Frobeniuksen menetelmä

Pro Gradu -tutkielma Frobeniuksen menetelmä Tekijä: Mika Ylisirniö Ohjaaja: Mika Koskenoja 5. joulukuuta 2014

Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Mika Ylisirniö Työn nimi / Arbetets titel Title Frobeniuksen menetelmä Oppiaine /Läroämne Subject Matematiikka Työn laji/arbetets art Level Pro gradu -tutkielma Aika/Datum Month and year Joulukuu 2014 Sivumäärä/ Sidoantal Number of pages 41 s. Tiivistelmä/Referat Abstract Potenssisarjamenetelmällä on mahdollista ratkaista differentiaaliyhtälöitä potenssisarjayritteellä niiden säännöllisten pisteiden ympäristöissä. Menetelmä on mahdollista yleistää Frobeniuksen menetelmäksi, jonka avulla differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen onnistuu yleistetyllä potenssisarjayritteellä myös yhtälöiden singulaaristen pisteiden ympäristöissä, kun singulaariset pisteet eivät ole luonteeltaan oleellisia. Työn tarkoituksena on esitellä ja johtaa Frobeniuksen menetelmä vaiheittain ja vahvistaa sillä löydettyjen ratkaisujen oikeellisuus. Työssä keskitytään vain toisen kertaluvun, lineaarisiin ja homogeenisiin differentiaaliyhtälöihin, joiden kaikki funktiot ovat reaaliarvoisia. Aluksi työssä kerrataan muutamia menetelmän johdossa vaadittavia analyysin määritelmiä ja tuloksia esitiedoiksi oletettujen lähteiden pohjalta. Työn toisessa luvussa menetelmän pohjustukseksi tutustutaan Cauchy-Eulerin yhtälöihin ja luokitellaan yhtälön singulaariset pisteen heikkoihin ja vahvoihin erikoispisteisiin. Osoittautuu, että näistä oleellisia ovat vahvat erikoispisteet ja Frobeniuksen menetelmällä yhtälöiden ratkaiseminen onnistuu heikkojen erikoispisteiden ympäristöissä. Luvun lopuksi johdetaan testi erikoispisteiden luonteelle pisteiden luokittelun helpottamiseksi. Työn kolmannessa luvussa menetelmän motivoimiseksi esitetään lyhyt, suuntaa-antava kuvaus siitä, miten Frobenius alun perin sai idean menetelmäänsä, minkä jälkeen siirrytään työn päätavoitteeseen eli Frobeniuksen menetelmän johtamiseen. Menetelmän johtaminen etenee vaiheittain ja johtamisen aikana löydetyt tulokset kootaan lauseiksi. Johtamisen päätteeksi esitetään muutamia yleisiä huomioita menetelmän käytöstä. Työn lopuksi viimeisessä luvussa annetaan yksinkertainen esimerkki differentiaaliyhtälön ratkaisemisesta menetelmän avulla. Työn päälähteenä on Kenneth Howellin teos Ordinary Differential Equations, An Introduction to the Fundamentals (2014), joka on toistaiseksi internetistä vapaasti luettavissa. Työn toisena tärkeänä lähteenä on R. Kent Naglen, Edward B. Saffin ja Arthur David Sniderin teos Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems (2008).. Avainsanat Nyckelord Keywords Frobenius, differentiaaliyhtälö, erikoispiste, analyyttisyys, potenssisarja, rekursiokaava Säilytyspaikka Förvaringställe Where deposited Kumpulan tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information

Sisältö 1 Pohjatietoa 4 2 Menetelmän pohjustukseksi 7 2.1 Cauchy-Eulerin yhtälö................................... 7 2.2 Heikko ja vahva erikoispiste................................ 10 2.2.1 Testi erikoispisteiden luonteelle.......................... 11 3 Frobeniuksen menetelmä 15 3.1 Menetelmän motivointi................................... 15 3.2 Menetelmä vaiheittain................................... 16 3.2.1 Yleisiä huomioita.................................. 18 3.2.2 Indeksiyhtälö.................................... 20 3.2.3 Yleisempi rekursiokaava ja suppenemislause................... 22 3.2.4 Rekursiokaavan käytöstä.............................. 25 3.2.5 Toinen ratkaisu tapauksessa r 2 = r 1........................ 27 3.2.6 Toinen ratkaisu tapauksessa r 1 r 2 = K..................... 30 3.3 Menetelmän yhteenvedoksi................................. 34 3.4 Huomioita menetelmän käytöstä.............................. 35 3.4.1 Ratkaisut, kun eksponentit ovat kokonaislukuja................. 35 3.4.2 Kompleksiset eksponentit............................. 36 4 Esimerkki 38 2

Johdanto Graduni on suoraa jatkoa kandidaatintutkielmalleni, jonka laadin dierentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta niiden säännöllisten pisteiden ympäristöissä potenssisarjamenetelmällä. Dierentiaaliyhtälön säännöllisen pisteen suhteen kehitetyn potenssisarjaratkaisun osasummat tarjoavat varsin tarkkoja approksimaatioita yhtälön ratkaisuille kyseisen säännöllisen pisteen ympäristössä. Nämä potenssisarjat suppenevat kuitenkin yleensä hitaammin ja hitaammin, kun siirrymme kauemmas säännöllisestä pisteestä ja lähestymme yhtälön singulaarista pistettä. Potenssisarjaratkaisut kertovatkin yleensä hyvin vähän yhtälön ratkaisuista singulaaristen pisteiden lähettyvillä. Joissakin sovelluksissa yhtälön ratkaisujen käyttäyminen singulaaristen pisteiden lähettyvillä voi olla kuitenkin varsin merkittävässä asemassa. Onneksi monissa sovelluksissa singulaarinen piste ei ole luonteeltaan "oleellinen". Tällöin potenssisarjamenetelmää on mahdollista yleistää Frobeniuksen menetelmäksi, joka tuottaa "yleistettyjä potenssisarjaratkaisuja" yhtälön singulaaristen pisteiden ympäristöissä. Työni tarkoituksena on esitellä Frobeniuksen menetelmä vaiheittain ja vahvistaa sillä löydettyjen ratkaisujen oikeellisuus. Ensimmäisessä luvussa kertaamme muutamia menetelmän johdossa tarvittavia analyysin määritelmiä ja tuloksia. Toisessa luvussa tutkimme menetelmän pohjustukseksi Cauchy-Eulerin yhtälöitä, luokittelemme dierentiaaliyhtälön singulaariset pisteet heikkoihin ja vahvoihin erikoispisteisiin sekä johdamme testin singulaaristen pisteiden luonteelle. Kolmannessa luvussa keskitymme työni päätavoitteeseen eli Frobeniuksen menetelmän johtamiseen ja validointiin. Työni viimeisessä luvussa katsomme esimerkin avulla, miten Frobeniuksen menetelmä toimii käytännössä dierentiaaliyhtälön ratkaisemisessa. Seuraan tutkielmani pääasiallisena lähteenä Kenneth Howellin luentomonistetta/e-kirjaa "Ordinary Dierential Equations, An Introduction to the Fundamentals" [4]. Howellin teoksen mukaisesti keskityn työssäni vain dierentiaaliyhtälöihin, joiden kaikki funktiot ovat reaaliarvoisia. Tämän valinnan seurakseni työni vaatimat pohjatiedot pysyvätkin varsin pieninä. Oletan lukijan omaavan perustiedot analyysistä ja dierentiaaliyhtälöistä lähteiden [1] ja [2] tasolla. Toisaalta Frobeniuksen menetelmä liittyy vahvasti funktioiden analyyttisyyteen ja yleistyy helposti kompleksiarvoisille funktioille. Reaaliarvoisiin funktioihin keskittymisen hintana onkin useiden tarkastelujen venyminen huomattavasti pidemmiksi kuin kompleksiarvoisilla funktioilla. Vahvat kompleksianalyysin perustiedot omaavien lukijoiden kannattaakin tutustua esimerkiksi teokseen [5], josta Frobeniuksen menetelmän johto kompleksiarvoisille funktioille löytyy varsin lyhyessä ja tiiviissä muodossa. 3

1 Pohjatietoa Esitän tässä luvussa muutamia Frobeniuksen menetelmän johdossa tarvittavia määritelmiä ja tuloksia. Useimpien näistä pitäisi olla tuttuja analyysin peruskursseilta. Lause 1.1. Jos sarja k=1 x k suppenee, niin lim k x k = 0. Todistus. [1] Koska k x k suppenee, niin S n = n k=1 x k S R, kun n. Jos n 2, niin x n = S n S n 1 S S = 0. n Lause 1.2. Jos sarjat x k ja y k suppenevat, x k = X R, y k = Y R, ja a, b R, niin sarja a x k + b y k suppenee ja sen summa on ax + by. Todistus. [1] n (ax k + by k ) = a n x k + b n y k ax + by. n Määritelmä 1.3. (Cauchyn tulo). Sarjojen x k ja y k Cauchy-tulo on sarja z k, missä ja yleisesti z 0 = x 0 y 0, z 1 = x 0 y 1 + x 1 y 0, z 2 = x 0 y 2 + x 1 y 1 + x 2 y 0 z k = x 0 y k + x 1 y k 1 + + x k y 0 = k x i y k i = x i y j. Lause 1.4. (Mertensin lause). Jos x k suppenee itseisesti, y k suppenee ja x k = X R, y k = Y R, niin Cauchy-tulo z k suppenee ja z k = XY. Jos myös x k suppenee itseisesti, niin z k suppenee itseisesti. Todistus. Ks. esim. [1], III.4.Lause 4.2 Määritelmä 1.5. Funktioterminen sarja i=0 a k (x x 0 ) k, missä a 0, a 1, R ja x 0 R ovat vakioita, on potenssisarja, jonka kertoimet ovat luvut a 0, a 1,... ja kehityskeskus on x 0. i+j=k 4

