LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7.2.2017 A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan tilaan. Mikäli se ei riitä, voit jatkaa erilliselle puoliarkille. Apuvälineenä saat käyttää taulukkokirjaa. Laskimen käyttö ei ole sallittua sinä aikana, kun tämä koevihko on hallussasi. Koevihko on palautettava viimeistään kolmen tunnin kuluttua kokeen alkamisesta lukion määräämällä tavalla. 1. Ratkaise yhtälöt. a) 3x 8 = 5(4 x) b) x 2 x + 1 4 = 0 c) 1 (x 2)(x + 6) = 0 2 Nimi:
2. Tarkastellaan aritmeettista lukujonoa a n, joka on 2, 5, 8,. a) Määritä jonon yleisen jäsenen lauseke. b) Laske jonon sadan ensimmäisen jäsenen summa.
3. a) Määritä funktion f(x) = x 4 32x derivaatan nollakohdat. b) Tarkastellaan funktiota f(x) = 3 2 x 1. Millä muuttujan x arvolla f(x) = 48? c) Laske funktion f(x) = 4 3 x arvo, kun x = 2.
4. Yksi tapa muodostaa paraabelin yhtälö on aloittaa yhtälön nollakohtamuodosta, joka on y = a(x x 1 )(x x 2 ), jossa x 1 ja x 2 ovat paraabelin nollakohdat. Muodosta oheisen paraabelin yhtälö aloittamalla nollakohtamuodosta. Anna vastaus normaalimuodossa y = ax 2 + bx + c. Pisteet, jotka kuvassa näyttävät olevan kokonaislukukoordinaattisia, ovat sellaisia.
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7.2.2017 B-osa B-osan tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Tehtävän 5 vastaus kirjoitetaan kokoarkille. Mikäli et käsittele tehtävää 5, kirjoita kokoarkille vain nimitietosi. Kaikkien muiden tehtävien vastaukset kirjoitetaan omille puoliarkeilleen. Apuvälineenä saat käyttää taulukkokirjaa ja laskinta. Laskimen saat kuitenkin haltuusi vasta sitten, kun olet palauttanut A-osan tehtävävihkosi. Sekä B1- että B2-osassa ratkaistaan kolme tehtävää. B1-osa Ratkaise kolme tehtävistä 5 9. 5. Oheisen kuvan muotoisen viljasiilon seinäkorkeus on 503 cm ja kokonaiskorkeus 643 cm. Siilon halkaisija on 5,6 metriä. a) Laske siilon tilavuus kuutiometreinä. b) Onnistuneella satokaudella ohraa saadaan 5000 kilogrammaa hehtaarilta. Yksi hehtolitra ohraa painaa 70 kilogrammaa. Kuinka suuren viljelyalan ohrasato mahtuu siiloon? Kuva: http://www.arskametalli.fi/viljasiilot
6. Alla olevassa taulukossa on eduskuntavaalien tulos vuosilta 2011 ja 2015. Puolue Paikat 2011 Paikat 2015 Suomen Keskusta 35 49 Perussuomalaiset 39 38 Kansallinen Kokoomus 44 37 Suomen Sosiaalidemokraattinen Puolue 42 34 Vihreä liitto 10 15 Vasemmistoliitto 14 12 Suomen ruotsalainen kansanpuolue 9 9 Suomen Kristillisdemokraatit 6 5 Muut 1 1 a) Piirrä vuoden 2015 vaalituloksesta sektoridiagrammi. (3 p) b) Laske Kansallisen Kokoomuksen paikkamäärän muutosprosentti. (2 p) c) Kuinka monta prosenttiyksikköä Suomen Keskustan paikkamäärä kasvoi? (1 p) 7. Jussin onnistumistodennäköisyys koripallon vapaaheitoissa on 48 %. Jussi heittää viisi vapaaheittoa. Millä todennäköisyydellä hän saa korin a) kahdella ensimmäisellä heitolla, mutta ei muilla, b) ainakin kerran, c) täsmälleen kolmella heitolla? 8. Puutarhakaluston valmistuskustannuksista 52 % on palkkoja ja loput materiaalikuluja. Materiaalikuluista 72 % menee puutavaraan, 24 % puuöljyyn ja loput metalliosiin. Metalliosien hinta kohoaa 5 % ja muut kustannukset säilyvät ennallaan. Kuinka monella prosentilla valmistuskustannukset kohoavat? 9. Merkitään suorakulmaisen särmiön ABCDEFGH sivuja vektoreilla seuraavasti: AB = u ; AD = v ja AE = w. Ilmaise vektorien u, v ja w avulla vektori a) tahkon lävistäjä AH, b) avaruuslävistäjä DF, c) BJ, jossa J jakaa särmän HG suhteessa 3 5.
