Luento 9: Permutaatiot ja symmetriat 1 MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet, syksy 2014 Harri Varpanen Aalto-yliopisto Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Keskiviikko 8.10.2014

Ryhmän toiminta Esimerkki Tarkastellaan tasasivuista kolmiota M kolmiulotteisessa avaruudessa: 3 3 1 2 2 1

Ryhmän toiminta Esimerkki (jatkuu) Kolmiota M voidaan kiertää kuudella eri tavalla siten, että M:n asento ei muutu (kärkien numerointia lukuunottamatta): 3 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 3 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 e r r 2 s r 2 s rs e = ei tehdä mitään r = kierretään kulman 2π/3 (120 ) verran vastapäivään sen akselin ympäri, joka on kohtisuorassa kolmion tasoa vastaan ja kulkee kolmion keskipisteen kautta s = kierretään kulmanπ(180 ) verran sen akselin ympäri, joka on kolmion tasossa ja puolittaa kulman paikassa (ei kärjessä) 1.

Ryhmän toiminta Esimerkki (jatkuu) Edellä siis: Kiertojen kertolasku tapahtuu suorittamalla kierrot peräkkäin (merkinnöissä oikealta vasemmalle). Valitut kaksi kiertoakselia pysyvät avaruudessa paikallaan. Kolmion kierrot voidaan samaistaa joukon{1, 2, 3} permutaatioihin. Esimerkiksi permutaatio (1)(23) tulkitaan siten, että kolmion kärki avaruuden paikassa numero 1 pysyy paikallaan ja kärjet paikoissa 2 ja 3 vaihtavat paikkaa.

Ryhmän toiminta Edellä sanotaan, että ryhmä S 3 toimii kolmiossa M. Jokainen ryhmän S 3 permutaatio voidaan tulkita kolmion symmetrian säilyttäväksi kierroksi kolmiulotteisessa avaruudessa. Sama ei päde neliölle, esimerkiksi permutaatio (123)(4) rikkoisi neliön. Säännöllisen n-kulmion kaikkien kiertojen ryhmää sanotaan diedriryhmäksi ja merkitään D n.

Ryhmän toiminta Diedriryhmässä D n on 2n alkiota (taululla n = 4): Merkitään r:llä kiertoa kulman 2π/n verran sen akselin ympäri, joka on kohtisuorassa n-kulmion tasoa vastaan ja kulkee n-kulmion keskipisteen kautta. Tällöin r n = e ja kierron r monikertoja on n kappaletta: e, r, r 2,...,r n 1. Lisäksi voidaan kiertää kulmanπverran minkä tahansa n-kulmion lävistäjän tai sivun kohtisuoran puolittajan suhteen, näin saadaan n kiertoa lisää. Osoittautuu, että jälkimmäiset n kiertoa saadaan, kun valitaan vain yksi lävistäjä tai puolittaja (mikä tahansa) ja merkitäänπ-kiertoa sen suhteen s; sen jälkeen muut n 1 ovat rs, r 2 s,...,r n 1 s. Pätee myös rs = sr 1.

Ryhmän toiminta D n generoituu kierroista r ja s, ts merkitään D n = r, s. D n ={r j s k : j, k Z}, Yllä s 2 = e ja r n = e; joukossa D n on 2n alkiota. Diedriryhmä voidaan samaistaa permutaatioryhmän S n aliryhmän kanssa.

Aliryhmä Neliön kiertoryhmä (vrt. aiempi kuva): D 4 = r, s ={e, r, r 2, r 3, s, rs, r 2 s, r 3 s}. Jos samaistetaan ryhmän D 4 alkiot joukon{1, 2, 3, 4} permutaatioihin, niin D 4 = { (1)(2)(3)(4), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2), (1)(3)(2 4), (1 2)(3 4), (1 3)(2)(4), (1 4)(3 2) }. Tämä on joukon S 4 aliryhmä, sillä D 4 S 4 ja D 4 muodostaa itsessään ryhmän.

