763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Keät 207. Rekyyli Luentomonisteessa on käsitelty tilanne, jossa hiukkanen (massa M) hajoaa kahdeksi hiukkaseksi (massat m ja m 2 ). Tässä käytetään osin monisteessa johdettuja kaaoja, ja asetetaan m 2 = 0, koska emittoitunut hiukkanen on fotoni. Lasketaan tässä erityisesti yylinopeus u. Lähdetään hajonneen hiukkasen liikemäärästä, joka, kuten on nähty, oidaan lausua hiukkasen energian E ja nopeuden u aulla: p = E 2 u p2 E. Liikemäärän säilymisestä saadaan, että p on sama kuin emittoidun fotonin energia E 2 (jaettuna :llä): Energian säilymisestä, M 2 = E + E 2 saadaan, että E = M 2 E 2 : Sijoitetaan tähän luentojen kaaa E 2 :lle, E 2 E. () E 2 M 2 E 2. (2) jolloin saadaan E 2 = M 2 m 2 2M 2, (M 2 m 2 ) 2 /2M M 2 (M 2 m 2 )2 /2M = = M 2 m 2 M 2 + m 2. (3) Approksimaatio u /M oidaan osoittaa monella taalla. Tapa Ehdosta M 2 seuraa, että (M m ) 2 M 2, eli (M m ) M. Tämä tarkoittaa, että (M m )/M ja m M. Näin yylinopeuden lausekkeesta (5) saadaan (M 2 m 2 ) M 2 + m 2 = (M m ) 2 (M + m ) (M 2 + m 2 ) 2M 2M 2 = M Tapa 2 Voidaan myös lähteä myös lähteä liikkeelle kaaasta (2): E 2 M 2 E 2, jossa approksimoidaan, että yylienergia E kin on pieni, eli E 2 = E kin. Näin saadaan ehto M 2, jossa M 2, joten M.
Tapa 3 Sama tulos saadaan myös suoraan liikemäärän säilymislaista p = p + p 2 0 = p p 2 p = p 2 Nyt liikemäärä p m u Mu ja p 2 = E 2 /. Lisäksi jätetään taas yylienergia E kin huomiotta, joten E 2. Tällöin M M () Lasketaan, kuinka suuri energiamäärä apautuu, kun pariston koko araus purkautuu. Vapautua sähköinen energia E oidaan ilmaista purkautumistehon P ja purkautumisajan t aulla: E = P t, missä teho riippuu purkautuasta sähköirrasta ja jännitteestä yhtälön P = U I mukaisesti. E = UI t. Sähköirta puolestaan määritellään purkautuana sähköarauksena q aikayksikköä kohti, joten purkautuaksi energiaksi saadaan E = U q t = qu. t AA-pariston jännite on U =.5V ja purkautua sähköaraus on q = 3000mAh = 3Ah = 3 3600C, joten purkautuaksi energiaksi saadaan E = 3 3600C.5V = 6200J. (4) Tilannetta oidaan yksinkertaistaa ajattelemalla, että taskulamppu lähettää yhden fotonin, jonka energia on E = 6200J. Samalla lamppu kokee yylin ja saa nopeuden M E M = 6200J 2.988 0 8 m/s 0.025kg = 2.644096 0 3 m/sm/s 2.2mm/s 2. Rekyylin kompensointi Tarkastellaan tilannetta alkuperäisen ytimen koordinaatistossa K, joka liikkuu nopeudella laboratoriokoordinaatiston K suhteen. Tässä koordinaatistossa ytimen saama yylienergia on (fotonille m 2 = 0) Emittoituneen fotonin energia on tällöin E = (M m ) 2 m 2 2 = (M m ) 2 4 2M 2M 2 = 2 2M 2. (5) Laboratoriokoordinaatistossa fotonin energian tulee olla suoraan E f = hν = E. (6) E f = hν =, (7) eli yylistä johtua energian pienennys oidaan jättää huomiotta, kun ytimen alkuperäinen nopeus on sopia. Selitetään ytimen (eli K :n) nopeus käyttämällä hyäksi dopplerin siirtymän kaaaa + ν = ν. (8)
