1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. Huomautus 1. Lineaarikuvauksen argumentin ympäriltä jätetään usein sulut pois eli voidaan käyttää merkintää Lv := L(v). Lemma 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen joss aina, kun v, w V ja α, β K. Merkintä 1. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia. Identtinen kuvaus Nollakuvaus (nollafunktio) L(αv + βw) = αlv + βlw (1) Id : V V, Id(v) = v v V. 0 : V W, 0(v) = 0 v V. 1
Esimerkki 1. Identtinen kuvaus ja nollakuvaus ovat lineaarisia kuvauksia. Esimerkki 2. Kuvaus L : R 2 R 2, on lineaarinen. Nimittäin, L(x) = 3 x, x R 2, (2) L(x + y) = 3 (x + y) = 3 x + 3 y = Lx + Ly; (3) L(rx) = 3 (r x) = r (3 x) = r Lx, (4) aina, kun x, y R 2 ja r R. Tiedetään, että R 1 on lineaariavaruus kunnan R yli. Tällöin voidaan tehdä samaistus R = R 1 (mieti vastaavaisuutta), jolloin reaaliluvuista R muodostuu lineaariavaruus kunnan R yli. Esimerkki 3. Kuvaus L : R R on lineaarinen jos ja vain jos on olemassa sellainen s R, että L(x) = sx (5) kaikilla x R. Todistus. : Oletetaan, että L on lineaarinen ja olkoon L(1) := s. Tällöin L(x) = L(x 1) = xl(1) = xs. (6) : Oletetaan, että Kotitehtävä: Osoita, että L on lineaarinen. 1.2 Matriisiesitys Merkintä 2. Merkintä L(x) = sx. (7) M h k (K) = {A A = [a ij ], i = 1,..., h; j = 1,..., k; a ij K} tarkoittaa h k-matriisien joukkoa. Siten, jos A M h k (K), niin matriisissa A = [a ij ] on h riviä ja k saraketta ja sen alkiot a ij K. 2
Merkintä 3. Tästä lähtien merkintä x viittaa pystyvektoriin x 1 x = (x 1,..., x n ) T =. x n joka voidaan tarvittaessa tulkita n 1-matriisiksi eli Yleisemmin: x 1 x =. Merkintä 4. Olkoon v = {v 1,..., v n } avaruuden V kanta. Koordinaattikuvaus [.] v kuvaa vektorin v kantaesityksen pystyvektoriksi eli matriisin sarakkeeksi seuraavasti n λ 1 [v] v = [ λ i v i ] v =.. (8) Koordinaattikuvaus on lineaarinen bijektio ja siten vektori ja sen koordinaateista muodostettu pystyvektori/sarake voidaan samaistaa. Lemma 2. Olkoon A M m n (R). Määritellään kuvaus asettamalla L A : R n x n R m kaikilla x R n, missä x tulkitaan n 1-matriisiksi. Tällöin kuvaus L A on lineaarinen. λ n v L A (x) = Ax (9) Tarkastellaan aluksi kertolaskua a 11 a 12... a 1n x 1 a 21 a 22... a 2n x 2 Ax =.. = a m1 a m2... a mn x n a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n. Rm. (10) a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n 3
ja Nähdään, että m n-matriisilla kertominen todellakin indusoi kuvauksen x Ax; R n R m. Todistus. Osoitetaan, että kuvaus L A on lineaarinen. L A (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = L A (x) + L A (y), (11) L A (rx) = A(rx) = rax = rl A (x) (12) kaikilla x, y R n ja r R matriisitulon ominaisuuksien nojalla. Esimerkki 4. Olkoon L(x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, 2x 1 x 2 ) (x 1, x 2 ) R 2, (13) tällöin saadaan lineaarikuvaus L : R 2 R 2. Todistus. Kohta a. Lasketaan V.P. = L(x + y) = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = ((x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 ), 2(x 1 + y 1 ) (x 2 + y 2 )); O.P. = L(x) + L(y) = (x 1 + x 2, 2x 1 x 2 ) + (y 1 + y 2, 2y 1 y 2 ). Havaitaan, että V.P.=O.P. Kohta b. Kotitehtävä. Esimerkin 4 lineaarikuvausta L(x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, 2x 1 x 2 ) vastaa matriisiyhtälö eli [ ] [ ] [ ] 1 1 x1 x1 + x = 2 2 1 x 2 2x 1 x 2 (14) [ ] x1 + x Ax = 2. (15) 2x 1 x 2 Pisteen x = (x [ 1,] x 2 ) kuva lineaarikuvauksessa [ ] L voidaan siis laskea kertomalla matriisi matriisilla A =. x1 1 1 2 1 x 2 4
