Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d

Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x) dg(x) dx dx f(x) g(x) = f'(x)g(x)dx + f(x)g'(x)dx Järjestellään yhtälöä hieman: f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - f(x)g'(x)dx

Osi$aisintegroin, perustuu siihen e$ä derivoin, on helpompaa kuin integroin,. Osi$aisisintegroinnin idea on määritellä funk,ot f(x) ja g(x) siten e$ä saadaan: f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - f(x)g'(x)dx Integraali joka halu$aisiin laskea (mu$a ei osata) Integraali joka osataan laskea Oleellista osi$aisintegroinnin onnistumiselle on funk,oiden valinta siten e$ä f(x)g'(x)dx osataan laskea!

Osi$aisintegroin,tapauksia 1. Polynomi (esim x, x 2 jne) kertaa trigonometrinen funk,o tai eksponengfunk,o. Osi$aisintegroin,a voidaan käy$ää polynomin asteen,pu$amiseen kunnes integraali osataan laskea. Saatetaan joutua osi$aisintegroimaan useammin kuin kerran... 2. Osi$aisintegroin, (kerran tai useammin) tuo$a alkuperäisen integraalin plus muita (laske$avissa tai integroitavissa olevia) termejä, alkuperäinen integraali voidaan näinollen ratkaista yhtälöstä.

Osi$aisintegroin,: esimerkkejä f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - f(x)g'(x)dx Esim. 1. asetetaan: f'(x) = sin x, jolloin f(x) = cos x g(x) = x, jolloin g'(x)=1 Tarkistus: x sin(x)dx x sin(x) = x cos(x) 1 cos(x)dx = x cos(x) + sin(x) + C d ( x cos(x) + sin(x) + C) = -1 cos(x) + x sin(x) + cos(x) + 0 dx = x sin(x)

f'(t)g(t)dt = f(t)g(t) - f(t)g'(t)dt Esim. 2. 0 te t dt asetetaan: f'(t) = e t, jolloin f(t) = e t g(t) = t, jolloin g'(t)=1 Huom: vaikka tätä lauseke$a ei integroida, te t dt = te t e -t pitää määrätyssä dt 0 0 0 osi$aisintegroinnissa sil, = te t e t = lim sijoi$aa integroin,rajat! 0 0 a ( a te t a e t ) 0 0 = lim a ( ae a 0e 0 e a e 0 ) = lim a ( ae a e a +1) = 0 + 0 +1 = 1

Määrä$yä integraalia ei voi tarkistaa derivoimalla (tulos on numero eikä yhtälö), mu$a tarkistetaan e$ä itse integroin,vaihe meni oikein. Äsken saa,in: te t dt = te t e t + C Tarkistetaan derivoimalla: d dx ( te t e t + C) = -1 e t te t e t + 0 = e t + te t + e t = te t Oikein meni. Kanna$aa aina tarkistaa integroin.tulos derivoimalla!

f'(t)g(t)dt = f(t)g(t) - f(t)g'(t)dt Esim. 3. t 2 e t dt asetetaan: f'(t) = e t, jolloin f(t) = e t g(t) = t 2, jolloin g'(t)=2t t 2 e t dt = t 2 e t -2te t dt = t 2 e t + 2 te t dt Lasketaan te t dt osi$aisintegroimalla uudestaan. asetetaan: f'(t) = e t, jolloin f(t) = e t g(t) = t, jolloin g'(t) = 1 te t dt = te t -e t dt = te t e t + C

Sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön, saadaan: t 2 e t dt = t 2 e t + 2 te t dt = t 2 e t 2te -t 2e t + C Tarkistetaan derivoimalla: d dx ( t2 e t 2te -t 2e t + C) = 2te t t 2 e t 2e -t 2te -t 2e t + 0 = 2te t + t 2 e t 2e -t + 2te -t + 2e t = t 2 e t Yleises, o$aen: funk,ot muotoa x n e x, x n sin(x), x n cos(x) jne voidaan integroida osi$aisintegroimalla n kertaa. (Käytännössä nämä integraalit löytyvät myös taulukkokirjoista.)

