infoa tavoitteet E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2

Samankaltaiset tiedostot
Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

kertausta edellisestä seuraa, että todennäköisimmin systeemi löydetään sellaisesta mikrotilasta, jollaisia on

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma

6. Yhteenvetoa kurssista

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 8 /

Luento Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

3. Statistista mekaniikkaa

Biofysiikka Luento Entropia, lämpötila ja vapaa energia. Shannonin entropia. Boltzmannin entropia. Lämpötila. Vapaa energia.

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017

Ekvipartitioteoreema. Entropia MB-jakaumassa. Entropia tilastollisessa mekaniikassa

Ekvipartitioteoreema

3. Statistista mekaniikkaa

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit

Entrooppiset voimat. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Suurkanoninen joukko

Fysiikan maailmankuva 2015 Luento 8. Aika ja ajan nuoli lisää pohdiskelua Termodynamiikka Miten aika ja termodynamiikka liittyvät toisiinsa?

3. Statistista mekaniikkaa

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017

Lämmityksen lämpökerroin: Jäähdytin ja lämmitin ovat itse asiassa sama laite, mutta niiden hyötytuote on eri, jäähdytyksessä QL ja lämmityksessä QH

6. Entropia, lämpötila ja vapaa energia

Muita lämpökoneita. matalammasta lämpötilasta korkeampaan. Jäähdytyksen tehokerroin: Lämmityksen lämpökerroin:

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH ) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)

1. Johdanto. FYSA241, kevät Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

7 Termodynaamiset potentiaalit

BM30A0240, Fysiikka L osa 4

8. Klassinen ideaalikaasu

Tämän päivän ohjelma: ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 7 /

Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli

Kemiallinen reaktio

kertausta kertausta tavoitteet gallup

Suurkanoninen joukko

Luento 11: Periodinen liike

Luento 13: Periodinen liike

Korkeammat derivaatat

Luento 11: Periodinen liike

Wien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33:

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017

Luku 23. Esitiedot Työ, konservatiivinen voima ja mekaaninen potentiaalienergia Sähkökenttä

Mustan kappaleen säteily

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

Chapter 3. The Molecular Dance. Luento Terminen liike Kineettinen kaasuteoria Boltzmann-jakauma Satunnaiskävely

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

vetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen

Korkeammat derivaatat

Oikeat vastaukset: Tehtävän tarkkuus on kolme numeroa. Sulamiseen tarvittavat lämmöt sekä teräksen suurin mahdollinen luovutettu lämpö:

Ekvipartitioperiaatteen mukaisesti jokaiseen efektiiviseen vapausasteeseen liittyy (1 / 2)kT energiaa molekyyliä kohden.

IX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA...208

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r

811120P Diskreetit rakenteet

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu

Lämpöopin pääsäännöt. 0. pääsääntö. I pääsääntö. II pääsääntö

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

Ideaalikaasulaki johdettuna mikroskooppisen tarkastelun perusteella! Lämpötila vaikuttaa / johtuu molekyylien kineettisestä energiasta

. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä

Energian varastointi ja uudet energialähteet

Korkeammat derivaatat

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta ja gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko

Miksi tarvitaan tilastollista fysiikkaa?

YLIOPISTO-OPISKELIJOIDEN KÄSITYKSET ENTROPIASTA JA TERMODYNAMIIKAN TOISESTA PÄÄSÄÄNNÖSTÄ

Luku 20. Kertausta: Termodynamiikan 2. pääsääntö Lämpövoimakoneen hyötysuhde

S , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta

Spontaanissa prosessissa Energian jakautuminen eri vapausasteiden kesken lisääntyy Energia ja materia tulevat epäjärjestyneemmäksi