1.3 Perustuloksia Lause 1. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Tällöin L(0) = 0 (16) ja ( k ) L λ i v i = k λ i L(v i ) (17) kaikilla k Z +, λ 1,..., λ k K ja v 1..., v k V. Lause 2. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia kunnan K yli ja T, L : V W lineaarikuvauksia ja S avaruuden V kanta. Tällöin T = L jos ja vain jos T s = Ls kaikilla s S. Muistetaan, että T = L T v = Lv v V. (18) Siten, jos T = L, niin T s = Ls kaikilla s S. : Todistetaan tapaus: dim V = n <. Olkoon S = {s 1,..., s n }, jolloin V = s 1,..., s n. Oletetaan, että T s = Ls kaikilla s S. Nyt ( n ) ( n n n ) T v = T λ i s i = λ i T (s i ) = λ i L(s i ) = L λ i s i = Lv. (19) Lause 3. Olkoot V, W ja U vektoriavaruuksia sekä L : V W ja S : W U lineaarikuvauksia. Tällöin (a) yhdistetty kuvaus S L : V U on lineaarinen; (b) jos L on bijektio, niin L 1 : W V on lineaarinen. 5
Todistus. Kohta b: Koska L : V W on bijektio, niin L 1 : W V ja LL 1 = L 1 L = Id. Olkoot w 1, w 2 W, tällöin sellaiset v 1, v 2 V, että w 1 = Lv 1, w 2 = Lv 1. Siispä L 1 (w 1 + w 2 ) = L 1 (Lv 1 + Lv 2 ) = L 1 L(v 1 + v 2 ) = v 1 + v 2 = L 1 w 1 + L 1 w 2 ; L 1 (λw) = L 1 (λlv) = L 1 L(λv) = λv = λl 1 w. 1.4 Ker ja Im Määritelmä 2. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Kuvauksen L kernel on joukko ja image on joukko Ker L = {v V Lv = 0} Im L = {w W w = Lv jollakin v V }. Terminologiaa: Kernel eli ydin eli nollan alkukuva; Image eli kuvajoukko eli arvojoukko Esimerkki 5. Lasketaan Esimerkin 4 lineaarikuvauksen L : R 2 R 2 L(x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, 2x 1 x 2 ) (x 1, x 2 ) R 2, (20) kernel ja image. missä Kernel: x Ker L Lx = 0 Ax = 0 (21) A = [ ] 1 1, det A = 3 0. (22) 2 1 6
Siten x = A 1 0 = 0, joten Ker L = {0}. (23) Image: Valitaan maaliavaruudesta mielivaltainen alkio y R 2 ja yritetään hakea sille alkukuva x lähtöavaruudesta R 2. Asetetaan yhtälö Lx = y Ax = y x = A 1 y (24) Siten löydettiin lähtöavaruuden alkio x = A 1 y R 2 (y:n alkukuva) eli alkio jolle pätee Lx = y. (25) Havaitaan, että Im L = R 2. (26) Esimerkki 6. Kuvaus L : R 3 R 2, L(x, y, z) = (x, y + z) on lineaarinen. Määrätään sen ydin ja arvojoukko. Nyt (x, y, z) Ker L (27) (0, 0) = L(x, y, z) = (x, y + z) (28) x = 0, z = y R. (29) Siis y on vapaa parametri, jolloin Ker L = {(0, y, y) R 3 : y R} = (0, 1, 1) ; (30) dim Ker L = 1. (31) Olkoon b = (b 1, b 2 ) R 2 ja asetetaan L(x, y, z) = (x, y + z) = (b 1, b 2 ) { x = b 1 y + z = b 2. (32) Valitsemalla x = b 1, y = b 2 ja z = 0 saadaan L(b 1, b 2, 0) = (b 1, b 2 ) eli jokaisella R 2 :n pisteellä on alkukuva. Arvojoukoksi tulee Im L = R 2. (33) 7
