Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400 7 8 7,88 00 Vastaus: Vaihtoaika on 8 sekuntia. Huom. Vaihtoaika tarkoittaa aikaa, jolloin liikennevalo on ensin keltaisella sitten punaisella kaikkiin suuntiin. Se on siis yhden suunnan vihreän ja toisen suunnan vihreän välinen aika. b) Piirretään vaihtoaikaa kuvaavan funktion kuvaaja. Vastaus: Vaihtoaika on pienimmillään, kun nopeus on noin 5 km/h.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 c) Piirretään vaihtoaikaa kuvaavan funktion ja suoran y = 0 kuvaajat. Vastaus: Vaihtoaika on alle 0 sekuntia, kun nopeus on 68 km/h.. a) Kun asiakas ajaa 00 km, koko vuokrauksen hinta on 0,45 00 + 5 = 50 ( ). Kilometrin keskihinta on tällöin 50 0,5 00 ( ). Vastaus: Yhden kilometrin keskihinnaksi tulee 0,5 euroa eli 50 senttiä. b) Jos asiakas ajaa kuukauden aikana kilometriä, koko vuokrauksen hinta on 0,45 + 5. Kilometrin keskihinta saadaan, kun koko vuokrauksen hinta jaetaan ajetuilla kilometreillä. 0, 45 5 Kilometrin keskihintaa kuvaava funktio on siis f( ). Piirretään funktion f kuvaaja.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Vaikka autolla ajettaisiin paljon, kilometrin keskihinta näyttäisi kuitenkin aina olevan hieman yli 40 senttiä. Muokataan funktion lauseketta. 0, 45 5 0, 45 5 5 f( ) 0, 45 Lausekkeesta nähdään, että kilometrin keskihinta on 0,45 euroa, johon on lisätty 5 euroa. Euromäärä 5 on aina suurempi kuin nolla, mutta sitä pienempi, mitä suurempi on ajokilometrien määrä. Näin ollen kilometrin keskihinta putoaa sitä lähemmäs 0,45, mitä enemmän ajetaan. Vastaus: Kilometrikohtainen keskihinta voi pudota 0,45 euroon eli 45 senttiin.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06. Rationaalifunktio YDINTEHTÄVÄT 0. a) Funktio f( ) 9 on määritelty, kun lausekkeen nimittäjä + ei saa arvoa nolla. Määrittelyehto on + 0 eli. b) Lausekkeen osoittaja 9 on tulomuodossa ( + )( ). Sievennetty muoto: f ( ) 9 ( )( ), kun. 0. a) Määrittelyehto funktiolle f( ) 4 on 0, eli. Lausekkeen sieventäminen: 4 ( )( ) ( ) f, kun. ( ) Oikea kuvaaja on, jossa nouseva suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) ja kohta = ei kuulu määrittelyjoukkoon. b) Määrittelyehto funktiolle Lausekkeen sieventäminen: 4 4 ( ) ( ) f ( ) f ( ) 44 on 0, eli., kun. Oikea kuvaaja on 4, jossa nouseva suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) ja kohta = ei kuulu määrittelyjoukkoon.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 c) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on 0. Lausekkeen sieventäminen: ( ) f ( ), kun 0. Oikea kuvaaja on, jossa nouseva suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) ja kohta = 0 ei kuulu määrittelyjoukkoon. d) Funktio f ( ) 4 on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla, koska nimittäjä on aina erisuuri kuin nolla. Lausekkeen sieventäminen: 4 f ( ) ( ). Oikea kuvaaja on, jossa nouseva suora, leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) ja kuvaajassa ei ole katkosta. 0. a) (punainen katkoviiva, funktiolla ei ole arvoa kohdassa = ) b) ja (kohdat joissa funktio saa arvon nolla, kuvaaja kohtaa -akselin) c) < tai < < (välit, joissa kuvaaja on -akselin alapuolella) d) f(0) (kun = 0, kuvaaja kohtaa y-akselin) e),5 (etsitään kuvaajalta pisteet, joiden y-koordinaatti on ) f) f(),5 (etsitään kuvaajalta piste, jonka -koordinaatti on )
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 04. f ( ) 46 a) Määrittelyehto: + 0. b) Jaetaan osoittaja tekijöihin nollakohtien avulla. Osoittajan nollakohdat ovat yhtälön 4 6 = 0 ratkaisuja: 4 6 0 ( 4) ( 4) 4 ( 6) 4 64 48 4 4 48 tai 48 4 4 Polynomi 4 6 voidaan jakaa tekijöihin nollakohtien = ja = avulla: 4 6 = ( ())( ) = ( + )( ). c) 4 6 ( ) f( ) ( ) 6,kun ( )
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 05. f ( ), g( ) ja h ( ) 4 f taulukko kuvaaja g taulukko kuvaaja h taulukko kuvaaja VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. a) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on 4 0 eli 0. 4 Lausekkeen sieventäminen: f ( ) 4, kun 0. 4 4 b) Määrittelyehto funktiolle f ( ) 6 on 0, eli 0. Lausekkeen sieventäminen: 6 f ( ) ( ), kun 0. c) Määrittelyehto funktiolle f ( ) 4 on 4 + 0, eli 4 Lausekkeen sieventäminen: f( ) 4, kun. 4 ( ).
