Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia

Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 2 / 353 Osa I Kompleksiluvut 1 Määritelmä ja perusominaisuuksia 2 Kompleksilukujen algebraa 3 Topologiaa A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 3 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 4 / 353

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia Määritelmä Laskutoimitukset kompleksiluvuilla Reaaliluvut ja kompleksiluvut 2 Kompleksilukujen algebraa 3 Topologiaa Määritelmä Kompleksiluku on z = x + iy, missä imaginaariyksikkö i toteuttaa yhtälön i 2 = 1 ja x, y ovat reaalisia. Määritelmä Re z = x on z:n reaaliosa. Im z = y on z:n imaginaariosa. Esimerkki: Kompleksiluvun 4 8i reaaliosa on 4 ja imaginaariosa 8. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 5 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 6 / 353 Perusominaisuuksia Kompleksiluvut z = a + ib ja w = c + id ovat yhtäsuuret täsmälleen silloin, kun a = c ja b = d. Erityisesti kompleksiluku z = a + ib on nolla täsmälleen silloin, kun a = ja b =. Vertailuoperaatiot <, eivät ole määriteltyjä kompleksiluvuille. Laskutoimitukset kompleksiluvuilla Olkoot z = a + ib ja w = c + id kompleksilukuja. Tällöin laskutoimitukset saadaan seuraavasti. Summa: Vastaluku Tulo: z + w = (a + c) + i(b + d). z + ( 1)z = z + ( z) =. zw = (a + ib)(c + id) = ac + i 2 bd + iad + ibc = (ac bd) + i(ad + bc). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 7 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 8 / 353

Laskutoimitukset kompleksiluvuilla, esimerkki Imaginaariyksikön potenssit Olkoon z = 3 + 4i, w = 1 5i. z + w = 4 i, z w = 2 + 9i, zw = 3 1 + 4 5 + i(4 1 3 5) = 23 11i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1,..., i 4 1+3 = i 3 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 9 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 Reaaliluvut ja kompleksiluvut 1 Määritelmä ja perusominaisuuksia Jos z = a + i, eli Im z = niin z on reaaliluku. Jos imaginaariosa on nolla, kaavat palautuvat tunnetuiksi reaalilukujen ominaisuuksiksi. 2 Kompleksilukujen algebraa Kompleksitaso Polaarimuoto Eulerin kaava De Moivren kaava Kompleksiluvun juuret Logaritmifunktiot 3 Topologiaa A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 11 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 12 / 353

Kompleksilukujen algebraa Vaihdannaisuus: z + w = w + z, Liitännäisyys: zw = wz. Kompleksikonjugaatti eli liittoluku Konjugaatti Kompleksiluvun z = x + iy kompleksikonjugaatti eli liittoluku z := x iy (z + w) + u = z + (w + u), (zw)u = z(wu). z + w = z + w, zw = z w. Osittelulaki: z(w + u) = zw + zu. z + z = 2 Re z, z z = i2 Im z. Re z = z + z 2 z z, Im z =. 2i z = z. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 13 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 14 / 353 Seurauksia Seuraus 1 Reaalikertoimiselle kompleksimuuttujan polynomille pätee P(z) = P( z). Todistus. Lasketaan P(z) = a + a 1 z + a 2 z 2 +... + a n z n P(z) = a + a 1 z + a 2 z 2 +... + a n z n = ā + ā 1 z + ā 2 z 2 +... + ā n z n. Koska a k on reaalinen, ā k = a k kaikilla k =,..., n, saadaan Seurauksia Seuraus 2 Reaalikertoimisen polynomin nollakohta on joko reaalinen tai kompleksisessa tapauksessa liittolukupari. Todistus. Olkoon z = x + iy reaalikertoimisen polynomin P kompleksinen nollakohta. Edellisen nojalla saadaan joten myös z on P:n nollakohta. = = P(z) = P( z), P( z) = a + a 1 z + a 2 z 2 +... + a n z n = ā + ā 1 z + ā 2 z 2 +... + ā n z n = P(z). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 15 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 16 / 353

Kompleksitaso Yhteen- ja vähennyslaskun geometrinen tulkinta (Caspar Wessel 1797, Jean Argand 186) Moduli eli itseisarvo: r z = x 2 + y 2 = z z. Argumentti eli vaihekulma: θ arg z = arctan y x. Kompleksilukujen yhteen- ja vähennyslasku vastaavat vektorien laskutoimituksia. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 17 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 18 / 353 Liittoluvun tulkinta Liittoluvulle voidaan antaa geometrinen tulkinta kompleksitasossa Modulin ominaisuuksia Kaikilla z C, kompleksiluvun moduli z, erityisesti z = z =. Kerto ja jakolasku: zw = z w Kolmioepäyhtälö: z + w z + w. eli peilaus reaaliakselin suhteen. Normi: ( x + iy = x y) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 19 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 2 / 353

Käänteisluku Kolmioepäyhtälön todistus Selvästi z z z 2 = z z z 2 = 1 kaikilla z, z C, niinpä voimme kirjoittaa z 1 = Kahden kompleksiluvun osamäärälle pätee siten ja modulille z w = z w, z 1 = z 1, w z = w z z z z z 2. z k = z k, kokonaisluvuille k Lasketaan z + w 2 = (z + w)(z + w) = z z + z w + zw + w w = z 2 + z w + zw + w 2. Koska z w = z w = zw, ja siis z w + zw = z w + z w = 2 Re (z w) 2 z w, saadaan z + w 2 z 2 + 2 z w + w 2 = ( z + w ) 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 21 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 22 / 353 Kolmioepäyhtälön geometrinen tulkinta Kolmioepäyhtälön geometrinen tulkinta A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 23 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 24 / 353

Kolmioepäyhtälön geometrinen tulkinta Seuraus Määritelmä Jonolla z 1, z 2,... on raja-arvo z, merkitään lim n z n = z, jos kaikille ε > on olemassa sellainen N, että z n z < ε, kun n > N. Lause Olkoon (z n ) jono kompleksilukuja. Tällöin lim n z n = z, jos ja vain jos lim n Re z n = Re z ja lim n Im z n = Im z. Todistus. Seuraa välittömästi kolmioepäyhtälöstä. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 25 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 26 / 353 Argumentin päähaara Polaarimuoto Argumentin arvot ovat välillä π < θ Arg z +π. Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis Yleisesti: arg z = θ + 2nπ, z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. missä θ on päähaaran arvo ja n on mikä tahansa kokonaisluku. Saadaan kompleksiluvun esitys polaarimuodossa: z = r(cos θ + i sin θ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 27 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 28 / 353

Eulerin kaava Eksponenttifunktiolle ja trigonometrisille funktioille pätevät kaikille reaaliluvulle t seuraavat sarjaesitykset: e t = 1 + t + t2 2! + t3 3! +... + tn n! +... (3.1) sin t = t t3 3! + t5 5!... + ( 1)k t 2k+1 +... (3.2) (2k + 1)! Eulerin kaava, jatkoa Jos hyväksytään annetut sarjaesitykset, niin: e it = 1 + it + (it)2 2! = 1 + it + i 2 t 2 + (it)3 3! + i 3 t 3 2! 3! ( 4! +... + i = 1 t2 2! + t4 = cos(t) + i sin(t). +... +... t t3 3! + t5 ) 5!... cos t = 1 t2 2! + t4 4!... + ( 1)k t 2k (2k)! +... (3.3) Huomaa: potenssisarjaesitykset suppenevat kaikilla t R, joten sarjan termien järjestys voidaan vaihtaa. Saadaan Eulerin kaava: e iθ = cos θ + i sin θ. (3.4) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 29 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 3 / 353 Seurauksia, identiteetit trigonometrisille funktioille Koska Saadaan seuraavat kaavat: e iθ = cos(θ) + i sin(θ) e iθ = cos( θ) + i sin( θ) cos θ = eiθ + e iθ 2 = cos(θ) i sin(θ)., sin θ = eiθ e iθ. (3.5) 2i Identiteetit trigonometrisille funktioille Yleisesti kompleksiluvulle z = x + iy määritellään sarjan avulla e z := 1 + z + 1 2 z2 +... = e x+iy = e x e iy Samalla tavalla käyttäen sarjaa määritelmänä cos z := = 1 2 (eiz + e iz ), sin z := = 1 2i (eiz e iz ), Huomaa, että tämän seurauksena pätee e iz = cos z + i sin z tan z := sin z cot z := cos z cos z, sin z. Huomaa: Sarjat suppenevat koska suppenemista voidaan tarkastella erikseen osasummien reaali- ja imaginaariosille; niiden suppeneminen vuorostaan palautuu reaalisten sarjojen ominaisuuksiin. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 31 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 32 / 353

Hyperboliset funktiot Määritellään: Saadaan kaavat cosh z := cos(iz), i sinh z := sin(iz). cosh z = ez + e z, sinh z = ez e z. 2 2 Kuten edellä, voidaan myös määritellä tanh z = sinh z cosh z, cosh z coth z = sinh z. Identiteettejä eksponenttifunktiolle e iθ = cos θ + i sin θ = Siis cos 2 θ + sin 2 θ = 1. e iθ = 1. (3.6) Koska e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y), saadaan e z = e x, arg(e z ) = y, (3.7) e i2π = 1, e iπ/2 = i, e iπ = 1 ja e iπ/2 = i. (3.8) e z+i2π = e z e i2π = e z. (3.9) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 33 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 34 / 353 Kertolaskun geometrinen tulkinta De Moivren kaava Lasketaan esitys kompleksiluvun kokonaislukupotenssille: Sovelletaan Eulerin kaavaa kompleksilukujen kertolaskuun: w = z 1 z 2 = r 1 e iθ1 r 2 e iθ 2 = (r 1 r 2 )e i(θ 1+θ 2 ). Kompleksilukujen kertolaskussa: modulit kerrotaan z 1 z 2 = z 1 z 2, ja argumentit lasketaan yhteen arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ). z n = (re iθ ) n = r n e i(nθ) = r n (cos nθ + sin nθ). Erityisesti, jos r = 1, saadaan: Lause (De Moivre) (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ. (3.1) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 35 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 36 / 353

Kompleksiluvun juuret Kompleksiluvun juuret, jatkoa Kaikki luvun z n:net juuret saadaan siis kaavasta De Moivren kaava on erityisen hyödyllinen etsittäessä kompleksiluvun z n:nsiä juuria. Jos z n = z, voidaan kirjoittaa z = re iθ ja z = r e iθ, ja saadaan r n e inθ = r e iθ, eli r = n r ja nθ = θ + 2kπ, missä r = n r on positiivisen reaaliluvun r n:s juuri. n z e i(θ+2kπ)/n, (3.11) missä k on mikä tahansa kokonaisluku. Havaitaan myös, että jokainen k =, 1,..., n 1 antaa eri arvon, mutta muut k:n arvot vain toistavat jonkun edellisistä, koska e 2πik/n = 1, kun k/n on kokonaisluku joten e 2πi(k+n)/n = e 2πik/n e 2πin/n = e 2πik/n. Siten kompleksiluvulla z on täsmälleen n n:ttä juurta. Kaavasta (3.11) havaitaan myös, että kaikki juurilla on sama itseisarvo n z, ja argumentit ovat tasavälisiä. Siksi kaikki juuret sijaitsevat origokeskisen ympyrän kehällä. Ympyrän säde on n z. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 37 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 38 / 353 Kompleksiluvun juuret, jatkoa Olemme osoittaneet: Lause Jos z = e iθ, yhtälöllä w n = z on täsmälleen n erillistä ratkaisua, jotka saadaan kaavasta w k = n re i(θ+2kπ)/n, (3.12) missä k =, 1,..., n 1, n r on luvun r = z positiivinen n:äs juuri ja θ = Arg z. Ykkösen juuret: z n = 1 Esimerkki Ykkösen n:net juuret, yhtälön z n = 1 ratkaisut, saadaan kaavasta ω k = e i2kπ/n, k =, 1,..., n 1. (3.13) Kuva: Ykkösen n:net juuret, kun n = 3 ja 8. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 39 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 4 / 353

Ykkösen juuret, jatkoa Logaritmifunktiot Asetetaan jollakin kokonaisluvulla n, ω = e 2πi/n 1. Selvästi ω n = 1, ja kaikki ykkösen n:nnet juuret ovat tällöin 1, ω, ω 2, ω 3,..., ω n 1. Koska ω 1, saamme = ω n 1 = (ω 1)(1 + ω + ω 2 +... + ω n 1 ). 1 + ω + ω 2 +... + ω n 1 =. On luonnollista ajatella logaritmifunktiota eksponenttifunktion käänteiskuvauksena. Palautetaan mieleen seuraavat eksponenttifunktion perusominaisuudet reaaliluvuille: e x > kaikille x R, e x, kun x, e x = 1/e x (joten e x, kun x ), x ex = e x, ja siten e x on aidosti kasvava. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 41 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 42 / 353 Logaritmifunktiot, jatkoa Eksponenttifunktio e x on siis jatkuva, aidosti kasvava ja derivoituva funktio R:ltä joukolle R + = {x R : x > }. Siten sillä on jatkuva ja aidosti kasvava käänteiskuvaus, (luonnollinen) logaritmi (kantaluku e) ln: R + R, jolle pätee ln x = y on yhtälön e y = x ratkaisu. Erityisesti jokaiselle x > on olemassa täsmälleen yksi sellainen y, että e y = x. Logaritmifunktiot, jatkoa Samaan tapaan voidaan määritellä kompleksiluvun z logaritmi w C yhtälön e w = z ratkaisuna, eli kirjoitetaan w = ln z, jos e w = z. Koska e w kaikilla w C, luvulla ei ole logaritmia. Tarkastellaan mielivaltaista kompleksilukua z polaarimuodossa z = z e Arg z = re iθ (r = z >, π < θ π). Ratkaistaan yhtälö w = ln z. Jos kirjoitetaan w = x + iy (x, y R), niin yhtälö e w = z saadaan muotoon e x+iy = re iθ joten e x = r, e (y θ)i = 1, eli x = ln r, v = θ + 2kπ, k Z, Saadaan siis seuraava kaava kompleksiluvun z logaritmille: w = ln z = ln z + i(arg z + 2kπ), k Z. jos ymmärrämme arg z joukkona: w = ln z = ln z + i arg z A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 43 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 44 / 353

Logaritmin päähaara Esimerkkejä Logaritmin päähaara (merkitään Ln ) vastaa argumentin päähaaraa. Toisin sanoen, jos z, niin Ln z = ln z + iarg z, π < Arg z π. Jos z on positiivinen reaaliluku (eli Arg z = ), tämä vastaa merkinnän merkinnän ln z tuttua merkitystä. Ln (±i) = ±iπ/2, Ln (1 + i) = ln 2 + iπ/4, Ln ((1 ± i)/ 2) = ±iπ, Ln ( 1) = iπ, Ln (i 1/4 ) = iπ/8, Ln (αz) = ln α + Ln z (α > ), A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 45 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 46 / 353 Tulon logaritmi Yleinen potenssi Yleisesti kompeksiluvuille z 1, z 2 ei ole totta, että Ln (z 1 z 2 ) = Ln z 1 + Ln z 2, vaikka rajoituttaisiin logaritmin päähaaran tarkasteluun. Jos z 1, z 2, pätee kuitenkin: ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 + ln z 2 ( mod 2π), (3.14) ja ln(z 1 /z 2 ) = ln z 1 ln z 2 ( mod 2π). (3.15) Kompleksiluvun z = x + iy yleinen potenssi määritellään kaavalla z c = e c ln z, (3.16) missä c C \ {}. Koska ln z ei ole yksikäsitteinen, ei myöskään z c ole yksikäsitteinen. Erityisesti z c = e c Ln z, on päähaaran arvo. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 47 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 48 / 353

Avoimet ja suljetut joukot 1 Määritelmä ja perusominaisuuksia 2 Kompleksilukujen algebraa 3 Topologiaa Topologia Yhtenäisyys, alueet Raja-arvo, jatkuvuus Merkitään: B(z, r) = {w : z w < r} (avoin kiekko), B(z, r) = {w : z w r} (suljettu kiekko). Määritelmä Joukko D C on avoin, jos jokaiselle z D on olemassa sellainen r >, että B(z, r) D. Joukko E C on suljettu, jos sen komplementti D = C \ E on avoin. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 49 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 5 / 353 Avoin joukko Joukko, joka ei ole avoin Kaikille x D löydetään sellainen ε >, että B(x, ε) D. Joukkoon D kuuluu (ainakin yksi) sellainen piste x, jolla B(x, ε) ei koskaan sisälly kokonaan joukkoon D. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 51 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 52 / 353

Joukko, joka ei ole avoin Avoin ympäristö Määritelmä Joukko D C on pisteen z C (avoin) ympäristö, jos D on avoin ja z D. Joukkoon D kuuluu (ainakin yksi) sellainen piste x, jolla B(x, ε) ei koskaan sisälly kokonaan joukkoon D. Säteen pienentäminen ei auta. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 53 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 54 / 353 Yhtenäisyys, alueet Esimerkkejä alueista Määritelmä Joukko D C on yhtenäinen, jos kaksi pistettä z, w D voidaan aina yhdistää murtoviivalla joukossa D. Määritelmä Joukko D C on alue, jos se on avoin ja yhtenäinen. Kiekko (avoin kiekko, jossa reuna ei kuulu alueeseen). Esimerkiksi {z : z < 1}. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 55 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 56 / 353

Esimerkkejä alueista Esimerkkejä alueista (Ylempi) puolitaso {z : Im z > }. Punkturoitu kiekko, esimerkiksi {z : < z < r}, jossa r >. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 57 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 58 / 353 Esimerkkejä alueista Esimerkkejä alueista Ympyrärengas eli annulus, esimerkiksi {z : < z z < r}, jossa r > ja z C. Alue, jonka reuna on epäsäännöllinen. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 59 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 6 / 353

