Kirjaisivatko muinaiset egyptiläiset pimennysten periodin kaksoistähti Algolista Tuosta raivoavasta?

Kirjaisivatko muinaiset egyptiläiset pimennysten periodin kaksoistähti Algolista Tuosta raivoavasta? Lauri Jetsu et al. Fysiikan laitos Helsingin yliopisto lauri.jetsu@helsinki.fi

Muut tekijät Jetsu et al. Fysiikan laitos Tohtorikoulutettava = FK Sebastian Porceddu FK Joonas Lyytinen FK Perttu Kajatkari FK Jyri Lehtinen Prof. Tapio Markkanen Maailman kulttuurien laitos Dos. Jaana Toivari-Viitala Ei aikaa selittää = Rakenne A: Metodi: Vektorit, Rayleight testi (Yläaste) B: Metodi: Statististiikka (Lukio) C: Paperi: Data D: Paperi Periodianalyysi E: Paperi: Astrofysiikka F: Paperi: Astronomia G: Paperi: Egyptologia H: Paperi: Johtopäätökset I: Kysymykset

Vektorit Sininen = X-akseli, Punainen = Y-akseli, Vihreä = X ja Y yhdistetty, Musta = Vihreät yhdistetty Vektorilla on pituus (skalaari=luku) ja suunta (kulma) Vektorin merkintä r (Vihreä vektori) Pituus = r 0 Suunta = Θ (Lausutaan: Theta ) 0 o Θ < 360 o mitataan vastapäivään x-akselista Graafinen esimerkki vektorista: r = 5, Θ 36. o 9 Merkitään r = [x, y] = [4, 3] Pytagoras: suorakulmainen kolmio r 2 = x 2 + ȳ 2 = 4 2 +3 2 = 16+9 = 25 r = 25 = 5 x = [4, 0] (Sininen vektori) ȳ = [0, 3] (Punainen vektori) r = x + ȳ = [4 + 0, 0 + 3] = [4, 3] cos Θ = x/ r x = r cos Θ = 5 4 5 = 4 sin Θ = y/ r y = r sin Θ = 5 3 5 = 3 r = [x, y] = [ r cos Θ, r sin Θ] = r [cos Θ, sin Θ]

Kahden (n = 2) vektorin summa Ensimmäinen vektori r 1 = [x 1, y 1] = [4, 2] Toinen vektori r 2 = [x 2, y 2] = [ 2, 3.7] R = r 1 + r 2 R = [X, Y] = [x 1 + x 2, y 1 + y 2] = [4 2, 2 + 3.7] = [2, 5.5] X = x 1 + x 2 = [x 1, 0] + [x 2, 0] = [x 1 + x 2, 0] = [2, 0] Ȳ = ȳ 1 + ȳ 2 = [0, y 1] + [0, y 2] = [0, y 1 + y 2] = [0, 5.5] Σ i=n i=1 merkitsee n:n vektorin summaa X = Σ i=2 i=1 xi = x1 + x2 ja Ȳ = Σi=n i=1ȳi = ȳ1 + ȳ2 R = X + Ȳ X ja Ȳ kohtisuorat Pytagoras R 2 = X 2 + Ȳ 2 = (Σ i=n i=1 xi)2 + (Σ i=n i=1ȳi)2 Tämä kaava pätee kaikkien n 2 vektorien summille

Yksikkövektorit Yksikkövektorin pituus = r = 1 Yksikkövektorin suunta = Vaihekulma = Θ Yksikkövektorit alkavat origosta Yksikkö vektorit osoittavat yksikköympyrälle r = [ r cos Θ, r sin Θ] = [cos Θ, sin Θ] x = [cos Θ, 0] ȳ = [0, sin Θ] r = x + ȳ cos Θ = x/ r x = cos Θ sin Θ = y/ r y = sin Θ Pytagoras: r 2 = x 2 + ȳ 2 1 2 = (cos Θ) 2 + 0 2 + 0 2 + (sin Θ) 2 Hyödyllinen relaatio: cos 2 Θ + sin 2 Θ = 1 Neljä esimerkkiä

R = Summa n:stä yksikkövektorista r i R = i=n i=1 ri = r1 + r2 +... + rn r 1 = x 1 + ȳ 1, r 2 = x 2 + ȳ 2,..., r n = x n + ȳ n R = x 1 + x 2 +... x n + ȳ 1 + ȳ 2 +...ȳ n R = X + Ȳ X = i=n i=1 xi = i=n i=1 [cos Θi, 0] = [cos Θ1 + cos Θ2 +... + cos Θn, 0] = [ i=n i=1 cos Θi, 0] Ȳ = i=n i=1 ȳi = i=n i=1 [0, sin Θi] = [0, sin Θ1 + sin Θ2 +... + sin Θn] = [0, i=n i=1 sin Θi] X 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 + 0 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 Ȳ 2 = 0 2 + ( i=n i=1 sin Θi)2 = ( i=n i=1 sin Θi)2 Pytagoras R 2 = X 2 + Ȳ 2 Lopputulos R 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 + ( i=n i=1 sin Θi)2 Rayleigh:n testiparametri Rayleigh:n testiparametri n:lle vaihekulmalle Θ 1, Θ 2,..., Θ n on z = R 2 = ( i=n i=1 cos Θi)2 + ( i=n i=1 sin Θi)2 n n

1. esimerkki Rayleigh:n testiparametrista z R on n = 3 yksikkövektorin r 1 r 2 ja r 3 summa Ensimmäinen yksikkövektori r 1 kolmannessa neljänneksessä Ensimmäinen vaihekulma on 180 o < Θ 1 < 270 o Toinen yksikkövektori r 2 ensimmäisessä neljänneksessä Toinen vaihekulma on 0 o < Θ 2 < 90 o Kolmas yksikkövektori r 3 toisessa neljänneksessä Kolams vaihekulma on 90 o < Θ 3 < 180 o Alemman kuvan musta vektori on R = i=3 i=1 ri = r1 + r2 + r3 = [ 0.10, 0.19] Yksikkövektorit r 1 r 2 ja r 3 osoittavat eri suuntiin Niiden summan pituus, R = 0.21, on pieni Testparametrin arvo, z = R 2 /n = 0.02, on pieni