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 d) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on 0 eli. Lausekkeen sieventäminen: ( f( ) ), kun. 07. a) Esimerkiksi funktio f( ), kun ja. ( )( ) b) Esimerkiksi funktio c) g( ), kun 0. 08. a) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on 0. Muokataan funktion lauseketta. f ( ), kun 0 b) Määrittelyehto funktiolle f( ) on 0. Muokataan funktion lauseketta. ) f( ), kun 0
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 c) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on + 0 ja 0, eli ja. Muokataan funktion lauseketta. ) ) ( ) ( ) f ( )( ) ( )( ) ( )( ), kun ja d) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on 0. Muokataan funktion lauseketta. ) f ( ), kun 0 09. f( ) 500 (ng/ml) 0,5 5 appletti Toinen annos voidaan ottaa aikaisintaan 5,5 tunnin kuluttua jotta yläraja 70 ng/ml ei ylity ja se on otettava viimeistään 0 tunnin kuluttua, jotta alaraja 0 ng/ml ei alitu.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 0. a) Suorakulmion pinta-ala lasketaan suorakulmion kannan ja korkeuden tulona. Suorakulmion kanta on pisteen P -koordinaatin arvo ja korkeus y on pisteen P y-koordinaatin arvo, joka on funktion f arvo kohdassa eli y = f(). Lasketaan korkeuden y:n arvo kohdassa = : y f () 4. 4 7 Suorakulmion pinta-ala, kun = ja y : 7 A y. 7 7 b) Kun suorakulmion leveys on, sen korkeus on y = f() = 4. 4 c) Funktion A() lauseke on A ( ) f( ) 4 4, kun 0 4. 4 4 d) Pinta-ala on suurin, kun,.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06. a) Oikein. Funktion f arvo kohdassa = 0 on eli f(0) =, joten funktion f kuvaaja kulkee pisteen (0, ) kautta. b) Oikein. Jos a on negatiivinen, on nimittäjä aina positiivinen. Nimittäjällä ei ole tällöin nollakohtia ja funktion f lauseke on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. c) Väärin. Funktion arvo on yksikäsitteinen. Funktio voi saada tietyllä muuttujan arvolla vain yhden arvon. d) Oikein Funktio voi saada saman arvon usealla eri muuttujan arvolla. Esimerkiksi funktio f() = saa arvon kaikilla muuttujan arvoilla. e) Väärin. Funktioilla ei ole sama määrittelyjoukko vaikkakin funktioiden kuvaajat näyttävät lähes samalta. Funktio f ei ole määritelty, kun =. Funktio g on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla.. a) Määrittelyehto funktiolle f( ) 5 5 on 5 0 eli 5. Lausekkeen sieventäminen: 5 (5 )(5 ) ( 5) f( ) (5 ) 5, kun 5. 5 5 ( 5) Kuvaaja on suora y = 5, josta on poistettu piste kohdasta = 5.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 b) Määrittelyehto funktiolle + 0 eli 6. Lausekkeen sieventäminen: f ( ) 6 on 6 ( 6) ( ) f 6, kun 6. ( 6) Kuvaaja on suora y, josta on poistettu piste kohdasta = 6. c) Määrittelyehto funktiolle f ( ) 8 4 on 0 eli 0. Lausekkeen sieventäminen: 8 4 f ( ) ( 4) 4, kun 0. Kuvaaja on paraabeli y = + 4 +, jonka kuvaajasta on poistettu piste kohdasta = 0.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 d) Määrittelyehto funktiolle f ( ) 7 6 on 6 0 eli. Lausekkeen sieventäminen: Jaetaan lausekkeen osoittaja 7 + tekijöihin nollakohtiensa avulla. 