) = 64 sin(2t) (At + B) sin(2t) + (Bt A) cos(2t) = 2 sin(2t) Yltä nähdään, että sinin kertoimien perusteella on oltava A = 0 ja B = 2. Yksittäisratkaisu on siis: x p (t) = 2t cos(2t) Yleinen ratkaisu on nyt: x(t) = x h (t) + x p (t) = C 1 e 2t + C 2 e 2t + C cos(2t) + C 4 sin(2t) + 2t cos(2t) S1. Jatka tehtävän neljä tarkastelua: Lasi kestää deformaation, jonka suuruusluokka on x 1. Lasia kohti suunnataan ääni, jonka taajuus on 660 Hz ja voimakkuus D desibeliä. Tällöin tilannetta kuvaa differentiaaliyhtälö ẍ + λẋ + ω 2 x = 10(D/10) 8 cos(120πt). Mikä äänenvoimakkuuden D tulee olla, jotta lasi särkyy? Ratkaisu: Merkitään yksinkertaisuuden vuoksi F 10(D/10) 8 Differentiaaliyhtälöt, jotka ovat muotoa omaavat yksittäisratkaisun ja ω 0 120π. ẍ + λẋ + ω 2 x = F cos(ω 0 t) x p = C 1 cos(ω 0 t) + C 2 sin(ω 0 t).

7 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 4 7 Otetaan yksittäisratkaisusta derivaatat: x = C 1 cos(ω 0 t) + C 2 sin(ω 0 t) ẋ = ω 0 C 1 sin(ω 0 t) + ω 0 C 2 cos(ω 0 t) ẍ = ω 2 0 C 1 cos(ω 0 t) ω 2 0 C 2 sin(ω 0 t). Sijoittamalla nämä differentiaaliyhtälöön saadaan muoto: ( ω0 2 C 1 + λω 0 C 2 + ω 2 C 1 ) cos(ω 0 t) + ( ω0 2 C 2 λω 0 C 1 + ω 2 C 2 ) sin(ω 0 t) = F cos(ω 0 t). ] ] [(ω 2 ω0 2)C 1 + λω 0 C 2 cos(ω 0 t) + [(ω 2 ω0 2)C 2 λω 0 C 1 sin(ω 0 t) = F cos(ω 0 t) Vertailemalla kertoimia saadaan muodostettua yhtälöpari, josta voidaan ratkaista C 1 ja C 2 : { (ω 2 ω 2 0 )C 1 + λω 0 C 2 = F (ω 2 ω 2 0 )C 2 λω 0 C 1 = 0 josta saadaan ratkaisuiksi (ω 2 ω0 2 C 1 = )F (ω 2 ω0 2)2 + (ω 0 λ) 2 C 2 = Sijoitetaan nämä takaisin ratkaisun muotoon: x p = ω 0 λf (ω 2 ω 2 0 )2 + (ω 0 λ) 2. (ω 2 ω0 2)F (ω 2 ω0 2)2 + (ω 0 λ) 2 cos(ω ω 0t) + 0 λf (ω 2 ω0 2)2 + (ω 0 λ) 2 sin(ω 0t). Palataan nyt pohtimaan alkuperäistä ongelmaamme. Pystymme tehdä tilanteen pohjalta kaksi yksinkertaistusta, jotka mahdollistavat ongelman ratkaisemisen: 1. Tehtävässä 4 ratkaistiin differentiaaliyhtälön homogeenisen version yleisratkaisu, jossa kaikissa termeissä on tekijä e λt/2. Voidaan hyvin olettaa, että lasin särkyessä aikaa on jo kulunut jonkin verran, jolloin kaikki nämä termit ovat pienentyneet eksponentiaalisesti mitättömiin. 2. Kyseessä on siis lasin särkyminen, jolloin puhutaan resonanssitaajuuksista, eli on ω ω 0. Tarkasteltaessa yksittäisratkaisumme muotoa, huomataan että tällöin termin (ω 2 ω0 2 ) osoittajassa omaava kosinitermi menee nollaksi, ja sinitermi dominoi. Nyt siis jäljelle ratkaisusta jää ainoastaan x = ω 0 λf (ω 2 ω0 2)2 + (ω 0 λ) 2 sin(ω 0t) F ω 0 λ sin(ω 0t). Tiedetään, että lasi kestää deformaation x 1, eli sinitermin kertoimelle tulee päteä F ω 0 λ > 1, eli F > ω 0 λ. Sijoitetaan tähän nyt aiemmin määrittelemämme F sekä ω 0, ja ratkaistaan millä äänenvoimakkuudella lasi hajoaa: F > ω 0 λ 10 (D/10) 8 > 120πλ 10 (D/10) 8 > 960πλ Otetaan molemmilta puolilta lg D 10 8 > lg(960πλ) D > 10 lg(960πλ) Nyt, koska tehtävässä 4 saatiin vaimennuskertoimen arvoksi λ.07, voidaan sanoa lasin hajoavan äänenvoimakkuudella D > 126 db.

8 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 4 8 S2. Viime viikon (viikko ) S2-tehtävässä osoitettiin, että jos yhtälölle d 2 x dx + p(t) dt2 dt + q(t)x = 0 tunnetaan yksi ratkaisu, u(t), niin toinen ratkaisu voidaan konstruoida määrittelemällä x(t) = u(t)y(t), jolloin y(t) toteuttaa: ẏ = z(t) = Ae p(t)dt u(t) 2. Tarkastellaan yhtälöä ẍ tẋ + x = 0. Yhtälön yksi ratkaisu on u(t) = t. Soveltamalla yllä mainittua tulosta, muodosta toinen ratkaisu x(t). Viimeisen integraalin laskemiseksi, kehitä eksponenttifunktio potentenssisarjaksi ja oleta, että näin saamassasi lausekkeessa voit integroida termi kerrallaan Osoita, että toinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa x(t) = A [ 1 + n=1 t 2n 2 n (2n 1)n! ]. Tarkkana p(t):n merkin suhteen! Ratkaisu: Verrataan yhtälöä ẍ tẋ + x = 0 yleiseen muotoon, ja tunnistetaan p(t) = t, q(t) = 1 Tiedetään, että u(t) = t, joten y(t) on ẏ = Ae p(t)dt u(t) 2 ẏ = Ae tdt t 2 ẏ = A t 2 e t2 /2 Käyttämällä Taylorin kehitelmää: y = dy = A t 2 e t2 /2 dt A t 2 e t2 /2 dt Siten e t2 /2 = 1 + (t2 /2) 1! y = y = y = A t 2 e t2 /2 dt + (t2 /2) 2 2! ( A t (t2 /2) 1! ( A t (t2 /2) n n! + (t2 /2) 2 2! + + (t2 /2) n n! 2 1! + t ! + + t2n 2 2 n n! [ 1 y = A + t t 2 + t t 2n 1 ] 2 n (2n 1) n! ) dt ) dt

9 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 4 9 Nyt muistetaan, että x(t) = u(t)y(t) eli x(t) = t y(t) [ 1 x(t) = t A t t22 t4 x(t) = A [ [ x(t) = A 1 + n=1 + t 2 + t t 2n 1 2 n (2n 1) n! t 2n ] 2 n (2n 1) n! t 2n ] 2 n (2n 1) n! ]

10 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus Consider the following 1st order differential equation with constant coefficients: dx + px = q. dt (a) Solve the equation using integrating factor. (b) Solve the equation by finding first the solution of the homogenoeus equation, x h, and then some particular integral of the inhomogeneous equation, x p. 2. A light beam is travelling downward into the ocean. As it progresses downward, the light is partially absorbed and its intensity decreases. The rate at which the intensity decreases as a function of the depth is proportional to the intensity of that depth. The proportionality constant µ is called the linear absorption coefficient. Write down the equation describing the intensity I as a function of the depth h and derive its general solution. The absorption coefficient of water is µ = cm 1. Determine the depth where the intensity has been reduced to half of its surface intensity I 0.. Find the general solution of the equation ẍ + ẋ 2x = 12e t 6e t. 4. The vibrations of a wine glass can be modelled by the equation ẍ + λẋ + ω 2 x = 0. Suppose that when struck, the glass vibrates at frequency 660 Hz. (a) Show that 4ω 2 λ 2 = 2640π. (b) It takes three seconds for the sound to fade away. This means that after three seconds the amplitude of the vibrations has reduced to 1/100 of its original level. Show, that λ = 2 ln(100). Finally, compute λ and ω to three significant digits. 5. Find the general solution of the equation d4 x 16x = 64 sin(2t). dt 4 S1. Continue the setup of problem 4: The glass can stand deformations of order x 1. A pure tone of frequency 660 Hz is produced at D decibels and directed towards the glass. When this external forcing is taken into account, the situation is described by the differential equation ẍ + λẋ + ω 2 x = 10(D/10) 8 cos(120πt). How loud should the sound be, i.e how large should D be, in order to shatter the glass?

11 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 4 11 S2. In S2-problem last week (week ) we showed that if one solution,say u(t), to the equation d 2 x dx + p(t) dt2 dt + q(t)x = 0 is known, we can construct another solution by defining x(t) = u(t)y(t), where y(t) is obtained as ẏ = z(t) = Ae p(t)dt u(t) 2. Consider the equation ẍ tẋ + x = 0. One solution is u(t) = t. Construct another solution x(t) by using the formulas above. To carry out the final integral, expand the exponential function as a power series and assume that the resulting expression can be integrated term by term. Hence show that the second solution can be expressed as x(t) = A [ 1 + n=1 ] t 2n 2 n. (2n 1)n! Careful with the sign of p(t)!