Lause 1.6. Potenssisarjan f(x) = a k(x x 0 ) k, jonka suppenemissäde on R, summafunktiolla f on välillä ]x 0 R, x 0 + R[ kaikkien kertalukujen derivaatat, jotka saadaan derivoimalla termeittäin eli f (n) (x) = k(k 1)... (k n + 1)a k (x x 0 ) k n kaikilla x ]x 0 R, x 0 + R[, n N. k=n Todistus. Ks. esim. [1], V.2.Lause 2.5. Korollaari 1.7. (Potenssisarjan yksikäsitteisyys). Jos potenssisarjat a k(x x 0 ) k ja b k(x x 0 ) k suppenevat ja esittävät samaa funktiota jossain pisteen x 0 ympäristössä, niin a k = b k kaikilla k. Määritelmä 1.8. Funktio f on analyyttinen pisteessä x 0, jos jollakin pisteen x 0 sisältävällä avoimella välillä funktio voidaan esittää potenssisarjana f(x) = a k (x x 0 ) k, jolla on positiivinen suppenemissäde. Funktio f on analyyttinen alueessa D, jos se on analyyttinen kaikissa pisteissä x 0 D. Lemma 1.9. Olkoon f pisteessä z 0 analyyttinen funktio. Tällöin on olemassa ei-negatiivinen kokonaisluku m s.e. f(z) = (z z 0 ) m f 0 (z), missä f 0 on pisteessä z 0 analyyttinen funktio ja f 0 (z 0 ) 0. Lisäksi 1. f(z 0 ) = 0, jos ja vain jos m > 0, 2. funktioiden f ja f 0 potenssisarjoilla pisteen z 0 suhteen on sama suppenemissäde. Todistus. Ks. esim. [4], lemma 29.13. Lemma 1.10. Olkoon F (z) ja A(z) kaksi pisteessä z 0 analyyttistä funktiota. Tällöin niiden osamäärä F/A on myös analyyttinen pisteessä z 0, jos ja vain jos on äärellinen. F (z) lim z z 0 A(z) Todistus. Ks. esim. [4], korollaaria 31.19 edeltävät huomiot. Toisen kertaluvun homogeeninen, lineaarinen dierentiaaliyhtälö on muotoa (1.11) u + p(x)u + q(x)u = 0, jossa u = u(x) on tuntematon yhden muuttujan funktio ja p ja q ovat tunnettuja yhden muuttujan funktioita. 5

Lause 1.12. (Superpositioperiaate). Jos funktiot y 1 ja y 2 ovat homogeeniyhtälön (1.11) ratkaisuja ja c 1 sekä c 2 vakioita, niin myös funktio y = c 1 y 1 + c 2 y 2 on sen ratkaisu. Todistus. [2] Olkoon L lineaarinen operaattori, jonka yhtälön (1.11) vasen puoli määrittelee, eli Ly = y + p(x)y + q(x)y. Koska Ly 1 = Ly 2 = 0, niin Ly = L[c 1 y 1 + c 2 y 2 ] = c 1 Ly 1 + c 2 Ly 2 = c 1 0 + c 2 0 = 0. Määritelmä 1.13. Piste x 0 on yhtälön (1.11) säännöllinen piste, jos sekä p että q ovat analyyttisiä pisteessä x 0. Jos piste x 0 ei ole säännöllinen piste, se on yhtälön singulaarinen piste. Määritelmä 1.14. Funktiot y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I, jos ja vain jos välillä I kumpaakaan niistä ei saada toisesta vakiolla kertomalla. Funktiot y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippuvia välillä I, jos toinen saadaan vakiolla kertomalla (mukaanlukien nollalla) toisesta välillä I. 6

2 Menetelmän pohjustukseksi Frobeniuksen menetelmän pohjustukseksi tutkimme ensin Cauchy-Eulerin toisen kertaluvun dierentiaaliyhtälöitä. Myöhemmin monet Frobeniuksen menetelmän johdossa seuraamamme vaiheet perustuvat Cauchy-Eulerin yhtälöiden ratkaisuista tekemiimme havaintoihin. Tämän luvun Cauchy-Eulerin yhtälöä koskevat tarkastelut perustuvat enimmäkseen lähteeseen [6]. Cauchy-Eulerin yhtälöiden jälkeen tarkennamme singulaaristen pisteiden määritelmää heikoiksi ja vahvoiksi erikoispisteiksi, sekä todistamme lauseen, jonka avulla singulaarisia pisteitä on mahdollista luokitella. 2.1 Cauchy-Eulerin yhtälö Cauchy-Eulerin toisen kertaluvun, homogeeniset dierentiaaliyhtälöt ovat muotoa (2.1) α 0 x 2 y (x) + β 0 xy (x) + γ 0 y(x) = 0, jossa α 0 ( 0), β 0 ja γ 0 ovat reaalisia vakioita. Saattamalla Cauchy-Eulerin yhtälö standardimuotoon (1.11) y (x) + p(x)y (x) + q(x) = 0, jossa p(x) = β 0 /(α 0 x) ja q(x) = γ 0 /(α 0 x) 2, nähdään, että piste x 0 = 0 on yhtälön (2.1) singulaarinen piste. Cauchy-Eulerin yhtälön ratkaisut ovat muotoa y = x r, jossa r on määrättävä vakio. Olkoon L dierentiaalioperaattori, jonka yhtälön (2.1) vasen puoli määrittelee eli Ly = α 0 x 2 y + β 0 xy + γ 0 y. Merkitsimme yritettä w(r, x) := x r. Sijoittamalla yrite w(r, x) yhtälöön (2.1) tuntemattoman funktion y(x) paikalle, saamme L[w](x) = α 0 x 2 [r(r 1)x r 2 ] + β 0 x[rx r 1 ] + γ 0 [x r ] = α 0 r(r 1)x r + β 0 rx r + γ 0 x r = {α 0 r 2 + (β 0 α 0 )r + γ 0 }x r. Näemme, että yrite w = x r on yhtälön (2.1) ratkaisu, jos ja vain jos r toteuttaa yhtälön (2.2) α 0 r 2 + (β 0 α 0 )r + γ 0 = 0. Kyseistä yhtälöä kutsutaan yhtälön (2.1) karakteristiseksi yhtälöksi. Hieman yleistäen siirretty Cauchy-Eulerin yhtälö on muotoa (2.3) α 0 (x x 0 ) 2 y + β 0 (x x 0 )y + γ 0 y = 0, 7

jossa α 0 ( 0), β 0, γ 0 ja x 0 ovat reaalisia vakioita. Piste x 0 on tämän yhtälön ainoa singulaarinen piste ja yhtälö (2.1) on siirretty Cauchy-Eulerin yhtälö, kun x 0 = 0. Tämä hieman yleistetty Cauchy-Eulerin yhtälö ratkaistaan yleistämällä tavallisen Cauchy-Eulerin yhtälön ratkaisua, eli yritteellä w(r, x) = (x x 0 ) r. Sijoittamalla tämä yleistettyyn Cauchy-Eulerin yhtälöön päädytään lopulta samaan karakteriseen yhtälöön kuin tavallisen Cauchy-Eulerin yhtälön tapauksessa. Kaksi erisuurta reaalijuurta Kun karakteristisella yhtälöllä (2.2) on kaksi reaalijuurta r 1 r 2, pätee L[w](x) = a(r r 1 )(r r 2 )(x x 0 ) r, mistä seuraa, että yhtälöllä (2.3) on kaksi ratkaisua, ainakin kun x > x 0, muotoa (2.4) y 1 (x) = w(r 1, x) = (x x 0 ) r 1, y 2 (x) = w(r 2, x) = (x x 0 ) r 2, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia. Kun x < x 0, termi (x x 0 ) r voi olla kompleksiarvoinen (tai ei-määritelty), jos r ei ole kokonaisluku. Esimerkiksi (x x }{{} 0 ) 1 2 = ( x x0 ) 1 1 2 = ( 1) 2 x x0 1 2 = ±i x x0 1 2. <0 Yleisemmin (x x 0 ) r = ( x x 0 ) r = ( 1) r x x 0 r, kun x < x 0. Kerroin ( 1) r voidaan kuitenkin nähdä (mahdollisesti kompleksisena) vakiona ja se voidaan sulauttaa mielivaltaiseen vakioon yhtälömme yleisessä ratkaisussa y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x). Täten lopullisessa kaavassa funktiolle y(x) termi (x x 0 ) r voidaan korvata termillä x x 0 r, jolloin vältytään kompleksiarvoisita ilmauksilta, ainakin niissä tapauksissa, joissa eksponentti r ei ole kompleksinen. Kompleksiset juuret Kun r 1 ja r 2 ovat kompleksikonjugaatteja, λ ± iω, voimme käyttää Eulerin kaavaa ilmaistaksemme e iθ = cos θ + i sin θ x x 0 λ+iω = e (λ+iω) ln x x 0 = e λ ln x x 0 [cos(ω ln x x 0 ) + i sin(ω ln x x 0 )] = x x 0 λ [cos(ω ln x x 0 ) + i sin(ω ln x x 0 )]. 8