2. esimerkki Rayleigh:n testiparametrista z R on n = 3 yksikkövektorin r 1 r 2 ja r 3 summa Kaikki yksikkövektorit r 1, r 2 ja r 3 ensimmäisessä neljänneksessä Kaikki vaihekulmat Θ 1, Θ 2 ja Θ 3 ovat 0 ja 90 asteen välissä Alemman kuvan musta vektori on R = i=3 i=1 ri = r1 + r2 + r3 = [1.87, 2.09] Yksikkövektorit r 1 r 2 ja r 3 lähes yhdensuuntaiset Niiden summan pituus, R = 2.80, on suuri Testiparametrin arvo, z = R 2 /n = 2.62, on suuri Johtopäätös: z mittaa yksikkövektorien r 1, r 2,... ja r n vaihekulmien Θ 1, Θ 2,... ja Θ n hajontaa Johtopäätös: z pieni vaihekulmien hajonta suuri yksikkövektorit osoittavat eri suuntiin Johtopäätös: z suuri vaihekulmien hajonta pieni yksikkövektorit lähes yhdensuuntaiset Maksimiarvo z = n kaikki yksikkövektorit yhdensuuntaiset

Rayleigh:n testin statistiikka Hypoteesi: n vaihekulmat Θ 1, Θ 2,... ja Θ n ovat otos tasajakaumasta (=satunnaisesta) välillä 0 o ja 360 o. Tästä hypoteesista käytetään lyhennettä H Θ H Θ: Vaihekulmien todennäköisyys tiheysfunktio 0, Θ < 0 o 1 f (Θ) = 360, 0o Θ < 360 o, 0, 360 o Θ, H Θ: Vaihekulmien kumulatiivien todennäköisyys tiheysfunktio F(Θ 0) = P(Θ Θ 0) = Θ 0 f (Θ)dΘ = Θ 0 dθ 360 = 0 0 dθ + Θ 0 dθ 0 360 = 0 + /Θ 0 Θ 0 360 = Θ 0 360 0 360 = Θ 0 360 F(Θ) = 0, Θ < 0 o Θ 360, 0o Θ < 360 o, 1, 360 o Θ, P(Θ Θ 0) on todennäköisyys, että Θ on valittua Θ 0 arvoa pienempi Esimerkkejä: P(Θ 90 o ) = 0.25, P(Θ 180 o ) = 0.5, P(Θ 270 o ) = 0.75 and P(Θ 360 o ) = 1 Ongelma: Jos H Θ on totta, mikä on z:n todennäköisyys tiheysfunktio?

John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1842 1919) Copleyn Mitali (1882), Fysiikan Nobel (1904) e 2.71828 on Eulerin luku, e x on eksponenttifunktio ln e x = x, where ln x on luonnollisen logaritmin funktio H Θ tosi z:n todennäköisyys tiheysfunktio on { 0, z < 0 f (z) = e z z 0 H Θ: Kumulatiivinen todennäköisyys tiheysfunktio on F(z 0) = P(z z 0) = z 0 f (x)dz = 0 0 dz + z 0 0 e z dz = 0 + / z 0 0 e z = e z 0 ( e 0 ) = 1 e z 0 { 0, z < 0 F(z) = 1 e z, z 0, P(z z 0) on todennäköisyys, että z on valittua z 0 arvoa pienempi Komplementti tapaus: P(z > z 0) = 1 P(z z 0) = 1 (1 e z 0 ) = e z 0 Esimerkki: 0.5 = P(z z 0) = 1 e z 0 e z 0 = 0.5 z 0 = ln 2 1 z 0 = ln 2 0.693. Tarkoittaa, että puolet z arvoista välillä 0 z < 0.693, eli toinen puoli on välillä 0.693 z n.

Satunnaiskulku Aloita satunnaiskulku origosta Ota n askelta r 1, r 2,..., r n Jokaisen askeleen pituus on r i = cos Θ i 2 + sin Θ i 2 = 1 Valitse jokaisen askeleen suunta Θ i satunnaisesti H Θ = tosi Ongelma: Kuinka kauas origosta todennäköisesti pääset? Q = P(z > z 0) = 1 P(z z 0) = 1 (1 e z 0 ) = e z 0 Q = e z 0 ln Q = z 0 z 0 = ln Q z 0 = R 0 2 n R 0 = n z 0 = n ln Q Etäisyydet R 0 ratkaistu n = 10 ja n = 100 askeleelle Todennäköisyydet ovat Q = 0.5 (puolet tapauksista), Q = 0.1 (yhden kerran kymmenestä) ja Q = 0.01 (yhden kerran sadasta) Pisteet ovat 500 satunnaiskulun päätepisteiteitä. Tapausten Q 0.01 reitit näytetty vihreän värisinä Q = 0.5 Q = 0.1 Q = 0.01 n = 10 z 0 = 0.69 z 0 = 2.30 z 0 = 4.60 R 0 = 2.63 R 0 = 4.80 R 0 = 6.79 n = 100 z 0 = 0.69 z 0 = 2.30 z 0 = 4.60 R 0 = 8.33 R 0 = 15.17 R 0 = 21.46 jatkuva pisteitä tavuviivoja