B2-osa Ratkaise kolme tehtävistä 10 13. 10. Yhdistetty on mäkihypystä ja maastohiihdosta koostuva hiihtourheilun kilpailulaji. Nykyisin niin kutsutussa normaalikilpailussa hypätään yksi kierros mäkeä ja loppusijoitukset ratkaistaan hiihtoladulla siten, että parhaat hyppypisteet saanut lähtee ensimmäisenä ladulle ja loput hyppypisteidensä mukaisessa järjestyksessä. Piste-erojen suuruudet vaikuttavat siihen, kuinka pian ensiksi lähteneen perään muut lähtevät. Hiihtomatkana on 10 kilometriä. Tätä kilpailumuotoa käytetään toistaiseksi kaikissa arvokisoissa ja sitä kutsutaan keksijänsä mukaan Gundersen-menetelmäksi. Gundersenin kaava: Piste-ero mäessä Starttiaikojen ero 0,25 1 s 0,50 2 s 1,00 4 s 2,00 8 s 3,00 12 s Taulukosta voi laatia säännön, jolla piste-ero muutetaan aikaeroksi. Seuraavat tulokset ovat yhdistetyn maailman cupista Lahdesta 7.1.2017. a) Mäkiosuuden paras oli Norjan Jarl Magnus Riiber 135,2 pisteellä ja Suomen Ilkka Herola sai 91,2 pistetä. Kuinka paljon myöhemmin Herola pääsee ladulle verrattuna Riiberiin? b) Illka Herolan on arvioitu olevan 10 km hiihto-osuudella noin 40 sekuntia nopeampi kuin kokonaiskisan ennakkosuosikki Saksan Eric Frenzel. Kuinka monta pistettä Herola voi olla Frenzeliä jäljessä mäkiosuuden jälkeen, jotta hän voittaisi Frenzelin? c) Suomen Leevi Mutru sai mäestä 98,7 pistetä ja hiihti 10 km aikaan 28.11,9. Hannu Mannisen tulokset olivat vastaavasti 77,2 pistettä ja hiihtoaika 27.18,6. Kumpi oli ensin maalissa ja kuinka paljon hän voitti kilpakumppaniaan?
11. Suorakulmion OABC kärki O on origossa, A positiivisella x-akselilla, B paraabelilla y = 1 2 x2 + 4x + 6 ja C positiivisella y-akselilla. Mikä on tällaisen suorakulmion suurin mahdollinen pinta-ala? 12. Toisen asteen yhtälön ax 2 + bx + c = 0 juurten summa on x 1 + x 2 = b ja juurten tulo on a x 1 x 2 = c. Laske lausekkeen a 2x 2 y (3 x ) y arvo, kun luvut x ja y ovat yhtälön x 2 + 2x 1 = 0 ratkaisut. 13. Janna ja Niko aikovat ostaa kerrostalokaksion Turusta. Asunnon hinta on 190 000. Heillä on säästettynä 15 % kauppahinnasta ja loppuosaan he aikovat ottaa tasaerälainana 8 vuoden maksuajalla. Lainaa lyhennetään kuukausittain. Lainan vuotuinen korko on 1,8 % koko takaisinmaksukauden ajan. Muita kuluja ei oteta huomioon. a) Mikä on kuukausittaisen maksuerän suuruus? b) Kuinka paljon lainaa on jäljellä kahden vuoden kuluttua lainan ottamisesta? c) Kuinka paljon Janna ja Niko maksavat korkoja koko laina-aikana?