Superpositioperiaatteen 1.12 mukaan myös reaalifunktiot y 1 (x) = 1 2 (er 1 ln x x 0 + e r 2 ln x x 0 ) = 1 2 (e(λ+iω) ln x x 0 + e (λ iω) ln x x 0 ) (2.5) = x x 0 λ cos(ω ln x x 0 ), y 2 (x) = 1 2i (er 1 ln x x 0 e r 2 ln x x 0 ) = x x 0 λ sin(ω ln x x 0 ) ovat yhtälön (2.1) ratkaisuja. Ratkaisut (2.4) voidaan siis korvata kahdella lineaarisesti riippumattomalla reaaliratkaisulla (2.5). Kaksoisjuuri Jos r 0 on karakteristisen yhtälön (2.2) kaksoisjuuri, niin (2.6) L[w](x) = a(r r 0 ) 2 (x x 0 ) r. Asettamalla r = r 0, saamme ratkaisun y 1 (x) = w(r 0, x) = (x x 0 ) r 0, jonka aiemman perusteella voimme korvata ratkaisulla y 1 (x) = x x 0 r. Toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu löydetään huomaamalla, että (2.7) r L[w](x) = {a(r r 0 ) 2 (x x 0 ) r ln x x 0 + 2a(r r 0 )(x x 0 ) r } = 0. r=r0 r=r0 Funktiolla w(r, x) = (x x 0 ) r on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat muuttujien x ja r suhteen, joten vektorianalyysistä tutun tuloksen perusteella (ks. esim. [3], lause 2.8.3) 3 w r x 2 = Täten dierentiaalioperaattorille L pätee 3 w x 2 r, 2 w r x = 2 w x r. r L[w] = 2 w r {ax2 x + bx w 2 x + cw} = ax 2 3 w r x + bx 2 w 2 r x + c w r = ax 2 3 w x 2 r + bx 2 w x r + c w [ ] r w = L r 9

eli operaattorit / r ja L ovat vaihdannaiset. Tämän avulla yhtälö (2.7) voidaan kirjoittaa muodossa [ ] w L = 0, r r=r 0 eli toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu on (2.8) y 2 (x) = w r (r 0, x) = r [(x x 0) r ] = (x x 0 ) r 0 ln x x 0, x > x 0, r=r0 joka edelleen voidaan korvata ratkaisulla y 2 (x) = x x 0 r 0 ln x x 0. 2.2 Heikko ja vahva erikoispiste Tarkastellaan yleistä, toisen kertaluvun, lineaarista, homogeenista dierentiaaliyhtälöä (2.9) ay (x) + by (x) + cy(x) = 0, missä a, b ja c ovat tunnettuja yhden muuttujan reaaliarvoisia funktioita. Määritelmä 2.10. Frobeniuksen analyyttisyyssäde pisteen z 0 suhteen on etäisyys tarkasteltavasta pisteestä z 0 lähimpään singulaariseen pisteeseen z s ( z 0 ) olettaen, että tällainen piste on olemassa. Jos tällaista pistettä z s ei ole olemassa, Frobeniuksen analyyttisyyssäde on. Olkoon piste x 0 reaalisuoralla yhtälön (2.9) singulaarinen piste. Sanomme, että piste x 0 on yhtälön heikko erikoispiste, jos ja vain jos dierentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa (2.11) (x x 0 ) 2 α(x)y + (x x 0 )β(x)y + γ(x)y = 0, missä funktiot α, β, ja γ ovat analyyttisiä pisteessä x 0 ja α(x 0 ) 0. Yllä olevaa muotoa kutsutaan annetun dierentiaaliyhtälön kvasi-eulerin muodoksi pisteen x 0 suhteen ja siirrettyä Eulerin yhtälöä (2.12) (x x 0 ) 2 α 0 y + (x x 0 )β 0 y + γ 0 y = 0, missä (2.13) α 0 = α(x 0 ), β 0 = β(x 0 ) ja γ 0 = γ(x 0 ), kutsutaan yhtälöön liittyväksi (siirretyksi) Eulerin yhtälöksi pisteen x 0 suhteen. Jos dierentiaaliyhtälöä ei voida kirjoittaa kvasi-eulerin muodossa pisteen x 0 suhteen, sanomme, että piste x 0 on dierentiaaliyhtälön vahva erikoispiste. Käytännössä yhtälön saattaminen kvasi-eulerin muotoon voi olla vaikeaa, varsinkin jos yhtälön kertoimet ovat monimutkaisia. Tällöin emme voi olla varmoja, onko tarkastelemamme piste todellakin vahva erikoispiste, vai emmekö vain saaneet muutettua yhtälöä kvasi-eulerin muotoon. Onneksi on olemassa testi, jonka avulla on varsin helppoa ja nopeaa testata, onko singulaarinen piste heikko vai vahva erikoispiste. 10

2.2.1 Testi erikoispisteiden luonteelle Saamme johdettua testin singulaarisen pisteen luonteelle aluksi olettamalla, että piste x 0 todellakin on yhtälön (2.9) heikko erikoispiste. Määritelmän nojalla yhtälö voidaan tällöin kirjoittaa kvasi-eulerin muodossa (2.11), missä funktiot α, β ja γ ovat analyyttisiä pisteessä x 0 ja α(x 0 ) 0. Jakamalla kumpikin näistä dierentiaaliyhtälöistä (2.9) ja (2.11) niiden toisen asteen termin kertoimella muuntaa yhtälöt muotoon y + b(x) a(x) y + c(x) a(x) y = 0 ja y + β(x) γ(x) (x x 0 )α(x) y + (x x 0 ) 2 α(x) y = 0. Nämä yhtälöt kuvaavat samaa dierentiaaliyhtälöä ja niiden toisen asteen termien kertoimet ovat samoja, joten myös loppujen kertoimien on oltava samoja eli Yhtäpitävästi b(x) a(x) = β(x) (x x 0 )α(x) ja c(x) a(x) = γ(x) (x x 0 ) 2 α(x). (x x 0 ) b(x) a(x) = β(x) α(x) ja (x x 0) 2 c(x) a(x) = γ(x) α(x). Funktiot α, β ja γ ovat analyyttisiä pisteessä x 0, jolloin ne ovat muotoa α(x) = a k (x x 0 ) k, β(x) = b k (x x 0 ) k, γ(x) = c k (x x 0 ) k ja α(x 0 ) 0, joten saamme, että raja-arvot ja lim (x x 0 ) b(x) x x 0 a(x) = lim β(x) x x 0 α(x) = β(x 0) α(x 0 ) lim (x x 0 ) 2 c(x) x x 0 a(x) = lim γ(x) x x 0 α(x) = γ(x 0) α(x 0 ) ovat äärellisiä. Siis pisteen x 0 ollessa yhtälön heikko erikoispiste edelliset raja-arvot ovat äärellisiä. Toisaalta, jos edelliset raja-arvot eivät ole äärellisiä, piste x 0 ei voi olla yhtälön heikko erikoispiste. Tästä saamme seuraavan testin erikoispisteiden luonteelle Lemma 2.14. Olkoon piste x 0 reaalisuoralla yhtälön a(x)y + b(x)y + c(x)y = 0 11

singulaarinen piste. Jos raja-arvot lim (x x 0 ) b(x) x x 0 a(x) ja lim (x x 0 ) 2 c(x) x x 0 a(x) ovat molemmat äärellisiä, piste x 0 on dierentiaaliyhtälön heikko erikoispiste. Edellinen lemma on vain testi erikoispisteiden luonteelle. Se voidaan laajentaa seuraavaksi riittäväksi ehdoksi kvasi-eulerin muodolle hieman laajentamalla oletuksiamme dierentiaaliyhtälön kerroinfunktioista a, b ja c. Lemma 2.15. Olkoon a, b ja c osamääriä pisteessä x 0 analyyttisistä funktioista, ja olkoon x 0 singulaarinen piste reaalisuoralla dierentiaaliyhtälölle (2.16) a(x)y + b(x)y + c(x)y = 0. Jos raja-arvot lim (x x 0 ) b(x) x x 0 a(x) ja lim (x x 0 ) 2 c(x) x x 0 a(x) ovat molemmat äärellisiä, niin dierentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa kvasi-eulerin muodossa (x x 0 ) 2 α(x)y + (x x 0 )β(x)y + γ(x)y = 0, missä α, β ja γ ovat pisteessä x 0 analyyttisiä funktioita ja α(x 0 ) 0. Todistus. Koska a, b ja c ovat osamääriä analyyttisistä funktioista, voimme kertoa yhtälön (2.16) kerroinfunktioiden nimittäjillä, jolloin saamme dierentiaaliyhtälön, jonka kaikki kertoimet ovat pisteessä x 0 analyyttisiä funktioita. Tämän jälkeen voimme käyttää lemmaa 1.9 jakaaksemme kertoimet tekijöihin termien (x x 0 ) suhteen, jolloin saamme yhtälön muotoa (2.17) (x x 0 ) k A(x)y + (x x 0 ) m B(x)y + (x x 0 ) n C(x)y = 0, missä A, B ja C ovat pisteessä x 0 analyyttisiä funktioita, joille pätee A(x 0 ) 0, B(x 0 ) 0 ja C(x 0 ) 0, ja k, m ja n ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, joista yhden täytyy olla nolla, koska voimme jakaa yhtälöstä pienimmän eksponentin verran kertoimia (x x 0 ) pois. Lisäksi, koska (2.17) kuvaa samaa dierentiaaliyhtälöä kuin (2.16) ja piste x 0 on oletuksena tämän yhtälön singulaarinen piste, täytyy olla k 1. Täten m = 0 tai n = 0. Kun jaamme yhtälöt (2.16) ja (2.17) niiden toisen asteen termien kertoimilla, saamme y + b(x) a(x) y + c(x) a(x) y = 0 12