Lause 4. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia, V V ja W W aliavaruuksia ja L : V W lineaarikuvaus. Tällöin ovat aliavaruuksia. Erityisesti ovat aliavaruuksia ja L 1 (W ) V ja L(V ) W (34) Ker L V ja Im L W (35) dim Ker L dim V, dim Im L dim W. (36) Todistetaan, että Ker L on V :n aliavaruus. AA1. Koska L(0) = 0, niin 0 Ker L ja siten Ker L. AA2. Olkoot x 1, x 2 Ker L. Lasketaan L(x 1 + x 2 ) = Lx 1 + Lx 2 = 0 + 0 = 0, (37) joten x 1 + x 2 Ker L. AA3. Olkoot k K ja x Ker L. Lasketaan joten k x Ker L. L(k x) = k Lx = k 0 = 0, (38) Lause 5. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarikuvaus. Tällöin L on injektio jos ja vain jos Ker L = {0}. Todistus. : Olkoon L injektio. Valitaan x Ker L, tällöin Lx = 0 = L0. Siten x = 0 ja edelleen Ker L = {0}. : Olkoon Ker L = {0}. Asetetaan Lx = Ly. Tällöin L(x y) = 0, joten x y Ker L = {0} x y = 0 x = y. 8
1.5 Dimensiolause Lause 6 (Dimensiolause). Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, W vektoriavaruus ja L : V W lineaarinen. Tällöin Todistus. Olkoot dim V = dim Ker L + dim Im L. (39) dim V = n, dim Ker L = k, Ker L = v 1,..., v k. Täydennetään lista v 1,..., v k avaruuden V :n kannaksi, jolloin Määrätään kuva-avaruus V = v 1,..., v k, v k+1,..., v n, v k+1,..., v n / Ker L. Im L = L( v 1,..., v n ) = {L(a 1 v 1 +... + a n v n ) a 1,..., a n K} = {a 1 Lv 1 +... + a n Lv n a 1,..., a n K} = {a k+1 Lv k+1 +... + a n Lv n a 1,..., a n K}. Osoitetaan vielä, että {Lv k+1,..., Lv n } on lineaarisesti vapaa. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi a k+1 Lv k+1 +... + a n Lv n = 0 L(a k+1 v k+1 +... + a n v n ) = 0 a k+1 v k+1 +... + a n v n Ker L a k+1 v k+1 +... + a n v n = b 1 v 1 +... + b k v k b 1 v 1 +... + b k v k + ( a k+1 )v k+1 +... + ( a n )v n = 0. Kantana joukko {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } on lineaarisesti vapaa, joten b 1 =... = b k = a k+1 =... = a n = 0. Siten {Lv k+1,..., Lv n } on lineaarisesti vapaa ja kuva-avaruuden dimensioksi saadaan dim Im L = n k. Seuraus 1. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia siten, että V on äärellisulotteinen, ja L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat tosia: (a) Jos L on injektio, niin dim V dim W. 9
(b) Jos L on surjektio, niin dim V dim W. (c) Jos L on bijektio, niin dim V = dim W. Todistus. Aluksi k := dim Ker L n := dim V, n k = dim Im L dim W. a) kohta. Nyt Ker L = {0}, joten b) kohta. Nyt Im L = W, joten c) kohta seuraa kohdista a+b. k = 0 n k = n dim W. n k = m := dim W n = m + k m. dim W n dim W. Seuraus 2. Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia siten, että niiden dimensiot ovat samat, ja olkoon L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) L on bijektio. (b) L on injektio. (c) L on surjektio. Esimerkki 7. Kuvaus L : R 3 R 2, L(x, y, z) = (y z, x z), on lineaarinen. Määrätään kuvauksen L ydin: y = z L(x, y, z) = 0 (y z, x z) = (0, 0) x = z z R. Siis Ker L = {(x, y, z) R 3 : x = y = z, z R} = {s(1, 1, 1) : s R} = (1, 1, 1), joten dim Ker L = 1. Erityisesti Ker L {0}, joten L ei ole injektio. Dimensiolauseen nojalla 3 = 1 + dim Im L, joten dim Im L = 2 = dim R 2. Siten Im L = R 2 eli L on surjektio. 10
