Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution hx) = g f) x) Fourier-muunnos on Hω) = Gω)F ω). Suoraan taulukosta nähdään, että fx) ˆfω) = 1. Lasketaan funktion g a+iω Fourier-muunnos: ĝω) = gx)e iωx dx = 0 e a iω)x dx = Siten ĝ fω) = ĝω) ˆfω) = 1 a iω 1 a+iω = 1 a +ω. apa : Merkitään funktiota hx) = e a x = e ax, x > 0 e ax, x < 0, / 0 jolle ĥω) = e a iω)x a iω = 1 a iω. a a + ω. Nyt gx) = hx) fx) ja siten ĝω) = ĥω) ˆfω), josta edelleen saadaan ĝ fω) = ĝω) ˆfω) ) a = ĥω) ˆfω) ˆfω) = a + ω 1 ) 1 a + iω a + iω a a iω) 1 = a + ω a + iω = a + iω 1 a + ω a + iω = 1 a + ω.. Muodosta yhtälön 4 e x y hy) dy + hx) = fx) Fourier muunnos ja ratkaise siitä Hω). Määrää funktion [ 8 + 1 ] 1 1+ω käänteis-fourier-muunnos gx) kirjoittamalla se muotoon 1 8 1 + ω. Määrää yo. yhtälön ratkaisu konvoluutiona hx) = f gx), kun fx) on neliöpulssi. 1
Yhtälöstä on e x y hy) dy funktioiden e x ja hx) konvoluutio. aulukosta nähdään suoraan, että funktiolle e x Fourier-muunnos on, joten 1+ω ) 4 1 + ω ĥω) + ĥω) = ˆfω) 8 1 + ω + 1 ĥω) = ˆfω) [ ] 1 ĥω) = 8 1 + ω + 1 ˆfω). Merkitään [ ] 1 [ ] 8 9 + ω 1 ĝω) = 1 + ω + 1 = = 9 + ω 8 = 1 8 1 + ω 9 + ω 9 + ω = 1 4 3 3 3 + ω, jolloin gx) = F 1 ĝω)} = δx) 4 3 e 3 x. Yhtälön ratkaisu konvoluutiona hx) = f g)x) kun f on neliöpulssi. Siis f on 1, x 1 fx) = 0, x > 1, jolloin fx y) = 1, x y 1 0, x y > 1 fx y) = 1, x 1 y 1 + x 0, muulloin. Nyt hx) = g f)x) = δ f)x) 4 3 = f0) 4 3 e 3 y dy = 1 4 3 fx y)e 3 y dy jolle lasketaan arvot tutkimalla mahdolliset vaihtoehdot. Jos x + 1 0, niin e 3 y = e 3y ja siten hx) = 1 4 3 e 3y dy = 1 4 3 1 3 Jos x 1 0, niin e 3 y = e 3y ja hx) = 1 4 3 e 3y dy = 1 + 4 3 1 3 / x+1 / x+1 e 3y = 1 4 9 e 3y = 1 + 4 9 e 3 y dy, e 3x+1) e 3)). e 3x+1) e 3)).
Jos x 1 < 0 < x + 1, niin hx) = 1 4 0 e 3y dy 4 e 3y dy 3 3 0 = 1 4 ) 1 e 3) + 4 e 3x+1) 1 ) 9 9 = 1 9 4 e 3) e 3x+1)). 9 3. Signaalista fx) otettiin riittävän) tiheästi näytteitä ja saadun näytejonon taajuusesitys on jaksollinen funktio, jonka yksi jakso on annettu ao. kuviossa. Mikä on signaalin näytteenottoväli? Piirrä saman signaalin taajuusesitys, kun näytteitä otetaan 1 sekunnin välein. 1 Kuva 1: Näytejonon jakso Signaalin fx) näytejono on fx) = k= δx k )fx) ja sen taajuusesitys on F f) ω) = π k= δ ω πk ) F ω) = π k= F ω k π ), jossa monistuskeskukset ovat taajuudet k π ja monistukset ovat F ω). Signaalin taajuuskaistan leveys on ω c, missä ω c on suurin signaalissa esiintyvä taajuus, siten nyt taajuuskaistan leveys on = 4. Monistuskeskusten etäisyys on 6 = π, joten näytteenottoväli on = π = π. 6 3 Jos = 1 1, niin ) F fω) = π k= F ω k π ) = 4π k= F ω k4π), jolloin monistuskeskusten etäisyys on 4π ja keskusten pisteet k4π. 3
Kuva : Saatu taajuusesitys Kuva 3: F ω) Kuva 4: aajuusesitys kun = 1 1 Kuva 5: Kuvio 3 4. aajuusrajoitetun signaalin ft) jatkuva taajuusspektri on annettu kuviossa 3. Määrää Fourierin käänteismuunnoksella ft). Kuinka tiheästi taajuusspektristä on otettava näytteitä ainakin), jotta signaali ft) saataisiin yksikäsitteisesti 4
määrättyä otetusta taajuusnäytejonosta? Kuviosta nähdään, että joten ˆfω) = } ft) = F 1 ˆfω) = 1 π = 1 3 e itω dω = π 3 π, kun 3 < ω < 3, 0, muulloin, / 3 3 ˆfω)e itω dω e itω it = tπ ei3t e i3t i = sin 3t. tπ Funktiota g sanotaan aikarajoitetuksi mikäli on olemassa sellainen > 0, että gt) = 0 aina kun t >. Nyt funktio f ei ole aikarajoitettu, joten sitä ei saada yksikäsitteisesti määrättyä taajuusspektristä otettujen näytteiden perusteella. 5. aajuusrajoitetun signaalin gt) jatkuva taajuusspektri on annettu kuviossa 4. Signaalista otetaan näytteitä 1 sekunnin välein. Piirrä näin saadun näytejonon jatkuvan taajuusspektrin kuvaaja. Signaali kerrottiin funktiolla ht) = e 6πjt. 10 Piirrä tulosignaalin ht)gt) taajuusspektrin kuvaaja. Näytejono, missä = 1 10, on gt) = gt) t) = k= Kuva 6: Kuvio 4 k= gt)δt k ). Näytejonon jatkuva taajuusspektri eli F-muunnos on π F g)ω) = G ω k π ) = 0π Gω 0πk). k= Nyt ht)gt) = e 6πit gt) = e jct gt), missä c = 6π. Moduloidun signaalin taajuusspektri on Gω 6π). 5
Kuva 7: aajuusspektrin kuvaaja Kuva 8: Moduloidun taajuusspektrin kuvaaja 6. Sovella Plancherel in kaavaa neliöpulssiin 1, x 1 fx) = 0, x > 1 ja siten laske integraalin tarkka arvo. Plancherel n kaava: sin t t dt fx) dx = 1 π ˆfω) dω. Neliöpulssi fx) = 1, x 1 0, x > 1 ˆfω) = sin ω ω. 6
Nyt sin t dt = 1 t 4 = 1 4 = π 4 = π 1 1 4 sin t dt t ˆfω) dω fx) dx 1 dx = π. Luentoesim. Analogisen signaalista ft) otetun näytejonon taajuusesitys on kuvion mukainen. Mikä on näytteenottoväli? Onko signaali ft) taajuusrajoitettu: jos on, niin mikä on kaistanleveys? Mikä on kriittinen näytteenottoväli? Kuva 9: Kuvio Näytteitä on otettu 5π:n välein, joten näytteenottoväli = π =. Signaali on 5π 5 taajuusrajoitettu ja sen kaistanleveys on ω c = π = 4π. Kriittinen näytteenottoväli on = π = 1. 4π 7