Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e) cos 90 = cos (90 60 ) = cos 0 = 0,6 f) sin 0 = sin (0 60 ) = sin ( 0 ) = sin 0 = 0,77 K. a) b) sin 7 sin( ) sin( ) sin cos 7 cos( ) cos( ) cos c) tan = tan (0 + ) = tan 0 = 0 d) cos ( 00) = cos(0 50 ) = cos 0 = e) sin( 9 ) sin( sin( ) sin( ) sin( ) f) tan( 5 ) tan( ) tan( ) tan( )
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. a) Tangentti on sinin ja kosinin suhde, joten sin tan cos 0 cos sin tan cos : tan 0 cos sin tan 5 cos : 5 5 0 b) Käytetään kaavaa sin α + cos α =. sin α = cos α sin ( ) sin 9 (sin ) 8 9 sin 8 tai sin 8 9 9 Koska kulma α on kolmannessa neljänneksessä, on sinin arvo negatiivinen, eli sin. tan sin : cos
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. a) b) tan sin cos sin 5 cos cos sin 5cos sin cos ( 5cos ) cos 5cos cos 6cos cos 6 cos tai cos 6 6 Koska kulma on tylppä, on kosini negatiivinen, eli cos. 6 6 sin 5cos 5 ( ) 5 6 6
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K5. a) Taulukosta saadaan yksi ratkaisu: x. sin x x n tai x n x n, n b) Taulukosta saadaan yksi ratkaisu: x. cos x 0,5 x n tai x n, n c) Taulukosta saadaan yksi ratkaisu: tan x x n, n 8 x. 8 K6. a) Ohjelmalla saadaan yksi ratkaisu: x = 5,. sin x = 0,8 x = 5, + n 60 tai x = 80 5, + n 60 x 5 + n 60 x 7 + n 60, n. b) Kulmat, joilla on sama sini kuin kulmalla 9 ovat 9 + n 60 ja 80 9 + n 60 = + n 60, n.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K7. a) cos x = cos 5 x5n : tai x5 n : x5 n x5 n, n Ratkaisuista välille [0, 5] kuuluvat x = 5 x 5,9..., x 5 5 0,8..., x 5 5 8 0,..., 6 x 5 5,... ja 8 x 5 5,... b) sin x x n : tai x n 6 6 x n x 5 n Koska x 5, eli x. x 5, ainut ehdon toteuttava luku x on
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K8. a) 6cos x 0 6cos x :6 cos x x n tai x n x n6 x n6, n. b) 7 tan(x + ) = 0 tan(x + ) = 7 x + =, + n x = 0,8 + n x 0, + n, n c) sin x cos x = 0 sin x = 0 tai cos x = 0 x = n x = n Ratkaisut voi yhdistää xn, n.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K9. Ratkaistaan funktioiden leikkauskohdat yhtälöstä sin x = cos x. Yhtälö ei toteudu, jos cos x = 0, joten voidaan olettaa, että cos x 0. sin xcos x : cos x0 sin x cos x tan x x n, n Kuvaajat leikkaavat toisensa kohdissa x n, n. K0. Ratkaistaan yhtälö siirtämällä lauseke cos x vasemmalle, jolloin se voidaan ottaa yhteiseksi tekijäksi. Tämän jälkeen voidaan käyttää tulon nollasääntöä. sin x cos x = cos x sin x cos x cos x = 0 cos x(sin x ) = 0 cos x = 0 tai sin x = 0 x n sin x = x = n Vastaus x n sisältää myös kaikki vastaukset x = n, joten vastaukset voidaan yhdistää: x nn.