NOPEUDESA RIIPPUVIEN HIAUSVOIMAERMIEN VAIKUUS PALKKILASKENAAN IIVISELMÄ Jari MÄKINEN, Heikki MARJAMÄKI & Sami PAJUNEN Konstrktiotekniikan laitos ampereen teknillinen yliopisto PL 589, 33101 AMPERE Geometrisesti tarkkaa palkkimallia käytetään yleisesti epälineaarisessa dynamiikassa, missä siirtymät ja kiertymät oat sria. ässä palkkimallissa solmsiirtymät ja -kiertymät kataan soraan inertiaalisen referenssikoordinaatiston alla, eikä palkin shteellista siirtymää johonkin palkin mkana liikkaan ertailkoordinaatistoon tarita, toisin kin epäinertiaalisissa (corotational) palkkimalleissa. Geometrisesti tarkan palkkimallin yhtenä etna on yksinkertaisempi hitasoimaektorin rakenne errattna epäinertiaalisiin palkkimalleihin. Yksinkertaisimmillaan tasoelementin, jossa solmt sijaitseat palkin netraaliakselilla, hitasoimaektori on motoa massamatriisi kertaa kiihtyyysektori, eikä mita termejä ole. Jos solmt eiät sijaitse tasopalkin netraaliakselilla (offset-elementti), hitasoimaektoriin tlee myös nopedesta riippia termejä. Samoin aarstapaksessa (3D) näin on asian laita. ässä esityksessä ttkitaan nopedesta riippien hitasoimatermien aiktsta laskentatapaksiin. Esimerkkinä tarkastellaan Reissnerin palkkimallin mkaista geometrisesti tarkkaa palkkimallia ja tästä palkkimallista johdettja elementtejä. aallisesti elementtimalleissa lasketaan kaikki hitasoimatermit, myös nopedesta riippat, mtta nopedesta riippat tangenttimatriisit jätetään laskematta. aallisesti ajatellaan, että näiden tangenttimatriisien aikts laskentaan on ähäinen. Lisäksi nämä tangenttimatriisit oat rakenteeltaan arsin mtkikkaita ja siten laskennallisesti työläitä ja sen lisäksi ielä epäsymmetrisiä, mikä rikkoisi mtoin symmetrisen laskentarakenteen. tkimksessa pyritään selittämään, milloin nopedesta riippat tangenttimatriisit olisi syytä ottaa laskennassa mkaan, ja milloin nämä termit oidaan holetta jättää laskematta. 1 VIRUAALISEN YÖN PERIAAE Mekaniikan tehtäissä ratkaistaana on taallisesti lkoisten kormitsten aiktksesta motoaan mttaa kappalesysteemi. Perstntemattomana on tällöin yleensä kappalesysteemin siirtymäkenttä. ällöin sein käytetty menetelmä tehtään formloinnissa on irtaalisen työn periaate. Virtaalisen työn periaatteen W W W W (1) ext int acc 0 termit koostat lkoisten oimien tekemästä irtaalisesta työstä Wext, sisäisten oimien irtaalisesta työstä Wint ja hitasoimien Wacc irtaalisesta työstä, missä miins merkki on alitt siten, että sisäisten oimien ja hitasoimien tekemä työ on astakkaismerkkinen lkoisten oimien tekemään irtaaliseen työhön nähden.
