Luento 13: Periodinen liike

Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Ajankohtaista

Konseptitesti 1 Tehtävänanto Mikä seuraavista tarvitaan, jotta kappale voisi olla värähdysliikkeessä? 1. Stabiili tasapainopiste 2. Vähäinen (tai merkityksettömän pieni) kitka 3. Häiriö kappaleen tasapainotilassa ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Konseptitesti 2 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile massan liiketilaa pisteessä P. x(t) P t 1. v > 0, a > 0 2. v > 0, a < 0 3. v > 0, a = 0 4. v < 0, a > 0 5. v < 0, a < 0 6. v < 0, a = 0 7. v = 0, a 6= 0 8. v = 0, a = 0

Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic motion) eli värähtelyä (oscillation) Keskitytään harmoniseen (harmonic) värähtelyyn Kappaleella stabiili tasapainoasema Tasapainoaseman ympärillä palauttava voima Kun kappaletta poikkeutetaan, voima pyrkii palauttamaan sen Kappaleella kineettistä energiaa! ohittaa tasapainoaseman Voima tekee työtä kappaleen liikettä vastaan ja hidastaa sitä, kunnes liikesuunta vaihtuu! Värähdysliike tasapainoaseman ympärillä x 0

Käsitteet Amplitudi (amplitude) A Siirtymän maksimiarvo Jaksonaika (period) T Yhteen värähdykseen kulunut aika Taajuus (frequency) f Värähdysten lukumäärä aikayksikössä f = 1 T Kulmataajuus (angular frequency)!! = 2 f

Käsitteitä Vaimennettu (damped) värähtely Jos kappaleeseen vaikuttaa palauttavan voiman lisäksi häviöllinen voima, värähdysliikkeen energia pienenee ajan funktiona Pakkovärähtely (forced/driven oscillation) Kappaleeseen vaikuttaa palauttavan voiman lisäksi ajan suhteen periodinen voima, joka pakottaa kappaleen värähtelemään omalla taajuudellaan Näistä tarkemmin seuraavalla luennolla ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Harmoninen värähtely Matemaattisesti yksinkertaisin värähtely Palauttava voima suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta Esim jousi F = kx = ma = m d 2 x dt 2 =) d 2 x dt 2 + k m x = 0 Tämän toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on k > 0 =) x = A cos!t + B sin!t Ratkaisussa kaksi vakiota A ja B, joiden määräämiseen tarvitaan kaksi alkuehtoa, esim tieto sijainnista ja nopeudesta jollain ajanhetkellä

Harmoninen värähtely Yhtälö voidaan esittää myös muodossa x = A 0 cos(!t + ), koska A 0 cos(!t + )=A 0 cos cos!t A 0 sin sin!t = A cos!t + B sin!t Värähtelijän nopeus Kiihtyvyys a = dv dt Sijoitetaan liikeyhtälöön v = dx dt = A! sin(!t + ) = A! 2 cos(!t + )=! 2 x! 2 x + k m x = 0 =)! = r k m

Harmoninen värähtely Kulmanopeus! määräytyy massasta ja jousivakiosta Lähtövaihe määräytyy kappaleen sijainnista kun t = 0 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Amplitudin ja lähtövaiheen määritys Määritellään lähtövaihe ja amplitudi annetuista alkuarvoista Esim. annettu kappaleen siirtymä ja nopeus kun t = 0 x(t = 0) =x 0 = A cos v(t = 0) =v 0 =!A sin Kun yhtälöt jaetaan keskenään, saadaan apple v 0 =! tan =) = arctan x 0 v 0!x 0 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Amplitudin ja lähtövaiheen määritys Vastaavasti saadaan liikkeen amplitudi potenssiin korotuksella yhteenlaskemalla saadaan v 2 0! 2 = A2 sin 2 x 2 0 = A 2 cos 2 x 2 0 + v 2 0! 2 = A2 sin 2 + cos 2 = A 2 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Harmonisen värähtelijän energia Harmonisen värähtelijän mekaaninen energia vakio jos ei ulkoisia voimia E = 1 2 mv 2 + 1 2 kx 2 = vakio Kohdassa x = A nopeus v = 0 =) K = 0 E = 1 2 ka2 Toisaalta tasapainoasemassa x = 0 =) U = 0 E = 1 2 mv 2 max ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Harmonisen värähtelijän energia Sijoitetaan värähtelijän paikan ja nopeuden lausekkeet E = 1 2 m[!a sin (!t + )]2 + 1 2 k[a cos (!t + )]2 = 1 2 ka2 sin 2 (!t + )+cos 2 (!t + ) = missä k = m! 2 1 2 ka2

Nopeus paikan funktiona Kun amplitudi (tai kokonaisenergia) tunnetaan, saadaan energian säilymisyhtälöstä esimerkiksi nopeus paikan funktiona 1 2 mv2 + 1 2 kx2 = 1 2 ka2 =) v 2 = k m A2 x 2 =! 2 A 2 x 2 =) p v = ±! A 2 x 2 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Jousi pystysuorassa

Pystysuora värähtely Pystysuoran jousen pituus vapaasti riippuvana on ` Kun jousen varaan ripustettu massa m venyy jousi matkan Systeemi on tällöin tasapainossa eli nettovoima on nolla X F = k ` mg = 0 =) k ` = mg Tasapainoasemassa x = 0 Poikkeutetaan massa etäisyydelle x tasapainoaseman yläpuolelle X F = k ( ` x) mg = kx Poikkeutetaan massa etäisyydelle x tasapainoaseman yläpuolelle X F = k ( ` x) mg = kx ` Vastaavasti etäisyydellä x voimien summa on kx

Pystysuoran värähtelyn kulmataajuus Tasapainoasemasta poikkeutettu massa harmonisessa värähdysliikkeessä Erona vaakasuoraan liikkeeseen: jousi jo tasapainoasemassaan venynyt r k! = m Jos massa jousen päällä, painuu jousi kasaan tasapainoasemassaan Massan liike on silti harmonista värähtelyä kulmataajuudella r k! = m ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Kiertoheiluri Kiertoheiluria kierrettäessä siihen kohdistuu poikkeutuskulmaan verrannollinen vääntömomentti = apple Verrannollisuusvakio apple on vääntöjousivakio (torsion constant) Kappaleen pyörimisliikkeen liikeyhtälö missä dl dt = L = I! = I d dt

Kiertoheilurin kulmataajuus Kiertoheilurin liikeyhtälö on siis dl dt = I d 2 dt 2 = = Samanmuotoinen yhtälö kuin jousen tapauksessa Kiertoheilurin liikeyhtälön ratkaisu ja kulmataajuus apple ) d 2 dt 2 + apple I = 0 = 0 cos (!t + ) ja! = r apple I ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Konseptitesti 3 Tehtävänanto Henkilö istuu keinussa. Henkilön istuessa paikallaan, systeemi (keinu+ihminen) heilahtelee hiljalleen edestakaisin luonnollisella taajuudellaan. Jos keinussa istuukin kaksi identtistä ihmistä vierekkäin, mitä tapahtuu keinun heilumistaajuudelle verrattuna alkutilanteeseen? 1. Se kasvaa 2. Se ei muutu 3. Se pienenee

d 2 g Matemaattinen heiluri Kappale heilahtelee massattoman langan varassa Maan vetovoiman aiheuttama palauttava voima on F T = mg sin mg (kulma pieni) Kappaleen tangentiaalikiihtyvyys on liikeyhtälö a T = L = L d 2 dt 2 ma T = ml d 2 dt 2 = F T = mg ~F t m~g ~F r

Matemaattisen heilurin kulmataajuus Harmonisen värähtelyn yhtälö, jossa värähtelykulmataajuus r g! = L Taajuus riippuu vain langan pituudesta, ei kappaleen massasta Yhtälö approksimaatio, mutta toimii hyvin jopa 15 heilahteluille ) virhe < 0.5% Yksinkertaista heiluria voidaan käyttää g:n mittaamiseen tai kellona

Konseptitesti 4 Tehtävänanto Henkilö istuu keinussa. Henkilön istuessa paikallaan, keinu heilahtelee hiljalleen edestakaisin luonnollisella taajuudellaan. Jos henkilö istumisen sijaan seisoo keinussa, mitä tapahtuu keinun heilumistaajuudelle verrattuna alkutilanteeseen? 1. Se kasvaa 2. Se ei muutu 3. Se pienenee

Fysikaalinen heiluri Fysikaalisella heilurilla (physical pendulum) on äärellinen koko Jäykkä kappale heilahtelee jonkin pisteensä O ympäri Painovoiman vaikutus redusoituu massakeskipisteeseen, jolloin painovoiman aiheuttama vääntömomentti O:n suhteen on ~ = ~ d ~w ) ~ = mgd sin ˆk

Fysikaalisen heilurin liikeyhtälö Kun kulma pieni, vääntömomentti on Kappaleen liikeyhtälö on tällöin dl dt mgd = di! dt d 2 dt + mgd = 2 0 r I mgd! = I I on hitausmomentti heilahdusakselin suhteen = I d 2 = mgd =) dt2

Lokaalit minimit ja niiden approksimointi paraabelilla Luonnossa monet voimat eivät riipu lineaarisesti siirtymästä Pienet siirtymät voidaan approksimoida harmonisella värähtelyllä Lokaalin minimin ympäristössä kaikki funktiot voidaan kehittää Taylorin kaavan f (x) =f (x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) +...= a ± bx ±... Ensimmäinen siirtymästä riippuva termi on lineaarinen Joissakin tapauksissa kerroin b = 0 tai b on hyvin pieni Tällöin värähtely ei ole harmonista ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Esimerkki: van der Waals -voima van der Waals -voimakentän potentiaalienergia voidaan lausua muodossa " R0 12 # " 6 12 # 6 R0 r r U = U 0 2 = U 0 2 r r R 0 R 0

Esimerkki jatkuu: Atomin värähtely Jos atomin etäisyys tasapainoasemasta on pieni (x R 0 ) Potenssilausekkeet voidaan kirjoittaa binomikehitelmän (1 + u) n = 1 + nu +... (u 1) avulla F = 12 U apple 0 1 13 x 1 + 7 x = 72 U 0 R 0 R 0 R 0 R0 2 x Atomi värähtelee lähes harmonisesti, koska F kx, missä k = 72U 0 /R 2 0. ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Esimerkki 1 Harmonisen värähdysliikkeen amplitudi on 0.080 m ja jaksonaika 4.0 s. Laske, kuinka suuri on a) partikkelin nopeus ja kiihtyvyys 0.5 s kuluttua siitä, kun se on ohittanut liikkeen ääriasennon ja b) nopeus ja kiihtyvyys liikkeen keskikohdassa. ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Ratkaisu

Esimerkki 2 Ohut rengas on ripustettu renkaan läpi kulkevan teräväreunaisen tangon varaan, jolloin rengas voi heilahdella kosketuspisteen varassa. Määritä renkaan pienten värähtelyjen kulmataajuus ja jaksonaika. Renkaan paksuus d on pieni renkaan säteeseen R = 0.1 m verrattuna. Renkaan I CM = mr 2, koska koko massa R:n etäisyydellä I O = I CM + mr 2 = 2mR 2. ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

Ratkaisu