7 + = 0 = tai = ( )( ) 7 ( ) f( ) ( ) 6 () ( ), kun Kuvaaja on suora y, josta on poistettu piste kohdasta =.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06. a) Syntyvän laatikon pohjan leveys on ja pituus on. b) Suorakulmaisen särmiön tilavuus saadaan pohjan pinta-alan ja korkeuden tulona. Laatikon korkeus on. V() = ( )( ) = 4 6 +. Määrittelyehto: Kaikkien mittojen tulee olla positiivisia. Koska lyhyemmän sivun pituus on m, on poisleikattavan neliön sivun pituus oltava alle 0,5 m. Funktio V on määritelty välillä 0 < < 0,5. c) Piirretään funktion V kuvaaja. Kuvaajan perusteella funktion V suurin arvo on noin. 0,9, joten laatikon suurin tilavuus on noin 0,9 m.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 4. Määrittelyehto funktiolle f( ) 0 ±. on Lausekkeen sieventäminen: ( f( ) ), kun. ( )( ) ( ) Kuvaajassa on katkos, kun = ja =. Kohdan = lähellä nimittäjän arvot ovat hyvin lähellä nollaa, joten lausekkeen arvo on itseisarvoltaan hyvin suuri. Kohdan = lähellä nimittäjän arvot ovat lähellä lukua, joten funktion arvo on hyvin lähellä arvoa. Funktiolla ei ole nollakohtia, koska osoittajalla ei ole nollakohtia. Kun muuttujan arvot kasvavat hyvin suuriksi, tulee lausekkeen arvosta itseisarvoltaan hyvin lähellä nollaa oleva luku. Lasketaan muutamia funktion arvoja, jotta voidaan hahmotella kuva. f( ) =, f(,5) = 6, f( 0,5) = 6, f(0) =, f(0,5) = 6 ja f() =
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5. P Q ( ) Q ( ) Q ( ) ( ) ( )( ) a) Rationaalifunktion lausekkeen osoittajan nollakohdat ovat = ja =. Jotta nämä olisivat myös kyseisen rationaalifunktion nollakohdat, tulee rationaalifunktion olla määritelty näissä kohdissa. Nimittäjän Q() lauseke voi olla mikä tahansa lauseke, jolla ei ole nollakohtia = ja =. Esimerkiksi Q() =. b) Jotta rationaalifunktiolla olisi vain nollakohta =, tulee nimittäjän lausekkeen olla sellainen, ettei funktio ole määritelty kohdassa =. Esimerkiksi Q() =. c) Jotta rationaalifunktiolla ei olisi nollakohtia, tulee nimittäjän lausekkeen olla sellainen, ettei funktio ole määritelty kohdissa = ja =. Esimerkiksi Q() = ( )( + ) =. 6. a) Pohja on ympyrän muotoinen, joten pinta-alan lauseke on. b) Merkitään tölkin korkeutta kirjaimella h. Tölkin vaipan pinta-alan lauseke on h. Tölkin pinta-ala yhteensä on + h. Koska l = dm, on 0,5 l = 0,5 dm. Tölkin tilavuus 0,5 dm on kuutiosenttimetreinä 500 cm. Astian pinta-alan lausekkeessa on kaksi muuttujaa ja h. Esimerkiksi muuttuja h voidaan esittää säteen avulla tölkin tilavuuden lausekkeesta, kun tiedetään, että tölkin tilavuus on 500 cm. π h 500 : π h 500. π Nyt astian pinta-ala voidaan esittää pohjan säteen funktiona:
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 500 π 500 A ( ) π π π π π π 000, kun 0. c) Pinta-alaksi saadaan 400 cm, kun säde on noin,9 cm tai 6, cm. Pinta-ala on vähemmän kuin 400 cm, kun,9 < < 6,. d) Pinta-ala on pienin, kun säde on 4, cm. Lasketaan korkeus h, kun säde on 4, cm. h 500 cm π (4, cm) h 8,6 cm Pinta-ala on pienin, kun pohjan säde on noin 4, cm ja korkeus noin 8,6 cm. SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 7. a) Voidaan supistaa: 9 ( )( ) ( )( ) ( ) 44 ( ) Ei voida supistaa:
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 4 ( )( ) 9 ( )( ) 4 ( )( ) Jos lausekkeiden osoittajassa ja nimittäjässä on sama tekijä, lauseke voidaan supistaa. Jos polynomilausekkeella on tekijä a, sillä on myös nollakohta = a. Rationaalilauseke supistuu, jos osoittajalla ja nimittäjällä on sama nollakohta.. b) Esimerkiksi supistuu ja ei supistu. 8. f( ) ja g() = + Kun kuvaajat piirretään samaan koordinaatistoon esimerkiksi GeoGebralla, havaitaan koordinaatistoa loitonnettaessa, että kuvaajat lähestyvät toisiaan kun mennään kauemmaksi origosta. Funktion f lauseke on sievennettynä f ( ) eli funktioiden lausekkeet ovat samat lukuun ottamatta termiä.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Tutkimalla lausekkeen arvoja voidaan havaita, että ne ovat hyvin suuria tai hyvin pieniä kun muuttuja on lähellä nollaa, mutta kun muuttuja kasvaa tai pienenee, funktion arvot ovat hyvin lähellä nollaa. Tämä vastaa funktioiden f ja g kuvaajien havaittua käyttäytymistä: mitä etäämpänä origosta ollaan sitä enemmän kuvaajat muistuttavat toisiaan. 9. a) ( )( + ) = + = ( )( + + ) = + + = Kertolaskussa korkeimman asteen termiä ja vakiotermiä lukuun ottamatta muut termit summautuvat nollaksi, joten lausekkeen ( )( + + + ) sievennetty muoto päättelemällä on 4. Lauseke ( )( + + + ) sievennettynä: ( )( + + + ) = 4 + + + = 4. Lauseke ( )( + + + ) voidaan kirjoittaa myös muodossa ( )( ) 4 ( ) ( ) 4 4 Polynomien ( )( n + n + + + ) tulossa kaikki muut termit kumoutuvat ja jäljelle jää korkeinta astetta oleva termi n+ ja. Näin tapahtuu polynomin asteluvusta n riippumatta, joten tulos yleistyy. b) Tässä itse asiassa vain kirjoitetaan a-kohdan tulos eri tavalla, joten koska ( + )( ) = : ( ) 4.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 0 9 Vastaavalla tavalla jatkaen esimerkiksi.... n = n + n +... + + +, sillä osamäärä sisältää kaikki astelukua n alemmat :n potenssit. 0. a) 4 6 5 4 Jakolaskun osamäärä näyttäisi noudattavan kaikissa sääntöä: ensimmäinen termi on positiivinen ja asteluvultaan yhtä pienempi kuin osoittaja ja viimeinen termi on. Välissä on kaikkien muiden astelukujen termit siten, että joka toinen on positiivinen ja joka toinen negatiivinen. n n n... Varmistetaan tulos kertolaskulla. ( )( ) 4 4 ( )( ) (... )( ) n n n n n (... n n ) (... ) n n n n b) Voidaan kirjoittaa (... )( ). Tehtävän 9 perusteella tiedetään lisäksi, että n = n + n +... + + +, joten voidaan kirjoittaa = ( n + n +... + + + )( ). Koska ja + ovat molemmat n tekijöitä, on ( )( + ) = lausekkeen n tekijä.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06. Lausekkeen n nollakohdat ovat = ja =, kun n on parillinen positiivinen kokonaisluku. Tällöin lausekkeen ainoat ensimmäisen asteen tekijät ovat + ja, joten on lausekkeen n tekijä.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06. Rationaaliyhtälö ja epäyhtälö YDINTEHTÄVÄT. a) Rationaalifunktio nolla. + 0. f( ) 5 on määritelty, kun nimittäjä ei ole Nollakohdan tarkka arvo on 5 0 5 0 5. b) Funktion arvo on positiivinen, kun < tai > 5. Funktion arvo on negatiivinen, kun < < 5.