(Ryhmäaksioomat) Joukko S varustettuna kertolaskulla on ryhmä, jos kertolasku ei johda ulos joukosta S: f, g S fg S kertolasku on liitännäinen: f, g, h S: (fg)h = f(gh) kertolaskulle on olemassa neutraalialkio: e S f S: ef = fe = f käänteisalkion olemassaolo: f S g S: fg = gf = e.

Lagrangen lause Lause (Lagrange) Jos G on äärellinen ryhmä ja H on sen aliryhmä, niin H on G :n tekijä. Esimerkiksi S 4 = 24 ja D 4 = 8, joka on 24:n tekijä. Todistus Määritellään alkion g G sivuluokka: gh ={gh : h H} G. Voidaan osoittaa (osoittamalla, että funktio H gh, h gh on bijektio), että sivuluokat ovat yhtäsuuria; lisäksi ne jakavat G:n erillisiin osiin. Siten, koska eh = H on yksi sivuluokka, niin G :n on oltava H :n monikerta.

Määritelmä Rata Olkoon G S n ryhmä, joka toimii joukossa M (esim. kolmion kärjet). Pisteen x M rata on [x] G :={g(x) : g G} M. Usein merkitään vain [x]. Voidaan osoittaa, että joukon M relaatio x y x [y] G on ekvivalenssi, joten radat jakavat M:n erillisiin luokkiin. Esimerkki Jos M ={1, 2,...,6}, f = (1 2)(3 4 5 6) S 6 ja G = f, niin G:n määräämät radat joukossa M ovat [1] = [2] ={1, 2} ja [3] = [4] = [5] = [6] ={3, 4, 5, 6}.

Kiinnittäjä Määritelmä Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos x M, niin pisteen x kiinnittäjä(aliryhmä) on G x :={g G : g(x) = x} G. Kiinnittäjä todellakin on aliryhmä, joten Lagrangen lauseen nojalla G x jakaa G :n kaikilla x M.

Kiinnittäjä Esimerkki (jatkoa edelliseen) Jos M ={1, 2,...,6}, f = (1 2)(3 4 5 6) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)(3 6 5 4) }, niin kiinnittäjäaliryhmät ovat ovat G 1 = G 2 ={e, f 2 } ja G 3 = G 4 = G 5 = G 6 ={e}. Näiden koot (2 ja 1) jakavat luvun G = 4.

Kiintopistejoukko Määritelmä Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos g G, niin g:n kiintopistejoukko on M g :={x M : g(x) = x} M. Esimerkki (jatkoa edelliseen) Jos M ={1, 2,...,6}, f = (1 2)(3 4 5 6) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)(3 6 5 4) }, niin kiintopistejoukot ovat M e = M, M f = M f 3 = ja M f 2 ={1, 2}.

Radan koko Lause Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos x M, niin radan [x] koko saadaan laskettua kaavasta [x] = G / Gx. Todistus Merkitään G x = H (aliryhmä) ja merkitään kaikkien H:n sivuluokkien joukkoa G/H. Tällöin funktio G/H [x] G, gh gx on bijektio, joten joukon [x] G koko on sama kuin sivuluokkien lukumäärä, joka puolestaan saadaan jakamalla G:n koko H:n koolla (kaikki sivuluokat olivat yhtä suuria).

Radan koko Esimerkki (jatkoa edelliseen) Jos M ={1, 2,...,6}, f = (1 2)(3 4 5 6) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)(3 6 5 4) }, niin aiemmin saimme radoiksi [1] = [2] ={1, 2} ja [3] = [4] = [5] = [6] ={3, 4, 5, 6} ja kiinnittäjäaliryhmiksi G 1 = G 2 ={e, f 2 } ja G 3 = G 4 = G 5 = G 6 ={e}. Lause radan koosta toimii; esimerkiksi [1] = G / G1.

