5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x) 10 9x 16x 100 5x 100 : 5 x 4 x 4 x cm Koska x > 0, niin x = cm.
Suorakulmion sivujen pituudet ovat 3x 3cm 6cm 4x 4cm 8cm 6cm8cm4cm b) 64 cm 3 V 3
. a) Piirretään mallikuva. 3 cm h 4 cm Pyramidin pohjasivun pituus on 8 cm, joten muodostuneen suorakulmaisen kolmion kanta on 4 cm pitkä. Lasketaan sivutahkon korkeus Pythagoraan lauseen avulla. h h 4 3 16 9 h 5 h 5 h 5cm Koska h > 0, niin h = 5 cm. b) A vaippa 8cm5cm 4 80cm
3. a) Kolmioilla ABC ja ADC on yhteinen kulma C. Kolmiolla on suora kulma vastinkulmana. Kk-lauseen nojalla kolmiot ABC ja ADC ovat yhdenmuotoiset.
b) Merkitään janan CD pituutta kirjaimella x. Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhde on sama. AC CD BC AC x x 5 4 x x 5 5 5 x (4 x) 54x x 4 50 Ratkaistaan ratkaisukaavalla. x 4 4 41( 5) 1 4 36 x 46 x 46 46 x 5 tai x 1 Koska x > 0, niin x = 1.
4. a) Piirretään mallikuva. β x 3 α Lasketaan hypotenuusan arvo Pythagoraan lauseella. x x 3 49 x 13 x 13 Koska x > 0, niin x = 13. sin ja 13 cos 3 13
3 b) (sin ) (cos ) 13 13 4 9 13 13 13 13 1 c) sin 3 13 3 tan d) Merkitään kolmion kateetteja x ja 3x. x on lyhyempi kateetti, koska x > 0. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x. x 4cm : x cm Lasketaan pidemmän kateetin pituus. 3x 3cm 6cm e) 4 cm 6 cm 4 cm 1 cm A
5. Koska suora AC on ympyrän tangentti, kolmio OAC on suorakulmainen kolmio. Lasketaan kulman α suuruus. 3390 180 57 Kaari AB on puolet kaaresta AD, joten kaaren AB keskuskulma on puolet kaaren AB keskuskulmasta. Merkitään kaaren AB keskuskulmaa kirjaimella γ ja lasketaan se. 57114 Kulma γ muodostaa kulman β kanssa täyden kulman, joten 360 360114 46
6. a) Kolmioitten mittakaava on 1 k 1:. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. A A EFC ABC 1 1 k 4 b) Pituuksien suhde on mittakaava. Merkitään janan EF pituutta kirjaimella x. EF x 1 AB 8 x 8 : x 4cm
7. h a) sin b hbsin b b) ah a( bsin ) absin A
8. Merkitään lyhyempää kateettia kirjaimella x. Tällöin hypotenuusa on 3x. Lasketaan Pythagoraan lauseen avulla x. (3 x) x (4 ) x x 9 16 x 8 3 :8 x 4 x 4 x Koska x > 0, niin x =. Lasketaan kysytyt sivujen pituudet. lyhyempi kateetti x hypotenuusa 3x 3 6
9. a) Piirretään mallikuva. r r Lasketaan ympyrän kehän pituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. 16 r : 16 r r 8 Neliön sivun pituus on r 8 16 Neliön piiri on 416 64. Määritetään ympyrän kehän pituuden ja neliön piirin suhde. 16 64 4
b) Ympyrän pinta-ala on A ympyrä 8 64 Neliön pinta-ala on Aneliö 1616 56 Määritetään ympyrän ja neliön pinta-alojen suhde. 64 56 4 c) Ympyrän halkaisija on r 8 16 Neliön halkaisija voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. Merkitään neliön halkaisijaa kirjaimella x. x 16 16 x 51 x 51 56 16 Koska x > 0, niin x 16. Määritetään ympyrän halkaisijan ja neliön lävistäjä suhde. 16 1 16
10. a) D 3 m G x α β C α m A β F 5 m B Merkitään sinisen kolmion korkeutta kirjaimella x. Kulmat α ja α ovat ristikulmia, joten ne ovat yhtä suuret. Kulmilla β ja β on jana AC vasempana kylkenä, joten kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska janat CD ja AB ovat yhdensuuntaisia, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret eli β = β. Kolmioilla ABE ja CDE on siis kaksi yhtä suurta vastinkulmaa, joten ne ovat kk-lauseen mukaan yhdenmuotoiset.
Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhteet ovat samat. AB FE DC GE 5 3 x 5x 6 :5 6 x 1, m 5 b) 5m3m 6 A m m 5 8m 16m 5 18 m 10 4 1 m 1,8 m 5
c) Sinisen kolmion pinta-ala on A kolmio 6m 18m 3m 5 5 m 1 m 5 10 5 18 m 1 18 4 Sinisen kolmion ja sinisen kolmion suhde on 18 ( 10 18 10 18 9 18 10 18 18 64 10
11. a) C B A D F E Merkitään pallon sädettä kirjaimella r ja keskipistettä kirjaimella D. Koska kolmion CDE sivujana DC on ympyrän tangentti, pallon säde on kohtisuorassa kartion sivujanaa vastaan. Poikkileikkauskuvaan kolmiot DFC ja ABC ovat yhdenmuotoiset, koska molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana kulma C on kolmioille yhteinen. Jana DF on puolet janan DE pituudesta. DE 8 DF 4
Lasketaan janan FC pituus Pythagoraan lauseen avulla. FC DF DC FC FC FC 5 4 5 16 9 FC 3 Koska FC 0, niin FC 3. Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhteet ovat samat. DC DF AC AB 5 4 3 r r 5r 14r 9r 1 :9 1 4 r 9 3
b) Lasketaan sivun BC pituus Pythagoraan lauseen avulla. BC AB AC BC BC BC BC 4 4 3 3 3 5 4 3 3 5 16 9 9 1 BC 1 Koska BC 0, niin BC 1. A BAC 4 4 1 3 3 4 1 4 3 6 3
1. a) Kuution särmä puolittuu, joten uuden kuution särmän pituus on a. Pituuksien suhde on mittakaava. a k a 1 k Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Alkuperäinen tilavuus on a 3 ja merkitään uutta tilavuutta kirjaimella x. x 1 3 a x 1 3 a 8 x a 3 8 :8 3 a x 8 3 Tilavuus pienenee a 7 a a 8 8 3 3 3
b) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Alkuperäinen pinta-ala on 6a ja merkitään uutta pinta-alaa kirjaimella x. x a 1 1 6 x a 6 4 4x 6 a :4 6 x a 4 3 x a Pinta-ala pienenee 3 9 6a a a
13. C α β A z y 80 x r r B O Kulma y ja 80 muodostavat oikokulman, joten y 80180 y 100 C A z α β E 40 y x r r B O Tasakylkisen kolmion OBC kulmanpuolittaja puolittaa kärkikulman 80 sekä kolmion kantasivun CB. Kulmat 40, 90 ja β muodostavat kolmion. Kolmion kulmien summa on 180. 4090 180 50
A z C F α β 50 80 x r r B O Tasakylkisen kolmion OAC kulmanpuolittaja puolittaa kärkikulman 100 sekä kolmion kantasivun CA. Kulmat 50, 90 ja α muodostavat kolmion. Kolmion kulmien summa on 180. 5090 180 40 405090
b) C α β A θ O λ B Kolmiot AOC ja COB ovat molemmat tasakylkisiä kolmioita, koska Kyljet CO ja BO ovat yhtä pitkät, ympyrän säteen pituisia. Kyljet AO ja CO ovat yhtä pitkät, ympyrän säteen pituisia. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret, joten ja. Kolmion ABC kulmien summa on 180, joten 180, 180 180 : 90
14. Jaetaan suuremman suunnikkaan sisään piirretty suunnikas kahteen kolmioon. cm 4 cm 1 cm 1 cm 4 cm Kummankin kolmion kanta on 4 cm ja korkeus on 1 cm. Pienemmän suunnikkaan pinta-ala on 4cm1cm A 4cm
15. x b z h A 1 A a Suunnikkaan pinta-ala saadaan vähentämällä nelikulmion pinta-alasta kaksi kolmion pinta-alaa. Nelikulmion pinta-ala on Anelikulmio a h Kolmioitten pinta-alat ovat 1 h x A zh A Pituuden z voidaan myös ilmaista z ax b. Joten ( axb) h ahxhbh A.
Lasketaan suunnikkaan pinta-ala. A A A A suunnikas nelikulmio 1 xh ahxhbh ah xh ah xh bh ah ah bh ah ah ah bh ah ah bh ah bh ( a b) h
16. a) Pyramidin pohjan lävistäjän pituus on, joten puolet siitä on 1. Lasketaan pyramidin sisälle muodostuneen suorakulmaisen kolmion sivu h Pythagoraan lauseen avulla. 1 h 5 1h 5 h 4 h 4 h Koska h > 0, niin h =.
b) Piirretään mallikuva pyramidin pohjasta. x x Lasketaan pohjaan muodostuneen suorakulmaisesta kolmiosta sivun x pituus Pythagoraan lauseen avulla. x x x x x 4 : Koska x > 0, niin x.
c) V 4 3 3 3 d) Piirretään mallikuva sivutahkosta. x 5 Lasketaan syntyneen suorakulmaisen kolmion sivun x pituus Pythagoraan lauseella. x 5 x 5 4 9 x 9 x 3 x Koska x > 0, niin x 3
e) Vaipassa on neljä edellistä kolmiota, joten A vaippa 3 3 1 4 4 6
17. a) Merkitään pohjaympyrän säteen pituutta kirjaimella r. Muodostetaan tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä r. 48 1 :1 r 48 r 1 r 4 r 4 r Koska r > 0, niin r =. b) Avaippa 1 48
18. a) r r Suorakulmion korkeus on yhtä suuri kuin ympyrän korkeus, joten r : r 1 Kolmen peräkkäisen ympyrän leveys on 6r, joten suorakulmion leveys on 6r 61 6. Suorakulmion pinta-ala on Asuorakulmio 6 1 Kolmen ympyrän pinta-ala on A ympyrät 3 1 3 Väritetyn alueen pinta-ala on A A A suorakulmio 1 3 ympyrät
b) A A 1 (1 3 ) A 1 suorakulmio 1 1 suorakulmio 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 4 4
19. B O 1 D C A Kolmio OBC on suorakulmainen kolmio, koska suoran CB on ympyrän tangentti. Lasketaan sivun OC pituus Pythagoraan lauseella. OC 3 OC OC OC 4 (43) 41 16 OC 16 OC 4 Koska OC 0, niin OC 4. Janan CD pituus on DC OC OD 41 3
Kolmio ODB on suorakulmainen kolmio. Janan DB pituus on. 1 DB DB DB 41 3 DB 3 Koska DB 0, niin DB 3. Jana AB on kaksi kertaa janan DB pituus, joten AB DB 3. Kolmion BAC pinta-ala on A BAC 33 3 3
0. a) Merkitään kaarta vastaavaa keskuskulmaa kirjaimella α. 4 : 360 3 360 360 3 4 360 60 6 b) Piirretään mallikuva. 30 h Lasketaan kosinin avulla sivun h pituus. h cos30 h h 3 3
c) Sektorin pinta-ala on 60 1 360 6 3 Asektori 4 Janan AB pituus on AB sin 30 1 AB 1 1 AB 4 AB 4 Kolmion pinta-ala on A AOB 3 3 Segmentin pinta-ala on A Asektori A AOB 3 3
1. a) Piirretään mallikuva poikkileikkauksesta. r r Pallon halkaisija on yhtä pitkä kuin kuution särmän pituus, joten r : r 1 Kuutiossa on kuusi neliön muotoista tahkoa. Kuution pinta-ala on Akuutio 6 4 Pallon pinta-ala on A pallo 4 1 4 Pinta-alojen suhde on A A pallo kuutio 4 4 6
b) Kuution tilavuus on Vkuutio 8 Pallon tilavuus on V pallo 4 4 1 3 3 3 Tilavuuksien suhde on V V pallo kuutio 4 3 4 1 8 3 8 6
. a) D y 5 4 B(0, 5) A(, 3) 3 1 C(, 1) 3 1 1 3 x Kannan AB keskipiste on 0 ( ) 5 3 8 D,, ( 1,4) b) CD ( 1) (41) ( 3) 3 99 9 9 3 c) AB (0 ( )) (5 3) 4 4 4 4 d) A ABC 3 6 6
3. a) y 4 C O( 1, ) 3 1 3 1 D 1 x Pisteitten O ja C etäisyys pitää olla 5 ja pisteen C x-koordinaatti on 0. Merkitään pisteen C y-koordinaattia kirjaimella y. OC 5 (0 ( 1)) ( ) 5 y 1 4 5 y y y y 4y5 5 4y55 y 4y 0 yy ( 4) 0 y 0 tai y 40 y 4 Pisteen C koordinaatit ovat (0, 4) ja pisteen D koordinaatit ovat (0, 0).