Virtaalisen työn periaate (1) oidaan kirjoittaa ektoreiden pistetlon alla seraaasti W F,ext () t F,int () t M 0 missä on kinemaattisesti käypä irtaalinen siirtymä, F,ext on lkoinen oimaektori (kormitsektori), F,int on sisäinen oimaektori ja M on hitasoimaektori, ts. massamatriisi kertaa kiihtyyysektori. ässä esityksessä käytetään tätä hitasoimien merkintää. Kn elementtimenetelmän mkainen diskretointi, interpolointi ja linearisointi on tehty, saadaan irtaalisen työn periaatetta soeltamalla johdetta elementtien sisäiset solmoimat sekä tangenttioperaattorit, kten jäykkyys- ja massamatriisit. Kinemaattiset rajoitteet oidaan hoitaa helposti pottamalla, erityisesti, mikäli ne oat holonomisia eli yhtälötyyppisiä siirtymärajoitksia. 2 VAPAUSASEMIAUSJÄRJESELMÄN MUUAMINEN Kinemaattiset rajoitteet ja apasastemittasjärjestelmän mttaminen oidaan hoitaa seraaaksi esitettäää orjtstekniikkaa ( isäntä-orja ) käyttäen. Persajats orjtstekniikassa on esittää orjasiirtymät, jotka edstaat orjaelementin siirtymämttjia isäntäsiirtymien alla [1] ja [2]. Isäntäsiirtymät oat apasasteita, jotka syntyät mallinnettaessa erilaisia kinemaattisia kytkentöjä, kten jostaa translaatioliitos, jonka apasaste kaa liitettyjen elementtien asemaa toisiinsa nähden mitattna elementin keskiiia pitkin. Olkoon f derioita kas kahden kytketyn siirtymämittasjärjestelmän ja älillä: f( ) (2) missä on orjasiirtymäektori ja astaaa isäntäsiirtymäektori. ällöin orjasiirtymän ja isäntäsiirtymän älinen linearisoit yhteys saadaan D f( ) ( ) B (3) missä D iittaa deriointiin isäntäsiirtymien shteen. Yhtälö (3) määrittelee kinemaattisen matriisin B() jonka alla oidaan määrittää orjasiirtymien ariaatiot kn isäntäsiirtymien ariaatiot tnnetaan. Oletetaan ielä, että kinemaattisen matriisin B ranki on täysi. Koska molemmissa mittasjärjestelmissä tehty irtaalinen työ tlee olla yhtä sri, on astaaien oimamittasten älillä on yhteys W F F (4) ja astaaien oimamittasten F ja F älinen yhteys saadaan sijoittamalla yhteys (3) yhtälöön (4) F BF (5) Edellä olea yhtälö on erityisen tärkeä yhteys isäntä-orja tekniikkaa käytettäessä. Jäykkyysmatriisi mittasjärjestelmässä saadaan linearisoimalla oimamittasten älinen yhteys (5) pisteessä 0 tai astaaassa orja-pisteessä 0 f( 0) sntaan käyttäen mittasjärjestelmään klia oimia: Lin ( F ; ) B F B D ( F ) D ( B F ) 0 F B K BK ( F ) 0 g (6)
Viia orja-mittaksen F päällä tarkoittaa, että oimaa pidetään akiona derioitaessa jälkimmäistä termiä, eli deriointi kohdist kinemaattiseen kytkentään. Yhtälöä (6) pidämme määritelmänä materiaaliselle jäykkyysmatriisille, jonka laseke nähdään toisesta termistä sekä geometriselle jäykkyysmatriisille K g, jonka laseke saadaan jälkimmäisestä termistä. Massamatriisin M ja nopedesta riippien hitasoimanektorin F cent määritykseen taritaan hitasoimien tekemää irtaalista työtä W ( M) (7) acc Derioimalla yhtälö (2) ajan shteen, saadaan yhteys mittasjärjestelmien nopeksien ja kiihtyyyksien älille D ( ) f B B B (8) Sijoittamalla yhtälö (8) yhtälöön (7) saadaan hitasoimien irtaalinen työ mittasjärjestelmässä W acc B M( BB) B MBB MB (9) Massamatriisi ja hitasoimien aihettama solmoimaektori isäntämittasjärjestelmässä saadaan orjamittasjärjestelmän astaaien sreiden alla F M,cent BMB B MB (10) missä M on isäntäelementin jäykkyysmatriisi ja F,cent isäntäelementin nopedesta riippa hitasoimaektori. On syytä homata, että mikäli kinemaattinen matriisi B mtt siirtymien fnktiona, niin myös massamatriisi mtt siirtymien fnktiona. Hitasoimaektorin tangenttimatriisien johdossa taritaan orjakiihtyyysektorin deriaattoja isäntänopes- ja isäntäkiihtyyysektorin shteen. Nämä deriaatat oat dt jossa on käytetty derioinnin aihtosääntöä, sekä 2 2 ( ) d ( ) d f f B B 2 2 dt (11) D f( ): D f( ) 2 Df( ) 2 Df( ) 2B (12) missä on käytetty ketjsääntöä. ällöin hitasoiman tangenttimatriiseiksi saadaan BM BM K,acc BM BMB Kg( M ) BM C,acc BM 2BMB (13)