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. A IV Funktion sin x arvot ovat kaksinkertaiset sinifunktion sin x arvoihin nähden. Koska vain kuvaajassa IV arvot ovat välillä [, ] sen täytyy olla sin x kuvaaja. B I Funktion cos x + kuvaaja saadaan nostamalla funktion cos x kuvaajaa kaksi yksikköä ylöspäin. Kuvaajassa I arvot ovat välillä [, ], joten sen täytyy olla cos x + kuvaaja. C II Funktion cos x + jakso on ja arvot ovat välillä [0, ]. Nämä toteutuvat vain kuvaajassa II. D III Funktion sin x + jakso on ja arvot ovat välillä [, toteutuvat vain kuvaajassa III. ]. Nämä
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. Derivoidaan ja ratkaistaan derivaatan nollakohdat. f(x) = 6sin x + x f (x) = 6cos x + Nollakohdat: 6cosx 0 6cosx :6 cos x x n tai x n, n K. a) Sijoitetaan funktion f(x) = x sin x lausekkeeseen x. f ( ) sin 8 b) Derivoidaan funktio tulon derivoimissäännöllä ja sijoitetaan derivaattafunktioon x. f (x) = sin x + x cos x = sin x + x cos x ( ) f ( ) sin cos 8
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. a) Sinifunktio saa kaikki arvot väliltä [, ], eli sin x. Funktio sin x saa kaikki arvot väliltä [, ], joten sin x. Kun funktioon sin x lisätään luku, myös pienin ja suurin arvo kasvaa saman verran. Siis sin x + 7, eli funktion f arvojoukko on [, 7]. Päättelyketju kaksoisepäyhtälönä sin x sin x + sin x + 7 b) Muuttujan kertominen tai jakaminen vakiolla ei vaikuta trigonometrisen funktion arvojoukkoon. Siis funktion f() x cos 5x arvojoukko on sama kuin kosinifunktiolla eli [, ]. K5. Tangentin kulmakerroin on derivaatta kohdassa x =. Derivoidaan funktio f(x) = tan x + x ja sijoitetaan derivaatan lausekkeeseen x =. f (x) = + tan x + = + tan x f ( ) = + (tan ) = + ( ) = + = 6 Tangentin kulmakerroin on 6.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K6. Tutkitaan funktion f(x) = cos x + sin x arvoja. Koska funktioiden sin x ja cos x jakso on, on myös funktion f jakso. Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa pituisella välillä. Tutkitaan väliä [0, ]. Funktio f on derivoituva kaikilla muuttujan x arvoilla. Näin ollen se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä [0, ] välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. f (x) = sin x + cos x Derivaatan nollakohdat: sin x + cos x = 0 sin x = cos x : cos x 0 sin x cos x tan x x n, n Välillä [0, ] derivaatan nollakohdista ovat ja 5. Lasketaan funktion f arvo kohdissa x = 0, x =, f(0) = cos 0 + sin 0 = + 0 = f() = cos + sin = + 0 = f ( ) cos sin x ja x. f ( ) cos sin Funktion f suurin arvo on ja pienin arvo, joten sen arvojoukko on [, ].