Kertomalla yhtälö (8) akiolla h saadaan fotonin energioiden älille yhteys + hν = hν + E f = E f Sijoitetaan tähän fotonin energiat koordinaatistoissa K ja K. + = ( E ) + E = (9) Approksimoimalla neliöjuuritermiä Taylorin sarjalla saadaan + +, ja sijoitetaan saatu tulos yhtälöön (9). E = + ( E ( E ) ) E E Nyt E, joten nopeudeksi saadaan E E E 2 2M 2 = 2M Fotonin energia saadaan yhtälöstä E = h λ = 6.626 0 34 J 2.998 0 8 m/s 589.5 0 9 3.3697 0 9 J (0) m Koska nyt ei taritse ottaa huomioon yylienergiaa, fotonin energia on suoraan energiatilojen erotus, eli E =. Ytimen massa on M = 23.0 23.0.66 0 27 kg = 3.8923958 0 26 kg Rekyylinopeus on siis u 2M = 3.3697 0 9 J 2 2.998 0 8 m/s 3.8923958 0 26 = 0.04748 5mm/s kg () Nyt rauta-atomin massa on M = 56.853 9.4386653 0 26 kg, ja gammakantin energia on = 4.4kE 2.30768 0 5 J. Atomin yylinopeus on siis u 2M = 2.30768 0 5 J 2 2.998 0 8 m/s 9.4386653 0 26 = 40.758244m/s 4m/s kg
3. Fotoniraketti Soelletaan yylinopeudelle saatua kaaaa = M 2 m 2 M 2 + m 2. () Tästä kaaasta saadaan suoraiiaisesti ratkaistua kysytty massasuhde µ = m /M: = M 2 ( m 2 /M 2 ) M 2 ( + m 2 /M 2 ) ( + = µ2 + µ 2 ( + µ 2 ) = µ2 ) µ 2 = µ 2 = / + /. Eli saadaan µ = m M = / + /. Sijoittamalla numeraro 9/0 saadaan m M = 9 0.23. 4. Kielletyt prosessit Säilymisyhtälöt oat E + E 2 = E (2) p + p 2 = p (3) Lisäksi tuleat relaatiot E = m 2 2 + p 2, (4) E 2 = m 2 2 + p 2 2, (5) E = p. (6) Valitaan koordinaatistoksi elektronin ja positronin massakeskipistekoordinaatisto, jolloin p +p 2 = 0. Liikemäärän säilymisyhtälöstä seuraa että p = 0. Lisäksi tiedetään että fotonille E = p, mistä päätellään että E = 0. Energian säilyminen oidaan nyt kirjoittaa m 2 2 + p 2 + m 2 2 + p 2 = 0. (7) Koska asen puoli on minimissään 2m 2, ei energian säilymisyhtälö ei toteudu. Prosessi on siten kielletty. Huom! Elektroni ja positroni oiat annihiloitua kahdeksi fotoniksi. Säilymisyhtälöt oat kuten a-kohdassa mutta lisäksi tuleat relaatiot E = m 2 2 + p 2, (8) E 2 = p 2, (9) E = m 2 2 + p 2. (20) Valitaan koordinaatistoksi lopputilan elektronin lepokoordinaatisto, jolloin p = 0. Liikemärän säilyminen aatii että p = p 2. Tästä päätellään että p = E 2 /. Energian säilyminen oidaan nyt kirjoittaa m 2 4 + E 2 2 + E 2 = m 2. (2)
Tämä yhtälö oi toteutua ain jos E 2 = 0, sillä E 2 :n nollasta poikkeaa aro oi ain suurentaa yhtälön asenta puolta oikean pysyessä akiona. E 2 = 0 astaa fotonia jota ei ole, joten kuattu prosessi on mahdoton. Huom! Tämä absorptioprosessi on mahdollinen, jos elektroni korataan esimerkiksi atomilla. Tällöin prosessissa kasanut lepomassa selittyisi atomin irittymisellä. Elektronilla ainoa sisäinen apausaste on spin, mutta molemmat spintilat oat samalla energialla (jos elektroni ei ole magneettikentässä). Koska irittyneitä tiloja ei ole, elektronin massan kasaminen on mahdotonta. 5. Sirontakulma. Kahden hiukkasen sirontaongelma on käsitelty luentomonisteessa. Siellä, laboratoriokoordinaatiston neliliikemäärät on lausuttu massakeskuskoordinaatiston neliliikemäärien aulla. Tässä kuitenkin taritaan ain sirontakulmaa θ. Se (tai sen tangentti) saadaan monisteen kaaoista Jakamalla toinen ensimmäisellä saadaan: p os θ = γ ( E a/ + p a os θ ), p sin θ = p a sin θ. tan θ = p a sin θ γ E a/ + p a os θ. Koska massakeskuskoordinaatistossa sirontakulma on 90, ts. θ = π/2, ja p a = E au / 2, ja u, saadaan tan θ = γ E au / 2 E a/ 2 = γ = (u /) 2.