Fononit Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa
Atomien lämpövärähtely Mikä on atomien värähtelyn taajuus ja amplitudi? Tarkastellaan yhtä atomia ja sen naapureita. Mikä on jousivakio?
Hilavärähtelyt
Harmooninen oskillaattori Liikeyhtälö: Ratkaisu: M d x dt x cos x t A t missä harmoonisen värähtelyn kulmataajuus on M Suuret jousivakiot ja pienet etäisyydet tuottavat korkeita taajuuksia.
Värähdysamplitudin arviointi Klassisen ekvipartitioteoreema-mallin mukaan värähtelijän kokonaisenergia 1 1 E Mv x on yhtä suuri kuin k B T (kaksi vapausastetta). Kun liikeenergia on nolla, 1 xmax kbt xmax kt B Tämän suuruusluokka on muutama prosentti atomien välisestä etäisyydestä.
Monimutkaisempia malleja (1D) Ääretön ketju (yksi atomi/yksikkökoppi) Ääretön ketju (kaksi atomia/yksikkökoppi) Äärellinen ketju
Ääretön 1-dimensioinen ketju Liikeyhtälö, atomi n: Tasapainoetäisyys a dun M u u u u dt dun n1 n n1 M u u u dt n n1 n1 n Ratkaisuyrite: u t ue n i kant
Sijoitus liikeyhtälöön: dun ikant M M ue dt ika ikant ikant ika ikant ue e ue ue e M M ka i ka ka i ka cos sin cos sin e ika 1 cos e ika ka Tämä on siis voimassa millä tahansa amplitudin u arvolla.
Tällä on ratkaisu vain, kun 1 coska ka k sin M M Koska cos cos sin 1 sin, niin saadaan k ka sin ka sin M M Yleisesti ω riippuu k:sta. ω(k) on nimeltään dispersiorelaatio.
Ratkaisu Dispersiorelaatio Ääniaalto u t ue n i kant k sin M ka Seisova aalto k ak k M
Yleinen 1D-aalto Vaihenopeus ja ryhmänopeus Määritellään vaihenopeus ryhmänopeus Samat, jos
Esimerkkejä dispersiorelaatioista Värähtelyt 1D-ketjussa ka k sin M Kvanttimekaaninen partikkeli k
Valo tyhjössä Esimerkkejä dispersiorelaatioista Dispersiorelaatio on lineaarinen. Valon nopeus c ei riipu taajuudesta. Valo materiassa k
Esimerkkejä dispersiorelaatioista Lineaarinen dispersio k -dispersio k k Sinimuotoinen dispersio k
1 5 Ratkaisu Dispersiorelaatio Seisova aalto Ääniaalto
Dispersiorelaatio on periodinen ja periodi on yksi käänteishilavektori!
Jos k muutetaan yhdellä käänteishilavektorilla, atomien liike säilyy samana.
Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke on k-avaruuden osa, joka on lähempänä tiettyä käänteishilan pistettä kuin mitään muuta käänteishilan pistettä (Wigner-Seitz koppi k-avaruudessa).
Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke
Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke
Reaaliavaruus Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke Käänteisavaruus
Kaksiatominen kanta Liikeyhtälöt: Hilaperiodi b dun M u v v dt Ratkaisuyrite: n M vn un 1 un 1 n n n1 u t ue n i kbnt dv Kaksi lineaarista yhtälöä, kaksi tuntematonta (amplitudit u ja v). dt v t ve n i kbnt
Sijoitus liikeyhtälöihin: ikb M1u u v e v ikb M v v u e u Saadaan yhtälöpari: ikb 1 M u 1 e v 0 ikb 1 e u M v 0
Tällä on ei-triviaali ratkaisu vain, kun kerroinmatriisin determinantti on nolla: ikb M 1 1 e 0 ikb 1 e M Koska ikb ikb M 1 M e e 1 1 0 ikb ikb M M M M 4 1 e 1 e 0 4 1 1 e e kb 4 1 1 cos 4sin ikb ikb kb :lle saadaan toisen asteen yhtälö kb M1M M1 M 4 sin 0
Toisen asteen yhtälö sievennettynä on kb M1M M1 M 4 sin 0 1 1 4 kb sin 0 M1 M M1M joten saadaan kaksi ratkaisua kaikilla k:n arvoilla: 1 1 1 1 1 4 kb M M M M M M 1 1 1 sin
Kaksihaarainen dispersiorelaatio 1 1 1 1 1 4 kb M M M M M M 1 1 1 sin
Fononimoodit Poikittaiset moodit: TA = transverse acoustic TO = transverse optical Pitkittäiset moodit: LA = longitudinal acoustic LO = longitudinal optical
Äärellisen pituinen ketju Mitkä ovat reunaehdot? Kuinka ketjun päät käsitellään? Pituus l, kiinnitetyt päätyatomit Ratkaisut ovat seisovia aaltoja.
