Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos: Lause 51 Oletetaan, että T : R n R m on lineaarikuvaus. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi matriisi A M m n, jolla T ( v) = A v kaikilla v R n. LM2, Kesä 2012 143/202

Ennen lauseen 51 perustelua tutkitaan hiukan matriistuloa A v: a 11 a 12 a 1n v 1 a 21 a 22 a 2n v 2 A v =... a m1 a m2 a mn v n a 11 v 1 + a 12 v 2 + + a 1n v n a 21 v 1 + a 22 v 2 + + a 2n v n =. a m1 v 1 + a m2 v 2 + + a mn v n = v 1 a 11 a 21. a m1 + v 2 a 12 a 22. a m2 + + v n a 1n a 2n.. a mn LM2, Kesä 2012 144/202

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Tulo A v on siis matriisin A sarakkeiden lineaarikombinaatio, jossa kertoimina ovat vektorin v komponentit. Lauseen 51 todistus. Muodostetaan matriisi A seuraavasti: Katsotaan, miten avaruuden R n luonnollisen kannan (ē 1, ē 2,..., ē n ) vektorit kuvautuvat lineaarikuvauksessa T eli määritetään T (ē 1 ), T (ē 2 ),..., T (ē n ). Laitetaan kuvavektorit T (ē 1 ), T (ē 2 ),..., T (ē n ) matriisin A sarakkeiksi tässä järjestyksessä. LM2, Kesä 2012 145/202

Matriisin A sarakkeet ovat siis T (ē 1 ), T (ē 2 ),..., T (ē n ) R m ja tällöin voidaan merkitä lyhyesti [ ] A = T (ē 1 ) T (ē 2 )... T (ē n ). Huomaa, että matriisin jokaisessa sarakkeessa on m alkiota ja sarakkeita on n kappaletta, joten A todella on m n -matriisi. Osoitetaan, että matriisin A määräämä lineaarikuvaus L A : R n R m on sama kuin T : R n R m. Koska kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen (lause 49), niin riittää osoittaa, että kantavektorit ē 1, ē 2,..., ē n kuvautuvat samalla tavalla kuvauksissa L A ja T. LM2, Kesä 2012 146/202

Matriisin A määräämässä kuvauksessa L A esimerkiksi a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 L A (ē 2 ) = Aē 2 = 0. + 1 a 22. + 0 a 23. + + 0 a 2n. a m1 a m2 a m3 a mn a 12 a 22 =. = T (ē 2), a m2 sillä tulo Aē 2 on matriisin A sarakkeiden lineaarikombinaatio, jossa kertoimina ovat vektorin ē 2 komponentit; matriisin A sarakkeet ovat kuvavektorit T (ē 1 ),..., T (ē n ). LM2, Kesä 2012 147/202

Näin voidaan osoittaa, että L A (ē i ) = T (ē i ) kaikilla i {1,..., n}. Lineaarikuvaukset L A ja T ovat siten lauseen 49 nojalla sama kuvaus, eli T ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan vielä, ettei muita sopivia m n -matriiseja ole. Oletetaan, että A, B M m n ovat sellaisia, että T ( v) = A v ja T ( v) = B v kaikilla v R n. Tällöin A v = B v kaikilla v R n. LM2, Kesä 2012 148/202

Erityisesti esimerkiksi Aē 1 = Bē 1 eli a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 1. +0 a 22. + +0 a 2n. = 1 b 21. +0 b 22. + +0 b 2n.. a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn Siis a 11 b 11 a 21. = b 21. a m1 b m1 ts. matriiseilla A ja B on sama ensimmäinen sarake. Vastaavalla tavalla voidaan vektorien ē 2,..., ē n avulla päätellä, että matriisien A ja B muutkin sarakkeet vastaavat toisiaan. Siis A = B. LM2, Kesä 2012 149/202