Vaiheet φ Kulmat Θ Tehdään Rayleigh testi n:lle aikapisteelle t 1, t 2,..., t n Periodi on P. Frekvenssi on f = 1/P. Ajan nollakohta on t 0 Vaiheet (φ lausutaan fii ) ovat (ti t0) φ i = FRAC[ ] = FRAC[f (t i t 0)] P FRAC[x] kokonaisluku pois x:stä, esim. FRAC[4.12]=0.12 Kulmat ovat Θ i = 360 o φ i (asteita) tai Θ i = 2πφ i (radiaaneja) Esimerkki: viisi (n = 5) satunnaista aikapistettä 0 t i 5 Testattava periodi on P = 1.2 ja ajan nollakohta on t 0 = 0 t 1 merkintä:, cos Θ 1 = sininen ja sin Θ 1 = punainen (t i t i t 0 ) i P = f (t i t 0) φ i Θ i[ o ] Θ i [rads] cos Θ i sin Θ i 1 0.84 0.70 0.70 252.3 4.40-0.30-0.95 2 1.87 1.56 0.56 200.4 3.50-0.94-0.35 3 2.93 2.44 0.44 158.5 2.77-0.93 0.37 4 3.85 3.21 0.21 74.2 1.29 0.27 0.96 5 4.87 4.06 0.06 21.9 0.38 0.93 0.37 i=5 i=1 cos Θi = -0.97 i=5 i=1 sin Θi = 0.40 z = ( i=5 i=1 cos Θi)2 + ( i=5 i=1 sin Θi)2 = ( 0.97)2 + (0.40) 2 = 0.22 on pieni n 5

Vaiheet φ Kulmat Θ Seitsemän (n = 7) periodista aikapistettä 0 t i 5 Testattu periodi on P = 1.2 ja ajan nollakohta on t 0 = 0 t 1 merkintä:, cos Θ 1 = sininen ja sin Θ 1 = punainen z = ( i=7 i=1 cos Θi)2 + ( i=7 i=1 sin Θi)2 n = ( 4.55)2 + (4.09) 2 = 5.35 on suuri 5 Q = P(z > 5.35) = e 5.35 = 0.005 = 1/200 Jos H Θ = tosi, tämä tapahtuu vain kerran 200 tapauksesta (t i t i t 0 ) i P = f (t i t 0) φ i Θ i[ o ] Θ i [rads] cos Θ i sin Θ i 1 0.46 0.38 0.38 137.7 2.40-0.74 0.67 2 0.48 0.40 0.40 144.4 2.52-0.81 0.58 3 1.54 1.28 0.28 102.3 1.79-0.21 0.98 4 1.56 1.30 0.30 108.8 1.90-0.32 0.95 5 1.84 1.54 0.54 192.9 3.37-0.97-0.22 6 4.01 3.34 0.34 122.0 2.13-0.53 0.85 7 4.14 3.45 0.45 163.2 2.85-0.96 0.29 i=7 i=1 cos Θi = -4.55 i=7 i=1 sin Θi = 4.09

Vaiheet φ Kulmat Θ H Θ oli: n vaihekulmat Θ 1, Θ 2,... ja Θ n ovat otos tasajakaumasta (=satunnaisesta) välillä 0 o ja 360 o. H Θ=tosi f (z) = e z for z 0 F(z) = 1 e z for z 0 Vaiheet ovat φ i = FRAC[(t i t 0)/P] = FRAC[f (t i t 0)] Vaiheille toteutuu 0 φ i < 1 P(φ 0.5) = F(0.5) = 0.5, siis puolet φ arvoista on alle tai yli 0.5 H Θ = tosi H φ = tosi Data on kulmia H Θ Data on aikapisteitä H φ Kulmat ovat Θ i = 360 o φ i (asteita) tai Θ i = 2πφ i (radiaaneja) Mikä on sopiva hypoteesi n:lle vaiheelle φ i? H φ : n vaiheet φ 1, φ 2,... ja φ n ovat otos tasajakaumasta (=satunnaisesta) välillä 0 ja 1. H φ : Vaiheiden todennäköisyys tiheysfunktio on 0, φ < 0 f (φ) = 1, 0 1 < 1, 0, 1 φ, Kumulatiivinen todennäköisyys tiheysfunktio on 0, φ < 0 F(φ) = φ, 0 φ < 1, 1, 1 φ,

Monen periodin testaus Kysymys: Mistä tiesit, että P = 1.2 oli hyvä periodi edellisessä esimerkissä? Vastaus: Simuloin n = 7 aikapistettä sillä periodilla. Kysymys: Pystyisitkö löytämään tämän P = 1.2 periodin datasta, jos joku muu olisi sen sinne simuloinut, mutta ei olisi kertonut sinulle P:n numeroarvoa. Vastaus: Kyllä. Löytäisin tämän periodin testaamalla monta periodia. Aikapisteet olivat t 1 = 0.46, t 2 = 0.48, t 3 = 1.54, t 4 = 1.56, t 5 = 1.84, t 6 = 4.01 and t 7 = 4.15 Aikaväli oli T = t n t 1 = 4.15 0.46 = 3.39 Ei informaatiota aikavälin ulkopuolelta Suurin testattava periodi P < P max < T = 3.39 Ei informaatiota aikapisteiden välisistä aukoista Pienin testattava periodi P > P min > T n = 0.53 Valittu alaraja: 0.53 < P min = 0.8 f max = 1.25 Valittu yläraja: 3.39 > P max = 3.0 f min = 0.33 Testattavat frekvenssit f välillä f min = 0.33 ja f max = 1.25 Riippumattomien testattavien frekvenssien välinen etäisyys f 0 = 1 T = 0.271 Riippumattominen testattavien frekvenssien määrä on m = fmax f min f = 1.25 0.33 0 0.271 = 3.38 Määrän tulee olla positiivinen kokonaisluku m = INT[3.38] = 3 INT[x] poistaa x:n desimaalit Alarajan f min = 0.33 ja ylärajan f max = 1.25 välissä on m = 3 riippumatonta testattavaa frekvenssiä