Esimerkkejä alueista Raja-arvo Määritelmä Funktiolla f : D C on raja-arvo c pisteessä z (merkitään lim z z f (z) = c), jos kaikille ε > on olemassa sellainen δ >, että jos z z < δ, niin f (z) c < ε. Onko kampa-avaruus, {z C : < rez < 11/1, < Im z < 1} \ {z C : Re z 1/4, Im z = 1 1 2k, k = 1, 2,... } \ {z C : Re z 3/4, Im z = 1 1 2k+1, k = 1, 2,... }, alue, avoin, yhtenäinen? A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 61 / 353 D f (D) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 62 / 353 Jatkuvuus Määritelmä Funktio f on jatkuva pisteessä z, jos f on määritelty jossakin z :n ympäristössä ja f (z ) = lim z z f (z). Osa II Kompleksinen derivaatta ja integrointi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 63 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 64 / 353

4 Derivaatta ja analyyttinen funktio 5 Kompleksinen integrointi 6 Cauchyn integraalilause 7 Morera s lause 4 Derivaatta ja analyyttinen funktio Cauchy-Riemannin yhtälöt Harmoniset funktiot 5 Kompleksinen integrointi 6 Cauchyn integraalilause 7 Morera s lause A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 65 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 66 / 353 Derivaatta ja analyyttinen funktio Derivaatta ja analyyttinen funktio Olkoot D C alue, f : D C funktio ja z D. Määritelmä Funktio f on derivoituva pisteessä z, jos on olemassa raja-arvo: f (z + w) f (z ) lim = f (z ). w w Huomaa, että tässä w C ja raja-arvo ei siis saa riippua suunnasta josta w. Tämä osoittatuu huomattavan keskeiseksi vaatimukseksi. Olkoot D C alue, f : D C funktio ja z D. Määritelmä Funktio f on analyyttinen alueessa D, jos se on derivoituva jokaisessa pisteessä z D. Funktio f on analyyttinen pisteessä z, jos se on analyyttinen jossakin pisteen z ympäristössä. Emme voi puhua analyyttisyydessä vain isoloidussa pisteessä, koska raja-arvon käsitettä (eikä siis derivaatan käsitettä) ole silloin määritelty. Myöhemmin olemme nimen omaan kiinnostuneet siitä missä alueessa annettu f on analyyttinen. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 67 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 68 / 353

Derivaatta ja analyyttinen funktio, esimerkkejä Derivaatta ja analyyttinen funktio, esimerkkejä Olkoon f (z) = c (eli vakiofunktio). Yritetään laskea f (z): f (z + w) f (z) w = c c w =. Johtopäätös: raja-arvo on olemassa kaikkialla (vastaus ei edes riipu pisteestä z) ja siten f on derivoituva ja siis analyyttinen kaikkialla. Lisäksi f (z) =. Olkoon f (z) = z (identtinen kuvaus). Yritetään laskea f (z): f (z + w) f (z) w = z + w z w = w w = 1. Johtopäätös: raja-arvo on olemassa kaikkialla ja siten f on derivoituva ja siis analyyttinen. Lisäksi f (z) = 1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 69 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 7 / 353 Derivaatta ja analyyttinen funktio, esimerkkejä Olkoon f (z) = Re z. Yritetään laskea f (z): Derivaatta ja analyyttinen funktio, esimerkkejä Olkoon f (z) = z. Yritetään laskea f (z). f (z + w) f (z) w = Re z + Re w Re z w = Re w w. f (z + w) f (z) w = z + w z w = w w. Jos w R \ {}, niin Re w w = w w = 1. Toisaalta, jos puhtaasti imaginaarinen, w = it ir \ {}), niin Re w w = w =. Johtopäätös: raja-arvoa ei ole olemassa ja siten f ei ole derivoituva eikä siis analyyttinen missään pisteessä. Jos w R \ {}, niin w w = w w = 1. Toisaalta, jos puhtaasti imaginaarinen, w = it ir \ {}, (t R \ {}), niin w w = w w = 1. Johtopäätös: raja-arvoa ei ole olemassa ja siten f ei ole derivoituva eikä siis analyyttinen missään pisteessä. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 71 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 72 / 353

Derivaatta ja analyyttinen funktio, esimerkkejä Olkoon f (z) = z 2. Yritetään laskea f (z). Derivoimissääntöjä (todistukset kuten reaalisessa tapauksessa) Summa (f + g) (z) = f (z) + g (z), f (z + w) f (z) w = (z + w)2 z 2 w = 2z + w (w ) 2z. Tulo (fg) (z) = f (z)g(z) + f (z)g (z), Johtopäätös: Funktiolla f on derivaatta f (z) = 2z jokaisessa tason pisteessä z, joten se on analyyttinen koko kompleksitasossa C. Vastaavasti g(z) = z n on analyyttinen koko tasossa ja g (z) = nz n 1. Osamäärä ( f ) (z) f (z)g(z) f (z)g (z) = [ ] g 2, jos g(z), g(z) Yhdistetty funktio (f g) (z) = f (g(z)) g (z). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 73 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 74 / 353 Seurauksia Seurauksia Erityisesti saadaan: Lause Analyyttisten funktioiden summa ja tulo ovat analyyttisiä. Analyyttisistä funktioista yhdistetty funktio on analyyttinen. Seuraus Polynomit ovat analyyttisiä funktioita. Kahden polynomin P(z) ja Q(z) osamäärää f (z) = P(z) Q(z), kutsutaan rationaalifunktioksi. Rationaalifunktio on analyyttinen lukuunottamatta niitä pisteitä, joissa Q(z) =. Tässä oletetaan, että P:n ja Q:n yhteiset tekijät on sievennetty pois (miksi oletus?). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 75 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 76 / 353

Cauchy-Riemannin yhtälöt Kirjoitetaan analyyttinen funktio f : D C reaali- ja imaginaariosan avulla f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), missä x, y R ja siis z = x + iy C. Osittaisderivoidaan funktiota u + iv x y u(x, y) + i x v(x, y) = u(x, y) + i y v(x, y) = x y f (x + iy) = f (x + iy) = f (z) z x = f (z) 1 f (z) z y = f (z) i Ensimmäinen yhtäsuuruusmerkki seuraa f :n määritelmästä, toinen yhdistetyn funktion lauseesta. Kertomalla alempaa yhtälöä i:llä saadaan x u(x, y) + i v(x, y) = x y v(x, y) i u(x, y) y josta Cauchy-Riemannin yhtälöt: u(x, y) = v(x, y), x y u(x, y) = v(x, y). (5.1) y x Lause Oletetaan, että funktio f (z) = u(x, y) + iv(x, y) on määritelty ja jatkuva jossakin pisteen z = x + iy ympäristössä ja derivoituva pisteessä z. Tällöin funktioilla u ja v on osittaisderivaatat pisteessä z ja ne toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt (5.1). Seuraus Erityisesti, jos f (z) on analyyttinen alueessa D C, niin osittaisderivaatat ovat olemassa ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt (5.1) kaikilla z D. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 77 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 78 / 353 Cauchy-Riemannin yhtälöt, jatkoa Esimerkkejä Lause Jos u(x, y) ja v(x, y) ovat kahden reaalimuuttujan funktioita, joilla on jatkuvat osittaisderivaatat muuttujien x, y suhteen, jotka toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt (5.1) alueessa D, niin kompleksinen funktio f (z) = u(x, y) + iv(x, y) on analyyttinen alueessa D. Todistus. Sivuutetaan. f (z) = z 2. Merkitään z = x + iy, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), jolloin f (z) = z 2 = (x + iy) 2 = x 2 + 2ixy y 2 ja siis u(x, y) = x 2 y 2 ja v(x, y) = 2xy. Verrataan neljää osittaisderivaattaa: u(x, y) = 2x = v(x, y), x y u(x, y) = 2y = v(x, y). y x Johtopäätös: f on analyyttinen funktio kaikille z C. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 79 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 8 / 353

Esimerkkejä Esimerkkejä f (z) = z 2 = x 2 + y 2. joten u(x, y) = x 2 + y 2 ja v(x, y) =. Verrataan osittaisderivaattoja: u x u y = 2x v y =. = 2y v x = Funktio f on siis derivoituva ainoastaan pisteessä z = (jossa 2x = 2y = ). Erityisesti millään pisteellä z C ei ole sellaista ympäristöä, jossa f olisi derivoituva, joten f ei ole analyyttinen missään. Eksponenttifunktio f (z) = u(x, y) + iv(x, y) = e x (cos y + i sin y). Nyt u(x, y) = e x cos y, v(x, y) = e x sin y. Osittaisderivaatat ovat x u(x, y) = ex cos y = v(x, y), y y u(x, y) = ex sin y = v(x, y). x Johtopäätös: eksponenttifunktio on analyyttinen kaikille z C. Seuraus: sin z ja cos z ovat analyyttisiä. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 81 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 82 / 353 Esimerkkejä Logaritmifunktio f (z) = Ln (z) = ln r + iθ kun z = re iθ. Ln(z) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) + i arctan y x = u + iv. Lasketaan osittaisderivaatat: u x = x x 2 + y 2 = 1 x 1 1 + (y/x) 2 = v y, Lasketaan u y = (Ln z) = u x + i v x = y x 2 + y 2 = y x 2 1 1 + (y/x) 2 = v x. x x 2 + y 2 i y x 2 + y 2 = x iy x 2 + y 2 = z z z = 1 z. Johtopäätös: Ln z on analyyttinen funktio alueessa D = C \ {x R : x } - miksi ei joukossa C \ {}? A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 83 / 353 Kuva: C \ {x R : x }. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 84 / 353

Neliöjuuri Sovellus Neliöjuuren päähaara voidaan kirjoittaa z 1/2 = re 1 2 Ln z. Seuraus: yhdistetyn kuvauksen derivaatan kaavasta voidaan päätellä, että neliöjuuri on analyyttinen samassa alueessa kuin Ln z on. Lause Jos f : D C on analyyttinen ja f (z) = c (vakio) D:ssä, niin f (z) = c (vakiofunktio). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 85 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 86 / 353 Todistus Todistus, jatkoa Oletusten nojalla f 2 = u + iv 2 = u 2 + v 2 = c 2. Jos c = niin selvästi f = ja siis vakiofunktio. Riittää siis tarkastella tapausta c. Derivoimalla saadaan u u x + v v x =, u u y + v v y =. Koska v/ x = u/ y, v/ y = u/ x, saadaan u u x v u y =, u u y + v u x =. Koska c saadaan (u 2 + v 2 ) u x (u 2 + v 2 ) u y eli u on vakiofunktio. = c 2 u x = ; u/ x = ja = c 2 u y = ; u/ y = Cauchy-Riemannin yhtälöiden nojalla myös v/ x = v/ y =. joten myös v ja siten f ovat vakiota. Kerrotaan vasen yhtälö u:lla, oikea v:llä. Lasketaan yhteen, jolloin u/ y häviää; (u 2 + v 2 ) u x =. Vastaavasti (u2 + v 2 ) u y =. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 87 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 88 / 353

Laplacen yhtälö, harmoniset funktiot Olkoon D C alue, u : D C kaksi kertaa differentioituva funktio. Merkitään u = 2 u = 2 u x 2 + 2 u y 2. Funktiota u sanotaan harmoniseksi alueessa D, jos se toteuttaa Laplacen yhtälön: u =. (5.2) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 89 / 353 Laplacen yhtälö, jatkoa Lause [KRE9 s.622] Olkoon f (z) = u(x, y) + iv(x, y) analyyttinen funktio alueessa D. Tällöin sekä u että v ovat harmonisia. Todistus. Todistetaan väite ensin funktion f reaaliosalle u. Cauchy-Riemannin yhtälöistä saadaan u x = v y ja u y = v x. Siten 2 u x 2 = 2 v y x ja 2 u y 2 = 2 v x y. Koska analyyttisen funktion derivaatta on analyyttinen funktio, sillä on jatkuvat osittaisderivaatat ja derivointijärjestystä voidaan vaihtaa. Saadaan u = 2 u x 2 + 2 u y 2 = 2 v y x 2 v x y = 2 v x y 2 v x y =. Koska myös if (z) on analyyttinen myös v =. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 9 / 353 Harmoninen konjugaattifunktio 4 Derivaatta ja analyyttinen funktio Määritelmä Olkoon u : D R harmoninen funktio. v : D R on u:n harmoninen konjugaattifunktio jos f = u + iv : D C on analyyttinen. 5 Kompleksinen integrointi Polku tasossa Kompleksinen polkuintegraali Perusominaisuuksia Yksinkertainen suljettu polku Yhdesti yhtenäinen alue Analyyttisen funktion integraali Ei-analyyttisen funktion integraali ML-epäyhtälö Greenin lause 6 Cauchyn integraalilause 7 Morera s lause A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 91 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 92 / 353

Polun parametriesitys Polku tasossa Mikä tahansa jatkuva funktio z : [a, b] R C : t z(t) määrää kompleksitason joukon. Saman joukon voi esittää usella eri funktiolla. Esimerkiksi yksikköympyrä z 2 = x 2 + y 2 = 1 voidaan kirjoittaa muodossa (t [, 1]) z(t) = e 2πit = cos(2πt) + i sin(2πt), z(t) = e 2πit = cos(2πt) i sin(2πt) tai z(t) = cos(2πt 2 ) + i sin(2πt 2 ). Oletetaan jatkossa, että parametrisointi z : [a, b] C on sileä funktio lukuunottamatta äärellisen montaa pistettä t i [a, b]. Määritelmä Sanomme että kaksi parametrisointia z : [a, b] R ja w : [a, b ] R ovat ekvivalentteja, jos löytyy sileä funktio s : [a, b] [a, b ] siten että s (t), s(a) = a, s(b) = b ja z(t) = w(s(t)) kaiklle t [a, b]. Polku on niiden parametrisointien joukko, jotka ovat em mielessä ekvivalentteja. Tämä seurauksena polku on suunnattu kompleksitason joukko; polulla voi olla eri parametriesityksiä, mutta kaikilla esityksillä muodostuu sama joukko ({z(t) : t [a, b]} = {w(t) : t [c, d]}) ja esityksillä on sama suunta A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 93 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 94 / 353 Polku tasossa Kompleksinen polkuintegraali Polku on suljettu (closed), jos z(a) = z(b). Jos derivaatta z/ t on olemassa ja nollasta poikkeava kaikkialla, polkua C kutsutaan sileäksi (smooth). Jos z : [a, b] C on polun C parametrisointi voimme puhua käänteisen suunnan polusta määrittelemällä parametrisoinnin w : t [a, b] z(b t). Merkitsemme tätä polkua C. Polkuja voi luontevasti yhdistää, merkitsemme tätä C + D. Polku voi käydä samassa kompleksitason pistessä useaan kertaan: z : t [, 2π] e 4ti kiertää origon nelkä kertaa. Määritelmä Olkoon C : z(t) = x(t) + iy(t), t [a, b] sileä polku kompeksitasossa ja f (z) jatkuva funktio, joka on määritelty ainakin jokaisessa C:n pisteessä. C f (z) dz = b a f (z(t))f (t) dt. Jos polku on paloittain sileä, määritellään integraali summana integraaleista kunkin sileän osavälin yli. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 95 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 96 / 353

Perusominaisuuksia Perusominaisuuksia, jatkoa Lineaarisuus. [af (z) + bg(z)] dz = a C C f (z) dz + b g(z) dz. C Suunnan vaihtaminen. Jos integroidaan pitkin samaa polkua vastakkaiseen suuntaan, etumerkki vaihtuu: Z z f (z) dz = f (z) dz. f (z) dz = f (z) dz Z C C z Jako osapolkuihin. Jos C on polku ja C 1, C 2 ovat C:n osapolkuja kuten kuvassa, niin f (z) dz = C f (z) dz + C 1 f (z) dz. C 2 Kasvavan parametrin t määräämää suuntaa kutsutaan positiiviseksi suunnaksi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 97 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 98 / 353 Yksinkertainen suljettu polku Yhdesti yhtenäinen alue Polkua sanotaan yksinkertaiseksi, jos se ei leikkaa tai kosketa itseään (muualla kuin päätepisteissä). Aluetta D sanotaan yhdesti yhtenäiseksi, jos jokainen yksinkertainen polku alueessa sulkee sisäänsä vain D:n pisteitä. Kuva: Polut 1 ja 2 ovat yksinkertaisia, 3 ja 4 eivät. Kuva: Alueet 1 ja 2 ovat yhdesti yhtenäisiä, 3 on kahdesti yhtenäinen ja 4 kolmesti yhtenäinen. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 99 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353

Analyyttisen funktion integraali Analyyttisen funktion integraali, huomautuksia Lause Olkoon f (z) analyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Tällöin on olemassa f (z):n integraalifunktio alueessa D, ts. analyyttinen funktio F (z), jolle pätee F (z) = f (z), kun z D. Lisäksi kaikille pisteitä z, z 1 yhdistäville (paloittain sileille) poluille D:ssä pätee z1 z f (z) dz = F (z 1 ) F (z ). Tod. [Kreyszig] 1 Koska kaikilla pisteitä z, z 1 yhdistävillä poluilla integraali on sama, voidaan kirjoittaa integraali z :sta z 1 :hteen sen sijaan, että kirjoitettaisiin integraali yli C:n. 2 Tämä tulos vastaa reaalianalyysistä tuttua kaavaa b a f (x) dx = F (b) F (a), [F (x) = f (x)]. 3 Tuloksen kannalta on olennaista, että alue D on yhdesti yhtenäinen. Tästä lisää esimerkeissä. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 11 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 12 / 353 Analyyttisen funktion integraali, esimerkkejä Esimerkkejä 1 2 3 4 πi πi 8 3πi 8+πi 1+i z 2 dz = 1 1+i 3 z3 = 1 3 (1 + i)3 = 2 3 + 2 3 i. cos z dz = sin z πi πi = 2 sin(πi) = 2i sinh π 23, 97i. 8 3πi e z/2 dz = 2e z/2 = 2(e 4 3πi/2 e 4+πi/2 ) =, 8+πi koska e z on jaksollinen ja sen jakso on 2πi. i i dz z = Ln i Ln ( i) = iπ ( 2 iπ ) = πi. 2 Huom. Tässä tarkasteltava (yhdesti yhtenäinen) alue on D = C \ z R : z. Edellisellä viikolla todettiin, että Ln (z) on analyyttinen tässä alueessa. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 13 / 353 Integroidaan funktiota f (z) = 1/z vastapäivään yksikköympyrän kehän ympäri. Yksikköympyrän parametriesitys on z(t) = cos t + i sin t = e it, Derivoimalla z(t) saadaan z (t) = ie it. Sijoituksella saadaan Lasketaan C f (z(t)) = 1/z(t) = e it. t [, 2π]. dz 2π 2π z = e it ie it = i dt = 2πi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 14 / 353