jossa K,acc on hitasoimien jäykkyysmatriisi ja C,acc aimennsmatriisi isäntämittasjärjestelmässä. Jäykkyysmatriisi K,acc riipp kiihtyyyksistä ja B katta myös nopeksista, aimennsmatriisi C,acc riipp nopeksista mtta ei kiihtyyyksistä. Molemmat matriisit riippat yleisessä tapaksessa myös siirtymistä. K g on isäntä-orjakytkennästä johta geometrinen jäykkyysmatriisi. 3 EPÄLINEAARINEN ASOPALKKIELEMENI Epälineaarisissa palkkielementeissä käytetään tässä työssä Reissnerin kinemaattisesti tarkkaa palkkiteoriaa, missä siirtymäkenttä mitataan kiinteään koordinaatistoon nähden. Y 2 1 2 y 2 y 1 1 1 2 x 1 x 2 X Ka 1. asopalkkielementin alkasema (katkoiia) ja siirtynyt tila (yhtenäinen iia) Kiinteätä koordinaatistoa käyttäen saadaan yksinkertaisempi moto palkin kineettiselle energialle [3]. ällä palkkielementillä on yksinkertaiset motofnktiot, koska siirtymä- ja rotaatioapasasteet oat toisistaan riippmattomia. ämä ominaiss helpottaa mn massa translaatioliitosten mallinnsta antaen sisäisten solmoimien ektorille ja tangentiaaliselle jäykkyysmatriisille errattain yksinkertaiset lasekkeet. Lisäksi elementti ottaa homioon leikkasmodonmtoksen, joka oi olla merkittää korkeaprofiilisilla palkkirakenteilla. Palkkielementti perst srten enymien teoriaan, katso [4] ja [5] ja sillä on kolme solmapasastetta, kaksi siirtymäapasastetta ja yksi rotaatioapasaste. Yksinkertaisden oksi tässä työssä rajoittadtaan ain palkkielementtiin, jolla on kaksi solma ja lineaariset motofnktiot. Palkin sisäinen solmoimaektori on q BS dl (14) int 0 L0 missä kinemaattinen matriisi B on cn 1 sn 1 N1 cn 2 sn 2 N2 B sn 1 cn 1 N1 sn 2 cn 2 N 2 0 0 N 1 0 0 N 2 c cos, s sin d dl 0 (15)
ja poikkileikkaksen jännitysresltanttiektorilla S tarkoitetaan ektoria N EA 0 0 S Q 0 GAs 0 D2 (16) M 0 0 EI missä on aksiaalinen enymä, on likma ja on kimmoiian kaares. Ne määritellään kaaoilla X Y Y X ' ' cos ' ' sin 1 ' 'cos ' 'sin (17) ' missä ja oat siirtymät X- ja Y- sntiin. Klma in missä in on elementin klma X-akselin shteen alktilassa ja on rotaatio alktilasta mitattna, katso ka 2. Palkin kimmomatriisi D 2 yhtälössä (16) koost aksiaalijäykkyydestä EA, leikkasjäykkyydestä GA s ja taitsjäykkyydestä EI. dl 0 dl 0 in Ka 2. Palkkielementin poikkileikkaksen deformoitminen Palkkielementin tangentiaalinen jäykkyysmatriisi saadaan linearisoimalla sisäisten solmoimien ektori sntaan : t 2 dl0 D( ) dl0 L0 L0 k BDB BS (18) Jäykkyysmatriisin laseke sljetssa modossa yksityiskohtaisina johtoineen löytyy esimerkiksi lähteestä [4].
Olettaen taas, että palkkielementti on tasapaks ja homogeeninen, sen massamatriisi saadaan käyttäen yhtälöä (9) 2 0 0 1 0 0 0 2 0 0 1 0 2 2 m0 0 2i 0 0 i M (19) 6 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 2 0 2 2 0 0 i 0 0 2i missä m on palkin kokonaismassa ja i on palkin poikkileikkaksen neliösäde. 4 OFFSE-PALKKIELEMENI Offset-palkkielementtejä oidaan käyttää esimerkiksi mallinnettaessa palkkirakennetta, jossa on rotaationiel, joka ei sijaitse palkin pintakeskiössä. Ensinnäkin laskentamallin apasasteiden määrä ähenee nopettaen näin systeemiyhtälöiden ratkaisaikaa ja toisaalta laskentamallissa ei tarita topologisia mtoksia elementtierkossa, aikka rotaationieliä siirretään palkin keskilinjasta sin. Offset-elementillä tarkoitetaan tässä elementtiä, jossa solmt eiät sijaitse palkin netraaliakselilla. Kassa 3 tällainen elementti on esitetty isäntä- ja orjaapasasteineen. Alaindeksit m (master) iittaaat solmihin, joiden siirtymät oat mkana laskentamallissa ja alaindeksi s (slae) iittaaat kiteltihin solmihin elementin netraaliakselilla. Kiteltjen solmjen siirtymät on koott ektoriin. Siirtymien ja älillä oletetaan olean jäykkä kytkentä. 5 6 5 4 (Xm2, Ym2) 3 2 6 (Xs2, Ys2) 4 2 1 (Xm1, Ym1) EA,G s,ei,l0 3 (Xs1, Ys1) 1 in Ka 3. Offset palkkielementti ja sen apasasteet isäntä- ja orja-mittasjärjestelmässä