b) y 4 C(0, 4) O( 1, ) 3 1 A(x, ) 3 1 D(0, 0) 1 3 4 x Pisteiden D ja A etäisyys on 5. Lasketaan pisteen A x-koordinaatti. DA 5 (0 x) (0 ) 54 x 0 x 40 x 16 x 16 x 4 Koska x > 0, niin x = 4. Pisteen A koordinaatit ovat (, 4)
4. s s s Kuution tilavuus on V sss s kuutio 3 Pyramidin tilavuus on V pyramidi s ss 3 3 s 1 s 3 3 6 Tilavuuksien suhde on 3 s 3 Vpyramidi 6 s 1 1 1:6 3 3 V s 6 s 6 kuutio
5. A E r B r D C Merkitään pallon keskipistettä kirjaimella D ja sädettä kirjaimella r. Koska kolmion ABC sivujana AC on ympyrän tangentti, pallon säde on kohtisuorassa kartion sivujanaa vastaan. Poikkileikkauskuvaan kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset, koska molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana kulma C on kolmioille yhteinen. Lasketaan sivu BC Pythagoraan lauseella. BC BC 6 10 36 100 BC 64 BC 64 BC 8 Sivun pituus on positiivinen luku, joten BC 8
Muodostetaan kolmioiden ABC ja DEC vastinsivujen suhteiden avulla verranto ja ratkaistaan siitä säde r. AB AC DE DC 6 10 r 8 r 6(8 r) 10r 48 6r 10r 16r 48 :16 16 r 48 r 3
6. 4 pienen munkin ja 3 ison munkin tilavuudet ovat samat. Merkitään pienen munkin sädettä kirjaimella r 1 ja ison munkin sädettä kirjaimella r. Merkitään tilavuudet samoiksi. V pienet isot 4 3 4 3 4 r1 3 r 3 3 3 r 4 r : 4 8r 3 3 1 3 3 3 1 r V r r 1 Pallojen alojen suhde on A 44 r 8r 8r 8r 8 :1 A 34 r r ( r) 4r 4 1 pienet 1 1 1 1 isot 1 1
7. a) r s 60 y x Säännöllisen kuusikulmion lävistäjät jakavat monikulmion kuudeksi samanlaiseksi, tasakylkiseksi kolmioksi, joiden huippukulma on 360 60. 6 Lasketaan yhden tasakylkisen kolmion kyljen pituus. Korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman 60. 30 s r
Lasketaan sivun s pituus kosinin avulla. r sin 30 s r s sin 30 r s 1 r s 1 s r Kuusikulmion leveys x on x s r
b) Lasketaan yhden tasakylkisen kolmion korkeus. Korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman 60. h 30 r Lasketaan sivun h pituus tangentin avulla. r tan 30 h r h tan 30 r h 1 3 r 3 h 1 r 3 h
Kuusikulmion korkeus y on r 3 y h r 3 c) Kuusikulmion pinta-ala on r 3 r r 3 3 3 Akuusikulmio 6 3r r Ympyrän pinta-ala on A ympyrä r r 4 Kuusikulmion ja ympyrän väliin jäävän alueen pinta-ala. 3 3 3 3 A Akuusikulmio Aympyrä r r r 4 4
5. Matemaattisia malleja 8. a) Merkitään kateetteja kirjaimilla x ja y. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan x ja y. x y 18,5 x y 13,5 y 18, 5 x x y 13,5 x (18, 5 x) 13, 5 x 11,5 tai x 7 Jos x = 11,5, niin y = 18,5 11,5 = 7. Joten luvut x = 11,5 ja y = 7.
b) Lasketaan kartassa kolmion pinta-ala. A kartassa 11,5 cm 7 cm 39,375 cm Muutetaan 437,5 a neliösenttimetreiksi. 437,5 a = 43 750 m = 4 375 000 dm = 437 500 000 cm Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. 39,375 cm 437 500 000 cm k k 0,0003 tai k 0,0003 Mittakaava on aina positiivinen luku, joten 3 k 0,0003 3:10 000 10 000
9. a) Lasketaan sivun BC pituus Pythagoraan lauseella. BC 4, 4 8,1 BC 6,800... cm 6,8 cm Koska sivun pituus on positiivinen, BC 6,8 cm b) A 4,4 cm α 8,1 cm B 6,8 cm β C Lasketaan kulman β suuruus sinin avulla. 4, 4 sin 8,1 3,90... 3,9 Kolmion kulmien summa on 180, joten 903,9180 57,1
6,800... cm 4, 4 cm c) A 14,961... cm 15,0 cm
30. a) Piirretään mallikuva. βα 90 m h 90 m 0 m 40 m Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kolmion kärkikulman ja kannan. Lasketaan muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta kulman α arvo. 0 sin 90 1,839... Kulma β on 1,839... 5,679... 6
b) Lasketaan kolmion korkeus h. 0 tan1,839... h h 87,753... m Kolmion pinta-ala on 40 m87,753 m A 1755,076... m 1755 m
31. a) Lasketaan kolmion kannan pituus. ( 6 8) (0 0) 14 Muodostetaan kolmion pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä kolmion korkeus h. A 35 14h 35 h 5 b) Tasakylkisen kolmion kärjen x-koordinaatti on kannan päätepisteiden puolessa välissä. Lasketaan kärkipisteen x-koordinaatti. 68 x 1 Nyt tiedetään kolmion kärkipisteen x-koordinaatti. Merkitään sen y- koordinaattia kirjaimella y. Kolmion kärkipisteen etäisyys pisteestä (1, 0) on 5. Lasketaan kolmion y-koordinaatti. (11) (0 y) 5 y 5 y 5 Kolmion kärkipisteen koordinaatit ovat (1, 5) tai (1, 5).
3. Piirretään mallikuva. 150 cm = 1,5 m B y 5 m C 1,5 m A Tikkaiden alapää on kohdassa A, yläpää seinällä kohdassa B ja C on seinän kohta, joka on samalla tasolla kuin A. Suorakulmaisessa kolmiossa ABC sivun AB pituus on 5 m ja sivun AC pituus on 1,5 m. Lasketaan Pythagoraan lauseella sivun BC = y pituus. y 1, 5 5 y 4,769... m Tikapuilla halutaan päästä 1 m + 4,769 m = 5,769 m korkeuteen.