Esimerkki 8. Tarkastellaan derivaattakuvausta D : Pol n (R, R) Pol n (R, R). Koska Dp = p = 0 jos ja vain jos p(x) = c kaikilla x R jollekin c R (eli p on vakiopolynomi), niin Ker D = 1. Näin ollen dim Ker D = 1. Dimensiolauseen nojalla dim P ol n (R, R) = n + 1 = 1 + dim Im D, joten dim Im D = n < dim P ol n (R, R). Näin ollen D ei ole surjektio. 1.6 Kannanvaihtomatriisit Merkintä 5. Olkoon v = {v 1,..., v n } avaruuden V kanta. Koordinaattikuvaus [.] v kuvaa vektorin v kantaesityksen n λ iv i pystyvektoriksi eli matriisin sarakkeeksi seuraavasti n λ 1 [v] v = [ λ i v i ] v =.. (40) Koordinaattikuvaus on lineaarinen bijektio ja siten vektori ja sen koordinaateista muodostettu pystyvektori/sarake voidaan samaistaa. Esimerkki 9. λ n 1 [v 1 ] v = [1 v 1 + 0 v 2 +... + 0 v n ] v = 0. 0 v v (41) Olkoot V ja W vektoriavaruuksia kunnan K yli, missä v = {v 1,..., v n } on avaruuden V kanta ja w = {w 1,..., w m } on avaruuden W kanta. Olkoon L : V W lineaarikuvaus, jolle kantavektoreitten v 1,..., v n kuvat kannassa w = {w 1,..., w m } ovat Lv 1 =a 11 w 1 +... + a m1 w m,... Lv n =a 1n w 1 +... + a mn w m eli [Lv 1 ] w = a 11 a 21. a m1 w, [Lv 2 ] w = a 12 a 22. a m2 w,..., [Lv n ] w = a 1n a 2n. a mn w. (42) 11
Merkitään a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n [L] v,w = [[Lv 1 ] w, [Lv 2 ] w,..., [Lv n ] w ] =. a m1 a m2... a mn m n, (43) missä sarakkeina ovat kantavektoreitten v 1,..., v n kuvien Lv 1,..., Lv n koordinaattivektorit kannassa w 1,..., w n. Määritelmä 3. Matriisi [L] v,w on lineaarikuvauksen L matriisi kantojen v ja w suhteen. Lause 7. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia kunnan K yli, missä v = {v 1,..., v n } on avaruuden V kanta ja w = {w 1,..., w m } on avaruuden W kanta. Olkoon L : V W lineaarikuvaus, jonka matriisi kantojen v ja w suhteen on [L] v,w = [a ij ]. Tällöin [a ij ] on se yksikäsitteinen m n-matriisi, jonka avulla kuvauksen L arvo Lv = m j=1 µ jw j pisteessä v = n λ iv i saadaan matriisikertolaskuna [L] v,w [v] v = [Lv] w (44) eli a 11... a 1n λ 1 µ 1.. =. a m1... a mn λ n Todistus. Lasketaan lineaarikuvauksena Lv =L(λ 1,..., λ n ) = n n L( λ i v i ) = λ i Lv i = λ 1 (a 11 w 1 +... + a m1 w m ) +... + λ n (a 1n w 1 +... + a mn w m ) = v µ m (a 11 λ 1 +... + a 1n λ n )w 1 +...(a m1 λ 1 +... + a mn λ n )w m = (a 11 λ 1 +... + a 1n λ n,..., a m1 λ 1 +... + a mn λ n ) = (µ 1,..., µ m ) w (45) 12
ja matriiseilla a 11 a 12... a 1n λ 1 a 21 a 22... a 2n λ 2 [L] v,w [v] v =.. a m1 a m2... a mn λ n a 11 λ 1 +... + a 1n λ n. a m1 λ 1 +... + a mn λ n w µ 1 =. µ m w v = [Lv] w. = (46) Lineaarikuvausta vastaa yksikäsitteinen matriisi ja matriisin avulla voidaan määritellä lineaarikuvaus. On siis olemassa bijektio kaikkien lineaaristen kuvauksien L : V W ja kaikkien m n-matriisien välillä. Esimerkki 10. Olkoot V = W = R 2, e = {e 1, e 2 } V ja f = {f 1 = e 1 +e 2, f 2 = e 1 e 2 } W. Tarkastellaan lineaarikuvausta L : V W, joka kuvaa kantavektorit e 1, e 2 kuvavektoreiksi [ ] 0 Le 1 = e 1 + e 2 = 0 f 1 + ( 1) f 2 = ; 1 [ ] f (47) 1 Le 2 = e 1 + e 2 = 1 f 1 + f 2 =. 0 Tällöin L:n matriisi kantojen e ja f suhteen on [ ] 0 1 [L] e,f = [[Le 1 ] f, [Le 2 ] f ] =, (48) 1 0 2 2 missä sarakkeina ovat kantavektoreitten e 1, e 2 kuvien Le 1, Le 2 koordinaattivektorit kannassa f 1, f 2. 1.7 Esimerkkejä Esimerkki 11. Määritellään lineaarikuvaus L : R 3 R 3, asettamalla L(x, y, z) = (z y, x z + y, x) aina, kun (x, y, z) R 3. 13 f
