9 1.3 KAHDN RAON DIFFRAKTIO Yhden kapean raon aiheuttama amplitudi tarkastelupisteeseen P laskettiin integraalilla = ò, + / L ikssinq R e ds r - / missä s on alkion ds etäisyys raon keskipisteestä, ja kulma q tarkastelupisteen P suuntakulma keskiakselista. Kahden raon kuvio lasketaan samalla integraalilla käyttäen vain eri integrointirajoja. Tilannetta tarkastellaan seuraavassa kuvassa: Kapeat raot ovat nytkin leveydeltään ja rakojen vastinpisteiden välimatka on a. Amplitudi-integraali menee muotoon -(1/ )( a- ) (1/ )( a+ ) ì Lï ü isk sinq isk sinq ï R = í e ds + e dsý r ïî- (1/)( a+ ) (1/ )( a-) ïþ ò ò. Integrointi ja rajojen sijoittaminen johtaa tulokseen R L 1 = r ik sinq { (1/) i( - a + k ) sin q (1/ ) i( - a - k ) sin q (1/) ia ( + e e e k ) sin q e (1/) ia ( - k ) sin q} - + - Otetaan seuraavaksi käyttöön merkinnät: 1 = k q (1.3.1) sin
91 koskien rakojen leveyttä ja samanlainen a 1 = ka q (1.3.) sin koskien rakojen välimatkaa a. Näillä saadaan (1/ ) i( - a+ ) ksinq =- ia + i, (1/ ) i( -a- ) ksinq =-ia - i, (1/ ) i( a+ ) ksinq = ia + i, (1/ ) i( a- ) ksinq = ia - i, jolloin integraalin kaarisulkuosa menee muotoon - ia+ i -ia- i ia+ i ia-i { } = { e - e + e -e } { e ia ( e i - e i - ) e ia ( e i - e i )} ia -ia i -i = - + - = ( e + e )( e -e ) = (cos a)(isin ). Amplitudille saamme lopulta R = r L L sin (isin )(cos a) = cosa, i r ja irradianssille tulee æ L sin I e c ö æ e c öæ ö æ ö = ç R = ç ç r ç è ø è øè ø è ø mikä menee muotoon missä cos I I æsin ö = I ç 4 cos è ø æe cöæ ö L = ç ç r è øè ø. a, a, (1.3.3) Tässä I on yhden kapean raon maksimi-irradianssi yhtälön (1.1.4) mukaan. Kahden raon kuviossa siis keskimaksimin irradianssi on 4-kertainen yhteen rakoon verrattuna.
9 Aikaisemmin interferenssin yhteydessä (Youngin koe) osoitimme, että kahden periaatteessa äärettömän ohuen raon interferenssikuvio on (ks. yhtälö 1..1) épa ù I = 4Icos ê sinq = 4Icos a ë l ú. û Yhden raon diffraktiossa puolestaan (yhtälö 1.1.4) Kahden raon diffraktiokuvio I I æsin ö = I ç è ø. æsin ö = I ç 4 cos è ø muodostuu siten kahden raon interferenssin irradianssin ja yhden raon diffraktion irradianssin tulona: a
93 Suureet a ja ovat kulmamitoissa ja ne kytkeytyvät toisiinsa kuten (katso 1.3.1 ja 1.3.) a a a a = Þ =. (1.3.4) Puuttuvat kertaluvut Kahden raon diffraktiokuviossa havaitaan ns. interferenssin puuttuva kertaluku, kun diffraktion minimi sattuu interferenssimaksimin kohdalle. Diffraktion minimit saadaan, kun = mp Þ sinq = ml, m =± 1, ±, K (1.3.5) Interferenssin maksimit saadaan, kun a = pp Þ asinq = pl, p =, ± 1, ±, K (1.3.6) Puuttuva kertaluku saadaan, kun molemmat ehdot ovat samanaikaisesti voimassa. Jakamalla yhtälöt puolittain tulee a p =, m josta (ks. myös 1.3.4) p p a= tai a =. (1.3.7) m m Kun rakojen välimatka on jokin raon leveyden monikerta, tämä ehto toteutuu eksaktisti. simerkiksi, jos a= niin p= m. Puuttuvat interferenssin kertaluvut ovat siten p =±, ± 4, K dellisen sivun diffraktiokuviosta puuttuu selvästi interferenssimaksimit p =± 6, ± 1, K. Kuvio vastaa siis tilannnetta a = 6.