D 5,769 m x C 1,5 m A Lasketaan uudesta suorakulmaisesta kolmiosta BDC sivun x pituus Pythagoraan lauseella. x 5,769... 1,5 x 5,961... m Tikkaita tuli pidentää 5,961... m 5 m 0,961... m 96,149 cm 96 cm.
33. A 1,80 m B D 3,8 m C Talon harja on keskellä kattoa, joten talon katto on tasakylkisen kolmion muotoinen. Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Lasketaan muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta janan DA pituus. DA 3,8 1,8 DA 4,... m Koska sivun pituus on positiivinen, niin DA 4,... m. A D 3,8 m 1,80 m C B 4,36 m E Kolmio ADC on yhdenmuotoinen kolmion ABE, koska kolmioilla on yhteinen kulma A kolmioilla vastinkulmana on suorakulma.
Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhde on sama. AD DC AB BE 4,... 3,8 AB 4,36 AB 4,819... m 4,8 m
34. a) Liito-oravan vaakasuora siirtymä suoraviivaisessa liidossa on 3,3- kertainen korkeuden vähenemiseen verrattuna. Merkitään korkeuden vähenemistä kirjaimella h, joten 60 m 3,3 h h 18,181... m Koska liito-orava laskeutuu 1 m korkeuteen, sen täytyy hypätä h 1 m 18,181... m 1 m 19,181 m 19 m korkeudelta.
b) A α 60 m B h C Piste A on liito-oravan hyppykohta, piste C on liito-oravan laskeutumiskohta. Lasketaan kulma α tangentin avulla. 18,181 tan 60 16,858... 17
35. Piirretään mallikuva. Tutkitaan kuinka korkealla linnunpesän pitää vähintään olla, jotta lintubongari sen juuri ja juuri näkee. Merkitään linnunpesän korkeutta kirjaimella x. A 5,0 m B D 0,90 m 65,0 m E F x 3,0 m G y C Kolmiot ABC, DEC ja FGC ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla: kaikilla kolmioilla on suora kulma vastinkulmana kulma C on yhteinen. Linnunpesän korkeus x voidaan ratkaista, jos kolmiosta FGC tunnetaan jonkin toisen sivun pituus. Merkitään sivun GC pituutta kirjaimella y. Tällöin sivun EC pituus on y + 3,0 sivun BC pituus on 65,0 + 3,0 + y = 68,0 + y.
Muodostetaan kolmioiden ABC ja DEC vastinsivujen avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä y. AB DE BC EC 5,0 68,0 y 0, 90 3,0 y y 11,68... m Muodostetaan sitten kolmioiden ABC ja FGC vastinsivujen suhteiden avulla verrantoyhtälö ja ratkaistaan siitä x. AB BC FG GC 5, 0 68, 0 11, 68... x 11, 68... x 0,710... m Linnunpesän tulisi olla vähintään 0,710 m = 71 cm korkeudella maasta, jotta lintubongari näkisi sen. Koska 50 cm < 71 cm, niin lintubongari ei näe linnunpönttöä.
36. a) AB (4 ) (1 ( )) 13 BC ( 4) (5 1) 0 5 b) Täydennetään suunnikkaan alapuolelle kaksi suorakulmaista kolmiota ja merkitään kolmioitten toista terävää kulmaa kirjaimella α ja β. Ratkaistaan kulmat α ja β sinin avulla. y 5 C = (, 5) 4 D = (0, ) 3 1 B = (4, 1) 3 1 1 1 3 4 5 6 β γ α A = (, ) x 4 sin 5 63,434... 3 sin 13 56,309...
Kulmat β, α ja γ muodostavat oikokulman, joten 180 60,5660 Merkitän suunnikkaan toisen suuruista kulmaa kirjaimella θ. Suunnikkaan kulmien summa on 360, joten 360 10 c) Piirretään kuvaan suunnikkaan korkeusjanan avulla suorakulmainen kolmio. Merkitään suunnikkaan korkeutta kirjaimella x. Ratkaistaan korkeus sinin avulla. y 5 C = (, 5) 4 D = (0, ) 3 1 3 1 1 y B = (4, 1) x 1 3 4 5 6 13 A = (, ) x x sin 13 x 3,130... 3,1
37. y 1 D(, 1) C(7, ) 1 1 3 4 5 6 7 x B(6, 1) A(1, ) Sivun AB pituus on AB (61) ( ( 1)) 6 Sivun AD pituus on AD ( 1) (1 ( )) 10 y 1 1 C(7, ) D(, 1) h 3 4 5 6 7 x β 10 α 6 B(6, 1) γ A(1, ) Täydennetään suunnikkaan alapuolelle ja oikealle puolelle suorakulmaiset kolmiot ja merkitään kolmioitten toista terävää kulmaa kirjaimella γ ja β. Ratkaistaan kulmat γ ja β sinin avulla.
1 sin 6 11,309... 1 sin 10 18,434... Kulmat γ, β ja α muodostavat suoran kulman, joten 180 60, 56... 60,3 Lasketaan sivu h sinin avulla. h sin 10 h,745... Suunnikkaan pinta-ala on A 6,745... 14,000... 14 Merkitään suunnikkaan toisen suuruista kulmaa kirjaimella θ. Suunnikkaan kulmien summa on 360, joten 360 119,7 Suunnikkaan kulmat ovat 60,3 ja 119,7.
38. a) D C 4,5 cm h A 60 6,8 cm B Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta sivun h pituus sinin avulla. h sin 60 4,5 h 3,897... cm Lasketaan suunnikkaan pinta-ala. Asuunnikas 6,8 cm 3,897... cm 6,500... cm 7 cm
b) D 4,5 cm 30 h A E Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kärkikulman. Suorakulmaisen kolmion kärkikulman suuruus on 30. Lasketaan kolmion sivun h pituus. h cos30 4,5 h 3,897... cm Kolmion pinta-ala on A kolmio 4,5 cm 3,897... cm 8,768... cm Lasketaan, kuinka monta prosenttia kolmion pinta-ala on suunnikkaan pinta-alasta. A A 6,500... cm 8,768... cm suunnikas kolmio 1 1 0,330... 0,33 33 % Asuunnikas 6,500... cm
39. Merkitään tasakylkisen puolisuunnikkaan yhdensuuntaisia sivuja kirjaimilla a ja b. Tiedetään, että ab 5 a b 4 60,0 a 30 b Saadaan yhtälöpari ab5 a 30 b Ratkaistaan yhtälöpari. (30 b) b5 b 1,5 a 1,5 5 a 17,5 Yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 1,5 cm ja 17,5 cm.