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7.2.2017 RATKAISUT 1. a) 3x 8 = 5(4 x) 3x 8 = 20 5x 8x = 28 x = 28 8 = 7 2 = 3 1 2 b) x 2 x + 1 4 = 0 c) 1 2 x = ( 1)± ( 1)2 4 1 1 4 2 1 (x 2)(x + 6) = 0 x 2 = 0 tai x + 6 = 0 x = 2 tai x = 6 Tai: 1 2 x2 + 2x 6 = 0 x = 2± 22 4 1 2 ( 6) 2 1 2 x = 6 tai x = 2 = 1 2 = 2± 16 1 1 p 1 p sijoitus ratkaisukaavaan 1p 1 p 1 p kerrottu oikein auki 1 p 2. a) a 1 = 2, d = a 2 a 1 = 5 2 = 3 a n = a 1 + (n 1)d = 2 + (n 1) 3 = 3n 1 b) a 100 = 3 100 1 = 299 S n = n a 1+a n ; S 2 100 = 100 2+299 = 15 050 2 3 a) f(x) = x 4 32x f (x) = 4x 3 32 = 0 4x 3 = 32 x 3 = 8 x = 2 b) 3 2 x 1 = 48 2 x 1 = 16 2 x 1 = 2 4 x 1 = 4 x = 5 c) f( 2) = 4 3 2 = 4 3 2 = 4 9 = 2 3 4. nollakohdat ovat x = 2 ja x = 4 y = a(x 2)(x 4) piste (0, 4) on paraabelilla a(0 2)(0 4) = 4 8a = 4 a = 1 2 a 1 ja d 1 p sijoitus kaavaan 1 p vastaus 1 p a 100 1 p sijoitus kaavaan 1p derivaatta 1 p 1 p ymmärretty negatiivinen eksponentti 1 p luettu nollakohdat 1 p sijoitus kaavaan 1 p luettu paraabelin piste 1p ratkaistu a 1p
y = 1 2 (x 2)(x 4) = 1 2 (x2 4x 2x + 8) y = 1 2 x2 3x + 4 5. a) h 2 = 643 cm = 6,43 m h 1 = 503 cm = 5,03 m h kartio = 6,43 m 5,03 m = 1,40 m d = 5,6 m r = d 2 = 5,6 m = 2,8 m 2 V lieriö = πr 2 h = π(2,8 m) 2 5,03 m = 123,889 m 3 V kartio = 1 3 πr2 h = 1 π(2,8 3 m)2 1,40 m = 11,494 m 3 V kok = 123,889 m 3 + 11,494 m 3 = 135,38 m 3 135 m 3 b) 1 hl = 100 l = 0,1 m 3 ohran tiheys 70 kg 1 hl = Siiloon mahtuu ohraa 70 kg 0,1 m 3 = 700 kg/m3 ρ = m v m = ρv = 700 kg m 3 135,383 m3 = 94 768, kg Tarvittava viljelyala 94768, kg = 18,953 ha 19 ha 5000 kg/ha 6. a) puolue paikat % keskuskulma KESK 49 24,5 88,2 o PS 38 19 68,4 o KOK 37 18,5 66,6 o SDP 34 17 61,2 o VIHR 15 7,5 27,0 o VAS 12 6 21,6 o RKP 9 4,5 16,2 o KD 5 2,5 9,0 o muut 1 0,5 1,8 o yht 200 100 360 o sijoitus ja binomien tulo 1p kartio-osan korkeus ja siilon säde 1 p lieriön ja kartion tilavuudet 1 p tiheys 1 p massa 1 p prosenttiosuudet ja keskuskulmat 1p
6. EDUSKUNTAVAALIT 2015 KESK PS KOK SDP VIHR VAS RKP KD muut sektoridiagrammi teksteineen 2 p 7 % 6 % 5 % 3 %1 % 24 % 17 % 19 % 18 % b) 37 44 44 = 0,159 = 15,9 % c) v 2011: 35 200 = 17,5 % v 2015: 49 200 = 24,5 % muutos 24,5 17,5 = 7,0 %-yksikköä lauseke 1 p 7. a) P(kori) = 48 % = 0,48 P(ohi)=1-P(kori) = 1 0,48 = 0,52 P(kaksi ensimmäistä koriin ja kolme muuta ohi) = 0,48 0,48 0,52 0,52 0,52 = 0,003239 0,032 b) P(ainakin kerran koriin) = 1 P(kaikki ohi) = 1 0,52 5 = 0,96197 0,96 c) P(täsmälleen kolme koria) = ( 5 3 ) 0,483 0,52 2 = 0,29904 0,30 lauseke 1 p lauseke 1 p lauseke 1 p 8. ennen jälkeen palkat 0,52a 0,52a materiaalit a 0,52a = 0,48a puutavara 0,72 0,48a = 0,3456a 0,3456a puuöljy 0,24 0,48a = 0,1152a 0,1152a metalliosat (1 0,72 0,24) 0,48a = 0,0192a 1,05 0,0192a = 0,02016a yhteensä a Uudet kustannukset yhteensä 0,52a + 0,3456a + 0,1152a + 0,02016a = 1,00096a Nousua 1,00096 1,0 = 0,00096 0,096% palkat ja materiaalit yhtensä ennen korotusta 1 p puutavara, puuöljy ja metalliosat ennen korotusta 1 p jälkeen sarakkeen osuudet 1 p uudet kustannukset yhteensä 1 p nousu desimaalilukuna 1 p
