a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ Ò ÓÒ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ÝÐ ÑÖ Ø ÝÚ ÒØÚ Ñ Ø Ö Ð º ÃÙÖ ÐÐ ÓÒ ØÖÙÓ Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ø Z Q R C Ð Ø Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙ Ø Nº Ë Ñ ÐÐ Ý Ò ÐÔ Ò Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ö ØÝ Ø Ò ÓÑ Ò ¹ ÙÙ º ÄÙ Ù ÐÙ Ò Z Q ÓÒ ØÖÙ Ø ÓØ Ò Ò Ð ØØÝÚØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø Ñ Ð Ó ÙÓÖ Ú Ú ÑÙØØ Ò Ø Ö Ó Ú Ø ÝÚ Ö Ó ØÙ Ø Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ò ÝØ Øº Ê Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ R ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÚÙÐÐ ÓÒ Ñ Ò ØÝ ¹ ÐÑÔ ÑÓ Ò Ù Ò Ò ÐÝÝ Ò ÒÒ ÐØ Ö ØØ Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Øݹ ÐÐ ÝÝ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ò Òº ÃÓÑÔ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ý Ø Ý Ó ÑÑ 3. Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØÐ Ò ÝÐ Ò Ö Ø Ù Ú Ò ØÓ Ø ÑÑ Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ð Ù Òº ÃÙÖ Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ò Ú ÙÙÖ ÑÔ Ø ØÓ ØÓ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ô ÖÙ Ôع Ø ÐÝ Ò Ú µ ÓÙ Ó¹ÓÔÔ ÙÒ Ø Ó Ò Ð ØÝÚØ Ô ÖÙ ÑÖ Ø ÐÑØ ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ¹ ØÙ º ÃÙÒ Ú ØØ ÑÑ ÑÙ Ò Ð ØÓ ÑÑ ÙÖ Ò ÝØÑÑ ÐÝ ÒØ Ø ¹ Ù Ð Ø Ú ÖÙÙ Ø Ä ½ ¹ Ä Ò Ö Ò Ò Ð Ö ÓÑ ØÖ ½º ½

¾ ½º ÂÓ ÒØÓ ÒÞ Ò Ð Ò Ø Ö Ð ÓØØ Ñ Ø ÐÐ Ò Ö Ø Å Ò ÒÛ Ö º Ä ÓÔÓÐ ÃÖÓÒ Ö ÄÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ 1,2,3,4,... Ð Ñ Ò Ò ÓÒ ØØÝÒÝØ ÝØÒÒ Ò Ø ÖÔ Ø Ð¹ Ñ Ø ÐÙ ÙÑÖ Ú ÒÒÓ Ø ØØ Ñ Ö ÓÐÑ Ò ÓÑ Ò Ò ÓÐÑ Ò Ð ¹ ÑÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ ÓÙ Ó ÐÐ ÓÒ ØÓ ÐÐ Ó Ò Ý Ø Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ º ÃÝØÒÒ Ò Ùع Ø ÓÚ Ø ÝÒØÝÒ Ø ÑÝ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ö ØÝ Ø Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙØ Ó Ò ÓÒ ÙÓÑ ØØÙ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ÑÓÒ ÒÝ Ý Ò Ø ØÒ ÐÚ ÐØ ØÙÒ¹ ØÙÚ Ð Ù ÒØ º ÅÙØØ Ñ Ø ÓÚ Ø Ò Ø Ú Ø ÐÙÚÙØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ ÖÖ ¹ Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ Ø ÓÔ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙص Ñ Ò ÐÐ ÚÓ Ò Ð Ò Ñ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ Ò Ä ÑÑ Ñ Ò Ò Ò Ý ÝÑÝ Ò Ú Ø Ù ÝÐÐ ÓÐ Ú Ä ÓÔÓÐ ÃÖÓÒ ¹ Ö Ò ÓÑÑ ÒØØ ÑÙ ÐÐ Ò ÓØ ÑÑ Ð Ø Ó ØÙØÙÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ¹ ÓÒ N = {0,1,2,3,... } ÓØ ÃÖÓÒ Ö Ò Ø Ö Ó ØØ ÔÙ Ù Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ Ø ÒÞ Ò Ð Òµº ÆÓÐÐ ÓÒ Ø ÓØ ØØÙ ÑÙ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÓÒ Ð Ò¹ Ò ÑÙ ÚÙÙ Ý Ø Ú ÓÐ Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ò ØÝ Ò ÒÒ ÐØ Ý Ø ÐÙÓÒ¹ ÒÓÐÐ Ò Ò Ù Ò ÐÙÚÙØ 1,2,3,4,...