Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310
Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja. Toisin sanottuna R n = { (v 1, v 2,..., v n ) v 1, v 2,..., v n R }. Avaruuden R n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Jos u 1, u 2,..., u n R, niin ū = (u 1, u 2,..., u n ) on avaruuden R n vektori ja sanotaan, että u 1, u 2,..., u n ovat vektorin ū komponentit. LM2, Kesä 2012 2/310
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden yhteenlasku ja skalaarikertolasku Määritelmä Oletetaan, että v = (v 1,..., v n ) R n, w = (w 1,..., w n ) R n ja c R. Vektoreiden v ja w summa on vektori v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ). Skalaarikertolasku tarkoittaa vektorin kertomista reaaliluvulla. On sovittu, että c v = (cv 1, cv 2,..., cv n ). LM2, Kesä 2012 3/310
Kertausta: yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. LM2, Kesä 2012 4/310
Kertausta: yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Alla esiintyvä vektori 0 = (0, 0,..., 0) on nimeltään nollavektori. Lause 1 Oletetaan, että v, w, ū R n ja a, c R. Tällöin (a) v + w = w + v (b) (ū + v) + w = ū + ( v + w) (c) v + 0 = v (d) v + ( v) = 0 (e) c( v + w) = c v + c w (f) (a + c) v = a v + c v (g) a(c v) = (ac) v (h) 1 v = v (vaihdannaisuus) (osittelulaki) (osittelulaki) (liitännäisyys) LM2, Kesä 2012 5/310
Vektoriavaruus Ottamalla lähtökohdaksi avaruuden R n vektorien yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuudet, voidaan määritellä abstraktimpi ja yleisempi vektoriavaruuden käsite. LM2, Kesä 2012 6/310
Vektoriavaruus Määritelmä (eli sopimus) Oletetaan, että joukossa V on määritelty jonkinlainen yhteenlasku ja skalaarikertolasku. Jos seuraavat ehdot pätevät kaikilla v, w, ū V ja a, b R, niin joukkoa V kutsutaan vektoriavaruudeksi ja sen alkioita vektoreiksi. (1) v + w = w + v (vaihdannaisuus). (2) (ū + v) + w = ū + ( v + w) (liitännäisyys). (3) On olemassa ns. nollavektori 0 V, jolle pätee v + 0 = v. (4) Jokaista vektoria v V kohti on olemassa ns. vastavektori v V, jolle pätee v + ( v) = 0. LM2, Kesä 2012 7/310
(5) a( v + w) = a w + a v (osittelulaki). (6) (a + b) v = a v + b v (osittelulaki). (7) (ab) v = a(b v). (8) 1 v = v. Huom. Ehdossa (6) yhtälön vasemmalla puolella on skalaarien a R ja b R summa a + b; kyseessä on siis tavallinen reaalilukujen yhteenlasku. Yhtälön oikealla puolella on vektoreiden a v V ja b v V summa a v + b v; kyseessä on siis joukossa V määritelty vektorien välinen yhteenlasku. Ehdossa (7) yhtälön vasemmalla puolella sulkujen sisällä on skalaarien a R ja b R tulo ab; kyseessä on siis tavallinen reaalilukujen kertolasku. Yhtälön oikealla puolella on vektorin b v V ja skalaarin a R skalaaritulo a(b v); siinä kaikki tulot ovat skalaarituloja. LM2, Kesä 2012 8/310
Huom. Skalaari tarkoittaa tällä kurssilla reaalilukua, sillä tällä kurssilla käsitellään reaalikertoimisia vektoriavaruuksia. Kompleksikertoimisilla vektoriavaruuksilla skalaarit ovat kompleksilukuja. Periaatteessa skalaarit voivat olla minkä tahansa ns. kunnan alkioita. Vektoriavaruuden V nollavektoria voidaan merkitä myös 0 V. Sen ei tarvitse ulkonäöltään muistuttaa avaruuden R n nollavektoria ollenkaan. LM2, Kesä 2012 9/310
Esimerkkejä vektoriavaruuksista Voidaan osoittaa, että seuraavat joukot mainituilla yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla varustettuina ovat vektoriavaruuksia: Joukko R n varustettuna tavallisella yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla: v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ) c v = (cv 1, cv 2,..., cv n ). Joukko R varustettuna tavallisella reaalilukujen yhteenlaskulla ja kertolaskulla. Kaikkien m n -matriisien joukko M m n varustettuna matriisien tavallisella yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla. LM2, Kesä 2012 10/310
Esimerkkejä vektoriavaruuksista Kaikkien kuvausten R R joukko F, jossa yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään ns. pisteittäin: Oletetaan, että f, g F ja a R. Kuvausten f : R R ja g : R R summa on kuvaus f + g : R R, jolla x f (x) + g(x). Kuvaus f : R R kerrottuna skalaarilla a on kuvaus af : R R, jolla x af (x). LM2, Kesä 2012 11/310
Esimerkki 2 Kuvausten yhteenlasku Tarkastellaan kuvauksia f : R R, x sin x, ja g : R R, x 0,5x + 1. Niiden summa on kuvaus f + g : R R, jolla x sin x + 0,5x + 1. (x, f(x) + g(x)) (x, g(x)) (x, f(x)) g f + g (x,0) f LM2, Kesä 2012 12/310
Esimerkki 3 Kuvauksen kertominen skalaarilla Tarkastellaan kuvausta f : R R, x sin x. Kuvaus f kerrottuna skalaarilla 2 on kuvaus 2f : R R, jolla x 2 sin x. (x, f(x)) 2f (x,0) f (x, 2f(x)) LM2, Kesä 2012 13/310
Esimerkki 4 Osoitetaan, että kaikkien kuvausten R R joukko F, jossa yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään pisteittäin, on vektoriavaruus. Oletetaan, että f, g, h F ja a, b R. Tällöin f, g ja h ovat kuvauksia eli funktioita R R. Yhteenlasku ja skalaarikertolasku on määritelty niin, että f + g F ja af F. Käydään läpi vektoriavaruuden määritelmän ehdot: LM2, Kesä 2012 14/310
(1) Osoitetaan, että f + g = g + f. Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan (f + g)(x) = f (x) + g(x) ja (g + f )(x) = g(x) + f (x). Kuvausten f ja g arvot f (x) ja g(x) ovat reaalilukuja, joten f (x) + g(x) = g(x) + f (x). Näin ollen (f + g)(x) = (g + f )(x). Kuvauksilla f + g : R R ja g + f : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. f + g = g + f. LM2, Kesä 2012 15/310
(2) Osoitetaan, että (f + g) + h = f + (g + h). Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan ( (f + g) + h ) (x) = (f + g)(x) + h(x) = ( f (x) + g(x) ) + h(x) ja ( f + (g + h) ) (x) = f (x) + (g + h)(x) = f (x) + ( g(x) + h(x) ). Kuvausten f, g ja h arvot f (x), g(x) ja h(x) ovat reaalilukuja, joten ( f (x) + g(x) ) + h(x) = f (x) + ( g(x) + h(x) ). Näin ollen ( (f + g) + h ) (x) = ( f + (g + h) ) (x). Kuvauksilla (f + g) + h : R R ja f + (g + h): R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. (f + g) + h = f + (g + h). LM2, Kesä 2012 16/310
(3) Osoitetaan, että nollavektoriksi kelpaa kuvaus f 0 : R R, jolla f 0 (x) = 0 kaikilla x R (eli x 0 kaikilla x R). Osoitetaan siis, että g + f 0 = g. Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan (g + f 0 )(x) = g(x) + f 0 (x) = g(x) + 0 = g(x). Kuvauksilla g + f 0 : R R ja g : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. g + f 0 = g. LM2, Kesä 2012 17/310
(4) Osoitetaan, että kuvauksen h vastavektoriksi kelpaa kuvaus h : R R, jolla x h(x) kaikilla x R. Osoitetaan siis, että h + ( h) = f 0. Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan (h + ( h))(x) = h(x) + ( h)(x) = h(x) + ( h(x)) = 0 = f 0 (x). Kuvauksilla h + ( h): R R ja f 0 : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. h + ( h) = f 0. LM2, Kesä 2012 18/310
(5) Osoitetaan, että a(f + g) = af + ag. Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun ja yhteenlaskun määritelmän mukaan ( a(f + g) ) (x) = a ( (f + g)(x) ) = a ( f (x) + g(x) ) ja (af + ag)(x) = (af )(x) + (ag)(x) = af (x) + ag(x). Kuvausten f ja g arvot f (x) ja g(x) ovat reaalilukuja, joten a ( f (x) + g(x) ) = af (x) + ag(x). Näin ollen ( a(f + g) ) (x) = (af + ag)(x). Kuvauksilla a(f + g): R R ja af + ag : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. a(f + g) = af + ag. LM2, Kesä 2012 19/310
(6) Osoitetaan, että (a + b)f = af + bf. Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun ja yhteenlaskun määritelmän mukaan ( (a + b)f ) (x) = (a + b)f (x) ja (af + bf )(x) = (af )(x) + (bf )(x) = af (x) + bf (x). Kuvauksen f arvo f (x) on reaaliluku, joten (a + b)f (x) = af (x) + bf (x). Näin ollen ( (a + b)f ) (x) = (af + bf )(x). Kuvauksilla (a + b)f : R R ja af + bf : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. (a + b)f = af + bf. LM2, Kesä 2012 20/310
(7) Osoitetaan, että (ab)f = a(bf ). Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun määritelmän mukaan ( (ab)f ) (x) = (ab)f (x) ja ( a(bf ) ) (x) = a ( (bf )(x) ) = a ( bf (x) ). Kuvauksen f arvo f (x) on reaaliluku, joten (ab)f (x) = a ( bf (x) ). Näin ollen ( (ab)f ) (x) = ( a(bf ) ) (x). Kuvauksilla (ab)f : R R ja a(bf ): R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. (ab)f = a(bf ). LM2, Kesä 2012 21/310
(8) Osoitetaan, että 1f = f. Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun määritelmän mukaan (1f )(x) = 1 f (x) = f (x). Kuvauksilla 1f : R R ja f : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. 1f = f. LM2, Kesä 2012 22/310
Esimerkkejä vektoriavaruuksista Kaikkien reaalikertoimisten polynomien joukko P, jossa yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään seuraavasti: yhteenlaskussa samanasteisten termien kertoimet lasketaan yhteen; esimerkiksi polynomien p = 3x 2 4x + 7 ja q = 2x 3 + 5x 2 + 4x summa on polynomi p + q = 2x 3 + (3 + 5)x 2 + ( 4 + 4)x + 7 = 2x 3 + 8x 2 + 7. skalaarikertolaskussa jokaisen termin kerroin kerrotaan erikseen; esimerkiksi polynomi p = 3x 2 4x + 7 kerrottuna skalaarilla 2 on 2p = 6x 2 + 8x 14. LM2, Kesä 2012 23/310
Vektoriavaruus Huom. Vektoriavaruuden määritelmässä vaaditaan, että yhteenlasku ja skalaarikertolasku on määritelty joukossa V. Tämä tarkoittaa, että jos v, w V ja a R, niin on oltava v + w V ja a v V. Esimerkki 5 Kokonaislukujen joukko Z varustettuna tavallisella yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla (reaaliluvulla kertominen) ei ole vektoriavaruus. Tämä johtuu siitä, että esimerkiksi 0,5 R ja 3 Z, mutta 0,5 3 = 1,5 Z. Skalaarikertolaskun tulos ei siis välttämättä ole joukossa Z. LM2, Kesä 2012 24/310
Esimerkki 6 Määritellään joukossa R 2 skalaarikertolasku seuraavasti: jos (v 1, v 2 ) R 2 ja a R, niin a (v 1, v 2 ) = (av 1, 0). Osoitetaan, että joukko R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla + ja skalaarikertolaskulla ei ole vektoriavaruus. Havaitaan, että esimerkiksi Näin ollen 1 (5, 9) = (5, 0). 1 (5, 9) (5, 9), joten vektoriavaruuden määritelmän ehto (8) ei täyty. LM2, Kesä 2012 25/310
Vektoriavaruuksien ominaisuuksia Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. Lause 7 Oletetaan, että V on vektoriavaruus. Tällöin (a) nollavektoriksi sopivia vektoreita on täsmälleen yksi; ts. nollavektori 0 v on yksikäsitteinen. (b) jokaisella vektorilla v V on täsmälleen yksi vastavektori. LM2, Kesä 2012 26/310
Lauseen 7 todistus. (a) Oletetaan, että 0, 0 V ja sekä v + 0 = v että v + 0 = v kaikilla v V. Tällöin 0 = 0 + 0 = 0 + 0 = 0. Tässä käytettiin järjestyksessä seuraavia tietoja: v + 0 = v kaikilla v V, yhteenlaskun vaihdannaisuus, v + 0 = v kaikilla v V. LM2, Kesä 2012 27/310
Lauseen 7 todistus. (b) Oletetaan, että v V. Oletetaan lisäksi, että ū, w V ovat kumpikin vektorin v vastavektori eli v + ū = 0 ja v + w = 0. Tällöin ū = ū + 0 = ū + ( v + w) = (ū + v) + w = ( v + ū) + w = 0 + w = w. Tässä käytettiin järjestyksessä seuraavia tietoja: nollavektorin olemassaolo, v + w = 0, yhteenlaskun liitännäisyys ja vaihdannaisuus, v + ū = 0, nollavektorin olemassaolo. LM2, Kesä 2012 28/310
Vektoriavaruuksien ominaisuuksia Lause 8 Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v V, a R. Tällöin (a) 0 v = 0 (b) a 0 = 0 (c) ( 1) v = v (d) jos a v = 0, niin a = 0 tai v = 0 (tulon nollasääntö). LM2, Kesä 2012 29/310
Lauseen 8 todistus. (b) Oletetaan, että a R. Tällöin a 0 = a( 0 + 0) = a 0 + a 0. Lisäämällä tämän yhtälön molemmille puolille vektori (a 0) saadaan 0 = a 0. Perustellussa tarvittiin vektoriavaruuden määritelmän ehtoja (2), (3), (4) ja (6). LM2, Kesä 2012 30/310
Lauseen 8 todistus. (d) Oletetaan, että a v = 0. Jos a = 0, niin väite pätee. Oletetaan, että a 0. Tällöin on olemassa käänteisluku 1/a ja v = 1 v = ( 1 a a ) v = 1 a (a v) = 1 a 0 = 0. Tässä käytettiin vektoriavaruuden määritelmän ehtoja (8) ja (7) sekä oletusta ja b-kohdan tulosta. LM2, Kesä 2012 31/310
Vektoreiden erotus ja lineaarikombinaatio Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v, w V. Vektoreiden v ja w erotus v w tarkoittaa summaa v + ( w). Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1, v 2,..., v k V. Vektoreiden v 1, v 2,..., v k lineaarikombinaatio tarkoittaa summaa a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a k v k, missä kertoimet a 1, a 2,..., a k R. LM2, Kesä 2012 32/310
Aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus. Sen osajoukko W on aliavaruus, jos seuraavat ehdot pätevät kaikilla ū, w W ja a R: (a) ū + w W (b) a w W (c) 0 V W. (W on suljettu yhteenlaskun suhteen). (W on suljettu skalaarikertolaskun suhteen). LM2, Kesä 2012 33/310
Aliavaruus Esimerkki 9 Tarkastellaan n n -matriisien muodostamaa vektoriavaruutta M n n. Olkoon W symmetristen n n -matriisien joukko; ts. W = { C M n n C T = C }. Osoitetaan, että W on vektoriavaruuden M n n aliavaruus. Ensinnäkin W on määritelmänsä mukaan joukon M n n osajoukko. Oletetaan, että A, B W ja c R. Tällöin A T = A ja B T = B. LM2, Kesä 2012 34/310
Käytetään transpoosin laskusääntöjä: (a) Tutkitaan summaa A + B: (A + B) T = A T + B T = A + B, joten A + B W. (b) Tutkitaan skalaarimonikertaa ca: (ca) T = ca T = ca, joten ca W. (c) Nollavektori on n n -nollamatriisi O: O T = O, joten O W. LM2, Kesä 2012 35/310
Aliavaruus Esimerkki 10 Tarkastellaan enintään kolmatta astetta olevien polynomien muodostamaa vektoriavaruutta Merkitään P 3 = { a + bx + cx 2 + dx 3 a, b, c, d R }. W = { a + bx bx 2 + ax 3 a, b R }. Osoitetaan, että W on vektoriavaruuden P 3 aliavaruus. Ensinnäkin W on määritelmänsä mukaan joukon P 3 osajoukko. LM2, Kesä 2012 36/310
Oletetaan, että p, q W ja r R. Tällöin voidaan merkitä p = a + bx bx 2 + ax 3 ja q = c + dx dx 2 + cx 3, missä a, b, c, d R. (a) Lasketaan summa p + q: p + q = = (a + c) + (b + d)x (b + d)x 2 + (a + c)x 3. Siten p + q W, sillä se on oikeaa muotoa. (b) Lasketaan skalaarimonikerta rp: rp = = ra + rbx rbx 2 + rax 3. Siten rp W, sillä se on oikeaa muotoa. (c) Nollavektori on nollapolynomi 0: 0 = 0 + 0x + 0x 2 + 0x 3. Siten 0 W, sillä se on oikeaa muotoa. LM2, Kesä 2012 37/310
Esimerkki 11 Merkitään W = { [ ] } a a + 1 0 b a, b R. Onko W vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus? Havaitaan, että nollavektori eli nollamatriisi [ ] 0 0 O = W, 0 0 joten aliavaruuden määritelmän ehto (c) ei täyty. Siis W ei ole vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä 2012 38/310
Esimerkki 12 Merkitään W = { A M 2 2 det(a) = 0 }. Onko W vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus? Valitaan esimerkiksi A = [ ] 1 0 0 0 ja B = [ ] 0 0. 0 2 Tällöin det(a) = 0 ja det(b) = 0, joten A, B W. Kuitenkin A + B = [ ] 1 0 0 2 ja siten det(a + B) = 2 0. Näin A + B W. Siis W ei ole vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä 2012 39/310
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1,..., v k V. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1,..., v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden joukkoa; ts. span( v 1,..., v k ) = { a 1 v 1 + + a k v k a 1,..., a k R }. Lause 13 Jos v 1,..., v k V, niin span( v 1,..., v k ) on vektoriavaruuden V aliavaruus. Lisäksi span( v 1,..., v k ) on pienin aliavaruus, joka sisältää vektorit v 1,..., v k. LM2, Kesä 2012 40/310
Lauseen 13 todistus. Oletetaan, että ū, w span( v 1,..., v k ) ja c R. Tällöin ū = a 1 v 1 + + a k v k ja w = b 1 v 1 + + b k v k joillakin a 1,..., a k, b 1,..., b k R. (a) Lasketaan summa ū + w: ū + w = = (a 1 + b 1 ) v 1 + + (a k + b k ) v k, joten ū + w span( v 1,..., v k ). LM2, Kesä 2012 41/310
(b) Lasketaan skalaarimonikerta cū: joten cū span( v 1,..., v k ). cū = = ca 1 v 1 + + ca k v k, (c) Nollavektori voidaan lauseen 8 a-kohdan nojalla kirjoittaa muodossa 0 = 0 v 1 + + 0 v k, joten 0 span( v 1,..., v k ). Siis span( v 1,..., v k ) on vektoriavaruuden V aliavaruus. LM2, Kesä 2012 42/310
Vektorit v 1,..., v k kuuluvat aliavaruuteen V, sillä v 1 = 1 v 1 + 0 v 2 + + 0 v k v 2 = 0 v 1 + 1 v 2 + + 0 v k. v k = 0 v 1 + 0 v 2 + + 1 v k LM2, Kesä 2012 43/310
Osoitetaan, että span( v 1,..., v k ) on pienin aliavaruus, joka sisältää vektorit v 1,..., v k. Oletetaan, että W on vektoriavaruuden V jokin sellainen aliavaruus, että v 1,..., v k W. Koska W on aliavaruus, se sisältää kaikkien vektoriensa summat ja skalaarimonikerrat. Siis a 1 v 1 + + a k v k W kaikilla a 1,..., a k R. Näin ollen span( v 1,..., v k ) W. LM2, Kesä 2012 44/310
Vektoreiden virittämä aliavaruus Esimerkki 14 Osoitetaan, että joukko W = { (r, s, r) r, s R } on vektoriavaruuden R 3 aliavaruus. Havaitaan, että W = { (r, s, r) r, s R } = { r(1, 0, 1) + s(0, 1, 0) r, s R } = span ( (1, 0, 1), (0, 1, 0) ). Siis W on vektoreiden (1, 0, 1) ja (0, 1, 0) virittämä vektoriavaruuden R 3 aliavaruus. LM2, Kesä 2012 45/310
Vektoreiden virittämä aliavaruus Esimerkki 15 Merkitään W = { [ ] } a b a, b, c R. 0 c Osoitetaan, että W on 2 2 -matriisien muodostaman vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä 2012 46/310
Havaitaan, että W = = { [ ] } a b a, b, c R 0 c { a [ ] 1 0 + b 0 0 ([ ] 1 0 = span, 0 0 [ ] 0 1 + c 0 0 [ ] 0 1, 0 0 [ ] } 0 0 a, b, c R 0 1 [ ]) 0 0. 0 1 Siis W on vektoreiden (matriisien) [ ] 1 0, 0 0 [ ] 0 1 0 0 ja [ ] 0 0 0 1 virittämä vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä 2012 47/310
Esimerkki 16 Merkitään Vektoreiden virittämä aliavaruus A = [ ] 1 1, B = 1 0 Määritetään span(a, B, I). [ ] 0 1 1 0 ja I = [ ] 1 0. 0 1 Jokainen vektoreiden (matriisien) A, B ja I lineaarikombinaatio on muotoa [ ] x + z x + y xa + yb + zi = =, x + y z missä x, y, z R. Havaitaan, että tällainen lineaarikombinaatio on symmetrinen matriisi. Siten span(a, B, I) { C M 2 2 C T = C }. LM2, Kesä 2012 48/310
Osoitetaan, että jokainen symmetrinen matriisi voidaan kirjoittaa vektoreiden A, B ja I lineaarikombinaationa: Oletetaan, että C on symmetrinen matriisi. Tällöin [ ] d e C =, e f missä d, e, f R. Ratkaisemalla yhtälö xa + yb + zi = C eli yhtälöä [ ] [ ] x + z x + y d e = x + y z e f vastaava yhtälöryhmä havaitaan, että ratkaisu on aina olemassa (x = d f, y = e d + f ja z = f ). Siis jokainen symmetrinen matriisi on vektoreiden A, B ja I lineaarikombinaatio. Näin span(a, B, I) = { C M 2 2 C T = C }. LM2, Kesä 2012 49/310
Aliavaruus Jokainen aliavaruus on itsekin pieni vektoriavaruus: Lause 17 Oletetaan, että V on vektoriavaruus, jolla on aliavaruus W. Tällöin myös aliavaruus W on vektoriavaruus. Todistus. Vektoriavaruuden yhteenlaskua ja skalaarikertolaskua koskevat ehdot (1) (2) ja (5) (8) pysyvät voimassa, vaikka rajoitutaan tarkastelemaan alkuperäisen vektoriavaruuden V osajoukkoa W. Ehdot (3) ja (4) seuraavat aliavaruuden määritelmän ehdoista (c) ja (b), sillä v = ( 1) v. Aliavaruuden määritelmän ehdot (a) ja (b) takaavat, että yhteenlasku ja skalaarikertolasku ovat joukon W laskutoimituksia. LM2, Kesä 2012 50/310
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Tässä X on kuvauksen f lähtö (eli määrittelyjoukko) ja Y on kuvauksen f maali. LM2, Kesä 2012 51/310
Oletetaan, että x X. Sitä yksikäsitteistä joukon Y alkiota, jonka kuvaus f liittää alkioon x, merkitään f (x) ja kutsutaan alkion x kuva-alkioksi. X f Y x f(x) LM2, Kesä 2012 52/310
Määritelmä Lineaarikuvaus Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Kuvaus L: V W on lineaarikuvaus, jos seuraavat ehdot pätevät kaikilla ū, v V ja c R: (a) L(ū + v) = L(ū) + L( v) (b) L(c v) = cl( v). Jos kuvaus L on lineaarikuvaus, voidaan myös sanoa, että L on lineaarinen. V L W ū v c v ū + v L(ū) L( v) L(c v) = cl( v) L(ū + v) = L(ū) + L( v) LM2, Kesä 2012 53/310
Esimerkki 18 Tarkastellaan kuvausta f : R R, f (x) = 3x. Osoitetaan, että f on lineaarikuvaus. Lineaarikuvaus f(u + v) = f(u) + f(v) f(v) Oletetaan, että u, v R ja c R. Tällöin f(u) f (u + v) = 3(u + v) = 3u + 3v 2u u v u + v = f (u) + f (v) ja f (cv) = 3(cv) = c(3v) = cf (v). f( 2u) = 2f(u) LM2, Kesä 2012 54/310
Esimerkki 19 Kuvaus, joka ei ole lineaarinen Tarkastellaan kuvausta g : R R, g(x) = x 3 2x + 1. Osoitetaan, että g ei ole lineaarikuvaus. Valitaan esimerkiksi u = 1 ja v = 2. Tällöin f (u + v) = f (1) = 0 mutta f (u) + f (v) = f ( 1) + f (2) = 2 + 5 = 7. Siis f ( 1 + 2) f ( 1) + f (2), joten f ei ole lineaarikuvaus. LM2, Kesä 2012 55/310
Lineaarikuvaus Esimerkki 20 Merkitään enintään ensimmäistä astetta olevien polynomien joukkoa P 1 = { a 1 x + a 0 a 1, a 0 R }. Osoitetaan, että kuvaus L: R 2 P 1, jolle L(a, b) = ax + b, on lineaarikuvaus. Oletetaan, että (a, b), (c, d) R 2 ja r R. Tällöin L((a, b) + (c, d)) = L(a + c, b + d) = (a + c)x + (b + d) = ax + b + cx + d = L(a, b) + L(c, d) ja L(r(a, b)) = L(ra, rb) = rax + rb = r(ax + b) = rl(a, b). LM2, Kesä 2012 56/310
Matriisi määrää lineaarikuvauksen Lause 21 Oletetaan, että A on m n -matriisi. Matriisin A määräämä kuvaus L A : R n R m, L A ( v) = A v on lineaarikuvaus. (Tässä avaruuden R n alkiot tulkitaan sarakevektoreiksi eli n 1-matriiseiksi.) Todistus. Oletetaan, että v, w R n ja c R. Nyt matriisien laskutoimitusten ominaisuuksien perusteella L A ( v + w) = A( v + w) = A v + A w = L A ( v) + L A ( w) ja L A (c v) = A(c v) = ca v = cl A ( v). Siten L A on lineaarinen. LM2, Kesä 2012 57/310
Esimerkki 22 Matriisi määrää lineaarikuvauksen Tarkastellaan kuvausta L: R 2 R 2, joka peilaa jokaisen pisteen vaaka-akselin suhteen: (1,2) (x 1, x 2 ) (1, 2) (x 1, x 2 ) Jos (x 1, x 2 ) R 2, niin L(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ). LM2, Kesä 2012 58/310
Tulkitsemalla avaruuden R 2 alkiot 2 1 -matriiseina saadaan [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x1 x1 1 0 1 0 x1 L = = x x 2 x 1 + x 2 0 2 = 1 0 1 x 2 Siis kuvaus L on matriisin A = [ ] 1 0 0 1 määräämä kuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Näin ollen L on lineaarinen lauseen 21 nojalla. LM2, Kesä 2012 59/310
L L(1, 2) = (1,2) (x 1, x 2 ) L(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ) (1, 2) LM2, Kesä 2012 60/310
Esimerkki 23 Matriisi määrää lineaarikuvauksen Tutkitaan, millaisen lineaarikuvauksen antavat matriisit [ ] [ ] [ ] 2 0 1 0 0 1 A =, B = ja C =. 0 1 0 1 1 0 Matriisista A saadaan kuvaus L A : R 2 R 2, L A ( v) = A v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi (2x 1, x 2 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 2 0 x1 2x1 = = 0 1 x 2 x 2 Tästä nähdään, että kuvaus L A venyttää vektoreita vaaka-akselin suunnassa. LM2, Kesä 2012 61/310
L A LM2, Kesä 2012 62/310
Matriisista B saadaan kuvaus L B : R 2 R 2, L B ( v) = B v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi ( x 1, x 2 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 = = 0 1 x 2 x 2 Tästä nähdään, että kuvaus L B peilaa vektorit pystyakselin suhteen. L B LM2, Kesä 2012 63/310
Matriisista C saadaan kuvaus L C : R 2 R 2, L C ( v) = C v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi ( x 2, x 1 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 0 1 x1 x2 = = 1 0 x 2 x 1 Kuvaus L C kiertää vektoreita origon ympäri 90 vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan. L C LM2, Kesä 2012 64/310
Voidaan osoittaa, että matriisin [ ] cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ määräämä lineaarikuvaus kiertää vektoreita origon ympäri kulman ϕ verran (positiiviseen kiertosuuntaan, jos ϕ > 0, ja negatiiviseen kiertosuuntaan, jos ϕ < 0). Matriiisi C = [ ] 0 1 1 0 on tällainen kiertomatriisi, jossa kulma ϕ = 90. LM2, Kesä 2012 65/310
Lause 24 Lineaarikuvauksen ominaisuuksia Oletetaan, että L: V W on lineaarikuvaus. Tällöin L( 0 V ) = 0 W. Todistus. Kuvauksen L lineaarisuuden nojalla L( 0 V ) = L( 0 V + 0 V ) = L( 0 V ) + L( 0 V ). Lisätään tämän yhtälön molemmille puolille avaruuden W vektori L( 0 V ), jolloin saadaan L( 0 V ) L( 0 V ) = L( 0 V ) + L( 0 V ) L( 0 V ). Näin ollen 0 W = L( 0 V ). LM2, Kesä 2012 66/310
Määritelmä Yhdistetty kuvaus Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f tarkoittaa kuvausta X Z, jolla (g f )(x) = g(f (x)) eli x g(f (x)). X f Y g Z y g(y) x f(x) g(f(x)) g f LM2, Kesä 2012 67/310
Lineaarikuvausten ominaisuuksia Lause 25 Oletetaan, että L: U V ja T : V W ovat lineaarikuvauksia. Tällöin yhdistetty kuvaus T L: U W on lineaarinen. Todistus. Oletetaan, että ū 1, ū 2 U ja a R. Tarkistetaan lineaarikuvauksen määritelmän ehdot: (a) Yhdistetyn kuvauksen määritelmän, kuvauksen L lineaarisuuden ja kuvauksen T lineaarisuuden avulla saadaan (T L)(ū 1 + ū 2 ) = T (L(ū 1 + ū 2 )) = T (L(ū 1 ) + L(ū 2 )) = T (L(ū 1 )) + T (L(ū 2 )) = (T L)(ū 1 ) + (T L)(ū 2 ) LM2, Kesä 2012 68/310
(b) Yhdistetyn kuvauksen määritelmän, kuvauksen L lineaarisuuden ja kuvauksen T lineaarisuuden avulla saadaan (T L)(aū 1 ) = T (L(aū 1 )) = T (al(ū 1 )) = at (L(ū 1 ))) = a(t L)(ū 1 ) LM2, Kesä 2012 69/310
Matriisien määräämien lineaarikuvausten yhdistäminen Matriisien määräämillä lineaarikuvauksilla kuvausten yhdistäminen vastaa matriisien kertomista keskenään: Lause 26 Oletetaan, että A on m n -matriisi ja B on n p -matriisi. Tällöin L A L B = L AB eli tulomatriisin AB määräämä kuvaus L AB : R p R m on sama kuvaus kuin yhdistetty kuvaus L A L B : R p R m. LM2, Kesä 2012 70/310
Lauseen 26 todistus. Oletetaan, että v R p. Tällöin matriisien laskusääntöjen mukaan L AB ( v) = (AB) v = A(B v) = L A (B v) = L A (L B ( v)) = (L A L B )( v). Siis L AB : R p R m ja L A L B : R p R m ovat sama kuvaus. LM2, Kesä 2012 71/310
Määritelmä Osajoukon kuva Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja ja f : X Y on kuvaus. Osajoukon A X kuva kuvauksessa f on joukko Huom. f [A] = { y Y y = f (a) jollakin a A }. Kuva voidaan kirjoittaa lyhyesti myös muodossa X f Y fa = { f (a) a A }. Joukko on itsensä osajoukko: X X. A f A LM2, Kesä 2012 72/310
Aliavaruuden kuva Esimerkki 27 Tarkastellaan esimerkin 22 lineaarikuvausta L: R 2 R 2, joka peilaa jokaisen pisteen vaaka-akselin suhteen: (1,2) (x 1, x 2 ) (1, 2) (x 1, x 2 ) LM2, Kesä 2012 73/310
Osoitettiin, että kuvaus L on matriisin [ ] 1 0 A = 0 1 määräämä lineaarikuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Olkoon w = (3, 1) ja W = span( w). Tällöin W on vektorin w virittämä aliavaruus; tarkemmin sanottuna origon kautta kulkeva suora: W = span( w) LM2, Kesä 2012 74/310
Aliavaruuden W kuva on L[W ] = { ū R 2 ū = L( v) jollakin v W } = { ū R 2 ū = L( v) jollakin v span( w) } = { ū R 2 ū = L(t w) jollakin t R } = { L(t w) t R } = { tl( w) t R } = { t(3, 1) t R } = span ( (3, 1) ) L[W] = span ( (3, 1) ) LM2, Kesä 2012 75/310
L W = span ( (3,1) ) L[W] = span ( (3, 1) ) LM2, Kesä 2012 76/310
Lineaarikuvauksen ominaisuuksia Lineaarikuvauksesssa aliavaruudet kuvautuvat aliavaruuksiksi. Lause 28 Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Jos W on avaruuden V aliavaruus, niin kuva L[W ] on avaruuden V aliavaruus. LM2, Kesä 2012 77/310
Lauseen 28 todistus. Oletetaan, että W on avaruuden V aliavaruus. Osoitetaan, että kuva L[W ] on avaruuden V aliavaruus. Oletetaan, että u, w L[W ] ja a R. Tällöin on olemassa sellaiset u, w W, että L(u) = u ja L(w) = w. (a) Tutkitaan summaa u + w käyttäen hyväksi kuvauksen L lineaarisuutta: u + w = L(u) + L(w) = L(u + w), missä u + w W, koska W on aliavaruus ja u, w W. Siis u + w L[W ]. LM2, Kesä 2012 78/310
(b) Tutkitaan skalaarimonikertaa au käyttäen hyväksi kuvauksen L lineaarisuutta: au = al(u) = L(au), missä au W, koska W on aliavaruus ja u W. Siis au L[W ]. (c) Koska W on aliavaruus, niin 0 V W. Koska L on lineaarikuvaus, niin L( 0 V ) = 0 V lauseen 24 nojalla. Siten 0 V L[W ]. LM2, Kesä 2012 79/310
Lineaarikuvauksen ydin Määritelmä Oletetaan, että L: V W on lineaarikuvaus. Sen ydin on joukko Ker L = { v V L( v) = 0 W }. Huom. Ydin on aina joukko (ei koskaan pelkkä yksittäinen alkio). Ytimessä ovat ne vektorit, jotka kuvautuvat nollavektoriksi. Ydin ei ole koskaan tyhjä joukko, sillä nollavektori on aina ytimessä (lause 24). Ytimessä on siis ainakin yksi alkio, mahdollisesti useita alkioita. LM2, Kesä 2012 80/310
Esimerkki 29 Lineaarikuvauksen ydin Tarkastellaan kuvausta L: R 2 R 2, joka projisoi jokaisen pisteen vaaka-akselille: (1,2) (1,0) (x 1,0) (x 1, x 2 ) Jos (x 1, x 2 ) R 2, niin L(x 1, x 2 ) = (x 1, 0). LM2, Kesä 2012 81/310
Tulkitsemalla avaruuden R 2 alkiot 2 1 -matriiseina saadaan [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x1 x1 1 0 1 0 x1 L = = x 0 1 + x 0 2 = 0 0 0 x 2 x 2 Siis kuvaus L on matriisin A = [ ] 1 0 0 0 määräämä kuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Näin ollen L on lineaarinen lauseen 21 nojalla. Määritetään lineaarikuvauksen L ydin. LM2, Kesä 2012 82/310
Lineaarikuvauksen L: R 2 R 2 ydin on Ker L = { v R 2 L( v) = 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 (v 1, 0) = (0, 0) } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 = 0 } = { (0, v 2 ) v 2 R } = { v 2 (0, 1) v 2 R } = span ( (0, 1) ). LM2, Kesä 2012 83/310
Lineaarikuvauksen L ydin on siis vektorin j = (0, 1) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin j suuntainen suora: L Ker L LM2, Kesä 2012 84/310
Lineaarikuvauksen ydin Esimerkki 30 Määritetään esimerkin 20 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, ydin. Huom. Ker L = { v R 2 L( v) = 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 x + v 2 = 0x + 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 = 0 ja v 2 = 0 } = { (0, 0) } = { 0}. Vektoriavaruuden P 1 nollavektori on nollapolynomi, jonka kaikki kertoimet ovat nollia. Sitä voidaan merkitä lyhyesti 0 tai kuten edellä 0x + 0. LM2, Kesä 2012 85/310
Lause 31 Lineaarikuvauksen ydin Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Tällöin ydin Ker L on avaruuden V aliavaruus. Todistus. Ker L on määritelmänsä mukaan vektoriavaruuden V osajoukko. Oletetaan, että w, ū Ker L ja c R. Tällöin L( w) = 0 V ja L(ū) = 0 V. Tarkistetaan aliavaruuden määritelmän ehdot: (a) Kuvauksen L lineaarisuuden nojalla L( w + ū) = L( w) + L(ū) = 0 V + 0 V = 0 V, joten w + ū Ker L. (b) Vastaavasti L(c w) = cl( w) = c 0 V = 0 V ja siten c w Ker L. (c) Lauseen 24 nojalla L( 0 V ) = 0 V, joten 0 V Ker L. LM2, Kesä 2012 86/310
Injektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on injektio, jos kaikilla a, b X yhtälöstä f (a) = f (b) seuraa, että a = b. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on injektio, jos ja vain jos kaikilla lähdön alkioilla on eri kuva-alkiot. Injektiivisen kuvauksen tapauksessa maalin kullekin alkiolle kuvautuu korkeintaan yksi lähdön alkio. LM2, Kesä 2012 87/310
Kuvaus g ei ole injektio: X g Y a b g(a) = g(b) LM2, Kesä 2012 88/310
Injektio Kuvaus h on injektio: X h Y a = b h(a) = h(b) LM2, Kesä 2012 89/310
Lineaarikuvauksen injektiivisyys Lause 32 Lineaarikuvaus L: V V on injektio, jos ja vain jos Ker L = { 0 V }. LM2, Kesä 2012 90/310
Todistus. : Oletetaan, että L on injektio. Tiedetään, että L( 0 V ) = 0 V, joten 0 V Ker L. Injektiivisyyden nojalla mikään muu alkio ei voi kuvautua neutraalialkiolle, joten ytimessä on vain yksi alkio, 0 V. : Oletetaan, että Ker L = { 0 V }. Oletetaan lisäksi, että alkioille v, w V pätee L( v) = L( w). Lisäämällä yhtälön molemmille puolille vektori L( w) saadaan L( v) L( w) = 0 V. Koska L on lineaarikuvaus, seuraa tästä, että L( v w) = 0 V. Siis v w Ker L. Koska Ker L = { 0 V }, täytyy päteä v w = 0 V. Kun tämän yhtälön molemmille puolille lisätään vektori w, saadaan v = w. On siis osoitettu, että f on injektio. LM2, Kesä 2012 91/310
Esimerkki 33 Lineaarikuvauksen injektiivisyys Esimerkin 29 lineaarikuvauksen L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0) ydin on vektorin j = (0, 1) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin j suuntainen suora: L Ker L Ker L { 0}, joten L ei ole injektio lauseen 32 nojalla. LM2, Kesä 2012 92/310
Lineaarikuvauksen injektiivisyys Esimerkki 34 Esimerkin 30 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, ydin on Ker L = { 0}, missä 0 tarkoittaa nollavektoria 0 = (0, 0) R 2. Näin ollen L on injektio lauseen 32 nojalla. LM2, Kesä 2012 93/310
Lineaarikuvauksen kuva Määritelmä Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen L kuva on joukko Im L = { L( v) v V }. Huom. Lineaarikuvauksen kuva on erityistapaus aiemmin määritellystä osajoukon kuvan käsitteestä. Aiemman määritelmän merkinnöillä Im L = L[V ]. LM2, Kesä 2012 94/310
Esimerkki 35 Lineaarikuvauksen kuva Tarkastellaan esimerkin 29 lineaarikuvausta L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0), joka projisoi jokaisen pisteen vaaka-akselille: (1,2) (1,0) (x 1,0) (x 1, x 2 ) Määritetään lineaarikuvauksen L kuva. LM2, Kesä 2012 95/310
Lineaarikuvauksen L: R 2 R 2 kuva on Im L = { L( v) v R 2 } = { (v 1, 0) R 2 (v 1, v 2 ) R 2 } = { (v 1, 0) R 2 v 1 R } = { v 1 (1, 0) v 1 R } = span ( (1, 0) ). LM2, Kesä 2012 96/310
Lineaarikuvauksen L kuva on siis vektorin ī = (1, 0) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin ī suuntainen suora: L Im L LM2, Kesä 2012 97/310
Lineaarikuvauksen kuva Esimerkki 36 Määritetään esimerkin 20 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, kuva. Im L = { L( v) v R 2 } = { v 1 x + v 2 (v 1, v 2 ) R 2 } = { v 1 x + v 2 v 1, v 2 R } = P 1. LM2, Kesä 2012 98/310
Lineaarikuvauksen kuva Lause 37 Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Tällöin kuva Im L on avaruuden V aliavaruus. Todistus. Tämä seuraa lauseesta 28, jonka mukaan lineaarikuvauksessa aliavaruuden kuva on aina aliavaruus. Nimittäin V on itsensä aliavaruus ja Im L = L[V ]. LM2, Kesä 2012 99/310
Surjektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on surjektio, jos jokaisella y Y on olemassa ainakin yksi sellainen x X, että f (x) = y. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on surjektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu ainakin yksi lähdön alkio. Lineaarikuvaus L: V V on surjektio, jos ja vain jos Im L = V. LM2, Kesä 2012 100/310
Kuvaus g ei ole surjektio: X g Y y g(x) kaikilla x X LM2, Kesä 2012 101/310
Surjektio Kuvaus h on surjektio: X h Y LM2, Kesä 2012 102/310
Esimerkki 38 Lineaarikuvauksen surjektiivisuus Esimerkin 35 lineaarikuvauksen L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0) kuva on vektorin ī = (1, 0) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin ī suuntainen suora: L Im L Im L R 2, joten L ei ole surjektio. LM2, Kesä 2012 103/310
Lineaarikuvauksen surjektiivisuus Esimerkki 39 Esimerkin 36 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, kuva on Im L = P 1, joten L on surjektio. LM2, Kesä 2012 104/310
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. X f Y LM2, Kesä 2012 105/310
Isomorfismi Määritelmä Lineaarikuvausta, joka on bijektio, kutsutaan isomorfismiksi. Jos on olemassa isomorfismi L: V W, niin sanotaan, että vektoriavaruudet V ja W ovat isomorfiset. Tällöin merkitään V = W. LM2, Kesä 2012 106/310
Isomorfismi Esimerkki 40 Avaruudet R 2 ja P 1 ovat isomorfisia. Isomorfismiksi kelpaa esimerkiksi kuvaus L: R 2 P 1, L(a, b) = ax + b. Nimittäin: L on lineaarikuvaus (esimerkki 20); L on bijektio, sillä L on injektio, sillä sen ydin Ker L = { 0} (esimerkki 30); L on surjektio, sillä sen kuva Im L = P 1 (esimerkki 36). Huomataan, että avaruudet todellakin muistuttavat toisiaan. Sekä alkiossa (a, b) että alkiossa ax + b näkyvät reaaliluvut a ja b. Kaikki oleellinen tieto alkiosta sisältyy näihin reaalilukuihin. LM2, Kesä 2012 107/310
Lisäksi nämä reaaliluvut käyttäytyvät samalla tavoin yhteenlaskussa ja skalaarikertolaskussa: Vektoriavaruus summa R 2 (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) P 1 (ax + b) + (cx + d) = (a + c)x + (b + d) Vektoriavaruus R 2 P 1 skalaarimonikerta r(a, b) = (ra, rb) r(ax + b) = rax + rb LM2, Kesä 2012 108/310
Isomorfisuus Lause 41 Oletetaan, että V, W ja U ovat vektoriavaruuksia. Tällöin (a) V = V (b) jos V = W, niin W = V (c) jos V = W ja W = U, niin V = U. LM2, Kesä 2012 109/310
Käänteiskuvaus Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos on olemassa sellainen kuvaus g : Y X, että g f = id X ja f g = id Y, niin sanotaan, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Huom. Tässä id X tarkoittaa avaruuden X identtistä kuvausta: id X : X X, jolla id X (x) = x kaikilla x X. Vastaavasti id Y tarkoittaa avaruuden Y identtistä kuvausta, jolla y y kaikilla y Y. Kuvauksen f käänteiskuvausta merkitään f 1. LM2, Kesä 2012 110/310
Huom. Voidaan osoittaa, että jokaisella kuvauksella on enintään yksi käänteiskuvaus. Sen vuoksi merkintä f 1 on yksikäsitteinen ja siten mielekäs. LM2, Kesä 2012 111/310
Bijektiot ja käänteiskuvaukset Lause 42 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvauksella f on käänteiskuvaus, jos ja vain jos kuvaus f on bijektio. Todistus. : Oletetaan, että kuvauksella f on käänteiskuvaus f 1 : Y X. Osoitetaan, että f on bijektio: Oletetaan, että a, b X ja f (a) = f (b). Tällöin a = id(a) = (f 1 f )(a) = f 1 (f (a)) = f 1 (f (b)) Siis f on injektio. = (f 1 f )(b) = id(b) = b. LM2, Kesä 2012 112/310
Oletetaan, että y Y. Tällöin f 1 (y) X ja Siis f on surjektio. f (f 1 (y)) = (f f 1 )(y) = id(y) = y. : Oletetaan, että f on bijektio. Määritellään kuvaus g : Y X seuraavasti: Jos y Y, niin kuvauksen f bijektiivisyyden nojalla on olemassa tasan yksi a X, jolla f (a) = y. Määritellään g(y) = a. Siis g(y) = a f (a) = y. LM2, Kesä 2012 113/310
Osoitetaan, että g on kuvauksen f käänteiskuvaus: Oletetaan, että x X. Merkitään f (x) = c. Tällöin (g f )(x) = g(f (x)) = g(c) = x = id X (x). Oletetaan, että y Y. Merkitään g(y) = a. Tällöin (f g)(y) = f (g(y)) = f (a) = y = id Y (y). Siis g f = id X ja f g = id Y, joten kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. LM2, Kesä 2012 114/310
Isomorfisuus Lauseen 41 todistus. Käsitellään vain b-kohta tarkasti (esimerkin vuoksi). (a) V = V, sillä isomorfismiksi kelpaa ns. identtinen kuvaus id: V V, jolla id( v) = v kaikilla v V. (b) Oletetaan, että V = W. Tällöin on olemassa isomorfismi L: V W. Koska L on bijektio, on sillä olemassa käänteiskuvaus L 1 : W V, joka sekin on bijektio. Osoitetaan, että L 1 on lineaarinen: LM2, Kesä 2012 115/310
(b) jatkuu... Oletetaan, että w 1, w 2 W ja c R. Koska L on bijektio, niin on olemassa tasan yhdet sellaiset v 1, v 2 V, että L( v 1 ) = w 1 ja L( v 2 ) = w 2. Huomaa, että tällöin v 1 = L 1 ( w 1 ) ja v 2 = L 1 ( w 2 ). Siten ja L 1 ( w 1 + w 2 ) = L 1 (L( v 1 ) + L( v 2 )) = L 1 (L( v 1 + v 2 )) = id( v 1 + v 2 ) = v 1 + v 2 = L 1 ( w 1 ) + L 1 ( w 2 ) L 1 (c w 1 ) = L 1 (cl( v 1 )) = L 1 (L(c v 1 )) = id(c v 1 ) = c v 1 = cl 1 ( w 1 ). LM2, Kesä 2012 116/310
(c) Oletetaan, että V = W ja W = U. Tällöin on olemassa isomorfismit L: V W ja T : W U. Lineaarikuvauksista yhdistetty kuvaus on lineaarinen (lause 25), joten kuvaus T L: V U on lineaarinen. Lisäksi T L on bijektio. Se voidaan osoittaa esimerkiksi näyttämällä, että yhdistetyn kuvauksen T L käänteiskuvaukseksi kelpaa L 1 T 1 : U V. LM2, Kesä 2012 117/310
Kertausta: vapaus Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1, v 2,..., v k V. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Jos jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, sanotaa, että vektorit v 1, v 2,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia. Jos jono ei ole vapaa, sanotaan, että se on sidottu. LM2, Kesä 2012 118/310
Vähintään kahdesta vektorista muodostuva vektorijono on sidottu, jos ja vain jos jokin sen vektoreista voidaan ilmaista toisten lineaarikombinaationa: Lause 43 Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1,..., v k V. (a) Jono ( v 1 ) on sidottu, jos ja vain jos v = 0. (b) Jono ( v 1,..., v k ) on sidottu, jos ja vain jos v i span( v 1,..., v i 1, v i+1,..., v k ) jollakin i {1,..., k}. LM2, Kesä 2012 119/310
Kertausta: kanta Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1, v 2,..., v k V. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vektoriavaruuden V kanta, jos (a) V = span( v 1, v 2,..., v k ) (b) ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. LM2, Kesä 2012 120/310
Lause 44 Kertausta: kanta ja koordinaatit Jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vektoriavaruuden V kanta, jos ja vain jos jokainen avaruuden V vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Lause 44 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Oletetaan, että B = ( v 1,..., v k ) on vektoriavaruuden V kanta. Oletetaan, että w V. Vektorin w koordinaateiksi kannan B suhteen kutsutaan reaalilukuja a 1,..., a k, joilla w = a 1 v 1 + + a k v k. LM2, Kesä 2012 121/310
Kertausta: kanta ja dimensio Lause 45 Vektoriavaruuden V jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria. LM2, Kesä 2012 122/310
Kertausta: kanta ja dimensio Lause 45 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on äärellisen monesta vektorista koostuva kanta tai jos V = { 0}. Vektoriavaruuden V { 0} dimensio dim(v ) on kannan vektoreiden lukumäärä. Vektoriavaruuden { 0} dimensio on nolla eli dim({ 0}) = 0. Jos vektoriavaruuden dimensio on n, sanotaan, että vektoriavaruus on n-ulotteinen. Jos vektoriavaruus V ei ole äärellisulotteinen, sanotaan, että V on ääretönulotteinen ja sen dimensio on ääretön. LM2, Kesä 2012 123/310
Ytimen ja kuvan dimensiot Lause 46 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia ja L: V W on lineaarikuvaus. Oletetaan lisäksi, että lähtö V on äärellisulotteinen. Tällöin dim(v ) = dim(ker L) + dim(im L). LM2, Kesä 2012 124/310
Esimerkki 47 Ytimen ja kuvan dimensiot Esimerkin 29 lineaarikuvauksen L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0) ydin on vektorin j = (0, 1) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin j suuntainen suora: L Ker L Siis dim(ker L) = 1. LM2, Kesä 2012 125/310
Lineaarikuvauksen L kuva on vektorin ī = (1, 0) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin ī suuntainen suora (ks. esimerkki 35): L Im L Todellakin Siis dim(im L) = 1. dim(ker L) + dim(im L) = 1 + 1 = 2 = dim(r 2 ). LM2, Kesä 2012 126/310
Ytimen ja kuvan dimensiot Lauseen 46 todistus. Olkoon dim(v ) = n ja olkoon ( v 1,..., v k ) aliavaruuden Ker L kanta, jolloin dim(ker L) = k. Koska jono ( v 1,..., v k ) on vapaa, voidaan se täydentää vektoriavaruuden V kannaksi ( v 1,..., v k, v k+1,..., v n ). Osoitetaan, että (L( v k+1 ),..., L( v n )) on aliavaruuden Im L kanta, jolloin dim(im L) = n k. Tämä todistaa väitteen. LM2, Kesä 2012 127/310
Osoitetaan ensin, että span(l( v k+1 ),..., L( v n )) = Im L. Oletetaan, että w Im L. Tällöin on olemassa v V, jolla L( v) = w. Lisäksi ( v 1,..., v k, v k+1,..., v n ) on vektoriavaruuden V kanta, joten v = a 1 v 1 + + a k v k + a k+1 v k+1 + + a n v n joillakin a 1,..., a n R. Käyttämällä kuvauksen L lineaarisuutta sekä tietoa, että v 1,..., v k Ker L, saadaan w = L( v) = L(a 1 v 1 + + a k v k + a k+1 v k+1 + + a n v n ) = a 1 L( v 1 ) + + a k L( v k ) + a k+1 L( v k+1 ) + + a n L( v n ) = 0 + + 0 + a k+1 L( v k+1 ) + + a n L( v n ) = a k+1 L( v k+1 ) + + a n L( v n ). LM2, Kesä 2012 128/310
Osoitetaan sitten, että jono (L( v k+1 ),..., L( v n )) on vapaa. Oletetaan, että c k+1 L( v k+1 ) + + c n L( v n ) = 0 joillakin c k+1,..., c n R. Kuvauksen L lineaarisuuden vuoksi L(c k+1 v k+1 + + c n v n ) = 0, joten c k+1 v k+1 + + c n v n Ker L. LM2, Kesä 2012 129/310
Koska c k+1 v k+1 + + c n v n Ker L, niin on olemassa luvut b 1,..., b k R, joille pätee Tästä saadaan yhtälö c k+1 v k+1 + + c n v n = b 1 v 1 + + b k v k. b 1 v 1 b k v k + c k+1 v k+1 + + c n v n = 0. Jono ( v 1,..., v k, v k+1,..., v n ) on vektoriavaruuden V kanta ja siten vapaa. Edellisestä yhtälöstä seuraa siis, että b 1 = 0,..., b k = 0, c k+1 = 0,..., c n = 0 ; erityisesti c k+1 = 0,..., c n = 0. LM2, Kesä 2012 130/310
Lineaarikuvauksen injektiivisyys ja surjektiivisuus Lause 48 Oletetaan, että V ja W ovat äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, joilla dim(v ) = dim(w ). Oletetaan, että L: V W on lineaarikuvaus. Tälllöin L on injektio, jos ja vain jos L on surjektio. Huom. Lauseen oletuksissa vaaditaan, että lähdön ja maalin dimensio on sama! LM2, Kesä 2012 131/310
Lauseen 48 todistuksen idea. Todistuksen perustana on lauseen 46 tulos dim(v ) = dim(ker L) + dim(im L). : Oletetaan, että L on injektio. Tällöin Ker L = { 0}, joten dim(ker L) = 0. Siten dim(im L) = dim(v ) = dim(w ). Tiedetään lisäksi, että Im L on vektoriavaruuden W aliavaruus. Tästä seuraa, että Im L = W. Siis L on surjektio. : Oletetaan, että L on surjektio. Tällöin Im L = W, joten dim(im L) = dim(w ) = dim(v ). Tästä seuraa, että dim(ker L) = 0. Siten Ker L = { 0}. Siis L on injektio. LM2, Kesä 2012 132/310
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 49 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi sellainen lineaarikuvaus L: V W, että L( v 1 ) = w 1, L( v 2 ) = w 2,..., L( v n ) = w n. LM2, Kesä 2012 133/310
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lauseen 49 todistus. Jos v V, niin on olemassa yksikäsitteiset a 1,..., a n R, joilla v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a n v n. Määritellään kuvaus L: V W asettamalla L( v) = a 1 w 1 + a 2 w 2 + + a n w n. Osoitetaan, että L täyttää lauseessa asetetut vaatimukset. Esimerkiksi v 2 = 0 v 1 + 1 v 2 + 0 v 3 + + 0 v n, joten L( v 2 ) = 0 w 1 + 1 w 2 + 0 w 3 + 0 w n = w 2. Näin voidaan osoittaa, että L( v i ) = w i kaikilla i {1,..., n}. LM2, Kesä 2012 134/310
Osoitetaan, että L on lineaarikuvaus. Oletetaan, että x, ȳ V ja t R. Tällöin x = b 1 v 1 + + b n v n ja ȳ = c 1 v 1 + + c n v n joillakin b 1,..., b n, c 1,..., c n R. Tällöin L( x + ȳ) = L ( (b 1 v 1 + + b n v n ) + (c 1 v 1 + + c n v n ) ) = L ( (b 1 + c 1 ) v 1 + + (b n + c n ) v n ) = (b 1 + c 1 ) w 1 + + (b n + c n ) w n = (b 1 w 1 + + b n w n ) + (c 1 w 1 + + c n w n ) = L(b 1 v 1 + + b n v n ) + L(c 1 v 1 + + c n v n ) = L( x) + L(ȳ) LM2, Kesä 2012 135/310
ja L(t x) = L ( t(b 1 v 1 + + b n v n ) ) = L(tb 1 v 1 + + tb n v n ) = tb 1 w 1 + + tb n w n = t(b 1 w 1 + + b n w n ) = tl(b 1 v 1 + + b n v n ) = tl( x). Siis L on yksi lauseen vaatimukset täyttävä lineaarikuvaus. Onko olemassa muita lineaarikuvauksia, jotka myös täyttävät lauseen ehdot? LM2, Kesä 2012 136/310
Osoitetaan, että lauseen 49 vaatimukset täyttäviä lineaarikuvauksia on enintään yksi (edellä määritelty L). Oletetaan, että L, T : V W ovat lineaarikuvauksia, joilla L( v 1 ) = w 1, L( v 2 ) = w 2,..., L( v n ) = w n ja T ( v 1 ) = w 1, T ( v 2 ) = w 2,..., T ( v n ) = w n. Oletetaan, että v V. Tällöin v = a 1 v 1 + + a n v n joillakin a 1,..., a n R, sillä ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta. Kuvausten L ja T lineaarisuutta käyttäen saadaan L( v) = L(a 1 v 1 + + a n v n ) = a 1 L( v 1 ) + + a n L( v n ) = a 1 w 1 + + a n w n = a 1 T ( v 1 ) + + a n T ( v n ) = T (a 1 v 1 + + a n v n ) = T ( v). Kuvauksilla L: V W ja T : V W on samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus. LM2, Kesä 2012 137/310
Isomorfisuus Lause 50 Oletetaan, että V ja W ovat äärellisulotteisia vektoriavaruuksia. Vektoriavaruudet V ja W ovat isomorfiset, jos ja vain jos dim(v ) = dim(w ). LM2, Kesä 2012 138/310
Isomorfisuus Lauseen 50 todistus. : Oletetaan, että V = W. Tällöin on olemassa isomorfismi L: V W. Koska L on injektio, niin Ker L = { 0} ja siten dim(im L) = dim(v ) dim(ker L) = dim(v ) 0 = dim(v ). Koska L on surjektio, niin Im L = W. Siten dim(v ) = dim(im L) = dim(w ). LM2, Kesä 2012 139/310
: Oletetaan, että dim(v ) = dim(w ) = n. Olkoon ( v 1,..., v n ) vektoriavaruuden V kanta ja olkoon ( w 1,..., w n ) vektoriavaruuden W kanta. Olkoon L: V W se lineaarikuvaus, jolla L( v 1 ) = w 1, L( v 2 ) = w 2,..., L( v n ) = w n. Lauseen 49 mukaan tällaisia lineaarikuvauksia on tasan yksi. Osoitetaan, että L on injektio. LM2, Kesä 2012 140/310
Oletetaan, että v Ker L. Tällöin L( v) = 0. Kirjoitetaan v kantavektorien lineaarikombinaationa v = a 1 v 1 + + a n v n, jolloin saadaan 0 = L( v) = L(a 1 v 1 + + a n v n ) = a 1 L( v 1 ) + + a n L( v n ) = a 1 w 1 + + a n w n. Jono ( w 1,..., w n ) on kanta ja siten vapaa, joten tästä yhtälöstä seuraa, että a 1 = 0, a 2 = 0,..., a n = 0. Siis v = a 1 v 1 + + a n v n = 0 v 1 + + 0 v n = 0. Tämä osoittaa, että Ker L = { 0}. Siis L on injektio. LM2, Kesä 2012 141/310
Oletuksen mukaan dim(v ) = dim(w ). Lisäksi lineaarikuvaus L: V W on injektio, joten L on lauseen 48 mukaan surjektio. Siis L on lineaarikuvaus ja bijektio, eli isomorfismi. Näin ollen V = W. LM2, Kesä 2012 142/310
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos: Lause 51 Oletetaan, että T : R n R m on lineaarikuvaus. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi matriisi A M m n, jolla T ( v) = A v kaikilla v R n. LM2, Kesä 2012 143/310
Ennen lauseen 51 perustelua tutkitaan hiukan matriistuloa A v: a 11 a 12 a 1n v 1 a 21 a 22 a 2n v 2 A v =... a m1 a m2 a mn v n a 11 v 1 + a 12 v 2 + + a 1n v n a 21 v 1 + a 22 v 2 + + a 2n v n =. a m1 v 1 + a m2 v 2 + + a mn v n = v 1 a 11 a 21. a m1 + v 2 a 12 a 22. a m2 + + v n a 1n a 2n.. a mn LM2, Kesä 2012 144/310
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Tulo A v on siis matriisin A sarakkeiden lineaarikombinaatio, jossa kertoimina ovat vektorin v komponentit. Lauseen 51 todistus. Muodostetaan matriisi A seuraavasti: Katsotaan, miten avaruuden R n luonnollisen kannan (ē 1, ē 2,..., ē n ) vektorit kuvautuvat lineaarikuvauksessa T eli määritetään T (ē 1 ), T (ē 2 ),..., T (ē n ). Laitetaan kuvavektorit T (ē 1 ), T (ē 2 ),..., T (ē n ) matriisin A sarakkeiksi tässä järjestyksessä. LM2, Kesä 2012 145/310
Matriisin A sarakkeet ovat siis T (ē 1 ), T (ē 2 ),..., T (ē n ) R m ja tällöin voidaan merkitä lyhyesti [ ] A = T (ē 1 ) T (ē 2 )... T (ē n ). Huomaa, että matriisin jokaisessa sarakkeessa on m alkiota ja sarakkeita on n kappaletta, joten A todella on m n -matriisi. Osoitetaan, että matriisin A määräämä lineaarikuvaus L A : R n R m on sama kuin T : R n R m. Koska kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen (lause 49), niin riittää osoittaa, että kantavektorit ē 1, ē 2,..., ē n kuvautuvat samalla tavalla kuvauksissa L A ja T. LM2, Kesä 2012 146/310
Matriisin A määräämässä kuvauksessa L A esimerkiksi a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 L A (ē 2 ) = Aē 2 = 0. + 1 a 22. + 0 a 23. + + 0 a 2n. a m1 a m2 a m3 a mn a 12 a 22 =. = T (ē 2), a m2 sillä tulo Aē 2 on matriisin A sarakkeiden lineaarikombinaatio, jossa kertoimina ovat vektorin ē 2 komponentit; matriisin A sarakkeet ovat kuvavektorit T (ē 1 ),..., T (ē n ). LM2, Kesä 2012 147/310
Näin voidaan osoittaa, että L A (ē i ) = T (ē i ) kaikilla i {1,..., n}. Lineaarikuvaukset L A ja T ovat siten lauseen 49 nojalla sama kuvaus, eli T ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan vielä, ettei muita sopivia m n -matriiseja ole. Oletetaan, että A, B M m n ovat sellaisia, että T ( v) = A v ja T ( v) = B v kaikilla v R n. Tällöin A v = B v kaikilla v R n. LM2, Kesä 2012 148/310