40. a) Merkitään kuvaruudun leveyttä 16x ja korkeutta 9x. Kuvaruudun lävistäjä on 40 tuuma 40,54 cm 101,6 cm 16x 9x 101,6 cm Lasketaan Pythagoraan lauseella muuttuja x. (16 x) (9 x) 101, 6 x 5,534... cm Kuvaruudun mitat ovat Leveys 16x 165,534... cm 88,55... cm 88,6 cm Korkeus 9x 95,534... cm 49,810... cm 49,8 cm b) A 88,55... cm 49,810... cm 4 410,775... cm 4 411cm
41. a) Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinjanojen suhde on mittakaava. Merkitään pienoismallin pituutta kirjaimella x. 84 70 x 3 x 3, 6 m 360 cm b) Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinjanojen suhde on mittakaava. Merkitään oikean lentokoneen siipien kärkiväliä kirjaimella x. x 70 3, 79 3 x 88,433... m 88,4 m
4. a) Lasketaan Merkuriuksen säde ympärysmitan avulla. 15 300 r r Merkurius Merkurius 435,070... km Merkuriuksen pinta-ala on A Merkuruis 4 r merkurius 74 513161, 56... km Maan pinta-ala on A Maa r 511506 576,035... km Lasketaan, kuinka monta prosenttia Merkuriuksen pinta-ala on Maan pintaalasta. A A 511 506 576,035... km 74 513161, 56... km 511 506 576,035... km Maa Merkuruis 1 1 A Maa 0,145... 0,146 14,6 %
b) Piirretään mallikuva. Kysytty kulma on tangenttien väliin muodostuva tangenttikulma β. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan. 695700 km 695700 km 57897564,99 km β α Muodostetaan kuvioon suorakulmainen kolmio. Kolmion hypotenuusan pituus: 57 900 000 km 435,070 km = 57 897 564,99 km. Kolmion toinen kateetti on sama kuin Auringon säde. Kolmion terävä kulma α on puolet tangenttikulmasta: β = α. Ratkaistaan kulma α sinin avulla. 695 700 sin 57 897 564,99... 0,688... Tangenttikulma β on 0,688... 1,376... 1,38
c) Merkuriuksesta nähdään se osa ympyrän kaarta b, joka jää tangenttisuorien väliin. b 695700 km γ 695700 km 57897564,99 km α β Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma: 180900,688... 89,311... Kaarta vastaavan keskuskulman suuruus: 89,311... 178,63... Lasketaan keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus. 178,63... b 695 700 km 168 886, 475... km 170 000 km 360
43. a) y 7 B(0, 6) 6 5 A(, 5) 4 3 C(1, 3) 1 1 3 4 5 x Lasketaan ympyrän säde, joka on janan AB pituus. AB (0 ) (6 5) 5 Ympyrän pinta-ala on A 5 5
b) Lasketaan janan BC keskipiste ja merkitään sitä kirjaimella D. 10 36 1 9 D,, y 7 B(0, 6) 6 5 (, 1 ) 9 4 D α β A(, 5) 3 C(1, 3) 1 1 3 4 5 x Lasketaan sivun BD pituus. BD 1 9 5 0 6
Kolmio ABC on tasakylkinen kolmio, koska janat BA ja CA ovat yhtä pitkiä. Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kolmion kärkikulman. Merkitään kulmaa A ja. Lasketaan kulma α sinin avulla. 5 sin 5 45 Kaarta BC vastaava keskuskulma on 4590
c) Lasketaan väritetyn alueen pinta-ala. y 7 B(0, 6) 6 5 (, 1 ) 9 4 D α β A(, 5) γ 3 C(1, 3) 1 1 3 4 5 x Kolmion ABC pinta-alan ratkaisemiseksi tarvitaan janan AD pituus ja janan CB pituus. AD CB 1 9 5 5 5 DB Kolmion ABC pinta-ala on A kolmio 5 5 5
Kulmat γ ja β muodostavat täyden kulman, joten 360 70 Lasketaan sektorin pinta-ala 70 15 Asektori 5 360 4 Väritetyn alueen pinta-ala on 15 5 Asektori Akolmio. 4 Tämän likiarvo on 15 5 14,80... 14,3. 4
44. Lasketaan pyramidin vaipan ala. Piirretään mallikuva pyramidista. 1,64 m x x 35,4 m 35,4 m Vaippa koostuu neljästä tasasivuisesta kolmiosta, jonka kanta on 35,4 m ja korkeutta merkitään kirjaimella x. Pyramidin sisälle muodostui suorakulmainen kolmio. Suorakulmaisen kolmion kanta on puolet pohjasärmän pituudesta. 1,64 m x 17,71 m Ratkaistaan sivun x pituus Pythagoraan lauseella. x 1,64 17,71 x 7,963... m Koska x > 0, niin x = 7,963... cm.