1. Määrää Ker L. 2. Onko L injektio? 3. Määrää dim Ker L. 4. Määrää dim Im L (käytä dimensiokaavaa). 5. Onko L surjektio? 6. Onko L bijektio? 7. Määrää Im L. 1. Ker L. Ratkaisu: Asetetaan Lx =0 (49) (z y, x z + y, x) = (0, 0, 0) (50) z y = x z + y = x = 0 x = 0, z = y (51) x = (0, y, y) (52) Ker L = {x R 3 Lx = 0} = (53) {(0, y, y) y R} = (0, 1, 1) R. (54) 2. Injektio? EI, koska 3. Ker L {0}. (55) dim Ker L = 1. (56) 4. Dimensiokaavalla (39): dim V = dim Ker L + dim Im L 3 = 1 + dim Im L. (57) Siten dim Im L = 2. (58) 5. EI ole surjektio, koska dim Im L = 2 ja maaliavaruuden R 3 dimensio=3. 6.EI ole bijektio. 14
7. Im L. Lx =(z y, x z + y, x) = (z y)e 1 + (x z + y)e 2 + xe 3 = (z y)e 1 + ( z + y)e 2 + x(e 2 + e 3 ) = (z y)(e 1 e 2 ) + x(e 2 + e 3 ), joten Im L ={Lx x = (x, y, z) R 3 } = {(z y)(e 1 e 2 ) + x(e 2 + e 3 ) x, y, z R} = {t(e 1 e 2 ) + x(e 2 + e 3 ) x, t R} = e 1 e 2, e 2 + e 3 R, missä e 1 e 2 ja e 2 + e 3 ovat lineaarisesti vapaita. Tästäkin voidaan päätellä, että L ei ole surjektio sekä dim Im L = 2. Esimerkki 12. Jatketaan lineaarikuvauksen L : R 3 R 3, L(x, y, z) = (z y, x z +y, x) tarkastelua. Määrää L:n matriisi 1. A 1 = [L] e,e luonnollisen kannan e = E 3 = {e 1, e 2, e 3 } R 3 suhteen. 2. A 2 = [L] f,f kannan f = {f 1 = e 1 +e 2, f 2 = e 2 +e 3, f 3 = e 3 +e 1 } suhteen. 3. A 3 = [L] e,f. 4. A 4 = [L] f,e. 5. Laske determinantit det A 1 ja det A 2. Lasketaan kantavektoreitten e 1, e 2, e 3 kuvat: Le 1 =L(1, 0, 0) = (0, 1, 1) = e 2 + e 3 = f 2 ; Le 2 =L(0, 1, 0) = ( 1, 1, 0) = e 1 + e 2 = f 2 f 3 ; Le 3 =L(0, 0, 1) = (1, 1, 0) = e 1 e 2 = f 2 + f 3. Joista saadaan 0 1 1 A 1 = [L] e,e = [[Le 1 ] e, [Le 2 ] e, [Le 3 ] e ] = 1 1 1 1 0 0 3 3 (59) 15
ja 0 0 0 A 3 = [L] e,f = [[Le 1 ] f, [Le 2 ] f, [Le 3 ] f ] = 1 1 1 0 1 1 Lasketaan kantavektoreitten f 1, f 2, f 3 kuvat: Lf 1 =L(e 1 ) + L(e 2 ) = e 1 + 2e 2 + e 3 = 2f 2 f 3 ; Lf 2 =L(e 2 ) + L(e 3 ) = 0 e 1 + 0 e 2 + 0 e 3 = 0 f 1 + 0 f 2 + 0 f 3 ; Lf 3 =L(e 3 ) + L(e 1 ) = e 1 + e 3 = f 3 ; 3 3 (60) Joista saadaan 0 0 0 A 2 = [L] f,f = [[Lf 1 ] f, [Lf 2 ] f, [Lf 3 ] f ] = 2 0 0 1 0 1 ja Esimerkki 13. 1 0 1 A 4 = [L] f,e = [[Lf 1 ] e, [Lf 2 ] e, [Lf 3 ] e ] = 2 0 0 1 0 1 3 3 3 3 (61) (62) Kotitehtävä 34. Olkoon V reaalinen sisätuloavaruus, dim K V = k Z + ja n V annettu. Määritellään kuvaus L : V R, asettamalla aina, kun x V. 1. Osoita, että kuvaus L on lineaarinen. 2. Määrää dim Im L. 3. Määrää dim Ker L. Ratkaisu. Tapaus n {0}. L(x) = n x (63) Lineaarikuvauksen maaliavaruus on R, jolla on vain triviaalit aliavaruudet. Lisäksi dim R = 1. Koska L(n) = n n > 0, Im L {0} (64) 16
niin Im L = R, dim Im L = 1. (65) Edelleen dimensiokaavalla (39): dim V = dim Ker L + dim Im L k = dim Ker L + 1. (66) Siten dim Ker L = k 1. (67) 1.7.1 Hypertaso onkin Kernel Siispä Ker L eli joukko N := {x V n x = 0} (68) on hypertaso. 17