PURISTETTUJE RAKETEIDE TARKASTELU STADARDISSA SFS-E 199-1-1 (kohta 5.8) 1 KÄSITTEET 1.1 Pilarin tehollisen pituuden määrittely (kohta 5.8.3.) Tehollisella pituudella tarkoitetaan pilarin tuentatavasta, liittyvien rakenteiden jäykkyyksistä ja pilarin omasta taivutusjäykkyydestä johdettua pituutta, jota käytetään pilarin stabiiliustarkasteluissa. Tämä pituus voidaan useimmiten ajatella lähes samaksi kuin pilarin nurjahduspituus. Pilarin tehollinen pituus on verrannollinen pilarin jännemittaan, joka on pilarin tukipisteiden välinen pituus tai mastopilarissa pituus pilarin päästä tukipisteeseen. urjahduspituus liittyy kimmoteorian mukaisiin tarkasteluihin eikä sitä ole määritelty plastisuusteorian mukaisissa tarkasteluissa, mutta tehollisesta pituudesta johdettua hoikkuutta käytetään murtorajatilatarkasteluissa määriteltäessä toisen asteen vaikutuksien suuruutta pilarin mitoitusmomentissa, kun käytetään nimellisjäykkyyteen perustuvaa menetelmää. Tässä menetelmässä esiintyy kriittinen kuorma B, joka määritellään lausekkeena: ( EI ) B Kriittisen kuorman arvioimista tarkastellaan yksityiskohtaisemmin liitteessä 1. 1. Geometriset epätarkkuudet (kohta 5.) Epätarkkuuksia ovat vinous (poikkeama pystysuorasta) ja kaarevuus (suoruuden puute). iistä aiheutuu kuorman epäkeskisyys ideaalirakenteeseen verrattuna. Epätarkkuudet otetaan pääsäännön mukaan huomioon murtorajatilatarkasteluissa, mutta ei käyttörajatilatarkasteluissa. urtorajatilassa epätarkkuudet sisällytetään tavanomaisiin ja onnettomuuskuormitusyhdistelmiin. 1..1 Epätarkkuuden käsittely (kohta 5.) Epätarkkuutta voidaan tarkastella vinoutena i : i h m on perusarvo = 1/ h on korkeuden tai pituuden l vaikutuskerroin: h ; h 1 l 3 m on rakenneosien määrän (= m kappaletta samassa kerroksessa olevia 1 pystyrakenteita) vaikutuskerroin: m,5 1 m Erillispilareita käsiteltäessä l = pilarin todellinen pituus ja m = 1 Jäykistysvaikutusta käsiteltäessä l = rakennuksen korkeus ja m = kerroksessa olevien jäykistysvaikutusta antavien osien lukumäärä Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 1 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Epätarkkuus erillispilareissa = (a) kuorman epäkeskisyys e i tai (b) poikittainen korvausvoima H i, joka tuottaa saman momentin kuin epäkeskisyys e i e i i ; = pilarin tehollinen pituus (ks. myös liite 1). Seinissä ja jäykistettyjen kehien pilareissa voidaan käyttää aina e i = /4. Vaakasuora korvausvoima sivusiirtyvissä pilareissa: H i = i Ed. Jäykistettyjen kehien pilareissa: H i = i Ed. Korvausvoiman H i avulla voidaan laskea pilariin sen vinoudesta aiheutuva taivutusmomentti. 1.3 Jäykistetyt ja jäykistämättömät kehärakenteet - määritelmät Kehärakenteet jaetaan jäykistettyihin (braced) ja jäykistämättömiin (non-braced) seuraavan määritelmän mukaan: Kehärakennetta pidetään jäykistettynä, jos sen vaakasuora stabiilius on järjestetty suunnittelemalla kehään sellaisia jäykistysrakenteita, jotka kykenevät ottamaan vastaan kaikki vaakakuormien vaikutukset. Tällaisen ehdon katsotaan toteutuvan, kun jäykistysrakenteet ovat tarpeeksi symmetrisesti rakennuksen alalla sijaitsevia ja voidaan osoittaa, että lineaarisesti tarkasteltuna jäykistysrakenteet voivat siirtää perustuksen tasolla leikkausvoiman, joka on vähintään 9 % koko rakennukseen kohdistuvien vaakavoimien summasta. Lisäksi jäykistysrakenteiden tulee säilyä halkeilemattomina käyttörajatilassa vaakakuormien ja niitä vastaavien pystykuormien vaikuttaessa. uut kehärakenteet ovat jäykistämättömiä. Sivusiirtymätön (non-sway) ja jäykistetty (braced) kehä eivät ole synonyymejä, eli jäykistetty kehäkin voi olla sivusiirtyvä. s. mastojäykistetty kehä on sivusiirtyvä, vaikka mastojen jäykkyyden tulee olla riittävä hallitsemaan vaakakuormista ja epätarkkuuksista aiheutuvia momentteja ja mastot voivat siirtää tarvittavat kuormat perustuksille. astojäykistetyssä rakennusrungossa jokainen kehän pilari, joka kytketään toisiin pilareihin niin, että pilareiden voidaan katsoa siirtävän vaakavoimia toisiaan vastaavan siirtymän ansiosta, osallistuu kehän jäykistykseen ja se tulee mitoittaa tämän huomioon ottaen. 1.4 Erillispilarit Erillispilarit ovat joko yksittäisiä pilarielementtejä tai jonkin kehärakenteen osia, joita voidaan mitoituksessa käsitellä erillisinä ja muusta rakenteesta irrotettuna kokonaisuutena. Erillispilarin poikkileikkaus sen päiden välillä tai peräkkäisten tukipisteiden välillä on tavallisesti vakio. Kehän lineaarisen voimasuurelaskennan jälkeen useimpia pilareita voidaan käsitellä erillispilareina. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan (c) atti V. LESKELÄ 8..1
1.4.1 Erillispilareiden hoikkuus ja tehollinen pituus (kohta 5.8.3.) Hoikkuusparametrinä käytetään suhdetta missä /i; i I c /Ac on pilarin tehollinen pituus, i on halkeilemattoman betonipoikkileikkauksen A c jäyhyyssäde, I c on halkeilemattoman betonipoikkileikkauksen jäyhyysmomentti. h Suorakaidepoikkileikkauksessa i. 1 Eri tavoin tuettujen pilareiden teholliset pituudet esitetään seuraavassa taulukossa 1 Eurokoodin mukaisina. Taulukko 1: Tavallisimpiin tuentatapoihin liittyvät teholliset pituudet SFS-E 199-1-1 kuvan 5.7 mukaiset nurjahduspituudet = = =,7 =,5 =,5 < < > Huomautus: ämä arvot ovat hieman pienempiä Betoninormien arvoihin verrattuna Huomautus: jos oikeanpuoleisessa mastopilarin tapauksessa kiinnitys pilarin juuressa ei ole täysin jäykkä (eli kiertymä > ), tehollinen pituus on verrannollinen kiertymän suuruuteen ja on selvästi suurempi kuin. 1.4. Geometrisen epälineaarisuuden tarkastelu (kohta 5.8.3.1) Geometrinen epälineaarisuus lisää mitoitusvoimasuureita lineaarisen tarkasteluun verrattuna ja periaatesäännön mukaan se tulee ottaa huomioon, kun se vaikuttaa merkittävästi voimasuureisiin. Sitä ei tarvitse ottaa huomioon, jos pilarin hoikkuus lim.ec : lim.ec AB C Ed / A f c cd Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 3 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