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Määritelmä Oletetaan, että T : R n R m on lineaarikuvaus. Edellä lauseessa 51 määriteltyä matriisia [ ] A = T (ē 1 ) T (ē 2 )... T (ē n ) kutsutaan lineaarikuvauksen T standardimatriisiksi. Huom. Jos A on lineaarikuvauksen T : R n R m standardimatriisi, niin lauseen 51 nojalla T ( v) = A v kaikilla v R n. LM2, Kesä 2012 150/202

Esimerkki 52 Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Tarkastellaan kuvausta L, joka peilaa tason R 2 vektorit suoran y = x suhteen. Alla olevan kuvan avulla voidaan järkeillä, että tämä kuvaus on lineaarinen: v v + w w c w L( v) L( w) L( v + w) = L( v) + L( w) L(c w) = cl( w) LM2, Kesä 2012 151/202

Määritetään kuvauksen L standardimatriisi päättelemällä kantavektorien ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1) kuvavektorit: ē 2 L(ē 2 ) ē 1 L(ē 1 ) Havaitaan, että L(ē 1 ) = (0, 1) ja L(ē 2 ) = ( 1, 0). Kuvauksen L standardimatriisi on siten [ ] [ ] 0 1 A = L(ē 1 ) L(ē 2 ) =. 1 0 Siis kuvaukselle L pätee L( v) = A v kaikilla v R 2. LM2, Kesä 2012 152/202

Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka toteuttaa yllä mainitun ehdon kutsutaan ominaisarvoon λ liittyväksi ominaisvektoriksi. Huom. Edellinen määritelmä on sekä ominaisarvon että ominaisvektorin määritelmä. Ominaisarvoa ei voida määritellä ilman ominaisvektoria eikä ominaisvektoreista voida puhua mainitsematta ominaisarvoa. LM2, Kesä 2012 153/202

Ominaisarvo ja ominaisvektori Huom. Matriisin A ominaisvektori on vektori, jolle matriisilla A kertominen vastaa reaaliluvulla λ kertomista. Nollavektorin ei haluta olevan ominaisvektori, sillä jos niin olisi, kaikki reaaliluvut olisivat kaikkien matriisien ominaisarvoja. LM2, Kesä 2012 154/202

Ominaisarvo ja ominaisvektori Esimerkki 53 Matriisilla A = on ominaisarvo 4, sillä [ ] [ ] 3 1 1 = 1 3 1 [ ] 3 1 1 3 [ ] 4 = 4 4 [ ] 1. 1 Eräs ominaisarvoa 4 vastaava ominaisvektori on siis (1, 1). LM2, Kesä 2012 155/202

Samaa ominaisarvoa voi vastata useampi eri ominaisvektori. Esimerkiksi (2, 2) on myös matriisin A ominaisarvoa 4 vastaava ominaisvektori, sillä [ ] [ ] [ ] [ ] 3 1 2 8 2 = = 4. 1 3 2 8 2 Matriisilla A on toinenkin ominaisarvo: [ ] [ ] [ ] [ ] 3 1 1 2 1 = = 2, 1 3 1 2 1 joten reaaliluku 2 on matriisin A ominaisarvo ja (1, 1) on yksi siihen liittyvä ominaisvektori. LM2, Kesä 2012 156/202

Ominaisarvo ja ominaisavaruus Jos kaikki matriisin A ominaisarvoa λ vastaavat ominaisvektorit sekä nollavektori kerätään yhteen, saadaan ominaisarvoa vastaava ominaisavaruus. Määritelmä Oletetaan, että matriisilla A M n n on ominaisarvo λ R. Ominaisarvoa λ vastaava ominaisavaruus on joukko V λ = { v R n A v = λ v }. LM2, Kesä 2012 157/202

Ominaisavaruus Lause 54 Matriisin A M n n ominaisarvoa λ vastaava ominaisavaruus V λ on vektoriavaruuden R n aliavaruus. Todistus. Oletetaan, että v, w V λ ja c R. Tällöin A v = λ v ja A w = λ w. Aliavaruuden määritelmän ehdot: (a) Tutkitaan summaa v + w: A( v + w) = A v + A w = λ v + λ w = λ( v + w), joten v + w V λ. LM2, Kesä 2012 158/202

