76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset mikro- ja makrotilat sekä niiden statistiset 2 painot on esitetty taulukossa. Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 0 Ω(0) Ω() 4 2 Ω(2) 6 Ω() 4 4 Ω(4) Mikrotiloja on yhteensä 2 4 6 ja makrotiloja viisi kappaletta. Makrotilojen statististset painot voidaan tarkistaa luentojen yhtälön ( ) N N! Ω (4.2) n n!(n n)! avulla, missä N on hiukkasten lukumäärä. Esimerkiksi makrotilalle n saadaan ( ) 4 4! Ω()!(4 )! 4. (b) Systeemin entropia määritellään yhtälöllä S k ln Ω, missä k on Boltzmannin vakio. Stirlingin kaavan avulla entropian lausekkeeksi saadaan ln M! M ln M M N! S(n) k ln n!(n n)! [ k ln N! ln ( n!(n n)! )] k [(N ln N N) (n ln n n) ( (N n) ln(n n) (N n) )] k [ N ln N N n ln n + n (N n) ln(n n) + N n ] k [ N ln N n ln n (N n) ln(n n) ].
(c) Funktion S(n) ensimmäinen derivaatta on [ ds(n) dn k ln n n ] + ln(n n) (N n) n N n k[ln(n n) ln n] ja toinen derivaatta d 2 S(n) dn 2 [ k N n ]. n Taylorin sarjakehitelmä funktiolle f(x) pisteen x 0 ympäristössä on muotoa f(x) f(x 0 ) + df(x)! dx (x x 0 ) + d 2 f(x) xx0 2! dx 2 (x x 0 ) 2 +.... xx0 Pisteessä n N/2 funktion S(n) ensimmäisen ja toisen derivaatan arvot ovat ds(n) dn 0 nn/2 d 2 S(n) dn 2 4k nn/2 N. Sijoittalla saadut arvot sarjakehitelmän kaavaan saadaan entropian kehitelmäksi pisteen n N/2 ympäristössä neliölliseen termiin saakka S(n) S(N/2) 2k N (n N/2)2. (d) Entropian määritelmästä saadaan Ω(n) e S/k, jolloin mikrotilojen lukumääräksi pisteen n N/2 ympäristössä tulee Gaussin funktio 2k [S(N/2) Ω(n) e N (n N/2)2 ]/k (e) Leveysparametrin δ(n) / ( 2 N ) arvojen (i) δ(00) 5 0 2 (ii) δ(0 6 ) 5 0 4 (iii) δ(0 20 ) 5 0 e S(N/2)/k e 2 N (n N/2)2 Ω(N/2)e 2(n N/2)2 /N. perusteella jakauma on makroskooppisessa systeemissä äärimmäisen kapea. 2. Tasapainotilassa olevan yksiatomisen klassisen ideaalikaasun entropia on muotoa [ S(E,V,N) Nk ln V N + 2 ln E N + 5 2 + ( )] 4πm 2 ln. h 2 2
(a) Käyttämällä yhtälöä ( ) Si (4.9) E i V i,n i T i ja derivoimalla annettua entropian lauseketta, kaasun sisäiseksi energiaksi saadaan T S E Nk N 2 E N E(T ) 2 NkT. (b) Käyttämällä yhtälöä ( ) Si P i T i V i E i,n i ( ) Si V i E i,n i P i T i (4.2) ja derivoimalla annettua entropian lauseketta, kaasun paineeksi saadaan P T S V Nk N V P NkT V. (c) Lasketaan entropian muutos ds S 2 S mikrotilojen lukumäärän kaksinkeraistuessa N Ω 2 2Ω e S 2 S k 2e k e S 2 k e S k 2 e ds k 2 ds k ln 2. (i) Kaasua on n,0 mol, jolloin hiukkasten lukumäärä N N A n, missä N A 6,02267 0 2 /mol. Käyttämällä edellä laskettua entropian muutosta ja kohdassa (b) laskettua tulosta, saadaan S V Nk V dv V ds Nk k ln 2 Nk ln 2 N A n ln 2 6,02267 0 2 mol,0 mol,50998749 0 24,5 0 24.