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06. a) Rationaalifunktio nolla. f( ) on määritelty, kun nimittäjä ei ole 0 Nollakohta: 0 0. b) Osoittaja: Nimittäjä: Tehdään merkkikaavio. + + + c) Funktion arvo on positiivinen, kun < < ja negatiivinen, kun < ja >.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 d) Kuvaajan perusteella c-kohdan vastaukset täsmäävät. 4. a) Ratkaistaan funktion 4 0, kun 4 0 ja 0 f( ) 4 nollakohdat. 4 tai Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. Nollakohdat ovat = ja =. b) Tehdään funktion merkkikaavio lausekkeen osoittajan ja nimittäjän merkkien avulla. 4 + + 4 + + Funktion arvo on positiivinen, kun < tai < <.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5. a) Yhtälö 7 0 toteutuu, kun 7 = 0 ja + 0. 7 = 0 ja 0 Koska 7 = 7 toteuttaa määrittelyehdon 7 b) Yhtälö 0 toteutuu, kun = 0 ja 0. 0 ja 0 tai, se kelpaa ratkaisuksi. Vain = toteuttaa määrittelyehdon, joten se on yhtälön ainut ratkaisu. 6. a) 5 0 8 6 Määrittelyehto 8 6 0 4 Ratkaistaan merkkikaaviota varten osoittajan nollakohdat. 5 0 5
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Tehdään merkkikaavio. 5 4 5 + 8 6 + 5 8 6 + Merkkikaavion perusteella 5 0, kun 8 6 5 tai > 4. b) 6 0 9 Määrittelyehto: 90 9 Ratkaistaan merkkikaaviota varten osoittajan nollakohdat: 60 Tehdään merkkikaavio. - 6 + 9 + + 6 9 + + 6 0 kun > ja. 9
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 7. a) Lausekkeen 5 osoittajassa on vain vakio 5, joka on aina positiivinen. Lausekkeen merkkiin vaikuttaa vain nimittäjän merkki. b) 5 0, kun < 0 < : ( ) 8. a) Suorakulmion kanta on. Piste (, y) on kuvaajalla y 5, joten suorakulmion korkeus y saadaan funktion lausekkeesta. A ( ) y 5 5, kun 0 Piirretään funktion A kuvaaja.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 b) Funktion A kuvaajalta arvioiden pinta-ala on, kun,. Tarkasti laskien: A ( ) 5 ) 5 0 5 4 0 5 (4) 0 4 0, kun 4 0 4 c) Kuvaajan perusteella A(), kun 4. Pinta-ala on vähintään, kun suorakulmion kanta on vähintään 4.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 9. a) 6 4 Määrittelyehto 40 tai 6 4 6 0 4 4) 6 0 4 0 4 0, kun 4 0 tai 6 8 Ratkaisuista vain toteuttaa määrittelyehdon,.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 b) Määrittelyehto: 0 Kirjoitetaan epäyhtälö muotoon ) 0 0 ( ) 0 0 P ( ) 0. Q ( ) Lasketaan osoittajan nollakohdat. 0 Tehdään merkkikaavio. + + + + + 0, eli, kun < tai >
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 0. a) Luvun käänteisluku on. Yhtälö: 0 0 0 ) Määrittelyehto on 0. Nollakohdat: = 0 = = ±. Tehdään merkkikaavio. 0 + + + + + + 0, eli, kun < tai 0 < <.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 b) Summa käänteisluvun kanssa:, määrittelyehto on 0 ) ) 0 0 0 ( ) 0, kun 0. a) Esimerkiksi b) Esimerkiksi f( ). f( ).. Funktion f( ) a määrittelyehto on 0. Nollakohta =, eli f() = 0. f () a a 0 a 0 a Funktio f( ) saa negatiivisia arvoja, kun Ratkaistaan nollakohdat: 0 0 tai 0. Tehdään merkkikaavio.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 0 + + + + + + Funktio f ( ) saa negatiivisia arvoja, kun < tai 0 < <.. Ratkaistaan epäyhtälö. 