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K7. a) Sijoitetaan sisäfunktion sx ( ) x lauseke ulkofunktion u(x) = x 0 + x lausekkeeseen muuttujan x paikalle. 0 ( u s)( x) u( s( x)) u( x ) ( x ) x 0 0 ( u s)( ) ( ) b) Yhdistetyn funktion u s lauseke on u(s(x)) = u( x) = ( x). ( u s)( ) ( ) ( ) 9 K8. a) Esimerkiksi s(x) = x + ja u(x) = x 7. b) Esimerkiksi s(x) = x + ja u(x) = sin x. K9. a) D (x + ) 7 = 7(x + ) 6 D x = 7(x + ) 6 x = x(x + ) 6 b) D sin (x + ) = cos (x + ) D(x + ) = cos (x + ) = cos (x + ) c) D cos 5 x = D (cos x) 5 = 5(cos x) D cos x = 5cos x ( sin x) = 5sin x cos x d) D cos x 5 = sin x 5 D x 5 = = sin x 5 5x = 5x sin x 5
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K0. Tangentin kulmakerroin on funktion f(x) = sin x derivaatta tangentin sivuamiskohdassa. f (x) = cos x = cos x kt f ( ) cos( ) cos 0 Kohtaan x piirretty tangentti on siis vaakasuora. Ratkaistaan tangentin sivuamispiste. y f ( ) sin( ) sin Kohtaan x piirretyn tangentin yhtälö on y =.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 K. Koska cos x, niin yhtälöllä cos x = x voi olla ratkaisu vain, kun x. Kirjoitetaan yhtälö cos x = x muodossa cos x x = 0. Merkitään yhtälön vasen puoli funktioksi f(x) = cos x x. Yhtälön cos x = x ratkaisut ovat samat kuin funktion f nollakohdat. Tutkitaan funktion kulkua välillä [, ] derivaatan avulla. f (x) = sin x = sin x Ratkaistaan derivaatan nollakohdat. sinx 0 sin x : ( ) sin x 7 7 x n : tai x n : 6 6 7 x n x n, n ( x,8n x0, n) Derivaatan nollakohdista välille ], [ kuuluu vain Määritetään derivaatan merkki testikohtien avulla. x f (x) Merkki + 0 x. f (x) + f(x)
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Koska f( ) = cos ( ( )) ( ) = 0,58 > 0 ja funktio f on kasvava välillä [, ], niin funktiolla f ei ole nollakohtaa välillä [, ]. f ( ) cos( ( )) ( ),... 0 f() = cos ( ) =, < 0 Koska funktio f(x) = cos x x on jatkuva välillä, ja saa eri merkkiset arvot välin päätepisteissä, Bolzanon lauseen mukaan sillä on ainakin yksi nollakohta välillä,. Toisaalta funktio on vähenevä välillä,, joten sillä voi olla korkeintaan yksi nollakohta tällä välillä. Näin ollen funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta välillä,. Koska funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta, niin yhtälöllä cos x = x on täsmälleen yksi ratkaisu.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Kyllä, sin = sin sin( ). 5 5 5 Kulmien ja kehäpisteiden y- 5 5 koordinaatit ovat samat. b) Ei, cos ( ) cos. 5 5 Kulmien ja kehäpisteiden x- 5 5 koordinaatit ovat samat, eli cos ( ) cos. 5 5 c) Kyllä, sin ( ) sin. 5 5 Kulmien ja kehäpisteiden y- 5 5 koordinaatit ovat toistensa vastaluvut. d) Kyllä, tan ( ) = tan tan( ). 5 5 5 Kulmien loppukylki tai sen jatke leikkaavat suoran x = samassa pisteessä.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07. Sijoitetaan kaavaan sin x + cos x = kosinin arvoksi cos x = ja ratkaistaan sin x. sin x cos x x x 9 (sin x) 8 9 sin x 8 tai sin x 8 9 9 sin x sin x sin ( ) sin Sini voi saada arvot tai. Jos kulma x on välillä ]80, 60 [, niin sinin arvo on negatiivinen, joten sin x. Koska cos x =, on kulma neljännessä neljänneksessä. Piirretään arvioiden ympyrän neljänteen neljännekseen kulma, jonka kehäpisteen x- koordinaatti on.