Esimerkkejä Integroidaan funktiota f (z) = (z z ) m, m Z vastapäivään ympyrän C, jonka keskipiste on z ja säde r kehän ympäri. C:n parametriesitys on muotoa Saadaan z(t) = z + r(cos t + i sin t)) = z + re it, Sijoittamalla saadaan edelleen C (z z ) m dz = (z z ) m = r m e imt, z (t) = ire it. 2π t [, 2π]. 2π r m e imt ire it dt = ir m+1 e i(m+1)t dt. Jatkoa Eulerin kaavaa käyttämällä saadaan 2π ir m+1 e i(m+1)t dt [ 2π = ir m+1 cos ( (m + 1)t ) dt + i 2π sin ( (m + 1)t ) ] dt. Jos m = 1, niin r m+1 = 1, cos = 1, sin =, eli integraali on 2πi. Jos m 1, molemmat integraalit ovat saavat arvon, koska integrointi tapahtuu yli välin, jonka pituus on 2π eli funktioden sin ja cos jakso. Saadaan: (z z ) m dz = C { 2πi, jos m = 1,, jos m 1 on kokonaisluku. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 15 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 16 / 353 Ei-analyyttisen funktion integraali Integroidaan funktiota f (z) = Re z = x pisteestä pisteeseen 1 + 2i pitkin kahta eri reittiä, (a) pitkin kuvan polkua C ja (b) pitkin polkua C, joka muodostuu janoista C 1 ja C 2. Ei-analyyttisen funktion integraali, jatkoa Polun C parametriesitys on z(t) = t + 2it, t [, 1]. Saadaan z (t) = 1 + 2i ja f (z(t)) = x(t) = t polulla C. Lasketaan C Re z dz = 1 t(1 + 2i) dt = 1 2 (1 + 2i) = 1 2 + i. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 17 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 18 / 353

Ei-analyyttisen funktion integraali, jatkoa ML-epäyhtälö Seuraavaksi lasketaan integraali pitkin polkua C. Polulla C 1 saadaan z(t) = t, z (t) = 1, f (z(t)) = x(t) = t, kun t [, 1]. Polulla C 2 vastaavasti z(t) = 1 + it, z (t) = i, f (z(t)) = x(t) = 1, kun t [, 2]. Lasketaan integraali C Re z dz = Re z dz + C 1 Re z dz = C 2 1 t dt+ 2 1 i dt = 1 2 +2i. Oletetaan, että C polku kompleksitasossa ja f : C C on jatkuva funktio. Lisäksi oletetaan, että C:n pituus on L ja f (z) M kaikilla z C. Tällöin: f (z) dz ML. C Tarvitsemme todistukseen pari aputulosta seuraavissa kalvoissa. Tulos on eri kuin pitkin polkua C integroimalla saatu. Johtopäätös: Integraali voi riippua polun valinnasta. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 19 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 11 / 353 ML-epäyhtälö; jatkuu Lause Olkoon [a, b] R jossa a < b ja g : [a, b] C jatkuva. Tällöin b a b g(t) dt g(t) dt. Todistus: Mielivaltaiselle välin [a, b] jaolle a = t < t 1 < < t n = b: tn n ti g(t) dt = g(t) dt t i=1 t i 1 n ( ) t i t i 1 max g(s) s [t i 1,t i ] i=1 tn a g(t) dt, kun n ja max t i t i t i 1. ML-epäyhtälö; jatkuu Etäisyys kahden kompleksitason pisteen z ja w välillä, on sama kuin etäisyys tulkittuna tasossa z w 2 = (Re z Re w) 2 + (Im z Im w) 2, Oletetaan että z on sileä. Tarkastelemalla polkua z(t) = x(t) + iy(t), t [a, b ] ja oletetaan a a < b b. Tason kaaren (x(t), y(t)) pituus L [a,b] pisteiden z(a) (x(a), y(a)) ja z(b) (x(b), y(b)) välillä voidaan lausua b b L [a,b] := x 2 (t) + y 2 (t) dt = z (t) dt a a Jos polku on on vain paloittain sileä edellistä voidaan soveltaa kuhunkin sileään palaan erikseen: palojen pituuksien summa on kaaren pituus. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 111 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 112 / 353

ML-epäyhtälö; jatkuu Sovelletaan käyrän pituutta kompleksisen polkuintegraaliin arviointiin ylhäältä. b f (z) dz = f (z(t))z (t) dt (1) (2) (3) a b a b a sup t [a,b] f (z(t))z (t) dt f (z(t)) z (t) dt f (z(t)) } {{ } M b z (t) dt a } {{ } L = ML. Esimerkki Etsitään yläraja integraalin C z 2 dz itseisarvolle, kun C on pisteitä ja 1 + i yhdistävä jana. Havaitaan, että C:n pituus L = 2 ja f (z) = z 2 2. Sovelletaan ML-epäyhtälöä: z 2 dz 2 2. C L on kaaren pituus ja M yläraja funktion modulille käyrällä. (1) Edellä g(t) = z (t)f (z(t)). (2) Kahden kompleksiluvun tulon moduli. (3) Arvio ylöpäin vakiolla f (z) < M. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 113 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 114 / 353 Greenin lause Jos D C on joukko, merkitään sen sulkeumaa, eli pienintä suljettua joukkoa joka sisältää D:n, D:llä. Lause Oletetaan, että D on rajoitetettu alue tasossa, jonka reuna C koostuu äärellisen monesta sileästä käyrästä. Oletetaan lisäksi, että u(x, y) ja v(x, y) ovat jatkuvia funktioita joilla on jatkuvat osittaisderivaatat jossakin alueessa G, joka sisältää D:n Tällöin ( v x u ) dxdy = (u dx + v dy). y D Todistus. [Kreyszig] tai aikaisempi kurssi. C 4 Derivaatta ja analyyttinen funktio 5 Kompleksinen integrointi 6 Cauchyn integraalilause Cauchyn integraalilause Riippumattomuus integrointipolusta Cauchyn integraalilause kahdesti yhtenäiselle alueelle Cauchyn integraalikaava Analyytisen funktion derivaatta 7 Morera s lause A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 115 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 116 / 353

Cauchyn integraalilause Todistus Lause Jos f (z) on analyytinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D, niin jokaiselle yksinkertaiselle suljetulle polulle C, joka sisältyy D:hen pätee: f (z) dz =. C Oletetaan lisäksi, että f (z) on jatkuva. Tämä on totta, mutta sitä ei ole todistettu. Aikaisemmin on osoitettu, että, f (z) dz = (u dx v dy) + i C jossa f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y). C C (u dy + v dx). Koska f (z) on analyyttinen alueessa D, derivaatta f (z) on olemassa. Koska oletettiin, että f (z) on jatkuva, u:lla ja v:llä on jatkuvat osittaisderivaatat D:ssä. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 117 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 118 / 353 Todistus, jatkoa Voidaan siis soveltaa Greenin lausetta. Saadaan: ( (u dx v dy) = v x u ) dxdy, y C missä R on suljetun polun C rajaama alue. Soveltamalla Cauchy-Riemannin yhtälöitä havaitaan, että R v x u y =, siis integraali kaavassa oikealla on nolla, ja edelleen integraali vasemmalla on nolla. Samaan tapaan voidaan päätellä, että (u dy + v dx) =. C Esimerkkejä Kokonaiset (entire) funktiot, ts. funktiot, jotka ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa: e z dz =, cos z dz =, z n dz =, kun n =, 1,..., C C jne. jokaiselle suljetulle polulle C, koska nämä funktiot ovat analyyttisiä kaikille z C. Singuleriteetit polun C ulkopuolella: dz cos z =, C C dz z 2 + 4 =, jos C on yksikköympyrä siitä huolimatta, että 1/ cos z ei ole analyyttinen pisteissä z = ±π/2, ±3π/2,..., koska mikään näistä pisteistä ei ole yksikköympyrän sisällä. Toisen integraalin tapauksessa singulariteetit ovat z = ±2i, siis myös C:n ulkopuolella. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 119 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 12 / 353

Esimerkkejä Esimerkkejä Ei-analyyttiset funktiot: C z dz = 2π e it ie it dt = 2πi, missä C on yksikköympyrä. Tämä ei ole vastaesimerkki Cauchyn integraalilauseelle, koska f (z) = z ei ole analyyttinen. Analyyttisyys on riittävä, ei välttämätön oletus. dz z 2 =, Yhdesti yhtenäisyys on olennaista: dz z = 2πi, C jos integroidaan vastapäivään yli yksikköympyrän. C sijaitsee alueessa, jossa f on analyyttinen, mutta alue ei ole yhdesti yhtenäinen ja siksi Cauchyn lause ei päde. missä C on yksikköympyrä. Tämä ei seuraa Cauchyn integraalilauseesta, koska f (z) = 1/z 2 ei ole analyyttinen :ssa. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 121 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 122 / 353 Riippumattomuus integrointipolusta Todistus Lause Jos f (z) on analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa D, niin sen polkuintegraali riippuu vain polun päätepisteistä, mutta ei riipu (D:ssä) valitusta polusta päätepisteiden välillä. Olkoot z 1, z 2 pisteitä D:ssä. Oletetaan, että C 1,C 2 ovat sellaisia pisteita z 1, z 2 yhdistäviä polkuja D:ssä, jotka yhtyvät ainoastaan päätepisteissä. Olkoon C polku, joka saadaan kulkemalla ensin polku C 1 positiiviseen suuntaan pisteestä z 1 pisteeseen z 2 ja sitten polku C 2 negatiiviseen suuntaan eli takaisin pisteeseen z 1. Koska polku C on yksinkertainen suljettu polku yhdesti yhtenäisessä alueessa D, on Cauchyn integraalilauseen nojalla integraali yli C:n nolla. Toisaalta integraali yli C:n on summa integraaleista yli polkujen C 1 ja C 2, joten niiden täytyy olla samat. Väite on siis tosi tapauksessa, jossa polut C 1, C 2 koskettavat vain päätepisteissä. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 123 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 124 / 353

Todistus, jatkoa Jos poluilla C 1, C 2 on äärellisen monta yhteistä pistettä, polku C voidaan jakaa äärellisen moneksi yksinkertaiseksi suljetuksi poluksi ja soveltaa niihin samaa päättelyä. Hahmotelma päättelystä tilanteessa, jossa poluilla C 1, C 2 on äärettömän monta yhteistä pistettä. Huomataan, että voidaan integraali on nolla sellaisilla väleillä, jotka kuljetaan ensin pitkin käyrää C 1 ja tullaan takaisin pitkin käyrää C 2. Jäljelle jää tilanne, jossa on olemassa piste z C 1 C 2, jonka jokaisessa ympäristössä polut kohtaavat äärettömän monta olematta kuitenkaan samat. Valitaan k > 1 siten, että B(z, 2 k ):ssa on vain yksi tällainen piste. Tällöin ympyrärenkaassa D k = B(z, 2 k ) \ B(z, 2 k 1 ) voi enintään äärellisen monta pistettä, joissa C 1, C 2 kohtaavat, kun k k. Sovelletaan aikaisempaa päättelyä tähän kullakin k. Toisaalta käyräintegraali sisemmän ympyrän sisään jäävässä osassa menee nollaan, kun k. Tulos saadaan raja-arvona. Cauchyn integraalilause kahdesti yhtenäiselle alueelle Oletetaan, että D on kahdesti yhtenäinen alue, polut C 1 ja C 2 ovat sen reunakomponentit (C 2 on sisempi) ja D on sellainen alue, että D D. Lisäksi oletetaan, että f (z) on analyyttinen funktio D :ssä. Tällöin f (z) dz = f (z) dz, C 1 C 2 missä integrointi suoritetaan vastapäivään kummankin alueen ympäri. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 125 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 126 / 353 Todistus Todistus Tekemällä kaksi leikkausta, D voidaan jakaa kahdeksi yhdesti yhtenäiseksi alueeksi D 1, D 2, joiden kummankin reunalla f on analyyttinen. Cauchyn integraalilauseen nojalla f :n polkuintegraalit yli D 1 :n ja D 2 :n reunojen ovat nolla. Havaitaan, että ne alueiden D 1, D 2 reunan osat, jotka syntyivät leikattaessa aluetta D integroidaan molemmissa tapauksissa ja vastakkaisiin suuntiin. Laskemalla integraalit yhteen ne häviävät ja saadaan f (z) dz f (z) dz =, C 1 C 2 koska C 2 integroitiin myötäpäivään. Samaa ideaa voidaan soveltaa myös muiden monesti yhtenäisten alueiden tapauksissa. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 127 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 128 / 353

Cauchyn integraalikaava Todistus Lause Olkoon f (z) analyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Tällöin kaikkille pisteille z D ja sellaisille poluille C, jotka ympäröivät z :n D:ssä pätee: f (z ) = 1 2πi C integroiden vastapäivään C:tä pitkin. f (z) z z dz, Kirjoitetaan f (z) = f (z ) + [f (z) f (z )]. Sijoittamalla tämä lauseen integraaliin saadaan f (z) dz f (z) f (z ) dz = f (z ) + dz. C z z C z z C z z Aikaisemmin on osoitettu, että ensimmäinen yhtälön oikealla puolella olevista integraaleista on 2πi (esimerkin tapaus, kun m = 1). Riittää siis näyttää, että toinen integraaleista on nolla. Havaitaan, että integroitava funktio on analyyttinen lukuunottamatta pistettä z. Aikaisemman tuloksen (Cauchyn integraalilause monesti yhtenäisille alueille) nojalla käyrä C voidaan korvata ympyrällä S, jonka keskipiste on z ja säde r > integraalin arvoa muuttamatta. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 129 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 13 / 353 Todistus, jatkoa Koska f (z) on analyyttinen, se on jatkuva. Jos siis ε > on annettu, niin löydetään sellainen δ >, että f (z) f (z ) < ε kaikille z, joille z z < δ. Valitaan ympyrän S säde r pienemmäksi kuin δ. Saadaan epäyhtälö f (z) f (z ) z z < ε r kaikilla z S. Lisäksi S:n pituus on 2πr. Sovelletaan ML-epäyhtälöä ja saadaan f (z) f (z ) dz z z < ε 2πr = 2πε. r Esimerkkejä 1 Mille tahansa suljetulle pistettä z = 2 ympäröivälle polulle C 2 kun C ympäröi pisteen z = i/2 C C e z z 2 dz = 2πie2 = 46, 4268i. z 3 6 2z i dz = z 3 /2 3 C z i/2 dz = 2πi[(i/2)3 /2 3] = π/8 6πi. Koska ε > voidaan valita mielivaltaisen pieneksi, integraalin on oltava nolla. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 131 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 132 / 353

Analyyttisen funktion derivaatat Analyyttisen funktion derivaatat Lause Olkoon f (z) analyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Tällöin kaikkille pisteille z D ja sellaisille vastapäivään suunnatuille poluille C, jotka ympäröivät z :n D:ssä kerran pätee: f (n) (z ) = d n f dz n (z ) = n! 2πi C f (z) dz. (z z ) n+1 Seuraus Jos f (z) analyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D, myös f (k) analyyttinen funktion. Muista: Funktio f on analyyttinen pisteessä z C jos f (z) on olemassa jollakin z:n (mielivaltaisen pienessä) avoimessa ympäristössä. Määritelmä ei puhu muiden derivaattojen olemassaolosta. Edellisen lauseen integraalilauseke oikealla on z :n jatkuva funktio, ja toisaalta integraalilauseke on derivoitavissa z :n suhteen. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 133 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 134 / 353 Estimaatti derivaatoille Olkoon f analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa D, ja suljettu polku C z keskeinen r säteinen ympyränkaari vastapäivään, C D. Tällöin f (n) (z ) = n! f (z) 2π dz (z z ) n+1 n! 2π max f (z) z C z n+1 2πr n!r n max f (z) z C C Voimme siis tutkimalla funktion arvoja pisteen saada tietoja funktion mielivaltaisen derivaatan suuruudesta. Tutkimalla funktion arvoa vain yhdessä pisteessä, f (z ), emme saa lauseen avulla mitään tietoa korkeammista derivaatoista, miksi ei? Tätä tulosta tarvitaan myöhemmin osoittamaan että ns Taylor sarja k= f (n) n! (z z ) n suppenee. Millä z:n arvoilla voit edellisen perusteella sanoa sarjan suppenevan? 4 Derivaatta ja analyyttinen funktio 5 Kompleksinen integrointi 6 Cauchyn integraalilause 7 Morera s lause A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 135 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 136 / 353

Morera n teoreema Moreran teoreema Jos f (z) on jatkuva yhdesti yhtenäisessä aluessa D, ja f (c) dz = C kaikilla suljetuilla poluilla C D, f : D C on analyyttinen. Osa III Analyyttisten funktioiden geometriaa: konformikuvaukset Esimerkki: Tarkastellaan funktiota f (z) = 1/z 2. Aikaisempi esimerkki osoitti, että C f (z) dz = kun C on yksikköympyrä. Polku C muodostuu janoista z 1 z 2 ja z 2 z 3, ja z 2 -keskeisestä 2-säteisestä ympyränkaaresta z 3 z 1, jossa z 1 = 1 I, z 2 = 1 + I ja z 3 = 1 + I, C f (z) dz = i 1 + 1 = i. Funktio f ei siis ole analyyttinen yksikkökiekossa (kuten tiedämme). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 137 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 138 / 353 8 Mercatorin projektio 9 Konformikuvaukset kompleksitasossa 8 Mercatorin projektio Johdanto: Mercatorin kartta Mercatorin projektion ominaisuuksia Mercatorin projektion konstruktio Mercatorin kartan huonoja puolia 9 Konformikuvaukset kompleksitasossa A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 139 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 14 / 353