(b) Tutkitaan skalaarimonikertaa c v: A(c v) = c(a v) = c(λ v) = λ(c v), joten c v V λ. (c) Lisäksi A 0 = 0 = λ 0, joten 0 V λ. LM2, Kesä 2012 159/202

Esimerkki 55 Ominaisavaruus Määritetään esimerkin 53 matriisin [ ] 3 1 A = 1 3 ominaisarvoa 4 vastaava ominaisavaruus eli kaikki ominaisarvoa 4 vastaavat ominaisvektorit. Vektori v = (v 1, v 2 ) R 2 on ominaisarvoa 4 vastaava ominaisvektori, jos ja vain jos [ ] [ ] [ ] 3 1 v1 v1 = 4 1 3 v 2 v 2 eli [ ] [ ] [ ] 3 1 v1 4v1 = 1 3 v 2 4v 2 [ ] 0. 0 LM2, Kesä 2012 160/202

Yhtälö saadaan muotoon [ ] v1 + v 2 = v 1 v 2 [ ] 0 0 ja sitä vastaava lineaarinen yhtälöryhmä on { v1 + v 2 = 0 v 1 v 2 = 0, jossa tuntemattomina ovat v 1 ja v 2. Yhtälöryhmän ratkaisuiksi saadaan { v1 = s missä s R. v 2 = s, Koska nollavektori ei ole ominaisvektori, ovat ominaisvektorit muotoa (s, s), missä s R \ {0}. LM2, Kesä 2012 161/202

Ominaisavaruuteen otetaan mukaan myös nollavektori. Siten ominaisarvoa 4 vastaava ominaisavaruus on V 4 = { (s, s) s R } = { s(1, 1) s R } = span((1, 1)). LM2, Kesä 2012 162/202

Ominaisarvot ja ominaisvektorit Esimerkki 56 Tarkastellaan esimerkin 23 matriisien [ ] [ ] 2 0 1 0 A =, B = 0 1 0 1 ja C = [ ] 0 1 1 0 ominaisarvoja. LM2, Kesä 2012 163/202

Matriisia A vastaava lineaarikuvaus L A venyttää vektoreita vaaka-akselin suunnassa kaksinkertaisiksi. Tästä voidaan päätellä, että matriisin A ominaisvektoreita ovat vektorit muotoa t(1, 0), missä t R {0}, ja vastaava ominaisarvo on 2. matriisin A ominaisvektoreita ovat vektorit muotoa t(0, 1), missä t R {0}, ja vastaava ominaisarvo on 1. L A LM2, Kesä 2012 164/202

Matriisia B vastaava lineaarikuvaus L B peilaa vektorit pystyakselin suhteen. Tästä voidaan päätellä, että matriisin B ominaisvektoreita ovat vektorit muotoa t(1, 0), missä t R {0}, ja vastaava ominaisarvo on 1. matriisin B ominaisvektoreita ovat vektorit muotoa t(0, 1), missä t R {0}, ja vastaava ominaisarvo on 1. L B LM2, Kesä 2012 165/202

Matriisia C vastaava lineaarikuvaus L C kiertää vektoreita origon ympäri 90 vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan. Tästä voidaan päätellä, että matriisilla C ei ole ominaisvektoreita eikä ominaisarvoja. L C LM2, Kesä 2012 166/202

Karakteristinen polynomi Lause 57 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin A ominaisarvo, jos ja vain jos det(a λi) = 0. Todistus. : Oletetaan, että λ R on matriisin A ominaisarvo. Tällöin on olemassa v R n \ { 0}, jolle pätee A v = λ v. Matriisien laskusääntöjen nojalla tätä yhtälöä voidaan muokata: A v = λ v A v = λi v A v λi v = 0 (A λi) v = 0. Vektori v on siis yhtälöä (A λi) x = 0 vastaavan homogeenisen yhtälöryhmän epätriviaali (eli nollasta poikkeava) ratkaisu. Siten matriisi A λi ei ole kääntyvä. Näin ollen det(a λi) = 0. LM2, Kesä 2012 167/202