Monen periodin testaus Q = P(z > z 0) = e z 0 on todennäköisyys, että z ylittää valitun arvon z 0 yhdessä m = 1 testissä 1 Q on todennäköisyys, että z ei ylitä valittua arvoa z 0 yhdessä m = 1 testissä (1 Q) m on todennäköisyys, että z ei ylitä kertaakaan valittua arvoa z 0 m > 1 testissä Q = 1 (1 Q) m on todennäköisyys, että z ylittää valitun arvon z 0 ainakin kerran m > 1 testissä t = [0.46, 0.48, 1.54, 1.56, 1.84, 4.01, 4.15], n = 7, T = 3.69 f min = 0.33, f max = 1.25, f 0 = 1/ T = 0.271, m = 3 Periodogrammin arvot z(f j) merkitty Ylitäyttö muuttuja OFAC=10 Tiheämpi frekvenssien väli f step = f 0/OFAC = 0.0271 Periodogrammi tällä tiheämmällä välillä = Periodogrammi vielä tiheämmällä välillä = jatkuva viiva Maksimi arvo z 0 = 5.362 = korkein periodogrammin huippu antaa Q = 1 (1 e z 0 ) m = 1 (1 e 5.362 ) 3 = 0.016 Korkein huippu: f = 0.821 P = 1.218 ei ole tasan 1.2 (Simuloin virheen!) j f j = f min + j f 0 z(f j) 0 0.333 1.976 1 0.604 0.729 2 0.875 4.325 3 1.146 2.003 4 1.417 0.695

Rayleigh testi paperissamme Rayleigh testi paperissamme n = Data = Aikapisteet t 1 t 2... t n H 0 : n vaiheet φ 1, φ 2,... ja φ n ovat otos tasajakaumasta (=satunnainen) välillä 0 ja 1. γ = 0.001 = Ennalta kiinnitetty merkittävyys taso H 0 :n hylkäämiseksi = Todennäköisyys virheellisesti hylätä H 0 on yksi tuhannesta f min and f max = Testattava frekvenssiväli valittu f 0 = 1/ T = 1/(t n t 1 ) = Etäisyys riippumattomien frekvenssien välillä ratkaistu m = INT[(f max f min )/f 0 ] = Riippumattomien frekvenssien määrä ratkaistu f j = Testattavien frekvenssien välit ovat f step = f 0 /OFAC = f 0 /100 φ i = FRAC[f j t i ] = Lasketaan vaiheet testattavalla f j. Vaihekulmat ovat Θ i = 2πφ i z(f j ) = ( i=n i=1 cos Θ i) 2 +( i=n i=1 sin Θ i) 2 = Periodogrammin arvo ratkaistaan jokaisella f n j z 0 = max[z(f best )] = Korkein periodogrammin huippu on frekvenssin f best kohdalla Q = 1 (1 e z 0 ) m = on tämän frekvenssin f best merkittävyys H 0 hylätään, jos Q < γ = 0.001. Jos H 0 hylätään Periodi P best = 1/f best löydetty

Data 3200 vuotta sitten Egyptissä Hyvien ja Huonojen päivien Kalenteri Ennuste päivälle tai osalle päivää Ennuste oli hyvä tai huono Papyrus Cairo 86637 sisältää parhaiten säilyneen kalenterin ( Cairo Calendar = CC) Kolme ennustetta joka päivälle Kuvaava teksti joka ennusteelle Papyrus sivu: Muurahaiset syöneet reiät. Egyptiläinen vuosi oli 365 päivää 12 kuukautta (M). Jokaisessa 30 päivää (D) 3 vuodenaikaa. Jokaisessa 4 kuukautta: Akhet (tulva), Peret (talvi) ja Shemu (sadonkorjuu) 5 ylimääräistä epagomenaalista päivää Seuraava sivu: kaikki CC ennusteet Merkinnät (Leitz 1994): G =Gut=Hyvä S =Schlecht=Huono = Vahingoittunut = Ei ennustetta

Akhet Akhet Akhet Akhet Peret Peret Peret Peret Shemu Shemu Shemu Shemu I II III IV I II III IV I II III IV D M = 1 M = 2 M = 3 M = 4 M = 5 M = 6 M = 7 M = 8 M = 9 M = 10 M = 11 M = 12 1 GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG 2 GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG 3 GGS GGG GGG SSS GGG SSS GGG GGG SSS SSS 4 GGS SGS GGG GGG GGG GSS GGG SSS SSS GGG SSG 5 GGG SSS GGG GSS GGG GGG SSS GGG SSS GGG 6 SSG GGG GGG SSS GGG GGG SSS GGG SSS 7 GGG SSS GGG SSS SSS GGG SSS GGG GGG SSS SSS 8 GGS GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG SSS GGG 9 GGG GGG SSS GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG GGG 10 GGG GGG GGG GGG SSS SSS SSS GGG SSS GGG 11 SSS GGG GGG GGG SSS GGG GGG SSS SSS SSS SSS 12 SSS SSS SSS GGG GGG SSS GGG GGG 13 GSS GGG SSS GGG GGG SSS GGG SSS GGG GGG 14 GGG SSS GGG SSS SGG GGG SSS GGG 15 GSS GSS SSS GGG SSS GGG SSS GGG SSS 16 SSS GGG GGG GGG GGG SSS GGG GGG GGG SSS GGG 17 SSS GGG SSS GGG SSS SSS GGG SSS GGG 18 GGG SSS SSS SSS GGG SSS GGG GGG SSS SSS SSG 19 GGG GGG SSS SSS SSS GSS GGG GGG SSS SSS GGG 20 SSS SSS SSS SSS SSS SSS SSS SSS SSS SSS 21 GGG SSG GGG SSG GGG SSS SSG GGG GGG 22 SSS GGG GGG GGG SSS SSS GGG SSS SSS GGG 23 SSS SSS GGS GGG GGG GGG GGG GGG SSS SSS 24 GGG SSS GGG GGG SSS SSS SSS GGG GGG GGG 25 GGS SSS GGG GGG GGG SSS GGG GGG GSG GGG 26 SSS SSS GGG GGG SSS SSS GGG SSS GGG GSG 27 GGG SSS GGG GGS GGG SSS SSS SSS SSS SSS 28 GGG GGG GGG SSS GGG GGG GGG GGG GGG SSS GGG 29 SGG GGG GGG SSS GGG SSS GGG GGG GGG GGG GGG GGG 30 GGG GGG GGG GGG GGG SSS GGG GGG GGG GGG GGG GGG

