Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 17-19 tulee palauttaa seuraavan alkuviikon harjoituksiin paperilla tai pdf-muodossa kurssin MyCourses-sivuille tiistaihin klo 16.00 mennessä. Sama kellonaika on myös viikoittaisten verkkotehtävien dl, joskin verkkotehtävät kannattaa tehdä ennen palautettavia kotitehtäviä. Alkuviikko: joukko-oppi, logiikka Tuntitehtävä 11: Olkoot A, B, C joukkoja. Todista a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B \ C) = (A B) \ (A C). Ratkaisu: a) Oletetaan aluksi, että kyse on epätyhjistä joukoista. Ensin avaamme joukkojen määritelmät: Sitten tehdään muutos A (B C) = (A B) (A C), ja lopulta puretaan TAI-ehto kahden joukon yhdisteeksi. b) A (B C) ={(x, y) : (x A) (y (B C))} ={(x, y) : (x A) ((y B) (y C))} ={(x, y) : ((x A) (y B)) ((x A) (y C))} ={(x, y) : (x A) (y B)} {(x, y) : (x A) (y C)} =(A B) (A C) Sitten tutkitaan vielä tyhjien joukkojen tapaukset: Jos A on tyhjä, on kaikki sen karteesiset tulot tyhjiä, joten yhtäsuuruus pätee. Samoin jos joukko C tai B on tyhjä, niin sen karteesinen tulo on tyhjä ja väite on muotoa A B = (A B). Vielä todetaan, että myös tapaus B C = johtaa yhtäsuuruuteen. Jälleen avataan käsitteet. JA-merkkejä voidaan järjestellä uudelleen, ja toistaa vaatimus (x A). Viimeisessä askeleessa todetaan, että y:n kuuluvuus- ja kuulumattomuusehto muodostavat kahden joukon erotuksen. 1
A (B \ C) ={(x, y) : (x A) (y B \ C)} ={(x, y) : (x A) (y B y / C)} ={(x, y) : ((x A) (y B)) (y / C)} ={(x, y) : ((x A) (y B)) ((x A) (y / C))} ={(x, y) : (x A) (y B)} \ {(x, y) : (x A) (y C)} =(A B) \ (A C) Entä tyhjät joukot? Jos A on tyhjä, on kaikki karteesiset tulot tyhjiä ja väite pätee. Jos taas B \C =, on oltava B C. Tällöin (A B) (A C), ja oikealla puolella oleva joukko on tyhjä. Tuntitehtävä 12: Edessäsi on kolme arkkua. Yhdessä niistä on kultaa, kaksi on tyhjiä. Jokaiseen arkkuun on kaiverrettu vihje sisällöstä, vihjeet ovat seuraavat: Arkku 1: "Kulta ei ole täällä" Arkku 2: "Kulta ei ole täällä" Arkku 3: "Kulta on arkussa 2" Vain yksi vihjeistä on totta, kaksi muuta on valetta. Missä arkussa on kulta? Ratkaise muotoilemalla arvoituksesta propositiologiikan väite ja käyttämällä totuustaulua. Ratkaisu: Olkoon P i väite "kulta on arkussa i", i {1, 2, 3}. Tällöin vihjeet arkuissa ovat itse asiassa P 1 arkussa 1, P 2 arkussa 2 ja P 2 arkussa 3. Tiedämme siis seuraava asiat: 1. Yhdessä arkussa on kultaa ja kaksi on tyhjiä, eli pätee Q 1 := (P 1 P 2 P 3 ) ( P 1 P 2 P 3 ) ( P 1 P 2 P 3 ) (1) 2. Vain yksi vihje on totta, kaksi muuta valetta, eli pätee ( P 1 P 2 P 2 ) ( P 1 P 2 P 2 ) ( P 1 P 2 P 2 ), mikä sievenee väitteeksi Q 2 := (P 1 P 2 ) (P 1 P 2 ) = P 1. (2) Näiden molempien siis tulee päteä samanaikaisesti, eli Q 1 Q 2. Tehdään totuustaulu. Meillä on kolme väitettä, joten totuustauluun tulee kahdeksan riviä. 2
P 1 P 2 P 3 Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 T T T E T E T T E E T E T E T E T E T E E T T T E T T E E E E T E T E E E E T T E E E E E E E E Totuustaulusta nähdään, että molemmat väitelauseet ovat voimassa vain siinä tapauksessa, että väite P 1 on totta ja väitteet P 2 ja P 3 epätotta, eli kulta on arkussa numero 1. Kotitehtävä 13: Olkoot A, B ja C joukkoja, joille pätee A C = B C ja C. Osoita, että A = B. Ratkaisu: Oletetaan aluksi, että A ja B ovat epätyhjiä joukkoja. A C =B C {(x, y) : (x A) (y C)} ={(x, y) : (x B) (y C)} {x : (x A)} ={x : (x B)} A =B Tutkitaan seuraavaksi tapausta, jossa A =, jolloin myös A C =. Koska