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

Transkriptio:

infoa tavoitteet Huomenna keskiviikkona 29.11. ei ole luentoa. Oppikirjan lukujen 12-13.3. lisäksi kotisivulla laajennettu luentomateriaali itse opiskeltavaksi Laskarit pidetään normaalisti. Ymmärrät mitä ovat mikrotilat ja makrotilat Tiedät mitä on entropia ja kuinka se liittyy lämpötilaan Tiedät mitä on Boltzmann-jakauma ja osaat soveltaa sitä harmoninen värähtelijä 1 harmoninen värähtelijä 2 E = p2 2m + 1 2 kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2 Kvanttimekaaniikan mukaan harmonisen värähtelijän energia voi saada vain diskreettejä arvoja Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 Kvanttimekaniikan mukaan E = hω ( n + 1, 2) E = hω(n + 1 2 ), missä h = h/(2π) ja n = 0, 1, 2,... 3 4

harmoninen värähtelijä Harmonisen värähtelijän energia, joka pääsee värähtelemään kolmessa ulottuvuudessa: E = 1 2 mv2 + 1 2 kr2 = 1 (v 2 m 2 x + v 2 y + v 2 z ( 1 = 2 mv2 x + 1 ) 2 kx2 + = E x + E y + E z ) + 1 2 k (x 2 + y 2 + z 2) ( 1 2 mv2 y + 1 ) ( 1 2 ky2 + 2 mv2 z + 1 ) 2 kz2 Mikäli eri akseleiden suuntaiset värähtelyt ovat riippumattomia, vastaa 3D harmoninen värähtelijä kolmea riippumatonta HV:ää. gallup 3D harmoninen värähtelijä on perustilassa. Värähtelijää voidaan mallintaa kolmena riippumattomana HV:nä, joiden energiat ovat E x = hω(n x + 1 2 ) E y = hω(n y + 1 2 ) E z = hω(n z + 1 2 ) Perustilassa n x = n y = n z = 0. Värähtelijälle syötetään ylimääräistä energiaa 1 hω verran. Minkä akselin suunnassa värähtelijä tämän jälkeen värähtelee? a) x b) y c) z d) muu vastaus e) ei osaa sanoa Vast: d) mikä tahansa gallup 5 statistista fyssaa 6 Mallinnetaan kolmessa ulottuvuudessa tasapainoasemansa ympärillä värähtelevää atomia kolmena riippumattomana HV:nä. Atomille syötetään energiaa 4 hω. Kuinka monella erilaisella tavalla nämä 4 energiakvanttia voidaan jakaa kolmen harmonisen värähtelijän kesken? a) 3 b) 4 c) 12 d) 15 e) muu vast. f) ei osaa sanoa Statistisen fysiikan perusoletus on, että kaikki MAKROTILAN mahdolliset MIKROTILAT yhtä todennäköisiä. Näin ollen kaikki 15 erilaista konfiguraatiota (=mikrotilaa) yhtä todennäköisiä, kun makrotila on sellainen, että systeemissä on yhteensä 4 energiakvanttia. Vast d) 7 8

gallup yhdistetyt systeemit Tarkastellaan kahta tasapainoasemansa ympäri värähtelevää atomia. Kumpikin atomi mallinetaan kolmella HV:llä. Yhdistetään atomit yhdeksi, 3+3 HV:n systeemiksi ja atomeille siirretään yhteensä 4 hω:n verran energiaa, eli neljä kvanttia. Lasketaan kaikki mahdolliset kombinaatiot: Kuinka nämä neljä kvanttia jakautuvat kahden osasysteemin kesken? a) = 0 ja q 2 = 4 b) = 1 ja q 2 = 3 c) = 2 ja q 2 = 2 d) = 3 ja q 2 = 1 e) = 4 ja q 2 = 0 f) muu vastaus g) ei osaa q 2 kpl 1 kpl 2 kpl 1 kpl 2 0 4 1 15 15 1 3 3 10 30 2 2 6 6 36 3 1 10 3 30 4 0 15 1 15 gallup 9 yhdistetyt systeemit mikrotilojen jakauma 40 10 Millä tavalla 4 kvanttia on todennäköisimmin jakautunut systeemien kesken? a) 0+4 b) 1+3 c) 2+2 d) 3+1 e) 4+0 f) ei osaa q 2 kpl 1 kpl 2 kpl 1 kpl 2 0 4 1 15 15 1 3 3 10 30 2 2 6 6 36 3 1 10 3 30 4 0 15 1 15 mikrotilojen lkm 35 30 25 20 15 10 Vast: c) 2+2 5 0 0 1 2 3 4 12 11