94 simerkki: Kahden raon systeemissä rakojen vastinpisteiden välimatka on 4 yksittäisen raon leveys. Hahmottele æsin ö ç è ø ja cos a samaan kuvaan :n funktiona ja piirrä sitten yhdistetty kokonaiskuva (1.3.3). Mitkä interferenssimaksimit puuttuvat? Ratkaisu: Tässä a = 4Þ a = 4, joten ( sin / ) :n maksimi, kun cos (4 ) æsin ö 4I cos (4 ) I = ç è ø = ja minimit, kun = mp :n maksimit, kun 4 = pp ja minimit "puolessa välissä". Puuttuvatmaksimit: a= 4 Þ p/ m= 4Þ p= 4m, eli p = 4( ± 1, ±, ± 3, K) =± 4, ± 8, ± 1, K
95 Seuraavassa kuvassa on vielä verrattu yhden raon kuviota (kuva c) kahden raon kuvioon (kuva d). Molemmissa raon leveys on sama. 1.4 MONN RAON DIFFRAKTIO Kuvassa alla on monen raon systeemi. Rakojen vastinpisteiden välimatka on a ja jokaisen raon leveys on. Tässäkin lähdetään liikkeelle yhden raon amplitudiintegraalista L ikssinq R = e ds r ò johon rakosysteemi rakennetaan valitsemalla integrointirajat sopivasti. Monen raon systeemissä voidaan edelleen hyödyntää aikaisemmin laskettua kahden raon systeeemiä, kun rakoja tarkastellaan pareittain. Yksi pari muodostuu aina keskikohdan suhteen symmetrisesti sijaitsevista raoista.
96 1. Pari: Aikaisemman kahden raon tarkastelun perusteella -(1/)( a- ) (1/)( a+ ) ì Lï ü isk sinq isk sinq ï R1 = í e ds e ds r ò + ò ý ïî- (1/ )( a+ ) (1/ )( a-) ïþ. Pari: ì L sin = cosa. r -(1/ )(3 a- ) (1/ )(3 a+ ) L ï isk sinq isk sinq R = í e ds e ds r ò + ò -(1/)(3 a+ ) (1/)(3 a-) ïî Kysymyksessä on täsmälleen sama integraali kuin 1. parin tapauksessa, kunhan korvataan a 3a eli a 3a. Saadaan siis 3. Pari: jne. R R3 L sin = cos3a r L sin = cos5a r Kun rakoja on N kpl (ts. rakopareja on N / kpl, siis N on tässä vaiheessa vielä parillinen) saadaan parien kokonaisvaikutukseksi R L sin = [cos a + cos3 a + cos5 a + L + cos( N - 1) a ]. r ix Koska Re( e ) = cos x, hakasulkuosa saadaan muotoon a ( 3 a 5 a e e e e ( - 1) a) i i i i N [ ] = Re + + + L +, missä nyt kaarisulkujen sisään muodostuu geometrinen sarja. Yleisessä tapauksessa geometrisen sarjan summa on n q -1 Sn = a q - 1, üï ý ïþ
97 missä a on ensimmäinen termi ja q peräkkäisten termien suhde. i Nyt a= e a i ja q= e a. Termien lkm on n= N/, joten ia N ( e ) / æ -1ö Nia ia æ e -1 ö [ ] = Re e = Re ç ia ia -ia e -1 ç e -e. è ø è ø ulerin kaavan avulla saadaan æ(cos Na - 1) + isin Na ö [ ] = Reç è isina ø Siten lopultakin ja irradianssiksi tulee missä I sisältää kaikki vakiot. æi(cos Na -1) -sin Na ö sin Na = Reç =. è -sina ø sina I R L sin sin Na = r sina æsin ö æsin Na ö = I ç ç è ø è sina ø, (1.4.1) Vaikka tulos johdettiin parillisella N : n arvolla se pätee myös parittomilla. Tämä voidaan osoittaa valitsemalla rakosysteemin