Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102
Normin ominaisuuksia I Lause 17 Oletetaan, että v R n. Tällöin v = 0, jos ja vain jos v = 0. Perustelun idea lausetta 16 hyödyntäen: v = 0 v 2 = 0 v v = 0 v = 0. LM1, Kesä 2014 77/102
Normin ominaisuuksia I Lause 18 Oletetaan, että v R n ja c R. Tällöin c v = c v. Perustelun idea lausetta 15 hyödyntäen: c v 2 = (c v) (c v) = c 2 ( v v) = c 2 v 2 = (c v ) 2, joten c v = c v tai c v = c v. Normit epänegatiivisia, joten c v = c v. LM1, Kesä 2014 78/102
Yksikkövektorit Määritelmä Vektori ū R n on yksikkövektori, jos sen normi (eli pituus) on 1; ts. ū = 1. Huom. Tuttuja yksikkövektoreita avaruuden R 2 vektorit ī = (1, 0) ja j = (0, 1); avaruuden R 3 vektorit ī = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). j ī LM1, Kesä 2014 79/102
Yksikkövektorit Lause 19 Vektorin v R n { 0} suuntainen yksikkövektori on 1 v v. v v =5 1 5 v 1 5 v =1 Voit perustella tämän hyödyntäen lausetta 18. LM1, Kesä 2014 80/102
Vektoreiden välinen etäisyys Määritelmä Oletetaan, että v, w R n. Vektorien v ja w välinen etäisyys on d( v, w) = v w. Kaksi näkökulmaa: v v w v 2 w 2 v w v w v 1 w 1 w LM1, Kesä 2014 81/102
Normin ominaisuuksia II Lause 20 (Schwarzin epäyhtälö) Oletetaan, että v R n ja w R n. Tällöin v w v w. Lause 21 (Kolmioepäyhtälö) Oletetaan, että v R n ja w R n. Tällöin v + w v + w. v+ w w v LM1, Kesä 2014 82/102
Vektorien välinen kulma Schwarzin epäyhtälöstä saadaan Lemma 22 Oletetaan, että v R n \ { 0} ja w R n \ { 0}. Tällöin 1 v w v w 1. LM1, Kesä 2014 83/102
Vektorien välinen kulma Määritelmä Vektorien v R n \ { 0} ja w R n \ { 0} välinen kulma on se kulma α, jolle pätee 0 α 180 ja cos α = v w v w. LM1, Kesä 2014 84/102
Havainnollistuksia: Kosinilauseen mukaan alla olevassa kolmiossa w v 2 = v 2 + w 2 2 v w cos α. w w v v Toisaalta normin määritelmän nojalla w v 2 = ( w v) ( w v) =... = v 2 + w 2 2( v w). Siten cos α = v w v w. LM1, Kesä 2014 85/102
Lause 23 (Pythagoraan lause) Oletetaan, että v R n ja w R n. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset (eli kohtisuorassa toisiaan vastaan), jos ja vain jos v + w 2 = v 2 + w 2. v+ w w v LM1, Kesä 2014 86/102
Projektio Määritelmä Olkoot v, w R n ja w 0. Tällöin vektorin v projektio vektorin w virittämälle aliavaruudelle on sellainen vektori p R n, että (a) vektori p on yhdensuuntainen vektorin w kanssa (b) vektori v p on kohtisuorassa vektoria w vastaan. Projektiota merkitään p = proj w ( v). v proj w ( v) w LM1, Kesä 2014 87/102
Projektio Lause 24 Oletetaan, että v, w R n ja w 0. Vektorin v projektio vektorin w virittämälle aliavaruudelle on v w proj w ( v) = w w w. Huom. Kerroin ( v w)/( w w) on reaaliluku. Kaavan antama projektio on siis vektorin w skalaarimonikerta. Tämän lauseen todistus osoittaa, että annetun vektorin projektio toisen vektorin virittämälle aliavaruudelle on yksikäsitteinen. LM1, Kesä 2014 88/102
Pisteen etäisyys suorasta Pisteen Q etäisyys suorasta S = { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0, saadaan projektion avulla: Q ā proj v (ā) v ā P proj v (ā) LM1, Kesä 2014 89/102
Esimerkki 14 (a) Määritä pisteiden A = (2, 3, 5) ja B = (4, 1, 7) kautta kulkeva suora S. (b) Määritä pisteen C = (4, 1, 9) etäisyys suorasta S. C B A LM1, Kesä 2014 90/102
(b) Vektori jostakin suoran pisteestä tutkittavaan pisteeseen; esim. AC = OC OA = (2, 2, 4). Jokin suoran suuntainen vektori; esim. AB = (2, 4, 2). Vektorin AC projektio suoralle S: Erotus proj AB ( AC) = AC AB AB AB AB = 20 AB = 5 AB. 24 6 AC proj AB ( AC) = AC 5 AB = 6 6 6 (2, 2, 4) 5 (2, 4, 2) 6 Erotuksen normi = 1 6 (12 10, 12 20, 24 10) = 1 (1, 4, 7). 3 AC proj AB ( AC) = 1 3 (1, 4, 7) = 1 1 1 + 16 + 49 = 66. 3 3 LM1, Kesä 2014 91/102