missä 1 A = 1, ef tai,7, jos ef ei ole tunnettu (A =,7 vastaa arvoa ef = ), A B = 1 tai 1,1, jos ei ole tunnettu; s f sd (B = 1,1 vastaa Ac fcd raudoitussuhdetta =,1) C = 1,7 1 tai,7, jos momenttisuhde 1 / ei ole tunnettu. (C =,7 vastaa vakiomomenttia koko pilarin pituudella, eli 1 / = 1) 1 ja ovat lineaarisen tarkastelun mukaiset momentit pilarin päissä ja 1 1. Hoikkuusraja on käytännössä pilarin mitoituskuorman funktio. Jos A =,7, B = 1,1 ja C =,7, lim.ec = 5, kun Ed =,66A c f cd. Tämä vastaa Betoninormeissa olevaa vakiorajaa, lim.b = 5, mutta kyseistä mitoituskuormaa vastaavaa kestävyyttä ei kaikissa pilareissa voida saavuttaa. Eurokoodin hoikkuusraja, joka on normaalivoiman Ed funktio, voi poiketa Betoninormien vakioksi oletetusta rajasta huomattavasti. astopilareissa voidaan asettaa Ed /A c f cd =,35 ellei suhteen suuruudesta ole tarkempaa tietoa. 1.4.3 Pilareiden teholliset pituudet (kohta 5.8.3.(3)) (a) Jäykistetyn kehän pilareissa k1 k 5, 1 1 45, k1 45, k (b) Jäykistämättömän kehän pilareissa (esimerkiksi mastopilarit) kk 1 k1 k max 11 ; 1 1 k1 k 1 k1 1 k missä k 1 ja k ovat pilarin päiden suhteelliset joustoluvut, i ( EΙ) ki i i on pilarin pään i kiertymä momentista i, (EI) on pilarin taivutusjäykkyys, on vapaa kerroskorkeus. Kun pilari on jatkuva kahden kerroksen välisessä liittymässä, käytetään jatkuvan pään joustolukua k laskettaessa jäykkyystermin (EI)/ paikalla liittymän ylä- ja alapuolisen pilarin jäykkyystermien summaa [((EI)/) a + ((EI)/) b ], missä indeksit a ja b tarkoittavat liittymän eri puolilla olevia osia (ks. seuraavan sivun esimerkki). Jos kriittinen kuorma B lasketaan esimerkiksi numeerisella menetelmällä, tehollinen pituus on yleismääritelmän mukaan Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 4 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
( EΙ ) (EI) on tässä tapauksessa vertailujäykkyys, kun on määritelty, että Kaikissa tarkasteluissa on silloin jäykkyyttä (EI) vastaava pituus. B ( EI ). B Joustolukujen k suuruudet (kohta 5.8.3.(3)) Täysin kiertymättömän pään joustoluku on k:n määrittelyn perusteella, koska kiertymä on nolla. Käytännössä ei täysin kiertymättömiä sauvan päitä esiinny ja k i :n suositeltavana minimiarvona tulee käyttää,1. Tämän perusteella tehollinen pituus 'lähes jäykästi' molemmista päistään,1 kiinnitetyssä jäykistetyn kehän pilarissa on,51,59,6,55. Vastaavasti jäykistämättömässä (= sivusiirtyvässä) 'lähes jäykästi' molemmista päistään kiinnitetyssä kehän pilarissa tehollinen pituus on,1 max 1,5 ; 1 1, 1,1. astopilarin teholliseksi pituudeksi saadaan =, jos k 1 = ja k =. Se on silloin sama kuin maston teoreettinen nurjahduspituus. Jos k 1 >, kasvaa tehollinen pituus vielä, kuten esimerkki 1 jäljempänä osoittaa. Betoninormeissa käytetään tällaisessa tapauksessa =,. Jos k 1 =,1 (suositeltava minimiarvo) ja k =, SFS-E 199-1-1 mukainen tehollinen pituus on =,18, joka on käytännössä sama kuin Betoninormien mukainen pituus. Huomautus: Joustoa esiintyy myös mastopilarin kiinnittyessä perustukseen. Perustuksen aiheuttaman jouston suuruus riippuu perustuksen detaljeista. Pilarianturan muodonmuutoksista aiheutuva jousto Pilarianturan muodonmuutoksista aiheutuvan joustoluvun suuruusluokkaa voidaan arvioida lausekkeella: k 3H 3 ( EI ) 1 16 H E Bh Ed 3 Ed cd f missä Ed ja Ed ovat normaalivoima ja momentti pilarin ja anturan liittymässä ja H B h f on anturan sivumitta taivutussuunnassa, on anturan leveys, on anturan tehollinen korkeus, on pilarin systeemipituus Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 5 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
E cd on anturabetonin tehollinen kimmokerroin, useimmiten riittävällä tarkkuudella voidaan käyttää E cd = 15 Pa, (EI) on pilarin nimellinen taivutusjäykkyys. Oletetaan, että B = 1,5 m ja H = m, h f =,5 m sekä (EI) = 4 m ja = 3 m. Oletetaan lisäksi, että Ed / Ed h/, kun h = pilarin sivumitta taivutustasossa =,58 m. Joustoluvun suuruusluokka on silloin k,16. Tämä on paljon pienempi kuin suositeltava minimiarvo k min =,1, jonka voidaan katsoa sisältävän myös perusmaan ja perustamismenetelmän aiheuttaman jouston. Paaluperustuksen aiheuttama jousto otetaan huomioon erikseen. Paaluperustuksen vaikutus pilarianturan joustolukuun Paaluperustuksen jousto riippuu paalujen ominaisuuksista, mutta voidaan esittää yksinkertaistettuna paalun tehollisen pituuden L p.ef avulla. ääritellään, että paalun tehollinen pituus L p.ef on paalun pään siirtymän laskemiseksi tarvittava pituus, kun oletetaan, että pituudella L p.ef vaikuttaa paaluvoiman p aiheuttama vakio puristuma p = p /(EA) p, eli paalun pään siirtymä voimasta p on = L p.ef p. Jos anturaan pilarilta siirtyvät voimasuureet ja aiheuttavat paaluvoimat pmin ja pmax, paaluille tukeutuvan anturan kiertymä arvioidaan anturan vastakkaisilla reunoilla olevien paaluryhmien aksiaalijäykkyyksien (EA) p perusteella. Anturan geometria ja ominaisuudet: (EA) p = paaluryhmän aksiaalijäykkyys paalun pään siirtymä min (EA) p pmin a p pmax paalun pään siirtymä max (EA) p a p = paaluryhmien keskiöväli pmin = pn - pm pmax = pn + pm pm = /a p Paalun kokoonpuristuva pituus = L p.ef (riippuu paalun tyypistä ja perustusolosuhteista) L ap a p(ea) p p.ef Kiertymä max min Lp.ef p.max p.min p max p min Paaluvoimien erotus riippuu vain momentista : pmax pmin pm, eli a p Lp.ef (EA) pap Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 6 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Joustoluku L p.ef ( EI ) k a p ( EA ) p Tässä tapauksessa joustoluku k voi olla selvästi suurempi kuin suositeltava minimiarvo,1. Esimerkki 1: Tehollisen pituuden laskeminen (EI) 1 (EI) L L 1 Sivusiirtyvä yläpää sivusiirtymätön Pilarin ylempi kerros 1 on sivusiirtyvä, mutta alempi kerros sivusiirtymätön ja pilarin kiinnitys perustukseen oletetaan jäykäksi. Arvioidaan ylemmän kerroksen pilarin tehollinen pituus 1. Alemman kerroksen tuottama jousto aiheuttaa sen, että > ja on suurempi kuin jäykästi alapäästään jäykästi kiinnitetyssä mastossa. Jäykkä liitos Kiertymän suuruus voidaan arvioida taivutusjäykkyyden (EI) ja pituuden L avulla: Kiertymä arvioidaan ohrin taipuma-analogian avulla. Kun pilarin alapäässä L on jäykkä kiinnitys:,5, = pilarin yläpäässä vaikuttava momentti ( EI ) (= mastona toimivan pilarin 1 alapään momentti) ( EI ) 1 ( EI ) Pilarin 1 alapään joustoluku on k1 L1 L (SFS-E 199-1- L ( EI ) 1 1/5.8.3.(4)), eli k1,5 1 L 1 ( EI ). Jos L ( EI ) 1 L, 1 k1,5 1 ja ( EI ) L kun (EI) 1 < (EI), k 1 <,5. Jos L 1 L, mutta (EI) 1 = (EI), k1,51 L 1, eli k 1 <,5, jos L < L 1. Pilarin 1 yläpään joustoluku k = (koska pilarin yläpää on nivelenä toimiva) ja kun k 1 on enintään,5, ylemmän kerroksen tehollinen pituus 1 on enintään k1,5 1 L1 max 1 1k 1 ;1 eli 1 L1 max 6 ; 1,5L1. k1 1 1,5 Yleensä (EI) 1 on selvästi pienempi kuin (EI) senkin vuoksi, että ylempi pilari halkeilee taipuman ansiosta, mutta alempi kerros on halkeilematon suuremman normaalivoiman vuoksi, eli =,5L 1 voidaan pitää useimmiten tehollisen pituuden yläraja-arviona. Eri ohjeissa on yleensä tätä pienempiä Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 7 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