f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - f(x)g'(x)dx Esim. 4. sin(x)cos(x)dx asetetaan: f'(x) = sin x, jolloin f(x) = cos x g(x) = cos x, jolloin g'(x) = sin x sin(x)cos(x)dx = cos(x) cos(x) (-cos(x))(-sin(x)dx sin(x)cos(x)dx = cos 2 (x) cos(x)sin(x)dx 2 sin(x)cos(x)dx sin(x)cos(x)dx = cos 2 (x) + C = 1 2 cos2 (x) + C Älä unohda lisätä integroin,vakiota vaikka tässä ei eksplisiigses, lasketukaan auki yhtään Tarkistus: d dx ( 1 2 cos2 (x) + C) = - 1 integraalia 2cos(x) sin(x) = sin(x)cos(x) 2

Trigonometristen funk,oiden integraalit Äskeinen tehtävä olisi voitu ratkaista myös toisella tavalla, esim käy$ämällä muunnoskaavaa: sin(x)cos(x)dx = 1 2 2sin(x)cos(x)dx = 1 2 sin(2x)dx = 1 4 2sin(2x)dx = 1 4 cos(2x) + C'= 1 4 (2cos2 (x) -1) + C'= 1 2 cos2 (x) + 1 4 + C' = 1 2 cos2 (x) + C Huom: kaikki vakiotermit voidaan aina "imaista" integroin3vakioon C

Trigonometristen funk,oiden integraalit Jos integroitavana on trigonometristen funk,oiden kaksin tai kolminkertaisia kulmia, puolikkaita kulmia tai trigonometristen funk,oiden potensseja, muunnoskaavoista voi olla apua taulukkokirja. Esim: cos 2 (x)dx = 1 (1+ cos(2x))dx 2 = 1 2 dx + 1 4 2cos(2x)dx = 1 2 x + 1 4 sin(2x) + C Muunnoskaavojen käy$ö voi hieman hankaloi$aa derivoimalla tarkistamista...

Trigonometristen funk,oiden integraalit Huom: kaikki integraalit eivät ratkea (ainakaan helpoiten) muunnoskaavoilla, älä unohda myöskään helpompia kikkoja! Esim: cos(x)sin 3 (x)dx f'(x)f(x) 3 dx = 1 4 sin4 (x) + C

Sijoitusmene$ely eli mu$ujan vaihto Esim: 2 0 x(x 2 4)dx Tehdään muu$ujanvaihto: u = (x 2 4) jolloin saadaan du dx = d dx (x2 4) = 2x du = 2xdx dx = du 2x huom: tämä muoto pitää tapauskohtaisesi keksiä, ei ole mitään yleistä sääntöä miten muu$ujanvaihto kanna$aa tehdä myös integroimisrajat pitää laskea u:n suhteen: x = 0 u = 4; x = 2 u = 0

Seuraavaksi sijoitetaan alkuperäiseen integraaliin: (x 2 4) korvataa u:lla dx korvataan du/2x:llä x:n integroin,rajat korvataan u:n integroin,rajoilla 2 x(x 2 0 4)dx = x u du = 1 0 2x 2 udu 0 = 0 1 4 4 Tässä huomagin valitun muu$ujavaihdon "kikka": alkuperäisen muu$ujan x sisältävät termit hävisivät kun u ja siten du valigin sopivas, Ylläolevan integraalin olisi toki voinut laskea muutenkin, mu$a kohta nähdään vähän vaa,vampia esimerkkejä... 4 4 u2 = ( 1 4 02 1 4 ( 4)2 ) = 4

Muu$ujanvaihdossa 3 askelta 1. Valitaan u = u(x) 2. lasketaan du/dx, tästä saadaan lauseke jolla dx voidaan korvata du:lla 3. Lasketaan x:n integroimisrajat u:n suhteen (mikäli kyseessä on määrä$y integraali; muutoin tämä vaihe,etys, ohitetaan) Näiden jälkeen sijoitetaan alkuperäiseen integraaliin, ja lasketaan.

Muu$ujanvaihtoesimerkki 1. Sijoitetaan: dx e x + e x e x = u du dx = d dx ex = e x du = e x dx e x = u 1 dx = e -x du = u -1 du dx e x + e x = u 1 du u + u 1 = = arctan(u) + C du u 2 +1 Taulukkointegraali, löytyy esim. MAOL:ista = arctan(e x ) + C Huom! Lopullinen vastaus annetaan alkuperäisen muu$ujan avulla.

