BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i <. b Suora Imz Rez. c Alue < Rez <. d Käyräparvi y + 1n, n 0,1,,,4. π4 e Pistejoukko r n 1, θ n n, n 1,,. f Suora y x + 4. Puoliavaruus y x + 4. g Ympyrät z 1 ja z. Annulus 1 < z <. h Puoliavaruus Imz <. i Käyräparvi θ n π π + n, n 0,,4 j Alue π θ π 4. k Alue π 4 θ π 4, r 4. l Pistejoukko z n n + i n, n,,. Piirrä myös näiden pisteiden kompleksikonjugaatit.
Yleisenä käytäntönä on piirtää avointen joukkojen reuna katkoviivalla, ja suljettujen joukkojen reuna yhtenäisellä viivalla. Avoin joukko on siis sellainen joukko, johon alueen reunaviiva ei kuulu, kuten z < 1. Vastaavasti suljettu joukko on sellainen, johon alueen reunakin kuuluu, kuten z 1. Tähän kuvaan kaikki reunat on kuitenkin piirretty yhtenäisellä viivalla helppouden/selkeyden vuoksi.. Laske/sievennä annetut lausekkeet. a +i i i 7+i b Im + i1 i i ] c Re i + i 1 i + i d i1 i 4+i a b c d + i i i + i 7 + i i + i + i i 7 + i 6 + i + i 1 5 1 14i i 7 i 6 + i + i 1 1 14i i 7 i 4 + 1 49 + 1 5 + 5i 5 19 17i + i 19 17i Im + i1 i i Im + i 1 i i Im i 1 + i i] 1 + 67i Im + 6i i + i] Im5 + 5i i] Im10 5i + 10i + 5] Im15 + 5i 5 ] Re i + i 1 i + i Re 1 + i 1 + i + i] Re 1 + i i + i 1] Re 1 + i + + i i + 1] Re + i] i1 i 4 + i + 6i i 4 + i 5 + 5i 4 + i 5 + 5 16 + 1 17 17. Esitä annetut luvut polaarimuodossa. a z + i. b z 1 i. a r z +. θ Argz tan 1 tan 1 1 π 4 z cos + isin 4 4]
b Nyt Rez < 0, joten pätee argz ±π + tan 1 y x. r z 1 + 4. θ Argz π + tan 1 π + π 1 π z cos π + isin π ] 4. Olkoon z 1 + i 1. Laske potenssit z z 9. Piirrä pisteet kompleksitasolle. Mitä huomataan? Kun annettu luku tulkitaan polaarimuodossa, huomataan r 1 ja θ 0 π 4. Nyt luvun kaikille potensseille pätee r n r n 1 n 1 ja θ n n π4. Kyseessä on siis joukko r n 1, θ n n π4, n 1,,, joka piirrettiin jo ykköstehtävässä. Huomataan z z, yleisemmin z n+ z n. 5. Ratkaise z yhtälöstä z z + 1 + i. z z + 1 + i x + iy x + iy + 1 + i x + y x + 1 + iy + Täytyy siis päteä reaaliosat samat yhtäsuuruusmerkin molemmilla puolilla, imaginääriosat samoin: { x + y x + 1 0 y + Alempi yhtälö antaa suoraan y. Nyt ylemmästä yhtälöstä x + x + 1 x + 4 x + x + 1 x Saadaan siis z i. 6. Mitkä alla olevista lausekkeista ovat samoja lausekkeen z 5 kanssa? z 4 + iz 4 + 5i z 4 + 5z 4 5 z + 5z 5z + i 5z i 5 z + 5z 5z 4 + 5
Ylin ei ole, muut ovat. Tämän voi todentaa laskemalla lausekkeet auki ja vertaamalla. 7. Tunnemme pisteet A : 1+i, B : +i, C : +i ja D : 1+i. Näiden pisteiden voidaan ajatella muodostavan neliö kompleksitasoon. a Piirrä kompleksitasoon nämä pisteet. b Kerro kaikki pisteet tekijällä i, ja piirrä tuloksena saamasi pisteet kompleksitasoon. c Kerro b-kohdassa saamasi pisteet vielä kertaalleen i:llä, ja piirrä tämä uusi pistejoukko kompleksitasoon. Mitä havaitaan? d Jos kertoisitkin alkuperäisen joukon tekijällä i, mitä tapahtuisi silloin? Tehtävän pointti on osoitta opiskelijalle tärkeä huomio: tekijällä i kertominen kuvaa minkä tahansa kompleksitason objektin tavalla, jota voidaan ajatella 90 asteen kiertona positiiviseen kiertosuuntaan kellon suuntaa vastaan. Vastaavasti tekijällä i kertominen kiertää pistejoukkoa negatiiviseen kiertosuuntaan.. Laske seuraavat kompleksiset juuret. a 1 e 4 1 i b 1 f 4 1 j c i g 4 i k 5 1 + i d i h 4 i l 5 1 i
a cosnπ + isinnπ ±1 b cos + nπ + isin + nπ ±i c cos 4 + nπ + isin 4 + nπ π π d cos 4 + nπ + isin 4 + nπ e cos n π + isin π f cos 4 + nπ + isin 4 + nπ g cos + nπ + isin + nπ π π h cos + nπ + isin + nπ i cosπ + isinπ] ± j cos n π + isin n π k Merkitään z 1 + i. Nyt z ja Argz π 4. Argumentti jaetaan juuren kertaluvulla, eli Arg 5 z π 4 15 0 π. Siispä 5 z cos 0 + π 5 + isin π0 + π ] 5. l Merkitään z 1 i. Nyt z ja Argz 7π 4. Argumentti jaetaan juuren kertaluvulla, eli Arg 5 z 7π 7π 4 15 0. Siispä 5 z cos 7π 0 + π 5 + isin 7π 0 + π ] 5. Tästä tehtävästä mainittakoon myös, että kohdat i ja j ovat tavallaan kompia. Vaikka luvut ja ovat toki reaalilukuja voidaan tulkita myös rationaaliluvuiksi tai kokonaislukuvuiksi, kuuluvat ne toki myös kompleksilukujen joukkoon. Kyseessä on silloin vain kompleksiluku jonka imaginääriosa on 0. Jos ajatellaan, että näissä lasketaan kompleksiluvun toista ja kolmatta juurta, niin toki operaatiosta tulee silloin kaksi erillistä juurta toista juurta laskettaessa, tai kolme erillistä juurta kolmatta juurta laskettaessa. Yleensä näillä merkinnöillä kuitenkin tarkoitetaan sitä, mitä niillä "tavallisesti" tarkoitetaan: positiivisen reaaliluvun principal root, joka on aina sekin positiivinen reaaliluku. 9. Ratkaise toisen asteen yhtälö z + iz + i 0. Kirjoitetaan yhtälö muotoon z + iz + + i 0. z b ± b 4ac a i ± i 4 + i 4 + 4i i ± i ± 1 4 4i Lasketaan tekijän 4 4i arvot. Merkitään w 4 4i. Siis w 4 + 4, ja Argw π 4. Kompleksisen juuren laskusääntöjen mukaan siis ] 7π 7π w cos + nπ + isin + nπ 4 ] 7π 7π cos + nπ + isin + nπ
Saadaan siis kaksi arvoa, 4 cos 7π + isin ] 7π ja 4 cos ] 15π 15π + isin Alkuperäisen yhtälön ratkaisuksi löytyy siis neljä pistettä: z 1, i ± 1 4 ] 7π 7π cos + isin z,4 i ± 1 4 ] 15π 15π cos + isin