Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö

Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Kevät 017 Luennot: Kerkko Luosto Muistiinpanot: Jesse Railo (013) ja Jussi Klemetti (017)

6 Kartioleikkaukset Vanhan ajan geometrian merkittävimpiä tuloksia oli havainto, että erilaisilla toisen asteen käyrillä on yhdistävä geometrinen ominaisuus: ne saadaan kaikki kartioleikkauksina. Tässä luvussa tasotarkastelutkin tehdään tavanomaisessa karteesisessa tasossa kompleksitason asemasta, koska kartioita tietenkin joudutaan käsittelemään kolmiulotteisessa avaruudessa. 6.1 Ellipsi, paraabeli ja hyperbeli Kartioleikkauksia ovat ympyrä, ellipsi, paraabeli ja hyperbeli, jotka pystytään muodostamaan suoran ympyräkartion ja tason leikkauksina R 3 :ssa. Kartioleikkauksien tarkastelu tehdään seuraavassa aliluvussa, kun tässä on ensin määritelty tarvittavat käyrätyypit. Määritelmä 6.1. Ellipsillä tarkoitetaan niiden tason pisteiden uraa (eli joukkoa), joille etäisyyksien summa kiinteistä pisteistä p ja q on näiden pisteiden keskinäistä etäisyyttä suurempi vakio, ts. joukko E on ellipsi, jos on olemassa sellaiset p, q R ja vakio c> p q, että E={ x R x p + x q =c}. Pisteitä p ja q kutsutaan ellipsin E polttopisteiksi. Mahdollinen erikoistapaus on p=q. Tällöin E={ x R x p =c}={ x R x p =c/}, ts. E on ympyrä. Ympyrät ovat siis ellipsejä, mutta ellipsit eivät eivät tietenkään yleisesti ole ympyröitä. Sen sijaan määritelmä kieltää mahdollisuuden p q ja c = p q, jolloin joukon E voidaan osoittaa surkastuvan janaksi. Lause 6.. Olkoon E R ellipsi, jonka polttopisteet sijaitsevat x-akselilla symmetrisesti origon suhteen. Tällöin joillakin a, b>0 pätee E={(x, y) R x a + y b= 1}. Todistus. Oletuksen mukaan ellipsin E polttopisteet ovat p =( t, 0) ja q =(t, 0) jollakin t 0. Merkitään c:llä vakiota, joka on kuten määritelmässä, ts. c> p q = ( t, 0) = t ja E={v R v p + v q =c}. 57

58 LUKU 6. KARTIOLEIKKAUKSET Huomataan, että(c/, 0) E, sillä ( c, 0) (t, 0) + (c, 0) ( t, 0) = c t + c + t =( c t)+(c + t)=c. Merkitään a = c/. Havaitaan, että E sisältyy a-sivuiseen neliöön: sillä kaikilla v=(x, y) R pätee E Q ={(x, y) R x a, y a}, v p + (v q = (x t, y) + (x, y) ( t, 0) = (x t, y) + (x+ t, y) max{ x, y }. Kun(x, y) Q, niin (x, y) E (x, y) (t, 0) + (x, y) ( t, 0) =a (x t) + y + (x+ t) + y = a (x t) + y = a (x+ t) + y (x t) + y = 4a 4a (x+ t) + y +(x+ t) + y x xt+ t = 4a 4a (x+ t) + y + x + xt+ t 4a (x+ t) + y = 4a + 4xt ( x t a a=a ) 0 a ((x+ t) + y )=a 4 + a xt+ x t a x + a xt+ a t + a y = a 4 + a xt+ x t (a t )x + a y = a 4 a t = a (a t ) x y a + a t= 1. Merkitään b= a t. Koska a=c/>t, niin 0<b a. Edellinen johto merkitsee, että E {(x, y) R x a +x b = 1} S ={(x, y) R x a, y b}. Erityisesti E siis sisältyy suorakaiteeseen S Q. Huomattakoon myös, että edellisessä johdossa oli vain yksi kohta( ), jossa päättelyssä oli implikaatio ekvivalenssin sijasta. Implikaatio johtui siitä, että yhtälön molemmat puolet korotettiin neliöön, jolloin yhtäpitävyys pätee vain, jos yhtälön puolet ovat samanmerkkiset. Osoitetaan nyt, että samanmerkkisyys todellakin pätee suorakaiteessa S. Kun(x, y) S, niin (x, y) ( t, 0) = (x+ t) + y ( ) (a+t) + b = a + at+ t + a t = a at a + a = a

