17. lokakuuta 2016
Kompleksiluvut
Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Reaali- ja imaginaariosia merkitään seuraavasti Re z = x, Im z = y. Kompleksiluvut z ja u ovat yhtäsuuret, jos ja vain jos Re z = Re u ja Im z = Im u
Laskutoimitukset Kompleksiluvuille z 1 = (x 1, y 1 ) ja z 2 = (x 2, y 2 ) voidaan määritellä yhteen- ja vähennyslasku kaavoilla z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), z 1 z 2 = (x 1 x 2, y 1 y 2 ), kertolasku kaavalla z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ), ja jakolasku kaavalla ( z 1 x1 x 2 + y 1 y 2 = z 2 x2 2 + y 2 2, x ) 1y 2 + x 2 y 1 x2 2 + y 2 2.
Tavanomainen esitys Yhteen- ja kertolaskun määritelmien perusteella (x 1, 0) + (x 2, 0) = (x 1 + x 2, 0), (x 1, 0)(x 2, 0) = (x 1 x 2, 0). Täten kompleksilukujen voidaan ajatella laajentavan reaalilukujen joukkoa ja merkitsemme (x, 0) = x. Ottamalla nyt käyttöön imaginaariyksikön merkintä i = (0, 1) päästään tavanomaiseen kompleksilukujen esitykseen z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy Erityisesti i 2 = (0, 1)(0, 1) = (0 1, 0 + 0) = ( 1, 0) = 1
Laskutoimitukset Tavanomaista esitykselle yhteenlaskuksi saadaan z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) ja vähennyslaskuksi z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 ) + i(y 1 y 2 )
Laskutoimitukset Tavanomaista esitykselle kertolaskuksi saadaan z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ja jakolaskuksi z 1 z 2 = x 1 + iy 1 x 2 + iy 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) (x 2 + iy 2 )(x 2 iy 2 ) = x 1x 2 ix 1 y 2 + iy 1 x 2 i 2 y 1 y 2 x 2 2 i2 y 2 2 = x 1x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 + i x 2y 1 x 1 y 2 x 2 2 + y 2 2
Esimerkki laskutoimituksista ESIMERKKI. Kerto- ja jakolasku Olkoot z 1 = 3 + 7i ja z 2 = 5 6i. Tällöin ja z 1 z 2 = (3 + 7i)(5 6i) = 15 18i + 35i 42i 2 = 57 + 17i z 1 z 2 = 3 + 7i 5 6i = (3 + 7i)(5 + 6i) (5 6i)(5 + 6i) 15 + 18i + 35i + 42i2 = 25 + 30i 30i 36i 2 = 27 61 + i 53 61
Yhteenlaskun ominaisuudet Yhteenlaskulla on seuraavat ominaisuudet: (1) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (2) (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) (3) on olemassa kompleksiluku ω, jolle pätee z + ω = z kaikilla kompleksiluvuilla z. Kyseessä on selvästi kompleksiluku nolla 0 = (0, 0). (4) jokaisella kompleksiluvulla z on olemassa vastaluku η, siten että z + η = 0. Selvästi jos z = (x, y) niin η = ( x, y).
Esimerkki yhteenlaskun ominaisuuksista ESIMERKKI. Vaihdannaisuuden todistaminen Olkoot z 1 = (x 1, y 1 ) ja z 2 = (x 2, y 2 ). Tällöin z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) yhteenlaskun määritelmä = (x 2 + x 1, y 2 + y 1 ) reaalilukujen vaihdannaisuus = (x 2, y 2 ) + (x 1, y 1 ) yhteenlaskun määritelmä = z 2 + z 1
Kertolaskun ominaisuudet Kertolaskulla on seuraavat ominaisuudet: (1) z 1 z 2 = z 2 z 1 (2) z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 )z 3 (3) on olemassa kompleksiluku ψ, jolle pätee zψ = z kaikilla kompleksiluvuilla z. Kyseessä on kompleksiluku yksi 1 = (1, 0). (4) jokaisella z 0 on olemassa luku z 1 (, jolle pätee z 1 ) z = 1. Kyseessä on käänteisluku z 1 = 1 z = x x 2 +y, y 2 x 2 +y 2 (5) z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3
Liittoluku Kompleksiluvun z = (x, y) = x + iy liittoluku eli kompleksikonjugaatti on z = (x, y) = x iy. Liittoluvulla on seuraavat ominaisuudet: o z = z o z 1 + z 2 = z 1 + z 2 o z ( 1 z 2 ) = z 1 z 2 z o 1 z 2 = z1 z 2 Kompleksiluvun z reaali- ja imaginaariosa voidaan esittää liittoluvun avulla seuraavasti Re z = 1 2 (z + z) ja Im z = 1 (z z) 2i
Esimerkki laskutoimituksista ESIMERKKI. Liittoluku Lasketaan kompleksiluvun (5 + i)(2 + i) imaginaariosa. Im((5 + i)(2 + i)) = Im((5 + i) (2 + i)) = Im((5 i)(2 i)) = Im(10 7i + i 2 ) = Im(9 7i) = 7
Kompleksitaso
Kompleksitaso Koska kompleksiluku on järjestetty reaalilukupari voidaan kompleksiluvun ajatella vastaavan pistettä tasossa Kompleksiluku z = (x, y) voidaan havainnollistaa vektorina xy-tasossa. Vektorin alkupiste sijaitsee origossa ja päätepiste kohdassa (x, y). Tätä xy-tasoa kutsutaan kompleksitasoksi tai z-tasoksi Matemaattisesti kompleksitaso määritetään joukoksi ja sille käytetään merkintää C R R = {(x, y) x, y R}
Tason akselit Kompleksiluvun reaaliosa x = Re z on pisteen (x, y) projektio x-akselille Kompleksiluvun imaginaariosa z = Im z on pisteen (x, y) projektio y-akselille Täten x-akselia kutsutaan reaaliakseliksi ja y-akselia imaginaariakseliksi Imaginaariakseli y (x1,y1) y1 x1 x Reaaliakseli
Kompleksilukujen yhteenlasku Kompleksilukujen summa vastaa kompleksitasossa vektoriyhteenlaskua y z 1 z 1 +z 2 z 2 x
Kompleksilukujen erotus Kompleksilukujen erotus vastaa kompleksitasossa vektorivähennyslaskua y z 1 z 2 z 1 z 2 x z 2
Moduuli Kompleksiluvun z = (x, y) moduuli eli itseisarvo on z = x 2 + y 2 = zz Moduuli on pisteen (x, y) etäisyys origosta Moduuli on ei-negatiivinen reaaliluku, joka saa arvon nolla vain kun z = 0 z 1 z 2 on pisteiden z 1 ja z 2 etäisyys Moduulilla on seuraavat ominaisuudet z 1 z 2 = z 1 z 2 ja z 1 = z 1 z 2 z 2 (z 2 0)
Esimerkki moduulista ESIMERKKI. Moduuli Lasketaan kompleksilukujen z 1 = 1 + 2i ja z 2 = 3 + 2i moduulit sekä tulon z 1 z 2 moduuli. z 1 = 1 2 + 2 2 = 5 ja z 2 = 3 2 + 2 2 = 13 Moduulin ominaisuuden perusteella z 1 z 2 = z 1 z 2 = 5 13 = 65 tai z 1 z 2 = 1 + 8i = ( 1) 2 + 8 2 = 65
Esimerkki moduulista ESIMERKKI. Etäisyys Yhtälö z 3 = 2 kuvaa ympyrää jonka keskipiste on kohdassa z = 3 ja jonka säde on 2. Tarkastellaan sijaitsevatko pisteet 1 + i ja 2 i ympyrän sisäpuolella. Pisteet sijaitsevat sisäpuolella jos pisteelle z 0 pätee ehto z 0 3 < 2. Laskemalla saadaan pisteelle 1 + i 1 + i 3 = 2 + i = ja pisteelle 2 i 2 i 3 = 1 i = ( 2) 2 + 1 2 = 5 > 2 Ei ( 1) 2 + ( 1) 2 = 2 < 2 Kyllä
Napakoordinaatisto Tason piste (x, y) voidaan esittää napakoordinaattien (r, φ) avulla muodossa x = r cos φ ja y = r sin φ missä r on pisteen etäisyys origosta ja φ kiertokulma x-akselista (positiivinen kiertosuunta vastapäivään) Täten kompleksiluku voidaan esittää polaarimuodossa z = x + iy = r(cos φ + i sin φ), missä r = z ja napakulmaa φ sanotaan kompleksiluvun argumentiksi, josta käytetään merkintää arg z φ = arg z = arctan y x, z 0
Napakoordinaatisto y z = (x,y) z φ x
Argumentti Kompleksiluvun z argumentti arg z on 2π:n monikerran tarkkuudella määritelty reaaliluku. Argumentille sovitaan päähaara, jota merkitään Arg. Päähaaraksi sovimme π < Arg z π Täten arg z = Arg z + 2πk, k Z
Argumentin määrittäminen Sinin ja kosinin jakso on 2π kun taas tangentin jakso on π Määritettäessä kompleksiluvun päähaaraa täytyy ottaa huomioon missä koordinaattineljänneksellä luku sijaitsee Yleisesti arg z = { arctan y/x Re x > 0 ±π + arctan y/x Re x < 0.
Esimerkki polaarimuodosta ESIMERKKI. Kompleksilukujen polaarimuoto Olkoot z 1 = 1 + i ja z 2 = 1 i. Määritetään lukujen moduulit ja päähaarat. Täten ja z 1 = 1 2 + 1 2 = 2, z 2 = φ 1 = arctan 1 1 = 1 4 π, ( 1) 2 + ( 1) 2 = 2 φ 2 = π + arctan 1 1 = 3 4 π z 1 = 2(cos π/4 + i sin π/4) z 2 = 2(cos( 3π/4) + i sin( 3π/4)) = 2(cos 3π/4 i sin 3π/4)
Kolmioepäyhtälö Kolmioepäyhtälö kompleksiluvuille z 1 + z 2 z 1 + z 2 Kolmion sivun pituus on aina korkeintaan kahden muun sivun pituuksien summa Yleistettynä z 1 + z 2 +... + z n = z 1 + z 2 +... + z n y z1 +z2 z2 z1 +z2 z2 z1 z1 x
Kompleksilukujen tulo Esittämällä kompleksiluvut z 1 ja z 2 napakoordinaateissa: z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) tulolle z 1 z 2 saadaan z 1 z 2 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 )r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) Täten tulolle pätee = r 1 r 2 (cos φ 1 cos φ 2 sin φ 1 sin φ 2 +i(cos φ 1 sin φ 2 + sin φ 1 cos φ 2 )) = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )) 1 z 1 z 2 = z 1 z 2 ja arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 1 sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y
Tulo napakoordinaatistossa z 1 z 2 y z 2 φ 1 +φ 2 z 1 z 2 z 1 φ 2 φ 1 x
Kompleksilukujen osamäärä Käyttämällä napakoordinaattiesitystä osamäärälle saadaan z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 z 2 = r 1(cos φ 1 + i sin φ 1 )r 2 (cos( φ 2 ) + i sin( φ 2 )) r2 2 = r 1 (cos(φ 1 φ 2 ) + i sin(φ 1 φ 2 )) r 2 Osamäärälle pätee täten z 1 z = z 1 ja 2 z 2 arg ( ) z1 z 2 = arg z 1 arg z 2
Osamäärä napakoordinaatistossa y z 2 z 1 φ 1 φ 2 z 1 z 2 φ 1 φ 2 x
De Moivre n kaava Tulon ja osamäärän ominaisuuksien avulla voimme johtaa de Moivren kaavan (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ, n Z Voimme hyödyntää kaavaa kompleksiluvun juurten laskemisessa
Kompleksilukujen juuret Etsitään annetun kompleksiluvun z n:s juuri Käyttämällä polaarimuotoa w = n z z = r(cos φ + i sin φ), w = R(cos ψ + i sin ψ) ja de Moivren kaavaa, saamme kirjoitettua yhtälön w n = z muotoon R n (cos nψ + i sin nψ) = r(cos φ + i sin φ) Täten ja R n = r R = n r nψ = φ + 2kπ ψ = φ n + 2kπ n, k Z
Kompleksilukujen juuret Täten saadaan n z = n r ( cos φ + 2kπ n + i sin φ + 2kπ ) n Erisuuret juuret saadaan kun k = 0, 1,..., n 1. Saadaan siis n kappaletta juuria. Juuret sijaitsevat n r-säteisen ympyrän kehällä tasaisesti jakautuneina ja muodostavat säännöllisen n-monikulmion. Erityisesti jos z = 1 niin r = 1, φ = 0 ja juuret sijaitsevat yksikköympyrän kehällä ja monikulmion kärjet pisteissä ( ) 2kπ cos + i sin n ( 2kπ n ), k = 0, 1,..., n 1
Esimerkki juurista ESIMERKKI. Kompleksilukujen juuret Ratkaistaan yhtälö z 8 = 1 eli muodostetaan juuret 8 1. Aiemman perusteella ( ) 2kπ z k = cos + i sin 8 ( 2kπ 8 ), k = 0, 1,..., 7 Sijoittamalla arvot yhtälöön ratkaisuksi saadaan ±1, ±i, ±( 2 + i 2)/2 ja ±( 2 i 2)/2. i 1 1 i
Kompleksifunktiot ja kuvaukset
Kompleksifunktio Kompleksimuuttujan (yksiarvoinen) funktio f : D C C on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon D pisteeseen z yksikäsitteisen kompleksiluvun w. Kirjoitamme w = f (z) Joukkoa D kutsutaan funktion f määrittelyjoukoksi Joukkoa R = {w = f (z) : z D} kutsutaan funktion f arvojoukoksi
Kompleksifunktio Merkitsemällä z = x + iy ja w = u + iv saamme esityksen f (x + iy) = u + iv Koska u ja v riippuvat muuttujista x ja y voimme kirjoittaa f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) Jos u(x, y) ja v(x, y) ovat annettu niin voimme käyttää kaavoja Re z = x = 1 2 (z + z) ja Im z = y = 1 (z z) 2i ilmaistaksemme funktion f muuttujien z ja z avulla
Esimerkki kompleksifunktiosta ESIMERKKI. Kompleksifunktio Esitetään funktio f (z) = z 2 muodossa f (z) = u(x, y) + iv(x, y). f (z) = (x + iy) 2 = x 2 + 2ixy + i 2 y 2 = (x y 2 ) + i2xy Nyt siis u(x, y) = x y 2 ja v(x, y) = 2xy
Esimerkki kompleksifunktiosta ESIMERKKI. Kompleksifunktio Esitetään funktio f (z) = 4x 2 + i4y 2 muuttujien z ja z avulla. ( ) 1 2 ( ) 1 2 f (z) = 4 2 (z + z) + i4 2i (z z) = z 2 + 2zz + z 2 i(z 2 2zz + z 2 ) = (1 i)z 2 + (2 + 2i)zz + (1 i)z 2
Kompleksifunktion geometrinen tulkinta Kompleksifunktio w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) kuvaa joukon D transformaatiota z-tasosta (tai xy-tasosta) w-tasoon (tai uv-tasoon) y v w = f(z) D R x u
Translaatio (siirto) Olkoon B = a + ib annettu kompleksiluku. Kuvausta w = T(z) = z + B = x + a + i(y + b) kutsutaan translaatioksi. Se siirtää pisteen z vektorin a + ib verran pisteeseen w = T(z). y v B w = z +B x u
Skaalaus (mittakaavan muutos) Olkoon K > 0 annettu reaaliluku. Kuvausta w = S(z) = Kz = Kx + iky kutsutaan skaalaukseksi. Jos K < 1 kuvaus kutistaa pisteiden välistä etäisyyttä. Jos K > 1 kuvaus venyttää pisteiden välistä etäisyyttä. y v w = Kz x u
Rotaatio (kierto) Olkoon φ 0 annettu reaaliluku ja z 0 = cos φ 0 + i sin φ 0. Kuvausta w = R(z) = z 0 z kutsutaan rotaatioksi. Rotaatiossa pistettä z kierretään kulman φ 0 verran (origoon nähden). y v φ 0 w = R(z) x u
Lineaarinen kuvaus Olkoon A ja B annettuja kompleksilukuja. Kuvausta w = W (z) = Az + B kutsutaan lineaariseksi kuvaukseksi. Sen voidaan ajatella koostuvan rotaatiosta, skaalauksesta ja translaatiosta: missä K = A ja φ 0 = Arg A w = K(cos φ 0 + i sin φ 0 )z + B,
Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Lineaarinen kuvaus Osoitetaan että lineaarinen kuvaus w = f (z) = iz + i muuntaa tason Re z > 1 tasoksi Im w > 2. Merkitään z = x + iy, jolloin u + iv = w = i(x + iy) + i = y + i(x + 1) joten u = y ja v = x + 1. Täten Re z = x = v 1 > 1 v > 2 Kyseessä siis taso Im w = v > 2. Kuvaus voidaan kirjoittaa muotoon ( w = cos π 2 + i sin π ) z + i 2 Kuvauksessa siis tasoa Re z > 2 kierretään kulman π/2 verran vastapäivään ja siirretään yhden yksikön verran ylöspäin.
Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Jatkoa y v w = iz +i x u
Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Lineaarinen kuvaus Etsitään lineaarikuvaus, joka kuvaa pisteet z 1 = 2 ja z 2 = 3i pisteiksi w 1 = 1 + i ja w 2 = 1. Sijoittamalla pisteet yhtälöön w = Az + B saadaan yhtälöryhmä 1 + i = 2A + B 1 = 3iA + B Ratkaisuksi saadaan A = (3 + 2i)/13 ja B = ( 2 + 3i)/13, joten w = 1 1 (3 + 2i)z + ( 2 + 3i) 13 13
Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Lineaarinen kuvaus Muodostetaan lineaarinen kuvaus, jossa tasoa kierretään ja skaalataan pisteen z 1 = 1 + i suhteen. Valitaan rotaation arvoksi π/2 ja skaalauksen arvoksi 3. Tehdään ensiksi translaation avulla piste z 1 tason w a origoksi w a = z z 1 Suoritetaan seuraavaksi rotaatio ja skaalaus w b = 3(cos π/2 + i sin π/2)w a = 3iw a Siirrytään sitten translaation avulla w-tasoon w = w b + z 1 = 3i(z z 1 ) + z 1 = 3iz 2i + 4
Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = z 2 Käyttämällä polaariesitystä w = R(cos θ + i sin θ), z = r(cos φ + i sin φ) kuvaukselle w = z 2 saadaan w = R(cos θ + i sin θ) = r 2 (cos 2φ + i sin 2φ) josta seuraa, että R = r 2 ja θ = 2φ. w = z 2 kuvauksessa siis ympyrät r = r 0 kuvautuvat ympyröiksi R = r 2 0 ja puolisuorat φ = φ 0 kuvautuvat puolisuoriksi θ = 2φ 0 y v w = z 2 x u
Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = z 2 Merkitsemällä z = x + iy saadaan w = z 2 = x 2 y 2 + i2xy eli u = x 2 y 2 ja v = 2xy Kun x = a niin u = a 2 y 2 ja v = 2ay, josta saadaan u = a 2 v 2 4a 2 Suora x = a kuvautuu siis paraabeliksi. Samoin suora y = b kuvautuu paraabeliksi u = b 2 + v 2 4b 2
Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = z 2 y v y = b x = a w = z 2 x u
Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = 1/z Merkitsemällä z = x + iy saadaan kuvaukselle w = 1/z w = 1 x + iy = x iy x 2 + y 2 u = x x 2 + y 2, v = Kun x = a ratkaisemalla saadaan ( u 2 + v 2 = u/a u 1 ) 2 + v 2 = 2a y x 2 + y 2 ( ) 1 2 2a Suora kuvautuu siis ympyräksi, jonka keskipiste on kohdassa u = 1/(2a) ja v = 0 ja jonka säde on 1/(2a). Samoin voidaan osoittaa, että suora y = b muuntuu kuvauksessa ympyräksi, jonka keskipiste on kohdassa u = 0 ja v = 1/(2b) ja jonka säde on 1/(2b).
Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = 1 z y v x = a w = 1 z y = b x u
Konformikuvaus Konformikuvaus on kulmien suuruuden ja suunnan säilyttävä kuvaus α w = f(z) α
Esimerkki konformikuvauksesta ESIMERKKI. Konformikuvaus f (z) = z 2 on konformikuvaus muualla paitsi pisteessä z = 0 y v w = z 2 x u
Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
Kompleksifunktion raja-arvo Olkoon f (z) kompleksifunktio, joka on määritelty jossain pisteen z 0 ympäristössä 2, mutta ei välttämättä pisteessä z 0. Funktiolla f on raja-arvo w 0 kun z lähestyy pistettä z 0 edellyttäen, että f (z) lähestyy arvoa w 0 kun z lähestyy pistettä z 0. Merkitsemme lim z z 0 f (z) = w 0 Määritelmä Funktiolla f on raja-arvo w 0 pisteessä z 0, jos jokaisella luvulla ǫ > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f (z) w 0 < ǫ kun z z 0 < δ 2 Joukko D C on pisteen z 0 ympäristö, jos z 0 D ja D on avoin
Esimerkki raja-arvosta ESIMERKKI. Raja-arvo Osoitetaan, että funktion f (z) = z 2 raja-arvo on -1 kun z i. Kun ǫ 3 valitaan δ = 1 eli z i < 1. Nyt kaikille pisteille z jotka toteuttavat ehdot z i < 1 pätee z 2 ( 1) = (z i)(z + i) = (z i)(z i + 2i) = z i ( z i + 2i ) z i ( z i + 2) < z i + 2 < 3 < ǫ Kun ǫ < 3 valitaan δ = ǫ/3 eli z i < ǫ 3. Nyt z 2 ( 1) z i ( z i + 2) < ǫ 3 ( ǫ ( ) ǫ + 6 3 + 2) = ǫ < ǫ 9
Kompleksifunktion raja-arvo Lause Jos raja-arvo on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Raja-arvo voidaan palauttaa reaalifunktioiden raja-arvoon. Olkoon f (z) = u(x, y) + iv(x, y) kompleksifunktio, joka on määritelty jossain pisteen z 0 = x 0 + iy 0 ympäristössä. Silloin lim z z 0 f (z) = w 0 = u 0 + iv 0 jos ja vain jos lim u(x, y) = u 0 ja lim v(x, y) = v 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 )
Kompleksifunktion raja-arvo Lause Raja-arvosäännöt summalle, tulolle ja osamäärälle ovat samat kuin reaalifunktiolle. Olkoon lim z z0 f (z) = A ja lim z z0 g(z) = B. Tällöin lim [f (z) ± g(z)] = A ± B z z 0 lim f (z)g(z) = AB z z 0 f (z) lim z z 0 g(z) = A B, B 0
Esimerkki raja-arvosta ESIMERKKI. Raja-arvo Lasketaan Koska Saadaan z i z 2 + 1 = lim z i z i z 2 + i lim z i z i z 2 + 1 z i (z i)(z + i) = 1 z + i 1 = lim z i z + i = 1 2i = 1 2 i
Esimerkki raja-arvosta ESIMERKKI. Raja-arvo Etsitään funktion f (z) = z 2 2z + 1 raja-arvo kun z 1 + i. Nyt f (z) = z 2 2z + 1 = x 2 y 2 2xy + 1 + i(2xy 2y) Täten u = x 2 y 2 2xy + 1 ja v = 2xy 2y. Laskemalla raja-arvot u 0 = lim u(x, y) = 1 1 2 + 1 = 1 (x,y) (1,1) ja saadaan v 0 = lim v(x, y) = 2 2 = 0 (x,y) (1,1) lim f (z) = u 0 + iv 0 = 1 z 1+i
Kompleksifunktion jatkuvuus Määritelmä Funktio f on jatkuva pisteessä z 0, jos se on määritelty jossain pisteen z 0 ympäristössä, erityisesti pisteessä z 0, ja f (z 0 ) = lim z z0 f (z) Funktio on siis jatkuva pisteessä z 0 jos raja-arvo lim z z0 f (z) on olemassa, funktio on määritelty pisteessä z 0 ja jos raja-arvo yhtyy funktion arvoon pisteessä z 0
Kompleksifunktion jatkuvuus Lause Olkoon funktiot f ja g jatkuvia pisteessä z 0. Tällöin seuraavat funktiot ovat jatkuvia pisteessä z 0 : f (z) ± g(z) f (z)g(z) f (z) g(z), g(z 0) 0
Esimerkki jatkuvuudesta ESIMERKKI. Funktion jatkuvuus Tutkitaan funktion f (x) = { 0 kun z = 0 Im z z kun z 0 jatkuvutta kohdassa z = 0. Lähestytään pistettä suoraa x = ky (y>0) pitkin. Tällöin Im z lim z 0 z = lim z 0 y x 2 + y 2 = lim y 0+ y = lim y 0+ y k 2 + 1 = 1 k 2 + 1 y k 2 y 2 + y 2 Koska raja-arvo riippuu valitusta vakiosta k, niin funktiolla ei ole raja-arvoa origossa. Täten funktio ei ole jatkuva kohdassa z = 0.
Esimerkki jatkuvuudesta ESIMERKKI. Funktion jatkuvuus Tutkitaan funktion jatkuvutta kohdassa z = 0. Nyt lim z 0 Im z 1 + z = lim (x,y) (0,0) f (x) = Im z 1 + z Täten funktio on jatkuva pisteessä z = 0. y 1 + x 2 + y 2 = 0 = f (0)
Kompleksinen derivointi Määritelmä Olkoon f kompleksifunktio, joka on määritelty pisteen z 0 jossain ympäristössä. Funktio on derivoituva pisteessä z 0, jos raja-arvo f (z) f (z 0 ) lim z z 0 z z 0 on olemassa. Funktion f derivaattaa pisteessä z 0 merkitään f (z 0 ) = df dz (z 0) Merkitsemällä h = z z 0 derivaatan määritelmä voidaan esittää muodossa f (z 0 ) = lim h 0 f (z 0 + h) f (z 0 ) h
Esimerkki derivoinnista ESIMERKKI. Vakiofunktion derivaatta Vakiofunktion f (z) = C derivaatta on f (z) = 0, koska f (z 0 ) = f (z) f (z 0 ) C C lim = lim z z0 z z 0 z z0 z z 0 = 0 lim = 0 z z0 z z 0
Esimerkki derivoinnista ESIMERKKI. Funktion derivaatta Osoitetaan, että funktion f (z) = z 2 derivaatta on f (z) = 2z. f (z 0 ) = f (z) f (z 0 ) z 2 z0 2 lim = lim z z0 z z 0 z z0 z z 0 = (z z 0 )(z + z 0 ) lim = lim (z + z 0 ) z z0 z z 0 z z0 = 2z 0 Yleisemmin voidaan osoittaa, että d dz zn = nz n 1 missä n on positiivinen kokonaisluku
Esimerkki derivoinnista ESIMERKKI. Funktion derivaatta Osoitetaan, että funktion f (z) = z ei ole derivoituva. Nyt f (z) f (z 0 ) = (x x 0) i(y y 0 ) z z 0 (x x 0 ) + i(y y 0 ) Jos lähestymme pistettä z 0 = x 0 + iy 0 suoraa y = y 0 pitkin, niin f (z) f (z 0 ) x x 0 lim = lim = 1 z z 0 z z 0 z z0 x x 0 Toisaalta jos lähestymme pistettä z 0 suoraa x = x 0 pitkin, niin f (z) f (z 0 ) lim = lim y y 0 = 1 z z 0 z z 0 z z0 y y 0 Koska raja-arvo ei ole yksikäsitteinen ja piste z 0 valittiin mielivaltaisesti, niin f (z) ei ole missään derivoituva.
Derivoimiskaavat Lause Olkoon funktiot f ja g derivoituvia pisteessä z 0. Tällöin funktioiden summa, erotus, tulo ja osamäärä (mikäli z 0 ei ole nimittäjän nollakohta) ovat derivoituvia pisteessä z 0. Lisäksi yhdistetty funktio f g on derivoituva pisteessä z 0, jos funktio f on derivoituva pisteessä g(z 0 ). Derivaatoille pätee (f + g) (z) = f (z) + g (z) (fg) (z) = f (z)g(z) + f (z)g (z) ( ) f (z) = f (z)g(z) f (z)g (z) g g(z) 2 (f g) (z) = f (g(z))g (z)
Derivaatta ja jatkuvuus Lause Jos funktio on derivoituva pisteessä z 0, niin se on myös jatkuva pisteessä z 0 Todistus. f (z) f (z 0 ) lim [f (z) f (z 0 )] = lim (z z 0 ) z z 0 z z0 z z 0 f (z) f (z 0 ) = lim lim (z z 0 ) z z0 z z 0 z z0 = f (z 0 ) 0 = 0 Täten lim z z0 f (z) = f (z 0 ) ja siten f on jatkuva pisteessä z 0
Analyyttinen funktio Määritelmä Olkoon D C avoin joukko. Funktion f : D C sanotaan olevan analyyttinen joukossa D, jos f on derivoituva kaikissa pisteissä z D. Funktio f on analyyttinen pisteessä z, jos se on analyyttinen jossakin tämän pisteen ympäristössä
Analyyttinen funktio Derivaatan olemassaolo pisteessä z 0 ei takaa, että funktio on analyyttinen pisteessä z 0. Tähän vaaditaan, että funktio on myös derivoituva jossain pisteen z 0 kokonaisessa ympäristössä Koska jokainen z 0 :n ympäristö sisältää aina jonkin z 0 :n avoimen kiekon B ǫ (z 0 ) = {z C : z z 0 < ǫ}, niin f : D C on analyyttinen pisteessä z 0, jos on olemassa kiekko B ǫ (z 0 ) D siten että f on derivoituva kaikissa pisteissä z B ǫ (z 0 ) Polynomit P(z) = c n z n + c n 1 z n 1 +... + c 1 z + c 0, c i C, ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa Rationaalifunktiot (kahden polynomin osamäärä) ovat analyyttisiä lukuun ottamatta pisteitä joissa nimittäjällä on nollakohtia Jos f (z) on analyyttinen, niin f on konforminen kuvaus lukuun ottamatta pisteitä joissa f (z) = 0
Cauchy-Riemannin yhtälöt Lause Olkoon funktio f (z) = u(x, y) + iv(x, y) derivoituva pisteessä z 0 = x 0 + iy 0. Tällöin funktioilla u(x, y) ja v(x, y) on osittaisderivaatat pisteessä z 0 ja ne toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt: u(x 0, y 0 ) x = v(x 0, y 0 ) y ja u(x 0, y 0 ) y = v(x 0, y 0 ) x
Cauchy-Riemannin yhtälöt Todistus Derivaatan määritelmän perusteella f (z 0 ) = lim z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 Lähestymällä pistettä z 0 suoraa z = x + iy 0 pitkin, saamme f u(x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) + i(v(x, y 0 ) v(x 0, y 0 )) (z 0 ) = lim x x 0 x x 0 u(x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) v(x, y 0 ) v(x 0, y 0 ) = lim + i lim x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Täten f (z 0 ) = u(x 0, y 0 ) x + i v(x 0, y 0 ) x
Cauchy-Riemannin yhtälöt (Jatkoa). Toisaalta lähestymällä pistettä z 0 suoraa z = x 0 + iy pitkin, saamme f u(x 0, y) u(x 0, y 0 ) + i(v(x 0, y) v(x 0, y 0 )) (z 0 ) = lim y y 0 i(y y 0 ) v(x 0, y) v(x 0, y 0 ) u(x 0, y) u(x 0, y 0 ) = lim i lim y y 0 y y 0 y y 0 y y 0 Täten f (z 0 ) = v(x 0, y 0 ) y i u(x 0, y 0 ) y Koska funktio f on derivoituva pisteessä z 0, niin u(x 0, y 0 ) x = v(x 0, y 0 ) y ja u(x 0, y 0 ) y = v(x 0, y 0 ) x
Derivaatta ja Cauchy-Riemannin yhtälöt Jos funktio on derivoituva pisteessä z 0, niin silloin derivaatta voidaan laskea kaavojen ja avulla f (z 0 ) = u(x 0, y 0 ) x f (z 0 ) = v(x 0, y 0 ) y + i v(x 0, y 0 ) x i u(x 0, y 0 ) y Cauchy-Riemannin yhtälöt ovat välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Derivoituva funktio toteuttaa aina Cauchy-Riemannin yhtälöt, mutta Cauchy-Riemannin yhtälöt toteuttava funktio ei ole aina derivoituva. Riittävä ehto saadaan, kun osittaisderivaatat ovat jatkuvia.
Cauchy-Riemannin yhtälöt Lause Olkoon f (z) = u(x, y) + iv(x, y) jatkuva funktio, joka on määritelty jossain pisteen z 0 = x 0 + iy 0 ympäristössä. Jos funktioiden u ja v osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteessä z 0 ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt, niin funktio f on derivoituva pisteessä z 0
Esimerkki Cauchy-Riemannin yhtälöistä ESIMERKKI. Funktion analyyttisyys Tutkitaan funktiota f (z) = z 3. Nyt f (z) = z 3 = (x 3 3xy 2 ) + i(3x 2 y y 3 ) joten u = x 3 3xy 2 ja v = 3x 2 y y 3. Osittaisderivaatoiksi saadaan u x = 3x 2 3y 2 u y = 6xy ja v x = 6xy v y = 3x 2 3y 2 Koska osittaisderivaatat ovat jatkuvia ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt kaikilla z C, niin funktio f (z) = z 3 on derivoituva kaikilla z C ja siten analyyttinen koko kompleksitasossa
Esimerkki Cauchy-Riemannin yhtälöistä ESIMERKKI. Funktion analyyttisyys Tutkitaan funktiota f (z) = x 2 + y 2 + i2xy. Nyt u = x 2 + y 2 ja v = 2xy. Osittaisderivaatoiksi saadaan u x = 2x, u y = 2y, v x = 2y, v y = 2x joten yhtälö u x = v y toteutuu kaikilla x, y R ja yhtälö u y = v x totetuu jos y = 0. Täten f (z) on derivoituva vain x-akselilla. Kuitenkaan f (z) ei ole derivoituva missään pisteen z 0 = x 0 + i0 kokonaisessa ympäristössä z z 0 < ǫ ja siten funktio ei ole missään analyyttinen
Eräitä kompleksifunktioita
Eksponenttifunktio Määritelmä Olkoon z = x + iy C. Määrittelemme eksponenttifunktion kompleksitasossa kaavalla e z = e x (cos y + i sin y) Täten kun y = Im z = 0, saadaan tavallinen eksponenttifunktio e x Kun taas x = Re z = 0, saadaan Eulerin kaava e iy = cos y + i sin y
Eksponenttifunktio ja polaariesitys Koska kompleksiluku voidaan esittää polaarimuodossa z = r(cos φ + i sin φ), niin voimme esittää kompleksiluvun eksponenttifunktion avulla muodossa Nyt saamme erityisesti z = re iφ e ±iπ = 1, e 2iπ = 1, e ±iπ/2 = ±i
Eksponenttifunktion ominaisuuksia Lause Kompleksinen eksponenttifunktio on analyyttinen koko kompleksitasossa ja (i) (ii) d dz ez = e z e z 1+z 2 = e z 1 e z 2
Eksponenttifunktion ominaisuuksia Todistus Eksponenttifunktion määritelmä perusteella u(x, y) = e x cos y ja v(x, y) = e x sin y. Osittaisderivaatioille pätee u x = ex cos y = v y, u y = ex sin y = v x Osittaisderivaatat ovat jatkuvia ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt kaikilla x, y R ja siten eksponenttifunktio on analyyttinen koko kompleksitasossa. Lisäksi d dz ez = u x + i v x = ez
Eksponenttifunktion ominaisuuksia (Jatkoa). Osoitetaan seuraavaksi, että e z 1 e z 2 = e z 1+z 2 : e z 1 e z 2 = e x 1 (cos y 1 + i sin y 1 )e x 2 (cos y 2 + i sin y 2 ) = e x 1 e x 2 ([cos y 1 cos y 2 sin y 1 sin y 2 ] +i[sin y 1 cos y 2 + sin y 2 cos y 1 ] = e x 1+x 2 (cos(y 1 + y 2 ) + i sin(y 1 + y 2 )) = e z 1+z 2
Eksponenttikuvaus Kuvauksen w = e z moduulille pätee w = e z = e x 0, joten e z 0. Kuvauksen argumentti arg w = y + 2kπ. Täten, eksponenttikuvauksessa kompleksitaso muuntuu joukoksi {w C : w 0}, ts. funktio f (z) = e z kuvaa joukon C joukoksi C \ {0} Kuvauksessa suorat x = x 0 kuvautuvat ympyröiksi joiden säde on e x 0 ja suorat y = y 0 kuvautuvat puolisuoriksi joiden kulma on y 0 y v w = e z x u
Eksponenttifunktion jaksollisuus Eksponenttifunktion määritelmästä ja sinin ja kosinin jaksollisuudesta seuraa, että e z+2πi = e z Kompleksinen eksponenttifunktio on siis jaksollinen ja jakson pituus on 2πi Jaksollisuudesta seuraa, että mitkä tahansa kaksi pistettä, jotka sijaitsevat samalla pystysuoraan kulkevalla suoralla ja joiden välinen etäisyys vastaa 2π:n monikertaa kuvautuvat samalle pisteelle Täten, eksponenttifunktio saavuttaa kaikki arvonsa jo jaksovyössä S = {z C : π < Im z π} ja siten joukko S kuvautuu joukoksi C \ {0}
Eksponenttikuvaus f (z) = e z on bijektiivinen kuvaus joukolta S joukkoon C \ {0} y w = e z v iπ x u iπ
Esimerkki eksponenttifunktiosta ESIMERKKI. Yhtälön ratkaiseminen Etsitään kaikki kompleksilukut z, jotka toteuttavat yhtälön e z = 3. Nyt 3 = 3(cos π + i sin π) ja toisaalta joten missä k Z. Täten, e z = e x (cos y + i sin y) e x = 3, ja y = π + 2kπ z = ln 3 + i(π + 2kπ)
Logaritmi Määrittelemme logaritmin eksponenttifunktion käänteisfunktiona ln z = w z = e w Merkitsemällä z = re iφ ja w = u + iv, saamme re iφ = e w = e u+iv = e u e iv joten r = e u ja φ = v, josta saamme u = ln r = ln z, v = φ = arg z Saamme siis logaritmille määritelmän ln z = ln z + iarg z Koska kompleksiluvun z argumentti on 2π:n monikerran tarkkuudella määritelty, niin kompleksinen logaritmi on moniarvoinen. Yksiarvoisuuteen päästään valitsemalla sopiva haara.
Logaritmin päähaara Määritelmä Olkoon z C \ {0}. Määrittelemme logaritmifunktion päähaaran olevan Ln z = ln z + iarg z Kuvauksen w = f (z) = Ln z määrittelyjoukko koostuu nollasta eriävistä kompleksiluvuista ja kuvauksen arvojoukko on suikale π < Im w π. Logaritmin päähaara on eksponenttifunktion käänteiskuvaus, kun rajoitutaan mainittuun suikaleeseen. Logaritmin muut haarat ovat w = ln k z = ln z + iarg z + 2kπi, k Z ja haaran arvojoukko on suikale π + 2kπ < Im w π + 2kπ
Logaritmin päähaara y w = Log z v iπ x u z = e w iπ
Logaritmin ominaisuuksia Jokainen logaritmin haara on epäjatkuva negatiivisella reaaliakselilla (johtuen funktion Arg z epäjatkuvuudesta) Jokaisen logaritmin haaran derivaatta on 1/z ja haara on analyyttinen alueessa C \ {z C : Re z 0, Im z = 0}. Moniarvoisella logaritmilla on tutut ominaisuudet ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 + ln z 2 ja ln(z 1 /z 2 ) = ln z 1 ln z 2 Kaavat eivät päde yleisesti logaritmin haaroille
Esimerkki logaritmista ESIMERKKI. Logaritmin laskeminen Lasketaan Ln (i 2 2). Nyt i 2 2 = 2, Arg (i 2 2) = 3 4 π joten Ln (i 2 2) = ln 2 + i 3 4 π
Esimerkki logaritmista ESIMERKKI. Tulon logaritmin Osoitetaan, että ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 + ln z 2. Nyt ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 z 2 + iarg(z 1 z 2 ) = ln z 1 z 2 + i(arg(z 1 ) + arg(z 2 )) = ln z 1 + iarg(z 1 ) + ln z 2 + iarg(z 2 ) = ln z 1 + ln z 2
Yleinen potenssi Määritelmä Olkoot z (z 0) ja c kompleksilukuja. Määritellään tällöin z c = e c ln z Yleisessä tapauksessa saadaan moniarvoinen funktio. Potenssifunktion päähaara saadaan käyttämällä logaritmin päähaaraa z c = e c Ln z
Esimerkki potenssista ESIMERKKI. Kompleksiluvun potenssin laskeminen Lasketaan i i. Määritelmän perusteella i i = e i ln i Nyt Täten ( ) π ln i = ln 1 + i 2 + 2kπ = i i i = e π/2+2kπ = e π/2 e 2kπ ( π 2 + 2kπ ), k Z
Trigonometriset funktiot Reaaliset trigonometriset funktiot sin x ja cos x voidaan määritellä Eulerin kaavan avulla. Koska e ix = cos x + i sin x, e ix = cos x i sin x saamme cos x = 1 2 (eix + e ix ), sin x = 1 2i (eix e ix ) Määrittelemme kompleksisen sinin ja kosinin samojen kaavojen avulla Määritelmä Olkoon z C. Määrittelemme cos z = 1 2 (eiz + e iz ), sin z = 1 2i (eiz e iz )
Trigonometriset funktioiden ominaisuuksia Sinin ja kosinin määritelmän perusteella Eulerin kaava pätee myös kompleksiluvuille e iz = cos z + i sin z, z C Derivaatat (sin z) = cos z, (cos z) = sin z Kompleksisille trigonometrisille funktioille pätee tutut ominaisuudet sin(z 1 ± z 2 ) = sin z 1 cos z 2 ± sin z 2 cos z 1 cos(z 1 ± z 2 ) = cos z 1 cos z 2 sin z 1 sin z 2 ja sin 2 z + cos 2 z = 1
Trigonometriset funktioiden ominaisuuksia Määritelmien perusteella on helppo osoittaa, että kompleksiset sini ja kosini ovat myös 2π-jaksollisia Funktiot ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa Ne eivät ole rajoitettuja kuvauksia. Esim cos iy = 1 2 (eyi2 + e yi2 ) = 1 2 (e y + e y ) Täten cos iy kun y Kompleksiset sini ja kosini voidaan ilmaista trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden avulla cos z = cos x cosh y i sin x sinh y sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
Tangentti ja kotangentti Tangentti ja kotangentti määritellään sinin ja kosinin avulla tan z = sin z cos z, cos z cot z = sin z Tangenttifunktio on analyyttinen lukuun ottamatta nimittäjän nollakohtia: ( cos z = 0 z = k + 1 ) π 2 missä k Z Kotangenttifunktio on analyyttinen lukuun ottamatta nimittäjän nollakohtia: missä k Z sin z = 0 z = kπ
Esimerkki trigonometrisistä funktioista ESIMERKKI. Kompleksisen kosinin laskeminen Lasketaan cos(1 + i). Määritelmän perusteella cos(1 + i) = 1 2 (ei(1+i) + e i(1+i) ) = 1 2 (e 1+i + e 1 i ) = 1 2 ([e 1 + e 1 ] cos 1 + i[e 1 e 1 ] sin 1) = cosh 1 cos 1 i sinh 1 sin 1
Hyperboliset funktiot Hyperbolisten funktioiden määritelmät yleistyvät sellaisenaan kompleksimuuttujalle Määritelmä Olkoon z C. Määrittelemme cosh z = 1 2 (ez + e z ), sinh z = 1 2 (ez e z )
Hyperboliset funktiot Kompleksisilla hyperbolisilla ja trigonometrisilla funktioilla on yhteys cosh iz = cos z, sinh iz = i sin z tai cos iz = cosh z, sin iz = i sinh z Derivaatat (cosh z) = sinh z, (sinh z) = cosh z Funktiot sinh z ja cosh z ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa
Esimerkki hyperbolisista funktioista ESIMERKKI. Yhtälön ratkaiseminen Ratkaistaan yhtälö cosh z = 1 2. Määritelmän perusteella (e z + e z )/2 = 1/2 Kerrotaan tekijällä 2e z, jolloin saadaan (e z ) 2 e z + 1 = 0 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan mukaan e z = 1 ± 3 2 Ratkaisemalla saadaan z = i = 1 ± i 3 2 = cos(±π/3) + i sin(±π/3) (± π 3 + 2kπ ), k Z
Kompleksinen integrointi
Polku ja käyrä Polku on jatkuva kuvaus z : I = [a, b] R C Käyrä on polun kuvajoukko z(i) Polku on siten jatkuvasti parametrisoitu käyrä Parametrisoinnin seuraksena käyrällä on suunta Eri polkujen määräämät käyrät voivat olla samat Käyrää sanotaan suljetuksi, jos z(a) = z(b) z(b) z z(a) a b
Esimerkki polusta ESIMERKKI. Ympyrän parametrisointi Tarkastellaan yksikköympyrää z = 1. Ympyrä voidaan parametrisoida muodoissa z(t) = e i2πt = cos(2πt) + i sin(2πt), t [0, 1] z(t) = e i2πt2 = cos(2πt 2 ) + i sin(2πt 2 ), t [0, 1] z(t) = e it = cos(t) + i sin(t), t [0, 2π] y x
Sileä käyrä Olkoon z(t) käyrän C parametrisointi: C : z(t) = x(t) + iy(t), t [a, b] missä x on polun reaaliosa ja y imaginaariosa. Käyrä C on sileä, jos derivaatta z (t) = x (t) + iy (t) on jatkuva ja nollasta poikkeava kaikkialla Epäsileä Sileä
Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Olkoon f (t) = u(t) + iv(t) funktio suljetulla välillä [a, b]. Jos u ja v ovat jatkuvia muuttujan t funktioita niin u ja v ovat integroituvia. Tällöin on luonnollista määritellä funktion integraali seuraavasti Määritelmä Olkoon f (t) = u(t) + iv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin b a f (t)dt = b a u(t)dt + i b a v(t)dt
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Lasketaan funktion f (t) = (3t i) 2 integraali välillä [0, 1]. 1 0 (3t i) 2 dt = 1 0 / 1 (9t 2 1)dt + i = 0 (3t3 t) + i = 2 3i / 1 1 0 0 ( 3t2 ) ( 6t)dt
Käyräintegraali Määritelmä Olkoon C sileä käyrä kompleksitasossa ja olkoon z(t) käyrän parametriesitys, missä a t b. Jos funktio f on jatkuva käyrällä C, niin funktion integraali pitkin käyrää on C f (z)dz = b a f (z(t))z (t)dt Jos käyrä on paloittain sileä niin integraali määritellään summana integraaleista yli sileävien osien.
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Käyräintegraali Lasketaan C dz z 2 missä C on ylempi puoliympyrä, jonka säde on 1 ja keskipiste kohdassa x = 2. Interoidaan vastapäivään. y i 1 2 3 x
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Jatkoa Käytetään käyrälle ensin parametriesitystä z(t) = 2 + e it, t [0, π]. Nyt z (t) = ie it. Integraaliksi saadaan C 1 π z 2 dz = 1 π 0 (2 + e it ) 2 ieit dt = idt = iπ 0 Käytetään käyrälle sitten parametriesitystä z(t) = 2 + e iπt2, t [0, 1]. Nyt z (t) = i2πte iπt2. Integraaliksi saadaan C 1 1 z 2 dz = 1 1 (2 + e iπt2 ) 2 i2πteiπt2 dt = iπ 2tdt = iπ 0 0 Valittu parametrisoini ei vaikuttanut lopputulokseen.
Käyräintegraalin ominaisuuksia Lineaarisuus [af (z) + bg(z)]dz = a C C f (z)dz + b g(z)dz, C Suunnan vaihtaminen. f (z)dz = f (z)dz C C a, b C missä C on käyrä, jonka suunta on vastakkainen käyrän C suunnalle. Jos kaksi käyrää C 1 ja C 2 yhdistetään siten, että käyrän C 1 loppupiste yhtyy käyrän C 2 alkupisteeseen ja jos yhdistetyn käyrän C = C 1 + C 2 integraali on olemassa, niin f (z)dz = C f (z)dz + C 1 f (z)dz C 2
Esimerkki integraalista ESIMERKKI 1a Lasketaan C Re z dz missä C on jana pisteestä 0 pisteeseen 1 + 2i. Pisteiden kautta kulkeva suora on y = 2x. Valitaan x = t [0, 1], jolloin Saadaan Re z dz = C z(t) = t + i2t ja z (t) = 1 + 2i 1 0 t(1 + 2i)dt = 1 0 tdt + i 1 0 2tdt = 1 2 + i
Esimerkki integraalista ESIMERKKI 1b Lasketaan C Re z dz missä C kulkee ensin vaakasuoraan pisteestä 0 pisteeseen 1 ja sitten pystysuoraan pisteestä 1 pisteeseen 1 + 2i. Vaakasuoraan kulkevalle janalle saadaan parametrisointi: ja pystysuoraan kulkevalle z(t) = t ja z (t) = 1, 0 t 1 z(t) = 1 + i2t ja z (t) = 2i, 0 t 1
Esimerkki integraalista ESIMERKKI 1b. jatkoa Saadaan C Re z dz = 1 0 = 1 2 + 2i Esimerkit osoittavat, että integraalin Re z dz C 1 tdt + 2idt 0 arvo riippuu siis käyrästä C eikä vain käyrän alku- ja loppupisteistä
Esimerkki integraalista ESIMERKKI 2a Lasketaan C zdz missä C on jana pisteestä 1 i pisteeseen 3 + i. Pisteiden kautta kulkeva suora on y = (x 1)/2 tai x = 2y + 1. Valitaan y = t, joten x = 2t + 1. Täten saadaan janalle parametrisointi: z(t) = 2t + 1 + it ja z (t) = 2 + i missä 1 t 1. Nyt saadaan C zdz = = 1 1 1 1 (2t + 1 + it)(2 + i)dt (3t + 2)dt + i 1 1 (4t + 1)dt = 4 + 2i
Esimerkki integraalista ESIMERKKI 2b Lasketaan C zdz missä C on parabolinen käyrä x = y 2 + 2y pisteestä 1 i pisteeseen 3 + i. Valitaan y = t, joten x = t 2 + 2t. Saadaan parametrisointi: z(t) = t 2 + 2t + it ja z (t) = 2t + 2 + i missä 1 t 1. Nyt saadaan C zdz = 1 1 (t 2 + 2t + it)(2t + 2 + i)dt = 4 + 2i Tulos on siis sama kuin edellisessä esimerkissä
Integraalifunktio Lause Olkoon D alue a ja f : D C jatkuva funktio. Jos funktiolla f on integraalifunktio F, ts. funktio F(z), jolle pätee F (z) = f (z) kaikilla z D (täten F on analyyttinen D:ssä), niin tällöin kaikille alueen D paloittain säännöllisille käyrille C f (z)dz = F(z 1 ) F(z 0 ) C missä z 0 on käyrän alkupiste ja z 1 päätepiste a avoin ja yhtenäinen joukko Seuraus Jos jatkuvalla funktiolla f on integraalifunktio, niin käyräintegraalin arvo riippuu vain alku- ja loppupisteistä. Erityisesti, jos C on suljettu käyrä, niin C f (z)dz = 0
Integraalifunktio Todistus. Todistetaan lause kun C on sileä käyrä. Olkoon z(t) käyrän parametriesitys, missä a t b. C f (z)dz = b a b f (z(t))z (t)dt = b a F (z(t))z (t)dt F(z(t)) = dt = F(z(b)) F(z(a)) a dt = F(z 1 ) F(z 0 )
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Integraalifunktio Lasketaan C zdz missä C on käyrä pisteestä 1 i pisteeseen 3 + i. Funktio f (z) = z jatkuva koko kompleksitasossa ja funktiolla on integraalifunktio on F(z) = 1 2 z2. Täten C zdz = 1 2 (3 + i)2 1 2 ( 1 i)2 = (4 + 3i) i = 4 + 2i
Integraalifunktio ja käyräintegraali Jos siis jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio, niin käyräintegraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä ja lisäksi käyräintegraali häviää yli suljettujen käyrien. Voimme osoittaa enemmänkin Lause Olkoon f : D C jatkuva funktio alueessa D ja C säännöllinen käyrä alueessa D. Tällöin seuraavat väittämät ovat ekvivalenttejä: (a) Funktiolla f on integraalifunktio D:ssä (b) f (z)dz = 0 kaikille suljetuille käyrille C (c) Käyräintegraalin f (z)dz arvo riippuu vain käyrän päätepisteistä C
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Integraalifunktio Lasketaan C 1 z dz pitkin origokeskistä yksikköympyrää. Integroidaan vastapäivään. Parametrisointi: z(t) = e it, missä t [0, 2π]. Saamme C 1 2π z dz = 1 0 e it ieit dt = 2πi Funktio f (z) = 1/z on jatkuva funktio alueessa D = C \ {0}. Käyrä C on suljettu käyrä alueessa D. Koska C 1 z dz 0 niin funktiolla ei ole integraalifunktiota alueessa D
ML-epäyhtälö Lause Olkoon funktio f (z) jatkuva käyrällä C. Oletetaan lisäksi, että f (z) M kaikilla z C. Tällöin missä L on käyrän C pituus f (z)dz ML C
ML-epäyhtälö Todistus. Olkoon z(t), t [a, b], käyrän C parametrisointi. Tällöin a b f (z)dz = f (z(t))z (t)dt C a b f (z(t)) z (t) dt a b b M z (t) dt = M z (t) dt = ML a a a Oletetaan tunnetuksia, että f (t)dt f (t) dt, missä f on reaalimuuttujan kompleksiarvoinen funktio
Esimerkki ML-epäyhtälöstä ESIMERKKI. Integraalin yläraja Etsitään yläraja integraalin C z 2 dz itseisarvolle, missä C on jana pisteestä 0 pisteeseen 1 + i. Janan pituus L = 1 2 + 1 2 = 2 ja Täten f (z) = z 2 2 C z 2 dz 2 2
Yksinkertainen käyrä Käyrää sanotaan yksinkertaiseksi, jos se ei leikkaa tai kosketa itseään muualla kuin päätepisteissä Suljettu käyrä on positiivisesti suunnistettu, kun parametrisointi on valittu siten, että kuljettaessa käyrää pitkin positiiviseen suuntaan niin käyrän rajaama alue jää vasemmalle Yksinkertainen Ei yksinkertainen
Yhdesti yhtenäinen alue Aluetta D sanotaan yhdesti yhtenäiseksi, jos jokainen yksinkertainen käyrä alueessa sulkee sisäänsä vain alueen D pisteitä Yhdesti yhtenäinen Kahdesti yhtenäinen Kolmesti yhtenäinen
Cauchyn integraalilause Lause Jos funktio f (z) on analyytinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D, niin jokaiselle alueen D yksinkertaiselle suljetulle käyrälle C pätee f (z)dz = 0 Seuraus C Jos funktio f (z) on analyytinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D, niin funktiolla on alueessa D integraalifunktio, joka on analyyttinen
Cauchyn integraalilause Todistus Oletetaan lisäksi, että f (z) on jatkuva (mikä on totta, mutta sitä ei ole todistettu). Todistuksessa käytetään Greenin lausetta: Olkoon C yksinkertainen positiivisesti suunnistettu paloittain sileä suljettu käyrä ja R käyrän rajaama alue. Jos funktiot P(x, y) ja Q(x, y) ovat jatkuvia ja funktioiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia avoimessa joukossa, johon alue R kuuluu, niin C (P(x, y)dx + Q(x, y)dy) = R ( Q x P ) dxdy y
Cauchyn integraalilause (Jatkoa) Nyt C f (z)dz = = C C (u + iv)(dx + idy) (udx vdy) + i (udy + vdx) Koska f (z) on analyyttinen alueessa D, niin funktio on derivoituva D:ssä. Lisäksi f (z) on jatkuva. Täten funktioilla u ja v on jatkuvat osittaisderivaatat alueessa D. Greenin lauseen perusteella C C (udx vdy) = (udy + vdx) = R R C ( v x u y ( u x v y ) dxdy ) dxdy
Cauchyn integraalilause (Jatkoa). Koska funktio on analyyttinen alueessa D, se toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt. Täten C f (z)dz = = 0 R ( v x u ) ( u dxdy + i y R x v ) dxdy y
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Analyyttinen funktiot kompleksitasossa Funktiot e z ja z n (missä n on positiivinen kokonaisluku) ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa, siten e z dz = 0, z n dz = 0 C kaikille yksinkertaisille suljetuille käyrille C. C
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Singulariteetti alueen ulkopuolella Lasketaan C 1 z 2 + 4 dz missä C on yksikköympyrä z = 1. Funktio on analyyttinen paitsi pisteissä z = ±2i. Nämä pisteet sijaitsevat kuitenkin ympyrän ulkopuolella. Täten Cauchyn integraalilauseen perusteella C 1 z 2 + 4 dz = 0
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Analyyttinen funktio z 2 ja cos z ovat analyyttisiä funktioita kompleksitasossa. Täten 1+i z 2 dz = 1 1+i 0 3 z3 0 iπ iπ cos zdz = sin z iπ = 1 3 (1 + i)3 = 2 3 + 2 3 i iπ = 2 sin πi = 2i sinh π
Cauchyn integraalilause kahdesti yhtenäiselle alueelle Lause Olkoon C ja C 1 yksinkertaisia positiivisesti suunnistettuja suljettuja käyriä ja olkoon käyrä C 1 käyrän C sisäpuolella. Jos f (z) on analyyttinen alueessa D, joka pitää sisällään käyrät C ja C 1 ja alueen niiden välissä, niin tällöin f (z)dz = f (z)dz C C 1 D C C 1
Cauchyn integraalilause kahdesti yhtenäiselle alueelle Todistus Muodostetaan kaksi suljettua käyrää yhdesti yhtenäisellä alueella: K 1 = A 1 + Γ + B 1 + Ω ja K 2 = A 2 Ω + B 2 Γ Cauchyn lauseen perusteella f (z)dz = 0 K 1 ja f (z)dz = 0 K 2 A 1 Γ B 1 Ω B 2 A 2
Cauchyn integraalilause kahdesti yhtenäiselle alueelle (Jatkoa). Toisaalta Täten K 1 + K 2 = (A 1 + Γ + B 1 + Ω) + (A 2 Ω + B 2 Γ) C = A 1 + A 2 + B 1 + B 2 = C C 1 f (z)dz f (z)dz = C 1 f (z)dz + K 1 f (z)dz = 0 K 2
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Kahdesti yhtenäinen alue Osoitetaan, että C dz z z 0 = 2πi missä C on yksinkertainen positiivisesti suunnistettu suljettu käyrä, joka pitää sisällään pisteen z 0. Olkoon nyt C R R-säteinen ympyrä, joka on käyrän C sisäpuolella ja jonka keskipiste on kohdassa z 0. Parametrisointi: z(t) = z 0 + Re it, z (t) = ire, 0 t 2π (z z 0 ) 1 on analyyttinen kaikkialla muualla paitsi pisteessä z 0. Täten C dz = z z 0 C R dz 2π ire it 2π = z z 0 0 Re it dt = i dt = 2πi 0
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Osoitetaan, että kun C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z i = 1, niin 2z z 2 dz = 2πi + 2 Integraali voidaan kirjoittaa muodossa C C 2z z 2 + 2 C dz = 1 z + i 2 dz }{{} =0 (Cauchyn lause) = 2πi + 1 C z i 2 dz }{{} =2πi (Edellinen esim.)
Cauchyn integraalikaava Lause Olkoon f (z) analyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Tällöin alueen D yksinkertaiselle positiivisesti suunnistetulle suljetulle käyrälle C, joka sulkee sisälleen pisteen z 0 D pätee f (z 0 ) = 1 2πi C f (z) z z 0 dz z0 C D
Cauchyn integraalikaava Todistus Koska f (z) on analyyttinen niin se on jatkuva pisteessä z 0, joten ǫ > 0 δ > 0 s.e. f (z) f (z 0 ) < ǫ kun z z 0 < δ Määritetään ympyrä C r : z z 0 = δ/2, joka sijaitsee käyrän C sisäpuolella. Ympyrän kehän pituus on πδ. Nyt f (z 0 ) = f (z 0) 2πi 2πi = f (z 0) 2πi C r 1 z z 0 dz = 1 2πi f (z 0 ) dz C r z z 0 Toisaalta 1 2πi C f (z) dz = 1 z z 0 2πi C r f (z) z z 0 dz
Cauchyn integraalikaava (Jatkoa). Nyt saamme ML-epäyhtälön avulla 1 f (z) dz f (z 0 ) 2πi C z z = 1 f (z) dz 1 f (z 0 ) dz 0 2πi C r z z 0 2πi C r z z 0 = 1 f (z) f (z 0 ) 2π dz C r z z 0 1 2π ǫ δ/2 πδ = ǫ Tämä todistaa integraalikaavan, koska ǫ voidaan valita mielivaltaisen pieneksi
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Cauchyn integraalikaava Lasketaan C sin z 4z + π dz missä C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z = 2. Koska sin z on analyyttinen koko kompleksitasossa ja piste π/4 sijaitsee ympyrän sisäpuolella, niin C sin z 4z + π dz = 1 sin z 4 C z ( π/4) dz = 1 2πi sin( π/4) 4 2πi = 4
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Cauchyn integraalikaava Lasketaan C tan z z 2 1 dz missä C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z = 3/2. tan z = sin z/ cos z on analyyttinen lukuun ottamatta nimittäjän nollakohtia: z = (k + 1 2 )π, k Z Pisteet sijaitsevat ympyrän ulkopuolella. Täten C tan z z 2 1 dz = 1 2 C tan z z 1 dz 1 2 C tan z z + 1 dz = 2πi (tan 1 tan( 1)) = 2πi tan 1 2
Cauchyn integraalikaava derivaatoille Lause Olkoon f (z) analyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Tällöin alueen D yksinkertaiselle positiivisesti suunnistetulle suljetulle käyrälle C, joka sulkee sisälleen pisteen z 0 D pätee Seuraus f (n) (z 0 ) = n! 2πi C f (z) dz (z z 0 ) n+1 Jos f (z) on analyyttinen funktio alueessa D, niin funktion kaikkien kertalukujen derivaatat ovat analyyttisiä alueessa D
Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Cauchyn integraalikaava derivaatoille Lasketaan C e z2 (z i) 4 dz missä C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z = 2. f (z) = e z2 on analyyttinen ja piste z 0 = i on ympyrän sisäpuolella, joten voimme käyttää Cauchyn integraalikaavaa derivaatoille. Nyt f (3) (z) = (12z + 8z 3 )e z2, joten saamme C e z2 (z i) 4 dz = f (3) (z 0 ) 2πi 3! = 4π 3e
Morera n lause Lause Olkoon f (z) jatkuva funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Jos C f (z)dz = 0 kaikilla alueen D suljetuilla käyrillä C, niin f on analyyttinen alueessa D. Todistus. Koska C f (z)dz = 0 kaikilla alueen D suljetuilla käyrillä C, on jatkuvalla funktiolla f integraalifunktio F aluessa D. Koska integraalifunktio on analyyttinen, funktio F (z) = f (z) on myös analyyttinen alueessa D
Sarjakehitelmät
Kompleksinen lukujono Kompleksinen (päättymätön) lukujono on funktio, jonka määrittelyjoukko koostuu (positiivisista) kokonaisluvuista ja arvojoukko kompleksiluvuista Lukujonon termeille käytetään merkintää z n = z(n) Lukujonolle käytetään yleensä merkintää {z 1, z 2,...} tai lyhyemmin {z n } 1 tai {z n} ESIMERKKI. Lukujono z(n) = (2 n) + (5 + n)i, n = 1, 2,... z(1) = 1 + 6i, z(2) = 7i,...
Kompleksiset sarjat Olkoon {z n } jono kompleksilukuja. Lukujonon termien yhteenlaskua kutsutaan sarjaksi ja sille käytetään merkintää Summaa s n = z n = z 1 + z 2 +... n=1 n z k = z 1 + z 2 +... + z n k=1 kutsutaan sarjan osasummaksi
Sarjan suppeneminen Jos osasummien jonolla {s n } on äärellinen raja-arvo s = lim n s n, niin tällöin merkitään s = z n n=1 ja sarjaa sanotaan suppenevaksi. Muussa tapauksessa sarjaa sanotaan hajaantuvaksi Sarjaa sanotaan itsenäisesti suppenevaksi, jos moduulien z n muodostama sarja z n n=1 suppenee. Itsenäisesti suppeneva sarja on suppeneva.
Sarjan suppeneminen. Välttämätön ehto Lause Jos sarja n=1 z n suppenee niin tällöin lim n z n = 0. Toisin sanoen sarja hajaantuu jos ehto ei päde Todistus. z n = (z 1 + z 2 +... + z n ) (z 1 + z 2 +... + z n 1 ) = s n s n 1 Joten lim z n = lim (s n s n 1 ) = lim s n lim s n 1 = s s = 0 n n n n
Geometrinen sarja Sarjaa, jonka peräkkäisten termien suhde on sama luku q, kutsutaan geometriseksi sarjaksi. Geometrinen sarja q n, n=0 q C suppenee kun q < 1 ja sarjan summa on tällöin 1 1 q, ts. 1 1 q = q n, q < 1 n=0 Jos q 1, niin sarja hajaantuu
Esimerkki sarjasta ESIMERKKI. Geometrinen sarja Todistetaan geometrisen sarjan suppeneminen ja hajaantuminen. Muodostetaan osasumma s n = 1 + q + q 2 +... + q n 1 Kerrotaan yhtälö molemmilta puolilta termillä q. Saadaan qs n = q + q 2 + q 3 +... + q n Vähentämällä yhtälöt toisistaan saadaan (1 q)s n = 1 q n s n = 1 1 q qn 1 q
Esimerkki sarjasta ESIMERKKI. jatkoa Täten kun q < 1 Toisaalta kun q 1 lim s n = 1 n 1 q lim n qn 0 ja siten lim n q n 0 ja siksi sarja hajaantuu.
Suhdetesti ja juuritesti Suhdetesti. Jos kompleksiselle sarjan z 1 + z 2 +... termeille on olemassa raja-arvo lim z n+1 n z = L n niin sarja suppenee itsenäisesti jos L < 1 ja hajaantuu jos L > 1 Juuritesti. Jos kompleksiselle sarjan z 1 + z 2 +... termeille on olemassa raja-arvo lim z n 1/n = L n niin sarja suppenee itsenäisesti jos L < 1 ja hajaantuu jos L > 1
Esimerkki sarjasta ESIMERKKI. Suppeneva sarja Osoitetaan, että sarja n=1 [(1 i) n /n!] suppenee. Suhdetesti: (1 i) n+1 /(n + 1)! lim n (1 i) n /n! = lim n Koska L = 0 < 1 niin sarja suppenee. 1 i (n + 1) = lim n 2 n + 1 = 0
Potenssisarjat Kompleksiset potenssisarjat ovat muotoa a n (z z 0 ) n n=0 missä a n C on sarjan kerroin ja z 0 C on sarjan kehityskeskus Ne ovat funktiosarjoja, koska sarjan termit ovat muuttujan z funktioita Kuitenkin jos ajattelemme muuttujan z kiinnitetyksi, niin aiemmin johdettuja tuloksia voidaan soveltaa myös funktiosarjoille. Funktiosarjat yleensä suppenevat joillain muuttujan z arvoilla ja hajaantuvat toisilla.
Esimerkki potenssisarjasta ESIMERKKI. Potenssisarjan suppeneminen Tutkitaan sarjan n=0 z n n! = 1 + z + 1 2 z2 +... suppenemista. Nyt kun z on kiinnitetty, niin z n+1 /(n + 1)! z n /n! = n! z z = (n + 1)! n + 1 0 kun n Suhdetestin perusteella sarja siis suppenee itsenäisesti kaikilla z C
Esimerkki potenssisarjasta ESIMERKKI. Potenssisarjan suppeneminen Tutkitaan sarjan n!z n = 1 + z + 2z 2 +... n=0 suppenemista. Nyt z n+1 (n + 1)! z n = (n + 1) z n! kun n ja z 0. Suhdetestin perusteella sarja siis hajaantuu kun z 0
Potenssisarjat Lause Potenssisarjalle a 0 + a 1 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) 2 +... on voimassa jokin seuraavista mahdollisuuksista: (a) Sarja suppenee vain arvolla z = z 0 (b) On olemassa positiivinen luku R siten, että sarja suppenee kiekossa z z 0 < R, mutta hajaantuu kun z z 0 > R (c) Sarja suppenee koko kompleksitasossa Lukua R sanotaan suppenemissäteeksi. Jos sarja suppenee vain arvolla z = z 0 niin R = 0 ja jos taas sarja suppenee koko kompleksitasossa niin R =. y Hajaantuu R z0 Suppenee x