Ensimmäisen solmn isäntä- ja orjasolmn siirtymien ja irtaalisten siirtymien älillä on kinemaattinen yhteys x x R( ) X s1 m1 3 s1/m1 x x R( ) X s1 m1 3 s1/m1 (20) missä X s1/m1 on offset-ektori elementin siirtymättömässä tilassa, joka saadaan X s1/m1 = X s1 X m1. Rotaatiomatriisi R ja sen ariaatio saadaan cos R sin sin R cos sin cos cos sin 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (21) Vastaaat yhteydet oat oimassa myös toiselle solmlle. Yhdistämällä alk- ja loppsolmn siirtymien äliset yhteydet ja lisäämällä rotaatioapasasteet saadaan kinemaattinen matriisi B isäntä- ja orjasolmsiirtymien älillä 1 0 Xs 1/ m1sin3ys1/ m1cos3 0 0 0 0 1 Xs 1/ m1cos3 Ys 1/ m1sin3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 B (22) 0 0 0 1 0 Xs2/ m2sin6 Ys2/ m2cos6 0 0 0 0 1 Xs2/ m2cos6 Ys2/ m2sin 6 0 0 0 0 0 1 missä X s1/m1 ja Y s1/m1 oat ektorin X s1/m1 komponentteja. Geometrisen jäykkyysmatriisin modostamista arten taritaan yhtälöä 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 FB 2 13 FB 1 23 0 0 0 Kg : D( BF ) (23) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 FB 5 46 FB 4 56 missä F i termit iittaaat orjaelementin sisäisten solmoimien ektorin komponentteihin ja termit B ij kinemaattisen matriisin B alkioihin. Elementin sisäisten solmoimien ektori saadaan yhtälöä (5) käyttäen ja tangentiaalinen jäykkyysmatriisi yhtälöstä (6). Massamatriisi ja hitasoimien ektori saadaan yhtälöstä (10).
Nopedesta riippien tangenttimatriisien (13) laskennassa taritaan offsetin kinemaattisen matriisin (22) aikaderiaattoja. Nämä aikaderiaatat oat 0 0 Xs 1/ m13 cos3ys 1/ m13 sin3 0 0 0 0 0 Xs1/ m13 sin3ys1/ m13 cos3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 Xs2/ m26cos6 Ys2/ m26sin6 0 0 0 0 0 Xs2/ m26sin6 Ys2/ m26cos 6 0 0 0 0 0 0 (24) ja 0 0 acos3bsin3 0 0 0 0 0 asin3 bcos3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 ccos6 dsin6 0 0 0 0 0 csin6 dcos 6 0 0 0 0 0 0 2 2 a: Ys1/ m1 3 Xs1/ m13, b: Ys 1/ m13 Xs 1/ m1 3 (25) 2 c: Ys2/ m2 6 Xs2/ m26, d : Ys2/ m26 X 2 s2/ m2 6 Nähdään, että kinemaattisen matriisin toisessa aikaderiaatassa B esiintyy sekä klmakiihtyyystermejä että klmanopeksien neliöistä riippia termejä. 5 LASKENAESIMERKKI arkastellaan kan 4 mkaista pomia, joka on nielöity asemmasta päästään 0,5 m sin netraaliakseliltaan. Nieleen kohdist ajan mkana kasaa momenttikormits, jonka kaaja on esitetty kassa. Momenttikormitksen laseke on M t M() t M t 0 6 0 t 1 t 1 (26) Pomioss on mallinnett neljällä tasopalkkielementillä, joista ensimmäisen elementin alksolm on edellä mainitn etäisyyden päässä pomin netraaliakselista y-sntaan. ämän solmn siirtymät x- ja y- sntaan oat estetty. 1 m 1 m 1 m 1 m 0,5 m E A I z M 0 t Ka 4. Sista nielöidyn pomin neljän elementin laskentamalli
Edellä esitetty laskentamalli ohjelmoitiin MALAB- ohjelmistolla ja tehtään aikaintegrointi soritettiin Newmarkin implisiittisellä aikaintegrointimenetelmällä [6]. Jotta laskenta konergoitisi paremmin, niin laskentamalliin lisättiin rakenteellista aimennsta. Laskennan lähtöarot oat koottna talkossa 1. alkko 1. Laskentamallin lähtöarot Sre Symboli Aro Yksikkö Elementtien lkmäärä n ele 4 kpl Palkin tiheys 7850 kg/m 3 Kimmomodli E 207 GPa Poikkipinta-ala A 1900 mm 2 Neliömomentti I z 3,756 10 6 mm 4 Elementin pits L 1,00 m Rayleighin aimenns 0,1 Rayleighin aimenns 0 Newmarkin aimenns 0,001 Konergointitoleranssi 0,001 Kiertomomentti 2000 knm 1.40E+08 1.20E+08 Kiertomomentti [Nm] 1.00E+08 8.00E+07 6.00E+07 4.00E+07 2.00E+07 0.00E+00 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Aika [sek] Ka 5. Laskentamallin alksolmn aikttaa kiertomomentti Laskennan aika-askeleeksi alittiin ensin 0,001 sekntia. Laskenta soritettiin sekä käyttämällä hitasoimista aihetaa jäykkyys- ja aimennsmatriisia, että jättämällä nämä termit pois laskennasta. Laskentaa jatkettiin knnes tehtää ei enää konergoitnt. Laskennat tlokset oat talkossa 2.