: Oletetaan, että det(a λi) = 0 jollakin λ R. Tällöin matriisi A λi ei ole kääntyvä. Tästä seuraa, että yhtälöllä (A λi) x = 0 on epätriviaali ratkaisu. Olkoon tuo ratkaisu v. Nyt siis v 0. Koska (A λi) v = 0, saadaan matriisien laskusääntöjen avulla yhtälö A v = λ v kuten edellä. Siten λ on matriisin A ominaisarvo. LM2, Kesä 2012 168/202

Karakteristinen polynomi Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Muuttujan λ polynomi, joka saadaan kirjoittamalla auki determinantti det(a λi), on nimeltään matriisin A karakteristinen poynomi. Esimerkki 58 Matriisin A = [ ] 1 2 karakteristinen polynomi on λ 3 2 2 3λ 4, sillä 1 λ 2 det(a λi) = = (1 λ)(2 λ) 6 3 2 λ = 2 λ 2λ + λ 2 6 = λ 2 3λ 4. LM2, Kesä 2012 169/202

Ominaisarvojen ja -avaruuksien määrittäminen Esimerkki 59 Määritetään esimerkin 58 matriisin [ ] 1 2 A = 3 2 ominaisarvot ja niitä vastaavat ominaisavaruudet. Reaaliluku λ on matriisin A ominaisarvo, jos ja vain jos det(a λi) = 0. Huomaa, että A λi = [ ] 1 2 3 2 [ ] [ ] λ 0 1 λ 2 =. 0 λ 3 2 λ LM2, Kesä 2012 170/202

Matriisin A λi determinantti on esimerkin 58 mukaan 1 λ 2 det(a λi) = 3 2 λ = = λ2 3λ 4. Näin ollen det(a λi) = 0 λ 2 3λ 4 = 0. Matriisin A ominaisarvot ovat siten yhtälön λ 2 3λ 4 = 0 ratkaisut. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla saadaan yhtälön ratkaisuiksi λ = 4 ja λ = 1. Siis matriisin A ominaisarvot ovat 4 ja 1. LM2, Kesä 2012 171/202

Ominaisarvoa 4 vastaava ominaisavaruus V 4 = { v R 2 A v = 4 v } löydetään ratkaisemalla yhtälö A x = 4 x eli yhtälö (A 4I) x = 0. Vastaavan homogeenisen yhtälöryhmän täydennetty matriisi: [ ] 3 2 0 3 2 0 r 2 + r 1 [ ] 3 2 0 1 3 r [ ] 1 1 2/3 0 0 0 0 0 0 0 Ratkaisut ovat { x1 = 2t/3, t R. x 2 = t LM2, Kesä 2012 172/202

Näin ollen V 4 = { v R 2 A v = 4 v } = { (2t/3, t) t R } = { t(2/3, 1) t R } = span ( (2/3, 1) ) = span ( (2, 3) ) Matriisia A vastaava lineaarikuvaus L A venyttää siis ominaisavaruuden V 4 = span ( (2, 3) ) vektorit nelinkertaisiksi: L A v A v = 4 v LM2, Kesä 2012 173/202

Ominaisarvoa 1 vastaava ominaisavaruus V 1 = { v R 2 A v = v } löydetään vastaavasti ratkaisemalla yhtälö A x = x eli yhtälö (A + I) x = 0. Vastaavan homogeenisen yhtälöryhmän täydennetty matriisi: [ ] 1 2 2 0 2 r [ ] 1 1 1 0 3 3 0 3 3 0 r 2 3r 1 [ 1 1 ] 0 0 0 0 Ratkaisut ovat { x1 = t, t R. x 2 = t LM2, Kesä 2012 174/202