(ii) Käyttämällä edellä laskettua entropian muutosta ja kohdassa (a) laskettua tulosta, saadaan S E 2 Nk E de E 2 ds Nk 2 k ln 2 Nk 2 ln 2 N A n 2 ln 2 6,02267 0 2 mol,0 mol 7,672499 0 25 7,67 0 25.. Systeemi koostuu kolmesta protonista, joiden spin on. Ulkoisessa z-akselin suuntaisessa 2 magneettikentässä B (0, 0, B) spinit voivat orientoitua kahdella tavalla, joko (lähes) kentän suuntaan tai (lähes) vastakkaiseen suuntaan, jolloin yhden hiukkasen magneettisen momentin µ z-komponentti voi saada arvon µ tai µ. Näin saadaan kaksi mahdollista energiaa E µ B: E µ B ɛ ja E µ B ɛ. Tarkastelemalla kaikkia mahdollisia mikrotiloja havaitaan, että systeemissä on neljä eri makrotilaa, jotka voidaan eritellä energian E r mukaan. Näiden makrotilojen degeneraatiot g(e r ) ovat g(ɛ), g(ɛ), g( ɛ) ja g( ɛ). (a) Kun degeneraatiot g(e r ) tunnetaan, systeemin partitiofunktion lauseke voidaan kirjoittaa yhtälön (4.26) mukaan, Z E r g(e r )e βer e ɛβ + e ɛβ + e ɛβ + e ɛβ, missä β /(kt ). (b) Eri tilojen todennäköisyydet saadaan Boltzmannin jakaumasta, p r Z e βer. Mikrotilat ja eroavat toisistaan vain spinien järjestyksen suhteen, jolloin niillä on sama energia. Tästä syystä tapauksissa (i) ja (ii) päädytään samaan todennäköisyyteen ja saadaan (i), (ii) E E ɛ sekä (iii) E ɛ, joten p Z eɛβ p Z eɛβ. (c) Myös energioiden todennäköisyydet saadaan Boltzmannin jakaumasta, p(e r ) Z g(e r)e βer, 4
joten p(ɛ) Z e ɛβ p(ɛ) Z e ɛβ p( ɛ) Z eɛβ p( ɛ) Z eɛβ. (d) Yksittäisellä protonilla on kaksi mahdollista tilaa (energiat E ɛ ja E ɛ), joiden todennäköisyydet ovat p Z e ɛβ ja p Z e ɛβ, missä Z E r e βer e ɛβ + e ɛβ on yhden protonin partitiofunktio. Huomataan, että Z (e ɛβ + e ɛβ ) e ɛβ + e ɛβ + e ɛβ + e ɛβ Z. Kolmen yksittäisen protonin muodostaman systeemin tietyn tilan todennäköisyys saadaan yksittäisten protonien tilojen todennäköisyyksien tulona. Esimerkiksi todennäköisyys, jolla systeemi on mikrotilassa on todennäköisyys, jolla yksi protoni on tilassa, toinen tilassa ja kolmas tilassa eli p p p p. Mikrotilojen todennäköisyyksiksi saadaan siis p p p Z e ɛβ Z e ɛβ Z e ɛβ Z e ɛβ p p p Z e ɛβ Z e ɛβ Z e ɛβ Z e ɛβ. Tulokset ovat samat kuin kohdassa (b). Tapaus (ii) on jälleen sama kuin tapaus (i), koska ne eroavat toisistaan vain kertomisjärjestyksessä. Systeemin energian todennäköisyys saadaan laskemalla yhteen niiden mikrotilojen todennäköisyydet, jotka tuottavat saman makrotilan. Saadaan siis p(ɛ) p(ɛ)p(ɛ)p(ɛ) p p p Z e ɛβ Z e ɛβ Z e ɛβ Z e ɛβ, p(ɛ) p(ɛ)p(ɛ)p( ɛ) + p(ɛ)p( ɛ)p(ɛ) + p( ɛ)p(ɛ)p(ɛ) p p p + p p p + p p p e ɛβ + e ɛβ + Z Z Z Z e ɛβ, e ɛβ 5