tehollispituuksia, esim. BS 811 mukaan jäykistämättömiä elementtipilareita käsiteltäessä =,3L 1 (vastaa joustolukua k 1 =,43). Kun poikkileikkaussuureet ja pituudet poikkeavat toisistaan huomattavasti, L ( EI ) 1 k k1,5 1 L 1 ( ) ja 1 1 L1 max 11k 1 ;1. EI k 1 1 Esimerkki : Tehollisen pituuden laskeminen Esimerkin 1 mukainen pilari kuuluu usean samanlaisen pilarin ryhmään, jossa pilarit pienentävät toistensa sivusiirtyvyyttä = pilarin yläpää on joustavasti kiinnitetty siirtymää vastaan (k sp = toisten pilareiden jäykistysvaikutuksen jousivakio, kun pilarit on kytketty toisiinsa). (EI) 1 (EI) k sp Joustavasti tuettu yläpää L L 1 sivusiirtymätön Jäykkä liitos s Toisiinsa kytkettyjen toisten pilareiden s vaikutus pienentää kiertymän arvoon s, joka voidaan arvioida lausekkeena: ksp HL1L s, ksp,j 4( EI ) j missä k sp on tarkasteltavan pilarin yläpään jousivakio, jonka suuruus voidaan arvioida asettamalla pilarin yläpäähän vaakasuora ykkösvoima H = 1 laskemalla tämän voiman tuottama taipuma H : k sp = H/ H. ( EI ) Sen perusteella saadaan jousivakioksi 1( EI ) k sp ja k 3 sp,j ovat L 1 ( EI ) L1 L ( EI ) 1 3 4 kunkin ryhmään kuuluvan pilarin vastaavat arvot, j = 1... n p. Jos kaikki pilarit ovat pituudeltaan ja jäykkyysominaisuuksiltaan samankaltaisia, k n k ja joustoluku k 1 on: 1 L ( EI ) 1 k1 1 4n p L 1 ( ),1 EI Jos n p = ja L 1 = L sekä (EI) 1 = (EI), k 1 = 1/4 =,5 ja pilarin tehollinen pituus 1 pienenee edelliseen esimerkkiin verrattuna huomattavasti: k1,5 1 L1 max 11k 1 ;1 L1 max 3,5; 1 1,87L1 k1 1 1,5 Huomautus 1: Jos alemman kerroksen alapään kiinnitys ei ole jäykkä, se lisää joustoa jonkin verran. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 8 (c) atti V. LESKELÄ 8..1 j sp,j p sp
Huomautus : Jäykkyydet ja pituudet vaikuttavat asiaan tapauskohtaisesti ja 1 vaihtelee sen mukaisesti (ts. yllä olevaa tulosta ei voi pitää vakiosääntönä, vaan se osoittaa vain suuruusluokkaa). SFS-E 199-1-1 SISÄLTÄÄT PILARI ITOITUSEETELÄT SFS-E 199-1-1 sisältää kolme eri tapaa tai menetelmää pilarin mitoittamiseksi: Yleinen menetelmä - kohta 5.8.6 imellisjäykkyyteen perustuva menetelmä - kohta 5.8.7 imelliskaarevuuteen tai nimelliskäyristymään perustuva menetelmä - kohta 5.8.8.1 Yleinen menetelmä SFS-E 199-1-1 kohta 5.8.6 enetelmässä käytetään epälineaarista analyysiä, jonka avulla otetaan huomioon toisen asteen vaikutukset: Pilarin taipumasta aiheutuvat lisämomentit ovat verrannollisia pilarin normaalivoiman suuruuteen = toisen asteen vaikutukset lisäävät taivutusmomentteja ja pilari mitoitetaan ottaen huomioon normaalivoiman Ed lisäksi taivutusmomentit, joihin sisältyvät toisen asteen vaikutukset. Epälineaarisia vaikutuksia laskettaessa käytetään taivutusjäykkyyden arvona nimellistä jäykkyyttä, jossa otetaan huomioon halkeilun, materiaalien epälineaarisuuden ja virumisen vaikutukset rakenteen kokonaistoimintaan. Betonin ja terästen jännitys-muodonmuutoskäyrinä käytetään kokonaistarkasteluun soveltuvia ominaisuuksia luvun 3 mukaisesti, betonin ominaisuudet ovat kohdan 3.1.5 mukaiset. Jännitysfunktiossa (lauseke (3.14)) sijoitetaan kimmokertoimen E cm paikalle E cd = E cm / ce ja k-arvo lasketaan sijoittamalla lujuuden f cm paikalle mitoituslujuus f cd. Raudoituksen ominaisuudet ovat kohdan 3.. mukaiset. Toisen asteen teoriaa käyttäen etsitään kuormaa lisäten rajakuorma, joka aiheuttaa pilarin murtumisen. Epälineaarinen rajakuorma edustaa suoraan pilarin kestävyyttä eikä sitä tarvitse erikseen arvioida vertaamalla mitoitusvoimasuureita kestävyyteen. Ellei tarkempaa mallia ole käytössä, viruminen voidaan ottaa huomioon kertomalla kaikki muodonmuutosarvot betonin jännitys-muodonmuutosfunktiossa luvulla (1 + ef ). ef on tehollinen virumaluku tai virumasuhde: Eqp Ed Eqp ef (,t ) Ed = pitkäaikaiskuormien aiheuttama käyttörajatilan momentti, = ensimmäisen asteen teorian mukainen mitoitusmomentti murtorajatilassa. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 9 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Tehollinen virumaluku voidaan asettaa nollaksi, jos kaikki seuraavat ehdot toteutuvat: (, t ), 75 ja Ed / Ed h. Pilarin mitoitusvoimasuureet käytettäessä kohtien 5.8.7 ja 5.8.8 mukaisia yksinkertaistettuja menetelmiä = normaalivoima Ed ja momentti Ed Ed = toisen asteen vaikutukset huomioon ottava mitoitusmomentti, jonka suuruus voidaan arvioida: (a) imellisjäykkyyteen perustuvalla menetelmällä (kohta 5.8.7): enetelmä perustuu momentin suurennuskertoimen käyttöön (kohta 5.8.7.3). Ensimmäisen asteen momenttia Ed kasvatetaan mitoitusmomentiksi epälineaarisella, mitoituskuormasta Ed riippuvalla kertoimella. enetelmä on periaatteessa samanlainen kuin SFS-E 1994-1-1:ssä liittopilareiden käsittelyssä. enetelmä sopii periaatteessa sekä erillispilareihin että kehärakenteisiin, mutta käyttöön liittyy epäselvyyksiä, pääasiassa nimellisen jäykkyyden ja momentin suurennuskertoimen laskemisessa. (b) imelliskäyristymään tai -kaarevuuteen perustuvalla menetelmällä (kohta 5.8.8): Ed = Ed + ; = Ed e e = nimelliskäyristymän aiheuttama epäkeskisyys, joka tuottaa toisen asteen lisätaipumasta aiheutuvan momentin. enetelmä on perusteiltaan samanlainen kuin Betoninormeissa ja taustoja löytyy mm. standardista BS 811 enetelmä sopii ensisijaisesti erillispilareihin, mutta jos kaarevuudet arvioidaan erikseen jokaisessa kehän pilarissa, se sopii myös kehärakenteisiin...1 Ensimmäisen asteen määräävä momentti Ed valinta riippuu kehärakenteesta, johon pilari kuuluu. imelliskaarevuuteen perustuvaa menetelmää käytettäessä voidaan valita seuraavasti: uut kuin mastojäykistetyn kehän pilarit: Ed = e = pilarin päiden momenteista 1 ja laskettava tehollinen momentti ( 1 ): e,6,41,4 astopilarit: Ed = pilarin suurin momentti = maston juuressa vaikuttava momentti. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 1 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Jos käytetään nimellisjäykkyyteen perustuvaa menetelmää (momentin suurennuskertoimen käyttö, ks. seuraava kohta) momentin Ed tulee olla pilarin suurin momentti tapauksesta riippumatta, kun otetaan huomioon menetelmään liittyvät muut parametrit ( ja c )... imellisjäykkyyden käyttöön perustuva menetelmä Lisätaipumasta aiheutuva taivutusmomentin suurennus otetaan huomioon korottamalla ensimmäisen asteen tarkastelun mitoitusmomenttia Ed momentin suurennuskertoimen avulla (SFS-E 199-1-1, lauseke (5.8)): Ed Ed 1 ; ; B 1 c Ed ( EI ) B Jakaja c ottaa huomioon momenttipinnan muodon. Sen suhteen SFS-E 199-1-1 sisältää epäselvyyksiä ja epäjohdonmukaisuuksia ja taulukko on Eurokoodista poikkeava (ks. liite 1). Kun käytetään taulukon mukaisia c -arvoja, ensimmäisen asteen momentti Ed, jota korotetaan on pilarin suurin momentti. E 199-1-1 ei sisällä tietoja kertoimen c tarkoituksesta tai taustoista, jotka selitetään tämän kirjoituksen liitteessä 1. Taulukko : Kerroin c ja sen kanssa yhdessä käytettävä 1. asteen mitoitusmomentti Ed c omenttijakautuma Ed, johon c liittyy 1 (1) 1,5 1 1 1 () 1,5 1 1 Ed Ed = = suurin momentti 1 ja ovat samanmerkkiset ja 1 Ed = = itseisarvoltaan suurin momentti > 1, ja 1 ovat erimerkkiset (3) 9,6 Ed Ed = suurin momentti (4) 1 Ed Ed = suurin momentti Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 11 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Huomautus 1: Taulukon kuvissa esitetyt momenttipinnat ovat pilarin tehollisella pituudella vaikuttavia ja mastopilareissa maston juuri täytyy ajatella momentin maksimikohtaan (tapaukset (3) ja (4), ks. liite 1). Huomautus : Tapaukset (1) ja () voidaan myös yhdistää, jos momenttien merkit otetaan huomioon asiaan kuuluvasti. Tapauksesta (1) saadaan myös vakiomomenttiin 1 = = Ed liittyvä c = 1/1,5 = 8. Huomautus 3: Eurokoodi on tässä kohdassa epäselvästi kirjoitettu ja liitteessä 1 esitettävistä perusteista poikkeaviin lopputuloksiin johtava. Huomautus 4: Kertoimen c perusteet esitetään liitteessä 1. Kertoimet ja c liittyvät momenttipinnan muotoon, joista lasketaan ensimmäisen asteen taipuma muodossa Ed w c ( EI ) imellisjäykkyys (EI), jota käytetään kriittisen normaalivoiman B laskemisessa E imellisjäykkyys (EI) = K c E cd I c + K s E s I s ; E cm cd ; ce = 1, ce kk Kun,, K s = 1 ja 1 f Kc ; ck Ed k 1 ; k, 1 ef Accd f 17 Eqp Virumasuhde ef (t, ) on sama kuin yleisessä menetelmässä. Ed Huomautus 1: raudoitussuhde =, on useimmiten pilarin minimiraudoitusta vastaava (SFS-E 199-1-1, kohta 9.5.), eli K s ja K c voidaan aina laskea yllä olevista lausekkeista, koska käytännön tapauksissa aina >,. Jäyhyysmomentit I c ja I s : b d c d c d h I c on halkeilemattoman poikkileikkauksen jäyhyysmomentti ja I s on pelkän raudoituksen jäyhyysmomentti: suorakaidepoikkileikkaus b h, 3 bh c 1 D A s d d c 4 I ; s I Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 1 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
4 pyöreä poikkileikkaus, halkaisija D, I c D ; I s 64 A s = raudoituksen kokonaisala poikkileikkauksessa. D d Huomautus : Kerroin k c on pilarin normaalivoiman Ed funktio ja taivutusjäykkyys (EI) on pienin, kun Ed =. Taivutusjäykkyys kasvaa normaalivoiman kasvaessa 17 34 siihen saakka, että k =,, jolloin Ed.lim,Af c cd Af c cd. Raja-arvo Ed.lim vastaa tapauksesta riippuen normaalivoimaa (,7...,8) B. Huomautus 3: SFS-E 199-1-1 kohdan 5.8.7.(3) mukainen nimellisen taivutusjäykkyyden arvo cdi ( EI ),3E c c vastaa käytännön raudoitussuhteita käytettäessä 1,5ef samaa kuin nimellisjäykkyys normaalivoiman ollessa nolla (kerroin K c on normaalivoiman funktio ja saavuttaa suurimman arvonsa kun k =,, ks. esimerkki 3)...3 imelliskaarevuuden käyttöön perustuva menetelmä Toisen asteen vaikutus otetaan huomioon lisämomenttina, jonka oletetaan aiheutuvan lisätaipumaa vastaavasta epäkeskisyydestä e : Ed = Ed +, = Ed e, 1 e r c Jos pilarin päissä on erisuuret momentit 1 ja, Ed = e =,6 +,4 1. 1 ja aina Ed,4. 1 on nimellinen kaarevuus tai käyristymä pilarin eniten plastisoituvassa r kohdassa (mitoituksessa käytettävän momentin Ed vaikutuskohdassa). Jakaja c riippuu kaarevuuden tai käyristymän plastisesta jakaantumismuodosta ja on analoginen kertoimen c kanssa, ottaen kuitenkin huomioon, että c riippuu vain 1. asteen kaarevuuden jakaantumismuodosta (ks. liite 1). Kun momentti on vakio pilarin pituudella, c = c = 8. c = vastaa sini-muotoista käyristymäjakautumaa. Kun poikkileikkaus on muuttumaton koko pilarin pituudella, c = 1 edustaa tarpeellisella tarkkuudella kaikkia muuttuvia momenttijakautumia ( 1 ). 1, f KK r r d E sd s. Jos raudoitus on epäsymmetrinen tai jakaantunut pilarin ri Asi h jokaiselle sivulle, d is ; i i s, r i on kunkin tangon A si As keskiöetäisyys poikkileikkauksen painopisteakselilta. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 13 (c) atti V. LESKELÄ 8..1 8 c A s
Jos raudoitus sijaitsee aikaisemman kuvan mukaisesti, d on kuten kuvassa vaikka, ylä- ja alareunalla olisi erilainen raudoituksen määrä. Pystysivuilla olevien tankojen vaikutus d:n suuruuteen on useimmiten merkityksetön ja d voidaan asettaa tavanomaisesti kuten edellisessä kuvassa. 1 Ed Af ccd Af Kr 1;,6 A f ssd ccd. K r on normaalivoiman Ed funktio, mutta sen suuruutta rajoitetaan asettamalla ylärajaksi 1. Esimerkiksi, jos =,5, yläraja saavutetaan, kun Ed =,35A c f cd. fck K 1ef,35 1; 15. i Tärkeä huomautus: imelliskaarevuuteen perustuva menetelmä ja nimellisjäykkyyteen perustuva menetelmä eivät ole samanarvoisen tuloksen antavia muuten kuin erikoistapauksissa (= tietyillä Ed /(A c f cd ) arvoilla, jotka ovat tehollisesta pituudesta riippuvia). Betoninormien kanssa samanarvoisen lopputulos saadaan käyttämällä nimelliskaarevuuteen perustuvaa menetelmää, koska molempien taustat ovat samat. imelliskaarevuuteen perustuva menetelmä on samanlainen kuin vanha BS811 menetelmä (ks. liite ). Eurokoodissa analyysimenetelmän valinta on asetettu kansallisesti valittavaksi. Suomen kansallisessa liitteessä vastuu valinnasta on sälytetty suunnittelijalle, mutta suunnittelijan on silloin ymmärrettävä menetelmän eroavuuksien taustat. Esimerkissä 3 vertaillaan yksinkertaistettujen menetelmien eroja. Esimerkki 3: Toisen asteen vaikutukset suorakaidepilarissa 37,5 T5 48 53,5 58 L 1 = 5 m Ed 1 H Ed Tarkastellaan, kuinka paljon toisen asteen vaikutus lisää ensimmäisen asteen lineaariseen tarkasteluun perustuvaa mitoitusmomenttia Ed mastopilarissa, jonka pituus L 1 = 5 m ja b h = 48 58. Pilarissa on raudoitus 6T5 ( = 5, betonipeite c = 35 mm, d = 53,5 mm). Oletetaan, että =,L 1 ja kuorman perusepäkeskisyys e = h/3, kuitenkin aina mm. Jos h = 58 mm, perusepäkeskisyys e = mm. Sitä ei kuitenkaan tarvitse käyttää pilarin kokonaistarkastelussa, jossa ensimmäisen asteen momenttien oletetaan aiheutuvan kuorman Ed tuontikohdassa vaikuttavasta momentista 1, Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 14 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