A C = B C ja C, niin B =. Sama logiikka pätee myös toisinpäin eli B = A =. Tästä seuraa, että A = B pätee myös tyhjille joukoille. Kotitehtävä 14: Urheat seikkailijat Mari, Sari ja Kari ovat joutuneet vangeiksi pimeään ja märkään luolaan (kuinka he sinne päätyivät on toinen tarina). Hetken etsinnän jälkeen he löytävät kolme ovea: punaisen, sinisen ja vihreän. Yhden oven takaa löytyy tie vapauteen, kahden muun takaa tultasyöksevä lohikäärme. Jokaiseen oveen on kirjoitettu vihje: Punainen ovi: vapaus on tämän oven takana Sininen ovi: vapaus ei ole tämän oven takana Vihreä ovi: vapaus ei ole sinisen oven takana Seikkailijamme tietävät, että ainakin yksi vihjeistä on totta ja ainakin yksi niistä on valetta. Mikä ovi vie vapauteen? Ratkaise muotoilemalla arvoituksesta propositiologiikan väite ja käyttämällä totuustaulua. Ratkaisu: Määritellään seuraavat väitteet: P := "Vapaus on punaisen oven takana" 3
S := "Vapaus on sinisen oven takana" V := "Vapaus on vihreän oven takana" Tällöin tiedossa olevat faktat voidaan muotoilla seuraavasti: 1. Yhden oven takana on vapaus, kahden muun lohikäärme, eli väite on totta. Q 1 := (P S V ) ( P S V ) ( P S V ) 2. Ainakin yksi kolmesta vihjeestä on totta. Väitelauseiden avulla kirjoitettuna saadut kolme vihjettä ovat P, S ja S, eli huomataan, että itse asiassa saatiin vain kaksi vihjettä, P ja S. Jos näistä ainakin yksi on totta, pätee Q 2 := (P S). 3. Ainakin yksi vihjeistä on epätotta, joten väitteen on oltava totta. Q 3 := ( P S) Koko tehtävän ratkaisu on sellainen, jossa kaikki kolme faktaa pitävät paikkansa samanaikaisesti, eli jossa väitteen Q 1 Q 2 Q 3 totuusarvo on tosi. Tehdään totuustaulukko. Vapaus on siis vihreän oven takana! P S V Q 1 Q 2 Q 3 Q 1 Q 2 Q 3 T T T E T T E E T T E E T E T E T E T E E T T E E T T E E E T T T T T E T E T E T E T E E T T E E E E E E T T E Loppuviikko: relaatiot ja funktiot Tuntitehtävä 15: Olkoon A = {1, 2, 3}, B = {4, 5} ja R = (A A) (B B). Perustele, miksi R on ekvivalenssirelaatio joukossa A B, ja määritä kaikki sen ekvivalenssiluokat. Ratkaisu: R koostuu kaikista A:n ja B:n sisäisistä pareista. Silloin siihen sisältyvät kaikki parit 4
(a, a), jolloin reflektiivisyysvaatimus täyttyy. Myös, jos (a, b) R, on se joukon sisäinen ja siten myös käänteinen relaatio löytyy, (b, a), eli relaatio on symmetrinen. Lisäksi, koska joukkojen A ja B leikkaus on tyhjä, ei relaatio voi "hypätä"joukosta toiseen. Siis jos (a, b) R ja (b, c) R, kuuluvat a ja c samaan joukkoon A tai B, eli myös relaatio (a, c) R (transitiivisuus). Koska sekä refleksiivisyys, symmetrisyys että transitiivisuus täyttyvät, on R ekvivalenssirelaatio joukossa A B ja sen ekvivalenssiluokat ovat A ja B. Tuntitehtävä 16: Onko funktio f : R Z + Z + R, f(x, n) = (n, 3nx) bijektio? Jos on, niin mikä on sen käänteisfunktio? Ratkaisu: Osoitetaan injektiivisyys: Olkoon (x 1, n 1 ), (x 2, n 2 ) R Z + siten, että f((x 1, n 1 )) = f((x 2, n 2 )). Osoitetaan, että (x 1, n 1 ) = (x 2, n 2 ) Pätee siis (n 1, 3n 1 x 1 ) = (n 2, 3n 2 x 2 ) josta nähdään heti että n 1 = n 2. Tätä tietoa käyttäen saadaan parien jälkimmäisten osien yhtäsuuruudesta 3n 1 x 1 = 3n 2 x 2 n 1 x 1 = n 1 x 2 x 1 = x 2 jossa n 1 saatettiin jakaa pois koska se ei ole koskaan nolla. Eli kuvien yhtäsuuruudesta seurasi lähtöpisteiden yhtäsuuruus, joten f on injektio. Osoitetaan surjektiivisuus: olkoon (m, y) Z + R. Halutaan löytää (x, n) R Z + siten, että f((x, n)) = (m, y). (n, 3xn) = (m, y) n = m 3xm = y x = joka on