Näin ollen V 1 = { v R 2 A v = v } = { ( t, t) t R } = { t( 1, 1) t R } = span ( ( 1, 1) ) Matriisia A vastaava lineaarikuvaus L A kääntää siis ominaisavaruuden V 1 = span ( ( 1, 1) ) vektorien suunnan päinvastaiseksi: L A v A v = v LM2, Kesä 2012 175/202

Näillä tiedoilla voidaan päätellä minkä tahansa vektorin kuvautuminen: L A LM2, Kesä 2012 176/202

Ominaisarvojen lukumäärästä Huom. Voidaan osoittaa, että n n -matriisin karakteristisen polynomin aste on n eli se on muotoa c 0 + c 1 λ + + c n λ n, missä c 0,..., c n R ja c n 0. Algebran peruslauseen mukaan yhtälöllä c 0 + c 1 λ + + c n λ n = 0 on enintään n erilaista ratkaisua. Näin ollen n n -matriisilla on enintään n eri ominaisarvoa. LM2, Kesä 2012 177/202

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 60 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin niitä vastaavat ominaisvektorit. Tällöin jono ( v 1,..., v m ) on vapaa. Todistus. Tehdään vastaoletus (antiteesi), että jono ( v 1,..., v m ) on sidottu. Tiedetään, että tällöin jokin jonon vektoreista on muiden lineaarikombinaatio. Esimerkiksi voi olla v 3 = 2 v 1 4 v 5 + 9 v 7. Tästä seuraa, että jokin jonon vektoreista on sitä edeltävien jonon vektoreiden lineaarikombinaatio. Edellisessä esimerkkitilanteessa v 7 = ( 2/9) v 1 + 0 v 2 + (1/9) v 3 + 0 v 4 + (4/9) v 5 + 0 v 6. LM2, Kesä 2012 178/202

Olkoon v k+1 jonon ensimmäinen vektori, joka on sitä edeltävien vektoreiden lineaarikombinaatio. Tällöin on olemassa c 1,..., c k R, joilla c 1 v 1 + + c k v k = v k+1. (1) Lisäksi jono ( v 1,..., v k ) on vapaa (muuten v k+1 ei olisikaan ensimmäinen vektori, joka on sitä edeltävien vektoreiden lineaarikombinaatio). Kertomalla yhtälön (1) molemmat puolet vasemmalta matriisilla A ja käyttämällä sen jälkeen matriisien laskusääntöjä ja oletusta, että vektorit v 1,..., v k ovat matriisin A ominaisvektoreita, saadaan A(c 1 v 1 + + c k v k ) = A v k+1 c 1 A v 1 + + c k A v k = A v k+1 c 1 λ 1 v 1 + + c k λ k v k = λ k+1 v k+1. (2) LM2, Kesä 2012 179/202

Kertomalla yhtälön (1) molemmat puolet luvulla λ k+1 saadaan c 1 λ k+1 v 1 + + c k λ k+1 v k = λ k+1 v k+1. (3) Vähennetään yhtälöstä (2) puolittain yhtälö (3), jolloin saadaan c 1 (λ 1 λ k+1 ) v 1 + + c k (λ k λ k+1 ) v k = 0. Jono ( v 1,..., v k ) on vapaa, joten tästä yhtälöstä seuraa, että sen kaikki kertoimet ovat nollia: c 1 (λ 1 λ k+1 ) = 0,..., c k (λ k λ k+1 ) = 0. Koska λ 1,..., λ m ovat kaikki eri ominaisarvoja, niin (λ i λ k+1 ) 0 kaikilla i {1,..., k}. Tulon nollasäännön nojalla tällöin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. LM2, Kesä 2012 180/202

Näin ollen v k+1 = c 1 v 1 + + c k v k = 0 v 1 + + 0 v k = 0. Toisaalta oletuksen mukaan v k+1 on matriisin A ominaisvektori, joten v k+1 0. Päädyttiin ristiriitaan, joten vastaoletus ei voi olla tosi. Siis alkuperäinen väite pätee eli jono ( v 1,..., v m ) on vapaa. LM2, Kesä 2012 181/202