Vaipan pinta-ala on 35,4 m7,963... m A 4 1980,904... m Samasta lasimäärästä valmistetaan suorakulmaisen särmiön muotoinen rakennus. Lasketaan, kuinka korkea särmiöstä saadaan. h 35,4 m Särmiön pinta-ala koostuu 4 samanlaisesta tahkosta sekä neliönmuotoisesta katosta. Lasketaan rakennuksen korkeus. 1980,904... (435, 4 h) (35, 435, 4) h 5,16... m Pyramidin tilavuus on V pyramidi 35,4m35,4m1,64m 9 049,677... m 3 3 Särmiön tilavuus on V särmiö 35, 4 m 35, 4 m 5,16... m 6431,634... m 3
Lasketaan, kuinka monta prosenttia särmiön tilavuus on pyramidin tilavuudesta. V V 9049,677... m 6431,634... m 3 9049,677... m pyramidi särmiö 1 1 V pyramidi 0,710... 0,71 71 % 3 3
45. a) Hahmotellaan mallikuva ojan poikkileikkauksesta. 95 cm 55 cm 15 cm 104 m pitkän ojan tilavuus V saadaan lieriön tilavuutena. Muutetaan kaikki arvot metreiksi: 95 cm = 0,95 m 55 cm = 0,55 m 15 cm = 0,15 m V 0,95 0,15 0,55 104 31,46 m 31 m 3 3
b) Hahmotellaan uusi mallikuva ojan poikkileikkauksesta. Merkitään kirjaimella x ojan uutta leveyttä. 0,95 α 0,55 x Ojan uusi tilavuus on V V 5m 36,46m 3 3 Muodostetaan tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. 0,95 x 0,55 104 36, 46 x 0,34... m x 0,3 m x 3 cm
y 0,3 m y α 0,55 0,3 m Lasketaan janan y pituus. 0,3 m y y 0,95 m y 0,315 m Lasketaan tangentin avulla kulman α suuruus. 0,55 tan 0,315 60,199... 60
46. a) b) r r Ympyrälieriön pohjan säde on r ja korkeus on 6r. Lasketaan ympyrälieriön tilavuus. Vlieriö (3,80 cm) (63,80 cm) 1 034,31... cm 3 Lasketaan kolmen pallon tilavuus. V pallot 4 3 (3,80 cm) 689,541... cm 3 3 3 Tyhjää tilaa jää Vlieriö Vpallot 1 034,31... cm 689,541... cm 344,770... cm 345 cm 3 3 3 3
c) Lieriön pinta-ala on A A A lieriö pohja vaippa (3,80 cm) 3,80 cm (6 3,80 cm) 635,104... cm 635 cm
47. Merkitään ympyräkartion pohjan sädettä kirjaimella r, tällöin pohjan halkaisija ja kuution särmän pituus on r. Merkitään kuution korkeutta kirjaimella x, tällöin ympyräkartion sivujanan x x pituus on x. 3 3 Kuution korkeus on r, tällöin ympyräkartion sivujanan pituus on r 4 r. 3 3 Kuution pinta-ala on Akuutio 6 rr 4r Kartion pinta-ala on A A A kartio pohja vaippa 4 3 7 r 3 r r r Lasketaan, kuinka monta prosenttia kartion pinta-ala on pienempi kuin kuution pinta-ala. A kuutio A A kuutio kartio 7 4r r 3 0, 694... 0, 695 69,5 % 4r
48. a) 7,4 cm s r Lasketaan ympyräkartion pohjan säde r kartion tilavuuden avulla. r 7,4 34 3 r 5,495... cm Koska r > 0, niin r = 5,495 cm. Lasketaan kartion sivujanan s pituus Pythagoraan lauseella. 7,4 5,495... s s 9,17... cm Koska s > 0, niin s = 9,17... cm.
Kartion pinta-ala on A A A pohja vaippa (5, 495... cm) 5, 495... cm 9, 17... cm =53,977... cm 50 cm b) 7,4 cm s r Lasketaan kulman α suuruus tangentin avulla. 7,4 tan 5,495... 53,403... 53
c) Piirretään poikkileikkauskuva. Kartion poikkileikkaus on tasakylkinen kolmio ABC. Pallon poikkileikkaus on ympyrä, joka sivuaa kolmion kaikkia sivuja. Kolmion sivut ovat ympyrän tangentteja. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r ja keskipistettä kirjaimella D. Pallon keskipisteen ja kartion huipun välisen janan pituus CD 7, 4 r (cm) C r D 9,17 7,4 r r G r A H 5,495 B Koska kolmion ABC sivujana BC on ympyrän tangentti, pallon säde on kohtisuorassa kartion sivujanaa vastaan. Poikkileikkauskuvaan kolmiot BCH ja CDG ovat yhdenmuotoiset, koska molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana kulma C on kolmioille yhteinen.
Muodostetaan kolmioiden BCH ja CDG vastinsivujen suhteiden avulla verranto ja ratkaistaan siitä r. BC DC HB DG 9,17... 5,495... 7,4 r r r,763... cm Pallon tilavuus on V pallo 4 (,763... cm) 3 3 3 3 88,444... cm 0,884... dm 0,884... l 8,844... dl 88,444... cl 88 cl
49. a) Piirretään mallikuva. Sivutahko 14,5 cm h 14,5 cm 1,4 cm 1,4 cm 6, cm Lasketaan sivutahkon korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h 6, 14,5 h 13,107... cm Koska h > 0, niin h = 13,107 cm. Pyramidin vaipan pinta-ala muodostuu neljästä samanlaisesta sivutahkosta. Vaipan ala on A vaippa 1,4 cm13,107... cm 4 35, 053... cm 35 cm
b) Piirretään poikkileikkauskuva. Pyramidin poikkileikkaus on tasakylkinen kolmio ABC. Pallon poikkileikkaus on ympyrä, joka sivuaa kolmion kaikkia sivuja. Kolmion sivut ovat ympyrän tangentteja. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r ja keskipistettä kirjaimella D. Pallon keskipisteen ja kartion huipun välisen janan pituus CD 11,5 r (cm). C 11,5 r 13,107 r r G D r A H 6, cm B Koska kolmion ABC sivujana BC on ympyrän tangentti, pallon säde on kohtisuorassa kartion sivujanaa vastaan. Poikkileikkauskuvaan kolmiot BCH ja CDG ovat yhdenmuotoiset, koska molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana kulma C on kolmioille yhteinen.
Muodostetaan kolmioiden BCH ja CDG vastinsivujen suhteiden avulla verranto ja ratkaistaan siitä r. BC DC HB DG 13,107... 6, 11,5 r r r 3,69... cm Pallon pinta-ala on A 4 (3,69... cm) 171,379... cm 171 cm
5.3 Monivalintatehtävät 1. Merkitään kolmion kantakulmia kirjaimella α. Kolmion kulmien summa on 180, joten 4180 138 : 69 Oikea vastaus on b.
. Merkitään suorakulmaisen kolmion pienempää terävää kulmaa kirjaimella x, tällöin toisen terävän kulman suuruus on x + 5. Kolmion kulmien suuruus on 180, joten x( x5 ) 90180 x 65 : x 3,5 Suurempi terävä kulma on tällöin 3,5 + 5 = 57,5. Oikea vastaus on a.
3. Suunnikkaassa on kaksi yhtä suurta terävää kulmaa ja kaksi yhtä suurta tylppää kulmaa. Merkitään tylppää kulmaa kirjaimella α. Suunnikkaan kulmien summa on 360, joten 3838 360 84 : 14 Oikea vastaus on b.
4. Merkitään suorakulmion kantaa kirjaimella x, tällöin korkeus on 4x. Muodostetaan suorakulmion piirin yhtälö ja ratkaistaan siitä x. p 90 cm xx4x4x90cm 10x 90 cm :10 x 9cm Suorakulmion leveys on x = 9 cm ja korkeus on 4x 49cm 36cm. Oikea vastaus on a.
5. Muodostetaan ympyrän pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä ympyrän säde r. r 36 : 36 r r 36 r 36 r 6 Koska r > 0, niin 6 r. Oikea vastaus on c.
6. Ympyrän halkaisija on 0, joten sen säde on 10. Lasketaan sektorin kaaren pituus. 30 b 10 360 1 10 1 0 1 5 3 Oikea vastaus on b.
7. Kolmio on suorakulmainen, jos Pythagoraan lause toimii siinä. Jos sivujen pituudet ovat 3, ja 7 3 7 347 7 7 Oikea vastaus on c.
8. Merkitään kartion sivujanan pituutta kirjaimella s. Muodostetaan vaipan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä s. 9s 7 :9 7 s 9 s 3 Oikea vastaus on c.
9. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r. Muodostetaan pallon pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä r. A pallo 4 64 :4 64 r r r 64 4 16 r 16 r 4 Koska r > 0, niin r = 4. Oikea vastaus on a.
10. Merkitään pidemmän kateetin pituutta kirjaimella x ja lasketaan Pythagoraan lauseen avulla se. 3 x 8 9x 64 x 55 x 55 Koska x > 0, niin x 55. Oikea vastaus on a.
11. β 5 x Merkitään kulman β vastaista sivua kirjaimella x. Lasketaan Pythagoraan lauseella sivu x. x 5 4x 5 x 1 x 1 Koska x > 0, niin x 1. Nyt sin 1 5 Oikea vastaus on c.
1. 13 m h 67 18 m Sivun h pituus saadaan laskettua sinin avulla. h sin 67 13 m h 13 m sin 67 Oikea vastaus on b.
13. Piirretään mallikuva kolmiosta. 10 h 5 Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Lasketaan muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta sivun h pituus Pythagoraan lauseella. 5 h 10 h 5 100 h 75 h 75 h 53 5 3 Koska h > 0, niin h 5 3. Oikea vastaus on a.
14. Merkitään pidempää sivua kirjaimella a. Muodostetaan puolisuunnikkaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä a. 5 a 4 8 (5 a) 8 : 5a 14 a 9cm Oikea vastaus on b.
15. α β β 3 Kulmat β, β ja 3 muodostavat täyden kulman, joten 3360 18 : 64 Kulmat α, β ja suorakulma muodostavat suorakulmaisen kolmion. kolmion kulmien summa on 180, joten 90180 1809064 6 Oikea vastaus on a.
16. Kolmiot ABC ja CBE ovat yhdenmuotoisia, koska kolmioilla on yhteinen kulma B janat AC ja DE ovat samansuuntaiset, joten samankohtaiset kulmat A ja D ovat yhtä suuret. Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhde on sama. Merkitään janan DE pituutta kirjaimella x. AC AB DE DB 1,0 4,0 6,0 x 6,0 x (4,06,0) 1,06,0 10x 7 :10 x 7, cm Oikea vastaus on c.
17. A E β α G α B D β F C Kulmat α ja α ovat ristikulmia, joten ne ovat yhtä suuret. Kulmilla β ja β on jana BD vasempana kylkenä, joten kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska janat AB ja AC ovat yhdensuuntaisia, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret eli β = β. Kolmiot ABG ja CDG ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla. Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhde on sama. AB EG DC FG,0 1,0 3, 0 FG FG 3 : FG 3 m
Kolmion DCG pinta-ala on ADCG 3 9m 3, 0 m m 9m 1 9 m, 5 m 4 Oikea vastaus on a.
18. Kolmiot BCD, ADB ja ABC ovat yhdenmuotoisia, koska Kaikilla kolmioilla on suora kulma vastinkulmana. Kolmioilla ABC ja ADB on yhteinen kulma A. Kolmioilla ABC ja BCD on yhteinen kulma C. Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta ABD janan BD pituus Pythagoraan lauseella. BD 3 4 BD 9 BD 5 BD 5 Koska sivun pituus on positiivinen, niin BD 5 Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhde on sama. AD BD BD CD 5 5 CD CD 5 5 : 5 CD,5 Oikea vastaus on c.
19. C r G H 5 A r E 3 I Koska kulma H on suorakulmainen kulma ja kulmat E ja G ovat ympyrän tangentteja eli suorakulmaisia, niin kulma A on suorakulmainen. Koska janat GA ja AE ovat pituudeltaan r, ovat myös GH ja EH pituudeltaan r. Sivu HI on pituudeltaan r + 3 ja sivu HC on pituudeltaan r +. Lasketaan Pythagoraan lauseen avulla ympyrän säde r. ( r3) ( r) 5 6 9 4 45 r 10r10 : r 5r60 r r r r
Käytetään ratkaisukaavaa. (5) 5 41( 6) x 1 x x 5 49 57 57 57 x 6 tai x 1 Koska x > 0, niin x = 1. Oikea vastaus on a.
0. Merkitään kateetteja 3x ja 4x. Lasketaan Pythagoraan lauseella x:n arvo. (3 x) (4 x) 10 x x 9 16 100 x 5 100 : 5 x 4 x 4 x cm Koska x > 0, niin x = cm. Kateettien pituudet ovat 3x 3cm 6cm 4x 4cm 8cm Oikea vastaus on c.
1. Lasketaan kulma kosinin avulla. 13,1 cos 17, 40,39... 40,4 Oikea vastaus on b.
. Merkitään hypotenuusaa kirjaimella x. Lasketaan hypotenuusan pituus sinin avulla. 9,16 sin 7,48 x x 19,850... cm x 19,9 cm Oikea vastaus on a.
3. Merkitään keskuskulmaa kirjaimella α. Muodostetaan kaaren pituuden yhtälö ja ratkaistaan α. 15,0 75, 360 87,4... 87 Oikea vastaus on c.
4. α 11,5 cm 15,5 cm Lasketaan tangentin avulla kulma α. 15,5 tan 11,5 53, 46... 53, 4 Oikea vastaus on c.
5. Merkitään pohjaympyrän säteen pituutta kirjaimella r, tällöin ympyräkartion sivujanan pituus on r. Muodostetaan kartion vaipan pintaalan yhtälö ja ratkaistaan r. rr 319 r 7,15... cm r 7,13 cm Oikea vastaus on a.
6. 9,4 cm Pohja 5,3 cm y y α 5,3 cm 5,3 cm 5,3 cm Lasketaan ensin pohjan lävistäjän pituus y Pythagoraan lauseella. y 5,3 5,3 y 7,495... Lasketaan tangentin avulla kulma α. 9, 4 tan 7,495... 51,431... 51 Oikea vastaus on b.
7. 3,10 dm h 1,55 dm Pyramidin pohjan korkeusjana h voidaan laskea Pythagoraan lauseella. 1,55 h 3,10 h,684... dm Pyramidin tilavuus on V 3,10 dm,684... dm 4,9 dm 6,796... dm 6,8 dm 3 3 3 Oikea vastaus on a.
8. Piirretään poikkileikkauskuva. kartion poikkileikkaus on tasakylkinen kolmio ABC. Pallon poikkileikkaus on ympyrä, joka sivuaa kolmion kaikkia sivuja. Kolmion sivut ovat ympyrän tangentteja. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r ja keskipistettä kirjaimella D. Pallon keskipisteen ja kartion huipun välisen janan pituus CD 1 r (cm). C 1 r r r G D r A H 4, cm B Koska kolmion ABC sivujana BC on ympyrän tangentti, pallon säde on kohtisuorassa kartion sivujanaa vastaan. Poikkileikkauskuvaan kolmiot BCH ja CDG ovat yhdenmuotoiset, koska molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana kulma C on kolmioille yhteinen.
Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta BCH sivun BC pituus Pythagoraan lauseen avulla. BC 4, 1 BC 1,713... cm Koska sivun pituus on positiivinen, niin BC 1,713... cm Muodostetaan kolmioiden BCH ja CDG vastinsivujen suhteiden avulla verranto ja ratkaistaan siitä r. BC HB DC DG 1,713... 4, 1 r r r,979... cm r 3, 0 cm Oikea vastaus on c.
9. Piirretään mallikuva. Merkitään pisteellä A kuumailmapallon paikka. Merkitään pisteellä B paikka mihin asti kuumailmapallosta näkee. Merkitään Maan keskipistettä kirjaimella O. A C B β r O Kuumailmapallo on 755 m:n korkeudessa, joten janan AC pituus on,755 km. Janan OA pituus on OA OC AC 6 370 km,755 km 6 37,755 km Lasketaan kulman β suuruus. 6370 cos 6 37,755 1,684...
Lasketaan kaaren pituus b. 1,684... b 6 370 187,31... km 187,3 km 360 Oikea vastaus on a.
30. Lasketaan kuinka pitkän matkan Mars matkaa 686,96 päivässä. Muutetaan päivät sekunneiksi. 686,96 d = 16 487,04 h = 989,4 min = 59 353 344 s Marsin kiertonopeus on 4,077 km/h, joten sen kiertorata on 59 353 344 s4,077 km / s 1 49 050 463,488km Marsin kiertorata on ympyrän muotoinen, joten muodostetaan kehän pituuden yhtälö ja ratkaistaan säde r. r 1 49 050 463,488 r 7 440 445,191... km Planeetan etäisyys Auringon pinnasta on kiertoradan säde vähennettynä auringon säde. Planeetan etäisyys auringon pinnasta on 7 440445,191... km 696 000 km 6 744 445,191... km 7 000 000 km Oikea vastaus on c.
31. Merkitään kateetteja x ja 5x. x 5x α Lasketaan tangentin avulla kulman α suuruus. x tan 5x 5 1,801... Oikea vastaus on a.
3. 8,40 cm h 10, cm 1 α Kulmat 1 ja α muodostavat oikokulman, joten 1180 58 Lasketaan sivun h pituus sinin avulla. h sin 58 8, 40 h 7,13... cm Kolmion pinta-ala on 10, cm 7,13... cm A 36,330... cm 36,3 cm Oikea vastaus on c.
33. x r Merkitään kuoritun appelsiinin sädettä kirjaimella r. Merkitään kuorimattoman appelsiinin sädettä kirjaimella x. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan x. 4 x 65,9 : 4 x 4,599... cm Kuoritun appelsiinin säde on 4,599... cm 0, 1 cm 4,389... cm Kuoritun appelsiinin halkaisija on 4,389... cm 8,778... cm 8,8 cm 88 mm Oikea vastaus on c.
34. Pohja 5,89 cm x y y x x x Lasketaan pohjan lävistäjän y pituus Pythagoraan lauseen avulla. x x y y x Koska y > 0, niin y x. Sivut x, y ja avaruuslävistäjä muodostavat suorakulmaisen kolmion. Lasketaan Pythagoraan lauseella x. x x 5,89 x 3,400... cm Kuution tilavuus on 3 3 V 3,400... 3,400... 3,400... 39,34... cm 39,3 cm Oikea vastaus on c.
35. Piirretään poikkileikkauskuva. r r Merkitään kuution sivun pituutta r, tällöin ympyrälieriön pohjan säde on r. Kuution tilavuus on Vkuutio rrr 8r 3 Lieriön tilavuus on Vlieriö r r r 3 Lasketaan, kuinka monta prosenttia lieriön tilavuus on kuution tilavuudesta. V V lieriö kuutio 3 r 0,785... 0,79 79 % 3 8r Oikea vastaus on a.
36. Pituuksien suhde on mittakaava. Merkitään juoksurataa kartalla kirjaimella x. x 1 4, 400 000 x 0,0000105 km 0,0105 m 1,05 cm Oikea vastaus on b.
37. Lasketaan teltan säteen r pituus kehän pituuden avulla. 180 r 3,8 360 r 1,09... m Puolipallon tilavuus on puolet pallon tilavuudesta. Teltan tilavuus on V 1 4 (1,09... m) 3,706... m 3,7 m 3 3 3 3 Oikea vastaus on b.
38. 18 cm 1,5 cm α 5 cm 5 cm Pyramidin korkeusjana, sivutahkon korkeusjana ja puolet pohjasivun pituudesta muodostavat suorakulmaisen kolmion lasketaan tangentin avulla kulman α suuruus. 18 tan 1,5 55,... 55 Oikea vastaus on a.
39. Piirretään mallikuva. 5,0 cm 6,0 cm h 4x 5x Merkitään kolmion kannan pituuksia 4x ja 5x. Kolmion korkeusjana leikkaa kolmiosta kaksi suorakulmaista kolmiota. Muodostetaan yhtälöpari Pythagoraan lauseen avulla. 5 (4 x) h 6 (5 x) h 5 (4 x) 6 (5 x) x 11 cm 3 Korkeusjanan pituus on 11 h 5 4 3 h,333... cm,3 cm Oikea vastaus on b.