6.1. ELLIPSI, PARAABELI JA HYPERBELI 59 joten a (x+ t) + y 0, mikä osoittaa, että implikaatio kohdassa( ) voidaan korvata ekvivalenssilla. Siis E={(x, y) R x y a+ b= 1}. Huomautus. Janoja origosta pisteisiin(a, 0) ja(0, b) kutsutaan ellipsin puoliakseleiksi. Puoliakselit voitaisiin tietenkin määritellä myös ellipseille, joiden polttopisteet eivät sijaitse symmetrisesti x-akselilla. Ei ole vaikeata osoittaa, että mielivaltaisella ellipsillä on symmetriakeskipiste, joka on polttopisteiden yhdysjanan keskipiste. Ellipsien symmetriaryhmät ovat isomorfisia, jos ellipsit eivät ole ympyröitä. Määritelmä 6.3. Tasokuvio on paraabeli, jos se on niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana kiinteästä pisteestä p ja kiinteästä suorasta l, missä oletetaan, että p l. Pistettä p kutsutaan polttopisteeksi) ja suoraa l johtosuoraksi. Lause 6.4. Jos paraabelin P johtosuora on x-akselin suuntainen, niin jollakin a, b, c, a 0, pätee P={(x, y) R ax + bx+ c= y}. Todistus. Olkoon P:n johtosuora l={(x, y) R y=t}, missä t R on vakio, ja P:n polttopiste p=(p 0, p 1 ) R, missä p 1 t. Määritelmästä saadaan missä a= (x, y) P y t = (x p 0 ) +(y p 1 ) y yt+ t =(x p 0 ) +(y p 1 ) y yt+ t = x xp 0 + p 0 + y yp 1 + p 1 y(p 1 t) = yp 1 yt= x xp 0 + p 0 + p 1 t 0 y= x xp 0 + p 0 + p 1 t (p 1 t) 1 (p 1 t), b= p 0 p 1 t ja c= p 0 + p 1 t (p 1 t). = ax + bx+ c, Määritelmä 6.5. Olkoon a ja b kaksi tason R pistettä ja 0<d< a b. Polttopisteiden a ja b sekä erotusparametrin d määräämä hyperbeli on H ={ x R x a x a =d}.

60 LUKU 6. KARTIOLEIKKAUKSET 6. Kartio leikkaa tasoa Määritelmä 6.6. Suora kaksivaippainen ympyräkartio on R 3 :n osajoukko K, jonka määräävät huippu p R 3, huipun kautta kulkeva suora l ja suhde k> 1. Kartio K koostuu niistä pisteistä, joilla etäisyyksien suhde huipusta p ja suorasta l on vakio k. Lause 6.7. Suoran kaksiosaisen ympyräkartion K yhtälö on. asteen polynomiyhtälö muuttujien x 0, x 1 ja x suhteen, kun(x 0, x 1, x ) K. Todistus. Olkoon K suora kaksivaippainen ympyräkartio, jonka huippu p=(p 0, p 1, p ) R 3, määräävä suora on l ja suhde on k> 0. Olkoon s=(s 0, s 1, s ) suoran l suuntavektori, jolle s =1, ts. l={ p+λs λ R}, sillä määritelmän mukaan p l. Merkitään k= 1/ sin α, missä α ]0, π [. Huomataan, että K koostuu niistä pisteistä x=(x 0, x 1, x ), joille suoran l ja janan[p, x] välinen kulma on α, ja lisäksi pisteestä p K. Siis Kun x=(x 0, x 1, x ) R 3, niin K={ x R 3 (p x) s = p x s cos α}. x K (p x) s= p x s cosα =1 (p i x i )s i =cosα (p i x i ) (Molemmat puolet epänegatiivisia) ( s i (x i p i )) = cos α (x i p i ) s i(x i p i ) + s i s j (x i p i )(x j p j )=cos α i,j {0,1,}, i j (s i cos α)(x i p i ) + i,j {0,1,}, i j s i s j (x i p i )(x j p j )=0. (x i p i ) Tämä yhtälö tunnistetaan muodoltaan polynomiyhtälöksi. Lisäksi se on toista astetta, sillä jos s i cos α= 0 jokaisella i {0, 1, }, niin s 0 = s 1 = s = 1/3, sillä s 0 + s 1 + s = 1, mistä seuraa s 0 s 1 = 1/3 0. Lause 6.8. Kun suoraa kaksivaippaista ympyräkartiota leikataan xy-tasolla, niin saadaan kartioleikkaus, jonka yhtälö on toisen asteen muotoa muuttujien x 0 ja x 1 suhteen, ts. jos L on tämä kartioleikkaus, niin missä f on toisen asteen polynomi. L={(x 0, x 1, x ) R 3 f(x 0, x 1 )=0},

