TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on 0, koska 0 + 0 0. d) Luvun vastaluku on, koska + 0. e) Luvun vastaluku on, koska + 0.. a) b) 7 7 c) 0 0 d) e). a) 7 + ( ) 7 8 b) 6 + ( 9) 6 9 c) 0 d) 7 ( ) 7 + @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. 6. a) ( ) 0 b) ( ) 7 ( ) 7 ( ) ( ) 70 c) 8 : ( ) 6 d) 0 : ( 8) : ( ) 0 : ( ) 7. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
8. a) 8 : 6 b) 8 + + c) ( 6 : ) ( ) 0 0 d) 0 : ( + 6) 9 0 : ( + ) 9 0 : 9 9 9. a) : 6 9 9 8 b) Suurin arvo: : (6 9) : (6 8) : ( ) Pienin arvo: : (6 9) : 8 6 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
0. a) 80 + (7 + 0) Vaihdantalaki: lukujen 7 ja 0 järjestys voidaan vaihtaa. 80 + (0 + 7) Liitäntälaki: summa 80 + 0 voidaan laskea ensin. (80 + 0) + 7 00 + 7 7 b) 76 Vaihdantalaki: lukujen 76 ja järjestys voidaan vaihtaa. 76 00 76 7600 c) 769 + 6769 Osittelulaki: luku 769 voidaan erottaa yhteiseksi tekijäksi. 769 ( + 6) Lasketaan + 6. 769 0 7690 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) 9 + 687 + 60 Vaihdantalaki: lukujen 687 ja 60 järjestys voidaan vaihtaa. 9 + 60 + 687 + 687 688 b) 70 Puretaan luku 0 summaksi 00 +. 7 (00 + ) Osittelulaki: yhteenlaskettavat voidaan kertoa erikseen luvulla 7. 7 00 + 7 700 + 0 760 c) 89 + ( ) Vaihdantalaki: lukujen 89 ja järjestys voidaan vaihtaa. ( 89) + ( ) Osittelulaki: luku voidaan erottaa yhteiseksi tekijäksi. ( 98) ( 00) 00. a) Lukujen ja summa on + ( ). b) Lukujen ja summa on, jonka vastaluku on. c) Lukujen ja vastalukujen summa on +.. a) (7 ) : ( ) 8 :( ) b) ( ) ( 6) + 6 c) ( 6) + ( ) 6 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) 7 ( 6) Siis lämpötila laski astetta. b) 7 + 9 8 Lämpötila oli 8 astetta. c) + ( 7) 0 0 Keskiarvo on 0 ºC.. Summan arvo on kolme kertaa keskimmäisessä ruudussa oleva luku. a) b) 6. a) Merkintä x tarkoittaa, että luvun x vastaluku on. Siten x. b) Merkintä x 6 tarkoittaa, että luvun x vastaluku on 6. Siten x 6. c) Merkintä x 0 tarkoittaa, että luvun x vastaluku on 0. Siten x 0. d) Luku ja luvun vastaluvun arvo on sama, kun x 0. 7. a) Yhtälö x 6 toteutuu, kun luvun x etäisyys luvusta 0 on 6. Siten x 6 tai x 6. b) Yhtälö x 0 toteutuu, kun luvun x etäisyys luvusta 0 on 0. Siten x 0. c) Mikään luku ei toteuta yhtälöä x, koska itseisarvo on aina vähintään nolla. d) Mikään luku ei toteuta yhtälöä x, koska itseisarvo on aina vähintään nolla. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
8. a) a b ( 8) + 8 b) ( ab) a+ b 8 c) a ( b) a+ b 8 9. a) ( ) + ( ) + ( ) 6 Tulo ( ) on negatiivinen luku. b) Koska yhtälössä + ( ) 0 tulo 6, niin tulon ( ) täytyy olla 6. c) Koska + ( ) 0, niin ( ) ( + ( )) ( ) + ( ) ( ) 0. Koska yhtälössä ( ) + ( ) ( ) 0 tulo ( ) 6, niin ( ) ( ) täytyy olla 6. 0. a) Jakolaskun määritelmän mukaan m q täsmälleen silloin, kun m nq. n Jos olisi olemassa sellainen luku q, että q, niin silloin olisi 0 q. Mutta tämä on 0 mahdotonta. b) Osamäärässä 0 q arvo q ei ole yksikäsitteinen, koska 0 q 0 kaikilla luvun q arvoilla. 