Gerardus Mercator (Gerard Kremer) 5.3.1512 2.12.1594 ja Mercatorin Atlaksen englanninkielisen painoksen kansi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 141 / 353 Mercatorin kuuluisa maailmankartta Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate (1569) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 142 / 353 Sylinteriprojektio Sylinteriprojektioksi kutsutaan sellaista karttaprojektiota, jossa leveyspiirit (ϕ) kuvautuvat kartalla vaakasuoriksi viivoiksi ja pituuspiirit (λ) pystysuoriksi viivoiksi. Konformisuus Mercatorin projektio ma a ritella a n kaavalla (x, y ) = λ, ln tan(ϕ/2 + π/4), missa ϕ on pallon pinnalla olevan pisteen leveyspiiri ja λ sen pituuspiiri. Mercatorin projektio on konforminen, eli se sa ilytta a kahden ka yra n va lisen kulman niiden leikkauspisteessa. Se on ainoa konforminen sylinteriprojektio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 143 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 144 / 353

Mercatorin projektion konstruktio Loksodromit Loksodromi on käyrä, joka syntyy edettäessä johonkin kiinnitettyyn kompassisuuntaan. Mercatorin projektiossa suorat kartalla vastaavat loksodromeja. Koska pituus- ja leveyspiiri on mahdollista selvittää mittaamalla taivaankappaleiden korkeuksia, ja suunta kompassia käyttämällä, tämä projektio soveltuu erittäin hyvin navigointiin. Mercator ei esittänyt karttaprojektiolleen matemaattista selitystä. Vuonna 1599 englantilainen matemaatikko Edward Wright keksi tarkastelemalla pienten neliöiden kuvautumista, kuinka Mercatorin projektio tehdään matemaattisesti. Tarkastellaan pientä tonttia, joka sijaitsee leveyspiirillä ϕ, jonka rajat ovat pituus- ja leveyspiirien suuntaiset ja sekä leveys että korkeus on h. Jotta Mercatorin projektio voisi toimia, on myös tontin kuvan kartalla oltava neliö. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 145 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 146 / 353 Mercatorin projektion konstruktio, jatkoa Merkitään kuvapistettä (x, y) on kuvapiste ja valitaan x = λ. Jäljelle jää laskea miten saadaan y. Voidaan päätellä, että leveyspiiriä ϕ vastaava venytys karttaprojektiossa on 1/ cos ϕ. Siis tontin, jonka leveys on h, leveys kartalla on h/ cos ϕ. Siksi myös korkeuden on oltava h/ cos ϕ. Mercatorin projektion konstruktio, jatkoa Selvästi y-koodinaatti riippuu vain leveyspiiristä ϕ. Voidaan siis merkitä y = F (ϕ). On selvitettävä mikä F on. Tontin kuvasta kartalla saatiin yhtälö, joka voidaan kirjoittaa F :n avulla F (ϕ + h) F (ϕ) = h/ cos ϕ, eli F (ϕ + h) F (ϕ) h Kun h, saadaan F (ϕ) = 1/ cos ϕ. = 1 cos ϕ. Kiinnittämällä päivätasaajan kuva kartalla tasolle, saadaan y-koordinaattille kaava F (ϕ) = ϕ dt cos(t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 147 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 148 / 353

Mercatorin projektion konstruktio, jatkoa Valittettavasti tämä oli ennen differentiaali- ja integraalilaskentaa, ja integraalia ei osattu laskea. Likiarvoja julkaistiin taulukkoina käytettäväksi merenkulussa. John Napier keksi vuonna 1614 logaritmifunktion, ja 162 julkaistiin trigonometristen funktioiden logaritmeja sisältänyt taulukkokirja. Taulukkokirjoja tutkiessaan Henry Bond huomasi sattumalta 164, että ϕ dt cos(t) = ln ( tan ( ϕ/2 + π/4)). Tämän tuloksen todistaminen säilyi kuitenkin avoimena ongelmana aina vuoteen 1668, jolloin James Gregory julkaisi sille (erittäin monimutkaisen) todistuksen. Loksodromi ei anna lyhintä reittiä Loksodromit ovat hyödyllisiä suunnistettaessa kompassin avulla. Lyhyn reitti kahden pisteen välillä on kuitenkin isoympyrän kaari (kuvassa punainen), joka on (yleensä) eri kuin loksodromi (sininen). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 149 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 15 / 353 Pinta-alan vääristyminen Mercatorin projektio ei säilytä pinta-aloja. Esimerkiksi Grönlanti näyttää projektiossa suunnilleen saman kokoiselta kuin Afrikka. Todellisuudessa Afrikka on pinta-alaltaan noin 13-kertainen. 8 Mercatorin projektio 9 Konformikuvaukset kompleksitasossa Yleiset kompleksitason konformikuvaukset Analyyttisten funktioiden konformisuus Riemann pallo Möbius-kuvaukset A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 151 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 152 / 353

Konformikuvaukset kompleksitasossa Esimerkkejä Määritelmä Kuvausta (funktiota) w = f (z) sanotaan konformiseksi (conformal), jos se säilyttää kahden toisiaan leikkaavan sileän polun välisen kulman (tarkoittaen sekä kulman suuruutta että suuntaa). Tässä kahden polun välisellä kulmalla tarkoitetaan niiden tangenttien kulmaa leikkauspisteessä z. Kuvaus z re iθ z on konforminen kaikilla θ, r >. Kuvaus z z 2 kahdentaa kulmat pisteessä. Siten se ei ole konforminen tässä pisteessä (itseasiassa se on konforminen kaikissa muissa pisteissä). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 153 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 154 / 353 Analyyttisten funktioiden konformisuus Todistus (idea) Oletetaan z D ja f (z ). Tarkastellaan polkua C : z(t) = x(t) + iy(t) Lause Analyyttinen funktio f : D f (D) on konforminen kaikissa niissä pisteissä z D, joissa f (z). pisteessä z D. Jos z(t ) = z, niin z (t ) on polun C tangentin pisteessä z. Polun C kuva on yhdistetty kuvaus w(t) = f (z(t)). Derivoinnin ketjusäännöstä saadaan w (t) = f (z(t))z (t). Koska f :n derivaatta kiinnitetyssä pisteessä on kompleksiluku (oletuksen mukaan (f (z ) ), nähdään että kuvaus f muuttaa pisteessä z kaikkien polkujen argumentteja yhtä paljon, eli säilyttää kulmat. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 155 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 156 / 353

Esimerkkejä, potenssifunktio Esimerkkejä, Joukowskin siipiprofiili Kuvausta J : z z + 1/z kutsutaan Joukowskin siipiprofiiliksi. Joukowskin kuvauksen derivaatta on Potenssifunktio f : z z n, missä n = 2, 3,... on konforminen kaikissa muissa pisteissä paitsi nollassa. Tämä voidaan nähdä laskemalla f (z) = nz n 1. Kuvaus f kuvaa sektorin (ks. kuva), jonka kulma on π/n ylemmälle puolitasolle. 1 1 (z + 1)(z 1) = z2 z 2, mistä nähdään, että se on konforminen muualla paitsi pisteissä z = ±1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 157 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 158 / 353 Riemann pallo Kompleksitaso, ja siis kompleksiluvut (kuvassa piste A), voidaan kuvata yksikköpallon pinnalle (pisteeksi α) seuraavalla kuvauksella: Riemann pallo Kuvaus analoginen kompleksilukujen kuvaamisen tason pisteiksi. Nyt vain kuvaamme ne pallon pinnalle. Sillä on seuraavat ominaisuudet: Kuvaus säilyttää kahden käyrän väliset kulmat, muttei pisteiden välisiä etäisyyksiä (pallon normaalilla metriikalla mitattuna). Yksikköympyrä kuvautuu ekvaattoriksi, origo kuvautuu etelänavaksi, kompleksitaso kuvautuu pallon pinnaksi lukuunottamatta pohjoisnapaa. Kompleksitason kuvaus z 1/z kuvaa pallon eteläpuolen pohjoispuoleksi. Kutsumme pohjoisnapaa äärettömyydeksi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331(c) Matematiikan Wikipedia peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 159 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 16 / 353

Laajennettu kompleksitaso Möbius-kuvaukset Osoittautuu hedelmälliseksi tarkastella jatkossa ns laajennettua kompleksitasoa, C { }, joukkoa joka sisältää kompleksilukujen lisäksi äärettömyyden yhtenä pisteenä. Liitetään äärettömyys kompleksilukuihin, liittämällä se Riemannin pallolle pohjoisnavalle. Möbius-kuvaukset (Möbius transformations, fractional linear transformations) ovat kuvauksia, jotka voidaan määritellä muotoa f (z) = az + b, (ad bc ) cz + d olevalla kaavalla, missä a, b, c ja d ovat kompleksisia (tai reaalisia) vakioita. Koska f (z) = a(cz + d) c(az + b) (cz + d) 2 = ad bc (cz + d) 2, nähdään, että f (z) (ja siten f on konforminen) kaikilla z z {z C : cz + d }. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 161 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 162 / 353 Möbius-kuvaukset, esimerkkejä Möbius-kuvaukset, käänteiskuvaus Erityisesti Möbius-kuvauksia ovat: siirrot z z + a, a C vakio, rotaatiot z az, a = 1, lineaarikuvaukset z az + b, a, peilaus yksikkökiekossa z 1/z. Huomautus 1. Itseasiassa kaikki Möbius-kuvaukset voidaan esittää yhdisteenä äärellisen monesta tällaisesta kuvauksesta. Huomautus 2. Suoran tai ympyrän kuva Möbius-kuvauksessa on aina suora tai ympyrä. Möbius-kuvauksen w = f (z), f (z) = az + b, (ad bc ) cz + d käänteiskuvaus z = f 1 (w) saadaan kaavasta f 1 (w) = dw b cw + a. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 163 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 164 / 353

Möbius-kuvaukset, kolmen pisteen kuvaaminen Lause Jos on annettu kolme erillistä pistettä z 1, z 2, z 3 kompleksitasossa, ne voidaan aina kuvata (pisteiden järjestys säilyttäen) kolmikolle w 1, w 2, w 3 yksikäsitteisellä Möbius-kuvauksella, joka löydetään ratkaisemalla w yhtälöstä (w w 1 )(w 2 w 3 ) (w w 3 )(w 2 w 1 ) = (z z 1)(z 2 z 3 ) (z z 3 )(z 2 z 1 ). Jos jokin pisteistä äärettömyyspiste, voidaan kaava tulkita raja-arvona. Todistus. Sivuutetaan. Esimerkkejä Etsitään Möbius-kuvaus, joka vie kolme pisteet 1,, 1 pisteiksi i,, i. Sijoitetaan kaavaan: Saadaan: eli f (z) = iz. (w + i)( i) (z + 1)( 1) = (w i)( + i) (z 1)( + 1). (w + i)(z 1) = (w i)(z + 1) wz w + iz + 1 = wz + w iz + 1 2iz = 2w, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 165 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 166 / 353 Esimerkkejä, kuvataan puolitaso kiekolle Esimerkkejä, äärettömyyspiste Etsitään Möbius-kuvaus, joka vie kolme pistettä puolitason reunalla 1,, 1 kolmeksi pisteeksi kiekon reunalla 1, i, 1. Kaavasta saadaan Ratkaistaan w ja saadaan (w ( 1))( i 1) (z ( 1))( 1) = (w 1)( i ( 1)) (z 1)( ( 1)). f (z) = w = z i iz + 1. Kuvataan pisteet, 1, pisteille 1, i, 1. Kaavasta saadaan kun huomataan, että w = z i z + i, 1 ω lim ω z ω = 1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 167 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 168 / 353

Esimerkkejä, kiekon kuvaaminen puolitasolle Kuvataan pisteet 1, i, 1 pisteille, i,. Kuten edellä, kaavasta saadaan ratkaistua w = z + 1 z 1. Osa IV Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 169 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 17 / 353 1 Kompleksista sarjoista 11 Analyyttisen funktion singulariteetit 12 Residymenetelmä 1 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset funktiot Taylorin sarja Taylorin lause Esimerkkejä sarjaesityksistä Laurentin lause 11 Analyyttisen funktion singulariteetit 12 Residymenetelmä A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 171 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 172 / 353

Kertausta, suppeneva jono, summasarja Jonoa kompleksilukuja z 1, z 2,... merkitään (z n ). Jono (z n ) suppenee kohden lukua c, jos kaikilla ε > on olemassa sellainen N, että z n c < ε, kun n > N. Merkitään lim n z n = c tai z n c, Sanomme, että jono hajaantuu jos se ei suppene. Tutkitaan jonoa s n = z 1 + z 2 +... + z n. Jos jono (s n ) suppenee, eli lim n s n = s, niin kirjoitetaan Esimerkkejä sarjoista Jono 1, 1, 1, 1,... eli (1) suppenee. Sarja (1) hajaantuu. Jono (i k ) hajaantuu: s 4k = 1, s 4k+1 = i, s 4k+2 = 1, s 4k+3 = i. Sarja (z k ) suppenee, k= zk = 1 1 z, kun z < 1. s = z m = z 1 + z 2 + z 3 +..., m=1 ja kutsutaan lukua s sarjan (z n ) summaksi.. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 173 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 174 / 353 Potenssisarja, suppenemissäde Potenssisarja on sarja, joka on muotoa a n (z z ) n = a + a 1 (z z ) + a 2 (z z ) 2 +... n= Lukua z sanotaan sarjan kehityskeskukseksi tai keskukseksi. Potenssisarja suppenee kiekossa D = {z : z z < r} (uniformisti) jollakin r. Suurinta lukua R = sup r, jolla sarja suppenee, kutsutaan sarjan suppenemissäteeksi. R = lim a n C { }. n a n+1 Sarja hajaantuu suljetun kiekon ulkopuolella z D eli z z > R. Potenssisarja ja derivointi Termeittäin derivoidulla potenssisarjalla k= a k d dz (z z ) k = ka k (z z ) k 1 k=1 on sama suppenemissäde kuin alkuperäisellä sarjalla koska (k 1) a k 1 lim k k a k = lim(1 1 k ) a k 1 a k = lim a k 1 a k = R Termeittäin derivoidun sarjan summa on sarjan summan derivaatta (yhteisessä suppenemisalueessaan): f (z) := a k (z z ) k f (z) = k= k=1 a k d dz (z z ) k Huomaa summausindeksin muutos sarjassa. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 175 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 176 / 353

Potenssisarja ja analyyttiset funktiot Potenssisarja ja integrointi Potenssisarjaa f (z) voidaan integroida termeittäin, kaikilla z D: Seuraus Potenssisarjan summa f (z) = k= a k(z z) k on analyyttinen funktio suppenemisalueessaan. C f (z) dz = f (z) := a k k= mielivaltaiselle käyrälle C D. C a k (z z ) k k= (z z ) k dz = k= a k k + 1 (z z ) k+1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 177 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 178 / 353 Potenssisarja ja analyyttiset funktiot... Derivoimalla potenssisarjaa f (z) := k= a k(z z ) k saadaan suppenemisalueessa f (n) (z) = = k= k=n = n! a n + a k d n dz n (z z ) k k! (k n)! a k(z z ) k n k=1 joten kun z = z, erityisesti a = f (z ) ja yleisesti a n = 1 n! f (n) (z ). (k + n)! a n+k (z z ) k k! Taylorin sarja Funktion f (z) kompleksinen Taylorin sarja kehityskeskuksessa z on f (z) = a n (z z ) n, missä a n = 1 n! f (n) (z ). n=1 Cauchyn integraalilauseen nojalla toisaalta a n = 1 f (w) dw, 2πi (w z ) n+1 C missä f on analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa D ja integrointi suoritetaan vastapäivään pitkin yksinkertaista suljettua polkua C D, joka sulkee sisäänsä pisteen z. Jos z =, niin Taylorin sarjaa kutsutaan Maclaurinin sarjaksi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 179 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 18 / 353

Taylorin lause Esimerkki 1, geometrinen sarja Lause 1 Oletetaan, että f (z) on analyyttinen alueessa D, z D. Tällöin on olemassa täsmällen yksi Taylorin sarja, jonka keskipiste on z, joka edustaa funktiota f (z). Sarja suppenee kaikissa z -keskisessä kiekossa jossa f on analyyttinen. B(z, r) := {z C : z z < r}, Taylorin sarjan kertoimet toteuttavat epäyhtälön r n a n max{ f (z) : z z = r}. Tarkastellaan funktiota f (z) = 1/(1 z) kehityskeskuksena z =. Saadaan f (n) (z) = n!/(1 z) n+1 ja c n = 1 n! f (n) () = 1. Maclaurinin sarjaksi saadaan 1 1 z = z n = 1 + z + z 2 +... n= Suppenemissäde R = 1. Toisaalta f :llä on singulariteetti pisteessä z = 1. Tämä piste on suppenemisäteisen kiekon reunalla. Todistus. Sivuutetaan A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 181 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 182 / 353 Esimerkki 1, geometrinen sarja... Esimerkki 1, geometrinen sarja... Tarkastellaan funktiota f (z) = 1/(1 z) kehityskeskuksena z = 1. Saadaan f (n) (z) = n!/(1 z) n+1 ja c n = 1 n! f (n) ( 1) = 2 n 1, Taylor sarjaksi pisteessä z = 1 saadaan 1 1 z = n= (z + 1) n 2 n+1 = 1 2 + z + 1 (z + 1)2 + +... 4 8 Suppenemissäde R = lim 2 n 2 n 1 = 2. Toisaalta f :llä on singulariteetti pisteessä z = 1. Tämä piste on suppenemisäteisen kiekon reunalla, z 1 = 2. Tarkastellaan funktiota f (z) = 1/(1 z) kehityskeskuksena z = i. Saadaan f (n) (z) = n!/(1 z) n+1 ja c n = 1 n! f (n) ( i) = (1 + i) n 1. Taylor sarjaksi pisteessä z = i saadaan 1 1 z = (1 + i) n 1 (z + i) n n= Suppenemissäde R = lim n (1+i) n+1 (1+i) n = limn 1 + i = 2. Toisaalta f :llä on singulariteetti pisteessä z = 1. Tämä piste on suppenemisäteisen kiekon reunalla, z 1 = 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 183 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 184 / 353