Määritelmä Ristitulo Oletetaan, että v, w R 3. Vektorien v = (v 1, v 2, v 3 ) ja w = (w 1, w 2, w 3 ) ristitulo on vektori v w = (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 1 ). Muistisääntö ristitulon laskemiseen: yhtenäisellä viivalla yhdistettyjen komponenttien tulosta vähennetään katkoviivalla yhdistettyjen komponenttien tulo. v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 LM1, Kesä 2014 92/102
Ristitulo Esimerkki 15 Merkitään ā = (2, 1, 2) ja b = (3, 1, 3). Lasketaan ā b. ā b = ( 3 ( 2), 6 ( 6), 2 3) = ( 1, 12, 5). 2 1 2 2 1 3 1 3 3 1 LM1, Kesä 2014 93/102
Ristitulon ominaisuuksia Lause 25 Oletetaan, että ū, v, w R 3 ja c R. Tällöin (a) v w = ( w v) (antikommutointi) (b) ū ( v + w) = ū v + ū w (osittelulaki) (c) ( v + w) ū = v ū + w ū (osittelulaki) (d) c( v w) = (c v) w = v (c w) (e) v v = 0 (f) 0 v = 0 ja v 0 = 0 (g) ū ( v w) = (ū v) w Paina mieleesi erikoiset ominaisuudet (a), (e) ja (g)! v w w v LM1, Kesä 2014 94/102
Ristitulon ominaisuuksia Lause 26 Oletetaan, että ū, v, w R 3. Tällöin (h) (ū v) w = (ū w) v ( v w)ū (i) ū ( v w) = (ū w) v (ū v) w (j) v w 2 = v 2 w 2 ( v w) 2 (Lagrangen identiteetti) Lagrangen identiteetti voidaan perustella kohtien (g) ja (h) avulla. Muut kohdat lauseissa 25 ja 26 voidaan perustella ristitulon määritelmään nojautuen. LM1, Kesä 2014 95/102
Ristitulon ominaisuuksia Lause 27 Oletetaan, että v, w R 3. Tällöin (a) ( v w) v ja ( v w) w; v w (b) jos v 0 ja w 0, niin v w = v w sin α, missä α on vektorien v ja w välinen kulma. w v w sin Ristitulovektorin v w pituus on yhtä suuri kuin vektorien v ja w määräämän suunnikkaan ala! LM1, Kesä 2014 96/102
Suuntaissärmiön tilavuus Suuntaissärmiön tilavuus on pohjan pinta-alan v w ja korkeuden h tulo. cos β = cos(180 β), joten h = ū cos β. Siis tilavuus on v w ū cos β = v w ū cos β = ( v w) ū h ū v v w w Tilavuus on ns. skalaarikolmitulon itseisarvo! LM1, Kesä 2014 97/102
Pisteen etäisyys tasosta Pisteen Q etäisyys tasosta T saadaan ristitulon ja projektion avulla: v w P proj v w (ā) w ā v Q LM1, Kesä 2014 98/102
Tason normaalimuotoinen yhtälö Piste Q = (x, y, z) on tasossa T, jos ja vain jos n ( q p) = 0, missä n on jokin tasoa T vastaan kohtisuora vektori (ns. tason T normaali). n q p Q P p q Huom. jos T = { p + s w + t v s, t R}, voidaan valita n = v w. O LM1, Kesä 2014 99/102
Tason normaalimuotoinen yhtälö Esimerkki 16 Merkitään A = (0, 1, 0), B = ( 1, 3, 2) ja C = ( 2, 0, 1). Taso T kulkee pisteiden A, B ja C kautta. Määritä (a) tason T normaalimuotoinen yhtälö; (b) pisteen D = (1, 2, 3) etäisyys tasosta T. D C A B LM1, Kesä 2014 100/102
(a) Jokin tason normaali; esim. tason suuntaisten vektoreiden AB = ( 1, 2, 2) ja AC = ( 2, 1, 1) ristitulo AB AC = (4, 3, 5). Vektori jostakin tason pisteestä pisteeseen Q = (x, y, z); esim. AQ = OQ OA = (x, y 1, z). Tason normaalimuotoinen yhtälö on näin ( AB AC) AQ = 0 eli (4, 3, 5) (x, y 1, z) = 0 4x 3(y 1) + 5z = 0 4x 3y + 5z + 3 = 0. LM1, Kesä 2014 101/102
(b) Jokin tason normaali; esim. tason suuntaisten vektoreiden AB = ( 1, 2, 2) ja AC = ( 2, 1, 1) ristitulo AB AC = (4, 3, 5). Vektori jostakin tason pisteestä pisteeseen D = (1, 2, 3); esim. AD = OD OA = (1, 1, 3). Vektorin AD projektio normaalin n = AB AC määräämälle suoralle proj n ( AD n 16 AD) = n = n n 50 (4, 3, 5) = 8 (4, 3, 5). 25 Projektion normi eli pituus proj n ( AD) = 8 25 (4, 3, 5) = 8 8 16 + 9 + 25 = 50 25 25 = 8 5 2. LM1, Kesä 2014 102/102