0 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) Luvut ovat toistensa vastalukuja, jos niiden summa on nolla. Lasketaan lukujen summa. ( π ) + ( π + ) π π + π π + 0 b) Luvut ovat toistensa vastalukuja, jos niiden summa on nolla. Lasketaan lukujen summa. ( a ) + ( a) a + a aa + 0. a) Merkintä a < 0 tarkoittaa, että luvun a vastaluku on negatiivinen. Siten luku a on positiivinen, a > 0. b) Merkintä a > 0 tarkoittaa, että luvun a vastaluku on positiivinen. Siten luku a on negatiivinen, a < 0. c) Luvun a itseisarvo a on yhtä suuri kuin vastaluku a, kun a 0. d) Luvun a itseisarvo a on suurempi kuin vastaluku a, kun a > 0. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
Luku.. a) Luku voidaan esittää murtolukuna. b) Luku voidaan esittää murtolukuna 6. c) Luku, voidaan esittää murtolukuna 00. d) Luku 0, voidaan esittää murtolukuna 000. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) Lavennetaan. ) Asetetaan suuruusjärjestykseen. < b) Lavennetaan. ) 6 6 8 ) 7 7 9 9 8 Asetetaan suuruusjärjestykseen. > 7 6 9 c) Lavennetaan. 0) 0 0 0 90 0) 0 0 9 90 90 9) 9 7 0 09 90 Asetetaan suuruusjärjestykseen. > > 0 9 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) Supistetaan. ( 6 6: 9 9: ( 8 8: : Asetetaan suuruusjärjestykseen. 6 8 9 b) Supistetaan. ( : 7 7 : ( 8 8: 00 00 : Asetetaan suuruusjärjestykseen. < 8 7 00 c) Supistetaan. ( 60 60 : 96 96 : 8 ( : 7 0 0 : 8 Asetetaan suuruusjärjestykseen. > 60 96 0 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
6. a) ) ) 6 + + + 9 0 0 0 0 b) c) d) ) 6 6 ) ) + + 7 0 6 6 6 ) 0 0 7 7. a) 6 0 b) c) ( ) ( ) 8 8 8 d) @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
8. a) Luvun 8 käänteisluku on 8, koska 8. 8 b) Luvun käänteisluku on, koska. c) Luvun 6 käänteisluku on 6, koska ( 6 ). 6 d) Luvun käänteisluku on, koska ( ). e) Luvun 7 käänteisluku on 7, koska 7. 7 ( f) Luvun 0, 0 käänteisluku on,, koska. 9. a) : 6 6 6 9 b) 6 : 6 : 6 6 7 7 7 7 7 c) d) : 6 6 6 6 : : 0 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
) ) 0. a) + ( ) 9 60 60 60 b) ( ) + + 60 60 60 c) ( ) 6 6 d) :( ) ( ). a) b) @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) + : + : + 0 + 0 + 0 + 0 8 0 0 b) : 7 7 7 7 7 7 7 c) + 9 + 9 8 6 8 6 d) + 6 + 8 8 8 : : :. a) 6 + 6 7 b) 7 : 9 8 6. Aluksi mansikkamehua oli litraa. Kun Salma joi mehusta puolet, jäljelle jäi litraa. Kun Ilja joi mehusta yhden kolmasosan, jäljelle jäi 0, Aatokselle jäi siis 0, L, dl. litraa. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. Lasketaan Ideatalo Oy:n osakkeiden osuus kaikista osakkeista. 8 9 7 Kaikkiaan salkussa on 0 osaketta. Lasketaan Ideatalo Oy:n osakkeiden lukumäärä. 0 80 7 Vastaus: Ideatalo Oy osakkeita on 7 kaikista osakkeista, ja niitä on 80 kpl. 6. Kun Farid istutti taimista Kun Harri istutti taimista Jinin osuus 960 tainta oli siis Taimia oli yhteensä, jäljelle jäi., jäljelle jäi. kaikista taimista. 960 00. Vastaus: Jin istutti kaikista taimista, ja taimia oli yhteensä 00 kpl. 7. Merkintä x a) Luvun tarkoittaa luvun x käänteislukua. x käänteisluku. x b) Luvun x käänteisluku 8. 8 x c) Luvun x käänteisluku x d) Luvun x 6 käänteisluku. x. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
8. a) Merkintä x tarkoittaa, että luvun x käänteisluku on. Siis x. b) Merkintä x tarkoittaa, että luvun x käänteisluku on. Siis x. c) Merkintä x tarkoittaa, että luvun x käänteisluku on. Siis x. d) Merkintä x tarkoittaa lukua, joka on yhtä suuri kuin oma käänteislukunsa. x Siis x tai x. 9. 0. a) ab ( 6) 7 7 7 b) ab 7 7. ) x,... ) 00x,... ) 00x x,...,... ) 99x 00x x x 99 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) ) x,0000... ) 00x 0,0000... ) 00x x 0,0000...,0000... 00 ) 99x 00x x 00 x 00 99 b) ) x,999999... ) 00x 99,99999... ) 00x x 99,99999...,99999... 9 ) 99x 00x x 9 x 9 99 c) ) x,989898... ) 000x 98,9898... ) 000x x 98,9898...,9898... 9 ) 999x 000x x 9 x 9 999 d) ) x,0... ) 0x 0,... ) 000x 0,... ) 990x 000x 0x 0,... 0,... 00 x 00 990 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) Lasketaan jakolaskua jakokulmassa, kunnes desimaalit alkavat toistua. 0, 8 7 7 0 0 0 0 0 0 0 7 0 8 0 6 0 6 0 0 9 0 7 0 Erotus on jokin luvuista 6. Viimeistään seitsemäs erotus on sama kuin jokin aikaisempi ja jakolasku alkaa toistaa itseään. b) Jokaisessa jakolaskun vaiheessa erotus on jokin luvuista,, n. Viimeistään n:s erotus on sama kuin jokin aikaisempi. Jakson pituus on n numeroa. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) 6, siis + 6 b) 0, siis + 0 0 0, siis + + 0 c) 9 0, siis + 9 0 9 7 0 0, siis 9 + 7 0 0 7 0 8, siis + + + 8 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
Luku.. Sijoitetaan luku 6 yhtälöön muuttujan x paikalle. 6+ 6 0 0 9 Tämä on epätosi, joten luku 6 ei ole yhtälön x+ x ratkaisu. Sijoitetaan luku 7 yhtälöön muuttujan x paikalle. 7+ 7 Tämä on tosi, joten luku 7 on yhtälön x+ x ratkaisu. Sijoitetaan luku 8 yhtälöön muuttujan x paikalle. 8+ 8 6 Tämä on epätosi, joten luku 8 ei ole yhtälön x+ x ratkaisu. Vastaus: 7 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
6. a) x 6 0 + 6 x 6 : x b) x x x, + x x x : x c) x+ 6 x x, 6 x x 6 6x 8 : ( 6) x Vastaus: a) x b) x c) x 7. a) + 9x + 9x : 9 x 9 b) x+ x x, x x x : ( ) x c) x+ x + x, x+ x 0 6x 0 :6 x 0 Vastaus: a) x b) x c) x 0 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
8. a) ( x+ ) ( x) x+ x x+ 8 x x x 8 x b) 8x ( x+ ) + 7 8x x+ + 7 8x x + 7+ 6x : 6 x c) (7 + x) x+ x x+ x x + 6x 7 : ( 6) x 7 6 Vastaus: a) x b) x c) x 7 6 9. a) 8 x x 8 x x x x 8 x 8 :( ) x b) x+ 8 x x+ x 8 x : x Vastaus: a) 8 x x, x b) x + 8 x, x @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
0. Lasketaan ensin yhtälön x+ x juuret. x+ x x x x x Tutkitaan seuraavaksi toteuttaako luku yhtälön 7 ( x+ ) 6x. 7 ( + ) 6 7 6 0 7 0 0 Tämä on epätosi, joten luku ei toteuta yhtälöä 7 ( x+ ) 6x. Vastaus: Eivät toteuta.. a) + x + x x x b) x 7x + 8x 7x+ 0 8x 7x 0 x 0 c) x x 6 6 6x 6 x x 6 x x x 6 x 6 : ( ) x Vastaus: a) x b) x 0 c) x @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) x x x x x 6 : x b) x x + x (x+ ) xx x + x 6 : x c) x + x x+ + 0 x+ 0x ( x+ ) + 0 x x+ + 0 x x 7x : 7 x Vastaus: a) x b) x c) x @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) x x + x x+ 8 x x 8 x 8 : ( ) x 8 b) x + ( ) x 6 ( x ) x x x x x x x Vastaus: a) x x+, x 8 b) x + ( ) x, x @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) x 0 : x b) x < 0 x < : ( ) x >9 c) x > 7 x > 7 + x > : x > 7 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
. a) x8 x7 xx 7 + 8 x : ( ) x b) x ( x) x x x+ x + x 6 : x c) x(x ) < x 6x+ < 8x < 8x < 0 : ( 8) x > 0 8 x > @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
6. a) x 6< x < + 6 x < 0 : x < b) x 6> 0 x > 6 : x > Vastaus: x 6 <, x < b) x 6 > 0, x > 7. a) x > x > 6 x > x > 6 x < :( ) x < b) x x < x x (x ) < x x(x ) < x x x+ < x xx x< x < : ( ) x > x > Vastaus: a) x < b) x > @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
8. a) x+ ( x) x+ x b) x(x 6) 0 x 9 c) x x 9x8 x Vastaus: a) x b) x > c) x 9. a) ( x 7) < 6x x >6 b) (x+ ) x x 7 c) x+ x > x x < Vastaus: a) x > 6 b) x c) x < 7 @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
60. a) 6( x) 6 6 6x 6 6x 66 6x 0 : ( 6) x 0 b) 0 x 7 (x) 0 x 7 x+ x+ x 7 + 0 0 0 Tosi Yhtälö on tosi riippumatta muuttujan x arvosta, joten yhtälön toteuttavat kaikki luvut. c) ( x) ( x) x 6x x+ x 6 0 Epätosi Yhtälö on epätosi riippumatta muuttuja x arvosta, joten yhtälöä ei toteuta mikään luku. Vastaus: a) x 0 b) Yhtälön toteuttavat kaikki luvut. c) Yhtälö ei toteuta mikään luku. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
6. a) x x x + 6 6 x x x+ x x+ x 0 Epätosi Yhtälö on epätosi riippumatta muuttuja x arvosta, joten yhtälöä ei toteuta mikään luku. b) x+ x x+ 6 0 0 ( x+ ) ( x ) (x+ 6) x+ 0 x+ x+ xx x 0 0 0 Tosi Yhtälö on tosi riippumatta muuttujan x arvosta, joten yhtälön toteuttavat kaikki luvut. Vastaus: a) Yhtälö ei toteuta mikään luku. b) Yhtälön toteuttavat kaikki luvut. 6. ax + a x + a + Siirretään a oikealle puolelle ja x vasemmalle puolelle ax x a + a ax x a xa ( ) a : ( a) x a a Koska luvulla 0 ei voi jakaa, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun a 0 a. Vastaus: x a +, Ei ratkaisua, kun a. a @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
6. a) Ratkaistaan yhtälöstä muuttuja x. ( x) a0x 0 0x a0x 0x+ 0x a0 0 a 0 Yhtälön toteuttavat kaikki luvut, kun myös yhtälön oikealla puolella on luku 0. Siis: a 0 0 a 0 : a 0 b) Ratkaistaan yhtälöstä muuttuja x. ax x a ax x a + xa ( ) a+ : ( a) x a + a Koska luvulla 0 ei voi jakaa, niin yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, kun a. Vastaus: a) a 0 b) a @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
6. a) x+ (x ) > 0( x) x+ 8x 0 > 0x0 x+ 8x 0x> 0 + 0 x > 0 : ( ) x < 0 b) 8( x) 8x 8+ 8x 8x 8x8x + 8 0 Tosi Epäyhtälö on tosi riippumatta muuttujan x arvosta, joten epäyhtälön toteuttavat kaikki luvut. c) x x > x 6 x( x) > x 8x + x > 0x 8x+ x 0x > 0> Epätosi Epäyhtälö on epätosi riippumatta muuttuja x arvosta, joten epäyhtälöä ei toteuta mikään luku. Vastaus: a) x < 0 b) Epäyhtälön toteuttavat kaikki luvut. c) Epäyhtälöä ei toteuta mikään luku. 6. Ratkaistaan epäyhtälö. ( x+ 6) < 6x+ x 8 < 6x+ x 6x< + 8 9x < : ( 9) x > x > 9 Epäyhtälö toteutuu, kun x >, joten jokainen epänegatiivinen (x 0) luku toteuttaa epäyhtälön. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
66. Ratkaistaan ensin epäyhtälö x 7 > 6( x ). x 7 > 6( x) x 7 > 6x x 6x> + 7 x > ( ) x < Ratkaistaan seuraavaksi epäyhtälö ( x ) < ( + x ) +. ( x ) < ( + x) + x < + x+ x x< + + x < 6 Näin huomataan, että jos luku toteuttaa epäyhtälön x 7 > 6( x ) eli toteuttaa ehdon x <, niin se toteuttaa myös epäyhtälön ( x ) < ( + x ) + eli toteuttaa ehdon x < 6. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06