alkko 2. Laskentatlokset aika-askeleella 0,001 sekntia lokset Hitastermit mkana Ilman hitastermejä Askelten lkmäärä 442 442 Iteraatioiden lkmäärä 1762 2250 Srin pyörimisnopes 3762 3762 alkossa 3 on esitetty astaaat tlokset aika-askeleella 0,0001 sekntia. alkko 3. Laskentatlokset aika-askeleella 0,0001 sekntia lokset Hitastermit mkana Ilman hitastermejä Askelten lkmäärä 19971 19971 Iteraatioiden lkmäärä 59945 94379 Srin pyörimisnopes 17724 17724 Kassa on esitettynä hitasoimista aihetien termien shteellista ostta tangentiaaliseen jäykkyysmatriisiin käytännön koneenrakennksen pyörimisnopeksilla. 1.20E-02 1.00E-02 Shteellinen normi 8.00E-03 6.00E-03 4.00E-03 2.00E-03 0.00E+00 0 5000 10000 15000 20000 Pyörimisnopes [r/min] Ka 6. Hitasoimista aihetan jäykkyysmatriisin shteellinen normi eri pyörimisnopeksilla YHEENVEO ässä artikkelissa on ttkitt nopedesta riippien hitasoimatermien aiktsta epälineaarisen dynamiikan palkkilaskentaan käytännön koneenrakennksen pyörimisnopeksilla. ehtäässä ain offset-palkki aihettaa näitä nopedesta riippia hitasoimatermejä. Laskentaesimerkillä on osoitett, että hitasoimatermien aikts on melko ähäinen tangenttimatriiseihin. Iteroinnin sppenes on kitenkin parempi, kn nämä termit otetaan homioon. Vaikka esimerkissä on tarkastelt tasotapasta, tlokset oat yleistettäissä myös aarstapakseen.
Nopedesta riippat tangenttimatriisit rikkoat mtoin symmetrisen laskentarakenteen. Lonnollisesti oitaisiin käyttää myös tangenttimatriisien symmetristä ostta. Mikäli offsetin shteellinen oss on srempi kin laskentaesimerkissä, nopedesta riippat tangenttimatriisit oat lonnollisesti määrääämpiä. LÄHDEVIIEE [1] Jelenic, G., Crisfield, M.A. (1996), Non-linear 'master-slae' relationship for joints in 3- D beams with large rotations, Compt. Methods Appl. Mech. Engrg; 135:211-228. [2] Crisfield, M.A. (1997), Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Strctres, Vol. 2: Adanced opics, J. Wiley & Sons, New York, 494 pp. [3] Behdinan, K., Styliano, M.C., abarrok,b. (1998), Co-rotational dynamic analysis of flexible beams, Compter Methods Appl. Mech. Engrg; 154:151-161. [4] Simo, J.C., V-Qoc, L. (1986), On the dynamic of flexible beams nder large oerall motions - he plane case: Part I and II, ASME Jornal of Applied Mechanics; 53:849-863. [5] Simo, J.C., V-Qoc, L. (1987), he role of non-linear theories in transient dynamic analysis of flexible strctres, J. Sond and Vibration; 119(3):487-508. [6] Géradin M & Cardona A, (2001), Flexible Mltibody Dynamics, A Finite Element Approach, John Wiley & Sons, 327 pp.