º ÂÓÙ Ó N Ú ÖÙ Ø Ø Ò ÐÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ Ù + µ Ö ØÝ ÐÐ Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÐ Ø ¹ Ø Ò ÒØÙ Ø Ú Ø ØÙÒÒ ØÙ º Â Ø Ó ÖØÓÐ Ù Ñ Ö ØÒ Ù Ò ÐÑ Ò Ô Ø ØØ a b = abº ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙ ÙÚÙ Ø Ð Ø Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÑÑ Ø ØØ Ò Ò ÑÙÙÒ ÐÐ Ò¹ Ö µ Ð ÐÙ Ù ÐÙ Ø Z Q R C Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ö ØÝ Øº ÐÓ Ø ÑÑ ÓÖÑ Ð ÐÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ ½º½º ÔØÝ Ò ÓÙ ÓÒ A Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ ÙÚ Ù : A A Aº Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ØÙÐÓ Ø Ñ Ö ØÒ ÝÐ Ò (a,b) = a bº Ä ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ ÒØ Ó Ð ØØ Ø Ò ÓÙ ÓÒ A Ð ÓÓÒ a,b ÓÙ ÓÒ A Ð ÓÒ a bº Ñ Ö ½º¾º µ ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ¹ Ý Ø ÒÐ Ù ÓÒ ÙÚ Ù + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), ÖØÓÐ Ù ÓÒ ÙÚ Ù : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). µ ÂÓÙ ÓÒ X Ó ÓÙ ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø X Ò ÔÓØ Ò ÓÙ ÓÒ P(X) = {A X}º ÂÓÙ ¹ Ó Ò Ð Ù Ý Ø ÓÚ Ø ÔÓØ Ò ÓÙ ÓÒ P(X) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ (A,B) A B (A,B) A Bº µ ÇÐ ÓÓÒ X ÓÐ ÓÓÒ F(X) = {f : X X} Ò X Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Óº ÃÙÚ Ù Ø Ò Ý ØÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙ ÓÒ F(X) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ (f,g) f gº µ Å ØÖ Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙØ Ò 2 2 ¹Ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó M 2 2 ÓÚ Ø Ð ÙØÓ Ñ ØÙ º Ø ÒÐ Ù ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÑÝ 2 3 ¹Ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó ÑÙع Ø ÖØÓÐ Ù ÓÐ º

ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ØÖ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø µ Ó Ø Ú ÙÙ Ð Ð ØÒÒ ÝÝ ÐÐ a,b,c N µ ÓÑÑÙØ Ø Ú ÙÙ Ð Ú ÒÒ ÙÙ ÐÐ a,b N µ ØÖ ÙØ Ú ÙÙ Ð Ó ØØ ÐÙÐ ÔØ ÐÐ a,b,c Nº a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c a + b = b + a ab = ba (a + b)c = ac + bc µ Ä Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ ÓÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó 0 N ÖØÓÐ ÙÐÐ ÓÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó 1 N a + 0 = 0 + a = a ÐÐ a N ; a 1 = 1 a = a ÐÐ a N. ÇÒ ØÖ ÙÓÑ Ø ØØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÚØ ØÓØ ÙØ Ò Ø ÓÑ Ò ÙÙ º Ñ Ö ½º º µ ÂÓÙ ÓÒ P(X) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú A B = B A A B = B A ÐÐ A,B P(X)º Æ ÓÚ Ø ÑÝ Ó Ø Ú Ð ØÖ ÙØ Ú ØÓ Ø Ò Ù Ø Òº µ ÂÓÙ ÓÒ F(X) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ò f (g h) = (f g) h ÐÐ f,g,h F(X)º Ä ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÐ Ù Ø Ò Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÐÐ ÝÐ Ò f g g f º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÇÐ ÓÓÒ A ÓÐ ÓÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ð ÙØÓ Ñ ØÙ º Ð Ó e A ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ò ÙØÖ Ð Ð Ó Ó e a = a = a e ÐÐ a Aº Ð Ó ā A ÓÒ Ð ÓÒ a A ÒØ Ð Ó Ó ā a = a ā = eº Ñ Ö ½º º µ ÃÙØ Ò Ó ØÓØ ÑÑ Ò 0 ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó 1 ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Óº Í