Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä järjestyksessä Niistä muodostuu jokin kuvio. Käytä jokaista neljännestä.
POHJA y x
PIIRTELYÄ Piirrä kuvaaja y = 2x + 4. y = 3x + 4 x y = 2x + 4 (x,y) 2 2 2 + 4 = 4 + 4 = 8 (2,8) 1 2 1 + 4 = 2 + 4 = 6 (1,6) 0 2 0 + 4 = 0 + 4 = 4 (0,4) 1 2 ( 1) + 4 = 2 + 4 = 2 ( 1, 2) y y = 2x + 4 x PIIRRÄ SUORAT a) y = x + 2 b) y = x 2 c) y = 2x + 2 d) y = x e) y = 2x + 2 f) y = x 2
Piirrä kuvaajat y = 2x + 4 x y = 2x + 4 2 2 2 + 4 = 4 + 4 = 8 1 2 1 + 4 = 2 + 4 = 6 0 2 0 + 4 = 0 + 4 = 4-1 2 (-1) + 4 = -2 + 4 = 2-2 2 (-2) + 4 = -4 + 4 = 0 y = 3x + 4 x x y = 3x + 4 2 3 2 + 4 = 6 + 4 = 10 1 3 1 + 4 = 3 + 4 = 7 0 3 0 + 4 = 0 + 4 = 4-1 3 (-1) + 4 = -3 + 4 = 1-2 3 (-2) + 4 = -6 + 4 = -2
Erikoistapaukset Piirrä kuvaajat a) y = x b) y = 2 c) x = 5 y x = 5 x y = x 1 1 2 2 0 0-1 -1-2 -2 y = x y = 2 x
Suoran yhtälö y = kx + b (esim. y = 2x + 4) k = kulmakerroin b = vakiotermi Tehtävä. Selvitä mitä k ja b kertovat suorista! Vinkki. Piirrä samaan koordinaatistoon suorat a) y = 2x + 4 ja y = 3x + 4 b) y = 2x 2 ja y = 2x + 3 c) y = 3x + 4 ja y = 3x + 2 ja y = 3x 2 Tulokset: Jos k > 0, suora on nouseva Jos k < 0, suora on laskeva Mitä suurempi k on, sitä jyrkemmin suora nousee. Vakiotermi b kertoo, missä kohdassa suora leikkaa y-akselin.
Kulmakertoimen määrittäminen - Voidaan tehdä minkä tahansa suoralla olevan kahden pisteen avulla k y x koordinaattien erotus koordinaattien erotus Esim. 9.a) Mikä on pisteiden (5,3) ja (2,1) kautta kulkevan suoran kulmakerroin? b) Mikä on pisteiden (5,2) ja (6,4) kautta kulkevan suoran kulmakerroin? a) k 31 5 2 2 3 b) k k 2 5 4 6 4 6 2 5 2 1 2 1 TAI 2 1
Kulmakertoimen määrittäminen t. 2. Mikä on pisteiden (3,4) ja (7,5) kautta kulkevan suoran kulmakerroin? 4 1 3 7 4 5 k 1 2 5 6 2 4 k 1 2 1 2 6 5 4 2 k TAI b) a)
Piirrä kuvaajat y = 2x + 4 x y = 2x + 4 2 2 2 + 4 = 4 + 4 = 8 1 2 1 + 4 = 2 + 4 = 6 0 2 0 + 4 = 0 + 4 = 4-1 2 (-1) + 4 = -2 + 4 = 2-2 2 (-2) + 4 = -4 + 4 = 0 y = 3x + 4 x x y = 3x + 4 2 3 2 + 4 = 6 + 4 = 10 1 3 1 + 4 = 3 + 4 = 7 0 3 0 + 4 = 0 + 4 = 4-1 3 (-1) + 4 = -3 + 4 = 1-2 3 (-2) + 4 = -6 + 4 = -2
KOTIT. Moniste 52, 55 Suoran piirtäminen ilman taulukkoa Esim. Piirrä suora y = 2/5x + 1 1. Korkeus 1 y-akselilla 2. 2 ylös 3. 5 oikealle (k positiivinen) Y = 2/5x + 1
Suoran piirtäminen ilman taulukkoa ESIM 1. Piirrä suorat A) y = 2/5x + 1 B) y = 3/6x 2 C) y = 4/7x 4 D) y = 4/3x + 3 E) y = 2/1x + 3 F) y = 5x 3 G) y = 3x + 4 H) y =5x 3 I) y = 4x + 1 J) y = 2x K) y = 2x L) y = x M) y = 2 N) x = 6
Suoran yhtälön kirjoittaminen kuvaajasta Suoran yleinen muoto y = kx + b Valitse itse 2 pistettä (kokonaisluvut) suoralta! OHJEET: 1. Etsi b 2. Etsi k 3. Kirjoita yhtälö 1. b = 2 2. k = ¾ 3. y = ¾ x + 2 y = = 5/4 x 3 b = 3 k = 5/4 y = 5/4 x 3 y = 3/4x + 2