6.3. TOISEN ASTEEN KÄYRÄN ANALYSOINTI 61 Todistus. Olkoon K kyseinen kartio, jota leikataan xy-tasolla{(x 0, x 1, x ) R 3 x = 0}. Käytetään kartiolle edellisessä todistuksessa johdettua yhtälöä ja sijoitetaan sinne x = 0. Tällöin saadaan missä L=K {(x 0, x 1, 0) (x 0, x 1 ) R }={(x 0, x 1, x ) R 3 f(x 0, x 1 )=0}, f(x 0, x 1 )=(s 0 cos α)(x 0 p 0 ) +(s 1 cos α)(x 1 p 1 ) +(s cos α)(0 p ) + s 0 s 1 (x 0 p 0 )(x 1 p 1 )+s 0 s (x 0 p 0 )(0 p )+s 1 s (x 1 p 1 )(0 p ), joka on korkeintaan toista astetta oleva polynomifunktio muuttujien x 0 ja x 1 suhteen. Jälleen huomataan, että polynomi f on toista astetta, sillä kaikki toisen asteen kertoimet eivät voi hävitä: Jos nimittäin olisi s 0 cos α= s 1 cos α= s 0 s 1 = 0, niin seuraisi s 0 = s 1 = cosα= 0, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että α ]0, π/[. 6.3 Toisen asteen käyrän analysointi Määritelmä 6.9. Polynomikuvaus p R n R on k:nnen asteen muoto(k, n Z + ), jos kaikilla x R n, t R pätee p(tx)=t k p(x). Toisen asteen muotoa kutsutaan neliömuodoksi. Lemma 6.10. Polynomikuvaus p R R on neliömuoto, jos ja vain jos joillakin kertoimilla a, b, c R pätee, että p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1, kun(x 0, x 1 ) R. Todistus. Oletetaan ensin, että joillakin vakioilla a, b, c R pätee, että p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1, kun(x 0, x 1 ) R. Tällöin kaikilla(x 0, x 1 ) R ja t R on voimassa p(t(x 0, x 1 ))=p(tx 0, tx 1 )=a(tx 0 ) + b(tx 0 )(tx 1 )+c(tx 1 ) = t ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 = t p(x 0, x 1 ). Siis tällainen p on neliömuoto. Olkoon sitten polynomikuvaus p R R mielivaltainen neliömuoto. Oletetaan, että deg(p), ts. kun(x 0, x 1 ) R, niin p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 + dx 0+ ex 1 + f, missä a, b, c, d, e, f R ovat vakioita. Koska p on neliömuoto, niin erityisesti f= p(0, 0)=p(0 (0, 0))=0 p(0, 0)=0.

6 LUKU 6. KARTIOLEIKKAUKSET Edelleen joten d=0. Vastaavasti a d=p( 1, 0)=p(( 1)(1, 0))=( 1) p(1, 0)=p(1, 0)=a+d p(0, 1)=p(0, 1) c e=c+ e e=0. Siis p on haluttua muotoa. Todistetaan lopuksi, miksi tapaus deg(p) > on mahdoton. Kirjoitetaan p(x 0, x 1 )= a i,j x0 ixj 1, i,j N missä vain äärellisen moni vakioista a ij eroaa nollasta. Oletetaan vastoin väitettä, että joillakin i, j N a ij 0 ja i+j>. Merkitään Valitaan y=(y 0, y 1 ) R, jolle Merkitään Tällöin kaikilla t R on voimassa n = max{ i+j i, j N, a ij 0}>. p(ty) t n τ = k=0 n = t k k=0 n 1 = t k k=0 n 1 δt k. n k=0 τ= a i,j y i 0 yj 1 0. i,j N, i+j=n δ= a i,j y i 0 yj 1. i,j N, i+j<n i,j N, i+j=k i,j N, i+j=k a i,j (ty 0 ) i (ty 1 ) j t n τ a i,j y i 0 yj 1 tn a ij y i 0 yj 1 i,j N, i+j=k i,j N, i+j=n a ij y i 0 yj 1 Kun t 1, tästä seuraa p(ty) t n τ nδt n 1. Erityisesti kun t max{1, nδ/ τ }, niin p(ty) t n τ nδt n 1 t n τ t n τ /=t n τ / ja p(ty) t n τ +nδt n 1 3t n τ /.