kombinatoriikkaa Mikrotilojen lukumäärä Ω, kun q kvanttia jaetaan N:n harmonisen värähtelijän kesken saadaan kombinatoriikasta Ω = (q + N 1)! q!(n 1)! (Siis kuinka monella tavalla q punaista palloa voidaan laittaa N:ään lootaan?) kombinatoriikkaa 1e+27 8e+26 6e+26 4e+26 2e+26 0 4e+2918 3e+2918 2e+2918 1e+2918 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1000 2000 3000 4000 Havaintoja Kahden identtisen systeemin kesken energiakvanttien lukumäärä jakautuu kaikkein todennäköisimmin tasan. Todennäköisyys, ettei kvanttien lukumäärä jakaudu tasan pienenee voimakkaasti kun siirrytään pois todennäköisimmästä arvosta. Voidaan osoittaa (HT), että jakauman leveys jakauman korkeus 1 todenn. arvo Makroskooppisissa systeemeissä, missä HV:n ja kvanttien lukumäärät ovat suuruusluokkaa 10 23 on jakauma suhteellisesti erittäin kapea. Näin ollen makroskooppisissa systeemeissä havaitaan poikkeuksetta vain jakauman todennäköisin arvo. 13 15 gallup Osasysteemissä 1 on 300 kpl HV ja 90 kvanttia. Osasysteemissä 2 on 200 kpl HV ja vain 10 kvanttia. Näistä muodostetaan yhdistetty systeemi. Miten yhteensä 100 kvanttia ovat tasapainossa jakautuneet kahden osasysteemin kesken? a) noin 50+50 b) suunnilleen 60+40 c) kutakuinkin 90+10 d) muu vastaus e) ei osaa sanoa Vast: d) *todennäköisimmin* 60+40, mutta myös muita mahdollisia tiloja 14 16

Yhdistetyn systeemin mikrotilojen lukumäärän jakauma 7e+114 6e+114 5e+114 4e+114 3e+114 2e+114 entropia Mikrotilojen määrä Ω muuttuu tähtitieteellisen suureksi jo varsin pienillä systeemeillä. Järjellisempiin suuruuksiin päästään käsittelemällä mikrotilojen lukumäärän logaritmia. Apusuure ENTROPIA määritellään S = k B ln Ω missä k B on Boltzmannin vakio k B 1, 38 10 23 J/K. 1e+114 0 0 20 40 60 80 100 17 todennäköisyydet ja termodynamiikka 18 7e+114 6e+114 5e+114 4e+114 3e+114 2e+114 1e+114 0 Mikrotilojen lkm 0 20 40 60 80 100 200k B 100k B Entropia 0 20 40 60 80 100 Tarkastellaan vielä samaa 300 + 200 HV:n systeemiä johon heitetään 100 kvanttia. Osa kvanteista (vaikkapa 90) on isomassa osasysteemissä ja pieni osa (10 kpl) on pienessä systeemissä. Osasysteemit vuorovaikuttavat keskenään siten, että ne voivat vapaasti vaihdella kvantteja keskenään. Esim. pienen systeemin eräs HV potkaisee ison systeemin jonkin HV:n liikkeelle itse pysähtyen. Näin yhden kvantin verran energiaa siirtyy pienestä suurempaan osasysteemiin. Jonkin ajan kuluttua kurkataan systeemin ja tehdään mittauksia kvanttien jakautumisesta. Tulokseksi saadaan, että useimmissa mittauksissa kvantit ovat jakautuneet osasysteemien koon suhteessa, 3:2. 19 20