keskikohdaksi keskimmäisen raon keskikohta ja toistamalla edellisten sivujen laskut (ei tehdä sitä nyt). Kun N = 1, tulos (1.4.1) antaa suoraan yhden raon tuloksen. Kun N =, saadaan kahden raon tulos, sillä sin a/sina = cosa, jne. Tarkastellaan tarkemmin irradianssin (1.4.1) tekijää æsin Na ö ç è sina ø, joka kuvaa rakojen välistä interferenssiä. Interferenssikuvion ääriarvot saadaan kirjoittamalla
98 d æsin Na ö æsin Na öæ Ncos Nasina -cosasin Na ö ç = ç ç =. da è sina ø è sina øè sin a ø Minimit saadaan ensimmäisestä tekijästä asettamalla sinna =, kunhan huolehditaan, että sina ¹. Siis Na = pp, josta p a = p, missä (1.4.) N p =± 1, ±, ± 3, K, mutta p¹, ± N, ± N, K Päämaksimit saadaan edellisestä, kun p=, ± N, ± N, K eli a = mp, missä (1.4.3) p m = =, ± 1, ±, ± 3, K N Tällöin tekijä on epämääräinen (muotoa /), mutta L Hospital in säännöllä saadaan raja-arvot sin Na Ncos Na lim = lim =± N. a mp sina a mp cosa Päämaksimeiden irradianssi on siis verrannollinen N : een. Sivumaksimit saadaan derivaatan toisesta tekijästä kirjoittamalla osoittaja nollaksi, ts. Ncos Nasina - cosasin Na = eli Ntana = tan Na. (1.4.4) Tämä toteutuu ensinnäkin, kun a =, ± p, ± p, K eli päämaksimien kohdalla. Varsinaiset sivumaksimit saadaan muilla arvoilla. Hyvä approksimaatio tässäkin on olettaa, että sivumaksimit sijaitsevat minimien puolessa välissä, eli paikoissa 1 p a = ( p + ). N
99 simerkki: Piirrä monen raon systeemin tuottaman Fraunhoferin diffraktiokuvion irradianssijakauma, kun rakojen lukumäärä on 8 ja rakojen vastinpisteiden välimatka on 4 yksittäisen raon leveys. Ratkaisu (mathematica-ohjelmalla)
3 simerkki: Monen raon systeemissä N = 8 ja a = 4 (ks. edellä). Laske keskimmäisen päämaksimin viereisen ensimmäisen sivumaksimin irradianssi suhteessa päämaksimin irradianssiin a) approksimoimalla sivumaksimit minimien puoleen väliin ) tarkasti Ratkaisu: a) Minimit a = pp /8, missä p = (),1,,3,4,5,6,7,(8),9,1, K Tässä siis p =,8,16, Keivät kelpaa. nsimmäinen sivumaksimi on minimien p =1 ja puolessa välissä, ts 1 æ p p ö p a = ç 1 + = 1,5 =,1875 p. è 8 8ø 8 Ja sitten lasketaan: æsin( a/ 4) ö æsin8a ö Isivu = Iç I,9979 3, 3983 ( a/ 4) ç = è ø è sina ø = 3,1647 I æsin() ö æsin(8 ) ö I = I ç ç = I 1 64 = 64 I () è ø è sin ø joten Isivu 3,1647 = =,557» 5,% I 64 keski keski ) Tarkasti sivumaksimin paikka (siis a ) saadaan ratkaisemalla transkendenttinen yhtälö 8tana = tan8a numeerisesti. Iteroinnin lähtöarvoksi kannattaa valita approksimaatio a»,1875p : Kohtaa a tarkempi arvo on siis a»,1797p. Lasketaan:
31 æsin( a/ 4) ö æsin8a ö Isivu = Iç I,99338 3,3681 ( a/ 4) ç = è ø è sina ø = 3,33857 I I = 64 I (kuten a-kohdassa) keski Joten Isivu 3,33857 = =,5165» 5,% Ikeski 64 1.5 DIFFRAKTIOHILA dellä tarkastelimme diffraktiota monessa raossa. Käytännön laite, joka soveltaa johdettua teoriaa on diffraktiohila. Monen raon diffraktiokuvio muodostuu itse asiassa interferenssimaksimeista (ks. keskimmäinen kuva esimerkissä sivulla 99), jotka vähitellen vaimenevat diffraktion vaikutuksesta (ks. ylin kuva esimerkissä) kun siirrytään kauemmaksi kuvion keskeltä. Kun rakojen lukumäärä N kasvaa, käy niin, että sivumaksimit pienenevät käytännössä olemattomiin ja irradianssi keskittyy kokonaan päämaksimeille. Päämaksimit saadaan yhtälöstä (1.4.3) josta p a = asinq = mp, l asinq = ml, m =, ± 1, ±, K (1.5.1) Tämä on ns. hilayhtälö, joka siis kertoo maksimien suunnat. Yhtälössä vakio a (rakojen välimatka) on ns. hilavakio ja kokonaisluku m ns. kertaluku.
3 Monokromaattinen valo Kun hilaan saapuu monokromaattista valoa, valon irradianssi jakautuu eri kertalukuihin viereisen kuvan mukaisesti. ri kertalukujen suuntakulmat voidaan laskea ratkaisemalla ne hilayhtälöstä (1.5.1): q = arcsin[ m l/ a]. Viereiseen kuvaan on merkitty ensimmäisen kertaluvun suuntakulma q 1. ri kertalukujen irradianssit saadaan puolestaan soveltamalla monen raon diffraktion teoriaa, joka on esitetty edellisessä kappaleessa. simerkki: Hilaan ohjataan HeNe-laserin valoa, jonka aallonpituus on 63,8 nm. Hilassa on 6 rakoa millimetrillä ja rakojen leveys on 1/4 peräkkäisten rakojen välimatkasta. a) Mihin kertalukuihin ja suuntiin laservalon irradianssi jakautuu? ) Laske kertalukujen suhteelliset irradianssit. 1 1-3 Ratkaisu: Hilavakio a = mm = 1 m 6 6 a) Lasketaan suuntakulmaa sin qm = ml/ a= m,37968 m= sinq = Þ q = m=± 1 sinq 1 =±,37968 Þ q1 =±,3 m=± sinq =±,75936 Þ q =± 49,4 m=± 3 sinq 3 =± 1,1394 > 1 ei enää mahdollinen Irradianssi jakautuu kolmeen kertalukuun (, ± 1 ja ± ) ) Kertaluvut ovat interferenssin maksimeita, joille pätee (1.4.3): a = mp. Interferenssimaksimit ovat sinänsä kaikki yhtä voimakkaita, mutta niitä vaimentaa diffraktiotekijä (sin / ) sitä enemmän mitä suurempiin kertalukuihin mennään (esimerkki
33 sivulla 99). Koska nyt a= 4 eli = a/4 = mp /4, suhteelliset irradianssit saadaan laskemalla [sin( mp / 4) /( mp / 4)]. Lasketaan: m = [sin()/()] = 1 m =±1 [sin( p / 4)/( p / 4)] =,811 m =± [sin( p / 4) /( p / 4)] =,45 i-monokromaattinen valo Myös ei-monokromaattinen valo jakautuu kertalukuihin. Lisäksi jokaiseen kertalukuun muodostuu spektri, ts. eri aallonpituudet jakautuvat kertaluvun sisällä hieman eri suuntiin. simerkki: Hilassa on 4 rakoa millimetrillä (4 uraa/mm). Laske näkyvän valon (4 nm 7 nm) kulmajakautuma a) toisessa kertaluvussa ) kolmannessa kertaluvussa 1 1-3 Ratkaisu: Hilavakio a = mm = 1 m 4 4-9 Aallonpituuskaista: l 1 = 4 1 m l 7 1-9 = m a) m = (lasketaan vain positiivisia kertalukuja) q1 = arcsin( l1/ a) = 18,7 q = arcsin( l / a) = 34,1, kulmajakauma D q = 15,4 ) m = 3 q1 = arcsin(3 l1/ a) = 8,7 q = arcsin(3 l / a) = 57,1, kulmajakauma D q = 8,4