Muu$ujanvaihtoesimerkki 2. Sijoitetaan: 1 dx a 2 x 2 x = a sin(u) sin(u) = x a u = arcsin(x a ) dx du = = a cos(u) dx = a cos(u) du dx a 2 x 2 = a cos(u) a 2 a 2 sin 2 (u) du = a cos(u) a cos 2 (u) du = cos(u) cos(u) = arcsin( x a ) + C du = 1 du a cos(u) a 2 (1 sin 2 (u)) du = u + C

Ra,onaalifunk,on integroin, Ra,onaalifunk,o: kahden polynomin P(x) ja Q(x) osamäärä. Jos ra,onaalifunk,ossa P(x)/Q(x) osoi$ajan P(x) asteluku on suurempi tai yhtäsuuri kuin nimi$äjän Q(x), suoritetaan jakolasku. Jos osoi$ajan asteluku on pienempi kuin nimi$äjän asteluku, murtolauseke jaetaan osamurtolukuihin. Polynomien algebra on syytä olla hyvin "selkäy,messä" kun ra,onaalifunk,oita aletaan käsitellä!

Yksinkertaisia esimerkkejä Joskus jakolasku on hyvin helppo suori$aa. Esim. 1 x +1 dx = (1+ 1 x x ) dx = x + ln x + C Esim. 2 x 2-4 dx = x + 2 (x + 2)(x - 2) dx = (x - 2) dx x + 2 = 1 2 x2 2x + C

Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - 3x - 3 3

Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - (-3x - 3) 3

Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - (-3x - 3) 3 x2-2x x +1 = (x 3) + 3 x +1

Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx = ((x 3) + 3 x +1 x +1 )dx = 1 2 x2 3x + 3ln x +1 + C x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - (-3x - 3) 3

Esim. 4: 1 x 2 dx 3x + 2 Osoi$ajan asteluku on pienempi kuin nimi$äjän asteluku: jaetaan murtolauseke osamurtolukuihin. Aloitetaan etsimällä nimi$äjän nollakohdat, joiden avulla voidaan jakaa nimi$äjä osiin. x 2 3x + 2 = 0 x = 3± 32 4 1 2 2 1 x = 2 tai 1 x 2 3x + 2 = (x -1)(x - 2) Osamurtokehitelmä: Nyt pitää ratkaista A ja B. 1 x 2 3x + 2 = A (x 2) + B (x 1)

Aloitetaan sieventämällä. Iden,teeG voi pitää paikkansa ainoastaan jos A + B = 0 ja A 2B = 1 1 x 2 3x + 2 = A (x 2) + B (x 1) = A(x -1) (x 2)(x -1) + B(x - 2) (x 1)(x - 2) = (A + B)x + ( A 2B) x 2 3x + 2 1 x 2 3x + 2 A (x 2) + B (x 1) = Ax A + Bx 2B (x 1)(x - 2) Ratkaisemalla yhtälöryhmä (esim. yhteenlaskulla ensin B = 1 => B = 1, si$en sijoitus) saadaan: B = 1, A = 1. 1 1 x 2 dx = 3x + 2 (x 2) dx + 1 dx (x 1) = ln x 2 ln x -1 + C

Osamurtokehitelmä: yleinen tapaus Jokaista nimi$äjän nollakohtaa x = x 0 vastaa osamurtokehitelmässä termi A x x 0 Jokaista nimi$äjän n kertaista nollakohtaa x = x 0 vastavat osamurtokehitelmässä termit A n (x x 0 ) n, A n-1 (x x 0 ) n 1,..., A 1 x x 0

Kemiallinen esimerkki Kemiallisen reak,on 2A + B C nopeuslaki on d[ C] dt Tehtävä: C:n alkukonsentraa,o on 0, ja A:n ja B:n alkukonsentraa,ot ovat a ja b. Esitä [C] ajan funk,ona. Ratkaisu: = k[ A] 2 [ B] Merkitään: [C(t)] = x [A(t)] = a 2x [B(t)] = b x [ ] dt Saadaan: d C = dx dt = k(a - 2x)2 (b x)

Ryhmitellään muu$ujan x sisältävät termit samalle puolelle kuin dx, ja integroidaan: dx dt = k(a - 2x)2 (b x) dx (a - 2x) 2 (b x) = kdt dx (a - 2x) 2 = kdt = kt + C (b x) Vasemman puolen integraalin laskeminen edelly$ää osamurtoluku kehitelmää. Nimi$äjä on valmiiksi jae$una juuriinsa, eli saadaan: 1 (a - 2x) 2 (b x) = A 2 (a - 2x) 2 + A 1 (a - 2x) + B (b - x)

