kertausta kertausta Kahden kappaleen keskeisliikkeessä havaittiin, että E = K + U ja L ovat vakioita. Yhdistämällä yo. säilyvät suureet ja muokkaamalla ongelma yksiulotteiseksi havaittiin, että ratakäyrä voi olla vain kartioleikkaus. Tila on sidottu, kun E = 2 1mv2 GMm r < 0. Näitä tiloja vastaa ympyrän ja ellipsin muotoiset ratakäyrät. Kun E 1 eivät kappaleet muodosta sidottua tilaa ja pääsevät mielivaltaisen kauas toisistaan. Ratakäyrä paraabeli (E = 0) tai hyperbeli (E > 0). Ratalaskut perustuvat säilymislakeihin: Ratakäyrän joka pisteessä E ja L ovat vakioita L on helppo määrittää ratakäyrän lähimmässä ja kauimmaisessa (jos on) pisteessä. Tällöin paikkavektori ja liikemäärävektori ovat kohtisuoria. tavoitteet 1 gallup 2 Ymmärrät törmäyskokeiden laskennallisen käsittelyn oletukset Osaat soveltaa säilymislakeja törmäysongelmien ratkaisemisessa Ymmärrät millaista tietoa aineen rakenteesta törmäyskokeiden avulla saadaan Systeemissä on ilmatyynyradalla kulkeva vaunu ja herkästi pyörivä, keskeltä akseloitu tanko. Seppo törmäyttää vaunun akseloituun tankoon. Säilyykö törmäyksessä systeemin liikemäärä? 1) joo 2) ei 3) tarvii lisää tietoa 4) ei osaa sanoa Vast: 2) ulkoisia voimia! Tukivoima akseliin 3 4
gallup Molekyylin kineettisen energian jaottelu Systeemissä on ilmatyynyradalla kulkeva vaunu ja herkästi pyörivä, keskeltä akseloitu tanko. Seppo törmäyttää vaunun akseloituun tankoon. Säilyykö törmäyksessä systeemin liikemäärämomentti? 1) joo 2) ei 3) tarvii lisää tietoa 4) ei osaa sanoa E = K trans + K rot + K vib + U vib = 1 2 MV2 cm + E sis Vast: 1) Ulkoisten voimien momentti nolla Molekyylin energian jaottelu 5 energiajaottelu törmäyksissä 6 Törmäystyypit lajitellaan sen mukaan, muuttuuko osasten sisäenergiat törmäyksessä Tässä mekanistisessa kuvassa sisäenergia koostuu sisäisen liikkeen kineettisestä energiasta ja sidoksen potentiaalienergiasta. Monimutkaisessa molekyylissä voi olla muita sisäisiä vuorovaikutuksia (mm. sähköisiä). Kaikki nämä voidaan lakaista termin E sis alle. E sis = 0 E sis = 0 KIMMOISA (elastinen) KIMMOTON (epäelastinen) Esim. hiukkanen törmää molekyyliin. Kimmottomassa törmäyksessä osa mekaanisesta energiasta siirtyy molekyylin sisäenergiaksi aiheutten esim. elektronisia, värähtely- tai rotaatioviritystiloja. 7 8
törmäykset Kahden kappaleen törmäysongelmien laskennallinen käsittely törmäykset Tyypillisesti alku- ja lopputilanteeksi valitaan kohdat, joissa osaset ovat niin kaukana toisistaan, että niiden välinen potentiaalienergia U 12 0. ALUSSA LOPUSSA Jos hiukkasten massat eivät muutu, supistuvat mc 2 termit energiayhtälössä. Tällöin epärelativistessa tapauksessa energian säilymislaki tulee muotoon Liikemäärä säilyy: p 1 + p 2 = q 1 + q 2 Energia: E alku = E loppu missä E = (m 1 + m 2 )c 2 + K trans 1 + K trans 2 + E sis1 + E sis2 + U 12 p 2 1 + p2 2 = q2 1 + q2 2 + E sis missä kineettiset energiat kirjoitettiin liikemäärien avulla seuraavan relaation nojalla 1 2 mv2 = p2 2m esimerkki: räjähdys Kappale räjähtää kahteen osaan. Määritä kuinka räjähdyksessä vapautuva energia Q sitoutuu osasten kineettisiksi energioiksi. ALUSSA Liikemäärän säilymisestä seuraa q 2 1 K 1 = ( ) K 2 ( q2 2 ) = m 2 m 1 LOPUSSA 9 11 gallup Hiukkanen, jonka massa on 100u hajoaa kahteen osaseen joiden massat on 99u ja 1u. Reaktiossa vapautunut energia Q sitoutuu osasten kineettisiksi energioiksi. Kokeessa mitataan tällaisissa hajoamisissa syntyneiden kevyiden osasten (m = 1u) kineettinen energia. Mitä voit päätellä havaituista energioista? 1) osasten energia saa vain yhdenlaisia arvoja 2) kokeessa havaitaan vain tiettyjä diskreettejä energian arvoja 3) kevyiden osasten energia saa jatkuvia arvoja 4) muu vastaus 5) ei osaa sanoa Vast 1) 10 12