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07. Kolmion kulmien summa on 80, joten x + x + x = 80 x + x + x = 80 6x = 80 :6 x = 0 (sin x + sin x + sin x) = (sin 0 + sin ( 0 ) + sin ( 0 )) (sin 0sin 60sin 90 ) ( ) ( ) 96 6. Osamäärä saa arvon yksi, jos nimittäjä saa arvon. cos x Ratkaistaan yhtälö + cos x =. cos x cos x cos x tai cos x xn xn, n Vastaukset voidaan yhdistää. Osamäärä on, kun x = n, n.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 5. a) f(x) = + sin x sin x + + sin x Funktion arvojoukko on [, ]. Funktion f kuvaaja saadaan, kun funktion sin x kuvaajaa nostetaan kaksi yksikköä ylöspäin. b) f(x) = cos x cos x cos x Funktion arvojoukko on [, ]. Funktion f kuvaaja saadaan venyttämällä funktion cos x kuvaajaa pystysuunnassa niin, että kuvaajan pisteiden etäisyydet x-akselista kaksinkertaistuvat.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 c) f(x) = sin x sin x sin x sin x Funktion arvojoukko on [, ]. Funktion f kuvaaja saadaan, kun funktion sin x kuvaajaa venytetään siten, että kuvaajan pisteiden etäisyydet x-akselista kaksinkertaistuvat ja tämän jälkeen kuvaajaa lasketaan yhden yksikön verran. 6. Sinifunktio saa kaikki arvot väliltä [, ], eli sin x. sin (00t) 0 0 0 sin (00t) 0. Verkon suurin jännite on siis 0 volttia. Funktion u(t) = 0 sin (00t) jakso on toistuu 50 kertaa sekunnissa. (s), eli sen suurin arvo 00 50
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 7. a) tan (a + 5) = tan a = 5 b) f (x) = + tan x f (a) = + tan a = + 5 = 6 c) tan a = 5 sin 5 cos cos sin 5cos : 5 cos sin 5 Sijoitetaan saatu cos α kaavaan sin α + cos α = ja ratkaistaan sin α. sin ( sin ) 5 sin sin 5 6 sin : 6 5 5 sin 5 6 sin 5 tai sin 5 6 6 sin 5 tai sin 5 6 6 8. Kosinifunktio saa kaikki arvot väliltä [, ]. Funktio x on kasvava funktio, joten epäyhtälön korottaminen kolmanteen potenssiin säilyttää järjestyksen. cos x ( ) cos x cos x + 0 cos x Kun arvot korotetaan kolmanteen potenssiin, saadaan 0 ( cos x) 8. Funktion suurin arvo on 8 ja pienin 0.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 9. a) Yhtälö cos x sin x ei toteudu, jos cos x = 0, joten voidaan olettaa, että cos x 0. cos x sin x : cos x 0 sin x : cos x sinx cos x tan x x n, n 6 b) 7 (sin x ) 7 7 sin x tai sin x sin x sin x sin x sin x 5 sin x sin x 5 5 Koska, yhtälöllä sin x ei ole ratkaisua. sin x x n tai x n x n, n
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 0. Ratkaistaan funktion nollakohdat yhtälöstä cos x sin x = 0 hyödyntäen lausetta sin x + cos x =. cos xsin x 0 cos x(cos x) 0 cos x 0 cos x cos x tai cos x 5 x n x n, n 6 6 Vastaukset voidaan yhdistää. Funktion f nollakohdat ovat x n ja x n. 6 6 Sekä sini- että kosinifunktion perusjakso on, joten funktio f(x) = cos x sin x saa kaikki arvonsa välillä [0, ]. Funktio f on derivoituva kaikilla muuttujan x arvoilla. Näin ollen se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä [0, ] välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. f (x) = 6cos x ( sin x) sin x cos x = 8cos x sin x Ratkaistaan derivaatan nollakohdat. 8cos x sin x = 0 cos x = 0 tai sin x = 0 x n x = n, n