ja y m k B(x) + (x x 0 ) A(x) y n k C(x) + (x x 0 ) A(x) y = 0. Nämä yhtälöt kuvaavat samaa dierentiaaliyhtälöä ja niiden toisen asteen termien kertoimet ovat samoja, joten myös loppujen kertoimien on oltava samoja Täten ja b(x) a(x) = (x x m k B(x) 0) A(x) c(x) ja a(x) = (x x n k C(x) 0) A(x). lim (x x 0 ) b(x) x x 0 a(x) = lim m+1 k B(x) (x x 0 ) x x 0 A(x) = lim (x x 0 ) m+1 k B(x 0) x x 0 A(x 0 ) lim (x x 0 ) 2 c(x) x x 0 a(x) = lim n+2 k C(x) (x x 0 ) x x 0 A(x) = lim (x x 0 ) n+2 k C(x 0) x x 0 A(x 0 ). Lauseemme alkuoletuksen nojalla vasemmanpuoleiset raja-arvot ovat äärellisiä, ja jotta yhtälöiden oikean puolen raja-arvot olisivat äärellisiä, eksponenttien täytyy olla suurempia tai yhtä suuria kuin nolla. Tämä yhdistettynä tiedolla k 1 tarkoittaa, että (2.18) m + 1 k 1 ja n + 2 k 1. Mutta m, n ja k ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja m = 0 tai n = 0. Jäljelle jää kolme mahdollisuutta: 1. Jos m = 0, ensimmäinen epäyhtälö on muotoa 1 k 1 eli k = 1. Yhtälö (2.17) on tällöin muotoa (x x 0 ) 1 A(x)y + B(x)y + (x x 0 ) n C(x)y = 0. Kun kerromme yhtälön termillä (x x 0 ), saamme yhtälön muotoon missä α, β ja γ ovat analyyttisiä funktioita (x x 0 ) 2 α(x)y + (x x 0 )β(x)y + γ(x)y = 0, α(x) = A(x), β(x) = B(x) ja γ(x) = (x x 0 ) n+1 C(x). 2. Jos n = 0, toinen epäyhtälö on muotoa 2 k 1, eli k = 1 tai k = 2: a) Jos k = 1, niin yhtälö (2.17) on muotoa joka voidaan kirjoittaa muodossa (x x 0 ) 1 A(x)y + (x x 0 ) m B(x)y + C(x)y = 0, (x x 0 ) 2 α(x)y + (x x 0 )β(x)y + γ(x)y = 0, missä α, β ja γ ovat pisteessä x 0 analyyttisiä funktioita α(x) = A(x), β(x) = (x x 0 ) m B(x) ja γ(x) = (x x 0 )C(x). 13

b) Jos k = 2, niin toinen epäyhtälö on muotoa m + 1 2. Täten m 1. Tällöin yhtälö (2.17) on muotoa (x x 0 ) 2 A(x)y + (x x 0 ) m B(x)y + C(x)y = 0, joka on sama kuin (x x 0 ) 2 α(x)y + (x x 0 )β(x)y + γ(x)y = 0, missä α, β ja γ ovat pisteessä x 0 analyyttisiä funktioita α(x) = A(x), β(x) = (x x 0 ) m 1 B(x) ja γ(x) = C(x). Voimme siis kaikissa tapauksissa kirjoittaa dierentiaaliyhtälömme kvasi-eulerin muodossa (x x 0 ) 2 α(x)y + (x x 0 )β(x)y + γ(x)y = 0, missä α, β ja γ ovat pisteessä x 0 analyyttisiä funktioita ja α(x 0 ) = A(x 0 ) 0. Yhdistämällä lemmat 2.14 ja 2.15 saamme seuraavan lauseen. Lause 2.19. Olkoon x 0 singulaarinen piste reaalisuoralla dierentiaaliyhtälölle a(x)y + b(x)y + c(x)y = 0, missä a, b, ja c ovat osamääriä pisteessä x 0 analyyttisistä funktioista. Tällöin x 0 on yhtälön heikko erikoispiste, jos ja vain jos raja-arvot lim (x x 0 ) b(x) x x 0 a(x) ja lim (x x 0 ) 2 c(x) x x 0 a(x) ovat molemmat äärellisiä. Lisäksi, jos x 0 on dierentiaaliyhtälön heikko erikoispiste, niin dierentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa kvasi-eulerin muodossa (x x 0 ) 2 α(x)y + (x x 0 )β(x)y + γ(x)y = 0, missä α, β ja γ ovat pisteessä x 0 analyyttisiä funktioita ja α(x 0 ) 0. 14

3 Frobeniuksen menetelmä Tässä luvussa keskitymme työni päätavoitteeseen eli Frobeniuksen menetelmän johtamiseen. Pyrin aluksi menetelmän motivoimiseksi lyhyesti kuvaamaan, miten Frobenius (1849-1917) alunperin sai idean menetelmäänsä. Kuvauksen on tarkoitus olla suuntaa-antava, emmekä pyri täydelliseen matemaattiseen täsmällisyyteen. Tämän jälkeen siirrymme johtamaan menetelmää vaiheittain yleiselle toisen kertaluvun, lineaariselle ja homogeeniselle dierentiaaliyhtälölle. Kokoamme menetelmää johtaessamme saamamme tulokset lauseiksi ja lopuksi esitämme muutamia yleisiä huomioita menetelmästä. Kaikki tämän luvun tarkastelut perustuvat työni päälähteeseen [4], tarkemmin lukuihin 32 ja 34. Olen pyrkinyt tiivistämään lähteen laajaa kuvausta aiheesta ja toisaalta koettanut lisätä selkeyttäviä kommentteja kohtiin, jotka itseäni ovat aluksi mietityttäneet. 3.1 Menetelmän motivointi Olkoon meillä toisen kertaluvun, homogeeninen, lineaarinen dierentiaaliyhtälö, jonka heikko erikoispiste on x 0. Tällöin lauseen 2.19 nojalla yhtälö voidaan kirjoittaa kvasi-eulerin muodossa (3.1) (x x 0 ) 2 α(x)y + (x x 0 )β(x)y + γ(x)y = 0, missä α, β ja γ ovat pisteessä x 0 analyyttisiä funktioita ja α(x 0 ) 0. Jatkuvuuden nojalla, kun x x 0, α(x) α 0, β(x) β 0 ja γ(x) γ 0, missä α 0 = α(x 0 ), β 0 = β(x 0 ) ja γ 0 = γ(x 0 ). Frobeniuksen ideana oli, että yhtälön (3.1) ratkaisuita y = y(x) voidaan approksimoida, ainakin kun x x 0, vastaavilla ratkaisuilla alkuperäiseen dierentiaaliyhtälöön liittyvään siirrettyyn Cauchy- Eulerin yhtälöön (x x 0 ) 2 α 0 y + (x x 0 )β 0 y + γ 0 y = 0. Koska osa tämän siirretyn Cauchy-Eulerin yhtälön ratkaisuista ovat muotoa a 0 (x x 0 ) r, jossa a 0 on mielivaltainen vakio ja r on yhtälöön liittyvän karaktiristisen yhtälön α 0 r(r 1) + β 0 r + γ 0 = 0 15

juuri, voidaan olettaa, että ainakin osaa alkuperäisen dierentiaaliyhtälön ratkaisuista voidaan approksimoida muotoa y(x) a 0 (x x 0 ) r olevilla ratkaisuilla pisteen x 0 ympäristössä. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että y(x) (3.2) lim x x0 (x x 0 ) = a 0. r Oletetaan nyt, että y on tunnettu approksimoitu ratkaisu y(x) = a(x)(x x 0 ) r, jossa a(x) on jokin toistaiseksi tuntematon funktio. Raja-arvon (3.2) toteutumiseksi täytyy päteä y(x) a(x 0 ) = lim a(x) = lim x x0 x x0 (x x 0 ) = a 0, r mikä kertoo, että funktion a(x) käyttäytyminen pisteen x 0 läheisyydessä on melko rajoitettua. Funktio a voisi olla jopa analyyttinen, jolloin voimme ilmaista sen pisteen x 0 suhteen kehitettynä potenssisarjana a(x) = a k (x x 0 ) k, jossa mielivaltainen vakio a 0 on ensimmäisenä terminä. Tämän jälkeen pystymme ehkä ratkaisemaan loput kertoimet a k kertoimen a 0 suhteen. Tämä on Frobeniuksen menetelmän lähtökohta: Lähdemme etsimään ratkaisua "yleistetyllä potenssisarjayritteellä" muotoa y(x) = (x x 0 ) r a k (x x 0 ) k, missä eksponentti r ja kertoimet a k on ratkaistava ja ensimmäinen kerroin a 0 on mielivaltainen. 3.2 Menetelmä vaiheittain Haluamme löytää ratkaisut toisen kertaluvun, homogeeniseen, lineaariseen dierentiaaliyhtälöön a(x)y + b(x)y + c(x)y = 0 heikon erikoispisteen x 0 ympäristössä, kun a, b ja c ovat reaaliarvoisia analyyttisiä funktioita. Oletetaan lisäksi, että yhtälön Frobeniuksen analyyttisyyssäde pisteen x 0 suhteen on R. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että x 0 = 0, sillä vastaavat tulokset origosta poikkeaville erikoispisteille saadaan sijoituksella X = x x 0. Kun vielä muistamme Cauchy-Eulerin yhtälön ratkaisuita koskevat huomiot 2.1 tapauksessa x < x 0, voimme jatkossa keskittyä tarkastelemaan mahdollisia ratkaisuja välillä (0, R). 16

Alkuaskel 1 Koska oletamme, että piste x 0 = 0 on dierentiaaliyhtälömme heikko erikoispiste, yhtälö voidaan kirjoittaa tämän pisteen suhteen kvasi-eulerin muodossa (3.3) x 2 α(x)y + xβ(x)y + γ(x)y = 0, missä α, β ja γ ovat pisteen x 0 = 0 suhteen analyyttisiä funktioita ja α(0) 0. Jakamalla kvasi-eulerin yhtälö puolittain funktiolla α, saamme yhtälön muotoon (3.4) x 2 y + xp (x)y + Q(x)y = 0, missä P (x) = β(x) α(x) γ(x) ja Q(x) = α(x). Lemman 1.10 perusteella voimme esittää funktiot P ja Q pisteen x 0 = 0 suhteen kehitettyinä suppenevina potenssisarjoina (3.5a) P (x) = p k x k, kun x < R, ja (3.5b) Q(x) = q k x k, kun x < R. Erityisesti p 0 = P (0) = β(0) α(0) Olkoon lisäksi L lineaarioperaattori ja q 0 = Q(0) = γ(0) α(0). L [y] = x 2 y + xp (x)y + Q(x)y, jolloin voimme kirjoittaa dierentiaaliyhtälömme (3.3) lyhyesti muodossa L [y] = 0. 1. askel. Valitsemme yritteeksi mielivaltaisen, yleistetyn potenssisarjan y(x) = x r c k x k = c k x k+r. 17

2. askel. Laskemme funktiolle y ja y yleistetyt potenssisarjat termeittäin derivoimalla yritefunktion y yleistettyä potenssisarjaa y (x) = c k (k + r)x k+r 1 ja y (x) = c k (k + r 1)(k + r)x k+r 2. 3. askel. Sijoitamme funktioiden y, y ja y sarjat dierentiaaliyhtälöön ja käytämme Cauchyn tuloa sarjojen tulojen laskemiseen. Tarvittaessa muutamme sarjojen indeksejä niin, että saamme kaikki sarjat yhdistettyä yhdeksi isoksi sarjaksi. L [y] = x 2 y + xp (x)y + Q(x)y = x 2 c k (k + r 1)(k + r)x k+r 2 ( ) ( ) ( ) ( ) + x p k x k c k (k + r)x k+r 1 + q k x k c k x k+r = + c k (k + r 1)(k + r)x k+r k c j p k j (j + r)x k+r + [ = x r c k (k + r 1)(k + r) + 3.2.1 Yleisiä huomioita Edellinen yhtälö on muotoa missä L [ x r c k x k ] L k = c k (k + r 1)(k + r) + k c j q k j x k+r ] k c j [p k j ](j + r) + q k j ] x k. = x r L k x k, k c j [p k j (j + r) + q k j ]. 18

Kun k = 0, 0 L 0 = c 0 (0 + r 1)(0 + r) + c j [p 0 j (j + r) + q 0 j ] = c 0 r(r 1) + c 0 [p 0 r + q 0 ] = c 0 [r(r 1) + p 0 r + q 0 ]. Olkoon I vastaava polynomifunktio I(ρ) = ρ(ρ 1) + p 0 ρ + q 0. Tällöin Kun k > 0, L 0 = c 0 I(r). L k = c k (k + r)(k + r 1) + k c j [p k j (j + r) + q k j ] k 1 = c k (k + r)(k + r 1) + c j [p k j (j + r) + q k j ] + c k [p k k (k + r)q k k ] k 1 = c k [(k + r)(k + r 1) + p 0 (k + r) + q }{{} 0 ] + c j [p k j (j + r) + q k j ]. I(k+r) Yhteenvetona saamme lemman Lemma 3.6. Olkoon L dierentiaalioperaattori missä L [y] = x 2 y + xp (x)y + Q(x)y, P (x) = p k x k ja Q(x) = k=1 q k x k. Tällöin muotoa x r k c kx k olevalle yleistetylle potenssisarjalle pätee [ ] ( ) ] k 1 L x r c k x k = x [c r 0 I(r) + c k I(k + r) + c j [p k j (j + r) + q k j ] x k, missä I(ρ) = ρ(ρ 1) + p 0 ρ + q 0. 19

Tavoitteemme on löytää yleistetty potenssisarja joka toteuttaa dierentiaaliyhtälömme y(x) = x r c k x k, kun c 0 0, L [y] = 0. 5. askel Edellistä lemmaa käyttämällä näemme, että dierentiaaliyhtälön toteutumiseksi yleistetylle potenssisarjalle täytyy päteä ( ) ] k 1 x [c r 0 I(r) + c k I(k + r) + c j [p k j (j + r) + q k j ] x k = 0, k=1 mistä termien yksikäsitteisyyslauseen 1.7 nojalla seuraa, että yllä olevassa potenssisarjassa jokaisen termin täytyy olla nollaa eli (3.7a) I(r) = 0 ja k 1 (3.7b) c k I(k + r) + c j [p k j (j + r) + q k j ] = 0, kun k = 1, 2, 3,... Yhtälö (3.7a) on Frobeniuksen menetelmän indeksiyhtälö. 3.2.2 Indeksiyhtälö Aukikirjoitettuna indeksiyhtälö on muotoa (3.8a) r(r 1) + p 0 r + q 0 = 0. Yhtäpitävästi voimme kirjoittaa sen muodoissa (3.8b) r 2 + (p 0 1)r + q 0 = 0, (3.8c) (r r 1 )(r r 2 ) = 0, tai (3.8d) r 2 (r 1 + r 2 )r + r 1 r 2 = 0, missä r 1 ja r 2 ovat indeksiyhtälön juuria (3.9) r 1 = 1 p 0 + (p 0 1) 2 4q 0 2 ja r 2 = 1 p 0 (p 0 1) 2 4q 0, 2 20

joita kutsutaan ratkaisun tai singulariteetin eksponenteiksi. Voimme siis kirjoittaa myös funktion I neljässä eri muodossa: (3.10a) I(ρ) = ρ(ρ 1) + p 0 ρ + q 0 = 0. (3.10b) I(ρ) = ρ 2 + (p 0 1)ρ + q 0 = 0, (3.10c) I(ρ) = (ρ r 1 )(ρ r 2 ) = 0, ja (3.10d) I(ρ) = ρ 2 (r 1 + r 2 )ρ + r 1 r 2 = 0. Jatkossa käytämme funktiolle I kaavaa, joka kyseisessä tapauksessa vaikuttaa sopivimmalta. Lisäksi r 1 ja r 2 tarkoittavat jatkossa aina yllä annettuja indeksiyhtälön juuria. Huomautettakoon, että jos molemmat ovat reaalisia, niin merkitsemme näitä niin, että r 1 r 2. Jos eksponentit eivät ole reaalisia, ei ole väliä kumpi merkitään r 1 :ksi. Vertaamalla funktion I(ρ) toisen ja viimeisen lausekkeen kertoimia nähdään, että Lisäksi p 0 ja q 0 liittyivät dierentiaaliyhtälömme kertoimiin seuraavasti missä p 0 = 1 (r 1 + r 2 ) ja q 0 = r 1 r 2. x 2 α(x)y + xβ(x)y + γ(x)y = 0 p 0 = P (0) = β 0 α 0 ja q 0 = Q(0) = γ 0 α 0, α 0 = α(0), β 0 = β(0) ja γ 0 = γ(0). Näitä kaavoja käyttämällä voimme kirjoittaa indeksiyhtälön ensimmäisen version (3.8a) muodossa josta saamme edelleen r(r 1) + β 0 α 0 r + γ 0 α 0 = 0, α 0 r(r 1) + β 0 r + γ 0 = 0. Tämän huomion sekä edellä olleiden juurien r 1 ja r 2 lausekkeiden (3.9) kanssa olemme saaneet todistettua seuraavan lauseen. Lause 3.11. Olkoon x 0 piste reaalisuoralla. Tällöin x 0 on toisen kertaluvun, lineaarisen, homogeenisen dierentiaaliyhtälön heikko erikoispiste, jos ja vain jos dierentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa (x x 0 ) 2 α(x)y + (x x 0 )β(x)y + γ(x)y = 0, missä α, β ja γ ovat pisteessä x 0 analyyttisiä funktioita ja α(x 0 ) 0. Lisäksi: 21

1. Käytettäessä Frobeniuksen menetelmää yhtälön ratkaisemiseen vastaan tuleva indeksiyhtälö on α 0 r(r 1) + β 0 r + γ 0, missä α 0 = α(x 0 ), β 0 = β(x 0 ) ja γ 0 = γ(x 0 ). 2. Indeksiyhtälöllä on tasan kaksi ratkaisua r 1 ja r 2 (mahdollisesti samoja). Jos α(x 0 ), β(x 0 ) ja γ(x 0 ) ovat kaikki reaaliarvoisia, niin r 1 ja r 2 ovat joko molemmat reaaliarvoisia, tai toistensa kompleksikonjugaatteja. Jatketaan alkuperäisen dierentiaaliyhtälömme ratkaisun etsimistä ja katsotaan seuraavaksi tarkemmin yhdessä indeksiyhtälön kanssa löydettyä kaavaa (3.7b). 6. askel Yhtälö (3.7b) on rekursiokaava yritefunktiomme kertoimille c k kiinnitetyllä eksponentin r arvolla. Voimme kirjoittaa sen muodossa k 1 (3.12) c k I(k + r) = c j [p k j (j + r) + q k j ], kun k = 1, 2, 3,... Jos I(k + r) 0, kun k = 1, 2, 3,..., niin voimme ratkaista yllä olevan yhtälön kertoimien c k suhteen, jolloin saamme yleisen rekursiokaavan (3.13) c k = 1 k 1 c j [p k j (j + r) + q k j ], kun k = 1, 2, 3,.... I(k + r) Tämän avulla voimme laskea kertoimet c k aiemmin laskettujen kertoimien avulla. 3.2.3 Yleisempi rekursiokaava ja suppenemislause Myöhemmin törmäämme rekursiokaavoihin muotoa ( ) 1 k 1 c k = f k c j [p k j (j + r) + q k j ], I(k + r) missä termit f k ovat jonkin välillä ( R, R) suppenevan potenssisarjan kertoimia. Tämä kaava supistuu edellä olleeksi rekursiokaavaksi (3.13), jos kaikki kertoimet f k = 0. Seuraava lause takaa kyseisillä rekursiokaavoilla saatujen potenssisarjojen suppenemisen. 22

Lause 3.14. Olkoon R > 0. Oletetaan, että p k x k, q k x k ja f k x k ovat suppenevia potenssisarjoja, kun x < R ja c k x k on potenssisarja, jonka kertoimille jollakin vakion arvolla ω ja jollakin kokonaisluvulla K 0 pätee ( ) c k = 1 k 1 f k c j [p k j (j + ω) + q k j ], kun k K 0, J(k) missä J on jokin toisen asteen polynomifunktio, joka toteuttaa Tällöin myös k c kx k suppenee, kun x < R. J(k) 0, kun k = K 0, K 0 + 1, K 0 + 2,.... Todistus. Olkoon aluksi x mikä tahansa yksittäinen, kiinnitetty arvo välillä ( R, R). Tällöin voimme valita arvon X siten, että x < X < R. Koska suppenevien sarjojen termien jonon raja-arvo on nolla (lause 1.1), voimme valita luvun M siten, että kaikilla k = 0, 1, 2,... f k X k < M, p k X k < M ja q k X k < M. Tarkastellaan seuraavaksi potenssisarjaa C kx k, missä ja C k = c k, kun k < K 0, [ ] C k = 1 k 1 J(k) MX k + C j [MX [k j] (j + ω ) + MX [k j] ], kun k K 0. Vertaamalla kertoimien c k ja C k rekursiokaavoja nähdään, että c k x k C k x k kun k = 0, 1, 2,.... Majoranttiperiaatteen nojalla riittää osoittaa, että sarja k C k x k suppenee, koska tällöin myös majoroitu sarja k c k x k suppenee ja itseisesti suppeneva sarja suppenee myös tavallisesti. Suhdetestin raja-arvomuodon nojalla riittää osoittaa, että lim C k+1 x k+1 k C k x k 1. 23

Kun k > K 0, [ ] C k+1 = 1 k J(k + 1) MX (k+1) + C j [MX [k+1 j] (j + ω ) + MX [k+1 j] ] [ = X 1 ( ) k 1 J(k + 1) MX k + C j [MX [k j] (j + ω ) + MX [k j] ] }{{} J(k) C k ] + C k [MX [k k] (k + ω ) + MX [k k] ] = X 1 J(k + 1) ( J(k) C k + C k M[k + ω + 1]) = J(k) + M[k + ω + 1] J(k + 1) C k X. Täten C k+1 x k+1 C k x k = C k+1 x = J(k) + M[k + ω + 1] C k J(k + 1) x X. Koska J on toisen asteen polynomi, se on muotoa J(k) = ak 2 + bk + c, missä a, b ja c R. Tällöin J(k) + M[k + ω + 1] J(k + 1) = ak 2 + bk + c + M[k + ω + 1] a(k + 1) 2 + b(k + 1) + c k 2 a + b = k + c k 2 + Mk + M[ω + 1] a + b ak 2 + (2a + b)k + a + c + 1 = k + c k 2 + M k (2a + b) a + k a = 1. k a + M[ω + 1] k 2 + a + c + 1 k 2 Täten, koska x < X, lim C k+1 x k+1 k C k x k = lim J(k) + M[k + ω + 1] k J(k + 1) x X = 1 x X < 1, joten suhdetestin raja-arvomuodon nojalla sarja k nojalla myös sarja k c kx k suppenee. C k x k suppenee, jolloin majoranttiperiaatteen 24

3.2.4 Rekursiokaavan käytöstä Olkoon r j kumpi tahansa indeksiyhtälön ratkaisuista r 1 tai r 2. Voimme käyttää rekursiokaavaa (3.13), kun I(k + r j ) 0, kun k = 1, 2, 3,.... Mutta r 1 ja r 2 ovat indekisyhtälön ainoat ratkaisut, joten riittää, että pätee k + r j r 1 ja k + r j r 2, yhtäpitävästi r 1 r j k ja r 2 r j k, kun k = 1, 2, 3,.... Edellisen ehdon ollessa voimassa, voimme aloittaa millä tahansa nollasta poikkeavalla vakiolla c 0 ja luoda seuraavat vakiot c k käyttäen rekursiokaavaa (3.13). Lause 3.14 takaa, että sarja suppenee, kun x < R. Täten c k x k y(x) = x r j c k x k on hyvin määritelty funktio, ainakin välillä (0, R). Ratkaisun käyttäytyminen pisteessä x = 0 riippuu tekijästä x r j. Esimerkiksi, kun r j < 0, niin lim x 0 xr j =. Sijoittamalla löydetty potenssisarja takaisin dierentiaaliyhtälöömme ja toistamalla laskut, jotka johtivat indeksiyhtälöön ja rekursiokaavaan, vahvistavat, että tämä funktio y todellakin on dierentiaaliyhtälömme ratkaisu välillä (0, R). Saamme tästä seuraavan lemman Lemma 3.15. Jos r j on kumpi tahansa indeksiyhtälön ratkaisuista r 1 tai r 2 ja (3.16) r 1 r j k ja r 2 r j k, kun k = 1, 2, 3,..., niin välillä (0, R) dierentiaaliyhtälömme ratkaisu saadaan kaavasta y(x) = x r j c k x k, missä c 0 on mielivaltainen, nollasta poikkeava vakio ja loput kertoimet c k saadaan rekursiokaavasta (3.13), kun r = r j. Tarkastellaan seuraavaksi tapauksia r j = r 1 ja r j = r 2 erikseen. 25

7. askel. Käyttäen eksponenttia r 1 : Kun r j = r 1, lemman 3.15 eksponentteja koskeva ehto tulee muotoon r 1 r 1 k ja r 2 r 1 k, kun k = 1, 2, 3,.... Ainoa tapaus, kun tämä ei päde, on r 1 r 2 = K jollakin positiivisella kokonaisluvulla K. Mutta käyttämällä aiemmin saamiamme kaavoja (3.9) eksponenteille r 1 ja r 2 näemme, että r 2 r 1 = (p 0 1) 2 4q 0, mikä ei voi olla yhtä suurta kuin jokin positiivinen kokonaisluku. Täten yllä oleva lemma takaa meille yhden ratkaisun muotoa y(x) = x r 1 c k x k, kun c 0 on mielivaltainen, nollasta poikkeava vakio ja loput kertoimet c k saadaan rekursiokaavasta (3.13), kun r = r 1. Jatkossa olkoon y 1 ratkaisu y 1 (x) = x r 1 a k x k, missä valitsemme a 0 = 1 ja a k = 1 k 1 a j [p k j (j + r 1 ) + q k j ], kun k = 1, 2, 3,.... I(k + r) 8. askel. Käyttäen eksponenttia r 2 : Kun r j = r 2, lemman 3.15 ehto (3.16) tulee muotoon r 1 r 2 k ja r 2 r 2 k, kun k = 1, 2, 3,..., joka on yhtäpitävää ehdon r 1 r 2 K kanssa jollakin positiivisella kokonaisluvulla K. Eksponentista r 1 poiketen tämä ehto ei kuitenkaan ole automaattisesti voimassa. On mahdollista, että r 1 r 2 = K jollakin positiivisella kokonaisluvulla K. Tämä on ensimmäinen erikoistapaus, jota käsittelemme myöhemmin. Lemma 3.15 takaa, että jos r 1 r 2 K, niin välillä (0, R) dierentiaaliyhtälömme toinen ratkaisu saadaan kaavasta y(x) = x r 2 c k x k, missä c 0 on mielivaltainen, nollasta poikkeava vakio ja loput kertoimet c k saadaan rekursiokaavasta (3.13), kun r = r 2. Indeksiä r 2 vastaava ratkaisu on tietenkin sama kuin indeksiä r 1 vastaava ratkaisu, jos r 1 = r 2. Tämä on toinen erikoistapaus, jota käsittelemme myöhemmin. 26

Jatkossa, jos r 1 r 2 ja r 1 r 2 K jollakin positiivisella kokonaisluvulla K, niin merkitsemme dierentiaaliyhtälömme toista ratkaisua välillä (0, R) missä valitsemme b 0 = 1 ja y 2 (x) = x r 2 b k x k, 1 k 1 b k = b j [p k j (j + r 2 ) + q k j ], kun k = 1, 2, 3,.... I(k + r 2 ) 3.2.5 Toinen ratkaisu tapauksessa r 2 = r 1 Eulerin yhtälöä tapauksessa r 1 = r 2 koskevien tarkastelujemme 2.1 motivoimina lähdetään etsimään yhtälömme ratkaisua yritteellä (3.17) y(x) = ln x Y (x) + ɛ(x), kun Y (x) = x r 1 ja ɛ(x) on yritteeseen lisäämämme virhetermi. Kun sijoitamme yritteen dierentiaaliyhtälöömme, saamme 0 = L [y] b k x k = x 2 y + xp y + Qy [ = x 2 ln x Y + 2 x Y 1 ] x Y + 2 ɛ + xp [ln x Y + 1x ] Y + ɛ + Q[ln x Y (x) + ɛ(x)] = ln x [x 2 Y + xp Y + QY ] + 2xY }{{} Y + P Y + x 2 ɛ + xp ɛ + Qɛ. }{{} L [Y ] L [ɛ] Kun valitsemme funkion Y olemaan ensimmäinen ratkaisumme y 1 (x), yhtälö supistuu muotoon 0 = 2xy 1 y 1 + P y 1 + L [ɛ], sillä tällöin L [Y ] = 0. Voimme kirjoittaa yhtälön edelleen muodossa (3.18a) L [ɛ] = F (x), kun (3.18b) F (x) = y 1 (x) 2xy 1(x) + P (x)y 1 (x). 27

Törmäämme sekä ylläolevaan dierentiaaliyhtälöön että funktioon F (x), kun käsittelemme tapausta r 1 r 2 = K jollakin positiivisella kokonaisluvulla K. Kirjoitetaan funktio F (x) auki käyttäen funktioiden y 1 ja P sarjaesityksiä olettamatta kuitenkaan, että r 2 = r 1 : F (x) = y 1 (x) 2xy 1(x) P (x)y 1 (x) ( ) ( ) = x r 1 a n x n 2x x r 1 a n (r 1 + n)x n 1 p n x (x n r 1 n=0 [ = x r 1 a n x n = x r 1 n=0 n=0 n=0 ( ) ( )] a n (2r 1 + 2n)x n p n x n a m x m n=0 ( a n [1 2r 1 2n] n=0 n=0 ) n a j p n j x n. m=0 ) a m x m Kun muistamme, että a 0 = 1 ja p 0 = 1 r 1 r 2, sarjan ensimmäinen termi sievenee muotoon Lopuille termeille pätee Täten yleisesti a 0 [1 2r 1 2 0] a n [1 2r 1 2n] (3.19) F (x) = x r 1 [ 0 a j p 0 j = a 0 [1 2r 1 p 0 ] = r 2 r 1. m=0 n n 1 a j p n j = a n [1 2r 1 2n] a j p n j a n p 0 r 2 r 1 + n 1 = a n [1 2r 1 p 0 2n] a j p n j n 1 = a n [r 2 r 1 2n] a j p n j. ( ) ] n 1 a n [r 2 r 1 2n] a j p n j x n. n=1 Koska F konstruoitiin potenssisarjoista, jotka suppenevat, kun x < R, myös ylläolevassa kaavassa oleva potenssisarja suppenee, kun x < R. Nimittäin lauseen 1.2 nojalla suppenevia sarjoja voidaan laskea yhteen, joten saman pisteen suhteen kehitettyjä potenssisarjoja voidaan laskea yhteen niiden yhteisen suppenemisalueen sisällä. Abelin lauseen nojalla potenssisarjat suppenevat itseisesti suppenemisalueensa sisällä, joten Mertensin lauseen 1.4 nojalla myös niiden tulosarja suppenee, jopa itseisesti. Lisäksi lauseen 1.6 perusteella potenssisarjan summafunktiota voidaan derivoida termeittäin ja sillä on kaikkien kertalukujen derivaatat. 28

Oletetaan nyt, että r 2 = r 1. Tällä oletuksella ja vaihtamalla indeksejä k = n 1 ylläoleva kaava funktiolle F (x) yksinkertaistuu muotoon [ ( ) ] n 1 F (x) = x r 1 0 + 2na n a j p n j x n n=1 [ ( = x r 1 2(k + 1)a k+1 jonka voimme kirjoittaa lyhemmin muodossa (3.20a) F (x) = x r 1+1 missä f k x k, k (3.20b) f k = 2(k + 1)a k+1 a j p k+1 j. ) ] k a j p k+1 j x k+1, Oletetaan seuraavaksi, että virhetermimme yleistetty potenssisarja on muotoa ɛ(x) = x ρ ɛ k x k. Lemman 3.6 perusteella tiedämme, että ( ) ] k 1 L [ɛ(x)] = x [ɛ ρ 0 I(ρ) + ɛ k I(k + ρ) + ɛ j [p k j (j + ρ) + q k j ] x ρ. k=1 Täten dierentiaaliyhtälö L [ɛ] = F tulee muotoon ( ) ] k 1 x [ɛ ρ 0 I(ρ) + ɛ k I(k + ρ) + ɛ j [p k j (j + ρ) + q k j ] x k = x r 1+1 f k x k, joka toteutuu, kun k=1 (3.21a) (3.21b) ρ = r 1 + 1, ɛ 0 I(ρ) = f 0 ja kun k = 1, 2, 3,... k 1 (3.21c) ɛ k I(k + ρ) + ɛ j [p k j (j + r 1 + 1) + q k j ] = f k. 29

Olkoon siis ρ = r 1 + 1. Koska r 1 on indeksiyhtälön I(r) = (r r 1 )(r r 2 ) kaksoisjuuri, I(k + ρ) = I(k + r 1 + 1) = ([r 1 + k + 1] r 1 ) 2 = (k + 1) 2. Yhtälöryhmä (3.21a) yksinkertaistuu tällöin muotoon ɛ 0 = f 0 ja kun k = 1, 2, 3,..., k 1 ɛ k (k + 1) 2 + ɛ j [p k j (j + r 1 + 1) + q k j ] = f k. Yhtäpitävästi (3.22a) ɛ 0 = f 0 ja kun k = 1, 2, 3,..., ( ) 1 k 1 (3.22b) ɛ k = f (k + 1) 2 k ɛ j [p k j (j + r 1 + 1) + q k j ], jossa kertoimet f k saadaan kaavasta (3.20b). Etsimme funktiota ɛ siten, että y 2 (x) = y 1 (x) ln x + ɛ(x) on ratkaisu alkuperäiseen dierentiaaliyhtälöömme. Olemme saaneet, että ɛ(x) = x ρ missä ρ = r 1 + 1 ja termit ɛ k saadaan kaavoista (3.22). Lisäksi lause 3.14 takaa kyseisen sarjan suppenemisen. Sijoittamalla tämä sarja takaisin alkuperäiseen dierentiaaliyhtälöömme ja toistamalla edellä olleet laskut vahvistavat, että y 2 on todellakin ratkaisu alkuperäiseen dierentiaaliyhtälöömme välillä (0, R). ɛ k x k, 3.2.6 Toinen ratkaisu tapauksessa r 1 r 2 = K Oletetaan nyt, että r 1 r 2 = K jollakin positiivisella kokonaisluvulla K. Kun asetamme y(x) = x r 2 b k x k, 30

ja b 0 = 1, rekursiokaava (3.13) antaa meille 1 k 1 b k = b j [p k j (j + r) + q k j ], kun k = 1, 2, 3,..., K 1. I(r 2 + k) Valitettavasti I(r 2 + K) = I(r 1 ) = 0, jolloin päädymme nollalla jakamiseen, kun yritämme laskea kerrointa b K. Ongelmalla on kaksi eri alatapausta, riippuen onko nolla vai ei. Tapaus Γ K = 0 Γ K = K 1 b j [p K j (j + r 2 ) + q K j ] Alunperin päädyimme rekursiokaavaan (3.13) etsimällä dierentiaaliyhtälömme ratkaisua muodossa jolloin päädyimme yhtälöön y(x) = x r 2 b k x k, k 1 (3.23) b k I(r 2 + k) = b j [p k j (j + r) + q k j ], kun k = 1, 2, 3,.... Kuten jo aiemmin todettiin, voimme käyttää tätä yhtälöä laskeaksemme kertoimet b k, kun k < K. Kun k = K, indeksiyhtälö I(r 2 + K) = I(r 1 ) = 0 ja ylläoleva yhtälö on muotoa b K 0 = Γ K. Jos myös Γ K = 0, niin kyseinen yhtälö on triviaalisti totta millä tahansa kertoimen b K arvolla. Kerroin b K on siis myös mielivaltainen, jos Γ K = 0. Voimme täten valita kertoimelle b K minkä tahansa arvon haluamme (esimerkiksi b K = 0) ja käyttää yhtälöä (3.23) ratkaistaksemme loput kertoimet b k sarjalle y 2 (x) = x r 2 b k x k. Jälleen kerran lause 3.14 takaa kyseisen sarjan suppenemisen, kun x < R. Toistamalla aiemmat laskut, jotka johtivat indeksiyhtälöön ja rekursiokaavaan vahvistavat, että kyseinen y 2 (x) on todellakin alkuperäisen dierentiaaliyhtälömme ratkaisu. 31

Tapaus Γ K 0 Yritetään jälleen kerran etsiä ratkaisua muodossa y(x) = ln x Y (x) + ɛ(x), missä ɛ(x) = x r 2 ɛ k x k. Kun muistelemme osion 3.2.5 laskuja, on selvää, että y(x) = ln x Y (x) + ɛ(x) on dierentiaaliyhtälömme L [y] = 0 ratkaisu, jos Y (x) = y 1 (x) ja L [ɛ] = F (x), missä ottamalla huomioon, että I(r 2 ) = 0 ja r 1 r 2 = K, [ ( ) ] k 1 L [ɛ] = x r 2 ɛ 0 I(r 2 ) + ɛ k I(r 2 + k) + ɛ j [p k j (r 2 + j) + q k j x k = x r 2 k=1 ( ) k 1 ɛ k I(r 2 + k) + ɛ j [p k j (r 2 + j) + q k j ] k=1 x k ja [ F (x) = x r 1 r 2 r 1 + [ = x r 2+K K + [ = x r 2 Kx K + ( ) ] n 1 a n [r 2 r 1 2n] a j p n j x n n=1 ( ) ] n 1 a n [ K 2n] a j p n j x n n=1 ( ) ] n 1 a n [ K 2n] a j p n j x K+n. n=1 Vaihtamalla indeksejä k = n + K, voimme kirjoittaa viimeisen kaavan muodossa [ ] F (x) = x r 2 Kx K + f k x k, missä f k = a k K [K 2k] k=k+1 k K 1 a j p k K j. Kuten osiossa 3.2.5, tiedämme, että funktion F (x) kaavassa oleva potenssisarja suppenee, kun x < R, koska se konstruoitiin näillä muuttujan x arvoilla suppenevista potenssisarjoista. 32

Dierentiaaliyhtälö L [ɛ] = F laajenee täten muotoon ( ) [ k 1 ɛ k I(r 2 + k) + ɛ j [p k j (r 2 + j) + q k j ] x k = x r 2 Kx K + x r 2 k=1 k=k+1 mikä tarkoittaa, että etsimme kertoimia ɛ k, jotka toteuttavat yhtälöryhmän k 1 0, jos 1 k < K, (3.24) ɛ k I(r 2 + k) + ɛ j [p k j (r 2 + j) + q k j ] = K, jos k = K, f k, jos k > K. Kun 1 k < K, saamme 1 k 1 ɛ k = ɛ j [p k j (r 2 + j) + q k j ], kun k = 1, 2, 3,..., K 1. I(r 2 + k) f k x k ] Tämän osion 3.2.6 alussa olimme jo löytäneet joukon kertoimia {b 0, b 1,..., b K 1 }, jotka toteuttivat b 0 = 1 ja 1 k 1 b k = b j [p k j (r 2 + j) + q k j ], kun k = 1, 2,..., K 1. I(r 2 + k) Näemme, kun k = 1, ɛ 1 = 1 I(r 2 + 1) 0 ɛ j [p 1 j (r 2 + j) + q 1 j ] = = ɛ 0 1 I(r 2 + 1) b 0[p 1 r 2 + q 1 ] = ɛ 0 b 1. 1 I(r 2 + 1) ɛ 0[p 1 r 2 + q 1 ] Täydellisellä induktiolla on tämän jälkeen helposti osoitettavissa, että millä tahansa kertoimen ɛ 0 arvolla, ɛ k = ɛ 0 b k, kun k = 1, 2,..., K 1. Kun katsomme yhtälöryhmän indeksiä k = K vastaavaa yhtälöä ɛ K I(r 2 + K) + voimme kirjoittaa sen nyt muodossa ɛ K I(r 1 ) + K 1 K 1 ɛ j [p K j (r 2 + j) + q K j ] = K, ɛ 0 b j [p K j (r 2 + j) + q K j ] = K., 33

Kun vielä muistamme, että Γ K = K 1 indeksiä k = K vastaava yhtälö sievenee muotoon b j [p K j (r 2 + j) + q K j ] 0, ɛ K 0 + ɛ 0 Γ K = K. Viimeinen yhtälö on totta millä tahansa kertoimen ɛ K arvolla, joten ɛ K on mielivaltainen, kun taas ja ɛ 0 = K Γ K, ɛ k = ɛ 0 b k = Kb k Γ K, kun k = 1, 2,..., K 1. Jäljellä olevat kertoimet ɛ k, kun k > K, pystymme ratkaisemaan yhtälöryhmästä (3.24), kun ensin valitsemme kertoimelle ɛ K haluamme arvon, jolloin saamme [ ] 1 k 1 ɛ k = f k ɛ j [p k j (r 2 + j) + q k j ], kun k > K. I(r 2 + k) Lause 3.14 takaa, että saamamme sarja k ɛ kx k suppenee, kun x < R, ja tämä yhdessä kaikkien edellisten laskujen kanssa osoittaa, että y 2 (x) = y 1 (x) ln x + x r 2 ɛ k x k on todellakin alkuperäisen dierentiaaliyhtälömme ratkaisu välillä (0, R). 9. askel. Askeleissa 7 ja 8 löydetyt ratkaisut y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia, joten {y 1, y 2 } muodostaa dierentiaaliyhtälömme ratkaisujen perusjärjestelmän välillä (0, R). Täten y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x), missä c 1 ja c 2 ovat mielivaltaisia vakioita, on yhtälömme yleinen ratkaisu kyseisellä välillä. 3.3 Menetelmän yhteenvedoksi Menetelmän askelten yhteenvetona olemme saaneet todistettua seuraavan lauseen 34

Lause 3.25. (Yleiset ratkaisut heikkojen erikoispisteiden ympäristössä) Olkoon piste x 0 jonkin toisen kertaluvun, lineaarisen, homogeenisen ja reaalikertoimisen dierentiaaliyhtälön heikko erikoispiste reaalisuoralla. Olkoon R yhtälöön liittyvä Frobeniuksen suppenemissäde ja r 1 ja r 2 yhtälöön liittyvän indeksiyhtälön juuret. Jos juuret ovat reaalisia, merkitään niitä siten, että r 1 r 2. Tällöin väleillä (x 0 R, x 0 ) ja (x 0, x 0 + R) dierentiaaliyhtälön yleiset ratkaisut ovat muotoa y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x), missä c 1 ja c 2 ovat mielivaltaisia vakioita ja y 1 ja y 2 ovat ratkaisuja, jotka voidaan kirjoittaa seuraavasti: 1. Yleisesti (3.26) y 1 (x) = x x 0 r 1 2. Jos r 1 r 2 ei ole kokonaisluku, niin (3.27) y 2 (x) = x x 0 r 2 3. Jos r 1 r 2 = 0 eli r 1 = r 2, niin a k (x x 0 ) k, kun a 0 = 1. b k (x x 0 ) k, kun b 0 = 1. (3.28) y 2 (x) = y 1 (x) ln x x 0 + x x 0 1+r 1 4. Jos r 1 r 2 = K jollakin positiivisella kokonaisluvulla K, niin (3.29) y 2 (x) = µy 1 (x) ln x x 0 + x x 0 r 2 b k (x x 0 ) k. b k (x x 0 ) k, missä b 0 = 1, b K on mielivaltainen ja µ on mahdollisesti nollaa oleva vakio. 3.4 Huomioita menetelmän käytöstä 3.4.1 Ratkaisut, kun eksponentit ovat kokonaislukuja Menetelmää johtaessamme saimme ensimmäisen ratkaisun muodossa y 1 (x) = (x x 0 ) r 1 a k (x x 0 ) k, 35