Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195

Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava päätellä, onko se tietyn joukon alkio vai ei. Esimerkki 1 Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2, 3,...}. Kokonaislukujen joukko Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. JYM, Syksy2015 2/195

Joukkojen määritteleminen Joukkoja voidaan määritellä eri tavoin: Luettelemalla joukon alkiot, jos joukko on pieni tai selkeästi ymmärrettävä: kokonaisluvut, joiden itseisarvo on enintään 2: parilliset kokonaisluvut: { 2, 1, 0, 1, 2} {..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,...} JYM, Syksy2015 3/195

Joukkojen määritteleminen Ehdon avulla, jolloin merkintä on muotoa {alkioiden tyyppi ehto, joka alkioilta vaaditaan}. kokonaisluvut, joiden itseisarvo on enintään 2: { z œ Z : z Æ2 } parilliset kokonaisluvut: { m œ Z m = 2n missä n œ Z } JYM, Syksy2015 4/195

Joukkojen määritteleminen ı rationaalilukujen joukko Q = { m/n m, n œ Z ja n = 0 }. ı reaalilukujen joukko R (pohditaan kurssilla Raja-arvot). ı kompleksilukujen joukko C (opiskellaan tällä kurssilla). JYM, Syksy2015 5/195

Joukko ja alkio Määritelmä Jos a on joukon A alkio, sanotaan, että akuuluujoukkoon A, ja merkitään a œ A. Jos a ei ole joukon A alkio, sanotaan, että aeikuulujoukkoon A, ja merkitään a œ A. Esimerkki 2 2 œ N, 3 œ N, 3 œ Z, 6 7 œ Z. JYM, Syksy2015 6/195

Joukkojen samuus Määritelmä Joukot A ja B ovat samat, jos niillä on täsmälleen samat alkiot eli x œ A, jos ja vain jos x œ B. Merkintä A = B tarkoittaa, että joukot A ja B ovat samat. Esimerkki 3 Mitkä seuraavista joukoista ovat samoja? { x œ Z 3 < x < 1} {0, 2, 1} { 2, 1, 0} {0, 1, 0, 1, 2, 1} JYM, Syksy2015 7/195

Joukkojen samuus Määritelmä Joukot A ja B ovat samat, jos niillä on täsmälleen samat alkiot eli x œ A, jos ja vain jos x œ B. Merkintä A = B tarkoittaa, että joukot A ja B ovat samat. JYM, Syksy2015 7/185

Yhdiste, leikkaus ja erotus Määritelmä Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Joukkojen A ja B yhdiste on joukko A fi B = { x x œ A tai x œ B }, leikkaus on joukko A fl B = { x x œ A ja x œ B }, erotus on joukko A r B = { x x œ A ja x œ B }. Huom. ı Matematiikan tai ei ole poissulkeva; yhdisteen A fi B muodostavat kaikki alkiot, jotka kuuluvat ainakin toiseen joukoista A ja B. ı Merkintä A r B luetaan A pois B. JYM, Syksy2015 8/185

Yhdiste, leikkaus ja erotus Joukkoja voidaan havainnollistaa ns. Vennin kaavioiden avulla: A B A [ B A \ B A \ B Kuvassa tummennettuna mainitut joukot. JYM, Syksy2015 9/185

Osajoukko Määritelmä Joukko A on joukon B osajoukko, jos kaikilla x œ A pätee myös x œ B. Tällöin sanotaan, että A sisältyy joukkoon B, ja merkitään A µ B. Merkintä A µ B tarkoittaa, että A ei ole joukon B osajoukko. JYM, Syksy2015 10/185

Luonnolliset luvut Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla: Luonnollisten lukujen joukolla N on seuraavat ominaisuudet: 1. Nolla on luonnollinen luku; ts. 0 œ N. 2. Jokaista luonnollista lukua n kohti on olemassa täsmälleen yksi luonnollinen luku s(n), jota sanotaan luvun nseuraajaksi. 3. Nolla ei ole minkään luonnollisen luvun seuraaja; ts. 0 = s(n) kaikilla n œ N. 4. Eri luvuilla on eri seuraajat; ts. jos m = n, niins(m) = s(n). 5. Oletetaan, että A µ N. Oletetaanlisäksi,että0œ A, jaettä kaikilla n œ N pätee: jos n œ A, niins(n) œ A. Tällöin A = N. JYM, Syksy2015 11/185

Induktioperiaate Induktioaksioomasta saadaan johdettua I induktioperiaate, joiden avulla voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä. Lause 3 (I induktioperiaate) Oletetaan, että seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. Luvulla 0 on ominaisuus P. 2. Kaikilla luonnollisilla luvuilla pätee: jos luvulla n on ominaisuus P, niinsitäseuraavallaluvulla n + 1 on ominaisuus P. Tällöin kaikilla luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P. JYM, Syksy2015 12/185

Induktioperiaate Havainnollistus: Järjestän (äärettömän määrän) dominonappuloita jonoon niin, että yhden kaatuminen aiheuttaa aina seuraavan kaatumisen. Jos kaadan ensimmäisen, niin kaikki nappulat kaatuvat. JYM, Syksy2015 13/185

Implikaation totuustaulu A B A æ B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 JYM, Syksy2015 14/185

Induktiotodistus Todistukset vaiheet: 1. Alkuaskel: Varmistetaan, että asia P pätee luvulle 0. 2. Induktioaskel: ı Tehdään induktio-oletus, että k œ N ja asia P pätee luvulle k. ı Näytetään, että induktio-oletuksesta ja mahdollisista muista oletuksista seuraa, että tällöin asia P pätee myös seuraavalle luonnolliselle luvulle k + 1. 3. Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että asia P pätee kaikille n œ N. JYM, Syksy2015 15/185

Induktiotodistus Esimerkki 4 Osoita induktiolla, että kaikilla n œ N pätee nÿ j=0 j 3 = n2 (n + 1) 2. 4 JYM, Syksy2015 16/186

Esimerkki 5 Induktiotodistus Osoita induktiolla, että kaikilla luonnollisilla luvuilla n Ø 1 pätee seuraava: Neliönmuotoinen 2 n 2 n -ruudukko, josta on poistettu yksi ruutu, voidaan peittää L-kirjaimen muotoisilla kolmesta ruudusta koostuvilla palasilla. JYM, Syksy2015 17/186

Induktioperiaate Induktioaksioomasta saadaan johdettua I induktioperiaate, joiden avulla voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä. Lause 3 (I induktioperiaate) Oletetaan, että seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. Luvulla 0 on ominaisuus P. 2. Kaikilla luonnollisilla luvuilla pätee: jos luvulla n on ominaisuus P, niinsitäseuraavallaluvulla n + 1 on ominaisuus P. Tällöin kaikilla luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P. JYM, Syksy2015 12/186

Induktiotodistus? Esimerkki 6 Oletetaan, että f : R æ R on funktio. Yritetään todistaa induktiolla seuraava väite: Jokaista äärellistä, epätyhjää joukkoa A µ R kohti on olemassa sellainen reaaliluku c, ettäf (x) =c kaikilla x œ A. Missä kohdassa todistusta on virhe? JYM, Syksy2015 18/186

Perusjoukko ja komplementti Usein tarkastellaan jonkin tietyn joukon eri osajoukkoja ja alkioita. Tätä joukkoa, jonka osajoukkoja ja alkoita tutkitaan, sanotaan perusjoukoksi. Määritelmä Olkoon X tarkasteltava perusjoukko. Joukon A µ X komplementti on joukko {A = { x œ X x œ A }. Huom. ı Toisin sanottuna {A = X r A. ı Joukon A komplementille käytetään myös merkintää A c. JYM, Syksy2015 19/160

Perusjoukko ja komplementti Havainnollistuksia: A {A A [ B {(A [ B) JYM, Syksy2015 20/160

Joukkojen samuus Määritelmä Joukot A ja B ovat samat, jos niillä on täsmälleen samat alkiot eli x œ A, jos ja vain jos x œ B. Merkintä A = B tarkoittaa, että joukot A ja B ovat samat. JYM, Syksy2015 7/159

de Morganin lait Lause 7 (de Morganin lait) Oletetaan, että X on joukko ja A, B µ X. Tällöin {(A fi B) ={A fl {B ja {(A fl B) ={A fi {B. Huom. ı Muista, että joukkojen identtisyys saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy2015 21/159

Jos P, niin Q -muotoisen väitteen todistaminen P Q P æ Q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Väite jos P, niin Q voidaan todistaa seuraavasti: Oletetaan, että implikaation etujäsen P on tosi. Toisin sanottuna oletetaan, että P pätee. Päätellään, että tällöin myös Q pätee. JYM, Syksy2015 22/159

de Morganin lait Lause 7 (de Morganin lait) Oletetaan, että X on joukko ja A, B µ X. Tällöin {(A fi B) ={A fl {B ja {(A fl B) ={A fi {B. Huom. ı Muista, että joukkojen identtisyys saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy2015 21/159

Oletus: A ja B ovat joukkoja. Väite: jos A µ B, niina fi B = B. Perustelu: Oletetaan, että väitteen jos... -osa pätee eli A µ B. Yritetään osoittaa, että väitteen niin... -osa pitää paikkansa. Koska kysymyksessä on joukkojen identtisyys, osoitetaan sisältyminen molempiin suuntiin. µ : Oletetaan, että x œ A fi B. Tällöin x œ A tai x œ B (yhdisteen määritelmä). Tapaukset: Oletetaan, että x œ A. Lisäksi alun oletuksen mukaan A µ B, joten x œ B. Oletetaan, että x œ B. Tämänenempääeitarvita. Molemmissa tapauksissa x œ B. : Oletetaan, että x œ B. Tällöin yhdisteen määritelmän nojalla x œ A fi B. Päättelyt µ ja yhdessä osoittavat, että A fi B = B. JYM, Syksy2015 23/159

Potenssijoukko Määritelmä Oletetaan, että X on joukko. Joukon X potenssijoukko tarkoittaa sen kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoa P(X) ={ A A µ X }. JYM, Syksy2015 24/159

Potenssijoukko Esimerkki 8 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että P(A fl B) =P(A) flp(b). JYM, Syksy2015 25/159

P, josjavainjosq -muotoisenväitteentodistaminen P Q P Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Väite P, jos ja vain jos Q voidaan todistaa kahdessa osassa: Oletetaan, että P pätee. Näytetään, että tällöin Q pätee. Oletetaan, että Q pätee. Näytetään, että tällöin P pätee. JYM, Syksy2015 26/160

jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 9 Oletetaan, että n œ Z. Perustele, että 10 n, jos ja vain jos 5 n ja 2 n. JYM, Syksy2015 27/160

jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 10 Oletetaan, että X on joukko ja A, B µ X. Osoita, että A µ B, jos ja vain jos {A fi B = X. JYM, Syksy2015 28/160

P, josjavainjosq -muotoisenväitteentodistaminen P Q P Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Väite P, jos ja vain jos Q voidaan todistaa kahdessa osassa: Oletetaan, että P pätee. Näytetään, että tällöin Q pätee. Oletetaan, että Q pätee. Näytetään, että tällöin P pätee. JYM, Syksy2015 26/160

jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 11 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että A fi B = B, jos ja vain jos A r B = ÿ. JYM, Syksy2015 31/160

Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Väite: A fi B = B, jos ja vain jos A r B = ÿ. Todistus. : Oletetaan, että A fi B = B. Pitää osoittaa, että tällöin A r B = ÿ. Vastaoletus eli antiteesi: oletetaan, että A r B = ÿ. Tämä tarkoittaa, että on olemassa x œ A r B. Tällöin x œ A ja x œ B. Koska x œ A, niinx œ A fi B. OletuksenmukaanA fi B = B, joten x œ B. Päädyttiinristiriitaan:x œ B ja x œ B. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite A r B = ÿ pätee. JYM, Syksy2015 32/160

: Oletetaan, että A r B = ÿ. Pitää osoittaa, että tällöin A fi B = B. µ : Oletetaan, että x œ A fi B. Tällöin x œ A tai x œ B. Tapaukset: Oletetaan, että x œ A. Päätellään epäsuorasti: Jos x œ B, niin x œ A r B. Kuitenkin oletuksen mukaan A r B = ÿ. Siis välttämättä x œ B. Oletetaan, että x œ B. Enempääeitarvitsepäätellä. Molemmissa tapauksissa x œ B. : Oletetaan, että x œ B. Tällöin x œ A fi B yhdisteen määritelmän nojalla. JYM, Syksy2015 33/160

Epäsuora päättely: kontrapositiotodistus Implikaatio ja sen kontrapositio ovat loogisesti ekvivalentit: P Q P Q Q P Q P 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Kontrapositiotodistus väitteelle jos P, niin Q rakentuu seuraavasti: Oletetaan, että Q on tosi. Päätellään, että tällöin myös P on tosi. JYM, Syksy2015 41/161

Epäsuora päättely: ristiriitatodistus Ristiriitatodistus väitteelle P rakentuu seuraavasti: Tehdään vastaoletus eli oletetaan, että P on tosi. Päätellään ristiriita C C. Ristiriitatodistuksessa todistetaan implikaatio P (C C). Se on loogisesti ekvivalentti alkuperäisen väitteen P kanssa: P C P C C P (C C) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 JYM, Syksy2015 42/161

Määritelmä Joukkojen karteesinen tulo eli tulojoukko Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Joukkojen A ja B karteesinen tulo eli tulojoukko on joukko A B = { (a, b) a A ja b B }. Esimerkki 13 (a) Määritä joukkojen C = {0, 4, 7} ja D = {4, 9} karteesinen tulo C D. C D = {(0, 4), (0, 9), (4, 4), (4, 9), (7, 4), (7, 9)}. (b) Havainnollista koordinaatistossa. JYM, Syksy2015 36/161

(b) Havainnollistus koordinaatistossa: JYM, Syksy2015 37/161

Joukkojen karteesinen tulo eli tulojoukko Esimerkki 14 (a) Osoita, että A (B C)=(A B) (A C) kaikilla joukoilla A, B ja C. (b) Havainnollista kuvan avulla. JYM, Syksy2015 38/161

(a) Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Väite: A (B C)=(A B) (A C). Todistus. : Oletetaan, että x A (B C). Tällöin x =(s, t), missä s A ja t B C. Koska t B C, niint B ja t C. Koska s A ja t B, niinx =(s, t) A B. Vastaavasti koska s A ja t C, niinx =(s, t) A C. Leikkauksenmääritelmän mukaan tällöin x (A B) (A C). : Oletetaan, että y (A B) (A C). Tällöin y A B ja y A C. Siteny =(a, d), missäa A, d B ja d C. Tällöin d B C. Koska a A ja d B C, niin tulojoukon määritelmän mukaan y =(a, d) A (B C). JYM, Syksy2015 40/161

Määritelmä Kuvaus (eli funktio) Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus (eli funktio) joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta Y. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Sama asia voidaan merkitä myös X f Y. Tässä X on kuvauksen f lähtö(eli määrittelyjoukko) ja Y on kuvauksen fmaali. Oletetaan, että x X. Sitä yksikäsitteistä joukon Y alkiota, jonka kuvaus f liittää alkioon x, merkitäänf (x) ja kutsutaan alkion x kuva-alkioksi. JYM, Syksy2015 45/161

Havainnollistuksia: X Y Y x f f(x) f(x) x X JYM, Syksy2015 46/161

Määritelmä Kuvaus (eli funktio) Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus (eli funktio) joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta Y. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Sama asia voidaan merkitä myös X f Y. Tässä X on kuvauksen f lähtö(eli määrittelyjoukko) ja Y on kuvauksen fmaali. Oletetaan, että x X. Sitä yksikäsitteistä joukon Y alkiota, jonka kuvaus f liittää alkioon x, merkitäänf (x) ja kutsutaan alkion x kuva-alkioksi. JYM, Syksy2015 45/162

II induktioperiaate II induktioperiaate poikkeaa tavallisesta induktioperiaatteesta induktio-oletuksen osalta. Lause 16 (II induktioperiaate) Oletetaan, että seuraavat ehdot ovat voimassa: (a) Luvulla 0 on ominaisuus P. (b) Kaikilla luonnollisilla luvuilla pätee: jos luvulla n ja kaikilla sitä pienemmillä luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P, niinluvullan + 1 on ominaisuus P. Tällöin kaikilla luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P. JYM, Syksy2015 50/162

Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen Todistukset vaiheet: 1. Alkuaskel: Varmistetaan, että asia P pätee luvulle 0. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja asia P pätee luvulle k ja sitä pienemmille luonnollisille luvuille. Osoitetaan, että tällöin asia P pätee myös luvulle k + 1. 3. Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa II induktioperiaatteen nojalla, että asia P pätee kaikille n N. JYM, Syksy2015 51/162

II induktioperiaate II induktioperiaate poikkeaa tavallisesta induktioperiaatteesta induktio-oletuksen osalta. Lause 16 (II induktioperiaate) Oletetaan, että seuraavat ehdot ovat voimassa: (a) Luvulla 0 on ominaisuus P. (b) Kaikilla luonnollisilla luvuilla pätee: jos luvulla n ja kaikilla sitä pienemmillä luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P, niinluvullan + 1 on ominaisuus P. Tällöin kaikilla luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P. JYM, Syksy2015 50/162

Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen Todistukset vaiheet: 1. Alkuaskel: Varmistetaan, että asia P pätee luvulle 0. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja asia P pätee luvulle k ja sitä pienemmille luonnollisille luvuille. Osoitetaan, että tällöin asia P pätee myös luvulle k + 1. 3. Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa II induktioperiaatteen nojalla, että asia P pätee kaikille n N. JYM, Syksy2015 51/162

Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen Esimerkki 17 Määritellään lukujono (z n ) rekursiivisesti asettamalla z 0 = 2, z 1 = 1 ja z n = z n 1 + 2z n 2 kaikilla n 2. (a) Laske z 2, z 3 ja z 4. (b) Keksi kaava, jolla z n voidaan laskea, jos n on annettu. Osoita kaava oikeaksi induktiota käyttäen. JYM, Syksy2015 52/162

(a) Lasketaan: z 2 = z 1 + 2z 0 = 5, z 3 = z 2 + 2z 1 = 7, z 4 = z 3 + 2z 2 = 17. (b) Arvaus: z n = 2 n +( 1) n kaikilla n N. Osoitetaan arvaus oikeaksi induktiolla. JYM, Syksy2015 53/162

Kuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että A X. Joukon Akuvakuvauksessa f on joukko fa = { y Y y = f (a) missä a A }. Huom. Kuvan fa muodostavat siis ne maalin alkiot, jotka ovat joukon A alkioiden kuva-alkoita. Määritelmä tarkoittaa, että w fa, jos ja vain jos w Y ja w = f (a) jollakin a A. Lyhyesti sanottuna fa = { f (a) a A }. JYM, Syksy2015 62/162

Alkukuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että B Y. Joukon Balkukuvakuvauksessa f on joukko f B = { x X f (x) B }. Huom. Alkukuvan f B muodostavat siis ne lähdön alkiot, joiden kuva-alkiot kuuluvat joukkoon B. Määritelmä tarkoittaa, että t f B, jos ja vain jos t X ja f (t) B. JYM, Syksy2015 72/162

Kuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että A X. Joukon Akuvakuvauksessa f on joukko fa = { y Y y = f (a) missä a A }. Huom. Kuvan fa muodostavat siis ne maalin alkiot, jotka ovat joukon A alkioiden kuva-alkoita. Määritelmä tarkoittaa, että w fa, jos ja vain jos w Y ja w = f (a) jollakin a A. Lyhyesti sanottuna fa = { f (a) a A }. JYM, Syksy2015 62/162

Alkukuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että B Y. Joukon Balkukuvakuvauksessa f on joukko f B = { x X f (x) B }. Huom. Alkukuvan f B muodostavat siis ne lähdön alkiot, joiden kuva-alkiot kuuluvat joukkoon B. Määritelmä tarkoittaa, että t f B, jos ja vain jos t X ja f (t) B. JYM, Syksy2015 72/162

Injektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on injektio, jos kaikilla x 1, x 2 X yhtälöstä f (x 1 )=f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2. Lause 28 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on injektio, jos ja vain jos lähdön eri alkioilla on eri kuva-alkiot; ts. kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 = x 2,niinf (x 1 ) = f (x 2 ). JYM, Syksy2015 89/162

Injektio Esimerkki 29 Ovatko seuraavat kuvaukset injektioita? (a) f : R {1} R, jolle x x x 1. JYM, Syksy2015 91/162

(a) Oletetaan, että x 1, x 2 R {1} ja f (x 1 )=f (x 2 ). Tällöin x 1 x 1 1 = x 2 x 2 1. Kertomalla yhtälön molemmat puolet nimittäjillä saadaan x 1 (x 2 1)=x 2 (x 1 1). Tästä seuraa, että x 1 x 2 x 1 = x 1 x 2 x 2 ja edelleen x 1 = x 2.Siisx 1 = x 2. Näin ollen kuvaus f on injektio. JYM, Syksy2015 92/162

(b) g : R R, jolle g(x)=x 2. Kuvaus g ei ole injektio, sillä esimerkiksi 2, 2 R ja 2 = 2, mutta g( 2)=4 = g(2). JYM, Syksy2015 93/162

Injektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on injektio, jos kaikilla x 1, x 2 X yhtälöstä f (x 1 )=f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2. Lause 28 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on injektio, jos ja vain jos lähdön eri alkioilla on eri kuva-alkiot; ts. kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 = x 2,niinf (x 1 ) = f (x 2 ). JYM, Syksy2015 89/162

Surjektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on surjektio, jos jokaisella y Y on olemassa ainakin yksi sellainen x X, ettäf (x)=y. Lause 30 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on surjektio, jos ja vain jos fx= Y. JYM, Syksy2015 96/162

Surjektio Esimerkki 31 Ovatko seuraavat kuvaukset surjektioita? (a) f : R {1} R, jolle x x x 1. JYM, Syksy2015 98/162

Tutkitaan asiaa: Oletetaan, että y R ja tutkitaan yhtälöä f (x)=y: x = y x = y(x 1) x = yx y x 1 x yx = y (1 y)x = y. Havaitaan, että jos y = 1, päädytään yhtälöön 0x = 1, jolla ei ole ratkaisua. Ongelmallinen maalin alkio on siis y = 1. Näin vaikuttaa siltä, että f (x) = 1kaikillax R {1}. JYM, Syksy2015 99/162

Varsinainen perustelu: Osoitetaan, että f ei ole surjektio. Vastaoletus: Oletetaan, että f on surjektio. Tällöin on olemassa erityisesti sellainen x R {1}, ettäf (x)=1eli x x 1 = 1. Tästä seuraa, että x = x 1jaedelleen0= 1. Tämä on ristiriita. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee. Näin ollen f ei ole surjektio. JYM, Syksy2015 100/162

(b) g : R R, jolle g(x)=x 2. Kuvaus g ei ole surjektio: Havaitaan, että g(x)=x 2 0 kaikilla x R. Siten esimerkiksi g(x) = 1 kaikilla x R. JYM, Syksy2015 101/162

Surjektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on surjektio, jos jokaisella y Y on olemassa ainakin yksi sellainen x X, ettäf (x)=y. Lause 30 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on surjektio, jos ja vain jos fx= Y. JYM, Syksy2015 96/162

(c) τ : R [0, [, jolle τ(x)=x 2. y y Oletetaan, että y [0, [. Tällöin y on määritelty ja y R. Lisäksi Siis τ on surjektio. τ( y)=( y) 2 = y. JYM, Syksy2015 102/162

(d) h: R R, jolle h(x)= 1 2 x + 1. y Huom. 2y 2 Oletetaan, että y R. Tällöin 2y 2 R ja lisäksi h(2y 2)= 1 (2y 2)+1 = y 1 + 1 = y. 2 Siis h on surjektio. Alkio 2y 2 R löydetään ratkaisemalla x yhtälöstä h(x)=y eli yhtälöstä 1 2 x + 1 = y. JYM, Syksy2015 103/162

Kuvauksien samuus Määritelmä Kuvaukset f : X Y ja g : V W ovat samat, jos niillä on sama lähtö eli X = V, niillä on sama maali eli Y = W, f (z) = g(z) kaikilla yhteisen lähdön alkioilla z. Huom. Tällä kurssilla käytetään tätä tiukkaa määritelmää, jotta vältytään epämääräisyyksiltä myöhemmin injektion ja surjektion käsitteiden yhteydessä. JYM, Syksy2015 57/162

Yhdistetty kuvaus Määritelmä Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f tarkoittaa kuvausta X Z, jolla x g(f (x)). Toisin sanottuna yhdistetty kuvaus g f : X Z määritellään asettamalla (g f )(x)=g(f (x)) kaikilla x X. Huom. Huomaa kuvausten järjestys: ensimmäinen kuvaus kirjoitetaan oikealle puolelle lähimmäs lähdön alkiota. JYM, Syksy2015 104/162

Yhdistetty kuvaus Huom. Joskus vain toinen kuvauksista g f ja f g on määritelty. Usein g f = f g, vaikka molemmat ovat määriteltyjä. JYM, Syksy2015 108/162

Identtinen kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X on mikä tahansa joukko. Joukon Xidenttinen kuvaus id X tarkoittaa kuvausta X X, jolla x x kaikilla x X. Toisin sanottuna joukon X identtinen kuvaus id X : X X määritellään asettamalla id X (x)=x kaikilla x X. Huom. Esimerkin 32 b-kohdan kuvaus f f : R R on joukon R identtinen kuvaus id R,sillä(f f )(x)=x kaikilla x R. JYM, Syksy2015 109/162

Yhdistetyt kuvaukset ja injektiot Esimerkki 34 Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat injektioita. Osoita, että g f : X Z on injektio. JYM, Syksy2015 112/162

Yhdistetyt kuvaukset ja surjektiot Esimerkki 35 Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat surjektioita. Osoita, että g f : X Z on surjektio. JYM, Syksy2015 113/162

Identtinen kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X on mikä tahansa joukko. Joukon Xidenttinen kuvaus id X tarkoittaa kuvausta X X, jolla x x kaikilla x X. Toisin sanottuna joukon X identtinen kuvaus id X : X X määritellään asettamalla id X (x)=x kaikilla x X. Huom. Esimerkin 32 b-kohdan kuvaus f f : R R on joukon R identtinen kuvaus id R,sillä(f f )(x)=x kaikilla x R. JYM, Syksy2015 109/162

Määritelmä Käänteiskuvaus Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos on olemassa sellainen kuvaus g : Y X, että g f = id X ja f g = id Y, niin sanotaan, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Kuvauksen f käänteiskuvausta merkitään f 1. Huom. Voidaan osoittaa, että jokaisella kuvauksella on enintään yksi käänteiskuvaus. Sen vuoksi merkintä f 1 on yksikäsitteinen ja siten mielekäs. JYM, Syksy2015 114/162

Käänteiskuvaus Esimerkki 37 Oletetaan, että f : R R ja g : R R ovat kuvauksia, joilla f (x)=4 3x ja g(x)= 4 3 1 3 x. Osoitetaan, että g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Oletetaan, että x R. Tällöin (g f )(x)=g(f (x)) = g(4 3x)= 4 3 1 (4 3x) 3 = 4 3 4 3 + 3 3 x = x = id R(x). JYM, Syksy2015 116/162

Tämä tarkoittaa, että kuvaukset g f : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Lisäksi ( 4 (f g)(x)=f (g(x)) = f 3 1 ) ( 4 3 x = 4 3 3 1 ) 3 x = 4 4 + x = x = id R (x). Tämä tarkoittaa, että kuvaukset f g : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Siis g f = id R ja f g = id R, joten g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Voidaan merkitä g = f 1. JYM, Syksy2015 117/162

Määritelmä Käänteiskuvaus Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos on olemassa sellainen kuvaus g : Y X, että g f = id X ja f g = id Y, niin sanotaan, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Kuvauksen f käänteiskuvausta merkitään f 1. Huom. Voidaan osoittaa, että jokaisella kuvauksella on enintään yksi käänteiskuvaus. Sen vuoksi merkintä f 1 on yksikäsitteinen ja siten mielekäs. JYM, Syksy2015 114/162

Käänteiskuvaus Esimerkki 38 Oletetaan, että h: R {1} R {2} on kuvaus, jolle x 2x x 1. Määritä kuvauksen h käänteiskuvaus tai perustele, että sitä ei ole olemassa. JYM, Syksy2015 118/162

Oletetaan, että y R {2} ja tutkitaan yhtälöä h(x)=y: h(x)=y 2x = y 2x = y(x 1) x 1 2x = yx y 2x yx = y (2 y)x = y x = y 2 y. Huomaa, että viimeisessä askeleessa tarvittiin oletusta y R {2}. JYM, Syksy2015 119/162

Esimerkin 38 varsinainen ratkaisu: Määritellään g : R {2} R {1} asettamalla t t 2 t. Huomaa, että tässä käytetään lauseketta, joka saatiin edellä ratkaisemalla x yhtälöstä h(x)= y. Näin saadaan hyvin määritelty kuvaus, sillä jos t R {2}, niin osamäärä t/(2 t) on määritelty; on yksikäsitteinen; kuuluu maaliin R {1}: jos olisi t/(2 t)=1, niin t = 2 t eli 0 = 2, ristiriita! JYM, Syksy2015 120/162

Osoitetaan, että g on kuvauksen h käänteiskuvaus. Oletetaan, että x R {2}. Tällöin ( x (h g)(x)=h(g(x)) = h 2 x = 2x 2 x x 2 x 2 x 2 x = ( ) ) = 2 x 2x 2 x x (2 x) 2 x 2 x x 2 x 1 = 2x 2 x 2 x x 2 + x = 2x 2 = x = id(x). Näin ollen kuvaukset h g : R {2} R {2} ja id: R {2} R {2} ovat sama kuvaus. JYM, Syksy2015 121/162

Oletetaan, että x R {1}. Tällöin ( 2x ) (g h)(x)=g(h(x)) = g = 2x x 1 x 1 2 2x x 1 = 2(x 1) x 1 2x x 1 2x x 1 = 2x x 1 2x 2 2x x 1 = 2x x 1 x 1 2 = x = id(x). Näin ollen kuvaukset g h: R {1} R {1} ja id: R {1} R {1} ovat sama kuvaus. JYM, Syksy2015 122/162

Näin on osoitettu, että h g = id R {2} ja g h = id R {1}. Siis kuvaus g on kuvauksen h käänteiskuvaus eli g = h 1. JYM, Syksy2015 123/162

Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos kuvaus f on sekä injektio että surjektio, niin sanotaan, että kuvaus f on bijektio. Esimerkki 39 Esimerkeissä 29 ja 31 tarkasteltu kuvaus h: R R, jolle h(x)= 1 2x + 1, on bijektio. JYM, Syksy2015 124/162

Relaatio Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R X Y,niin sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R X X, niin sanotaan, että R on joukon X relaatio. Jos R on relaatio, niin merkintä arb tarkoittaa, että (a, b) R; toisin sanottuna alkio a on relaatiossa R alkion b kanssa. Huom. Usein relaatiota merkitään kirjaimen R sijasta jollakin symbolilla kuten esimerkiksi <,,, = tai. Relaatio tarkoittaa siis tulojoukon osajoukkoa. JYM, Syksy2015 130/162

Relaatio Esimerkki 42 Merkitään A = {1, 2, 3, 4, 5}. Määritellään joukon A relaatio R seuraavasti: R = { (x, y) A A x + y < 6 }. Tällöin esimerkiksi luku 2 on relaatiossa R luvun 3 kanssa, sillä 2 + 3 < 6. Tämä voidaan merkitä 2R3 tai(2, 3) R. (a) Esitä relaatio R luettelemalla kaikki siihen kuuluvat järjestetyt parit. (b) Esitä relaatio R koordinaatistossa. (c) Esitä relaatio R nuolikaavioina. JYM, Syksy2015 131/162

Relaatio Esimerkki 43 Merkitään A = {1, 2}. Määritellään joukkojen A ja P(A) välinen relaatio T seuraavasti: T = { (x, Y ) A P(A) x Y }. Tällöin esimerkiksi luku 1 on relaatiossa T alkion A P(A) kanssa, sillä 1 A. (a) Esitä relaatio T luettelemalla kaikki siihen kuuluvat järjestetyt parit. (b) Esitä relaatio T nuolikaavioina. JYM, Syksy2015 134/162

Relaation refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus Määritelmä Oletetaan, että R on joukon X relaatio. Relaatio R on refleksiivinen, jos kaikilla x X pätee xrx eli (x, x) R. symmetrinen, jos seuraava ehto toteutuu: jos a, b X ja arb, niinbra. transitiivinen, jos seuraava ehto toteutuu: Huom. jos a, b, c X ja arb ja brc, niinarc. Refleksiivisyys: jokaisen alkion on oltava relaatiossa itsensä kanssa. Huomaa symmetrisyyden ja transitiivisuuden ehdon jos..., niin... -rakenne. JYM, Syksy2015 137/162

Relaatio Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R X Y,niin sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R X X, niin sanotaan, että R on joukon X relaatio. Jos R on relaatio, niin merkintä arb tarkoittaa, että (a, b) R; toisin sanottuna alkio a on relaatiossa R alkion b kanssa. Huom. Usein relaatiota merkitään kirjaimen R sijasta jollakin symbolilla kuten esimerkiksi <,,, = tai. Relaatio tarkoittaa siis tulojoukon osajoukkoa. JYM, Syksy2015 130/162

Relaation refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus Määritelmä Oletetaan, että R on joukon X relaatio. Relaatio R on refleksiivinen, jos kaikilla x X pätee xrx eli (x, x) R. symmetrinen, jos seuraava ehto toteutuu: jos a, b X ja arb, niinbra. transitiivinen, jos seuraava ehto toteutuu: Huom. jos a, b, c X ja arb ja brc, niinarc. Refleksiivisyys: jokaisen alkion on oltava relaatiossa itsensä kanssa. Huomaa symmetrisyyden ja transitiivisuuden ehdon jos..., niin... -rakenne. JYM, Syksy2015 137/162

Relaation refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus Esimerkki 46 Määritellään joukon Z relaatio ehdolla a b, jos erotus a b on jaollinen luvulla 5. Onko refleksiivinen? Entä symmetrinen? Entä transitiivinen? Kertaa tarvittaessa jaollisuuden määritelmä (ennen esimerkkiä??). JYM, Syksy2015 140/162

Osoitetaan, että relaatio on refleksiivinen. Oletetaan, että a Z. Tällöin a a = 0 = 5 0, joten 5 (a a). Siisa a. Tämä päättely pätee millä tahansa kokonaisluvulla, joten jokainen kokonaisluku on relaatiossa itsensä kanssa. Osoitetaan, että relaatio on symmetrinen. Oletetaan, että a, b Z ja a b. Tällöin a b = 5k jollakin k Z. Kertomalla tätä yhtälöä molemmin puolin luvulla 1 saadaan yhtälö b a = 5 ( k), missä k Z. Näin ollen 5 (b a). Siis b a. Osoitetaan, että relaatio on transitiivinen. Oletetaan, että a, b, c Z ja lisäksi a b ja b c. Tällöin a b = 5k jollakin k Z ja b c = 5m jollakin m Z. Siten a c = a b + b c = 5k + 5m = 5(k + m), missä k + m Z. Näin5 (a c). Siisa c. JYM, Syksy2015 141/162

Ekvivalenssirelaatio Määritelmä Oletetaan, että R on joukon A relaatio. Jos R on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, niin sanotaan, että R on ekvivalenssirelaatio. Huom. Tärkeä esimerkki ekvivalenssirelaatiosta löytyy edellisestä esimerkistä (esimerkki 46). JYM, Syksy2015 142/162

Ekvivalenssirelaatio Esimerkki 48 Olkoon S kaikkien suomen kielen sanojen muodostama joukko. Määritellään joukon S relaatio T seuraavasti: T = {(a, b) S S sana a alkaa samalla kirjaimella kuin sana b }. Anna esimerkki alkioista a ja b, joille pätee (a, b) T. Onko T ekvivalenssirelaatio? Esimerkiksi ( kissa, koira ) T, sillä sana kissa alkaa samalla kirjaimella kuin sana koira. JYM, Syksy2015 145/162

Relaatio T on refleksiivinen, sillä jokainen sana on itsensä kanssa relaatiossa T. Nimittäin millä tahansa sanalla on sama alkukirjain kuin sillä itsellään. Relaatio T on symmetrinen:jos sana a alkaa samalla kirjaimella kuin sana b, niin sana b alkaa samalla kirjaimella kuin sana a. Relaatio T on transitiivinen:jos sana a alkaa samalla kirjaimella kuin sana b ja sana b alkaa samalla kirjaimella kuin sana c, niin kaikilla kolmella sanalla on sama alkukirjain.erityisesti sana a alkaa samalla kirjaimella kuin sana c. Relaatio T on siis refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, joten se on ekvivalenssirelaatio. JYM, Syksy2015 146/162

Ekvivalenssiluokat Määritelmä Oletetaan, että R on joukon A ekvivalenssirelaatio ja a A. Niiden alkioiden joukkoa, jotka ovat ekvivalenssirelaatiossa R alkion a kanssa, kutsutaan alkion a ekvivalenssiluokaksi ja merkitään [a] R. Toisin sanottuna [a] R = { b A (b, a) R } = { b A bra }. Kaikkien ekvivalenssiluokkien muodostamaa joukkoa merkitään A/R. Siis A/R = { [a] R a A }. JYM, Syksy2015 147/162

Ekvivalenssirelaatio Määritelmä Oletetaan, että R on joukon A relaatio. Jos R on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, niin sanotaan, että R on ekvivalenssirelaatio. Huom. Tärkeä esimerkki ekvivalenssirelaatiosta löytyy edellisestä esimerkistä (esimerkki 46). JYM, Syksy2015 142/162

Ekvivalenssiluokat Määritelmä Oletetaan, että R on joukon A ekvivalenssirelaatio ja a A. Niiden alkioiden joukkoa, jotka ovat ekvivalenssirelaatiossa R alkion a kanssa, kutsutaan alkion a ekvivalenssiluokaksi ja merkitään [a] R. Toisin sanottuna [a] R = { b A (b, a) R } = { b A bra }. Kaikkien ekvivalenssiluokkien muodostamaa joukkoa merkitään A/R. Siis A/R = { [a] R a A }. JYM, Syksy2015 147/162

Ekvivalenssiluokat Huom. Ekvivalenssirelaatio on refleksiivinen, joten jokainen joukon A alkio on ekvivalenssirelaatiossa itsensä kanssa. Siten a [a] R. Alkiota a sanotaan ekvivalenssiluokan [a] R edustajaksi. JYM, Syksy2015 148/162

Ekvivalenssiluokat Esimerkki 49 Esimerkissä 48 määriteltiin kaikkien suomen kielen sanojen muodostaman joukon S relaatio T seuraavasti: T = {(a, b) S S sana a alkaa samalla kirjaimella kuin sana b }. Osoittautui, että T on ekvivalenssirelaatio. Mitkä ovat sen ekvivalenssiluokat? Tarkastellaan aluksi sanaa aasi. Määritelmän mukaan [ aasi ] T = { s S (s, aasi ) T } = { s S sana s alkaa kirjaimella a } JYM, Syksy2015 149/162

Havaitaan, että sanan aasi ekvivalenssiluokan muodostavat kaikki a-kirjaimella alkavat sanat. Vastaavalla tavalla päättelemällä huomataan, että relaation T ekvivalenssiluokat ovat [ aasi ], [ banaani ], [ celsius ], [ demokratia ],...,[ öljy ]. Jokaisen ekvivalenssiluokan muodostavat siis kaikki tietyllä kirjaimella alkavat sanat. Edellä esimerkiksi sana demokratia on kaikkien d-kirjaimella alkavien sanojen edustaja. Kaikkien ekvivalenssiluokkien joukkoa merkitään S/T = { [ aasi ], [ banaani ], [ celsius ],...,[ öljy ] } JYM, Syksy2015 150/162

Ekvivalenssiluokat Esimerkki 50 Esimerkissä 46 määriteltiin joukon Z relaatio ehdolla a b, jos erotus a b on jaollinen luvulla 5, ja osoitettiin, että on ekvivalenssirelaatio. Mitkä ovat sen ekvivalenssiluokat? JYM, Syksy2015 151/162

Ekvivalenssiluokan määritelmän mukaan [0] = { z Z z 0 } = { z Z z 0 = 5k missä k Z } = { z Z z = 5k missä k Z } = { 5k k Z} Luvun 0 ekvivalenssiluokan muodostavat siis kaikki viidellä jaolliset luvut. Vastaavasti [1] = { z Z z 1 } = { z Z z 1 = 5k missä k Z } = { z Z z = 5k + 1missäk Z } = { 5k + 1 k Z} Luvun 1 ekvivalenssiluokan muodostavat ne luvut, joiden jakojäännös viidellä jaettaessa on 1. JYM, Syksy2015 152/162

Samaan tapaan voidaan osoittaa, että [2] = { 5k + 2 k Z}, [3] = { 5k + 3 k Z}, [4] = { 5k + 4 k Z} Viidellä jaettaessa mahdolliset jakojäännökset ovat 0, 1, 2, 3 ja 4, joten tässä ovat kaikki ekvivalenssiluokat. Kaikkien ekvivalenssiluokkien joukko on siis Z/ = {[0], [1], [2], [3], [4] }. Jokaisen ekvivalenssiluokan muodostavat kaikki ne kokonaisluvut, joilla on sama jakojäännös luvulla 5 jaettaessa. JYM, Syksy2015 153/162

Ekvivalenssiluokkien edustajiksi voidaan valita mitkä tahansa sopivat luvut. Esimerkiksi Z/ = {[15], [21], [17], [38], [ 11] }. Voit itse tarkistaa, että näillä edustajilla saadaan kaikki mahdolliset jakojäännökset. Esimerkiksi 11 = 3 5 + 4 eli luvun 11 jakojäännös viidellä jaettaessa on 4. Jakojäännöksiin liittyviä asioita opiskellaan tällä kurssilla myös tietojenkäsittely- ja tilastotieteen matematiikan osuudessa. JYM, Syksy2015 154/162

Merkitään A = {n N n 20}. Määritellään joukon P(N) relaatio asettamalla X Y, jos X Y A. Väite: on joukon P(N) ekvivalenssirelaatio. Muista symmetrisen erotuksen määritelmä: X Y =(X Y ) (Y X). 63/65

Esimerkiksi joukoilla X = {18, 19, 180, 190} ja Y = {1, 8, 9, 10, 180, 190} pätee X Y,sillä X Y = {18, 19} {1, 8, 9, 10} A. 64/65

Joukkojen mahtavuus Määritelmä Joukot A ja B ovat yhtä mahtavat, jos on olemassa bijektio joukosta A joukkoon B. Joukko A on äärellinen, jos se on tyhjä joukko tai yhtä mahtava joukon {k N 1 k n} kanssa jollakin n Nr{0}. Joukko A on numeroituva, jos se on äärellinen tai yhtä mahtava kuin joukko N. Joukko A on ylinumeroituva, jos ei ole numeroituva. JYM, Syksy2015 163/163