pilarin vaakavoimasta ja vinoudesta. Poikkileikkausta ei koskaan saa mitoittaa pelkästään normaalivoiman suhteen, vaan muun taivutuksen puuttuessa Ed = Ed e. ormaalivoima Ed = 1 k ja pilarin yläpäähän vaikuttava vaakavoima H Ed = 3 k sekä 1 = km. Betoni C35/45, E cm = 3477 Pa, ef =. Rakenne vastaa Betoninormien rakenneluokkaa 1 (tehdasvalmistettu elementti): s,red = 1,1 ja c,red = 1,35 Ed Af ccd,163, =,1. omentti Ed aiheutuu vaakavoimasta H Ed, pilarin vinoudesta ja yläpään momentista 1. Vinous on i = h m Käytetään m = 1. = 1/ ja h 1. Kun L 1 = 5 m, h =,89. L1 Epätarkkuudesta (vinous i ) johtuva kuorman epäkeskisyys on e i = i / =,89,5/() = 4,6 mm ja ensimmäisen asteen momentti pilarin alapäässä on = 1 + Ed e i + H Ed L 1 = 194,6 km. Ensimmäisen asteen momentti pilarin yläpäässä on 1 = km. Ensimmäisen asteen mitoitusmomentti nimelliskaarevuuden menetelmässä on e =,6 +,4 1 = 14,7 km (SFS-E 199-1-1 kohta 5.8.8.()). Otetaan lisäksi huomioon, että toisen asteen vaikutukset mastoissa kohdistuvat suurimpaan momenttiin, eli = 194,6 km. Ensimmäisen asteen mitoitusmomentti nimellisjäykkyyden menetelmässä on Ed.ns = = 194,6 km. (Poikkeaa SFS-E 199-1-1 kohdan 5.8.7.3(1) viittauksesta kohtaan 5.8.8.()) imelliskaarevuusmenetelmää varten lasketaan lisäepäkeskisyys e 1 Ed, fsd Af e KrK ; ccd Af ssd Kr 1;,1; Ed,163 d E s,6 Accd f Af ccd fck K 1 ef,35 1;,L1 L 7,6 1 66 lim 15 i h/ 1 h Ed 1,1 Af ccd Kr 1 K r = 1; K 1,179,81 ; fsd,5 1 3,7 1 3 ; E 1,1 s 3 L1 L1 e 1,179,,7 1,,85 1d Ed.nc = e + e Ed ; Ed.nc = 58,7 km d = 134 mm Jos vaikutus kohdistuu pilarin suurimpaan momenttiin, mitoitusmomentti on Ed.nc = + e Ed = 38,6 km. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 15 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
imellisjäykkyysmenetelmää varten tarvitaan nimellisjäykkyys (EI) = K c E cd I c + K s E s I s. Raudoitus 6T5 ( = 5, betonipeite c = 35 mm), eli =,11 >,, kk jolloin K s = 1 ja 1 Kc. f 1, ck k 1 ef h 1 = 1,33 ja Ed k = Accd f 17,63, K c =,8. imellisjäykkyyden osat ovat 1,33,63 Ecm EcmI K c cecdic Ic = 6,19 m ja 1ef 1, 9,6(1 ef ) EsI s,5e s(d c ) As = 34,64 m ( EI ) KcE cdi c KsE si s = 6,19 + 34,64 = 4,83 m. Kriittinen normaalivoima ( EI ) = 333 k ja B 1 Kerroin c = 11,4 ja = /c =,865 1,5 1 1 = 1,371 = 66,8 km B 1 Ed Ed.ns Lopputuloksien vertailu B Ed 3,33 Pilari mitoitetaan Eurokoodi mukaan normaalivoimalle Ed = 1 k ja momentille Ed.nc tai Ed.ns, jotka esitetyllä tavalla tarkasteltuna ovat lähellä toisiaan. imelliskaarevuuden menetelmä: Ed.nc = 58,7 km (kuitenkin Ed.nc = 38,6 km, jos korotetaan suurinta momenttia). imellisjäykkyyteen perustuva menetelmä Ed.ns = 66,8 km. Yhteisvaikutusdiagrammien käyttöä varten suhteellinen momentti Ed on bh f cd tarpeellisella tarkkuudella sama, käytettiinpä kumpaa tahansa momenttia Ed.nc tai Ed.ns, =,75. Pilarissa =, ja (h-d)/h =,8. Diagrammeista 8.1/Design Aids for Eurocode (ks. seuraava kuva) voidaan todeta, että pilarin kestävyys on riittävä tarkastelluille voimasuureille: Ed,165 ja,14. Af ccd omenttia Ed.nc vastaava =,9 <,14. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 16 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
itoituskäyrän =, mukaan pilarin raudoitus riittää suhteellisille momenteille,14, kun,1. (Chart 8.1/Design Aids for Eurocode, Taylor & Francis 7) Huomautus 1: itoitusmomentin suuruus riippuu merkittävästi toisen asteen momentin arvioimisesta, joka on erilainen valitun tarkastelutavan mukaan. Asiaan vaikuttaa c :n suuruus ja sen kanssa yhdessä käytettävä Ed. Erot lopputuloksien välillä olisivat merkittävästi suuremmat, jos mitoitusmomentteja tulkitaan nimellisjäykkyyden menetelmässä suoraan Eurokoodin mukaisesti tai nimelliskaarevuuden menetelmässä käytettäisiin mitoitusmomenttina + e Ed : imellisjäykkyysmenetelmässä suurennettu momentti suoraan Eurokoodin 1 mukaisesti = Ed.ns = e 1 19,7 km 8,33 imellisjäykkyysmenetelmän suurennettu momentti esitetyn teorian mukaisesti = 1 Ed.ns = 1 66,8 km 11,4,33 imelliskaarevuusmenetelmässä suurennettu momentti ekvivalenttia momenttia kasvattamalla on Ed.nc = e + Ed e = 58,7 km, mutta jos e :n sijasta käytetään momenttia Ed.nc = + Ed e = 38,6 k. Tämä vastaa Betoninormien mukaista mitoitusmomenttia (ks. vertailu seuraavassa kohdassa). Huomautus : astopilareissa on menetelmästä riippumatta kyseenalaista tarkastella momentteja ekvivalentin arvon e perusteella, koska toisen asteen vaikutukset suurentavat nimenomaan momenttia. uissa kuin mastopilareissa Eurokoodin mukaista ekvivalenttia momenttia voidaan käyttää, kun lisäksi tarkistetaan, että Ed.nc. Toisen asteen vaikutukset ja mitoitusmomentti normaalivoiman muuttuessa Pilarin mitoitusmomentin Ed vaihtelua voidaan tarkastella muuttamalla normaalivoiman Ed < B suuruutta. Seuraavassa kuvassa esitetään esimerkin 3 pilariin liittyvä suhteellinen momentti = Ed /(bh f cd ) suhteellisen normaalivoiman x = Ed /(bhf cd ) funktiona eri tarkastelutapoja käytettäessä. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 17 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
imellisjäykkyysmenetelmä - EC.ns: Käytetään momentinsuurennuskertoimeen sisältyvässä -kertoimessa c -arvoja, 1 jotka esitetään liitteessä 1: c ja Ed = = pilarin suurin momentti.,5 1 1 imelliskaarevuusmenetelmä - EC.nc: Toisen asteen momentti, joka on määräävä, lasketaan pilarin suurimman ensimmäisen asteen momentin perusteella, eli Ed = ja Ed = + e Ed. Toisen asteen taipumien menetelmä - EC.sot: itoitusmomentti lasketaan kokonaistaipuman w max = w + w perusteella, Ed = Ed + Ed w max. Taipuma w lasketaan nimellisjäykkyyden perusteella ja ( EI ) lisätaipuma w jäykkyyden (EI) perusteella, ( EI ) c (ks. liite 1). 1 Ed imellisjäykkyysmenetelmä ja nimelliskaarevuusmenetelmä - EC.ns ja EC.nc: Suurennettava momentti Ed = e =,6 1 +,4 ja c = 8. B Betoninormien nimelliskaarevuuteen perustuva menetelmä - B Ed = ja h e.b h. Lisäepäkeskisyys e.b on vastaavan 145 5 suuruinen kuin e Eurokoodin nimelliskaarevuusmenetelmässä. Kuva E.3 osoittaa, että: Suhteelliset momentit EC.ns, EC.sot ja EC.nc ovat toisiaan vastaavia, kun Ed / B =,1...,5. Suhteelliset momentit EC.nc ja B vastaavat toisiaan kaikilla normaalivoiman arvoilla. Suhteellinen momentti EC.ns on selvästi kaikkia muita tapauksia pienempi. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 18 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