Ratojen lukumäärä Lause (Burnsiden lemma) Jos ryhmä G toimii joukossa M, niin ratojen lukumäärä on kiintopistejoukkojen kokojen keskiarvo: 1 G. M g g G

Ratojen lukumäärä Todistus Merkitään n = { }. (g, x) G M : gx = x Permutaatiota g G vastaavien parien (g, x) lukumäärä on, M g joten. n = M g g G Toisaalta alkiota x M vastaavien parien (g, x) lukumäärä on G x, joten n = G x, x M

Ratojen lukumäärä Todistus (jatkuu) saadaan M g = G x. g G x M Radan [x] G koko on G / G x ja rata on sama kaikille y [x] G, joten G y = [x]g Gx = G. y [x] G Merkitään ratojen lukumäärää k:lla, jolloin ylläolevan nojalla G x = k G, x M ja jakamalla G :llä ollaan valmiita.

Ratojen lukumäärä Esimerkki (jatkoa edelliseen) Jos M ={1, 2,...,6}, f = (1 2)(3 4 5 6) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)(3 6 5 4) }, niin aiemmin saimme radoiksi{1, 2},{3, 4, 5, 6} ja kiintopistejoukoiksi M e = M, M f = M f 3 =, M f 2 ={1, 2}. Kiintopistejoukkojen kokojen keskiarvo on 1 4 ( M e + M f + Mf 2 + Mf 3 ) = 1 4 (6+0+2+0) = 2 eli sama kuin ratojen lukumäärä.

Neliön värittäminen Kysymys Monellako tavalla neliön kärjet voidaan värittää kahdella värillä, jos ei tehdä eroa niiden väritysten välillä, jotka saadaan toisistaan kääntelemällä neliötä kolmiulotteisessa avaruudessa?

Verkot MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet, kevät 2016 Harri Varpanen Aalto-yliopisto Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Keskiviikko 30.3.2016

Terminologiaa Käytämme sanoja linkki ja kaari (eng. link / edge) samassa merkityksessä. Linkki sopii paremmin suunnattujen verkkojen yhteyteen; käytännöt vaihtelevat. Myös termejä verkko ja graafi (eng. network / graph) käytetään vaihtelevasti.

Motivaatiota (...) networks may be used to model a huge array of phenomena across all scientific and social disciplines. Examples include the World Wide Web, citation networks, social networks (e.g., Facebook), recommendation networks (e.g., Netflix), gene regulatory networks, neural connectivity networks, oscillator networks, sports playoff networks, road and traffic networks, chemical networks, economic networks, epidemiological networks, game theory, geospatial networks, metabolic networks, protein networks and food webs, to name a few. (Grady & Polimeni: Discrete Calculus. Springer 2010.)

Yksinkertainen, suuntaamaton verkko Määritelmä Yksinkertainen, äärellinen, suuntaamaton verkko on järjestetty pari (V, E), missä V on äärellinen, epätyhjä joukko (verkon solmut) E on kokoelma V:n kaksialkioisia osajoukkoja (solmujen väliset linkit tai kaaret). Toisin sanoen: (V, E), missä V, V < ja E P(V) siten, että A E : A = 2. Emme siis salli kaaria solmusta itseensä (loop) emmekä useampikertaisia kaaria (multigraph) ellei toisin mainita.

Yksinkertainen, suuntaamaton verkko Jos e = {u, v} E, niin u ja v ovat kaaren e päätepisteet; lisäksi u ja v ovat naapureita. Esimerkki (kuvat taululla) täydellinen (eng. complete) verkko täydellinen kaksijakoinen (eng. bipartite) verkko sykli polku puu

Yksinkertainen, suuntaamaton verkko Kysymys Montako kaarta n-solmuisessa verkossa voi enintään olla? ( ) n Vastaus:, sillä kaarten joukko on kokoelma solmujen joukon 2 2-alkioisia osajoukkoja.

Solmun aste Määritelmä Verkon (V, E) solmun v V aste on deg(v) = {A E : v A} eli solmusta v lähtevien kaarien lukumäärä.

Kättelylemma Lause (kättelylemma) Kullekin verkolle (V, E) pätee deg(v) = 2 E. Todistus v V Poistetaan verkosta kaikki kaaret. Lisätään ne takaisin yksi kerrallaan ja pidetään kirjaa solmujen astelukujen summasta. Kukin kaari kasvattaa solmujen astelukujen summaa kahdella, sillä kunkin kaaren molemmissa päissä on solmu, jonka astelukuun kaari kertaalleen lasketaan. Siispä solmujen astelukujen summa on yhtä kuin kaarten lukumäärä kerrottuna kahdella. (Mielikuva: solmut = ihmiset, kaaret = ihmisten väliset kättelyt.)

Kaarien enimmäislukumäärä uudelleen Esimerkki (taululla) Lasketaan kättelylemman avulla kaarien lukumäärä verkossa (V, E), jossa V = n ja E sisältää kaikki mahdolliset kaaret. Toisaalta deg(v) = n 1 kaikilla v V, joten deg(v) = n(n 1). v V Toisaalta (kättelylemma) 2 E = deg(v), joten v V E = 1 ( n 2 n(n 1) =. 2 )

Solmujen värittäminen Määritelmä Verkon G = (V, E) solmuväritys on funktio (jollekin k) siten, että c : V {1, 2,..., k} {u, v} E c(u) c(v). Pienintä lukua k, jolle tällainen funktio löytyy, sanotaan verkon G kromaattiseksi luvuksi ja merkitään χ(g).

Solmujen värittäminen Esimerkki Viereiselle verkolle on χ(g) = 3. χ(k n ) = n (K n : verkko, jossa maksimimäärä kaaria) χ(g) = 1 E = 0 χ(g) = 2 G kaksijakoinen χ(g) 3: ei tunnettua kriteeriä.

Sovellus: konfliktiverkot Esimerkki Viisi opiskelijaa A, B, C, D ja E tekevät kuutta eri projektityötä seuraavissa ryhmissä: 1. A, B, C 2. B, D 3. B, C 4. B, E 5. A, C 6. D, E. Jos kunkin projektin tekeminen valmiiksi kestää kokonaisen päivän kultakin ryhmän jäseneltä, onko mahdollista saada kaikkia projekteja valmiiksi vähemmässä kuin kuudessa päivässä?

Esimerkki (jatkuu) Sovellus: konfliktiverkot Muodostetaan konfliktiverkko G, jonka kuusi solmua numeroidaan ryhmien mukaisilla numeroilla 1 6 ja jossa solmujen välillä on kaari ryhmillä on yhteisiä jäseniä. 1 2 6 3 5 4 Tällöin kaikkien projektien saaminen valmiiksi on mahdollista χ(g) päivässä.

Sovellus: konfliktiverkot Esimerkki (jatkuu) Koska solmut {1, 2, 3, 4} ja niitä yhdistävät kaaret muodostavat täydellisen verkon K 4, niin on oltava χ(g) 4. Toisaalta näemme kuvasta, että solmut 5 ja 2 voidaan värittää samalla värillä, samoin solmut 6 ja 3. Siten χ(g) = 4 eli neljä päivää riittää.

Sovellus: ohjelmointikielen kääntäjä Ohjelman silmukan (for, while) suorittaminen nopeutuu, kun kääntäjä tallentaa silmukassa toistuvasti käytetyt muuttujat tavallisen muistin asemesta suorittimen muistiin. Toisaalta suorittimen muistia käytettävissä vähän. Muodostetaan verkko G, jonka solmut ovat silmukassa käytetyt muuttujat ja solmujen välillä on kaari jos niitä vastaavien muuttujien on silmukkaa suoritettaessa oltava käytössä yhtäaikaa. Tarvittavien suoritinmuistipaikkojen määrä on tällöin χ(g).

Määritelmä Kävely verkolla Kävely verkolla (V, E) on jono solmuja siten, että (v 0,..., v n ) i {0,..., n 1} : {v i, v i+1 } E. Luku n on kävelyn pituus. Kävely alkaa solmusta v 0 ja päättyy solmuun v n. Jos v 0 = v n, niin kävely on suljettu. Kävely voidaan ilmaista myös jonona kaaria (e 1,..., e n ) siten, että kahdella peräkkäisellä kaarella on yhteinen solmu. Ero polun (path) ja kävelyn (walk) välillä: polussa ei saa olla syklejä.

Määritelmä Eulerin kävely Verkon Eulerin kävely on kävely, joka käy läpi verkon kaikki kaaret täsmälleen kerran. Vastaavasti Eulerin sykli: Eulerin kävely, jossa lähtöpiste on sama kuin päätepiste. Sovellus (Chinese postman problem) Postimiehen kannattaa etsiä jakelualueelleen reitti, jossa samaa katua ei kävellä kahdesti ja jossa lopuksi palataan lähtöpisteeseen. Tällainen löytyy täsmälleen silloin, kun jakelualueen ruutukaavasta löytyy Eulerin sykli. (Kadut = kaaret, katujen risteykset = solmut.)

Yhtenäisyys Määritelmä Verkko on yhtenäinen, jos sen jokaisen kahden solmun välillä on kävely. (Yhtäpitävästi: polku.) Solmujen joukon relaatio u v u:n ja v:n välillä on kävely on ekvivalenssi, joka jakaa verkon solmut yhtenäisiin ekvivalenssiluokkiin eli komponentteihin.

Eulerin kävely Lause (Euler 1736) Yhtenäisellä verkolla on Eulerin sykli täsmälleen silloin, kun sen jokaisen solmun aste on parillinen. Todistus (esimerkki taululla) ( ) Jos verkolla on Eulerin sykli, niin kävellään se ympäri. Tällöin kuhunkin solmuun saavutaan yhtä monta kertaa kuin siitä lähdetään. Siispä kunkin solmun asteluku on parillinen (kaikki kaaret käytiin läpi). ( ) Olkoon verkon (V, E) jokaisen solmun aste parillinen. Verkolla (V, E) on ainakin yksi sykli:

Eulerin kävely Todistus (jatkuu) Aloitetaan kävely mielivaltaisesta solmusta ja valitaan kullakin askeleella uusi kaari kunnes joku solmu toistuu. (Verkko on äärellinen, joten joku solmu toistuu lopulta. Siihen asti voidaan asteiden parillisuuden nojalla valita aina uusi kaari.) Kun edellä löydetyn syklin kaaret poistetaan E:stä, niin saadun verkon (V, E ) kaikkien solmujen aste on edelleen parillinen. (Huom. poistettiin syklistä pelkät kaaret.) Siten verkolla (V, E ) on jälleen vähintään yksi sykli, ja voidaan toistaa syklien poistamista kunnes yhtään kaarta ei jää jäljelle. Näin alkuperäinen kaarien joukko E on yhdiste erillisistä sykleistä.

Eulerin kävely Todistus (jatkuu) Erilliset syklit voidaan edelleen asettaa järjestykseen siten, että peräkkäisillä sykleillä on yksi yhteinen solmu. (Jos tämä ei onnistuisi, niin verkko ei olisi yhtenäinen.) Etsitty Eulerin sykli saadaan, kun kävellään erilliset syklit läpi järjestyksessä seuraavasti: siirrytään seuraavaan sykliin heti kun kohdataan yhteinen solmu, viimeinen sykli kierretään kokonaan, ja lopuksi peruutetaan samojen yhteisten solmujen kautta ja kierretään syklit loppuun.

Hamiltonin kävely Määritelmä Verkon Hamiltonin kävely on kävely, joka käy läpi verkon kaikki solmut täsmälleen kerran. Vastaavasti Hamiltonin sykli: Hamiltonin kävely, jossa lähtöpiste = päätepiste ja välissä olevat solmut käydään läpi täsmälleen kerran. Siinä missä Eulerin kävelylle löytyi helppo kriteeri algoritmeineen, niin Hamiltonin kävely on vaikeampi: yleistä kriteeriä ei tunneta.

Hamiltonin kävely Riittävä ehto: Lause (G. Dirac 1952) Jos verkolla on n 3 solmua siten, että kullekin solmulle v pätee deg(v) n/2, niin verkolla on Hamiltonin sykli. Todistus Sivuutetaan. Ks. esim. http://www.proofwiki.org/wiki/dirac s_theorem Loppuviikon tuntitehtävässä 1 sovelletaan Diracin lausetta.