määritelty koska nimittäjä m Z + ei ole koskaan nolla. Eli löytyi ratkaisu ( y 3m, m) jokaiselle maalijoukon alkiolle, joten f on surjektio. Yhdistettynä injektiivisyyteen tämä osoittaa f:n bijektiivisyyden. f:n käänteisfunktio löydettiin samalla kun osoitettiin surjektiivisuus: f 1 : Z + R R Z +, f 1 (n, x) = ( x 3n, n) y 3m Kotitehtävä 17: Muodosta pienin joukon A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ekvivalenssirelaatio, joka sisältää järjestetyt parit (1, 3), (5, 2), (6, 0) ja (7, 3). (Pienin siinä mielessä, että se A A:n osajoukkona sisältää mahdollisimman vähän alkioita.) Muodosta sitten tämän ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokat eli joukko A:n ei-tyhjiä ja pistevieraita osajoukkoja, joiden yhdiste on A, ja jossa alkiot x ja y kuuluvat samaan osajoukkoon jos ja vain jos (x, y) kuuluu kyseiseen ekvivalenssirelaatioon. Ratkaisu: Ekvivalenssirelaatio on refleksiivinen, symmetrinen transitiivinen, joten tässä tapauksessa pienin relaatio, joka sisältää annetut parit, on 5
{ R = [0, 0], [1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4], [5, 5], [6, 6], [7, 7], } [1, 3], [3, 1], [5, 2], [2, 5], [6, 0], [0, 6], [7, 3], [3, 7], [1, 7], [7, 1]. Tällä relaatiolla on seuraavat ekvivalenssiluokat: A = {1, 3, 7} {4} {2, 5} {0, 6}. Kotitehtävä 18: Osoita, että relaatio R = {( (m, n), (p, q) ) m q = n p } joukossa Z (Z\{0}) on ekvivalenssirelaatio. Käytä pelkästään kokonaislukujen laskutoimituksia ja -sääntöjä (eli ei mitään jakolaskuja). Voit olettaa tunnetuksi, että kahden kokonaisluvun tulo on 0 ainoastaan jos ainakin toinen luvuista on 0. Mitä tämän relaation ekvivalenssiluokat ovat? Ratkaisu: Meidän pitää osoittaa, että tämä relaatio on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Jos (m, n) Z (Z \ {0}) niin m n = m n joten ( (m, n), (m, n) ) R ja R on refleksiivinen. Jos ( (m, n), (p, q) ) R niin m q = p n jolloin p n = m q josta seuraa, että ( (p, q), (m, n) ) R eli R on symmetrinen. Jos ( (m, n), (p, q) ) R ja ( (p, q), (s, t) ) R niin m q = p n, p t = s q. Nyt kerromme edellisen yhtälön molemmat puolet luvulla t ja jälkimmäisen luvulla n, jolloin saamme m q t = p n t, p t n = s q n. Vähentämällä jälkimmäisen yhtälön molemmat puolet edellisestä saamme yhtälön (m t s n) q = 0. Koska kahden kokonaisluvun tulo on 0 ainoastaan, jos ainakin toinen luvuista on 0, niin voimme päätellä, koska q 0, että m t s n = 0. Tästä seuraa, että ( (m, n), (s, t) ) R. Näin ollen relaatio on myös transitiivinen ja siten ekvivalenssirelaatio. Koska ehdoista m q = p n, n 0 ja q 0 seuraa m = p, niin ekvivalenssiluokat ovat käytännössä n q rationaaliluvut. 6
Kotitehtävä 19: Olkoot f : X Y ja g : Y X sellaisia funktioita, että g(f(x)) = x kaikilla x X. Osoita, että f on injektio ja g on surjektio. Anna esimerkki tällaisista joukoista ja funktioista siten, että f ei ole surjektio eikä g ole injektio, jolloin siis ei päde f(g(y)) = y kaikilla y Y. Ratkaisu: Jos f(x 1 ) = f(x 2 ) niin oletuksesta seuraa, että x 1 = g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) = x 2, joten f on injektio. Jos x X niin y = f(x) Y ja oletuksen mukaan g(y) = g(f(x)) = x joten g on surjektio. Jos esimerkiksi X = {0}, Y = {0, 1}, f(0) = 1 ja g(y) = 0 kun y Y niin g(f(x)) = g(1) = 0 = x, x X eli x = 0. Mutta f ei ole surjektio koska f(x) 0 Y kaikilla x X ja g ei ole injektio koska g(1) = g(0) = 0. Verkkotehtävät 2: Muistathan myös verkkotehtävät! Toinen tehtäväsarja sulkeutuu ti 26.9. klo 16.00. 7