0 0 0 Epäyhtälön määrittelyehto 0. Lausekkeen nimittäjä > 0, kun 0, joten lausekkeen merkin tutkimiseen riittää tarkastella osoittajan + merkkiä. + > 0 > (HUOM! pariton potenssifunktio) > Huomioidaan määrittelyehto. Epäyhtälön ratkaisu on > ja 0.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 4. a) Funktion f( ) 5 määrittelyehto on 0. Funktion nollakohta: ) 5 0 5 0 5 0 4 0, kun 4 0 4. 4 Ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon. b) Funktion f( ) 0, eli ja. määrittelyehto on + 0 ja Funktion nollakohta: ) ) 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) ( )( ) (6) 0 ( )( ) 56 0, kun ( )( ) 560 6 tai. Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 c) Funktion f( ) määrittelyehto on = 0. Funktion nollakohta: 0 0 0, kun 0 tai. ) Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. 5. a) Epätosi. Esimerkiksi lauseke ei saa arvoa nolla, mutta se saa silti sekä positiivisia (esim. kun = ) että negatiivisia (esim. kun = 0) arvoja. b) Epätosi, sillä jos jollakin funktiolla f on nollakohta a, niin f(a) = 0 ja funktion kuvaajalla on -akselilla sijaitseva piste (a, 0). Kuvaaja siis koskettaa -akselia joko leikaten tai sivuten. 6. a) Summa: ) ( )( ) ( )( ), kun, ( )( ) Erotus: ) ) ( )( ) ( )( ), kun, ( )( )
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 b), kun, ( )( ) ( )( ) Ratkaisu ei täytä määrittelyehtoa, joten sellaista muuttujaa ei ole olemassa, jolla summa ja erotus olisivat yhtä suuret. 7. Merkitään: pyöräilijän keskinopeus autoilijan keskinopeus pyöräilijän matkaan käyttämä aika t Autoilijan matkaan käyttämä aika t h 40 min = t 5 (h). Aika saadaan matkan ja nopeuden osamääränä: t 60 ja t 5 60. Sijoitetaan t 60 jälkimmäiseen yhtälöön. ) ) 60 5 60 80 5 60 80 5 60 5 0 4 Pyöräilijän keskinopeus on 4 km/h ja autoilijan 4 km/h = 7 km/h.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 8. Merkitään: veneen nopeus nopeus myötävirtaan nopeus vastavirtaan ajoaika matka myötävirtaan matka vastavirtaan km/h + 6 km/h 6 km/h 0,5 h 4 km 8 km. Aika on matkan ja nopeuden osamäärä. Puolen tunnin aikana myötävirtaan vene etenee 4 km nopeudella ( + 6) km/h ja vastavirtaan 8 km nopeudella ( 6) km/h. Muodostetaan tiedoista yhtälö. 4 8 6 6 4 8 0 6 6 4( 6) 8( 6) 0 ( 6)( 6) 4( 6) 8( 6) 0 484 848 0 6) 6) Veneen nopeus on km/h. 9. a) Tosi. 4 ( ) ( ), kun. b) Tosi. 6 ( ) > 4, kun >. c) Tosi. Koska 0, on summa + kaikilla muuttujan arvoilla. Osoittaja ja nimittäjä ovat aina positiivisia, joten osamäärä on positiivinen. Koska nimittäjä + on aina yhtä suuri tai suurempi kuin osoittaja on osamäärä aina yhtä suuri tai pienempi kuin luku.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 40. a) epätosi Ei voi toteutua, koska välillä > 0 saa f() vain negatiivisia arvoja ja g() saa vain positiivisia arvoja. b) epätosi Esimerkiksi kun > 0 on f() < 0 ja g() > 0, joten erimerkkisten funktioiden osamäärä on negatiivinen. c) tosi Tosi, koska g() > 0 aina ja > 0, joten niiden osamääräkin on positiivinen. y 4. Lasketaan käyrän ja suoran y = leikkauspisteet, jotka ovat kysytyt yhteiset pisteet. Määrittelyehto on. ) 0 0 0 0, kun 0 tai Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. Ratkaistaan leikkauspisteiden y-koordinaatit yhtälöstä y =. y = y = Yhteiset pisteet ovat (, ) ja (, ).