Periodiset reunaehdot Max Born - Theodore von Karman (191) N 1 Ketju, jossa N atomia: u nn u n Äärellinen ketju, jolla ei ole päätyä!
Periodiset reunaehdot Samalla tavalla päästään 3D-materiaalien pinnoista eroon (!). Jos kidettä siirretään L:n verran, kaiken täytyy säilyä samana.
Periodiset reunaehdot Ketju, jossa N atomia: u nn u Aalto on sama N yksikköä edempänä: e e ikan ikna e 1 n ika nn Tämä rajoittaa k:n arvoja: kna m k a m N N erilaista mahdollista värähtelymoodia (m=0...n-1).
Hila ilman kantaa, 10 yksikkökoppia k m a N N atomia antaa N värähtelyn normaalimoodia. Pitkille ketjuille pisteet ovat hyvin tiheässä.
1 atomi / yksikkökoppi, N yksikkökoppia => N vapausastetta Reunaehdot k m a N k-pisteiden lkm N x 1 moodia ominaisarvojen lkm per k-piste atomia / yksikkökoppi, N yksikkökoppia => xn vapausastetta k-pisteiden lkm N x moodia ominaisarvojen lkm per k-piste
Kvantisoidut värähtelyt Käsitellään kiteen atomeja kvanttimekaanisina harmonisina värähtelijöinä, joilla on ym. taajuudet.
Yksi harmooninen oskillaattori: kvanttimekaanien malli Energiatasot kvantittuneet ja tasavälein: 1 En n M
Aaltofunktiot: image source: wikimedia, author AllenMcC.
Pitkä ketju: kvanttimalli Koska k-arvot ovat kvantittuneet, k voidaan ymmärtää myös kvanttiluvuksi Näitä eksitaatioita kutsutaan fononeiksi. Dispersiota kutsutaan yleisesti fononien dispersiokäyräksi.
Fononit <-> Fotonit Vahva analogia: bosonisia eksitaatioita Molempia kuvaa kvanttimekaaninen harmooninen oskillaattori Aaltohiukkasdualismi
3D kiinteät aineet 1D Kuutiollinen kide, jonka hilavakio on a, kiteen sivun pituus L ja N yksikkökoppia joka suunnassa 3D Monta indeksiä, esim. liikeyhtälöstä M x m j n i n i m j m j Ratkaisujen lkm: 3 x atomeja per yksikkökoppi x yksikkökoppien lkm Ratkaisujen lkm per k-piste 1BZ:ssa: 3 x atomeja per yksikkökoppi x 0
Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke Reaaliavaruus Käänteisavaruus
Fononit yhdessä dimensiossa haara Fononit 3D:ssä: 3D aaltovektori haara
Fononit 3D-kiteessä: alumiini Kokeellinen dispersiorelaatio epäelastisesta röntgensironnasta / neutronisironnasta.
Fononit 3D-kiteessä: alumiini
Fononit 3D-kiteessä: timantti Epäelastisesta röntgensironnasta / neutronisironnasta. Akustinen ja optinen haara erottuvat.