Esimerkki 2, eksponenttifunktio Tarkastellaan funktiota f (z) = e z. Funktio f on kokonainen (entire) eli analyyttinen koko kompleksitasossa, ja f (z) = e z. Maclaurinin sarjaksi, z =, saadaan e z = n= jonka suppenemissäde on z n n! = 1 + z + z2 2! + z3 3! +... (n + 1)! R = lim = lim (n + 1) = n n! n Laurentin lause Lause 3 Oletetaan, että f (z) on analyyttinen kahden samankeskisen ympyrän C 1, C 2 väliin jäävässä alueessa D = {z C : r 1 < z z < r 2 }. Tällöin f : D C voidaan esittää Laurentin sarjana f (z) = n= a n (z z ) n Huomaa indeksointi! Sarjan kertoimet a n saadaan kaavasta a n = 1 f (w) dw, 2πi (w z ) n+1 C missä integrointi suoritetaan vastapäivään pitkin polkua C, joka kiertää sisemmän ympyrän C 1 kerran vastapäivään alueessa D. Todistus. Sivuutetaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 185 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 186 / 353 Analyyttisen funktion singulariteetit 1 Kompleksista sarjoista 11 Analyyttisen funktion singulariteetit Singulariteettien luokittelu Nollakohta, kertaluku 12 Residymenetelmä Oletetaan, että f (z) ei ole analyyttinen (mahdollisesti ei edes määritelty) pisteessä z. Oletetaan lisäksi, että jokainen z :n ympäristö sisältää pisteitä, joissa f on analyyttinen. Tällöin sanomme pistettä z f (z):n singulaariseksi pisteeksi. Pistettä z kutsutaan f (z):n isoloiduksi singulariteetiksi, jos z :lla on ympäristö, jossa ei ole muita pisteitä, joissa f olisi singulaarinen. Esimerkki: tan z:lla on isoloitu singulariteetti pisteissä ±π/2, ±3π/2,..., mutta tan(1/z):lla on ei-isoloitu singulariteetti :ssa, sen singulariteetit ovat pisteissä ±2 kπ, k = 1, 3, 5,.... A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 187 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 188 / 353

Singulariteettien luokittelu Singulariteettien luokittelu, jatkoa Idea: Laurentin sarjaa voidaan käyttää funktion f (z) isoloitujen singulariteettien luokitteluun pisteessä z. f (z) = n= a n (z z ) n = a n (z z n=1 ) n }{{} principal part + a n (z z ) n. n= } {{ } analytical part Jos singulariteetti z on isoloitu, löytyy (riittävän pieni) R jolla sarjaesitys on voimassa alueessa D = {z : < z z < R}. Huomaa että z D. Sarjaesityksen esimmäistä, negatiivisia potensseja sisältävää osaa kutsutaan sarjan olennaiseksi osaksi (principal part). Jälkimmäinen, vain ei negatiivisia eksponentteja sisältä osa on analyyttinen funktio, erään funktion Taylor sarja. Jos olennaisessa osassa on vain äärellinen määrä termejä, (a n =, kun n > m) olennainen osa (principal part) voidaan kirjoittaa äärellisenä summana: a n (z z n=1 ) n }{{} principal part = a 1 z z +... + a m (z z ) m, (a m ). f (z):n singulariteettia z kutsutaan f :n navaksi (pole) ja m:ää navan asteeksi. Kun m = 1 sanomme, että kyseessä on yksinkertainen napa (simple pole). Jos olennaisessa osassa on ääretön määrä termejä, singulariteettia kutsutaan olennaiseksi (essential). Ei-isoloituja singulariteetteja ei tarkastella tässä. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 189 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 19 / 353 Lause Olkoon f kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio. Seuraavat kolme kohtaa ovat ekvivalentit a) Funktiolla f on napa pisteessä z astetta m. b) Funktiolla f on Laurent esitys pisteen z ympäristössä: f (z) = k= m a k (z z ) k jossa a m ja < z z < r jollakin säteellä r >. c) Funktio g, { (z z ) g(z) = m f (z), z z lim z z (z z ) m f (z), z = z on analyyttinen pisteen z avoimessa ympäristössä; z z < r jollakin säteellä r >. g(z ). Huomaa erityisesti edellä että: a) Napa tarkoittaa että singulariteetti on myös isoloitu. b) Jos esitys on olemassa, mutta a m =, sinulariteetti z on korkeintaan astetta m. c) Funktiolla g on Taylor-sarja g(z) = a k m (z z ) k k= koska g(z) = (z z ) m f (z) = k= m a k(z z ) k (z z ) m c) Jos jo tiedämme, että z on isoloitu singulariteetti, riittää tarkastella raja-arvoa lim(z z) m f (z). Jos se on määritelty, g on analyyttinen, ja piste on z on singulariteetti korkeintaan astetta m, koska... c) g(z ) = a m. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 191 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 192 / 353

Esimerkki 3 Nollakohta, kertaluku Funktiolla f (z) = 1 z(z 2) 5 + 1 1 + z(z 2)3 = (z 2) 2 z(z 2) 5 on yksinkertainen napa pisteessä z =, koska 1 lim zf (z) = z 32. Vertailun vuoksi: (lim z f (z) ei ole olemassa, ja lim z 2 f (z) = ei ole olemassa. Funktiolla on kertalukua 5 oleva napa pisteessä z = 2: Analyyttisen funktion nollakohta on piste z, jossa f (z ) =. Nollakohta on kertalukua m, jos kaikilla k =,..., m 1 f (k) (z ) =, ja f (m) (z ). Kertalukua 1 olevia nollakohtia kutsutaan myös yksinkertaisiksi. lim (z 1 + 2(2 z 2 2)5 2)3 f (z) = 2 = 1 2, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 193 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 194 / 353 Nollakohta, kertaluku... Analogisesti Laurent -sarjan ja napojen yhteyden kanssa, Lause Olkoon funktio f on analyyttinen z ympäristössä. Ekvivalentisti Funktiolla on m-asteen nollakohta kohdassa z. Funktiolla on Taylor-sarja muotoa f (z) = a k (z z ) k, a m. k=m 1 Kompleksista sarjoista 11 Analyyttisen funktion singulariteetit 12 Residymenetelmä Residyjen laskeminen Funktio g : z (z z ) m f (z) on analyyttinen z ympäristössä ja g(z ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 195 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 196 / 353

Residymenetelmä, johdanto Cauchyn residymenetelmän etsimme tapaa laskea muotoa C f (z) dz, oleva kompleksinen käyräintegraali. Oletetaan jatkossa, että C on suunnattu vastapäivää ja kiertää kunkin pisteen vain kerran. Tämä vain helpottaa merkintöjä. Residymenetelmä, johdanto... Oletetaan, että f on analyyttinen C rajaamalla alueella, lukuunottamatta napoja z 1, z 2,..., z n. Analyyttisyyden nojalla voimme kirjoittaa, joillekin suljetuille käyrille C i, kukin kiertäen vain singulariteetin z i, n f (z) dz = f (z) dz. C C j j=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 197 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 198 / 353 Residymenetelmä, johdanto... jatkuu... Tarkastelaan vain yhtä osakäyrää C i. Olkoon z i napa kertalukua m i. Kehittämällä f Laurent-sarjaksi jossakin muotoa D = {z : < z z i < R i } olevassa alueessa (joka sisältää C i :n). saamme f (z) dz = (z z i ) k dz = 2πi a 1 C i C i k= m i a k Residyjen laskeminen Lause Jos f :llä on m-kertainen napa kohdassa z niin 2πi Res z=z (f ) = lim z z g (m 1) (z), Merkitsemme a 1 =: Res z=zi f (z). Kutsumme lukua Res z=zi f (z) funktion f residyksi 1 pisteessä z i. Saamme C f (z) dz = n j=1 C j f (z) dz = 2πi n Res z=zj f (z) j=1 1 Residue (engl,fr); murto-osa, jäljelle jäävä osa (integroinnin jälkeen). jossa g(z) = (z z ) m f (z). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 199 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 2 / 353

Residyjen laskeminen... Todistus seuraa suoraan Laurent-sarjasta. Olkoon f :llä Laurent sarja tällöin g:llä on Taylor-sarja f (z) = k= m g(z) = (z z ) m = = k= k= a k m a k (z z ) k k= m (z z ) k a k (z z ) k g (k) (z ) (m 1)! (z z ) k. Selvästi 1 (m 1)! g (m 1) (z ) = a 1, sillä k m = 1, jos k = m 1. Residyjen laskeminen... Vaihtoehtoinen todistus suoraan Cauchyn integraalilauseella 1 f (z) dz = C C (z z ) }{{ m (z z ) m f (z) }{{}} =:g(z) singuilar analytic = 2πi (m 1)! g (m 1) (z ) dz A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 21 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 22 / 353 13 Johdanto Osa V Fourier analyysi 14 Fourier-sarja 15 Diskreetti Fourier muunnos 16 Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 23 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 24 / 353

13 Johdanto Funktion parillisuus ja parittomuus Jaksollisuus Signumfunktio, Diracin, ja Heavisiden funktio 14 Fourier-sarja 15 Diskreetti Fourier muunnos 16 Fourier muunnos Joseph Fourier (1768 183) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 25 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 26 / 353 Paloittain jatkuva funktio Funktion parillisuus ja parittomuus Reaali- tai kompleksimuuttujan funktio f on paloittain jatkuva alueessa D, jos se on epäjatkuva korkeintaan alueen D erillisissä pisteissä. Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on parillinen, jos f ( t) = f (t) kaikilla t. Kuva: Paloittain jatkuva funktio. Kuva: Parillinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 27 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 28 / 353

Funktion parillisuus ja parittomuus, jatkoa Esimerkkejä ja huomautuksia Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on pariton, jos f ( t) = f (t) kaikilla t. Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. Jos pariton funktio on derivoituva, sen derivaatta on parillinen funktio. Vastaavasti, jos parillinen funktio on derivoituva, sen derivaatta on pariton funktio. Parillisen ja parittoman funktion tulo on pariton funktio. Kuva: Pariton funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 29 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 21 / 353 Parittoman/parillisen funktion integraali Lemma Jos f on pariton ja c >, niin c Jos f on parillinen, niin c c c f (t) dt =. c f (t) dt = 2 f (t) dt. Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = c c f (t) dt + f (t) dt Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen c c f (t) dt + f (t) dt = c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt c c = f ( s) ds + f (t) dt. c c = f (s) ds + f (t) dt =. Parillisen funktion osalta todistus sujuu samaan tapaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 211 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 212 / 353

Jaksollisuus Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on jaksollinen (jaksona T ), jos f (t + T ) = f (t) kaikilla t. Etumerkkifunktio eli signumfunktio Etumerkkifunktio määritellään sgn (t) = { 1, kun t <, 1, kun t. Kuva: Jaksollinen funktio. Kuva: Etumerkkifunktio eli signumfunktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 213 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 214 / 353 Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio Paloittain jatkuva yksikköaskelfunktio u(t) määritellään {, kun t <, u(t) = 1, kun t. Huomautus 1: Joskus yksikköaskelfunktiota ei määritellä :ssa tai sen arvoksi :ssa asetetaan 1/2. Tämän kurssin asioiden kannalta ei ole merkitystä sillä, mikä arvo :ssa on. Huomautus 2: Yksikköaskelfunktio voidaan kirjoittaa sigumfunktion avulla u(t) = (1 + sgn (t))/2. Yksikköimpulssifunktio eli Diracin deltafunktio Määritellään ensin funktio Selvästi aina f ε (t) = { 1/ε, kun t [, ε],, muulloin. f ε (t) dx = 1. Jos annetaan epsilonin lähestyä nollaa, piikin leveys pienenee ja korkeus kasvaa. Saadaan origossa äärettömän korkea ja kapea pulssi. Kuva: Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 215 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 216 / 353

Diracin deltafunktio, jatkoa 13 Johdanto Tätä pulssia sanotaan Diracin deltafunktioksi ja se määritellään δ(t) = lim ε + f ε(t). Diracin deltafunktio ei ole oikea funktio vaan nk. distribuutio. Vaikka sillä ole äärellistä arvoa origossa, pätee: f ɛ (t)g(t)dt g() =: f ɛ (t)g(t)dt 14 Fourier-sarja Dirichlet n ehdot Fourier-sarjan laskeminen Gibbsin ilmiö Kompleksinen Fourier-sarja Sovelluksia differentiaaliyhtälöihin 15 Diskreetti Fourier muunnos 16 Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 217 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 218 / 353 Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos (1) f on paloittain jatkuva, (2) f :llä on korkeintaan äärellinen määrä lokaaleja ääriarvokohtia (ko. välillä), ja (3) integraali on äärellinen. T /2 T /2 f (t) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 219 / 353 Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, ja f (t) = a 2 + [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (15.1) a k = 2 T b k = 2 T k=1 a = 2 T T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 f (t) dt, f (t) cos(kωt) dt, f (t) sin(kωt) dt. Kertoimia a, a k, b k sanotaan funktion f Fourier-kertoimiksi ja sarjaa (15.1) sen Fourier-sarjaksi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 22 / 353

Fourier-sarja, olemassaolo Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Olkoon f jaksollinen Dirichlet n ehdot toteuttava funktio, jonka jakso on T. Tällöin sarja a 2 + [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ] k=1 suppenee, ja sen summa on 1 f (t ), jos f on jatkuva t :ssa, 2 1 2 [ lim f (t) + t t + Todistus. Sivuutetaan. lim f (t)], jos f on epäjatkuva t :ssa. t t Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k =, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k =, kun k =, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin g(t) = f (t) sin(kωt) on pariton. Lemman nojalla b k = 2 T T /2 T /2 g(t) dt =. Vastaavasti, jos f on pariton, niin h(t) = f (t) cos(kωt) on pariton ja siten a k =. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 221 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 222 / 353 Fourier-sarjan laskeminen Todistus Lause Oletetaan, että f on T -jaksoinen integroituva funktio. Tällöin kaikilla r R. T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 +r f (t) dt T 2 T 2 = = f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 +r T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r T 2 f (t) dt + f (t) dt + T 2 +r T 2 +r f (t) dt + T 2 +r T 2 T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 = T 2 +r T 2 +r f (t) dt + T 2 +r T 2 T 2 +r T 2 +r f (s + T ) ds f (t) dt = f (t) dt. T 2 T 2 +r A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 223 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 224 / 353

Fourier-sarjan laskeminen, jatkoa Esimerkki Seuraus Fourier-sarjan kertoimet voidaan laskea Määritetään kuvan funktion Fourier-kertoimet a k = 2 T b k = 2 T T /2+r T /2+r T /2+r T /2+r f (t) cos(nωt) dt, f (t) sin(nωt) dt. Huomautus. Erityisesti, jos r = T /2, saadaan a k = 2 T T f (t) cos(nωt) dt, b k = 2 T T f (t) sin(nωt) dt. Selvästi T = 4 ja ω = 2π/4 = π/2. Saadaan a = 2 T 2 2 f (t) dt = 1 2 1 2 2 dt = 3. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 225 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 226 / 353 Esimerkki, jatkoa Esimerkki, jatkoa Lasketaan a k, kun k = 1, 2,...: a k = 2 4 2 2 f (t) cos(kωt) dt = 1 = 2 ( kπt ) kπ sin 1 = 2 [ ( kπ sin 2 2 kπ 2 = 2 [ ( kπ ) ] sin + sin(kπ) kπ 2 2 cos ) sin ( kπt ) dt 2 = 2 kπ sin ( kπ 2 ( 2kπ )] 2 ). Vastaavasti lasketaan b k : b k = 2 4 2 2 f (t) sin(kωt) dt = 1 2 = 2 ( kπt ) kπ cos 1 = 2 [ ( kπ cos 2 2 kπ 2 = 2 [ ( kπ cos kπ 2 sin ) ] cos(kπ). ( kπt ) dt 2 ) cos ( 2kπ )] 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 227 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 228 / 353

Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). Koska f (t) on pariton funktio, kosinitermi a k = kaikilla k. Sinitermiksi saadaan laskettua b k = 2(π cos(kπ) sin(kπ)) k 2 π 2. Funktio f ja sen Fourier-sarjan neljä ensimmäistä approksimaatiota: Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = 1 (1/2 + t) 2, kun t [ 1/2, 1/2], f (t + 1) = f (t). Fourier-kertoimiksi saadaan a = 4/3, a k = k2 π 2 sin(kπ) + sin(kπ) kπ sin(kπ) k 3 π 3 ja kπ cos(kπ) sin(kπ) b k = k 2 π 2. Funktio f ja sen Fourier-sarjan neljä ensimmäistä approksimaatiota: A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 229 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 23 / 353 Gibbsin ilmiö Fourier-sarja suppenee kohti arvoa (f (x +) + f (x ))/2. Jos f on epäjatkuva kohdassa x, esiintyy kohdassa x Fourier-sarjojen osasummilla S n f (x) kohdassa x erikseen hyppyilmiö ns. Gibbsin ilmiö, joka voidaan helposti kokeellisesti todentaa MATLAB-testein (ks. esimerkki). Jatkuville funktioille, joiden derivaatta on myös jatkuva paitsi äärellisen monessa pisteessä, pätee Fourier-sarjan nk. tasainen suppeneminen. Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a 2 + (a k cos kt + b k sin kt). (15.2) k=1 Eulerin kaavasta saadaan suhde funktioiden cos t, sin t ja e it välille: e it = cos t + i sin t. (15.3) Sinin parittomuudesta seuraa, että e it = cos t + i sin t. (15.4) Kaavoista (15.3), (15.4) saadaan cos t = 1 2 (eit + e it ), sin t = 1 2i (eit e it ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 231 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 232 / 353

Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Soveltamalla kaavaa 1/i = i funktion sin t lausekkeeseen ja sijoittamalla t = kx molempiin kaavoihin, saadaan a k cos kx + b k sin kx = 1 2 a k(e ikx + e ikx ) + 1 2i b k(e ikx e ikx ) = 1 2 (a k ib k )e ikx + 1 2 (a k + ib k )e ikx. Sijoitetaan tämä Fourier-sarjan esitykseen (15.2). Saadaan f (x) = c + (c k e ikx + d k e ikx ), k=1 missä c = a /2, c k = (a k ib k )/2 ja d k = (a k + ib k )/2. Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat ja c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π d k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt. 2π π π π π π Havaitaan, että d k = c k ja a /2 = c. f (t)(cos kt i sin kt) dt f (t)(cos kt + i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 233 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 234 / 353 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Esimerkki 1 Määritelmä Olkoon funktiolla f : R C periodi T, ja ω = 2π/T. Funktion kompleksinen Fourier-sarja f (t) = k= c k e ikωt, Merkitsemme usein ˆf k := c k. c k = ω 2π T /2 T /2 Huomaa: Sarjan summa on reaaliarvoinen kaikilla t joss c k e ikωt + c k e ikωt R kaikilla t, joss c k = c k. f (t)e ikωt dt. Etsitään funktion f (x) = e x, kun x ( π, π] ja f (x + k2π) = f (x) kaikilla kokonaisluvuilla k kompleksinen Fourier-sarja. Koska sin kπ = kaikilla kokonaisluvuilla k, saadaan e ±ikπ = cos kπ ± sin kπ = cos kπ = ( 1) k. Sijoittamalla tämä kaavaan saadaan c k = 1 π e x e ikx dx = 1 2π π 2π = 1 2π 1 1 ik ex ikx π x= π 1 1 ik (eπ e π )( 1) k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 235 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 236 / 353

Esimerkki 1, jatkoa Yhtälön oikealla puolella voidaan kirjoittaa 1 1 ik = 1 + ik (1 ik)(1 + ik) = 1 + ik 1 + k 2 ja eπ e π = 2 sinh π. Kompeksiseksi Fourier-sarjaksi saadaan siis e x = sinh π π k= ( 1) k 1 + ik 1 + k 2 eikx ( π < x < π). Trigonometrisessa muodossa oleva Fourier-sarja voidaan johtaa tästä seuraavasti. Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). Sinin parittomuudesta ja kosinin parillisuudesta saadaaan (1 ik)e ikx = (1 ik)(cos kx i sin kx) = (cos kx k sin kx) i(k cos kx + sin kx). Lasketaan edelliset yhteen, jolloin imaginaariosaa häviää ja saadaan Sarjaksi saadaan e x = 2 sinh π π 2(cos kx k sin kx). [ 1 2 1 1 ] (cos x sin x)+ 1 + 12 1 + 2 2 (cos 2x 2 sin 2x).... A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 237 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 238 / 353 Esimerkki 2 Etsitään differentiaaliyhtälön y (t) + 2y(t) = f (t) jaksolliset ratkaisut, kun f on 2π-jaksollinen funktio. Oletetaan, että differentiaaliyhtälön ratkaisu y(t) on 2π-jaksollinen funktio. Kirjoitetaan f ja y Fourier sarjana f (t) = k= c k e ikt, y(t) = k= y k e ikt, y (t) = Differentiaaliyhtälöstä y + 2y f (t) = saadaan (iky k + 2y k c k )e ikt = k k= iky k e ikt. Joten iky k + 2y k = c k eli y k = c k /(2 + ik) kaikilla k. Ratkaisu saadaan Fourier sarjan muodossa y(t) = k= c k 2 + ik eikt Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, joka pätee kertoimille c ±1 = i 2 ja c k =, kun k ±1. Differentiaaliyhtälöstä saadaan kertoimille y k yhtälöt [(ik) 2 + 2(ik) + 1]y k = c k, ja siis y ±1 = 1/4 ja y k = muuten. Saadaan vain yksi jaksollinen ratkaisu, joka on k y(t) = 1 4 (eit + e it ) = 1 cos t. 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 239 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 24 / 353

Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. Jos r(t) on sini tai kosini, saadaan harmoninen värähtely. Yleisesti r(t) voi olla mikä tahansa muukin jaksollinen funktio. Tutkitaan tilannetta, jossa m = 1, γ =, 5 ja κ = 25, jolloin yhtälöksi saadaan y +, 5y + 25y = r(t). Valitaan r(t):ksi 2π-jaksollinen funktio { t + π r(t) = 2, jos π < t, t + π 2, jos < t π, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 241 / 353 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π Tutkitaan differentiaaliyhtälöä Tiedetään, että ratkaisu on muotoa ( 1 cos t + 3 2 cos 3t + 1 ) cos 5t, +... 52 x k +.5x k + 25x k = 4 k 2 cos kt. (15.5) π x k = A k cos kt + B k sin kt. Sijoittamalla tämä yhtälöön (15.5) saadaan ratkaistua A k = 4(25 k2 ) k 2 πd k, B k =, 2 kπd k, missä D k = (25 k 2 ) 2 + (, 5k) 2. Ratkaisu voidaan kirjoitaa y(t) = k=1 A k cos(kt) + B k sin(kt). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 242 / 353 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään y ja r Fourier-sarjoina y(t) = y k e ikt, r(t) = k k c k e ikt, c k = { 2 πk 2, k pariton, k parillinen Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(cos t, sin t) = f (t), t ( π, π]. Differentiaaliyhtälöstä saadaan kertoimille y k yhtälöt [m(ik) 2 +γ(ik)+κ]y k = [ k 2 +.5ik+25]y k = c k = joten y k = kun k on parillinen ja y k = { 2 πk 2 2 π(25 k 2 +.5ik)k 2 = 5 2k2.1ik πk 2 D k, k pariton, k parillinen Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = a 2 + (a k cos(kt) + b k sin(kt)). k=1 Dirichlet n ongelman ratkaisu yksikkökiekossa saadaan kaavasta u(r cos t, r sin t) = a 2 + (a k r k cos(kt) + b k r k sin(kt)), k=1 missä z = re it. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 243 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 244 / 353

Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa: Kompleksinen sarja Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli 13 Johdanto u(e it ) = f (t), t ( π, π]. 14 Fourier-sarja Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = k= c k e ikt. 15 Diskreetti Fourier muunnos DFT: diskreetti Fourier muunnos 16 Fourier muunnos Dirichlet n ongelman ratkaisu yksikkökiekossa saadaan kaavasta u(z = re it ) = c k r k e ikt = c k z k. k= k= A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 245 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 246 / 353 DFT: diskreetti Fourier muunnos DFT ja Fourier sarjat Määritelmä Diskreetti Fourier muunnos (DFT) on kuvaus C n C n. Vektorin v C n DFT on ˆv C n, missä elementeittäin Tarkastellaan T -periodista funktiota 2 f (t) = k= c k e iωt = k= kt n/t c k z ˆv k = 1 n n v j z jk, j=1 k = 1,... n missä ω = 2π/T ja kuten edellä z = e 2πi/n. Valitaan tasavälein t j = Tj/n (, T ], j = 1,..., n, ja poimitaan funktiosta f näytteitä eli asetetaan ja missä z = e 2πi/n C. v j := f (t j ) = = k c k z kj. Huomaa z n = 1, z k 1, k = 1,..., n 1, zz = 1. 2 f voidaan kirjoittaa Fourier-sarjana A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 247 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 248 / 353

DFT ja Fourier sarjat, jatkuu DFT ja Fourier sarjat, jatkuu Diskreetti Fourier muunnos on summa Fourier-sarjan kertoimista. missä ˆv l = 1 n 1 n = n v k z kl k=1 j= n z k(j l) = k=1 = 1 n 1 n c j z k(j l) n k=1 }{{} n k=1 j= = c j z kj z kl j= c l+jn {, (j l) mod n 1, (j l) mod n = Valitsemalla absoluttiarvoltaan pienin indeksi ˆv l lausekkeen summassa saadaan (indeksiehdot yhteiset) { c k + { j ˆv k = c k+nj c k n + c k, 1 k n/2 j 1 c k+nj c k n, n/2 < k n Huomaa, että ˆv n = c + j c nj Kun n on riittävän suuri, summat muodostuvat pieniksi, koska c k kun k. Pienillä n näin ei kuitenkaan tapahdu. Tätä ilmiötä kutsutaan laskostumiseksi, se tapahtuu aina, mutta on merkittävä ilmiö kun näytteenottotaajuus on liian pieni eli n on liian pieni. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 249 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 25 / 353 FFT DFT on tullut erittäin tärkeäksi työkaluksi käytännön sovelluksissa erityisesti sen jälkeen kun J. W. Cooley ja J. W. Tukey 1965 julkaisivat 3 ja tekivät tunnetuksi erittäin nopean tavan Fast Fourier Transform (FFT) laskea DFT annetulle vektorille v C n, n = 2 k jollekin k N. Joskin jo Gauss:in väitetään tunteneen algoritmin 185, katso http://en.wikipedia.org/wiki/fft. Signaalinkäsittely on eräs erittäin keskeinen FFT:n sovellus. Laskennan työmäärän ero on valtava. FFT laskenta vaatii O(n log n) operaatiota, triviaali tapa vuorostaan O(n 2 ) operaatiota. Ero on huomattava, kun on tyypillisessä sovelluksessa, n = (2 1 ) 2 = 2 2. (Arvioi vaadittava laskenta-aika, jos FFT vie 1ms. ) 13 Johdanto 14 Fourier-sarja 15 Diskreetti Fourier muunnos 16 Fourier muunnos Johdanto Fourier-muunnos Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos Esimerkkejä Fourier-muunnoksista 3 Cooley, James W., and John W. Tukey, 1965, An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series, Math. Comput. 19: 297. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 251 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 252 / 353

Fourier-sarjasta muunnokseen Tarkastellaan nyt reaalimuuttujan paloittain jatkuvaa funktiota f : R C, jolle pätee Määritellään sen avulla T jaksollinen funktio 4 f T f (t) dt <. (17.1) f T (t) = f (t), T /2 < t T /2. Merkitään w = 2π T, ja f T :n Fourier sarjan 5 kertoimia c w (k) = w 2π T /2 T /2 f (t)e iwkt dt. 4 Muilla t arvot f (t) määräytyvät jaksollisuuden perusteella. 5 T jaksollisen funktion sarja A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 253 / 353 T Tutkimme formaalisti, mitä tapahtuu f T :n Fourier-sarjalle kun T w : f T (t) = k = 1 2π c w (k) e iwkt lim f 1 T (t) = lim T w 2π k = 1 2π R T /2 f (s)e iwks ds e iwkt w T /2 π/w k= π/w f (s)e iwks ds e iwkt }{{} :=g(wk) }{{} R R g(ω)dω f (s)e iωs ds R } {{ } =:F (ω) e iωt dω = 1 2π Funktio F on reaalimuuttujan ω kompleksiarvoinen funktio. R w F (ω)e iωt dω A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 254 / 353 Fourier-muunnos Määritelmä Funktion f : R C Fourier-muunnos on funktio F = F {f } : R C, F (ω) = f (t)e iωt dt. Fourier-muunnos on kuvaus F : R C, eli sen arvot ovat yleisesti kompleksilukuja. Muunnos on olemassa, jos yo integraali suppenee. Tällöin sanotaan, että f on Fourier-muuntuva. Käytännön kannalta riittävä ehto on, että integraali Esimerkki Lasketaan sakarapulssin 6 Fourier-muunnos: F (ω) = f (t) = u(t + 1) u(t 1) = = f (t)e iωt dt = 1 1 { 1, kun t 1,, muuten, e iωt dt { ( iω) 1 ( e iω e iω) = 2 ω sin ω, ω 1 1 dt = 2, ω = suppenee. f (t) dt Tässä tapauksessa F on reaaliarvoinen ja erityisesti F () = R f (t)dt = 2. 6 Tässä u on Heavisiden funktio eli yksikköaskelfunktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 255 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 256 / 353

Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Oletetaan että funktioiden g, f : R C muunnokset F {f } = F F {g} = G ja ovat määriteltyjä ja a, b C. Seuraavat ominaisuudet seuraavat määritelmästä. Muunnoksen g(t) F {g}(ω) ominaisuus Lineaarisuus a f (t) + b g(t) a F (ω) + b G(ω) Reaalisuus g : R R G( ω) = G(ω) Skaalaus g(at) 1 a G(ω a ) Siirto g(t t ) e iωt G(ω) Taajuussiirto eli modulaatio g(t)e iω t G(ω ω ) Konvoluutio Määritelmä Oletetaan, että g, h : R C ovat paloittain jatkuvia funktioita. Määritellään g:n ja h:n konvoluutio, funktio (g h) : R C, integraalina (g h)(t) = g(s)h(t s) ds. Konvoluutio on kommutativiivinen, eli g h = h g. Konvoluutio on lineaarinen (ag + bf ) h = a g h + b f h kun a, b C ja f on paloittain jatkuva funktio. Diracin deltafunktio on yksikkö konvoluution suhteen eli g δ = g: (g δ)(t) = (δ g)(t) = g(s) δ(t s) ds = g(t). }{{} =, s t A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 257 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 258 / 353 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia, jatkoa Esimerkkejä, Diracin deltafunktio Muunnoksen ominaisuus g(t) F {g}(ω) Konvoluutio f (t) g(t) F (ω)g(ω) Tulo f (t)g(t) F (ω) G(ω) Derivointi 7 7 Jos muunnokset ovat olemassa n t f (t) n (iω) n F (ω) Tarkastellaan aluksi funktiota f ε (t) = Päätellään F {δ(t)} = 1, koska F {f ε (t)} = ε 1 ε e iωt dt = 1 { 1/ε, t [, ε], muulloin. iωε e iωt ε t= Toisaalta paloittain jatkuvalle funktiolle f pätee: eli F {δ}(ω) = 1 kaikilla ω. F {f } = F {δ f } = F {δ} F {f } }{{} 1 = e iωε 1 iωε ε 1, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 259 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 26 / 353

Fourier-käänteismuunnos Määritelmä Muunnoksen G Fourier-käänteismuunnos F 1 {G(ω)} määritellään F 1 {G(ω)} = 1 2π G(ω)e iωt dω F ja F 1 ovat toistensa käänteisoperaatoita, (F 1 F ){g} = g ja (F F 1 ){G} = G, ja erityisesti g(t) = 1 2π G(ω)e iωt dω. Esimerkkejä, vakiofunktio Koska F {δ} 1 (vakiofunktio), δ(t)e iωt dt = 1. Tehdään muuttujanvaihto t = s, ja saadaan Voidaan siis kirjoittaa 1 = δ(ω)e iωt dω = 1 2π δ(s)e iωs ds = 1. Siis kääteismuunnos, mistä voidaan päätellä, että 2πδ(ω)e iωt dω = F 1 {2π δ}(ω) F {1} = F F 1 {2π δ} = 2π δ A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 261 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 262 / 353 Osa VII Laplace muunnos 17 Määritelmä ja perusominaisuudet 18 Differentiaalilaskenta 19 Yleisiä Laplace-muunnoksia A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 263 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 264 / 353

Laplace-muunnos 17 Määritelmä ja perusominaisuudet Laplace-muunnos Laplace-käänteismuunnos Laplace-muunnoksen lineaarisuus Alkeisfunktioiden Laplace-muunnoksia Hyperboliset ja trigonometriset funktiot Potenssifunktiot ja Gammafunktio Siirto s:n suhteen Muunnosten olemassaolo 18 Differentiaalilaskenta 19 Yleisiä Laplace-muunnoksia Olkoon f : R + C. Tarkastellaan kompleksilukua s, Re s >. Usein s on yksinkertaisesti reaalinen. Funktion f Laplace-muunnos L {f } L {f }(s) := on määritelty niillä s joilla integraali suppenee. e st f (t) dt, (18.1) Osoittautuu, että jos integraali (18.1) suppenee jollekin s, Re s >, niin se suppenee kaikilla s > s. eli alueessa H α := {s C : Re s > α R} jollakin vakiolla α >. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 265 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 266 / 353 Konventioita Laplace-käänteismuunnos Merkitään jatkossa t:n funktioita pienillä kirjaimilla ja niiden muunnoksia isoilla, siis esim. F on f :n muunnos ja X on x:n muunnos. Laplace muunnoksen argumentti on funktio, se ei siis riipu t:stä. On siis oikein kirjoittaa L {f }. Kun tarkoitetaan muunnoksen arvoa tietyssä pisteessä s, kirjoitetaan L {f }(s). Merkintä L {f (t)} on harhaanjohtava, tuloshan ei riipu t:stä. Jos siis haluamme ottaa muunnoksen funktiosta t sin 2t on oikein kirjoittaa L {t sin 2t}. Usein tämä kuitenkin kaikesta huolimatta lyhennetään muotoon L {t sin 2t} = L {sin 2t}, Oletetaan että F : H α C, ja F (s) = L {f }(s) = e st f (t) dt, niin funktiota f kutsutaan funktion F Laplace-käänteismuunnokseksi ja merkitään f = L 1 {F }. Erityisesti siis L 1 {L {f }} = f ja L {L 1 {F }} = F. jossa t kuvaa siis geneeristä arvoa ei jotakin tiettyä t arvoa. Mutta muotoa L {f (t)} ei ole syytä käyttää. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 267 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 268 / 353