6.3. TOISEN ASTEEN KÄYRÄN ANALYSOINTI 63 Mutta tästähän seuraa p(4ty) p(ty) vaikka toisaalta neliömuodolle p saadaan (4t)n τ / 3t n τ / = 4n /3, p(4ty) p(ty) = 4 4 3 /4<4 n /3. Tämä on ristiriita, joka osoittaa mahdottomaksi, että p:ssä olisi toista astetta korkeampia termejä. Määritelmä 6.11. Neliömuoto p R R on indefiniitti, jos se saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Jos p ei ole indefiniitti ja p(x) 0, kun x R {0}, niin p on definiitti. Jos p ei ole indefiniitti eikä definiitti, niin se on semidefiniitti. Lause 6.1. Neliömuoto p R R, p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1, on 1) indefiniitti, jos b 4ac> 0, ) semidefiniitti, jos b 4ac= 0 ja 3) definiitti, jos b 4ac< 0. Todistus. Käsitellään ensin erikoistapaus a=c= 0, jolloin p(x 0, x 1 )=bx 0 x 1, kun(x 0, x 1 ) R. Lisäksi saadaan, että b 4ac= b 0. Jos b=0, niin b 4ac= 0 ja p on nollakuvaus, joten se on semidefiniitti. Jos taas b 0 eli b 4ac= b > 0, niin p saa selvästi sekä positiivisia että negatiivisia arvoja eli p on indefiniitti. Oletetaan sitten, että a 0 tai c 0. Tilanteen symmetrisyyden vuoksi voidaan olettaa, että a 0. Tällöin saadaan p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 = a(x 0 + b a x 0x 1 )+cx 1 = a(x 0 + b a x 0x 1 + b 4a x 1 )+cx 1 ab = a(x 0 + b a x 1) + 4ac b x1 4a ( ), 4a x 1 kun(x 0, x 1 ) R. Jaetaan nyt käsittely kolmeen tapaukseen. Oletetaan, että b 4ac< 0, jolloin 4ac b > 0. Lausekkeessa( ) summattavat ovat samanmerkkisiä tai ainakin toinen on nolla. Voidaan olettaa, että a > 0, jolloin p(x 0, x 1 )=a(x 0 + b a x 4ac b 1) + x1. 4a 0 0

64 LUKU 6. KARTIOLEIKKAUKSET Tästä muodosta havaitaan, että p(x 0, x 1 )=0, jos ja vain jos a(x 0 + b a x 1) = 0 4ac b x1 4a = 0 Siis tässä tapauksessa p on definiitti. Oletetaan sitten, että b 4ac=0, jolloin x 0 + b a x 1= 0 x 1 = 0 x 0 = 0 x 1 = 0. p(x 0, x 1 )=a(x 0 + b a x 1), kun(x 0, x 1 ) R. Selvästi p ei voi saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Toisaalta p(x 0, x 1 )=0 x 0 = b a x 1. Siis p on semidefiniitti. Oletetaan lopuksi, että b 4ac> 0. Edelleen kaava( ) on voimassa. Voidaan olettaa, että a>0. Tällöin kaikilla x 0 0 pätee p(x 0, 0)=ax 0 > 0 ja jos(x 0, x 1 ) R, x 1 0, toteuttaa yhtälön x 0 + b a x 1= 0, niin Siis p on idefiniitti. p(x 0, x 1 )= 4ac b x1 4a < 0. Määritelmä 6.13. Olkoot A, B R. Tasokuviot A ja B ovat yhtenevät, A B, jos on olemassa yhtenevyyskuvaus f R R, jolle B= f[a]. Lause 6.14. Olkoon C = g 1 {0} toisen asteen käyrä, missä g R R, g(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 + dx 0+ ex 1 + f. Merkitään p:llä vastaavaa neliömuotoa p R R, p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1. Jos p on definiitti tai indefiniitti, niin C p 1 {γ} jollakin vakiolla γ R. Todistus. Osoitetaan, että itse asiassa on olemassa sellainen siirto s t, t=(t 0, t 1 ) R, että s t C p 1 {γ}. Olkoon t=(t 0, t 1 ) R. Kun(x 0, x 1 ) R, niin (g s 1 t)(x 0, x 1 )=(g s t )(x 0, x 1 )=g(x 0 + t 0, x 1 + t 1 ) = a(x 0 + t 0 ) + b(x 0 + t 0 )(x 1 + t 1 )+c(x 1 + t 1 ) + d(x 0 + t 0 )+e(x 1 + t 1 )+f = ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 +(at 0+ bt 1 + d)x 0 +(bt 0 + ct 1 + e)x 1 + at 0 + bt 0t 1 + ct 1 + dt 0+ et 1 + f = p(x 0, x 1 )+(at 0 + bt 1 + d)x 0 +(bt 0 + ct 1 + e)x 1 + p(t 0, t 1 ).