9. a) AH = AD + DH = AD + AE = v + w b) DF = DA + AB + BF tms. = AD + AB + AE = v + u + w = u v + w c) BJ = BC + CG + GJ tms. GJ = 5 GH = 5 BA = 5 AB 8 8 8 BJ = AD + AE 5 AB = v + w 5 u 8 8 = 5 u + v + w 8 10. a) Kaavan mukaan yhden pisteen ero tarkoittaa 4 sekunnin eroa starttiajassa. Ero 135,2 91,2 = 44 pistettä, joten lähtöaikojen ero 44 4 s = 176 s = 2 min 56 s b) 40 sekunnin ero lähtöajassa tarkoittaa 10 pisteen eroa mäkiosuudella. Täten voittaakseen Herolan pitää olla alle 10 pistettä jäljessä. c) Mutrun pistejohto 98,7 77,2 = 21,5 Täten aikaero ladulle 21,5 4 s = 86 s = 1 min 26 s Mannisen aika Mutruun nähden 1 min 26 s + 27 min 18,6 s = 28 min 44,6 s on suurempi kuin Mutrun aika 28 min 11,9 s. Täten Mutru voitti 28 min 44,6 s 28 min 11,9 s = 32,7 s 11. Pinta-ala on kanta korkeus: A(x) = x ( 1 2 x2 + 4x + 6) = 1 2 x3 + 4x 2 + 6x A (x) = 3 2 x2 + 8x + 6 A (x) = 0, kun x = 2 tai x = 6 3 On oltava x > 0 (ja x < 9,29 ) Kulkukaavion tai muulla perusteella x = 6 tuottaa suurimman pinta-alan arvon Pinta-ala tällöin A(6) = 72 12. Annetun yhtälön x 2 + 2x 1 = 0 tapauksessa on a = 1 { b = 2. c = 1 Juurten summa on x 1 + x 2 = 2 = 2 1 Juurten tulo on x 1 x 2 = 1 = 1 1 Siis x + y = 2 ja x y = 1 2 x 2 y (3 x ) y = 2 x+y 3 xy = 2 2 3 1 ymmärretty, että DH = AE 1p vastavektori ymmärretty 1p GJ (tai HJ = 3 AB ) saatu 1p 8 pistemäärän ja lähtöajan yhteys ymmärretty 1p myös 176 s kelpuutetaan saatu 10 pistettä 1p vastaus alle 10 pistettä jäljessä 1p Aikaero ladulle 1p pinta-alan lauseke/funktio 2p derivointi 1p derivaatan 0-kohdat (saa ottaa laskimesta) 1p perustelu (kulkukaavio tms.) 1p parametrit kaikki oikein 1p summa 1p tulo 1p potenssien käsittely 1p
= 1 2 2 1 3 1 3) = 1 4 4) 1 3 = 3 4 = 1 12 12 12 TAI laskimella 2 2 3 1 = 0,08333 + järkevä pyöristys 13. a) Maksuerän suuruus kaavalla A = Kq n 1 q n, jossa 1 q K = 0,85 190 000 = 161 500 q = 1,0015 (kuukausikorko 1,8 % = 0,15 %) 12 n = 8 12 = 96 Siis A = 161 500 1,0015 96 1807,58. 1 1,0015 1 1,0015 96 b) Jäljellä oleva lainan määrä kaavalla V = Kq k A 1 qk 1 q, jossa K = 161 500 q = 1,0015 k = 24 A = 1807,58 Täten V = 161 500 1,0015 24 1807,58 1 1,001524 1 1,0015 123 276,85 c) Takaisin maksetaan yhteensä 96 1807,58 = 173 527,68, joten korkoja tulee maksettavaksi 173 527,68 161 500 = 12 027,68. (todellisuudessa viimeinen maksuerä on 1807,78 eli 20 c muita eriä suurempi, jolloin koron kokonaismäärä on 12 027,88 ) negatiivisten eksponenttien käsittely 1p Laskinta voi siis käyttää, jolloin viimeiset 2 pistettä oikeasta vastauksesta Oikea kaava ja ainakin 2 parametreista oikein 1p Oikea kaava ja ainakin 3 parametreista oikein 1p Ymmärretty ajatus 96 tasaerä 1p