Johdanto Esimerkki 1 Laplace muunnos on integraalimuunnos, kuten myös Fourier muunnos. Se on muotoa f F, F (s) = k(s, t)f (t) dt, jossa integraali on f määrittelyalueen ja k(s, t) on muunnoksen ydin. Fourier muunnoksen tapauksessa integoidaan reaaliakselin, k(s, t) = e sti Laplace muunnoksessa t [, ], s C + ja k(s, t) = e st. Laplace ja myös Fourier muunnoksen tärkeimpiä sovelluksia differentiaali ja integraaliyhtälöiden teoria. Lasketaan vakiofunktion f (t) = 1, kun t Laplace-muunnos F (s). L {f }(s) = L {1}(s) = Huomaa, että e st = e} tre {{} s e} tiim {{} s =1 > nimenomaan koska oletamme Re s > e st dt = 1 s e st = 1 s, t (Re s > ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 269 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 27 / 353 Esimerkki 2 Laplace-muunnoksen lineaarisuus Lasketaan eksponenttifunktion f : t e αt, missä α on vakio ja t Laplace-muunnos F. L {e αt }(s) = e st e αt dt = 1 α s e (s α)t. Kun Re (s α) > eli Re s > α, saadaan L {e αt } = 1 s α. t= Lause 1 Laplace-muunnos on lineaarinen kuvaus: Jos f, g ovat funktioita, joille muunnos L {f }(s) on olemassa kaikilla s > α f, muunnos L {g}(s) on olemassa kaikilla s > α g, ja a, b C ovat vakioita, niin kaikilla s > max{α f, α g } L {af + bg}(s) = al {f }(s) + bl {g}(s). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 271 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 272 / 353

Todistus Hyperboliset funktiot Väite seuraa suoraan määritelmästä ja integraalioperaattorin lineaarisuudesta: Oletetaan Re s > max{α f, α g }.Silloin L {af + bg}(s) = = a e st [af (t) + bg(t)] dt f (t)e st dt + b = al {f }(s) + bl {g}(s). g(t)e st dt Lasketaan hyperbolisen kosinin ja sinin Laplace-muunnokset. Koska cosh at = (e at + e at )/2, saadaan Lauseesta 1 ja Esimerkistä 2 L {cosh at} = 1 2 ( L {e at }+L {e at } ) = 2( 1 1 s a + 1 ) = s + a Vastaavasti sinh at = (e at e at )/2 ja L {sinh at} = 1 2 ( L {e at } L {e at } ) = 1 1 2( s a 1 ) = s + a s s 2 a 2. a s 2 a 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 273 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 274 / 353 Kosini ja sini (ratkaisu reaalianalyysin avulla) Sijoittamalla f (t) = cos ωt ja g (t) = e st osittaisintegrointikaavaan b a f (t)g b (t) dt = f (t)g(t) b a f (t)g(t) dt saadaan L {cos ωt}(s) = L {sin ωt}(s) = t=a = e st s e st cos ωt dt cos ωt ω t= s = 1 s ω L {sin ωt}(s). s e st sin ωt dt = ω L {cos ωt}(s). s e st sin ωt dt Kosini ja sini (ratkaisu reaalianalyysin avulla, jatkoa) Olemme johtaneet L {cos ωt}:lle esityksen L {sin ωt}:n avulla ja kääntäen. Sijoitetaan ne toisiinsa: L {cos ωt}(s) = 1 s ω L {sin ωt}(s) s = 1 s ω ( ω ) s s L {cos ωt}, ) (1 + ω2 s 2 L {cos ωt}(s) = 1 s 2, L {cos ωt}(s) = s 2 s 2 + ω 2. L {sin ωt}(s) = ω L {cos ωt}(s) =... s ω = s 2 + ω 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 275 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 276 / 353

Muunoksen realisuus Huomatus Jos f : R + R, eli f (t) R kaikilla t >, L {f }(s) = eli L {f }(s) R kaikilla s > ; f (t)e st }{{} R, s> dt R Trigometristen funktioiden Laplace muunnos saadaan myös käyttäen kompleksianalyysiä: Erityisesti sin t, cos t R kaikilla t >. (1) Sijoitetaan a = iω Esimerkissä 2, ja toisaalta (2) käytetään Eulerin kaavaa e iωt = cos ωt + i sin ωt ja muunnoksen lineaarisuutta, L {e iωt }(s) L {e iωt }(s) (1) = = 1 s + iω = s iω (s iω)(s + iω) s s 2 + ω 2 + i ω s 2 + ω 2 = s + iω s 2 + ω 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () (2) Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 277 / 353 = L {cosωt + i sin ωt} = L {cos ωt} + il {sin ωt}. josta väite seuraa vertaamalla reaali- ja imaginaariosia. Gamma-funktio Halutaan määritellä Laplace-muunnos funktiolle t a, kun a > on reaalinen vakio. Tulos on helppo kirjoittaa Gamma-funktion Γ(s) = t s 1 e t dt, s C + avulla. Jos Re s niin integraali yllä suppenee itseisesti. Gamma-funktiolle pätee, Γ(1) = 1 Γ(1/2) = π Γ(s + 1) = s Γ(s), s C, Re s Γ(n + 1) = n Γ(n) =... = n!, n =, 1, 2,... Huomaa Gamma-funktion ja kertoman yhteys. Kolmannen väitteen voi nähdä osoittaisintegroimalla: Γ(s + 1) = t s e t dt = t s e t + }{{} = st s 1 e t dt = s Γ(s) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 279 / 353 Potenssifunktio (luonnolliset luvut) Tutkitaan potenssifunktion f (t) = t n Laplace-muunnosta, kun n =, 1, 2,.... Esimerkin 1 nojalla, L {t 1} = (s 1 s ). L {t n+1 } voidaan ilmaista L {t n } avulla osittaisintegroimalla L {t n+1 }(s) = Induktiolla saadaan yleisesti e st t n+1 dt = 1 s e st t n+1 t= } {{ } = + n + 1 s L {t n }(s) = n s L {tn 1 }(s) = = (n)! s n+1. e st t n dt. } {{ } L {t n }(s) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 278 / 353 Kuva: Gamma-funktio reaaliakselilla. Huomaa erityisesti lokaali minimi piteiden s = 1 ja s = 2 välissä. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 28 / 353

Potenssifunktio t a, a > Lähdetään liikkeelle Laplace-muunnoksen määritelmästä. Oletetaan s > ja tehdään muuttujanvaihto x = st L {t a } = Saadaan e st t a dt = ja erityisesti, koska Γ(n + 1) = n!, e x( x ) a dx s s L {t a } = s (a+1) Γ(a + 1), = 1 s a+1 e x x a dx, } {{ } =Γ(a+1) Kuva: Funktio h(z) = Γ(z) kompleksitasossa. L {t n } = n! s n+1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 281 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 282 / 353 Siirto s:n suhteen Todistus Jos L {f } on tunnettu, niin funktion e at f (t) Laplace-muunnos saadaan helposti: Lause 2 Oletetaan, että f on Laplace-muuntuva, ja sen muunnos on F (s) kun Re s > α. Tällöin kaikilla a C eli L {e at f (t)}(s) = F (s a) e at f (t) = L 1 {F (s a)}(t), kun Re (s a) > α Re s > α + Re a. Suoraan määritelmästä saadaan F (s a) = e (s a)t f (t) dt = e st [e at f (t)] dt = L {e at f (t)}. Jos F (s) on olemassa, kun Re s > α, niin integraali on olemassa, kun Re (s a) > α. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 283 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 284 / 353

Esimerkki Etsitään käänteismuunnos f lausekkeelle F (s) = 3s 137 s 2 = L {f }(s). + 2s + 41 Käyttämällä käänteismuunnoksen lineaarisuutta lauseke voidaan kirjoittaa osamurtoina, sin ja cos muunnoksina Välittömästi siirtolauseesta ja trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden muunnoskaavoista saadaan L {e at s a cos ωt} =, L {e at ω sin ωt} =, (s a) 2 +ω 2 (s a) 2 +ω 2 L {e at s a cosh ωt} =, L {e at ω sinh ωt} =. (s a) 2 ω 2 (s a) 2 ω 2 Valitsemalla a = 1 ja ω = 41 a 2 = 2 nimittäjä voidaan kirjoittaa (s a) 2 + ω 2 = (s 2 2as + a 2 ) + ω 2 = s 2 + 2s + 41. joten F (s) = 3(s + 1) 14 (s + 1) 2 + 4 = 3 s + 1 (s + 1) 2 + 2 2 7 2 (s + 1) 2 + 2 2, f (t) = L 1 {F }(t) = e t (3 cos 2t 7 sin 2t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 285 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 286 / 353 Eksponentiaalinen kasvu Integraali täyttää kasvuehdon Jos g täyttää kasvuehdon vakioilla M ja α niin integraalifunktio Sanomme että funktio f täyttää eksponentiaalisen kasvuehdon jos on olemassa vakiot M > ja α > siten että kaikilla t määrittelyalueellaan f (t) Me αt. (18.2) Kasvuvauhti on tärkeä, koska se antaa riittävän ehdon Laplace muunnoksen suppenemiselle. f (t) = g() + g(t) dt täyttää ehdot vakioilla M = g() + M α ja α = α: Huomattavaa on, että kasvuvauhti α ei muutu. Todistus: f (t) g() + g(t) dt g() + M e αt dt g() + M α (eαt 1) ( g() + M α )eαt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 287 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 288 / 353

Kaikki alemmat derivaatat täyttävät kasvuehdon Laplace-muunnoksen olemassaolo Jos f (n) täyttää kasvuehdon vakioilla M n, α niin f (k), k =, 1,..., n 1 täyttää kasvuehdon vakiolla M k, α. M k riippuu arvoista f (k+1) (), f (k+1) (),..., f (n) (). Tod: Kun n = 1 ja k = valitse edellisessä kalvossa g = f. Yleisessä tapauksessa valitse f = f (n) ja g = f (n 1) ja käytä induktioita. Lause 3 Jos niin f (t) on määritelty ja paloittain jatkuva t R + ja f täyttää eksponentiaalisen kasvuehdon vakioilla M ja α, Laplace-muunnos L {f }(s) on olemassa ja analyyttinen s H α ja L {f }(s) < C s k jollakin vakiolla C ja k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 289 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 29 / 353 Olkoon nyt ɛ = ( α + Re s)/2 jolloin α < α + ɛ = Re s ɛ < Re s ja Todistus Laplace muunnos on olemassa kaikilla s H α : L {f }(s) = F (s) = F (s) Analyyttisyys seuraa jos lausekeessa F (s) = e st f (t) dt f (t) e st dt integraali todella suppenee kaikilla s H α. Me αt e tre s dt = ( t)e ts f (t) dt M Re (s) α. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 291 / 353 F (s) te tɛ e t(ɛ Re s) f (t) dt }{{}}{{} 1/(ɛe) Me ɛt M eɛ 2 = 4M e (α Re s) 2 joten F on analyyttinen funktio puolitasossa H α. Edelleen F (k) (s) ( t) k e ts f (t) dt 4M ke k ɛ 2 = 4M (α Re s) 2 ke k Väite, että F voidaan rajoittaa s avulla saadaa seuraavasti: Kun s R, edeltä näkyy että F (s) < 4M/s 2 kun s > 2α. Yleinen tapaus s H α saadaan tarkastemalla analyyttistä funktiota F φ yksikköympyrässä jossa φ on Möbiuskuvaus joka vie pisteet φ : (α + ɛ, α ± i) (, ±i). Nyt φ(1) = ja φ() = α + ɛ ja F φ(ω) kasvua voidaan tarkastella MacLaurin -sarjan avulla. Yksityiskohdat ohitetaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 292 / 353

Käänteismuunnoksen olemassaolo Todistus Lause Oletetaan: F on analyyttinen funktio puolitasossa H α := {s C : Re s > α}. On olemassa vakiot M ja k >, siten että F (s) M s k, s H α. Tällöin on olemassa funktio f, jolle F (s) = L {f }(s), L 1 {F }(t) = f (t) := 1 2π δ+i δ i missä δ voidaan valita vapaasti, kunhan δ > α. e st F (s) ds, Oletetaan, että δ > α ja C = γ R Γ R, jossa γ R = [δ + ir, δ ir], kuten kuvassa (nk. Bromwichin polku). Oletetaan, että s on sellainen piste C:n sisällä, että Re s > δ > α. Koska F on alueessa analyyttinen, saadaan Cauchyn integraalikaavasta 2πi F (s) = C F (s) z s dz = γ R F (s) z s dz + Γ R F (s) z s dz A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 293 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 294 / 353 Mutta ML-epäyhtälöstä saadaan suurille R:n arvoille F (s) z s dz MR R k (R s ), R joten Γ R δ+i F (s) 2πi F (s) = δ i z s dz Koska lisäksi L {e zt }(s) = 1 s z saamme L {g}(s) F (s) = L {g}(s) 1 δ+i F (z) 2πi s z dz = L {g}(s) 1 2πi { = L g(t) 1 2πi δ i δ+i δ i δ+i δ i F (z) L {e zt } dz } F (z)e zt dz (s) kun g = f. Laplace muunnoksen yksikäsitteisyydestä seuraa ettei muita funktioita f ole. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 295 / 353 17 Määritelmä ja perusominaisuudet 18 Differentiaalilaskenta Derivaatan Laplace-muunnos Integraalin Laplace-muunnos Differentiaaliyhtälö ja Laplace-muunnos 19 Yleisiä Laplace-muunnoksia A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 296 / 353

Johdanto Laplace-muunnos on erityisen hyödyllinen ratkaistaessa differentiaaliyhtälöitä ja niihin liittyviä alkuarvo-ongelmia. Ajatuksena on, että funktioiden derivointi ja integrointi vastaa muunnosten algebrallisia operaatioita. Karkeasti voidaan ajatella, että f :n derivointi vastaa L {f }:n kertomista s:llä ja f :n integrointi L {f }:n jakamista s:llä. Derivaatan Laplace-muunnos Lause 1 Olkoon f : R + C ja f (m) paloittain jatkuva ja toteuttaa eksponentiaalisen kasvuehdot (18.2) jollakin vakioilla α, M: f (m) (t) Me αt, t > (19.1) Tällöin L {f (k) } on määritelty kaikille k = 1, 2,..., m ja L {f }(s) = sl {f }(s) f (), L {f }(s) = s 2 L {f }(s) sf () f (), L {f }(s) = s 3 L {f }(s) s 2 f () sf () f (), k 1 L {f (k) }(s) = s k L {f }(s) s k j f (j) (). j= A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 297 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 298 / 353 Todistus Esimerkki 1 Oletetaan että funktio g on paloittain jatkuva. Suoraan määritelmästä saadaan osittaisintegroimalla L {g } = e st g (t) dt = e st g(t) +s e st g(t) dt. t= }{{}}{{} = g() =L {g} Jos f (m) toteutaa kasvuehdon, myös kaikki alemmat derivaatat f (k), k =, 1, 2,..., m toteuttavat sen (katso aikaisemmin). Yleinen f (k) koskeva väite saadaan induktiolla; sijoitetaan edelliseen g(t) = f (k 1), jolloin saadaan väite f (k) :lle. Tutkitaan funktiota f (t) = t sin ωt. Tällöin f () =, f (t) = sin ωt + ωt cos ωt, f () =, f = 2ω cos ωt ω 2 t sin ωt. Lasketaan L {f } käyttäen hyväksi Lausetta 1. Saadaan siis L {f s } = 2ω s 2 + ω 2 ω2 L {f } = s 2 L {f }, L {f } = L {t sin tω} = 2ωs (s 2 + ω 2 ) 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 299 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 3 / 353

Esimerkki 2, kosinin ja sinin muunnokset Tarkastellaan funktiota f (t) = cos ωt. Nyt f () = 1, f () =, f (t) = ω 2 cos ωt. Käyttämällä Lausetta 1 ja Laplace-muunnoksen lineaarisuutta saadaan Siis L {f } = s 2 L {f } s = ω 2 L {f }. L {f } = L {cos ωt} = s s 2 + ω 2. Vastaavasti funktiolle g(t) = sin ωt saadaan g() =, g () = ω cos ωt, joten saadaan Saadaan L {g } = sl {g} = ωl {cos ωt}. L {sinωt} = ω ω L {cos ωt} = s s 2 + ω 2. Integraalin Laplace-muunnos Lause 3 Oletetaan, että f (t) on paloittain jatkuva funktio, kun t ja sen Laplace-muunnos F (s) toteuttaa eksponentiaalisen kasvuehdon (18.2) vakioilla M, α. Tällöin { t } L f (u) du = 1s t { 1 F (s), eli f (u) du = L }, 1 s F (s) kun s >, s > α ja t >. Tämä tulos on erityisen hyödyllinen Laplace-käänteismuunnosten etsimisessä. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 31 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 32 / 353 Todistus Olemme jo aikaisemmin osoittaneet että g(t) = t f (u) du toteuttaa eksponentiaalisen kasvuehdon (18.2). Koska g (t) = f (t) paitsi niissä pisteissä, joissa f (t) ei ole jatkuva, g(t) on paloittain jatkuva. Edelleen, g() = ja Lauseen 1 nojalla L {f (t)} = L {g (t)} = sl {g(t)} g() = sl {g(t)}. Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Laplace-muunnoksen avulla Tarkastellaan alkuarvo-ongelmaa y + ay + by = r(t), y() = K, y () = K 1. Tehdään muunnos Y = L {y}, R = L {r}. Saadaan [s 2 Y (s) sy() y ()] + a[sy (s) y()] + by (s) = R(s). Tämä voidaan edelleen kirjoittaa muotoon (s 2 + as + b)y (s) = (s + a)y() + y () + R(s). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 33 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 34 / 353