Data: CC aikapisteiksi I Akhet 25 ennuste GGS 1. osa ja 2. osa olivat hyviä 3. osa päivästä oli huono Egyptiläinen päivä alkoi auringon noususta 1. osa: aamu (t 1) 2. osa: keskipäivä tai keskipäivä ja ilta (t 2) 3. osa: ilta tai yö (t 3) Ongelma 1: Mikä oli päivän pituus? Muuttaa t 1, t 2 ja t 3 arvoja Ongelma 2: Mitkä kohdat vuorokaudesta? Muuttaa t 1, t 2 and t 3 arvoja Egyptiläinen päivä N E = 30(M 1) + D Gregoriaaninen päivä (N G=1 =Tammikuu 1) { NE + N N G = 0 1, N E 366 N 0 N E + N 0 366, N E > 366 N 0, Data: CC aikapisteiksi N 0 on muunnosvakio Me testasimme N 0 = 62, 187, 307 Aikaerot 120 päivää = 4 kuukautta Päivä pituus riippuu auringon deklinaatiosta (δ ) ja paikallisesta leveysasteesta (φ) φ = 26. o 7 on vakio Keski Egyptissä Deklinaatio on auringon säteiden ja maan ekvaattorin tason välinen kulma. δ ei vakio. Riippuu N G:stä. δ = δ (N G) 23.45 o cos [ 360o (N G + 10) ] 365.25 Gregoriaanisen päivän N G pituus tunneissa l D = l D(N G) = A acos{ tan[φ] tan[δ (N G)]} Vakio A = 24/180 o muuntaa asteet tunneiksi Päivän ja yön pituudet ratkaistu Ongelma: Mihin me laitamme t 1, t 2 ja t 3?

Data: 1. Päiväjako Kolme aikapistettä päivällä (a) t 1(N E) = (N E 1) + 1 24 t 2(N E) = (N E 1) + 1 24 t 3(N E) = (N E 1) + 1 24 [ ] ld(n G) 6 [ ] 3ld(N G) 6 [ ] 5ld(N G) 6 Data: 2. Päiväjako Kaksi aikapistettä päivällä ja yksi aikapiste yöllä (b) t 1(N E) = (N E 1) + 1 [ ] ld(n G) 24 4 t 2(N E) = (N E 1) + 1 [ ] 3ld(N G) 24 4 t 3(N E) = (N E 1) + 1 [ 12 + ld(ng) ] 24 2

Data: Poistetut ennusteet D = 1 oli 12 kertaa GGG P = 30 päivää D = 20 oli 8 kertaa SSS P = 30 päivää Nämä GGG tai SSS ennusteet poistettu joistakin otoksista Data: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 = 24 otosta Z 1 = 3 Muunnos Egyptiläisestä Gregoriaaniseen vuoteen (N 0 = 62, 187 or 307) Z 2 = 2 Päiväjako (3 päivällä tai 2 päivällä ja 1 yöllä) Z 3 = 2 Analysoidut ennusteet (G tai S) Z 4 = 2 Poistettu GGG, kun D = 1. Poistettu SSS, kun D = 20 Data: Miksi 24 otosta? Vaikuttavat periodianalyysin tuloksiin Vuodenaikojen paikka vuoden sisällä (Z 1) Aikapisteiden paikka päivän sisällä (Z 2) Valitut tai poistetut ennusteet (Z 3 or Z 4) Selected Samples of Time Points (SSTP) (Kääntäminen tarpeetonta) SSTP N 0 Div X Remove n T 1 62 (a) G none 564 359.3 2 62 (a) G D = 1 528 358.3 3 187 (a) G none 564 359.4 4 187 (a) G D = 1 528 358.4 5 307 (a) G none 564 359.3 6 307 (a) G D = 1 528 358.3 7 62 (b) G none 564 359.6 8 62 (b) G D = 1 528 358.6 9 187 (b) G none 564 359.6 10 187 (b) G D = 1 528 358.6 11 307 (b) G none 564 359.6 12 307 (b) G D = 1 528 358.6 13 62 (a) S none 351 354.0 14 62 (a) S D = 20 321 354.0 15 187 (a) S none 351 354.0 16 187 (a) S D = 20 321 354.0 17 307 (a) S none 351 354.0 18 307 (a) S D = 20 321 354.0 19 62 (b) S none 351 354.0 20 62 (b) S D = 20 321 354.0 21 187 (b) S none 351 354.0 22 187 (b) S D = 20 321 354.0 23 307 (b) S none 351 354.0 24 307 (b) S D = 20 321 354.0

Analyysi Rayleigh:n testi jokaiselle 24 otokselle aikapisteitä t 1 < t 2 <... < t n T = t n t 1 360 P max = 90 päivää Kaikille testatuilla P vähintään 4 kierrosta dataa 3 tai 0 aikapistettä päivässä P min = 1.5 päivää Testatut P arvot pidempiä kuin aikapisteiden väliset etäisyydet P max = 90 d f min = 1/90 d 1 = 0.011 d 1 P min = 1.5 d f max = 1/1.5 d 1 = 0.666 d 1 Testattavat frekvenssit f j välillä 0.011 d 1 ja 0.666 d 1. Laske vaihekulmat Θ i = 2πf jt i. z(f j) = ( i=n i=1 cos Θ i )2 +( i=n i=1 sin Θ i )2 n = Periodogrammin arvot ratkaistaan jokaiselle f j Korkein huippu on z best = z(f best) Q = 1 (1 e z best ) m on todennäköisyys, että z(f ) ylittää tämän valitun arvon z best m = Riippumattomien frekvenssien määrä Hypoteesi H 0 ( Data on kohinaa ) hylätään, jos Q < γ = 0.001 Jos H 0 hylätään Periodisuutta arvolla P best = 1/f best. Jos H 0 ei hylätä Ei periodisuutta Samat tulokset kaikille muunnoksille Egyptiläisestä Gregoriaaniseen vuoteen (vuodenajoilla ei merkitystä) Samat tulokset molemmille päiväjaoille (aikapisteiden paikoilla päivän sisällä ei merkitystä) Periodisuutta vain G ennusteissa