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Derivaatan nollakohdista välille ]0, [ kuuluu x, x ja x. Lasketaan funktion f arvot välin päätepisteissä ja välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. f (0) f() cos 0sin 0 0 f () cos sin 0 f ( ) cos sin 0 f ( ) cos sin 0 ( ) Funktion f suurin arvo on ja pienin.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 APUVÄLINEET SALLITTU. a) Piirretään funktion f(x) = cos x + kuvaaja. Kuvaajan perusteella suurin arvo on, ja pienin arvo. b) Tutkitaan toteuttaako piste (,) yhtälön y = cos x +. = cos ( ) + = 0 + = Yhtälö ei toteudu, joten piste (,) ei ole kuvaajalla.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07. a) Muutosnopeus kohdassa f (x) = cos x sin x x on derivaatan arvo. f ( ) cos sin( ) Muutosnopeus on. b) Selvitetään tangentin kulmakerroin ja yksi piste. Lasketaan funktion f arvo, kun x. f ( ) cos ( ) ( ) Tangentti kulkee pisteen (, ) kautta. f (x) = cos x ( sin x) = sin x cos x = sin x f ( ) sin( ( )) Tangentin kulmakerroin k =. Sijoitetaan suoran yhtälöön y y 0 = k(x x 0 ) piste ( x0, y0) (, ) ja kulmakerroin k =. y( ) ( x( )) y x Tangentin yhtälö on y x
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07. a) Sinifunktio saa kaikki arvot väliltä [, ]. sin 0t 0 0 0sin 0t 0 + 00 80 00 + 0sin 0t 0. Yläpaine on 0 ja alapaine 80. b) Funktion f(t) = 00 + 0sin 0t jakso on (min). 0 70 Minuuttiin mahtuu 70 jaksoa, joten henkilön syke on 70.. Kaksinkertaisen kulman kaavan mukaan sin x = sin x cos x. Jotta sin x voidaan määrittää, tarvitaan kosinin arvo. Ratkaistaan cos x kaavasta sin x + cos x =, kun sin x 8. 7 8 7 sin xcos x ( ) cos x 5 cos x 89 5 5 cos x tai cos x 7 7 Koska < x <, niin kulma x on yksikköympyrän kolmannessa neljänneksessä, jossa kosini on negatiivinen. Siis 5 cos x. 7 Nyt saadaan sin xsin xcos x 8 ) ( 5 ) 0 7 7 89
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 5. Sinifunktio sin x saa kaikki arvot väliltä [, ]. Se siis heilahtelee keskikohtansa molemmille puolille yhden yksikön verran. Funktion f kuvaaja heilahtelee keskikohtansa molemmin puolin 7 cm, joten sinifunktiota on venytetty 7-kertaiseksi. Siis A = 7. Funktion 7sin Bx jakso on ja koholla kestää ylhäältä alas ja takaisin B ylös 5 = 0 sekuntia. Saadaan siis yhtälö 0, josta B B. 5 Mato-ongen kohoa voidaan siis mallintaa funktiolla f(t) = 7sin t. 5
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 6. Kirjoitetaan yhtälö 5tan x = 0x muodossa 5tan x 0x = 0. Merkitään yhtälön vasen puoli funktioksi f(x) = 5tan x 0x. Yhtälön 5tan x = 0x ratkaisut ovat samat kuin funktion f nollakohdat. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla. f (x) = 5( + tan x) 0 = 5tan x 5 5tan x 50 5tan x 5 tan x tan x tai tan x x n x n, n Derivaatan nollakohdista välille ], [ kuuluu x ja x. Määritetään derivaatan merkki testikohtien avulla. x f (x) Merkki 0 + 0 5 0 + f (x) + + f(x)
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Koska f ( ) 5tan( ) 0 ( ) 0,6... 0 ja funktio f on kasvava välillä,, niin funktiolla f ei ole nollakohtaa tällä välillä.. Koska f on vähenevä välillä, ja f ( ) 0, sillä ei voi olla nollakohtaa tällä välillä. Funktio f on kasvava välillä,. Kasvava funktio ei saa samaa arvoa kahdesti, joten nollakohtia on korkeintaan yksi. f ( ) 5tan 0 5,85... 0 f ( 5 ) 5tan 5 0 5,57... 