Onko piste (x,y) suoralla? Esim. a) Onko piste (2,3) suoralla y = 2x 1? Ratk. Tutkitaan toteuttaako piste (2,3) yhtälön yleisen muodon y = kx + b eli tässä tapauksessa y = 2x 1. Piste (2,3) y = 2x 1 3 = 2 2 1 3 = 4 1 3 = 3 TOSI! V: ON b) Entä piste ( 2,4)? y = 2x 1 4 = 2 ( 2) 1 4 = 4 1 4 = 5 EPÄTOSI! V: EI
Suoran yhtälö kulmakertoimen ja pisteen avulla Esim. 2 a) Mikä on suoran yhtälö, jos sen kulmakerroin on 2 ja se kulkee pisteen (0,1) kautta? Ratk. y = kx + b k = 2 y = kx + b 1 = 2 0 + b 1 = 0 + b Eli b = 1 y = kx + b y = 2x + 1 x, y k = kulmakerroin b = vakiotermi (y-akselin leikkauskohta)
Suoran yhtälö kulmakertoimen ja pisteen avulla Tutki mikä on suoran yhtälö, jos se kulkee pisteen a) (2,10) kautta ja sen kulmakerroin on 4 b) (5,2) kautta ja sen kulmakerroin on 1 c) (1,6) kautta ja sen kulmakerroin on 6 d) (0,1) kautta ja sen kulmakerroin on 5 e) ( 7,3) - - 2 f) ( 4, 2) - - 3 a) k = 4, (x = 2, y = 10) y = kx + b 10 = 4 2 + b 10 = 8 + b 10 8 = b 2 = b y = 4x + 2 TARKISTA a) y = 4x + 2 b) y = x 3 c) y = 6x d) y = 5x + 1 e) y = 2x + 17 f) y = 3x + 10
Suoran yhtälö kulmakertoimen ja pisteen avulla KOTI. Tutki mikä on suoran yhtälö, jos se kulkee pisteen a) (-2,-8) kautta ja sen kulmakerroin on 3 b) (2,3) kautta ja sen kulmakerroin on -1 SOCRATIVE-merkintöjä: f(2) tarkoittaa x = 2, mitä on y? f(x)=2 tarkoittaa y = 2, mitä on x? f(x) tarkoittaa suoraa, jonka nimi on f
Yhdensuuntaiset suorat Yhdensuuntaisilla suorilla on sama kulmakerroin k. Esim. Suora on yhdensuuntainen suoran y = 4x +2 kanssa ja kulkee pisteen (1,2) kautta. Mikä on suoran yhtälö Ratk. k = 4 x = 1 y = 2 y = kx + b 2 = 4 1 + b 2 = 4 + b 2 4 = b eli b = 2 y = 4x 2
Suorajuttuja Mikä suora? a) Se on yhdensuuntainen suoran y = 3x + 2 kanssa ja leikkaa y- akselin kohdassa y = -5 Ratk. k = 3, b = -5 y = kx + b y = 3x 5 Piirrä molemmat suorat samaan koordinaatistoon. Mikä suora? b) Se on yhdensuuntainen suoran y = 3x + 2 kanssa ja kulkee origon kautta. Piirrä molemmat suorat samaan koordinaatistoon.
Suorajuttuja Mikä suora? b) Se on yhdensuuntainen suoran y = 3x + 2 kanssa ja kulkee origon kautta. Piirrä molemmat suorat samaan koordinaatistoon. Ratk. y = kx + b k = 3 ja b = 0 y = 3 x + 0 = 3x
Suoran piirtäminen ilman taulukkoa Esim. Piirrä suora y = 3x + 2 ja y = 3x y = 3x y = 3x + 2
Suoratehtäviä Mikä suora? a) Se on yhdensuuntainen suoran y = -3x + 1 kanssa ja leikkaa y- akselin kohdassa y = 3 b) Se on yhdensuuntainen suoran y = 2x + 4 kanssa ja leikkaa y- akselin kohdassa y = -3 c) Se on yhdensuuntainen suoran y = -5/2x - 5 kanssa ja leikkaa y- akselin kohdassa y = 4 d) Se on yhdensuuntainen suoran y = -3/2x kanssa ja leikkaa y- akselin kohdassa y = -3 Piirrä kaikissa kohdissa molemmat suorat samaan koordinaatistoon. Ratk. A) y = kx + b Oltava k = -3 b = 3 y = -3x + 3
1.4 Suoran yhtälön ratkaisematon muoto Piirrä funktion y x = 3 kuvaaja. y x = 3 y = x + 3 y = x + 3 Piirrä funktion y x = 3 kuvaaja. Esim. Tutki, onko piste (1,2) suoralla y x = 2. 2 1 = 2 1 = 2 EPÄTOSI V: Piste (1,2) EI OLE suoralla.