6.3. TOISEN ASTEEN KÄYRÄN ANALYSOINTI 65 Siirto s t halutaan valita siten, että at 0 + bt 1 + d=0 ja bt 0 + ct 1 + e=0 eli Tällä yhtälöllä on ratkaisu, koska ( a b b c )(t 0 t 1 )=( d e ). det( a b b c )=4ac b 0, sillä p on definiitti tai indefiniitti. Jos t=(t 0, t 1 ) on tämä ratkaisu, niin kaikilla x=(x 0, x 1 ) R pätee (g s 1 t)(x 0, x 1 )=p(x 0, x 1 )+γ, missä γ= p(t 0, t 1 ). Siis p 1 {γ}=s t [C] C. Lemma 6.15. Neliömuodon p R R, p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 lausekkeella on esitys p(x 0, x 1 )=(x 0 x 1 )( a b/ b/ c )(x 0 x 1 ). Todistus. Todellakin (x 0 x 1 )( a b/ b/ c )(x 0 x 1 )=(x 0 x 1 )( ax 0+ bx1 bx 0 + cx ) 1 = ax0 + bx 0x 1 + bx 0x 1 + cx1 = ax0 + bx 0x 1 + cx1. on Seuraavaksi esitämme joitain aputuloksia lineaarialgebrasta. Fakta: Symmetrisellä n n-matriisilla on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Karakteristinen polynomi matriisille ( a b/ b/ c ) a λ b/ b det( )=(a λ)(c λ) b/ c λ 4 = λ (a+c)λ+ac b 4. Tämän polynomin diskriminantti on D=( (a+c)) 4(ac b 4 )=(a c) + b 0.

66 LUKU 6. KARTIOLEIKKAUKSET Huomataan, että Tällöin D= 0 a=c, b=0. ( a b/ b/ c )=(a 0 0 a )=ai, missä I on identiteettimatriisi, ja matriisilla on ominaisvektorit (1,0) ja (0,1). Fakta: Symmetrisen n n-reaalimatriisin ominaisarvot ovat reaalisia. Fakta: Symmetrisen n n-matriisin eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat keskenään kohtisuorassa. Todistus. Olkoon A symmetrinen n n-matriisi, ts. A T = A. Olkoon x ja ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori ja vastaavasti y ominaisarvoa µ vastaava ominaisvektori. Tällöin x T Ay=x T (µy)=µ(x T y) ja Siis x t Ay=(y T Ax) T =(y T (λx)) T = λ(x T y). (µ λ)x T y=0 x T y=0 x ja y ovat kohtisuorassa. Merkitään kiertomatriisia R φ =( cosφ sin φ sin φ cosφ ). Luennoilla esitettiin seuraavien tulosten todistusten hahmotelmat. Lause 6.16. Olkoon f R R toisen asteen polynomifunktio, jota vastaava neliömuoto on definiitti. Tällöin jokaisella γ R tasa-arvokäyrä f 1 {γ} on joko ellipsi tai piste tahi tyhjä joukko. Lause 6.17. Olkoon f R R toisen asteen polynomifunktiot, jota vastaava neliömuoto on indefiniitti. Tällöin jokaisella γ R tasa-arvokäyrä f 1 {γ} on joko hyperbeli tai toisiaan leikkaava suorapari. Lause 6.18. Olkoon f R R toisen asteen polynomifunktiot, jota vastaava neliömuoto on semidefiniitti. Tällöin jokaisella γ R tasa-arvokäyrä f 1 {γ} on joko paraabeli tai suora tai yhdensuuntaisista suorista koostuva suorapari tahi tyhjä joukko.