. EC.sot x b 1 H Ed EC.nc x b 1 H Ed EC.ns x b 1 H Ed EC.ns x b 1 H Ed EC.nc x b 1 H Ed B x b 1 H Ed.15.1.5 Kuva E3:.1..3.4.5.6 itoitusnormaalivoimaa Ed = x B vastaava mitoitusmomentti, kun toisen asteen vaikutuksia tarkastellaan eri tavoin. 1 = km ja H Ed = 3 k. EC.nc = nimelliskaarevuusmenetelmä, EC.ns = nimellisjäykkyysmenetelmä, EC.sot = toisen asteen taipumien menetelmä, EC.ns = nimellisjäykkyysmenetelmä, jossa momentin suurennus kohdistuu suurimpaan momenttiin, EC.nc = nimelliskaarevuusmenetelmä, jossa momentin suurennus kohdistuu momenttiin, B = Betoninormien nimelliskaarevuusmenetelmä. x Johtopäätös: astopilareissa suurennettavana momenttina tulee käyttää maston juuressa vaikuttavaa suurinta momenttia, jota toisen asteen vaikutukset kasvattavat. Liitteen 1 mukaisesti ekvivalentti momentti tai kasvatettava momentti Ed on riippuvainen siitä kuinka kerroin c asetetaan (ks. lausekkeet (L1) liitteessä 1). Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 19 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Vino taivutus (kohta 5.8.9) Vino taivutus tarkoittaa taivutusta kahdessa pääsuunnassa y ja z. Taivutus voi syntyä epäkeskisestä kuormituksesta, mutta epätarkkuuksien aiheuttamaa taivutusta tarvitsee tarkastella vain toisessa pääsuunnassa = suunnassa, jossa kuormituksen epäkeskisyys tai taivutusmomentti on suurempi (kohta 5.8.9()). Pyöreissä pilareissa ei tarkastella vinoa taivutusta, vaan eri suunnissa vaikuttavat taivutusrasitukset yhdistetään resultoivaksi taivutukseksi. Suorakaidepilareissa riittää usein perustarkastelu toisiaan vastaan kohtisuorissa suunnissa. itoitusrasitukset määritellään erikseen y- ja z-suunnissa. itoitusehtojen tulee myös toteutua molemmissa suunnissa. ormaalivoiman suhteellinen epäkeskisyys pääakselien suunnissa on e y /h ja e z /b ja pilarin hoikkuus eri suunnissa on y ja z. e Jos y / z ja z / y ja y / h, e z / b tai e z / b,, ei muita tarkistuksia e y / h tarvita. uussa tapauksessa on osoitettava, että ehto a a Edz Edy 1 Rdz Rdy toteutuu. omenteissa Edz ja Edy täytyy olla mukana toisen asteen vaikutukset (lisäepäkeskisyyden e aiheuttama momentti). Potenssi a riippuu normaalivoiman Ed suuruudesta: Ed /(A c f cd + A s f sd ),1,7 1, a 1 1,5 Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan (c) atti V. LESKELÄ 8..1
LIITE 1: Kerroin c ja = /c Eurokoodi nimellisjäykkyyden menetelmässä Toisen asteen vaikutuksia tarkasteltaessa käytetään normaalivoimasta riippuvaa taivutusjäykkyyden arvoa (EI), joka on pienempi kuin ehyen poikkileikkauksen alkujäykkyys ja lasketaan ottaen huomioon halkeilu, materiaalien epälineaariset ominaisuudet ja viruma. Jotta menetelmää voidaan käyttää koko kehärakenteeseen, tarvitsee suorittaa ensimmäisen asteen tarkastelu käyttäen pilareiden nimellistä jäykkyyttä (EI) ja sen jälkeen saadut ensimmäisen asteen momentit Ed korotetaan ottamaan huomioon toisen asteen vaikutus: ( Ed Ed ; 1 ; ; B B c 1 Ed EI ) B on kriittinen normaalivoiman arvo, jota vastaava taipuma ja taivutusmomentti pilarin määräävässä kohdassa kasvavat äärettömiksi. on tehollinen pituus, jota käytettäessä oletetaan, että pilarin kokonaistaipumaa w(x) tai ensimmäisen asteen taipumaa w 1 (x) (= pilarin 1. asteen taivutusmomenteista aiheutuva taipuma) voidaan kuvata sini-funktiolla pituudella x =... : w(x) wmax sin x ja w(x) 1 wsin x. (L) c ottaa huomioon ensimmäisen asteen momenttien jakaantumisen pilarin tehollisella pituudella, mutta sen merkitystä ei esitetä missään Eurokoodissa tai niiden taustaasiakirjoissa. Tarkastellaan sitä varten seuraavan kuvan mukaisia tapauksia (a)... (d). (L1) (a) (b) (c) (d) 1 Kuva L1.1 (a) vakio momenttijakautuma (b) parabolinen momenttijakautuma w (c) lineaarisesti muuttuva symmetrinen momenttijakautuma, ns. kolmiomomenttijakautuma - 1 (d) lineaarisesti muuttuva symmetrinen momenttijakautuma, ns. puolisuunnikasjakautuma Jokaisessa tapauksessa suurin momentti on tai ja pienin momentti 1. Vakiotapauksessa (a) = 1 = ja tapauksissa (b) ja (c) 1 =. Kun taipuma w esitetään aina muodossa w c ( EI ), kertoimelle c täytyy etsiä momenttipinnan muodosta riippuva arvo, jonka suuruus vaihtelee seuraavasti: Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 1 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
(a)-tapaus: taipuma w (b)-tapaus: taipuma 9,6 (c)-tapaus: taipuma 8( EI ) c ( EI ) w, c = 8 4 5 p 5 8 8 koska p ja c = 384/4 = 384 ( EI ) 384 ( EI ) 3 1 P 4 w 48 ( EI ) 48 ( EI ) koska 4 P ja c = 48/4 = 1 1 E 1 8( EI ) 1( EI ) c ( EI ) w,331,67 (d)-tapaus: w muokata muotoon 8( EI ), jota voidaan esimerkiksi. Siten c = 8 ja sitä vastaava E on tässä esitysmuodossa E,33 1,67 (tämä ei ole sama kuin e E 199-1-1 kohdassa 5.8.8.()). Jos kuitenkin valitaan jokin muu edustava momentti, c muuttuu vastaavasti. Jos 1 taipuma esitetään momentista riippuvana, c, koska,5 1 1 1 1( ) 1 EI w,5. Tästä muodosta saadaan myös (a)- ja (c)-tapauksien kertoimet, kun (a)-tapauksessa 1 = (c = 1/1,5 = 8) ja (c)-tapauksessa 1 = (c = 1). Kertoimen c suuruus Eurokoodi :ssa SFS-E 199-1-1 ei esitä selkeää ja johdonmukaista yhteyttä c ja ensimmäisen asteen momentin Ed välille muuten kuin edellä käsitellyissä tapauksissa (a)... (c) (kohta 5.8.7.3(), jossa muut tapaukset kuitataan viittauksella "jne."). Kun pilarin momentit 1 ja ovat erisuuret, lasketaan nimelliskaarevuuden menetelmässä ekvivalentti momentti e =,6 +,4 1,4. Kohdan 5.8.7.3(1) mukaan ekvivalenttia vakiomomenttia e voidaan käyttää myös lausekkeessa (5.8), joka vastaa lausekkeita (L1). Tähän liittyvä c = 8, mutta lopputulos poikkeaa kuormitustasosta riippuen enemmän tai vähemmän siitä, mitä seuraavan kohdan mukaisesta tarkastelusta saadaan. Kertoimen suuruus Yhtälöissä (L1) ja c (a)-tapauksessa = 1,34 Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan (c) atti V. LESKELÄ 8..1
(b)-tapauksessa = 1,3 1 (c)-tapauksessa =,8 (d)-tapauksessa = 1,34, jos ekvivalentti momentti E,331,67 (d)-tapauksessa 1,5 1 1, jos ekvivalentti momentti E = = Ed. Jos momentin suurennuskerroin esitetään yhtälön (L1) mukaisessa muodossa, on käytettävä jälkimmäistä (d)-tapauksen esitystapaa, johon silloin sisältyvät myös tapaukset (a) ( 1 = = Ed ) ja (c) ( 1 =, = Ed ). Esimerkiksi, jos 1 / =,, =,95. Toisen asteen vaikutukset huomioon ottava mitoitusmomentti Ed taipumien perusteella Yhtälöiden (L1) perusteet voidaan tutkia tarkemmin taipumia tarkastelemalla, jotta nähdään, mitä tehollinen pituus tarkoittaa. Ensimmäisen asteen taipuman w 1 (x) suurin arvo w lasketaan pienten taipumien teorian mukaan (esim. ohrin taipumaanalogia) ja w(x) on pilarin kokonaistaipuma, kun toisen asteen vaikutus on lisätty. Suurin kokonaistaipuma on w max w max = w + w Kun taipumaviivaa w(x) kuvataan sini-funktiolla, ohrin taipuma-analogian perusteella toisen asteen taipumalisäys suurimman taipuman kohdalla on: Ed max Ed (EI) B w w w max Kokonaistaipuma on silloin w Ed max w 1 wmax, josta wmax w B 1 ja (L3) w max B (L4) w Taipuman maksimikohdassa taivutusmomentti on toisen asteen teorian mukaisesti Ed = Ed + Ed w max eli Ed Ed w B Ed B Ed w B B Ed Ed Ed w Ed 1 (L6) B 1 B 1 Ed Ed missä taipuma w / Ed on aikaisemman tarkastelun mukaisesti aina muotoa w Ed c ( EI ) ja ( EI ) w B, eli B. Kun tämä sijoitetaan yhtälöön Ed c (L6), päästään yhtälön (L1) mukaiseen esitykseen, joka on Eurokoodin esitystapa. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 3 (c) atti V. LESKELÄ 8..1 Ed B (L5)
