JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään (i) joten 7 6 +, 7 6 + 6 Siis 7 {; 6} 6 (ii) Koska 4 3 + 3, kirjoitetaan jakoyhtälö luvuille 7 ja 3 7 7 7 3 + Siten 4 7 3 + 7 3 3 + + 3 Siis 4 7 (iii) { 3;, 3} 74 65 + 9 65 7 9 + 9 4 + Siten 65 74 74 65 + 65 9 + 7 + 9 + 7 + 4 + Siis 65 74 (iv) {0;, 7, 4, }
74 63 + 63 5 + 8 8 + 3 8 3 + 3 + Siten 63 74 74 63 + + 63 5 + + + + 5 + 8 + 5 + + 8 3 + 5 + + + 3 + Siis 63 74 {0;, 5,,,, } Tehtävä (i) Etsi yhtälön x + 0x positiivisen ratkaisun ketjumurtokehitelmä Kuinka monta (osa)nimittäjää tarvitaan, jotta approksimaation tarkkuus on vähintään 6 desimaalia? (ii) Etsi luvun 3 ketjumurtokehitelmä Ratkaisu (i) Koska yhtälön ratkaisujen tulo on, yhtälöllä on positiivinen ratkaisu Olkoon x yhtälön positiivinen ratkaisu Jakamalla yhtälön puolittain luvulla x saadaan x 0 + x Koska x > 0, niin myös > 0 ja siten x > 0 Tästä seuraa, että 0 < < <, joten x x 0 x 0 Yllä olevasta nähdään, että x, joten luvun x ketjumurtokehitelmä on x 0 x {0; 0, 0, } Yhtälön positiivinen ratkaisu voidaan selvittää eksaktisti ratkaisukaavalla, ja se on x 5 + 6 0, 099095
Kokeillaan peräkkäisiä konvergenttejä, kunnes tarkkuus on 6 desimaalia 0 0 0 0 0, 00 0, 09900990099 0 030 0, 09909607 00 Huomataan siis, että {0; 0, 0, 0} on riittävän tarkka approksimaatio, eli konvergenttien jonossa on otettava neljäs termi (ii) Esitys on 3 {λ0 ; λ, λ, }, missä λ k α k ja (α k ) on rekursiivisesti määritelty lukujono { α0 3, α k+ α k α k Nyt λ 0 3, ja Tästä saadaan λ ja Nyt λ ja α α 3 3 + 3 ( 3 + ) 3 α 3 3 α 3 + 3 + Siten induktiolla α k+ α ja α k α kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k, joten myös λ k+ λ ja λ k λ Toisin sanoen, 3 {;,,,,,, } Tehtävä 3 (i) Näytä, että jos c > 0 on kiinteä vakio ja α Q, niin silloin epäyhtälö α p q cq voi päteä vain äärellisen monelle eri rationaaliluvulle p/q (ii) Olkoot p n /q n konvergentteja (äärettömälle) ketjumurtoluvulle, joka suppenee kohti lukua α Sovella kohtaa (i) ja tietoa α p n /q n qn ja päättele, että α on irrationaalinen (iii) Käytä samoin kohtaa (i) ja näytä, että Liouvillen luvut ovat irrationaalisia ±! ±! ± 3! + 3
Ratkaisu 3 (i) Olkoon α m/n Q, m, n Z, n, ja kiinnitetään c > 0 Oletetetaan, että α p/q Silloin α p mq np q nq nq q n q Nyt jos q/n > c, niin silloin α p q > cq Ainoat rationaaliluvut, jotka voivat siis toteuttaa epäyhtälön, ovat siis α itse ja ne luvut p/q, joissa q cn Erityisesti, luvulle q on vain äärellisen monta vaihtoehtoa Kiinteällä q epäyhtälö α p q cq voi toteutua vain äärellisen monella kokonaisluvulla p Siten on osoitettu, että epäyhtälö pätee vain äärellisen monelle rationaaliluvulle p/q Huomautus Itse asiassa tästä todistuksesta seuraa, että on olemassa vakio c > 0, jolle α p/q cq kaikille p/q α (ii) Luentojen lauseen 8 perusteella äärettömän ketjumurtoluvun konvergentit ovat kaikki keskenään erisuuria, ja α p n /q n qn Jos α olisi rationaaliluku, niin kohdan (i) perusteella tällaisia lukuja p n /q n voisi olla vain äärellisen monta Siten α ei voi olla rationaaliluku (iii) Luennoilla on todistettu, että Liouvillen luvut ovat joko transkendentaalisia tai rationaalisia Muistetaan, että sarjan osasummat ovat rationaalilukuja p n (n )! ( ±! ± ± (n )! ) q n (n )! Arvioidaan näiden etäisyyttä sarjan summasta ξ samalla tavalla kuin luentojen todistuksessa ξ p n n! + (n+)! + q n n! ( + + + ) n! q n n Tästä seuraa, että ξ p n /q n qn ovat erisuuria kaikilla n Riittää siis osoittaa, että luvut p n /q n Huomataan, että p n (n )! ( ±! ± ± (n )! ) on pariton luku Koska q n (n )!, tästä seuraa, että (p n, q n ), eli murtoluku p n /q n on supistetussa muodossa Koska q n+ n! > (n )! q n, tästä seuraa, että luvut p n /q n ovat keskenään erisuuria ja siis ξ on irrationaaliluku Tehtävä 4 Sovella induktiota ja jonojen (p n ) ja (q n ) rekursiokaavoja ja todista lauseen 8 osa (ii), eli että q n p n q n p n ( ) n kaikille n 4
Ratkaisu 4 Jonojen rekursiokaavat ovat ja Lisäksi p k λ k p k + p k q k λ k q k + q k p 0 λ 0, p λ λ 0 +, q 0, q λ Todistetaan väite induktiolla Tapauksessa n saadaan q 0 p q p 0 (λ λ 0 + ) λ λ 0 ( ) 0 Väite siis pätee, kun n Oletetaan sitten, että väite pätee tapauksessa n k, eli q k p k q k p k ( ) k Osoitetaan, että tällöin väite pätee myös tapauksessa n k + Nyt käyttämällä rekursiokaavoja saadaan, että q k p k+ q k+ p k q k (λ k+ p k + p k ) (λ k+ q k + q k )p k q k p k q k p k ( ) k Väite siis pätee tapauksessa n k + Nyt induktioperiaatteesta seuraa, että väite pätee kaikilla n Tehtävä 5 Osoita, että harpilla ja viivoittimella voidaan aina konstruoida neliöjuuri a kun on annettu janat joiden pituudet ovat ja a Ratkaisu 5 Olkoon l suora tasossa, ja P sen piste Piirretään P -keskinen -säteinen ympyrä, joka leikkaa suoran l pisteessä B Piirretään P -keskinen a-säteinen ympyrä, joka leikkaa suoran l pisteessä A niin, että A ja B ovat eri puolilla pistettä P Konstruioidaan janan AB keskipiste M Piirretään M-keskinen ympyrä Γ, jonka säde on janan MA pituinen Piirretään pisteestä P suoralle l normaali, ja leikatkoon se ympyrän Γ pisteessä C Kehäkulmalauseen nojalla kulma ACB on suora Tästä seuraa, että kolmiot AP C ja CP B ovat yhdenmuotoiset, koska niillä on samat kulmat Jos merkitään janan P C pituutta x:llä, tästä saadaan, että x x a Silloin janan P C pituus x on a 5
Tehtävä 6 Näytä, ettei harpin avulla voi kahdentaa kuutiota! [Vihje: Sovella lausetta 4 polynomiin x 3 0] Ratkaisu 6 Kuution kahdentaminen onnistuu vain, jos annetusta janasta, jonka pituus on, voidaan muodostaa jana, jonka pituus on 3 Tämä on mahdollista vain, jos 3 on esitettävissä rationaalilukujen rationaalisten operaatioiden ja neliöjuurten ottamisen avulla Tehdään vastaoletus: yhtälön x 3 0 ratkaisun voi kontruoida äärellisellä määrällä rationaalisia operaatioita ja neliöjuuren ottamisia Silloin 3 F n, missä Q F 0 F F n R, F k+ F k ( D k ), D k > 0, D k F k, D k F k kaikilla 0 k < n Jos olisi n 0, niin silloin 3 Q, mikä ei tunnetusti päde Voidaan siis olettaa, että n, ja 3 F n Nyt yhtälöllä x 3 0 ei ole juuria kunnassa F n, joten luentojen lemman 3 perusteella sillä ei ole myöskään juuria kunnassa F n (D n ) F n, mikä on ristiriita Vastaoletus on siis väärä, ja kuutiota ei voi kahdentaa harpilla Tehtävä 7 Osoita, että jokainen rationaaliluku x (0, ) voidaan lausua muodossa x l k, missä < m < m < m l ovat erisuuria kokonaislukuja 6
Ratkaisu 7 Olkoon x (0, ) rationaaliluku Muodostetaan esitys ahneesti Oletetaan, että on valittu positiiviset kokonaisluvut < m < < m j, joille x j k Jos epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus, esitys on valmis Muussa tapauksessa olkoon m j+ pienin positiivinen kokonaisluku, jolle x j k m j+ Todistetaan, että tämä prosessi päättyy äärellisen monessa askeleessa Riittää todistaa, että rationaalilukujonossa (a j ), missä a j x j k, osoittajien jono on aidosti vähenevä Tällöin lopulta a l+ 0 jollakin indeksillä l, eli haluttu esitys on löydetty Olkoon p q (0, ) rationaaliluku Silloin mille tahansa positiiviselle kokonaisluvulle n pätee p q n pn q qn Tämä luku on epänegatiivinen, jos ja vain jos pn q 0 Pienimmällä luvulla n, jolla näin tapahtuu, pätee 0 pn q < p Siten esityksestä p q n pn q qn seuraa, että mahdollisen supistamisen jälkeen rationaaliluvun p osoittaja on aidosti q n pienempi kuin p On siis osoitettu, että prosessi päättyy ja muodostaa esityksen x l k Osoitetaan vielä, että luvut ovat keskenään erisuuria Koska jono (a j ) on aidosti vähenevä, pätee + Jos olisi +, niin silloin a k /, joten erityisesti a k /( ) vastoin oletusta, että oli valittu minimaaliseksi Siten < m < m < < m l muodostavat halutun esityksen Huomautus Esitys x 7 l k,
tunnetaan egyptiläisenä murtolukuna Tämä esitys löytyy jokaiselle positiiviselle rationaaliluvulle Tämän voi todistaa valitsemalla harmonisen sarjan suurimman osasumman, joka on alle kyseisen rationaaliluvun, ja käyttämällä ahnetta strategiaa loppuosaan 8