Sievennetään, ryhmitellään ja muodostetaan yhtälöryhmä: A 2 (a - 2x) 2 + A 1 (a - 2x) + B (b - x) = A 2 (b - x) (a - 2x) 2 (b x) + A 1 (a - 2x)(b - x) (a - 2x) 2 (b x) + B(a - 2x)(a - 2x) (a - 2x) 2 (b x) = ba 2 - xa 2 + 2x2 A 1 - axa 1-2bxA 1 + aba 1 + 4x 2 B 4axB+ a 2 B (a - 2x) 2 (b x) = x 2 (2A 1 + 4B) x(a 2 + aa 1 + 2bA 1 + 4aB) + (ba 2 + aba 1 + a 2 B) (a - 2x) 2 (b x) Koska alkuperäisen lausekkeen osoi$ajassa oli vain "1", täytyy sekä x 2 e$ä x termin kadota. Saadaan kolme yhtälöä:

= x 2 (2A 1 + 4B) x(a 2 + aa 1 + 2bA 1 + 4aB) + (ba 2 + aba 1 + a 2 B) (a - 2x) 2 (b x) 1 (a - 2x) 2 (b x) 2A 1 + 4B = 0 (1) A 2 + aa 1 + 2bA 1 + 4aB = 0 (2) ba 2 + aba 1 + a 2 B =1 (3) Ratkaistaan esim. sijoi$amalla. Yhtälöstä (1) saadaan A 1 = 2B Sijoitetaan tämä yhtälöön 2, saadaan A 2 + ( 2a - 4b + 4a)B = 0 A 2 = (4b 2a)B

Sijoitetaan molemmat nämä tulokset yhtälöön 3, saadaan: b(4b - 2a)B + ab(-2b) + a 2 B =1 (4b 2-2ab - 2ab + a 2 )B =1 (a 2-4ab - 4b 2 )B =1 B = 1 (a 2-4ab - 4b 2 ) = 1 (a 2b) 2 Käy$äen aiempaa tulosta A 1 = 2B saadaan edelleen 2 A 1 = (a 2b) 2 Ja käy$äen tulosta A 2 = (4b 2a)B saadaan (4b - 2a) 2(a 2b) A 2 = = 2 (a 2b) (a 2b) 2 = -2 (a 2b)

Nyt voidaan ratkaista alkuperäinen integraali: = = = dx (a - 2x) 2 (b x) A 2 (a - 2x) 2 dx + A 1 (a - 2x) dx + A 2 2(a 2x) A 1 2 1 (a 2x)(a - 2b) B (b - x) dx ln(a 2x) Bln(b x) Integroimisvakion arvo saadaan esimerkiksi ase$amalla x=0 kun t=0 (oltaisiin myös voitu integroida x arvosta 0 arvoon x, ja t arvosta 0 arvoon t), jolloin saadaan: 1 C = (a 2-2ab) + ln(a) (a - 2b) 2 ln(b) (a - 2b) 2 ln(a 2x) ln(b x) + 2 (a - 2b) (a - 2b) 2 = kt + C Itseisarvomerkkejä ei tarvita koska stoikiometriasta johtuen pätee aina x < 0.5a ja x < b

Muu$ujan x = [C(t)] ratkaiseminen t:n funk,ona edellä annetusta yhtälöstä olisi hyvin hankalaa, mu$a jos,edetään a, b ja k niin voidaan helpos, laskea x(t), t pareja ja piirtää kuvaaja,etokoneella. Tässä esimerkiksi [C] vs kt kuvaaja arvoilla a=3, b=1

[C] vs kt kuvaaja arvoilla a=1, b=1 [C] vs kt kuvaaja arvoilla a=10, b=1 Huomaa e$ä lausekkeen arvoa ei voida laskea jos a on tarkalleen yhtä suuri 2b. Käytännössä voidaan kyllä valita arvoja jotka ovat mielivaltaisen lähellä tätä suhde$a, ja saadan sil, järkeviä tuloksia, esim a=2.000001 ja b=0.99999 tuo$aa tämän kuvaajan: