KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9 y y = 5 5,6 5 6 c) Funktio h ( ) = 6 Nollakohta h bg= 6= Yhtälö on epätosi, joten funktiolla ei ole nollakohtia. y 5 6 Vastaus: a) = b) = 5 5 9 5 6 y = 6 c) Ei nollakohtia 7. a) Funktio f ( ) = 5 Nollakohdat fbg= 5 = = 5 =± 5 =± 5 5
b) Funktio g ( ) = + Nollakohdat g bg= + = + = b g b g = ± = + = = = c) Funktio h ( ) =,, Nollakohdat h bg=,, = b g b g b,g, ±, =, + 7, = = 5,, 7, = =, Vastaus: a) = 5 tai = 5 b) = tai = c) =, tai = 5,. a) Funktio f ( ) = Nollakohdat fbg= = = b g = tai = = tai = b) Funktio g ( ) = + Nollakohdat g bg= + = b g b g ± = = ± = 55
c) Funktio h ( ) = 5 + + Nollakohdat h 5 + + = bg= = ± 5 5 = ± Koska diskriminantti on negatiivinen, yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja eli funktiolla ei ole nollakohtia. Vastaus: a) = tai = b) = c) ei nollakohtia. a) + = + = b) = e b 8 8 j g = = tai + = = tai = 8 = tai = = tai = =± =± c) 7 + 6 = e 7+ 6j= = tai 7 + 6= b g b g 6 = 7 ± 7 7 5 = + 7 5 = 6 tai = = Vastaus: a) = tai = b) =, = tai = c) =, = tai = 6 5. Funktio f ( ) = Nollakohdat fbg= e 5 = j = = tai = 56
= tai = =± =± Vastaus: Funktion nollakohdat ovat =, = tai =.. a) Funktion nollakohdat saadaan kohdista, joissa kuvaaja leikkaa -akselin tai sivuaa sitä. Nollakohdat ovat =, =. b) Funktio on positiivinen niillä muuttujan arvoilla, joilla kuvaaja kulkee -akselin yläpuolella eli < < tai > Vastaus: a) Nollakohdat ovat =, = b) Funktio on positiivinen, kun < < tai >. 5. Lämpötilafunktio f () t =, 6t +, 7t, t Nollakohdat fbg= t e j 6, t + 7, t, t = t, 6t +, 7t, = t =, 7 ±, 7, 6,, 6 b b t = tai, 6t +, 7t, = g gb g 7 t =, +,, 6 7 t =,, 6, = 8578,... = 5, 6... Koska t on kellonaika, niin saadaan t =, kello., t = 8578,..., kello noin.5 ja t = 5, 6..., kello noin 5. 57
f (t) / C 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 t / h 5 f(t) =,6t +,7t,t 6 7 8 9 5.5 5. t Vastaus: Nollakohdat kello.,.5 ja 5. 6. Varispopulaation lisääntymisfunktio f () t = 75 +, 5 t Mustavarispopulaation vähenemisfunktio gt ()= 9 t Populaatiot ovat yhtä suuret, kun f t bg bg = g t 75 +, 5t = 9, t, t + 5, t 5= t = 5, ± 5,, 5, 5 65 t =, +, 6 (kk), 5 65 t =,, =,... < (ei käy, t > )., Vastaus: Populaatiot ovat yhtä suuret, kun aikaa on kulunut 6 kuukautta. b g 58
Epäyhtälö 7. a), josta 6 Nollakohdat 6= = 6 : = Merkkikaavio Merkkikaaviosta b) 6+ < 8+, josta 6 8+ < eli + < 6 Nollakohdat + = 6 = :b g 6 = Merkkikaavio Merkkikaaviosta > c), + 7,, + 7, reaaliluvut. Epäyhtälö on aina tosi, joten ratkaisuksi käyvät kaikki Vastaus: a) b) > c) R 8. a) + < Nollakohdat + = b g = ± 7 = + = 59
7 = = 5 Merkkikaavio 5 Merkkikaaviosta 5< < b) Nollakohdat = = b g = tai = = tai = Merkkikaavio Merkkikaaviosta tai c) + 6 > Nollakohdat + 6 = b gb g b g = ± 6 5 = + = 7 5 = = Merkkikaavio 7 Merkkikaaviosta 7 < < Vastaus: a) 5< < b) tai c) 7 < < 6
9. a) < 5 + 6 5 6< Nollakohdat 5 6= b g b g b g 5 ± 5 6 = 5 7 = + = 6 5 7 = = Merkkikaavio 6 Merkkikaaviosta < < 6 b) > 6 > 6 Nollakohdat = 6 6 8 = 6 6 6 6 6 8 = Merkkikaavio b g b g b g 8 ± 8 6 = 6 8 = ± = Merkkikaaviosta huomataan, että voi olla mikä muu reaaliluku tahansa paitsi b g c) + Nollakohdat + = 6
b gb g b g = ± = ± Diskriminantti on negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole reaalijuuria. Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ja kulkee koko ajan -akselin alapuolella, siis epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja. Vastaus: a) < < 6 b) c) Ei ratkaisuja. a) + Nollakohdat + = + = b g = tai + = = tai = Merkkikaavio Merkkikaaviosta tai = b g b g b g f = + = < b g b g b g f 5, = 5, + 5, = 5, > f bg= + = > 8 b) > 8 > Nollakohdat 8 = e j 8 = Merkkikaavio 8 = tai = = tai = = tai = Merkkikaaviosta < tai > 8 b g b g b g f = = 768> b g b g b g 8 f 5, = 5, 5, = 9,... < 8 f b5, g= 5, 5, = 9,... < 8 f bg= = 768< 6
c) 7 + 6 > Nollakohdat 7 + 6 = e j 7+ 6 = = tai 7 + 6= Merkkikaavio 6 b g b g 6 = 7 ± 7 7 5 = + = 6 7 5 = = Merkkikaaviosta < < tai > 6 b g b g b g b g f = 7 + 6 = < f b5, g= 5, 7 5, + 6 5, = 75, > f bg= 7 + 6 = 9< f bg= 7 + 6 = 6 > Vastaus: a) tai = b) < tai > c) < < tai > 6. 5 5 Nollakohdat 5 = b g b g b g ± 5 = 5 + 8 = = 5 8 = = 5 Merkkikaaviosta. Lisäksi on kokonaisluku, joten ratkaisuksi tulevat luvut 5,,,,, Vastaus:,,,,, 6
. Funktio kuvaa pinta-alaa, kun se saa positiivisia arvoja (Lisäksi sivut ovat positiivisia). A, > bg= > Nollakohdat = = b g = tai = = tai = Merkkikaavio Merkkikaaviosta < <, > ja tällöin myös toinen sivu on positiivinen, koska samanmerkkisten lukujen tulo on positiivinen. Vastaus: Funktio kuvaa pinta-alaa, kun < <.. Kulunut aika (a) Tanssiteattereiden katsojamäärä 5 + 5 Ryhmä- ja puheteattereiden katsojamäärä 85 + Tanssiteattereiden katsojamäärä suurempi kuin ryhmä- ja puheteaatereiden katsojamäärä 5 + 5 > 85 + + 65 > Nollakohdat + 65 = = 65 Merkkikaavio 65 = Merkkikaaviosta > Vuosi = 997 Vastaus: Tanssin katsojamäärä on ylittänyt ryhmä- ja puheteattereiden vuonna 997. 6
Funktion muutoksen tutkiminen. Piirretään välin päätepisteiden kautta suora ja määritetään suoran kulmakerroin, josta saadaan funktion keskimääräinen kasvunopeus. y (a) (b) (c) a) Valitaan suoralta pisteet b, g ja bg,, saadaan k = = = b) Valitaan suoralta pisteet b, g ja b, g, saadaan k = = c) Valitaan suoralta pisteet b, g ja b, g, saadaan k = = Vastaus: Funktion keskimääräinen muutosnopeus on a) b) c) 5. Piirretään kuvaajalle tangentti määrätään tangentin kulmakerroin () : f ' bg= = () : f ' bg= = y (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) () () Haetaan sellaiset kohdat, joihin piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet ovat. Löydetään kohta =, siis f ' = f ' = bg bg bg bg Vastaus: f ' =, f ' =, kohdassa = derivaatta on sama kuin f '. bg 65
6. Piirretään funktion kuvaaja ja päätellään vastaus kuvaajasta. Kävijämäärän keskimääräinen muutosnopeus vuodesta 996 vuoteen 999: 5 k = 5 Kävijämäärän muutosnopeus vuonna 999 : k 8 = 8 7 6 5 9 8 7 6 5 9 8 7 6 5 y 997 5 () 8 998 999 Vastaus: Keskimääräinen kasvu vuodesta 996 vuoteen 999 on 5 henkilöä ja vuoden 999 kävijämäärän muutosnopeus noin 8 henkilöä. () aika Funktion derivaatta 7. a) D ( + + + ) = + + b) D ( + 5 ) = + 5 = 8 9 +5 5 7 7 c) D + + = 5 + + = + 7 5 7 5 Vastaus: a) + + b) 8 9 + 5 c) + 7 8. Funktio f ( ) = + + Derivaatta f '( ) = + + = + 66
Derivaatan arvot: f '( ) = ( ) + ( ) = 8 f '( ) = + = f '( ) = + = Vastaus: Derivaatan arvot ovat 8, ja. 9. a) f ( ) = 6+ 7 f '( ) = 6 Yhtälö f '( ) = 6= = 5 b) f ( ) = + 9 f '( ) = + 5 Yhtälö f '( ) = + 5 = = 5 ± 5 ( ) = 5 + 9 6 = 5 9 = = 6 Vastaus: a) = b) = tai = 5. Funktio f ( ) = + + Derivaatta f '( ) = 9 8+ Nollakohdat f '( ) = 9 8 + = = ( 8 ) ± ( 8 ) 9 9 8+ 8 =,7 8 8 8 =,5 8 Vastaus: a) 8+ 8 = tai 8 8 8 = 8 67
5. a) D ( ) + + = D( + + ) = + 6+ b) D ( ) ( ) ( )( ) = D + = D + = 6+ Vastaus: a) + 6 + b) 6+ 5. 6 9 a) D = D = 5 b) D ( + ) = D( + ) = 8+ 9 Vastaus: a) b) 8 + 5. Funktion kasvunopeus on yhtä suuri kuin funktion derivaatan arvo kyseisessä pisteessä. a) Funktio f ( ) = + Derivaatta Kasvunopeus b) Funktio Derivaatta Kasvunopeus f '( ) = + f '( ) = ( ) + ( ) = 5 f( ) = + 5 f '( ) = + f '( ) = ( ) ( ) + = 7 7 5 + c) Funktio f( ) = = + Derivaatta f( ) = + Kasvunopeus f '( ) = ( ) + = Vastaus: Funktion kasvunopeus on a) b) 7 c). 68
5. y α Paraabeli y = + Paraabelin nollakohdat y = + = (+ ) = = tai + = = Koska paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan y-akselin suuntaisen suoran suhteen, saadaan -akselin leikkauskulma tangentin kulmakertoimesta kohdassa =. Paraabelin y = + derivaatta y'( ) = 6+ Tangentin kulmakerroin k = y'() = 6 + = Tangentin suuntakulma, joka on samalla pallon lähtökulma, saadaan suoran kulmakertoimesta tanα = k tanα = α = 5 Vastaus: Leikkauskulma on 5 o. Funktion kulku 55. a) Funktio f ( ) = 8+ Derivaatta f '( ) = 8 Derivaatan nollakohta f '( ) = 8= = 69
f () f () Funktio f on kasvava, kun. b) Funktio g ( ) = + Derivaatta g'( ) = Derivaatan nollakohta g () g () Funktio g on kasvava, kun. g'( ) = = = c) Funktio h ( ) = + 5 Derivaatta h'( ) = Derivaatan nollakohta h () h () h'( ) = = Ei nollakohtia Vastaus: a) Funktio on kasvava, kun a) b) c) kaikilla muuttujan arvoilla. 56. a) Funktio f ( ) = 7 Derivaatta f '( ) = Koska f '( ) = kaikilla muuttujan arvoilla, niin funktio f on vähenevä kaikkialla. b) Funktio g ( ) = + 6 5 Derivaatta g'( ) = + 6 Derivaatan nollakohta g'( ) = + 6= = 7
g () g () Funktio g on vähenevä, kun. c) Funktio h ( ) = + Derivaatta h'( ) = Derivaatan nollakohta h () h () h'( ) = = = : = = ± Funktio h on vähenevä, kun. Vastaus: Funktio on vähenevä a) kaikkialla b) kun c) kun. 57. a) Funktio f ( ) = 65, + 6,, 5 Derivaatta f '( ) = 6 9, +, 6 Derivaatan nollakohdat f '( ) = 6 9, + 6, = = ( 9, ) ± ( 9, ) 6 6, 6 9, + 9, = = 8, 9, 9, = = 75,,75,8 f () f () Funktio f on kasvava, kun 75, tai 8, ja vähenevä, kun 7, 5 8,. 7
5 b) Funktio g ( ) = Derivaatta g'( ) = 5 Derivaatan nollakohta g'( ) = g () g () 5 = (5 ) = Funktio g on kasvava, kun 5 5 = tai 5 = 5 = =± =± =± ± 55, 5 5 5 tai 5 5 5) g'( ) = > g'(, ) =, 95 < g'(, ) =, 95 < g'( ) = > ja vähenevä, kun 5 5. 5 5 Vastaus: a) Funktio f on kasvava, kun 75, tai 8, ja vähenevä, kun 7, 5 8,. b) Funktio g on kasvava, kun 5 5. 5 5 5 5 tai 5 5 ja vähenevä, kun 58. 6 y f() = h() = + 6 5 5 6 7 5 g() = 7
59. Funktio f ()= t 7t 7t+ 9 Derivaatta f '( t) = 5t 7 Derivaatan nollakohta f'( t) = 5t 7 = 7 t = = 5 6 6 f (t) f (t) Lukumäärä alkoi kasvaa noin, vuoden kuluttua Vastaus: Teosten lukumäärä kasvoi vuosina 997 999. 6. Funktio f () t =, t, 5t +, 97t+ 7, Derivaatta f '( t) =, 96t, 8t+, 97 Derivaatan nollakohdat f'( t) =, 96t, 8t +, 97 = f (t) f (t),5,, t = (, 8) ± (, 8), 96, 97, 96, 8 +, 97... t =,, 9, 8, 97... t = 5, 9, Vastaus: Elokuvissa kävijöiden määrä kasvoi vuoden 98 alussa ja vuoden 99 puolivälistä vuoden 999 loppuun. Kävijöiden määrä väheni vuoden 98 puolesta välistä vuoden 99 puoliväliin. 7
6. Funktio y = 8, 5 +, Derivaatta y' = 5, + Derivaatan nollakohdat y'= 5, + = = ( ) ± ( ) 5, 5, + 87, =, 8 87, =, 8,5, y y, 5, Vastaus: Polku oli alamäkeä,5, km etäisyydellä lähtöpisteestä. Funktion ääriarvot 6. a) Funktio f ( ) = + Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = = 6 f () f () 6 ma Maksimiarvo f (6) = 6 b) Funktio f ( ) = Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = 7
f () f () Minimiarvo f _ min F H G I K J = Vastaus: a) Maksimikohta 6, maksimiarvo 6 b) Minimikohta ja minimiarvo 6. a) Funktio f ( ) = Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = : f () f () ma min Maksimiarvo f ( ) = Minimiarvo f () = = = ± b) Funktio f ( ) = 8 + 8 Derivaatta f 'bg= 7+ 8 Derivaatan nollakohdat 7 + 8= f () f () ma 9 _ min = 7 ± 7 8 b g b g 7 6 = = 6 7 + 6 = = 9 6 75
Maksimiarvo f () = F Minimiarvo f 9 I 5 HG K J = 7 Vastaus: a) Maksimikohta, maksimiarvo, minimikohta, minimiarvo b) Maksimikohta, maksimiarvo, minimikohta 9, minimiarvo 5 7 6. a) Funktio f = + + Derivaatta f 'bg= + 5 ( ) 5 6 Derivaatan nollakohdat + 5= _ f () f () ma min Maksimiarvo f = 7 Minimiarvo fbg= 6 = ± 5 = 9 = = + 9 = b) Funktio fbg= ( )( + ) = 6 Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = b g f () f () _ min 76
Minimiarvo f F I HG K J = 6 8 Vastaus: a) Maksimikohta, maksimiarvo 7, minimikohta, minimiarvo 6 b) Minimikohta, minimiarvo 6 8 65. a) Funktio f ( ) =,, Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = f f ( ) ( ) ( ) = suurin = 7 pienin b) Funktio f ( ) = + 5, 6, Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = f f bg F I HG K J = bg 6 8 6 = 9 suurin pienin Vastaus: a) Pienin arvo 7 ja suurin b) Pienin arvo 6 8 ja suurin 9 66. a) Funktio f ( ) = 8+ 5,, Derivaatta f 'bg= 8 Derivaatan nollakohdat 8 = = Ei kuulu välille, Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. 77
f = 5 f b g bg suurin = pienin b) Funktio f ( ) = + 9+ 5,, Derivaatta f 'bg= + 9 Derivaatan nollakohdat + 9 = = Ei kuulu välille, Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = pienin f b g bg = 5 suurin Vastaus: a) Pienin arvo, suurin 5 b) Pienin arvo, suurin 5 67. a) Funktio f ( ) = +,, Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = ± Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = 9 f f b g b g bg bg = 6 = suurin f = 6 pienin b) Funktio f ( ) = 8+ 5,, Derivaatta f 'bg= 8 Derivaatan nollakohdat 8 = =± 6, 6,ei kuulu välille, Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = suurin f f b g e j bg 6 = 6 + 5, pienin = Vastaus: a) Pienin arvo 6, suurin 6 b) Pienin arvo 6 + 5, ja suurin 78
68. a) Funktio f ( ) = 6 + +,, Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = ± = b g b g 8 = = 6 + 8 = = ei kuulu välille, 6 Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. fb g= pienin F f suurin f I HG K J = bg= 6 b) Funktio f ( ) = + 5,, Derivaatta f 'bg= 8 Derivaatan nollakohdat 8 = ( 8 ) = = tai = 8 Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f = 9 pienin f f f b g bg = F HG I 5 8 K J = bg = suurin 7 Vastaus: a) Pienin arvo, suurin b) Pienin arvo 9, suurin 5 79
F I HG K J O = + Q P L N M 69. Funktio fbg= +,, Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = f () f () min ma min Suurin arvo ainoassa maksimikohdassa f Vastaus: Luku ± = b g = = = + O = Q P F H G I K J = b g 8 antaa lausekkeelleele suurimman arvon. bg b g 'bg= π π 7. Funktio f r = π r r = πr πr, r > Derivaatta f r r r Derivaatan nollakohdat πr πr = πr r = f () f () min ma Vastaus: Suurin arvo, kun r =. b g πr = tai r = r = tai r = r ei kuulu välille, L N M 8
7. Funktio f ( ) = 5 Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = f () f () f ( ) = > f () = < ma Funktion f maksimiarvo f () = 5 on samalla f:n suurin arvo. Funktio g ( ) = + + Derivaatta g'bg= + Derivaatan nollakohdat + = = g () g () min Funktion g minimiarvo g F H G I K J = 7 on samalla g:n pienin arvo 8 Koska f :n suurin arvo 5 on pienempi kuin g:n pienin arvo 7, niin kuvaajat eivät leikkaa 8 toisiaan. Polynomifunktion kuvaaja 7. a). a) Paraabeli y = 6 Derivaatta y'= 6 Derivaatan nollakohta y'= 6= = Huipun y-koordinaatti y = 6 = 9 Huippu on pisteessä (, 9). b) Paraabeli y = + Derivaatta y'= Derivaatan nollakohta y'= 8
= = F Huipun y-koordinaatti y = H G I K J + = F Huippu on pisteessä, I HG K J c) Paraabeli y = + Derivaatta y'= Derivaatan nollakohta y'= = = Huipun y-koordinaatti y = ( ) ( ) + = 5 Huippu on pisteessä (, 5) Vastaus: Huippu on pisteessä a) (, 9) b), F I HG K J c) (, 5) 7. Paraabeli y = + t Derivaatta y'= Derivaatan nollakohta y'= = = Huipun y-koordinaatti on -akselilla joten huipun y-koordinaatti y = ( ) ( ) + t = + t on nolla. + t = t = Vastaus: t = 7. a) Funktion f( ) = 5kuvaaja on nouseva suora f( ) = 5 5 b) Funktion f( ) = kuvaaja on laskeva suora f( ) = 8
c) Funktion f( ) = kuvaaja on -akselin suuntainen suora f( ) = y f() = 5 f() = -5 - - - - - 5 6 7 8 9 - - f() = - 75. y = + 5 6 y -6-5,5-5 -,5 - -,5 - -,5 - -,5 - -,5,5,5,5,5,5 5 5,5 6 6,5 - - - - -5-6 -7-8 -9 - - - - - y = + y = 9 + a) Funktion f( ) = + 5 6kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Määritetään paraabelin huippu. Derivaatta f '( ) = + 5 Derivaatan nollakohta + 5 = = paraabelin huipun -koordinaatti Huipun y-koordinaatti 5 5 5 f = + = ( ) ( ) 5 ( ) 6 8
7 8 6 5 6 6 8 f( ) = + 5 6 9 b) Funktion f( ) = + kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Määritetään paraabelin huippu. Derivaatta f '( ) = + Derivaatan nollakohta + = = paraabelin huipun -koordinaatti Huipun y-koordinaatti 9 f( ) = +,5 8,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5 9 f = + = () c) Funktion f( ) = + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Määritetään paraabelin huippu. Derivaatta f '( ) = + Derivaatan nollakohta + = = paraabelin huipun -koordinaatti Huipun y-koordinaatti f ( ) = ( ) + =,75 8
6,5,75,5,5,5,75 6 f( ) = + 76. a) Piirretään funktion f ( ) = kuvaaja määrittämällä ääriarvot ja taulukoimalla :n ja y:n arvoja. Derivaatta f ' () = Derivaatan nollakohdat = = f () f() -,5,5 = =± ±,5 ma min Maksimiarvo f ( ) = ( ) ( ), Minimiarvo f ( ) = ( ), Funktion nollakohdat = ( ) = tai = = = ± 85
,5 5,65,5,875,5,875,5 5,65 f ( ) = 8 6 - -,5 - -,5 - -,5,5,5,5 - - -6-8 - - - -6-8 y y = 8 b) Piirretään funktion f ( ) = 8 kuvaaja määrittämällä ääriarvot ja taulukoimalla :n ja y:n arvoja. Derivaatta f ' () = Derivaatan nollakohdat = ( ) = = tai = = = f () f() min f '( ) = ( ) ( ) = 6 < f '() = = < f '() = = 8 > Minimiarvo f () = 8 = 6 Funktion nollakohdat 86
8 = ( 8) = = tai 8 = = 8 f ( ) = 8,5,875,5,85 5,5 -,85 - -,5 - -,5 - -,5,5,5,5 - - - - -5-6 -7-8 -9 y 77. Funktion f( ) = + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Derivaatta f ' () = Derivaatan nollakohta = = Sijoituksella saadaan f () = + =, joka on funktion f pienin arvo (paraabelin huipun y-koordinaatti). Koska funktion f pienin arvo on suurempi kuin nolla, funktio saa vain positiivisia arvoja. 87
78. Funktio f( ) = Derivaatta f ' () = Derivaatan nollakohdat = ( ) = f () f() ma - = = tai = = f f f '( ) ( ) ( ) = = > = = < = = < '( ) ( ) ( ), 5 '() 7 Maksimiarvo f () = = Funktion suurin arvo on ja koska suurin arvo on pienempi kuin nolla, funktio saa vain negatiivisia arvoja. 79. f () f () ma min Vastaus: Funktio vähenee, kun, ja kasvaa, kun tai kun. Maksimikohta =, minimikohta = n Ääriarvosovelluksia 8. Pallo on korkeimmillaan paraabelin huipussa. Paraabeli y =, + 5, + Derivaatta y' =, + 5, Derivaatan nollakohta, + 5, = 5, = = 5, 9..., Huipun y-koordinaatti y =, 59,... + 5, 59,... + 69, Vastaus: Pallo käy 6,9 m korkeudella. 88
8. Koska polttoaineen kulutuksen ilmaisevan funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, pienin kulutus on paraabelin huipussa. Funktio f () v =, 95v, v+ 7, 6 Derivaatta f '( v) =, 9v, Derivaatan nollakohta, 9v, =, v = = 7, 89..., 9 Vastaus: Kulutus on pienin 7 km/h nopeudella. 8. Koska alikulkutunneli on alaspäin aukeavan paraabelin muotoinen, niin tunnelin korkeus saadaan paraabelin huipusta. Funktio y = 95, +, Derivaatta y' = 9, +, Derivaatan nollakohta 9, +, =, = = 5,... 9, Huipun y-koordinaatti y =, 95, 5... +,, 5..., Vastaus: Alikulkutunnelin korkeus on, m. 8. Koska meluvalli on alaspäin aukeavan paraabelin muotoinen, niin meluvallin korkeus saadaan paraabelin huipusta. Paraabeli y =, 67 +, 6 Derivaatta y' =, +, 6 Derivaatan nollakohta, + 6, = 6, = = 5,, Huipun y-koordinaatti y =, 67, 5 +, 6, 5 =, Vastaus: Meluvallin korkeus oli, m. 8. Raketin lentorata y = + 5 Raketin lentoradan ylin piste on paraabelin huipussa. Derivaatta y'= Derivaatan nollakohta = = paraabelin huipun -koordinaatti Paraabelin huipun y-koordinaatti y = + 5 = 9 Vastaus: Raketti käy 9 m:n korkeudella. 89
85. Sukelluksen syvyys dt () =, t t Sukelluksen syvyyttä kuvaa ylöspäin aukeava paraabeli, joten suurin syvyys saadaan paraabelin huipusta. Derivaatta d'( t) = 8, t Derivaatan nollakohta,8t = t = 5 Sukelluksen syvyys d( 5) =, 5 5 = 5 Koska Terho on suurimmassa syvyydessä 5 s:n kuluttua, niin sukellus kestää 5 s = 5s Vastaus: Terho käy 5 metrin syvyydellä ja sukellus kestää 5 s. 86. Oskarin korkeus ht () = 9, t + 6t+ Oskarin korkeutta kuvaa alaspäin aukeava paraabeli, joten suurin korkeus saavutetaan paraabelin huipussa. Derivaatta h'( t) = 98, t + 6 Derivaatan nollakohta 98, t + 6= 6 t = =, 6... 98, Hypyn korkeus h(, 6...) =, 9, 6... + 6, 6... +, 8 Hyppy alkaa, kun t =, jolloin korkeus on h() = Vastaus: Hypyn suurin korkeus on,8 m ja hyppy suoritetaan m:n korkeudelta. 87. Sillan kaari y =,58, 58+, 5 Pienin etäisyys vedestä on paraabelin huipussa. Derivaatta y' =, 96, 58 Derivaatan nollakohta, 96, 58 = = 5 Huipun y-koordinaatti y(5) =, 58 5, 58 5 +, 5 = Vastaus: Kaaren pienin etäisyys veden pinnasta on m. 88. Luku Tutkitaan funktiota f, Derivaatta f 'bg= bg= < Derivaatan nollakohdat = e j = = tai = =± 9
Juuret ja eivät kuulu välille < F ma Ainoa maksimi f H G I K J = on suurin arvo. Vastaus: Luvun = 89. Luku Tutkitaan funktiota fbg= Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = =,6 f () f () f () = > f () = < ma Vastaus: Luku = 9. bg b g Ala A = = Derivaatta A'bg= 6 Derivaatan nollakohdat 6 = 9
= 8 A () A() ma Ala suurin, kun toinen sivu ja toinen = Vastaus: Rantaa vastaan kohtisuora sivu m ja rannan suuntainen m. 9. Pois leikattavan neliön sivun pituus Tilavuus Vb g= b gb g= + 6 Derivaatta V'b g= + 6 Derivaatan nollakohdat + 6 = = ± 6 b g b g = = 9,... + = =, 79... ei käy V () V(),9 min ma min Maksimi V b, 9... g= 56, 5... Vastaus: Tilavuuden lauseke V bg= +. 6 ja suurin tilavuus cm 9
9. Ikkunan ympärysmitta πr+ r+ a =,, πr r a = r r F Ala Ar bg= r + ra= r + r, π π π = π r, r bg F b g I Derivaatta A' r = π r, r, HG K J + = π + Derivaatan nollakohta b π gr +, = A (r) A(r),68 b g π r =, :( π ) π + HG I K J + r =, =, + =, 68..., 68 π π min ma min Suorakulmion korkeus, πr r F π a = = H G I + K J F F π r = H G I H G + K JI K J r + = + 6 6 6 6 π = π π + π + = Maksimi A F H G I π 8 π + K J F = H G I K J F H G I π + K J + π + =,..., r a r Vastaus: Puoliympyrän säde ja suorakulmion korkeus,68 m, jolloin ala on, m. 9. d h Suorakulmaisesta kolmiosta + h = 5, h = 5, F H I K = + > Tulo T bg= h = 5, 65, Derivaatta T'bg= + 65 Derivaatan nollakohdat + 65 = 9
T () T(), ma 65 =± > =,..., 5 Hirren korkeus h = 5,,..., Vastaus: Hirren leveys =, cm ja korkeus h =, cm. 9. Paraabelin huipun -koordinaatti on derivaatan nollakohta. Paraabeli y = + a+ b Derivaatta y'= 6 + a Derivaatan nollakohta 6 + a = a = 6 Huippu on pisteessä (, ), joten saadaan yhtälö a = ( 6) 6 a = 6 Sijoittamalla a ja huipun koordinaatit paraabelin yhtälöön saadaan b. 6 + b = b = Vastaus: y = 6 95. Paraabeli kulkee pisteen (, ), joten pisteen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön. Sijoitetaan pisteen (, ) koordinaatit paraabelin yhtälöön y = a + b+ c. a + b + c= c = Sijoitetaan c ja pisteen (, ) koordinaatit paraabelin yhtälöön. a + b = a+ b = Paraabelin huipun -koordinaatti on derivaatan nollakohta. Paraabeli y = a + b+ c Derivaatta y' = a + b Derivaatan nollakohta a + b = b = a Paraabelin huippu on pisteessä (, ), joten saadaan yhtälö 9
b = a b = a sijoitetaan yhtälöön a+ b = a a = a = sijoittamalla saadaan b = a = Vastaus: y = 96. Funktio f ( ) =, g ( ) = Erotus e( ) = f ( ) g( ) =, [, ] Derivaatta e' ( ) = Derivaatan nollakohdat = = e () e() min Maksimi e F H G I K J = ma 7 b g = tai = min Vastaus: Suurin etäisyys 7, kun = = 95
HARJOITUSKOKEITA Harjoituskoe. a) Funktion arvot f ( ) = f (,) 5 =, b) Nollakohdat =, ; = ja =, 6 5 y 5 6 c) Piirretään funktion kuvaajalle tangentti pisteeseen (,-) ja lasketaan tangentin kulmakerroin. y f '( ) = y ( ) = = 6 5 y 5 6 (, ) (, ) d) Katsotaan, missä kohdassa käyrälle piirretty tangentti on yhdensuuntainen kohdassa c piirretyn tangentin kanssa. Kohdassa =,7 6 5 y 5 6 Vastaus: a) f ( ) =, f (,) 5 =, b) Nollakohdat =, ; = ja =, c) f '() = d) Kohdassa =,7 96
. Funktio f ( ) = + 5 7 Derivoidaan funktio. f '( ) = + 5 Yhtälön ratkaisu f '( ) = + 5= = ± ( 5) 6 = + = 6 = = 5 Vastaus: f '( ) =, kun = tai = 5. 5. Funktio f ( ) = Derivoidaan funktio. f '( ) = 6 5 Derivaatan nollakohdat f '( ) = f () f () 6 6 5 = ( 5) ± ( 5) 6 ( ) = 6 5 9 = + = = 5 9 = 6 Vastaus: Funktio on vähenevä, kun. 6 97
. Auton nopeus vt () =, t +, t Derivoidaan funktio. v'( t) = 8, t + 6, t Derivaatan nollakohdat v'( t) = v (t) v (t) t 8, t + 6, t = ( 8, t + 6, ) = 7,5 ma t = tai 8, t + 6, = t = t = 75, Suurin arvo on funktion ainoa maksimi. v( 75, ) Vastaus: Auton suurin nopeus oli m/s. v'( ) = 68, > v'( ) = 5, > v'( ) = < 5. Koska lentorata on paraabelin muotoinen, niin hypyn korkein piste on paraabelin huipussa. Lentorata y = +,, Derivoidaan funktio. y' = +, Derivaatan nollakohta y'= +, = =, Huipun y-koordinaatti y =, +,,, =, Vastaus: Hyppy oli, m korkea. 6. Piirretään kulkukaavio. 98
Funktio vähenee, kun 5, ja kasvaa, kun tai kun 5. Vastaus: Funktio vähenee, kun 5, ja kasvaa, kun tai kun 5. Maksimikohta on = ja minimikohta on = 5. 7. Lieriön korkeus h Pohjan säde r Korkeuden ja pohjan halkaisijan summa h + r = eli h = r Ehdot r > ja h = r > eli r < Lieriön tilavuus V r ( ) = π h = πr r = πr πr V '( r) = π r 6π r Derivaatan nollakohdat πr 6πr = π r( r) = tulon nollasäännöllä π r = tai r = r = r = r h 6 Tilavuus on suurin, kun r =, jolloin h = r = = = ja 8π 6π 8π tilavuus on V = π( ) π( ) = = 9 9 7 7 Vastaus: Korkeuden tulisi olla ja suurin tilavuus on 9. 99
8. Funktio f ( ) = on jatkuva. Määritetään nollakohdan likiarvo haarukoimalla. f () = < f ( ) = > nollakohta välillä, f () = < nollakohta välillä, f (,) 5 =, 65 < nollakohta välillä 5,; f (,) 7 =, 5 > nollakohta välillä 5,; 7, f (,) 6 =, < nollakohta välillä 6,; 7, f (, 65) =, 9... > nollakohta välillä 6, ; 65, f (, 6) =,... > nollakohta välillä 6, ; 6, f (, 6) =, 6... < nollakohta välillä 6, ; 6, f (, 65) =, 7... < nollakohta välillä, 65;, 6 Kaikki luvut välillä, 65;, 6 pyöristyvät lukuun,6. Vastaus: Nollakohta on noin,6. Harjoituskoe. Funktio f ( ) = + 9 Derivoidaan funktio. f '( ) = Yhtälön ratkaisu f '( ) = Vastaus: = ( ) ± ( ) ( ) = 9 = + = = 9 = f '( ) =, kun = tai =.
. Funktio f ( ) = + Derivoidaan funktio. f '( ) = + Derivaatan nollakohdat f '( ) = + = = ( ) ± ( ) = + = = = f () f () Vastaus: Funktio on kasvava, kun tai.. Polttoaineen kulutus y =, 8+ 9 Derivoidaan funktio. y' =, 8 Derivaatan nollakohdat f '( ) =, 8= = y y Vastaus: Polttoaineen kulutus on mahdollisimman pieni lennettäessä nopeudella km/h.. Puun korkeus ajan t kuluttua f( t) =, t, 67t +, 75t+,86 (m). Puun korkeus kolmannen vuoden alussa f () =,, 67 +, 75 +,86, 5 (m). Puun korkeus sadannen vuoden alussa f (69) =, 69, 67 69 +, 75 69 +,86, (m). Puun kasvunopeus ajan t kuluttua f '( t) =, 6t, t+,75 (m/a). Puun kasvunopeus kolmannen vuoden alussa
f '() =,6, +,75,68 (m/a). Puun kasvunopeus sadannen vuoden alussa f '(69) =, 6 69, 69 +, 75, (m/a). Vastaus: Puun korkeus. vuoden alussa on,5 m ja 7. vuoden alussa, m. Kasvunopeudet vastaavina aikoina ovat,68 m/a ja, m/a. 5 Pohjaneliön särmän pituus (cm) Särmiön korkeus h (cm) Rautalangan pituus 8 + h + = 5 h = 8 8 Särmiön tilavuus V = h h= 8 8 V( ) = (8 8 ) = 8 8, 6 Derivoidaan tilavuusfunktio V'( ) = 96 Derivaatan nollakohdat V '( ) = V () 96 = ( ) = = tai = = = V() Särmiön tilavuus on suurin kun pohjasärmän pituus on cm. Särmiön korkeus h = 8 8 = 8 8 = 6 cm Vastaus: Neliön sivuksi on valittava cm ja kehikon korkeudeksi 6 cm. 6. Luvun ensimmäinen osa Luvun toinen osa Osien neliöiden summa f ( ) = + ( ) = + + = + Derivoidaan funktio. f '( ) =
Derivaatan nollakohdat f '( ) = = = 5 5 f () f () Toinen osa = 5 = 5 Vastaus: Luvun sata osat ovat 5 ja 5. 7. Funktio f ( ) = + Derivoidaan funktio f '( ) =. Derivaatan nollakohdan haarukointi käyttäen välin puolitusmenetelmää f '( ) = < f '( ) = > nollakohta välillä, f '(, 5) =, 875 < nollakohta välillä,; 5, f '( 75, ) = 578,... < nollakohta välillä ; 75, f '(, 875) =, 69... > nollakohta välillä, 875;, 75 f '( 85, ) = 9,... < nollakohta välillä 875, ; 85, f '(, 875) =,... < nollakohta välillä 875, ; 875, f '(, 85975) =, 7... > nollakohta välillä, 85975;, 875 f '(, 85565) =,... > nollakohta välillä, 85565;, 875 f '(, 876565) =,... < nollakohta välillä, 85565;, 876565 f '(, 896975) =,... > nollakohta välillä, 896975;, 876565 f '(, 88685) =, 56... > nollakohta välillä, 88685;, 876565 f '(, 885) =, 6... > nollakohta välillä, 885;, 876565 f '(, 87996) =,... > nollakohta välillä, 87996;, 876565 Koska kaikki välillä, 879...;, 876... olevat luvut pyöristyvät kolmen desimaalin tarkkuudella lukuun, 88, niin se on kysytty nollakohta. Vastaus: Nollakohta on,88.
8. Piirretään käyrälle tangentti kohtaan =. Derivaatta on kyseisen tangentin kulmakerroin f '( ) = y y = =. y 6 5 5 6 Derivaatta on sama kuin kohdassa =, kun käyrälle piirretty tangentti on yhdensuuntainen kohtaan = piirretyn tangentin kanssa. Derivaatta on kohdassa = sama kuin kohdassa =. Vastaus: Derivaatan arvo on f '() =. Derivaatta on kohdassa = sama kuin kohdassa =. Harjoituskoe. Piirretään käyrälle tangentti kohtaan =. Derivaatta on tangentin kulmakerroin f y y = = =. '() y (, ) 6 5 (, ) 5 6
Derivaatta on sama kuin kohdassa =, kun käyrälle piirretty tangentti on yhdensuuntainen kohtaan = piirretyn tangentin kanssa. Huomataan, että kohtaan = piirretty tangentti on yhdensuuntainen kohtaan = piirretyn tangentin kanssa, joten derivaatta on kohdassa = sama kuin kohdassa =. y (, ) 6 5 (, ) 5 6 Vastaus: f '() = ja kohdassa =. Funktio f ( ) = + 7 Derivoidaan funktio. f '( ) = 8+ 7 Yhtälön ratkaisu f '( ) = 8 + 7= = ( 8 ) ± ( 8 ) 7 8 6 = + = 7 8 6 = = Vastaus: f '( ) =, kun = tai = 7.. Funktio f ( ) = 6+ 5,, Derivaatta f '( ) = 6 Derivaatan nollakohdat 6= ( ) ± ( ) ( 6) = 8 = = 6 + 8 = = 6 5
f () f () min ma min ma Paikalliset minimit f ( ) = f ( ) = 5 pienin arvo Paikalliset maksimit f ( ) = 8 suurin arvo f () = Vastaus: Suurin arvo kyseisellä välillä on 8 ja pienin 5.. Aineen määrä veressä ajan kuluttua 5 y =, +, 9 67,7 + 5, 89+ 7 (ng/ml) Aineen määrä veressä heti pistoksen jälkeen 5 y () =, +,9 67,7 + 5, 89 + 7 = 7 (ng/ml) Aineen määrä veressä 8 tunnin kuluttua 5 y (8) =, 8 +, 9 8 67,7 8 + 5, 8 89 8 + 7,7 (ng/ml) Aineen poistumisnopeus ajan kuluttua y' =,5 + 6,96,9 + 8,6 89 (ng/ml/h). Aineen poistumisnopeus heti pistoksen jälkeen y '() =,5 + 6,96,9 + 8,6 89 (ng/ml/h) Aineen poistumisnopeus 8 tunnin kuluttua y '(8) =,5 8 + 6,96 8,9 8 + 8,6 8 89 9 (ng/ml/h). Vastaus: Ainetta jäljellä 7 ng/ml ja,7 ng/ml. Poistumisnopeudet ng/ml/h ja 9 ng/ml/h. 5. Paraabeli y = + + t Derivaatta y'= + Derivaatan nollakohta + = = Koska paraabelin huippu on -akselilla, niin huipun y-koordinaatti y = ( ) + ( ) + t = + t on nolla. Tällöin y = + t = t = Vastaus: Paraabelin huippu on -akselilla, kun t =. 6
6. Funktio f ( ) =, 58 + +, Derivaatta f '( ) =, 76+ Derivaatan nollakohdat, 76 + = = = 97,..., 76 9,7 f () f () ma Suurin korkeus on ainoa maksimi f ( 97,...) 69, Vastaus: Kuula kävi 6,9 metrin korkeudella. 7. Hinnan laskeminen ( ) Tuotteen hinta 8 Myyty määrä 6 + Myyntivoitto = tulot menot f ( ) = (8 )(6 + ) (6 + ) = 8 + 6 = + 6 + Derivoidaan funktio. f '( ) = 6+ 6 Derivaatan nollakohdat 6 + 6 = = f () f () ma Myyntihinta 8 = 8 = 7 Vastaus: Tuotteen myyntihinnaksi olisi laitettava 7. 7
8. Funktion f ( ) = + 5+ nollakohta on välillä 5,. Funktio on jatkuva. f ( ) = + 5+ > 5 8 < nollakohta välillä 5, 8 > nollakohta välillä 5, < nollakohta välillä 5,,5,5 > nollakohta välillä,; 5,,7,77 < nollakohta välillä 7,; 5,,6,76 < nollakohta välillä 6,; 5,,55,6... > nollakohta välillä 6, ; 55,,57,59... < nollakohta välillä 57, ; 55,,56,9... > nollakohta välillä 57, ; 56,,565,6... < nollakohta välillä, 565;, 56 Koska kaikki luvut välillä ],565;,56[ pyöristyvät lukuun,56, niin funktion nollakohdan likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella on =,56. Vastaus: Nollakohta on,56. 8