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 4. Funktion f ( ) kuvaaja kulkee funktion g( ) kuvaajan alapuolella, kun epäyhtälö toteutuu. Epäyhtälön määrittelyehto on ja. Ratkaistaan epäyhtälö. ) ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) 0 0 4 0 Lasketaan nollakohdat: 4 0 4 0 ja
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Tehdään merkkikaavio. 4 + + + + 4 + + 4 0 eli, kun < < tai >. Funktion f kuvaaja kulkee funktion g kuvaajan yläpuolella, kun < < ja >. Piirretään kuva. Kuvan perusteella tulos on oikea. 4. Muodostetaan ehdoista epäyhtälö. Epäyhtälön määrittelyehto on 0, ja.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 ( )( )) ( )) ( )) 0 ( )( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) Lasketaan osoittajan nollakohdat. + = 0 = tai = Tehdään merkkikaavio. 0 + + + + + + + + + + + + + + + + ( )( ) + + + 0, kun <, tai 0. ( )( ) Luvun käänteisluku voi olla suurempi tai yhtä suuri kuin lukujen + ja + käänteislukujen summa.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 44. a) Lauseke a saa arvon nolla, kun osoittaja saa arvon nolla. a Kun = 6 on oltava 6 6a 0 6a 6 a 6. On mahdollista, a = 6. b) Lauseke 8 ei ole määritelty kohdassa = 4 kun se on a nimittäjän nollakohta. 4 + 4a = 0 4a = 4 a = 4 7 4 On mahdollista, a = 7. c) Ei ole mahdollista. Lausekkeen a nimittäjä + on aina positiivinen. Osoittaja vaihtaa aina merkkiään kohdassa = a, olipa a mikä luku tahansa, joten osoittaja saa myös negatiivisia arvoja.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 45. a) Merkitään f ( ), kun 0 Kuvaajalla olevan kärjen koordinaatit ovat (, f()). Suorakulmion kannan pituus on ja korkeus on f(). A ( ) f( ), eli pinta-ala on aina. b) Suorakulmion pinta-alan ja piirin suhde: Piiri on, joten suhde on. On osoitettava, että. 0 ( ) 0 ( ) ) 0 0 Nimittäjä on aina positiivinen. Osoittajan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia, joten se saa vain negatiivisia arvoja. Siten epäyhtälö on aina tosi ja suhde on pienempi kuin.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 46. a) f ( ) f ( a) f( a) f( a) f ( a) 0 a) a f( a) f( a) a a a a ( a) a a a ( a)( a) ( a) a ( a)( a) a aa a ( a)( a) ( a)( a) Erotus on positiivinen, kun a > 0, joten f(a + ) > f(a). b) Kun < a <, nimittäjän tekijät ovat erimerkkiset (a + 0 ja a + 0), joten niiden tulo(a + )(a + ) ja samalla koko osamäärä on negatiivinen. Epäyhtälö on epätosi. ( a)( a) Kun a <,nimittäjän tekijät ovat negatiivisia (a + < 0 ja a + < 0) ja niiden tulo ja samalla koko osamäärä on positiivinen. Epäyhtälö on tosi. 47. a) Erotus y 0, kun < < y, joten. y y y ( ) b) Erotus y y. y ( )( y) ( )( y) Koska < y, niin osoittaja y < 0. Koska < < y, < 0 ja y < 0, joten nimittäjä ( )( y) > 0. Erotus on negatiivinen, joten y.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 c) Erotus y ( y)( y ) y y y y y y( y) y y y y y 0. y( y) y( y) Erotus on positiivinen, joten. y y n 5 n 5 5 48. a) an. Koska n on positiivinen kokonaisluku, n n n n on 5 n > 0 ja siten a n >. b) Jos n = 0, niin + 5 0 = 5. Koska positiivisen luvun n kasvaessa lauseke 5 n pienenee, niin luvuilla n > 0 lauseke + 5 on pienempi n c) kuin 5.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 49. a) Lukujonon, 5, 7, 4,...termien osoittajat ovat peräkkäiset 9 kokonaisluvut ja nimittäjät peräkkäiset parittomat kokonaisluvut. Yleinen termi on an n, n,,,... n b) an n Kun n >, osamäärä on aina positiivinen. n ( n a n n Kun n >, > 0, joten nimittäjä on aina n n n suurempi kuin kaksi, joten osamäärä on aina pienempi kuin. Tällöin 0 n. n Kuvan perusteella tulos vaikuttaa olevan oikea. c) a n a n n n n n ( n) n n n ( n)(n) n(n) (n)(n) n nnn n (n)(n) (n)(n ) Erotus on positiivinen, kun n > 0. Koska erotus on positiivinen, a n + > a n, eli lukujono on kasvava.