esimerkki: räjähdys Elektronien mitattu energiajakauma β-hajoamisessa Kimmoinen törmäys: Rutherfordin takaisinsironta 64 Cu 64 Zn + e ALUSSA LOPUSSA Ammushiukkanen ammutaan näytteeseen, siten, että hiukkasen kineettinen energia alussa on K 0. Kuinka suuri on ammushidun kineettinen energia K 1 täysin kimmoisen törmäyksen jälkeen? laskaritehtävä C. S. Cook and L. M. Langer, Phys. Rev. 73, 601 (1948) Rutherfordin takaisinsironta, RBS 13 laskaritehtävä: RBS ohutkalvonäytteestä 14 K 1 = ( ) M m 2 K M + 0, m missä K 1 ja K 0 ovat ammushiukkasen kineettinen energia törmäyksen jälkeen ja ennen. 15 16
Galilei muunnos Galilei muunnos K K r = r + R r = r R r v = d r dt a = d2 r dt 2 r = r R v = d r dt d R dt a = d2 r dt 2 d2 R dt 2 Kaikki nopeudet K :sta katsoen muuttuu d R/dt verran! Kun koordinaatistot liikkuvat tasaisesti toistensa suhteen on d 2 R/dt 2 = 0. Kiihtyvyydet (ja voimat!) ovat koordinaatistoissa samat, fysiikka ei muutu! Galilei muunnos 17 gallup 18 Kun koordinaatisto K liikkuu tasaisesti K:n suhteen siten, että R(t) = R0 + Vt on r = r R(t) v = v V Tämä pätee epärelativistisessa tapauksessa. Rane tarkastelee törmäyskoetta koordinatistosta K. Liikemäärän säilymislaki näyttää p 1 + p 2 = q 1 + q 2 Arska katsoo tilannetta koordinaatistosta K, joka liikkuu tasaisesti K:n suhteen. Myös Arska mittaa hiukkasten liikemäärät ennen ja jälkeen törmäyksen. Päteekö myös Arskan K koordinaatistossa p 1 + p 2 = q 1 + q 2? 1) ei 2) joo 3) tarvitsee lisää tietoa 4) ei osaa sanoa 19 20
gallup Rane tarkastelee törmäyskoetta koordinatistosta K. Energian säilymislaki näyttää p 2 1 + p2 2 = q2 1 + q2 2 + E sis Arska katsoo tilannetta koordinaatistosta K, joka liikkuu tasaisesti K:n suhteen. Myös Arska mittaa hiukkasten liikemäärät ennen ja jälkeen törmäyksen. Päteekö myös Arskan K koordinaatistossa p 2 1 + p 2 2 = q 2 1 + q 2 2 + E sis? 1) ei 2) joo 3) tarvitsee lisää tietoa 4) ei osaa sanoa Säilymislait koordinaatistomuunnoksissa Tekemällä koordinaatistomuunos jossa v i v i V liikemäärän p 1 + p 2 = q 1 + q 2 ja energian p 2 1 + p2 2 = q2 1 + q2 2 + E sis lausekkeisiin, havaitaan (HT) että kaikki termit, jossa esiintyy V kumoutuvat eivätkä lausekkeet muutu! OPETUS: Liikemäärän ja energian lausekkeita voi käyttää missä tasaisesti liikkuvassa koordinaatistossa tahansa, kunhan lausekkeiden alku- että lopputilanne on laskettu samassa koordinaatistossa. MKP-koordinaatisto 21 Rutherfordin koe 22 Kun koordinaatisto kiinnitetään MKP:hen, ollaan massakeskipistekoordinaatistossa. Tässä koordinaatistossa tyypillisesti liikemäärän säilymislain soveltaminen on hyvin suoraviivaista, sillä tässä koordinaatistossa systeemin Idea: Ammutaan kulta-atomeja alfahiukkasilla. Tutkitaan kuinka alfahiukkasten liikemäärät muuttuvat. Aikaisemman perusteella raskaasta kohtiosta sirotessa alfahiukkasen liikemäärä muuttuu paljon, se voi sirota takaisin tulosuuntaansa. Psys = 0 Vertaa aiemmin tarkasteltua ytimen fissiota. Sen sijaan alfahiukkasen osuessa sitä kevyempään hiukkaseen voi alfahiukkasen liikemäärän suunta kääntyä korkeintaan sivulle. Alfahitu ei voi sirota takaisinpäin. (HT, kokeile osoittaa!) Ammushiukkasten liikeradoista törmäyksen jälkeen voidaan päätellä millaisiin osasiin alfahiukkanen törmäili. 23 24
gallup iskuparametrin b vaikutus suunnanmuutokseen Kuvassa alfahiukkanen lähestyy kohdassa A tai B kultaydintä. Mitä voit sanoa alfahiukkasen liikemäärän muutoksesta törmäyksen jälkeen? Liikemäärän muutos on 1) suurempi tapauksessa A 2) yhtä suuret 3) suurempi tapauksessa B 4) lisää tietoa 5) ei osaa sanoa Vast: 1) Konservatiivinen keskeisvoima K + U ja L säilyvät. Ei sidottu tila, K + U > 0 hyperbeliratoja! (Tarkempi tarkastelu Aineen rakenne kurssilla) gallup Paperiarkin keskelle asetetaan musta pinni. Paperille merkitään pienisäteinen ympyrärengas ja suurisäteinen ympyrärengas joiden paksuudet ovat identtiset. Paperille asetetaan herneitä tasaisen tiheästi. Mitä voit todeta väritetyille renkaille osuvien herneiden lukumääristä? (Ja mitä tekemistä tällä on Rutherfordin kokeen kanssa??!) 1) pienelle renkaalle osuu enemmän 2) renkaille osuu sama määrä 3) suurelle renkaalle osuu enemmän 4) ei osaa sanoa Vast: 3) 25 27 Rutherfordin koe Olettaen, että ydin on pistemäinen (tai pienempi kuin alfan lähin etäisyys) ja paljon alfahiukkasta massiivisempi saadaan ennuste, että ammushiukkasten suunnanmuutokset ovat mitättömiä suurimmassa osassa sirontatapauksia. Suuriakin suunnanmuutoksia havaitaan, mutta vain vähän. Tarkka jakauma johdetaan mm. Airan kurssilla. Koetulos noudattaa hyvin tarkasti kyseistä jakaumaa. Vasta hyvin suurilla ammushiukkasenergioilla havaitaan eroavaisuuksia (miksi?). 26 28
gallup Ammushiukkasen siroaa kimmoisesti kohtiosta takaisin tulosuuntaansa. Ammushiukkasen kineettiselle energialle ennen ja jälkeen törmäystä johdetaan laskareissa K 1 = ( ) M m 2 K M + 0 m Kuinka ammushiukkasen kineettinen energia muuttuu kun ammuksen massa m on mitätön kohtion massaan M verrattuna? 1) Muutos on liki nolla 2) Muutos on hyvin suurta 3) tarvitsee lisää tietoa 4) ei osaa sanoa Vast: 1) Fotoni ammushiukkasena kimmoinen sironta 29 Kertausta VuKalta Relativistisessa kuvassa hiukkasen energia E = γmc 2 = riippu sen liikemäärästä. m 2 c 4 + p 2 c 2 mc 2 + p2 2m Massattomille hiukkasille (fotoni) energian ja liikemäärän välinen yhteys E = pc Molekyylin kineettisen energian jaottelu 30 Fotoni ( p ja E f ) siroaa levossa olevasta massallisesta M hiukkasesta kimmoisasti takaisin tulosuuntaansa. Liikemäärä säilyy ja energia säilyy: E f + Mc 2 = E f + M 2 c 4 + q 2 c 2 E f + Mc2 + q2 2m Lämmittelylaskareissa osoititte ettei fotonin energia käytännössä muutu. Tässä siis E f E f. E = K trans + K rot + K vib + U vib = 1 2 MV2 cm + L2 }{{} 2I E rot + 1 2 ka2 }{{} E vib 31 32
Rotaatio ja vibraatio mikromaailmassa Mallinnetaan värähtelevä molekyyli harmonisena värähtelijänä (sidos jousi). Kvanttimekaaniikan mukaan harmonisen värähtelijän energia voi saada vain diskreettejä arvoja E vib = hω(n + 1 2 ), missä h = h/(2π) ja n = 0, 1, 2,... Mikromaailmassa liikemäärämomentin arvo on kvantittunut. Rataliikemäärämomentti voi saada arvoja: L 2 = l(l + 1) h 2, l = 0, 1, 2,... Fotoni ammushiukkasena epäelastinen sironta Fotoni siroaa molekyylistä. Lämmittelylaskareiden perusteella fotonin energia ei käytännössä muutu sirontakinematiikan takia. Sen sijaan, sironnassa molekyylin sisäenergia voi muuttua! E f + E sis = E f + E sis Fotonin energianmuutos kertoo energiasiirtymistä molekyylissä. Laskareissa tehtävä jossa fotoni muuttaa happimolekyylin rotaatiotilaa. Fotonin energiamuutokset kertovat rotaatiotilojen energiaeroista! joten myös pyörimisenergia E rot saa vain diskreettejä arvoja. Fotoni ammushiukkasena epäelastinen sironta Kuva laskuharjoituksista: 33 34 35