Analyysi: SSTP=1 Kaikki G ennusteet & Ei poistettuja (a) Huiput 29.4 ja 2.85 päivää Simuloimme kohinaa samoille t i Mikä on odotettu z 0 taso? P(z < z 0) = 1 e z 0 = 1/2 z 0 = 0.693 (piste viiva) (b) Kohinan periodogrammi = z (f ) z (f ) poikkeaa 0.693 tasosta z (f ) huippuja pienillä f Statistiikka hajoaa Q arviot epäluotettavia Normalisaatio: z N(f ) = z(f )/z (f ) (c) z N(f ) huiput 29.6 päivää (siirtynyt) ja 2.85 päivää (ei siirtynyt) Oli ratkaistava Q simuloimalla 29.6 and 2.85 päivää parhaat Q < γ = 0.001 (7.5 ja 1.5 päivää ) SSTP=3, 5, 7, 9, 11: Samat tulokset!

Analyysi: SSTP=2 G prognoses & D = 1 poistettu (a) Huiput z(f ) 2.85 ja 64.8 päivää 29.6 päivän periodi on kadonnut (b) z (f ) poikkeaa 0.693 tasosta Uusia z (f ) huippuja suurilla f Statististiikka hajoaa jälleen (c) z N(f ) huiput 2.85 ja 1.54 päivää (uusi periodi) Epätodellinen 64.8 päivää kadonnut Vain 2.85 ja 1.54 päivää toteuttivat Q < γ = 0.001 1.54 päivää myös epätodellinen SSTP=4, 6, 8, 10, 12: Samat tulokset! Ei G poistoja: paras 29.6 ± 0.02 Kuu: 29.53 päivän synodinen periodi G poistettu D = 1: paras 2.850±0.002 SSTP=13-24 (S): Ei periodisuutta!

Astrofysiikka: Mira Mikä on P = 2.850 ± 0.002 päivää ja saavuttaa 0.000051 Q 0.000160? Mikä on muuttuva tähti? (planeetta liikkuu!) 1596: David Fabricius (Saksalainen, 1564 1617) löysi 1. periodisesti muuttuvan tähden: Mira 1638: Johannes Holwarda (Friisiläinen, 1618 1651) Ilmestyy ja katoaa 11 kuukaudessa Muuttuva tähti: laajenee ja kutistuu Astrofysiikka: Algol 1667: Geminiano Montanari (Italialainen, 1633 1687) löysi 2. periodisen muuttuvan tähden: Algol (β Per) Montanari ei huomannut periodisuutta Pimennysmuuttuja: Kaksi tähteä kiertää yhteistä massakeskipistettä Näkösäde lähes kiertotason suuntainen

Astrofysiikka: Goodricke John Goodricke (Englanti, 1764 1786) Amatööri astronomi Kuuro, mykkä ja kuoli 21 vuotiaana 1783: määritti Algolin 2.867 päivän periodin paljain silmin Copleyn Mitali (the Royal Society of London) Hypoteesi: pimennys tai pilkkuja Astrofysiikka: Algol A B M = Auringon massa Algol A: pääsarja, 3.7M, kirkkaampi Algol B: jättiläinen, 0.8M, himmeämpi Algol B suurempi kuin Algol A Valokäyrä: kaksi minimiä 230 vuotta: Ei mitattavaa periodin kasvua Pieniä epäsäännöllisiä muutoksia ylös ja alas päin Syy 0.017 ± 0.002 päivän kasvuun?

Astrofysiikka: Goodricke Astrofysiikka: Goodricke Vertasi magnitudeja Silmän tarkkuus 0.1 magnitudia Teki muistiinpanoja Ratkaisi minimien ajanhetket Ajanhetket 2.867 päivän monikertoja Miten Goodricke löysi periodin? Magnitudit: m kasvaa kirkkaus laskee Menee Pysyy Nimi m m alle alla Algol 2.1 1.3 α Per 1.8 ei ei γ And 2.3 2 tuntia 6 tuntia ζ Per 2.8 3 tuntia 4 tuntia ɛ Per 2.9 0.1 3 tuntia 4 tuntia γ Per 2.9 3 tuntia 4 tuntia β Tri 3.0 3 tuntia 4 tuntia δ Per 3.0 3 tuntia 4 tuntia

Astrofysiiikka: Rochen pinta Alue avaruudessa: materia ei voi paeta tähden painovoimakentästä Alueen ulkopuolella: materia alkaa karata Astrofysiikka: Algol paradoksi Laki: Painavammat tähdet kehittyvät nopeammin Kevyempi Algol B kehittynyt jättiläiseksi Painavampi Algol A on yhä pääsarjassa, eli polttaa vetyä? Astrofysiikka: Massavirtaus Syntyhetki: Algol B (m B = 2.81M ) massiivisempi kuin Algol A (m A = 2.50M ) Algol B kehittyi jättiläiseksi täyttäen Roche pintansa Materiaa alkoi virrata Algol A:han, josta tuli massiivisempi Nykyhetki: m A = 3.7M ja m B = 0.8M Massavirtauksen kevyestä painavampaan tähteen pitäisi kasvattaa periodia P 1 = 2. d 850 ajanhetkelle t 1 = 1224 ekr P 2 = 2. d 867328 ajanhetkelle t 2 = 2012 jkr Ṗ/P = [(P 2 P 1)/(t 2 t 1)]/P Ṗ/P = [3 ṁ B (m A m B)]/(m Am B) Meidän tuloksemme oli ṁ B = 2.2x10 7 M per vuosi. Sarnan (1993) evoluutiomalli ennusti: ṁ B = 2.9x10 7 M per vuosi Johtopäätös: Massavirtaus selittäisi periodin kasvun kolmessa vuosituhannessa