p( ɛ) p( ɛ)p( ɛ)p(ɛ) + p( ɛ)p(ɛ)p( ɛ) + p(ɛ)p( ɛ)p( ɛ) p p p + p p p + p p p e ɛβ + e ɛβ + Z Z Z e ɛβ, Z p( ɛ) p( ɛ)p( ɛ)p( ɛ) p p p e ɛβ e ɛβ e ɛβ Z Z Z e ɛβ. Z e ɛβ Tulokset ovat samat kuin kohdassa (c), koska Z Z. (e) Käytetään magneettivuon tiheydelle, lämpötilalle ja magneettiselle momentille lukuarvoja B 0,0 T, T 0,000 K ja µ,4 0 26 J/T sekä Boltzmannin vakiota k,806505 0 2 J/K. Lämpötilaparametrin β /(kt ) avulla ɛβ µ B kt,4 0 26 J/T 0,0 T,806505 0 2 J/K 0,000 K,022577. Systeemin partitiofunktion arvoksi saadaan Z e ɛβ + e ɛβ + e ɛβ + e ɛβ e,022577 + e,022577 + e,022577 + e,022577 0,86579 ja edelleen kohtien (b) ja (c) todennäköisyyksiksi p p Z eɛβ 0,86579 e,022577 0,089966 9,00 %, p Z eɛβ 0,86579 e,022577 0,69598686 69,4 %, 6
p(ɛ) Z e ɛβ 0,86579 e,022577 0,00582 0,5 %, p(ɛ) Z e ɛβ 0,86579 e,022577 0,0500449,50 %, p( ɛ) Z eɛβ 0,86579 e,022577 0,2698849 27,0 %, p( ɛ) Z eɛβ 0,86579 e,022577 0,69598686 69,4 %. 4. Tarkastellaan z-akselin suuntaiseen magneettikenttään sijoitettua, spin- -hiukkasista koostuvaa kiinteää ainetta. Aineen magnetoituminen on tasapainotilassa verrannollinen magneettis- 2 ten dipolimomenttien keskiarvoon, joka puolestaan riippuu hiukkasten µ z :n esiintymistodennäköisyyksistä. (a) Kahden mahdollisen spintilan energiat E r ja niitä vastaavat todennäköisyydet p r ovat E µ B p Z eβµ B E +µ B p Z e βµ B, missä β /(kt ). Partitiofunktioksi saadaan näiden avulla Z r e Erβ e E β + e E β. Partitiofunktion avulla yhden hiukkasen magneettisen momentin keskiarvoksi saadaan µ ka µ p + ( µ )p µ Z (eβµ B e βµ B ) µ eβµ B e βµ B e βµ B + e βµ B µ tanh(βµ B). 7
Aineen kokonaismagnetoituma on magneettinen dipolimomentti tilavuusyksikköä kohti, M N V µ ka ϱµ ka ( ) µ ϱµ B tanh. kt (b) Tarkastellaan magnetoitumisen lauseketta erilaisissa magneettikentissä. (i) Hyvin heikossa magneettikentässä B on hyvin pieni, jolloin x βµ B on hyvin pieni. Kehittämällä e x sarjaksi pisteen x 0 ympäristössä saadaan jolloin e x + x + x2 2! ja kokonaismagnetoitumaksi saadaan +... + x, tanh x ex e x e x + e x + x ( x) + x + ( x) x M ϱµ tanh x ρµ x ϱµ 2 B kt. (ii) Hyvin voimakkaassa magneettikentässä B on hyvin suuri, jolloin x βµ B on hyvin suuri ja e x hyvin pieni. Tällöin ja kokonaismagnetoitumaksi saadaan tanh x ex e x ( e x + e x ) e x e x e x e x + e x e x e 2x + e 2x M ϱµ tanh x ϱµ. (c) Heikossa magneettikentässä magnetoituminen on muotoa M χh χ B µ 0, joten kohdan (b) tuloksen avulla paramagneettisen suskeptibiliteetin lauseke saa muodon χ B µ 0 ϱµ 2 B kt χ ϱµ 2 µ 0 kt. 8