todennäköisyydet ja termodynamiikka Miksi näin? Koska kvantteja osasysteemit voivat jakaa täysin vapaasti. Tämä tarkoittaa että kaikki mikrotilat ovat yhtä todennäköisiä. Se, että kaikki kvantit ovat isossa osasysteemissä on yhtä todennäköinen, kuin kaikki ne konfiguraatiot, jossa isolla on 60 ja pienellä 40 kvanttia. Mutta tuota edellistä makrotilaa vastaa vain 1 mikrotila, kun taas jälkimmäistä makrotilaa vastaa n. 7 10 14 erillaista mikrotilaa. Joten jos valitaan umpimähkään jokin mikrotila, niin lähes poikkeuksetta tulee valituksi mikrotila jota on paljon ja siksi myös tätä vastaava makrotila. todennäköisyydet ja termodynamiikka Siis ihan sama, kuinka kvantit ovat aluksi jakautuneet. Kvanttien vapaasti vaihtamisen takia systeemi hakeutuu makrotilaan, jossa osasysteemien kvanttien lkm. ovat jakautuneet suhteessa 3:2, koska tämä vastaa tilaa, jossa koko systeemin mikrotilojen lkm on kaikken suurimmillaan. Tämä tarkoittaa myös, että entropia on tässä makrotilassa kaikkein suurimmillaan. Systeemi siis näyttää luonnollisesti päätyvän sellaiseen makrotilaan, jossa entropia saa maksiminsa. Vertaa tätä termodynamiikan II pääsääntöön: (jonka eräs muoto sanoo) suljetun systeemin entropia kasvaa (tai pysyy vakiona). Mikrotilojen lukumäärän laskeminen 21 Entropia on additiivinen suure 22 Kombinatoriikasta osasysteemien lukumäärät saadaan mikrotilojen Ω = Ω 1 Ω 2 S = k B ln Ω = k B ln ( ) Ω 1 Ω 2 S = k B ln Ω 1 + k B ln Ω 2 S = S 1 + S 2 Ω 1 = ( + 299)!!299! Ω 2 = (q 2 + 199)! q 2!199! 200k B S tot S 1 missä + q 2 = 100. Koko systeemin mikrotilojen lukumäärä on 100k B S 2 Ω = Ω 1 Ω 2 0 20 40 60 80 100 23 24

tasapainoehto Todennäköisimmässä tilassa mikrotilojen lkm:llä maksimi, joten myös entropialla on maksimi ds = d (S 1 + S 2 ) = 0 d d ds 1 d = ds 2 d S tot tasapainoehto Koska kvanttien kokonaismäärä oli vakio + q 2 = 100 saadaan d = dq 2. Näin ollen kun systeemi on kaikkein todennäköisimmässä tilassa (S:n maksimi) on ds 1 d = ds 2 dq 2 200k B 100k B S 1 S 2 Kummankin osasysteemin derivaatta kvanttiensa lkm:n suhteen on yhtä suuri. gallup 0 20 40 60 80 100 25 lämpötila 26 Mikä fysikaalinen suure olisi kahdella osasysteemillä yhtä suuri, kun niiden yhdistelmä saavuttaa tasapainotilan? Tällöin molemmissa systeemeissä kvanttien lkm / värähtelijä on kutakuinkin yhtä suuri. Lämpötila määritellään a) tiedämme (ja haluamme kertoa) b) tiedämme (mutta emme kerro) c) ei tietoa 1 T = ds de 27 28