Astrofysiikka: Massavirtaus Taiteilijan kuvaus Himmeämmän Algol B:n säde suurempi Kirkkaamman Algol A:n säde pienempi Astrophysics: Algol C Algol C kääntää Algol A B systeemin ratatasoa Pimennyksiä ei aina havaita Φ = lausutaan phi (Iso kirjain) Φ = Ratatasojen välinen kulma Algol A B ja Algol AB C systeemeillä Vanhat Φ Ei pimennyksiä Egyptissä 1224 ekr Φ = 95 o ± 3 o (Zavala, 2010) or 96 o ± 5 o (Csizmadia 2009) Kyllä tai ei pimennyksiä? Astrofysiikka: Algol C Kolmoistähti systeemi (1888) Vain kolme tähteä (1970) Algol A B systeemi: 2.867 päivää Algol AB C systeemi: 680 päivää Baron et al. (May 3rd, 2012) Φ = 90 o.2 ± 0 o.32 Varmasti pimennyksiä Egyptissä 1224 ekr!

Astronomia: Paljain silmin Ongelma: Mitä periodista voi havaita taivaalta paljain silmin? Ratkaisu: Aurinko, Kuu, planeetat ja tähdet P > 90 päivää: Aurinko ja planeetat P < 90 päivää: Kuu (29.6 päivää havaittu!) ja joitakin muuttuvia tähtiä Ongelma: Mitkä 40 000 tunnetusta muuttuvasta tähdestä? Ratkaisu: Läpikäydään kymmenen valintakriteeriä Ihmisen silmä: rajamagnitudi m = 6 m kasvaa kirkkaus pienenee C 1: Muuttuvan tähden maksimikirkkaus on m max 4.0. 237 kandidaattia Ihmisen silmä: havaitsee 0. m 1 kirkkauserot tähtien välillä C 2: Muuttuvan tähden kirkkausvaihtelun amplitudi m > 0.4. 109 kandidaattia C 3: Kirkkauden vaihtelun periodi P tunnetaan. 30 kandidaattia C 4: Periodi on alle 90 päivää. 13 kandidaattia

Astronomia C 5: Muuttuja ei ollut horisontin alapuolella, tai liian lähellä horisonttia, Egyptissä 1224 ekr 10 kandidaattia C 6: Muuttujan kirkkauden voi ennustaa. 7 kandidaattia 4 kefeidiä: ζ Gem, l Car, η Aql and δ Cep Kefeidit laajenevat ja kutistuvat Periodinen valokäyrä 3 pimennysmuuttujaa: Algol, λ Tau, β Lyr Sama skaala: Algol kirkkain & vaihtelu suurinta

Astronomia C 7: Kirkkauden vaihtelu havaittavissa yhdessä yössä. 12 tunnin yöt Viivat osoittavat kirkkauden vaihtelun ζ Gem and l Car eliminoitu? Algol ja λ Tau suurin vaihtelu Sama skaala: Algolin pimennys kestää 10 tuntia Joskus havaittavissa yhtenä yönä λ Tau pimennys kestää 14 tuntia Ei koskaan havaittavissa yhtenä yönä

Astronomia Ei yhdessä yössä Usea yö? (Mira) C 8: Kirkkausvaihtelu muuttaa havaittavasti tähtikuviota. Kohteet kentässä Kirkkaammat tähdet Vertailu tähdet Muut muuttuvat tähdet Altitudi Ekstinktio Valokäyrän periodi Viimeiset kandidaatit: Algol, λ Tau, ehkä β Lyr C 1,..., C 8 toteutuvat Muuttuja löydetty Ongelma: Periodi on vielä tuntematon

Astronomia C 9: Muuttujan periodi voitiin määrittää paljain silmin vuonna 1224 ekr Hipparkos (190-125 B.C): tarkkuus 1. m 0 Ptolemaios (100-125 A.D.): välillä 0. m 4 ja 1. m 0 Astrolabi Differentiaali fotometria Aikasarja Mittaukset m(t 1), m(t 2),... Karteesinen koordinaatisto tai Moderni aikasarja-analyysi ζ Gem, l Car, η Aql, δ Cep tai β Lyr periodit Mahdotonta Pimennysajat Sarja aikapisteitä t 1, t 2,... Säännöllisiä monikertoja λ Tau ja Algol periodit Mahdollista C 10: Modernin tähtitieteen historia: kumman muuttujan periodi määritettiin ensin? Algol (2. Montanari, 1669; Goodricke 1783) λ Tau (>18. Baxendell, 1848) C 1,..., C 10 kriteerit Algol on paras kandidaatti Dekkari: Etsintä 40 000 epäillyn (muuttuvan tähden) joukosta päättynyt!

Egyptologia En asiantuntija (Porceddu ja Toivari-Viitala) Mitä, Missä, Milloin, Kuka, Miksi ja Miten Egyptologia: Mitä? Siviilikalenteri Vanha valtakunta (2686-2160 B.C.) tai aiemmin Vuosi (12 kk), Vuodenaika (4 kk), Kuukausi (kk = 30 vrk), Viikko (10 vrk) Vuosi = 36 dekadia + 5 epagomenaalista päivää = 356 vrk Vuodenajat vaelsivat Kuukalenteri Juhlapäivät: määräytyivät tähtitieteellisistä havainnoista Kuukauden alku: aamu jona Kuu oli kadonnut Kuun synodien periodi on 29.53 päivää Kuukaudet 29 tai 30 päivää. 12 tai 13 kk Egyptologia: Mitä? Juhlapäivät sopivana vuodenaikana Yhteys Siviili- ja Kuukalenterin välillä Hyvien ja Huonojen päivien Kalenteri Vain 9 kokonaista tai osittaista säilynyt Hyvä tai huono ennuste päivittäin G=Gut=Hyvä S=Schlecht=Huono Sallier IV (British Museum, Hankintavuosi 1839, Ostettu Francois Sallierilta)