1.4 Suoran yhtälön ratkaisematon muoto Piirrä funktion y x = 3 kuvaaja. Esim. a) Tutki, onko piste (1,2) suoralla y x = 2. 2 1 = 2 1 = 2 EPÄTOSI V: Piste (1,2) EI OLE suoralla. b)entäpäs piste (3,5)? y x = 2 5 3 =2 2 = 2 TOSI V: Piste ON suoralla t. 131 a) x + y = 0 V: ( 1, 1), (1, 1) ja (2, 2) LASKE: s. 35 t. 131
Suoran nollakohta Suoran nollakohta on se x:n arvo, jossa suora leikkaa x-akselin. Nollakohdassa y:n arvo on nolla. Esim. Laske suoran y = 2x + 6 nollakohta. y = 2x + 6 0 = 2x + 6-2x = 6 + 0 : (-2) 2x 2 x 3 6 2 V: x = 3 TEE: s. 35. t. 146 150 JA s. 37 t. 167 ja 168. 146a) a: x = -1,5 KOTIIN: 147, 149, 168
Suoran kulun tutkiminen S. 33. Esim 5 ja 6. Esim 7. kolmion pinta-ala TEE s. 35. t. 150, 155, 156, 157, 158, 151 t. 150 y = 3x 6 3 y x 6 1 1. Piirrä ja lue kuvaajasta Suoran nollakohta x = 2 y = 3x 6 2x y + 1 = 0 KOTIIN: 150 loppuun, 151, 155 TEE s. 36. 157, 158, 156,
TEE s. 36. 157 y X = -3 x = 1 y = 2 x y = 1 A 43 12 V: 12 ruutua
y = -2x y = 3x - 5
BONUS: m) (1/2, 3/2) ja (-1/2, -3/2) n) (1/4, -3/4) ja (-5/6, -3/6) y = 2/1 x + 3 y = 2 x + 3 y = kx + b y = 3/1 x + 2 y = 3x + 2
Suoran kulmakerroin laskemalla Esim. Määritä suorien kulmakertoimet, kun suora kulkee pisteiden a) (1,2) ja (3,4) b) (-3,1) ja (0,-5) k y koordinaattien erotus k x koordinaattien erotus 4 2 2 2 4 2 1 TAI k 1 3-1 2 1-3 2 1 ( 5) 1 5 6 k 2 3 0 3 3 Esim. Määritä suorien kulmakertoimet, kun suora kulkee pisteiden KOTIa) (3,0) ja (1,5) KOTIb) (-4,-4) ja (-4,6) KOTIc) (0,0) ja (5,5)
Suoran yhtälö kahden pisteen avulla Ohje: 1. Määritä k. 2. Sijoita k ja toinen piste suoran yleiseen yhtälöön y = kx + b Esim. 10. Mikä on pisteiden (5,2) ja (6,4) kautta kulkevan suoran yhtälö? 4 2 2 k 6 5 1 k = 2, x = 5, y = 2 2 y kx b 25 b 2 10 b 2 10 b 8 b y 2x 8 2 VASTAUKSET A2: a) y = 3x 1 b) y = 3/2 x ½ c) y = 4x + 3 d) y = 3x + 7 e) y = x + 1 f) y = x 7
Kertausta 1. Onko suora nouseva vai laskeva? a) y = 2x 3 N b) y = 3x + 10 L c) y = x L d) 2x + y = 8 e) 3x 4y = 12 f) x = 2 EI KUMPIKAAN TEE KIRJASTA s.61 t. 258 265 s. 63 t. 276-280 2. Mikä on suoran kulmakerroin? a) y = 5x 3 b) y = ½ x + 10 c) y = x +5 d) 4x + y = 5 e) 6x 8y = 24 f) y = 5