ÑÑ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ð ÓØ ÙÑÑ Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ù Ø Òº µ Á ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù id: X X id(x) = x ÓÒ ÓÙ ÓÒ F(X) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ò ÙØÖ Ð Ð Ó id f = f = f id ÐÐ f F(X). ÂÓ f F(X) ÓÒ Ø Ó Ò ÒØ ÙÚ Ù f 1 ÓÒ ÙÚ Ù Ò f ÒØ Ð Ó Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ù Ø Ò f f 1 = id = f 1 f º ÌÓ ÐØ Ó f F(X) ÓÐ Ø Ó ÐÐ ÓÐ ÑÝ Ò ÒØ Ð ÓØ º µ Å ÖØ Ò ÖØÓÐ Ù ÚÖغ Ä ½µ ÓÙ Ó M 2 2 ÓÐ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÐÐ ÝÐ Ò AB BAº à ÖØÓÐ Ù ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ó Ø Ú Ò Ò Ð ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº Å ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÙ Ó M 2 2 ÑÝ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ( ) 1 0 I 2 2 =. 0 1 Ä ÙØÓ Ñ ØÙ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ù ÑÑ Ò ÓÙ ÓÒ ÖØ Ò ØÙÐÓÓÒ

Ñ Ö ½º º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÚÙÐÐ Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÓÙ ÓÓÒ N N (m,n) + (p,q) = (m + p,n + q)º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ ÓÒ Ö Ñ Ö Ö Ð Ø Ó Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º Ê Ð Ø Ó ÓÙ Ó A ÓÒ ÓÙ ÓÒ A A Ó ÓÙ Óº ÂÓ R A A ÓÒ Ö Ð Ø Ó Ò Ò Ù Ò Ñ Ö ØÒ arb (a,b) Rº Ñ Ö ½º º µ ÅÖ Ø ÐÐÒ Ö Ð Ø Ó R ÓÙ Ó N ØØ Ñ ÐÐ arb b = a + 3p ÓÐÐ Ò p N. ÌÑ Ö Ð Ø Ó Ð ØØÝÝ Ò Ò ÒÓØØÙ Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ò Ø Ó ÑÝ Ñ Ö ½º½ º µ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ Ó P(X) Ö Ð Ø Ó R ØØ Ñ ÐÐ ARB A B. ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÂÓÙ ÓÒ A Ö Ð Ø Ó R ÓÒ Ö Ú Ò Ò Ó ara ÐÐ a A ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó ÐÐ a,b A ÔØ arb = bra ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò Ó ÐÐ a,b A ÔØ arb brc = arc; ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó ÐÐ a,b A ÔØ arb bra = a = bº Ê Ð Ø Ó ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ó ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ó ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú ¹ Ò Ò ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ Ó ÓÒ Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ð ÐÐ a,b A ÔØ Ó Ó arb Ø braº ÂÓ R ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ ÓÙ Ó A Ò Ò Ô Ö (A,R) ÒÓØ Ò ØÝ Ò Ö ¹ Ø Ø ØÝ ÓÙ Ó º Ñ Ö ½º½¼º µ ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ ÐÐ ÔØ n n Ö Ú ÝÝ µ n m, m n = m = n n m, m p = n pº ÒØ ÝÑÑ ØÖ ÝÝ µ ØÖ Ò Ø Ú ÙÙ µ Ä Ò Ó Ó n m Ø m n ÓØ Ò ÓÒ ÓÙ ÓÒ N ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º µ ÂÓÙ ÓÒ X ÔÓØ Ò ÓÙ ÓÒ P(X) Ö Ð Ø Ó ÓÒ Ó ØØ Ò Ò ÑÙØØ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ A A A B, B A = A = B A B, B C = A C ÑÙØØ ÓÙ Ó ÐÐ A,B P(X) ÚÐØØÑØØ Ô A B Ø B A Ñ Ø Ñ Ö ¹ µº ÀÙÓÑ Ó Ø µ ÂÓ a b ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ Ñ Ö ÒØ b aº µ ÂÓ ÓÒ Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ò Ò Ù Ò ÝØ ØÒ ÑÝ Ö Ð Ø ÓØ a < b a b a b.