0 5 Koska funktio f(x) = 5tan x 0x on jatkuva välillä, ja saa päätepisteissä eri merkkiset arvot, Bolzanon lauseen mukaan sillä on ainakin yksi nollakohta tällä välillä. Funktiolla f on siis toisaalta ainakin yksi ja toisaalta korkeintaan yksi nollakohta, joten sillä on täsmälleen yksi nollakohta välillä ], [. Koska funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta, niin yhtälöllä 5tan x 0x on täsmälleen yksi juuri välillä ], [. Yhtälön juuri on x,.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 7. Derivoidaan funktio f. f '( x) sin x x x Derivaatan nollakohtia ratkaistaessa voidaan käyttää tulon nollasääntöä. sin x 0 x x 0 tai sin x 0 x x ei ratkaisua x n x xn x x( n) x, n n Tutkitaan mitkä nollakohdsta ovat välillä ], [. Kun n = 0, on lausekkeen arvo, joten tämä nollakohta ei ole n välillä ], [. Kaikilla muilla n:n arvoilla nimittäjä + n on suurempi kuin tai pienempi kuin. Näin ollen lausekkeen arvo on välillä ], [ n kaikilla muilla n:n arvoilla kuin arvolla n = 0. Välillä ], [ olevat derivaatan nollakohdat ovat siis x, n, n0. n
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 8. Olkoon sektorin keskuskulma α. Sektorin pinta-ala on A r s r. Jotta sektorin keskuskulma olisi sama kuin sektorin pinta-ala, tulee olla r : 0 r r (tair ) Ympyrän säteen tulee olla.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 9. Käyrän y = sin x + cos x + etäisyys x-akselista kohdassa x = on käyrän pisteen y-koordinaatin itseisarvo. y sin cos 7 7 Käyrän etäisyys y-akselista on 7. Lyhin etäisyys on funktion f(x) = sin x + cos x + pienin positiivinen tai suurin negatiivinen arvo. Tutkitaan funktion f arvoja. Sekä sini- että kosinifunktion perusjakso on, joten funktio f saa kaikki arvonsa välillä [0, ]. Funktio f on derivoituva kaikilla muuttujan x arvoilla, joten se saa suljetulla välillä [0, ] suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. f (x) = cos x sin x Derivaattafunktion nollakohdat: cos xsin x0 cos x sin x : cos x 0 sin x cos x tan x x 0,6... n, n Derivaatan nollakohdista välille ]0, [ kuuluvat x = 0,6 ja x =,60 Lasketaan funktion f arvot välin [0, ] päätepisteissä ja välille kuuluvissa derivaatan nollakohdissa. f(0) = f() = sin 0 + cos 0 + = + =,8 f(0,6 ) = sin 0,6 + cos 0,6 + = 5,06 f(,60 ) = sin,60 + cos,60 + = 0,59 Funktion f kaikki arvot ovat positiivisia, joten käyrän lyhin etäisyys x-akseliin on funktion pienin arvo, joka on 0,59 0,6 yksikköä.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 0. Valitaan muuttujaksi kulma 0, kuvan mukaisesti. Suolla juostun matkan AP pituus saadaan selville tasakylkisen kolmion AOP puolikkaan avulla. Kolmio AOC on suorakulmainen. AO on ympyrän säde, jonka pituus on 0,5 km. AP cos 0,5 AP cos Sektorin OBP keskuskulma β on α, koska kulma α on samaa kaarta vastaava kehäkulma. Sektorin OBP kaaren pituus on βr = α 0,5 = α. Matkan kesto saadaan jakamalla matka nopeudella. t cos 5 0 Tutkitaan aikaa kuvaavaa funktiota f ( ) cos, 0, 5 0. Funktio f on derivoituva, joten se saa suljetulla välillä 0, suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 f ( ) sin 5 0 sin 0 5 0 sin 5 n tai n n, n 6 6 6 Derivaattafunktion nollakohdista välillä ]0, [ on ainoastaan x = 6 Lasketaan funktion f arvot välin 0, päätepisteissä ja välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. cos0 0 f (0) 0, 5 0 5 cos 6 6 f ( ) 0,5... 6 5 0 0 60 cos f ( ) 0 0,57... 5 0 0 Funktion f pienin arvo on 0,57 h 9, min, joka saavutetaan lähtökulmalla α = (rad) = 90. Suunnistajan kannattaa siis kiertää suo kokonaan.