Tässä Ed ja samalla c täytyy olla toisiaan vastaavia (c suuruus on verrannollinen momenttiin Ed ja momenttipinnan muotoon). Yhtälö (L6) ja sen johtaminen perustuu kirjoitukseen: Knauff,. and Klempka, K., Effective Lengths of Reinforced Concrete Columns in Single-Storey Frame Structures in the Light of the Eurocode. Technical Sciences, o 1, 9 Yhtälö (L6) edellyttää, että kaikki taipumat voidaan laskea riittävän tarkasti. Taipumien avulla esitettynä mitoitusmomentti on Ed.II = Ed + Ed w max. Tällöin ei periaatteessa tarvita pilarin tehollista pituutta, joka voi aiheuttaa sekaannuksia, mutta pilarin kiinnityksien suuruudet on arvioitava realistisesti ja ne vaikuttavat taipuman suuruuteen. Taipumien laskemisessa käytettävä nimellinen jäykkyys (EI) E 199-1-1 kohdan 5.8.7. mukainen nimellinen taivutusjäykkyys (EI) edustaa pilarin halkeilua, pitkäaikaisvaikutuksia ja plastisoitumista. E 199-1-1 kohdan 5.8.8 nimelliskaarevuus perustuu muodonmuutosjakautumaan, jossa vedetty raudoitus myötää juuri ja puristetulla reunalla muodonmuutos on pienempi kuin,35 %. Tästä muodonmuutosjakautumasta voidaan laskea poikkileikkauksen kestämä normaalivoima ja taivutusmomentti sekä muodonmuutosyhdistelmään liittyvä taivutusjäykkyys. Sen suuruusluokka osoittautuu samaksi kuin nimellinen jäykkyys (EI). Toisen asteen taipuman laskemisessa käytettävä taivutusjäykkyys on (EI) ja sen suuruutta voidaan arvioida suhteessa jäykkyyteen (EI) käyttämällä erilaisia normaalivoimasta riippuvia pienennysfunktioita: (EI) < (EI). Yksi varmalla puolella oleva tapa on asettaa taivutusjäykkyyden pienennys riippuvaksi suhteesta Ed / B : ( EI ) c,3e ( EI ), cdi ( EI ) c c E 199-1-1 kohdan 5.8.7.(3) mukaisesti. 1 Ed 1,5ef B Jos Ed / B,7, (EI) /(EI) c,54. astopilarin taipumat Tarkastellaan taipumien laskemista mastopilarissa, jonka systeemipituus on L 1 ja ensimmäisen asteen momenttipinta 1 (x) lineaarisesti muuttuva ( 1 = momentti pilarin yläpäässä ja = momentti pilarin alapäässä). Oletetaan, että ensimmäisen asteen taipuma voidaan laskea käyttäen tehollista taivutusjäykkyyttä (EI), joka on sama kuin pilarin nimellisjäykkyys E 199-1-1 kohdan 5.8.7. mukaisesti. Lisätaipuma lasketaan käyttäen edellisen kohdan mukaista pienempää jäykkyyttä (EI). Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 4 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Ed Taipuma 1. asteen momenteista = w 1 (x), 1 (x) = ensimmäisen asteen momentit, L 1 1 (x) x w (x) 1 L 1 = pilarin pituus. Pilarin tehollinen pituus = K cr L 1 lasketaan E 199-1-1 kohdan 5.8.3.(3) mukaisesti w 1 ( L 1 )= w Lineaarisesti muuttuva momenttipinta - origo maston juuressa. = momentti maston juuressa = 1 () ja 1 = momentti maston yläpäässä = 1 (L 1 ) Ensimmäisen asteen taipuma (missä jälkimmäinen termi ottaa huomioon kiinnityksen joustosta aiheutuvan lisätaipuman, K cr > ): 1 L 1 L 1(L1 x) w(x) 1 L1 xa 1() y(xy)dx (Kcr 4), ( EI ) x c ( EI ) x missä ( 1 x) ( 1), A 1(x) 1(y)dy ja L1 x 1 c.,5 1 1 Toisen asteen lisätaipuma on w(x) taivutusmomentista (x) = w 1 (x) Ed L 1 1 aiheutuva taipuma ja sen suurin arvo on w AL1 x (x)dx, ( EI ) kun A L 1 (x)dx. L 1 LIITE : BS811 hoikat pilarit - Eurokoodi taustat Hoikaksi pilariksi määritellään sellainen, jossa /d > 15. Lisäepäkeskisyys e add on toisen asteen vaikutuksen osoittaja ja aiheutuu pilarin taipumasta. Kokonaismomentti, jonka suhteen pilari on mitoitettava, on Ed = Ed1 + Ed e add. Hoikkuus ja toisen asteen vaikutus pienentää pilarin puristuskestävyyttä. Hoikkuudet rajoittuvat yleensä sellaisiksi, että epästabiilisuusmurtoja ei tapahdu ja murtuminen tapahtuu poikkileikkauksen kapasiteetin ylittyessä Ed, Ed yhdistelmän vaikuttaessa, jos rakenne on mitoitettu täyden käyttöasteen mukaisesti. Kaarevuus kestävyyden ylittyessä on 1/r m ja se voidaan arvioida lausekkeella 1 1 1,35 r 175h h m (L.1) Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 5 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Paikallinen kaarevuus ei riipu momenttien jakaantumamuodosta, mutta momenttipinnan muodon vaikutus voidaan ottaa huomioon lisäepäkeskisyydessä siten, että 1 h eadd 1,35 c rm 175c h h (L.) missä c on jakaantumamuodosta riippuva vakio (vrt. kuva L1.1): c = 1 kun momenttipinta on kolmion muotoinen c = 8 kun momenttipinta on vakio c = 9,6 kun momenttipinta on paraboolinen c = = 9,87 kun momenttipinta on sinimuotoinen Koska c:n suuruus ei vaihtele kovin paljoa, sille voidaan käyttää tarkemman tiedon puuttuessa vakioarvoa c = 1. BS811:ssä lisäepäkeskisyys esitetään muodossa (olettaen c:lle vakioarvo 1) e add 1 Dmin h h (L.3) D min on poikkileikkauksen pienempi sivumitta. a LIITE 3: Kimmoteorian mukaisen kriittisen kuorman B arvioiminen ja siihen liittyvä nurjahduspituus L cr 1. Differentiaaliyhtälön käyttö Käyristymän lauseke perustuu differentiaaliyhtälöön w ( EI ) (x), (EI) = taivutusjäykkyys taivutustasossa (xy) x Vastaavasti voidaan käyttää neljännen asteen yhtälöä: 4 w w ( EI ) 4 x x Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on w AsinxBcosx Cx D; ( EI ) Vakiot A, B, C ja D sekä kriittinen kuorma B voidaan ratkaista sauvan reunaehtojen avulla. Differentiaaliyhtälön käyttö ei ole helppoa, kun on kysymys kaksi- tai kolmiulotteisen kehän tarkastelusta: reunaehtojen ja yhteensopivuusyhtälöiden määrä kasvaa huomattavaksi. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 6 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Esimerkki L3.1: kaksikerrospilari, jossa on vakio taivutusjäykkyys (a) L L L 1 Pilarit ovat muuten samanlaiset, mutta vasemmassa päässä on joko nivel (a) tai jäykkä kiinnitys (b) (b) Osissa L 1 ja L on sama taivutusjäykkyys (EI) Ratkaisua on tarkasteltu esim. euringer & Elishakoff'n kirjoituksessa (Int. J. Engng Ed. Vol 14 o 3, 4-16, 1998) B voidaan esittää joko koko pituuden L tai pituuden L 1 funktiona: ( EI ) B cr cr Lcr, L L tai K L cr 1 L erkitään = L ja 1 u L L 1L / L 1 1 (L3.1). urjahduskuorman ratkaisu voidaan etsiä funktion f(,u) = nollakohtana :n suhteen, jolloin pienin positiivinen juuri cr on määräävä. (a)-tapaus: f a (,u ) (sinu u cosu )sin (u 1) u sinu cos (u 1) (b)-tapaus: f b (,u) ( cosu)sin (u1) sin ucos cr Ratkaistu cr = cr L vastaa B, josta L ( EI ) muokata perinteiseen muotoon (L3.1). cr B ( EI ). Tätä voidaan vielä L Seuraavassa taulukossa on eräitä tyypillisiä arvoja, kun käytetään ratkaisun muotoa (L3.1). Useimmiten on tarkoituksenmukaisinta määritellä L cr (tai Eurokoodin mukaisesti merkittynä ) L cr = = K cr L 1. Taulukko L3.1: urjahduskuormaan liittyviä nurjahduspituuden kertoimia (a) = alapäässä nivel, (b) alapää jäykästi kiinnitetty u cr(a) K cr(a) cr(b) K cr(b),3 1,6,89 1,551,15,35 1,537,365 1,476,71,4 1,473,454 1,4,337,45 1,49,563 1,38,415,5 1,348,695 1,55,51 u,5 tarkoittaa, että L 1 L. Kun L 1 on selvästi suurempi kuin L, ero tapauksien (a) ja (b) välillä ei ole suuri. urjahdus tapahtuu taipuman kasvaessa ulokkeen päässä rajatta. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 7 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Kun u >,5, nurjahdusmuoto muuttuu ja nurjahdus tapahtuu pituudella L. Rajalla u = 1 (eli L 1 = ) saadaan tunnetut nurjahduksen perustapaukset (a) = molemmista päistä nivelöity sauva ( cr = 1) ja (b) toisesta päästä nivelöity - toisesta jäykästi kiinnitetty sauva ( cr =,7). Taivutusjäykkyys on ratkaisussa oletettu vakioksi koko pilarin pituudella L. Jos pituuksilla on erilaiset taivutusjäykkyydet, kertoimien arvot muuttuvat, koska f(,u)- funktiot muuttuvat. Silloin ratkaisua ei voida etsiä esitetyistä funktioista, ks. seuraava kohta. Osissa L 1 ja L on toisistaan poikkeava taivutusjäykkyys (EI) Jos pituuksilla L 1 ja L on erilaiset jäykkyydet (EI) 1 ja (EI), taulukon L3.1 arvot eivät ole voimassa, mutta nurjahduspituuden likiratkaisu voidaan esittää muodossa, joka koskee vain nurjahdusta joka tapahtuu pituudella L 1 (perusteet: STEP Lecture B7, pituuskertoimen K cr johtaminen, ks. seuraava sivu). K 4 cr L ( EI ) 1, (L3.) L ( EI ) 1 = (a) tai (b) sen mukaan, tarkastellaanko esimerkkikuvassa vasemmassa päässä tuentaa nivelenä (tapaus (a)) vai kiinnitettynä (tapaus (b)). (a) = 3 ja (b) = 4 Jotta voidaan hahmottaa, onko kyseessä samansuuntainen lopputulos, verrataan edellisen taulukon arvoihin, kun (EI) 1 = (EI) ja L 1 = L (eli vastaa tapausta u =,5): Kcr(a) 4 3,7 ja arvoja. Kcr( b) 4,5 arvot vastaavat taulukon L3.1 4 Huomautus: Koska K cr on myös taivutusjäykkyyksistä riippuva, ei yllä olevia erityistapauksen arvoja saa yleistää. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 8 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Tehollisen pituuden kerroin K cr kun maston juuri on joustavasti tuettu Lähde: STEP Lecture B7/H.J. Bass: Buckling lengths. Delft University of Technology L 1 B (EI) 1 kiertymäjousi, jousivakio = sc r B Rakennemallina on masto, jonka juuri ei ole täysin jäykkä, vaan sitä jäykistää kiertymäjousi, jonka jousivakio = sc r. omentin aiheuttama kiertymä on. sc r Taipumaviivan differentiaaliyhtälön ratkaisua täytyy etsiä likimääräislausekkeesta, koska tarkkaa ratkaisua ei voida esittää suljetussa muodossa. Likimääräisratkaisusta päädytään seuraavaan nurjahduskuorman lausekkeeseen 1 B 4 L 1 L 1 ( EI ) 1 scr (L3.3) Kun otetaan huomioon jousivakion sc r muodostuminen alemman kerroksen pilarin taivutusjäykkyyden ja sen kerroksen yläpään kiertymäjäykkyyden perusteella, päädytään lausekkeesta (L3.3) aikaisempaan lausekkeeseen (L3.), kun käytetään kriittisen kuorman yleistä esitysmuotoa (L3.1). ( EI ) Jos jousivakio s cr esitetään verrannollisena sauvan ominaisuuksiin, sc 1 r r L1 sen perusteella tehollisen pituuden kerroin on: Kcr 4. (L3.4) r Tehollisen pituuden kerroin voidaan tarkemmin ratkaista karakteristisesta yhtälöstä: tan x r (L3.5) x jonka pienimmän nollasta poikkeavan juuren x 1 perusteella Kcr. x r 1 3 4 5 6 7 8 9 1 K cr 3,65,917,635,484,391,38,8,48,,199,1 Kun r > 5, ero likiarvon (L3.4) ja taulukon arvojen välillä on häviävän pieni. Esimerkin L3.1 tapaus L 1 = L ja (EI) 1 = (EI) vastaa suhteellista kiertymäjousivakiota r = 4. Lausekkeesta (L3.4) K cr =,543 ja ratkaistuna yhtälöstä (L3.5) K cr =,484. 1 ja Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 9 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
Esimerkki L3.: Yläpäästään joustavasti kiinnitetyn maston tehollinen pituus L (EI) k sp Lähde: Gambhir,.L., Stability Analysis and Design of Structures. Springer 4 Esitetään siirtymäjousivakion k sp suuruus verrannollisena parametriin (EI)/L 3 ( EI ) : ksp e 3. Kertoimen e funktiona L tehollisen pituuden kerroin voidaan ratkaista tapauksen karakteristisen yhtälön pienimmän nollasta eroavan juuren x 1 avulla: 3 x x tanx K e, cr kasvaa hyvin suureksi,. Kun e, K cr = ja kun e x1 1 Kcr, 77 : e,1 1 3 4 5 7 1 1 K cr 1,968 1,736 1,557 1,46 1,34 1,43 1,1,996,86,78 ( EI ) Taulukon mukaan jousivakio k sp,1 L 3 on jo niin pieni, että maston tehollinen pituus on lähes L, eli jousivakiolla ei ole silloin merkittävää vaikutusta. Pilareiden mitoitusvoimasuureet SFS-E 199-1-1 mukaan 3 (c) atti V. LESKELÄ 8..1
ITOITUSVOIASUUREET ERI TAVOI ARVIOITUA - ATHCAD TARKASTELUJA 37,5 T5 48 T 53,5 58 L 1 = 5 m Ed 1 H Ed Liitekuvissa on tarkasteltu mastopilarin mitoitusvoimasuureita Ed, Ed suhteellisina arvoina Ed Ed ; Ed Af Ahf bh f ccd c cd cd =,L 1, betoni C4/5 sot EC.nc = toisen asteen teoria, lisämomentti aiheutuu taipumasta, = E 199-1-1 nimelliskaarevuuteen perustuva menetelmä, jossa toisen asteen vaikutuksia tarkastellaan kasvattamalla pilarin momenttipinnasta riippuvaa ekvivalenttia momenttia, EC.ns = E 199-1-1 nimellisjäykkyyteen perustuva menetelmä, jossa toisen asteen vaikutuksia tarkastellaan kasvattamalla pilarin momenttipinnasta riippuvaa ekvivalenttia momenttia, EC.ns = E 199-1-1 nimellisjäykkyyteen perustuva menetelmä johdettuna taipumien tarkastelun avulla, EC.nc = E 199-1-1 nimelliskaarevuuteen perustuva menetelmä, jossa tarkastelu perustuu pilarin suurimpaan ensimmäisen asteen momenttiin, jota kasvatetaan toisen asteen lisäepäkeskisyyden avulla, B = Suomen betoninormeihin perustuva menetelmä, jossa mitoitusmomentti lasketaan lisäämällä 1 asteen momentteja perus- ja lisäepäkeskisyyden aiheuttamalla momentilla. Käytetyt perusteet, ks. kirjoitus "Pilarien mitoitus Eurokoodi mukaisesti". athcad-käyrät 1) Pilarin rasituksina on muuttuva normaalivoima ja pilarin yläpään taivutusmomentti 1 = km sekä pilarin yläpäähän vaikuttava vaakavoima H Ed1, joka on perusvaakavoiman H Ed = 3 k kerrannainen k H H Ed k, k H =, 1/, /3, 1, 3/ ja. Pilarin vinous ja epäkeskisyydet ovat E 199-1-1 tai Betoninormien mukaiset. ormaalivoima esitetään verrannollisena nimellisen jäykkyyden perusteella laskettuun kriittiseen kuormaan B : ( EI ) E 4,47, ( EI ) K cm c(acf cd) I 1, c E si s. B K c (A c f cd ) on pilarin normaalivoiman arvosta riippuvan kertoimen K c suurin arvo. (c) atti V. LESKELÄ 8..1 1