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen.., jatkoa Esimerkki Kirjoitetaan Saadaan Q(s) = 1 s 2 + as + b = 1 (s + 1 2 a)2 + b 1 4 a2 Ratkaistaan y y = t, y() = 1, y () = 1. Tekemällä Laplace-muunnos saadaan s 2 Y sy() y () Y = 1/s 2, Y (s) = [(s + a)y() + y ()]Q(s) + R(s)Q(s). Erityisesti, jos y() = y () =, niin Y = RQ. Tuloksena saadaan y = L 1 {Y }. Huomautus: Tässä joudutaan usein laskemaan osamurtoja. eli Nyt Q(s) = 1/(s 2 1), ja siis (s 2 1)Y = s + 1 + 1/s 2. Y = (s + 1)Q + 1 s 2 = s + 1 s 2 1 + 1 s 2 (s 2 1). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 35 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 36 / 353 Esimerkki, jatkoa Sieventämällä ja suorittamalla jako osamurtoihin saadaan Y = 1 s 1 + 1 s 2 1 1 s 2 y = L 1 {Y } = L 1 { 1 s 1 = e t + sinh t t. } + L 1 { 1 s 2 1 } L 1 { 1 s 2 } Esimerkki Ratkaistaan alkuarvo-ongelma y + y + 9y = alkuarvoilla y() =, 16, y () =. Käyttämällä derivaatan Laplace-muunnoksen kaavaa saadaan Ratkaistaan Y. Saadaan eli, 16(s + 1) Y = s 2 + s + 9 Käänteismuunnoksella saadaan s 2 Y, 16s + sy, 16 + 9Y =. (s 2 + s + 9)Y =, 16(s + 1), y(t) = L 1 {Y } = e t/2(, 16 cos =, 16(s + 1/2) +, 8 (s + 1/2) 2 + 35/4. 35, 8 35 ) t + sin 4 35/4 4 t = e,5t (, 16 cos 2, 96t +, 27 sin 2, 96t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 37 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 38 / 353

Siirretty alkuarvo-ongelma Esimerkki Ratkaistaan alkuarvo-ongelma y + y = 2t, y(π/4) = π/2, y (π/4) = 2 2. Jos alkuarvo-ongelman alkuarvot on annettu pisteessä t > muunnetaan ongelma sijoitettamalla t = t + t. Koska t = t t = Laplace-muunnosta voidaan soveltaa ongelman ratkaisemiseksi tarkastelalla ongelmaa t funktiona. Saadaan t = π/4, t = t + π/4. Ratkaistava ongelma on ỹ + ỹ = 2( t + π/4), ỹ() = π/2, ỹ() = 2 2, missä ỹ( t) = y(t). Laplace-muunnoksen avulla saadaan s 2 Ỹ sπ/2 (2 2) + Ỹ = 2/s 2 + π/(2s), joten (s 2 + 1)Ỹ = 2/s 2 + π/(2s) + πs/2 + 2 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 39 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 31 / 353 Esimerkki, jatkoa Ratkaisemalla Ỹ saadaan Ỹ = 2 (s 2 + 1)s 2 + π/2 (s 2 + 1)s + πs/2 s 2 + 1 + 2 2 s 2 + 1. Kahden esimmäisen termin käänteismuunnokset laskettiin Esimerkissä 3, kaksi viimeistä ovat sinin ja kosinin muunnokset (kertaa vakio). Ratkaisu on siis ỹ = L 1 {Ỹ } = 2( t sin t) + 1 2 π(1 cos t) + 1 2 π cos t + (2 2) sin t. 17 Määritelmä ja perusominaisuudet 18 Differentiaalilaskenta 19 Yleisiä Laplace-muunnoksia Siirto t:n suhteen Diracin deltafunktio Konvoluution Koska t = t π/4, sin t = (sin t cos t)/ 2 ja y(t) = 2t sin t + cos t. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 311 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 312 / 353

Usein esiintyvien funktoiden Laplace-muunnoksia f (t) L {f } 1. 1 1/s 2. t 1/s 2 3. t 2 2!/s 3 4. t n, n = 1, 2,... n! s n+1 Γ(a+1) s a+1 5. t a, a > 6. e at 1 s a 7. cos ωt s s 2 +ω 2 8. sin ωt ω s 2 +ω 2 9. cosh at s s 2 a 2 1. sinh at a s 2 a 2 11. e at cos ωt s a (s a) 2 +ω 2 12. e at sin ωt ω (s a) 2 +ω 2 Heavisiden funktion Laplace-muunnos Tarkastellaan yksikköaskelfunktiota eli Heavisiden funktiota u(t): {, kun t < a, u(t a) = 1, kun t a, kun a. Suoraan määritelmästä saadaan L {u(t a)} = e st u(t a) dt = Heavisiden funktion muunnokseksi siis saadaan L {u(t a)} = e as, (s > ). s a e st 1 dt = e st s t=a. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 313 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 314 / 353 Siirto t:n suhteen Todistus Kirjoitetaan Lause 1 Jos funktio f (t) on Laplace-muuntuva kun s > α, niin siirretyllä funktiolla {, kun t < a, g(t) = f (t a)u(t a) = f (t a), kun t a. on muunnos kun s > α ja L {g}(s) = L {f (t a)u(t a)}(s) = e as F (s). e as F (s) = e as e sτ f (τ) dτ = Sijoitetaan τ + a = t ja saadaan e as F (s) = a e st f (t a) dt. Siirretään integrointiväliä funktiolla u(t a) e as F (s) = e st f (t a)u(t a) dt = e s(τ+a) f (τ) dτ. e st f (t) dt. Integraali yhtälön oikealla puolella on haluttu Laplace-muunnos. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 315 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 316 / 353

Esimerkki 1: yksikköaskelfunktion käyttö Esimerkki 1: yksikköaskelfunktion käyttö, jatkoa Ilmaistaan funktio 2, kun t < 1, 1 f (t) = 2 t2, kun 1 a < π/2, cos t, kun t π/2. yksikköaskelfunktion avulla, ja lasketaan sen Laplace-muunnos. Funktio f (t) voidaan kirjoittaa f (t) = 2(1 u(t 1))+ 1 2 t2( u(t 1) u(t 1 2 π)) +(cos t)u(t 1 2 π). Lausetta 1 voidaan soveltaa erikseen kaikkiin termeihin, joissa esiintyy muotoa f (t a)u(t a) oleva funktio. Jäljelle jää termi 2(1 u(t 1)), jonka muunos on 2(1 e s )/s. Lasketaan L { (t 2 /2)u(t a) } = ( 1 s 3 + 1 s 2 + 1 ) e s 2s { 1 L 2 t2( t 1 )} ( 1 2 π = s 3 + π 2s 2 + π2 ) e πs/2 8s { L (cos t) (t 1 )} 2 π = 1 s 2 + 1 e πs/2. L {f } saadaan laskemalla nämä yhteen. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 317 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 318 / 353 Diracin deltafunktio, kertausta Deltafunktion Laplace-muunnos Palautetaan mieleen määritelmä { 1/ε, kun t [, ε], f ε (t) =, muulloin. Raja-arvona saadaan Diracin deltafunktio Erityisesti pätee kaikille jatkuville g(t). = δ(t) = lim ε + f ε(t). g(t)δ(t a) dt = g(a) u(t) u(t ɛ) ɛ Lasketaan Laplace-muunnos L {f ε (t a)} = a+ε a 1 ε e st dt = 1 εs [e as e (a+ε)s ] Raja-arvo saadaan l Hôspitalin säännön nojalla. Joten L {δ(t a)} = e as. = e as 1 e εs εs }{{} 1, kun ɛ A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 319 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 32 / 353

Esimerkki: vasaranisku jousessa Tutkitaan jousisysteemin mallia, my + cy + ky = r(t), missä m on jousessa olevan punnuksen massa, c on vaimenemiskerroin, k jousivakio ja r(t) jouseen vaikuttava ulkoinen voima. Tutkitaan tätä tyyppiä olevaa tilannetta, jossa yhtälö on y + 3y + 2y = δ(t 1), eli jouseen kohdituu yksikköimpulssi ( vasaranisku ) hetkellä t = 1. Alussa systeemi on lepotilassa, eli y() = ja y () =. Muodostetaan Laplace-muunnos. Saadaan Esimerkki: vasaranisku jousessa, jatkoa Ratkaistaan yhtälö algrebrallisesti: Y (s) = e s ( 1 (s + 1)(s + 2) = s + 1 1 ) e s. s + 2 Lauseen 1 avulla ratkaisuksi saadaan { y(t) = L 1, kun < t < 1, {Y } = e (t 1) e 2(t 1), kun t 1. (s 2 + 3s + 2)Y (s) = e s. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 321 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 322 / 353 Konvoluutio, motivaatio Konvoluutio, esimerkki Motivaatio: Tunnetaan muunnokset L {f }, L {g}. Halutaan löytää funktio h, jonka muunnos on L {f }L {g}. Erityisesti yleensä L {fg} L {f }L {g}. Tarkastellaan funktioita f = e t, g = 1, jolloin fg = e t. Lasketaan Laplace-muunnokset: L {f } = L {fg} = 1/(s 1), L {g} = 1/s. Siis L {f }L {g} = 1/(s 2 s) L {fg}. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 323 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 324 / 353

Konvoluutio Todistus Määritellään f, g : R + C:n konvoluutio funktiona f g : R + C, jos ko integraali suppenee. (f g)(t) := t f (τ)g(t τ) dτ, Lause Jos funktiot f, g ovat Laplace-muuntuvia, niin L {f g} = L {f }L {g}. Merkitään F (s) = e sτ f (τ) dτ, G(s) = e sρ g(ρ) dρ. Asetetaan t = ρ + τ, jolloin ρ = t τ ja t:n vaihteluväli on τ:sta :ään. Kirjoitetaan G(s) = τ e s(t τ) g(t τ) dt = e sτ e st g(t τ) dt. τ A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 325 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 326 / 353 Todistus, jatkoa Lasketaan F (s)g(s) = = e sτ f (τ)e sτ e st g(t τ) dt dτ f (τ) Vaihtamalla integrointijärjestystä saadaan F (s)g(s) = = τ τ e st g(t τ) dt dτ. t e st f (τ)g(t τ) dτ dt = L {f g}(s) e st (f g)(t) dt Esimerkki Etsitään h(t), kun tunnetaan H(s) = 1 (s a)s. Funktion 1/(s a) käänteimuunnos on f (t) = e at, ja funktion 1/s käänteismuunnos on g(t) = 1. Lasketaan konvoluutio h(t) = e at 1 = t e aτ 1 dτ = 1 a (eat 1). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 327 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 328 / 353

2 Johdanto Osa VIII Z muunnos 21 Z muunnos 22 Differenssiyhtälö 23 Eräiden funktioiden Z muunnoksia A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 329 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 33 / 353 Johdanto 2 Johdanto Diskreetit funktiot 21 Z muunnos 22 Differenssiyhtälö 23 Eräiden funktioiden Z muunnoksia Z muunnos on Laplace-muunnoksen diskreetti versio. Z muunnosta voidaan käyttää differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen. Differenssiyhtälöitä voidaan käyttäää differentiaaliyhtälöiden numeerisessa approksimoinnissa ja niitä esiintyy myös mm. digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja algoritmianalyysissä. Muunnos syntyi differenssiyhtälöitä soveltaneen tekniikan alan tutkimuksen yhteydessä 194-luvulla. Nimitys tulee muunnoksessa esiintyvästä muuttujasta z, ja sen on antanut Columbian yliopistossa vaikuttanut tilastotieteilijä John Raggazini tutkimusryhmineen 1952. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 331 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 332 / 353

Diskreetit funktiot Määritelmä Sanomme, että funktio f on diskreetti, jos se on määritelty vain (numeroituvassa) diskreetissä joukossa (D), esimerkiksi reaaliakselin tai kompleksitason erillisissä pisteissä. Rajoitumme tässä vain C-arvoisiin funktioihin. Lukujono on diskreetti funktio k x k ; jokaista k N vastaa luku x k. Toisaalta jokainen diskreetti funktio on lukujono: Numeroimalla joukon D pisteet D = {x n : n N} voidaan tarkastella diskreettiä funktiota g : n x n f (x n ) millä tahansa funktiolla f joka on määritelty joukossa D. g on itse asiassa kahden diskreetin funktion yhdiste. 2 Johdanto 21 Z muunnos 22 Differenssiyhtälö 23 Eräiden funktioiden Z muunnoksia A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 333 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 334 / 353 Lukujonon Laplace-muunnos Lukujono x(k) on funktiona määritelty vain luonnollisilla luvuilla. Emme siis suoraan voi laskea Laplace muunnosta x(t)e st dt. Asettamalla x(t) =, kun t R \ N, integraali suppenee mutta saamme muunnoksen arvoksi aina nolla. Osoittautuu että toimiva tulkinta on muokata integraalia ja asettaa integraalissa diskreettien pisteiden painoksi yksi ja muiden pisteiden painoksi nolla: Jonon x(k) Laplace-muunnos diskreetillä painofunktiolla on L {x}(s) = x(t)e st δ(t k) dt = x(k)e sk }{{} k= paino = x(k) e}{{} sk z=e = s x(k)z k, k =z k k= eli jonon Z muunnos. Huomaa, että s {s C : Re s > α} z {z C : z > e α }. Z muunnos Määritelmä Oletetaan, että x : N R on funktio (lukujono). Määritellään funktion (lukujonon) Z muunnos X (z) = Z {x}(z) = x(k)z k, k= kaikille riittävän suurelle R jotta sarja suppenee. z C, z > R Merkitsemme siis jonon x(k) Z muunnosta tyypillisesti isolla kirjaimella X. Voimme myös tulkita Z muunnoksen kuvaukseksi jonosta potenssisarjaksi Z : {x k } x k w k, k= jossa w = 1/z. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 335 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 336 / 353

Z muunnoksen ominaisuuksia Lineaarisuus: jos Z {x} = X ja Z {y} = Y niin Z {ax + by} = ax + by Vakiofunktio eli vakiojono x(k) = 1 Z {x} = z k = k= Geometrinen jono x(k) = w k : Z {x} = z k w k = k= a, b C 1 1 z 1 = z z 1 1 1 (z/w) 1 = z z w Geometrisella funktiolla, k w k, (geometrisella jonolla) kertominen: y(k) = w k x(k) Y (z) = Z {y}(z) = Z {x}( z w ). = X ( z w ). Z muunnoksen ominaisuuksia Z muunnokselle pätee kaikki Laplace-muunnosta vastaavat ominaisuudet (onhan Z muunnos oikeastaan Laplace-muunnos erityistapauksessa). Delta-funktiota vastaa nyt diskreetti deltafunktio (jono) ja konvolutiota summa: (x y) k = δ = {1,,,,... } x(t)y(k t) δ(t k)dt = jolloin suoraan kahden sarjan summakaavasta seuraa ( ) ( ) Z {x}z {y} = x k z k x k z k = k= k= k= z k x j y k j. j= k x k y k j = Z {x y}. j= } {{ } (x y) k A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 337 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 338 / 353 Siirros Lukujonolle on helppo määrittää siirros: Lukujonosta x(n) {x n } muodostetaan uusi vasemmalle siirretty lukujono y(n) kirjoittamalla jolloin Z {ỹ} = y(n) = x(n + 1) {y, y 1, y 2,... } = {x 1, x 2, x 3,... } x k z k+1 = z x k z k = z(z {x} x ) k=1 Vastaavasti siirrolle oikealle k=1 ỹ = {ỹ k } = {, x, x 1, x 2,... } Z {ỹ} = x k z k 1 = z 1 Z {x} k= Tämä on tärkeä tulos ns. differenssiyhtälöitä ajatellen. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 339 / 353 2 Johdanto 21 Z muunnos 22 Differenssiyhtälö Differenssiyhtälö Yleinen lineaarinen differenssiyhtälö Fibonaccin luvut 23 Eräiden funktioiden Z muunnoksia A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 34 / 353

Sovellus: Differenssiyhtälö Ratkaistaan jono y k, kun y k+1 = αy k + x k, y = 1; x k = 2 2k, k Merkitsemme β = 1/4 ja Z muunnamme yhtälön joten jos α β, z(y (z) y ) = αy (z) + X (z), X (z) = z z β Y (z) = = y(k) = z (z β)(z α) + z z α [ 1 α z α β z β β z ] + z z α z α ( α α β βk + β ) α β + 1 α k Jos α = β, ( z Y (z) = z 1 z β ) 2 } {{ } Z {a} joten b k = β k ja, koska Z {b b} = (Z {b}) 2 Saamme a k = (b b) k = y k = + z z β }{{} Z {b} k β j β k j = (k + 1)β k j= { 1, k = a k 1 + b k = β k 1 (k + β), k 1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 341 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 342 / 353 Differenssiyhtälö N. kertaluvun lineaarisen, vakiokertoimisen differenssiyhtälön perusmuoto on N a n y(k n) = n= M b m x(k m), a. m= a y k + a 1 y k 1 +... a N y k N = b x k + b 1 x k 1 +... b N x k M jossa y ratkaistaan, kun x tunnetaan. Z muunnosta voidaan käyttää differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen samaan tapaan kuin Laplace-muunnosta käytetään differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Itseasiassa differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen differentiaaliyhtälöitä approksimoidaan differenssiyhtälöllä, esimerkiksi jatkuvan ajan t sijasta tarkastellaan diskreetteja ajanhetkiä t, t 1, t 2,... ja vastaavasti ratkaisua y(t) sijasta approksimaatiota y k y(t k ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 343 / 353 Esimerkki: Fibonaccin luvut Kuva: Leonardo Pisalainen (n. 117-125), joka tunnetaan paremmin nimellä Fibonacci (filius Bonacci, eli Bonaccion poika). Kuuluisa lukujono löytyy kanien lisääntymistä käsittelevästä tehtävästä kirjassa Liber Abaci (Laskujen Kirja). Kirja on myös Euroopassa ensimmäinen, jossa käytetään arabialaista (oikeimmin intialaista) lukujärjestelmää. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 344 / 353