Egyptologia: Mitä? SSS Nälkä, jano, sairaudet, Rajoituksia: ruoka, matkustus, peruskiven muuraus,... SSS Huono syntymäpäivä,... GGG Juhlia, iloa, vapautta, terveyttä, menestystä, uhreja jumalille,... GGG Hyvä syntymäpäivä,... D = 1 aina GGG D = 20 aina SSS I Akhet 8: GGS Älä mene ulos yöllä I Akhet 25: GGS Älä mene ulos illalla Kuu: Alä mene ulos katsomaan pimeyttä uuden kuun aikana. Toistuvia ennusteita: Horuksen silmä, Se raivoava, Leijona Jumalatar Sekhmet, Wedjat Sekhmet taistelee niitä vastaan, jotka vastustavat Aurinko jumalaa Egyptology: Mitä? Myytti: Sekhmet lähetettiin tuhomaan kapinoiva ihmiskunta. Rauhoitettiin oluella. I Akhet 25: GGS... jumaltar taistelee kapinoitsijoita vastaan itäisellä aavikolla... älä mene ulos yöllä. Algol aamutaivaalla? Sekhmet: faaraoiden suojelija Sekhmet: johti faaraoita sodassa

Egyptologia: Missä? Nykyinen Deir el-medinan kylä = Muinainen Theba Niilin länsirannalla, vastapäätä Luxoria (Kuninkaiden laakso) Theba CC löytynyt Eliitti työmiehiä Kuninkaiden hautojen rakentaminen ja koristelu Abydos CC kirjoitettu? Valon Talo = Kirjojen Talo = Kirjurien instituutio Muinainen yliopisto Kirjurit: Matematiikka, Lääketiede, Astronomia, Maantiede, Taikuus, Balsamointi, Unien tulkinta, Hautojen koristelu, Kuolleiden Kirja,... Kalenterit yksi kirjurien palveluista? Etäisyys Thebasta Abydosiin: 90 km

Egyptologia: Milloin? CC vaikea ajoittaa tarkasti. Kopio Sallier IV (1224 1223 B.C.) Käytimme kompromissia 1224 ekr ± Muutama vuosisata Samat astrofysikaaliset ja astronomiset tulokset Egyptologia: Kuka? Kirjurit: arvostettuja ammattilaisia Kirjoittaminen maaginen kyky Mahdollisti kommunikaation jumalien ja kuolleiden Lauri Jetsukanssa al. Fysiikan laitos Helsingin yliopisto lauri.jetsu@helsinki.fi Kirjoittaminen otettiin vakavasti: teksti ei vanhennu, eikä muutu virheelliseksi Kulttuuri perustui kirjoitettuun kommunikaatioon Sama kirjuri: lääkäri, parantaja, pappi, taikuri, tunnin-mittaaja, matemaatikko,... CC teksti kuvasi itseään:... kirja, jonka alku on ikuisuus ja loppu on äärettömyys, temppelin jumalien luoma, Enneadin kokoama ja hänen majesteettinsa Thothin sitoma Suuressa talossa Kaiken Valtiaan vierellä.

Egyptologia: Miksi? Joka yö: Aurinko seilasi lautalla läpi maan alisen maailman Joka yö: Rukouksia ja rituaaleja jokaisena 12 tuntina Miellyttivät kauheita portinvartijoita Kaikki tehty oikein Aurinko nousi uudelleen Tunnin mittaajat: Yön tunnit astronomisista havainnoista Dekaanitähdistä laskettiin yön tunnit Hautaholvit: dekaanitähtien tähtikuviot Egyptologia: Miksi? Mukana tieteessä Mukana pappeudessa Rituaalit pitivät tunnetun maailmankaikkeuden vakaassa tilassa Mikä tahansa ennustamaton muutos Kosminen järjestys häiriintyy Muuttuja havaitaan Saa paljon huomiota Kirjoittaa suoraan Herättää vihan Epäsuorasti Myytti Välttää vihan

Egyptologia: Miten? Yli 1000 vuotta: 300 kirkasta yötä vuodessa Meridiaanilla kaksi kirjuria kasvot vastakkain 2 3 metrin etäisyydellä Vasemman olkapään kohdalla, vasemman korvan kohdalla, vasemman silmän kohdalla, oikean silmän kohdalla,... Algol huomattu dekaanitähtiä havaittaessa. Ehkä vain havaitut pimennykset kirjattu. 57 päivää Pimennyksellä sama yön tunti! Ehkä määrittivät numero arvon 20 pimennystä 57 päivässä (Päiväaika interpoloitu) Periodi 2+17/20 päivää Ei suoraa viittausta Ei vihaa Mytologia: Sekhmet, Wedjat, Se raivoava Muut kultturit: Miksi ei? Miksi Algolia ei mainita missään historiallisessa dokumentissa? Kopal (1947)... aiemmat löydöt hautautuneet Aleksandrian kirjaston tuhkaan Medusan pää: optimaalinen timantti Helleenien myytti: Perseus leikkaa Medusan pään

Johtopäätökset Algolin periodi oli 2.850 päivää 1224 ekr Algolin periodi on kasvanut 2.867 päivään Periodin kasvu havaittu ensimmäistä kertaa Muinaiset Egyptiläiset ovat kirjanneet periodin CC:hen uskonnollisista syistä CC kuvaa Sitä Raivoavaa = Algol? CC on luultavasti vanhin säilynyt dokumentti muuttuvan tähden löytämisestä Ensimmäinen muuttuva tähti löydettiin 3000 vuotta aiemmin kuin tähän asti on uskottu CC antaa arvokasta tietoa tuleviiin kaksoistähtien massavirtaus tutkimuksiin Johtopäätökset Pimennyksiä havaittu 1224 ekr Algol A B ja Algol AB C systeemien ratatasojen täytyy olla lähes kohtisuorat (varmistui jälkikäteen!) Egyptologia: Avaa uuden ikkunan menneisyyteen Kysymyksiä?