34 Tärkeä havainto: Mitä suurempi kertaluku sitä leveämpi kulmajakauma. Hilan erotuskyky Tarkastellaan tilannetta, jossa hilaan saapuva valo koostuu kahdesta aallonpituudesta l ja l+ dl, missä dl on pieni. Syntyy kaksi monen raon diffraktiokuviota (1.4.1) Hilan erotuskyvyllä tarkoitetaan hilan kykyä tuottaa lähellä toisiaan olevista aallonpituuksista erilliset piikit tietyssä kertaluvussa. Oleellinen kysymys siis on: Milloin päämaksimit vielä erotetaan toisistaan? sim. kuvassa yllä nollannen kertaluvun piikit eivät erotu, mutta jo ensimmäisessä kertaluvussa ne näyttäisivät erottuvan. Toisessa ja kolmannessa erottuminen on jo selvää.
35 Rayleigh'n, kriteeri: Piikit erotetaan, kun l+ dl:n maksimi osuu l :n 1. minimin kohdalle. Tämä tilanne on esitetty kuvassa alla. Hilayhtälö (ks. myös 1.4.3) p asinq = ml = l N antaa päämaksimit, kun p=, ± N, ± N, K ja niitä seuraavat 1. minimit saadaan seuraavilla arvoilla eli p + 1. Kirjoitetaan: l+ dl:n maksimit: p asin q = m( l+ dl) = ( l+ dl) N l:n minimit: p + 1 asinq = l N Näistä saadaan p p+ 1 p 1 ( l+ dl) = l = l+ l Þ mdl = l/ N N N N N ja erotuskyvyksi voidaan kirjoittaa R = l ( Dl) min = mn, (1.5.) missä ( D l) min = dl on minimi aallonpituusero, joka Rayleigh n kriteerin mukaan on erotettavissa. Hilan, jossa on N rakoa, erotuskyky on verrannollinen diffraktion kertalukuun. Toisaalta vakiokertaluvussa erotuskyky paranee rakojen määrän kasvaessa.
36 simerkki: Hilan on kyettävä erottamaan ensimmäisessä kertaluvussa vähintään,1 nm:n aallonpituuseroja koko näkyvällä alueella (4-7 nm). Hilan leveyden on oltava cm. a) Laske vaadittava rakojen lukumäärä. ) Laske mihin kulmaväliin,1 nm:n aallonpituusero avautuu aallonpituudella 5 nm ensimmäisessä kertaluvussa. c) Mitä matkaa tämä kulmaero vastaa varjostimella, joka on sijoitettu 1 m:n etäisyydelle hilasta? Ratkaisu: a) m = 1 ja ( D l) min =,1 nm. rotuskyvystä (1.5.) tulee 1 l l N = = = 7. m ( Dl) min,1 nm Tiukin vaatimus on 7 nm:n alueella, joten sitä käytettiin yllä. Tällä arvolla 4 nm:n alueella ( D l) min = 4nm/ 7 =,6nm, joten hilat toimii varmasti vaaditusti. - ) Hilavakio: a = 1 m» 857,1 nm 7 Hilayhtälöstä ( m = 1) asinq = l derivoimalla (l :n suhteen) dq acosq = 1Þ d l Dl Dl Dl Dl D q = = = = acosq a 1-sin q a 1 -( l/ a) a -l Tässä: D l =,1nm, l = 5nm ja a = 857,1 nm ÞD q = 35,6μrad c) varjostimella väli on D q 1m =,36 mm.