todennäköisyydet ja termodynamiikka 2 todennäköisyydet ja termodynamiikka 2 Lämpötila siis näyttää mittaavan sitä, kuinka paljon systeemin entropia muuttuu, kun systeemin energiasisältöä muutetaan. 1 T = ds de Tilassa, jossa yhdistetyn systeemin entropia on suurimmillaan on välttämättä osasysteemien lämpötilat samat, sillä ds 1 = ds 2 de 1 de 2 Systeemin kaikki mikrotilat yhtä todennäköisiä Systeemi havaitaan makrotilassa, jota vastaavia mikrotiloja eniten Systeemin entropia suurimmillaan tässä makrotilassa Entropian maksimi edellyttää, että osasysteemien lämpötilat ovat yhtä suuria Osasysteemien lämpötilat tasoittuvat lämpötasapaino Huomaa, että tätä päättelyketjua voi kulkea kumpaan suuntaan tahansa: Mikrotilojen yhtenäinen todennäköisyys ennustaa, että lämpötilat pitäisi tasoittua tai lämpötilojen havaittu tasaantuminen kertoo siitä, että mikrotasolla kaikki mikrotilat yhtä todennäköisiä. energian jakauma lämpötasapainossa 29 Pieni = 3 HV, Iso = 97 HV, yhteensä 1000 kvanttia 30 350 Iso systeemi on eristetty ympäristöstään ja sen lämpötila on T. Tarkastellaan pientä osasysteemiä. Miten energia jakautuu pienen ja suuren systeemin kesken? Entropia / k 300 250 200 150 S 3 HV S 97 HV Stot S 97HV approksimaatio Stot approksimaatio 100 50 0 0 200 400 600 800 1000 Pienen systeemin kvanttien lkm 31 32

energiajakauma lämpötasapainossa energiajakauma lämpötasapainossa Idea: Ison systeemin (=lämpökylpy) entropia riippuu lineaarisesti pienen systeemin energiasta E, kun E 0. Systeemin entropiassa S tot = S pieni (E) + S iso (E tot E) voidaan ison systeemin entropia kehittää Taylorin sarjaksi S tot = S pieni (E) + S iso (E tot ) S iso E E S tot = S pieni (E) + S iso (E tot ) E }{{} T vakio Esittämällä entropiatermit mikrotilojen lukumäärän avulla k B ln Ω = k B ln Ω pieni (E) + k B ln Ω iso (E tot ) E }{{} T vakio ln Ω = ln (vakio ) Ω pieni (E)e E/k BT Boltzmannin jakauma Näin päädytään tulokseen, jonka mukaan todennäköisyys, että lämpötilassa T pienen systeemin energia on E on p(e) = C Ω(E)e E/k BT missä C on vakio. Monesti Ω(E) on likipitäen vakio tai jokin polynomifunktio (riippuu systeemistä). Eksponenttifunktion ja Ω:n tulolla on maksimi, tämä on energian todennäköisin arvo. Todennäköisyys sille, että pienen osasysteemin energia E on paljon suurempi kuin k B T on hyvin pieni, sillä eksponenttifunktio on tällöin hyvin pieni. e E/k BT 0 kun E k B T 33 35 Pieni = 3 HV, Iso = 97 HV, yhteensä 1000 kvanttia Omega 1e141 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 Omega_tot Omega_tot approksimaatio 0.0 0 200 400 600 800 1000 Pienen systeemin kvanttien lkm 34 36

gallup Happimolekyylit (=HV) ovat termisessä tasapainossa luokkahuoneessa. Luokkahuoneen lämpötilassa k B T 25 mev. Happimolekyylin värähtelytilojen energiat ovat E vib = hω ( n + 1 2), missä hω 190 mev. Valitset satunnaisen happimolekyylin tutkit sen värähtelyä. Havaitset, että happimolekyyli a) ei värähtele b) värähtelee vähän c) värähtelee paljon d) ei osaa sanoa Vast: b). Boltzmannin todennäköisyyden avulla voidaan arvioida perus- ja ensimmäisen viritystilan suhteellinen todennäköisyys p(e 1 )/p(e 0 ) e (E 1 E 0 )/k B T e 190/25 10 3 37