ÀÙÓÑ ØØ < ÓÐ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º Ñ Ð Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó ÐÐ ÓÐ Ö Ú Ò Òº Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓØ Ñ Ö ØÒ Ù Ò ÝÑ ÓÐ ÐÐ Ð Ó (a,b) ÓÒ Ý Ò Ö Ð ¹ Ø ÓÒ Ð Ó Ò Ò Ñ Ö ØÒ a bº ÂÓ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ò Ò Ó Ò Ò ÓÙ ÓÒ A Ð Ó a ÑÖ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò [a] = {b A : a b}. ÂÓÙ ÓÒ A Ð Ó Ò ÑÖÑØ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÙÙ Ò ÓÙ ÓÒ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓØ Ú Ø Ú A Ò Ø ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ A/ º Ä ÑÑ ½º½½º ÇÐ ÓÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ÓÐ ÓÓØ a,b Aº ÌÐÐ Ò a b [a] = [b]. ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº Ñ Ö ½º½¾º µ À ÐÔÓ Ò Ñ Ö Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ø ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ¹ Ù Ò Ö Ð Ø Ó = º ÌÐÐ Ò [n] = {n} ÐÐ n Nº µ ÂÓÙ ÓÒ N N Ö Ð Ø Ó (m,n) (p,q) m = p ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº Ì ÓÙ Ó (N N)/ ÚÓ Ò Ñ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ Ø Ú ÐÐ µ ÓÙ ÓÒ N Ò Ð ÓØ n N Ú Ø Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ [(n,0)] = {(n,m) : m N}º µ ÅÝ ÓÙ ÓÒ N N Ö Ð Ø Ó (m,n) (p,q) mq = np ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº ÌÐÐ Ð Ù ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓØ ØÙÐÐ Ò Ø ÖÚ Ø Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ý Ø Ý º µ Ñ Ö Ò ½º µ¹ Ó Ò Ö Ð Ø Ó ÓÐ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº Ë ÓÒ ÝÐÐ Ö ¹ Ú Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÑÙØØ ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ Ä Ù ½º½ º ½ ÂÓ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ÓÙ Ó A Ò ÓÚ Ø Ý Ø Ò ÓÔ Ú Ø Ó a b a b Ò ÙÒ a a b b º ÌÐÐ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÑÖ Ø Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÓÙ Ó A/ ÒÒ ÐÐ [a] [b] = [a b]º Ñ Ö ½º½ º ÇÐ ÓÓÒ Ö Ð Ø Ó Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Z ÑÖ Ø ÐØÝ Ò¹ Ò ÐÐ a b Ó ÓÒ k Z Ø Ò ØØ b = a + 3kº ÌÐÐ Ò ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ½µ a = a + 3 0 ÐÐ a Z ¾µ Ó b = a + 3k ÓÐÐ Ò k Z Ò Ò a = b + 3 ( k) µ Ó b = a + 3k c = b + 3n Ó ÐÐ Ò k,n Z Ò Ò c = a + 3(k + n)º Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÓÒ ÖÙ Ò º Ø ÒÐ Ù ÓÒ Ý Ø Ò ÓÔ Ú ¹ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÂÓ a = a + 3m b = b + 3n Ò Ò a + b = a + b + 3(m + n). Ë Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÑÖ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÓÐÑ Ò Ð ÓÒ ÓÙ ÓÐÐ Z/ = {[0],[1],[2]}. ½ ÌÐÐ Ø ÐÐ Ñ Ö ØÝØ Ó Ø ÓÚ Ø Ð Ø ØÓ Ó Ú Ö Ò Ø ÙÙÐÙ ÙÖ Ò ÐØ Ò»Ø Ú Ø ÑÙ Ò

¾º ÃÓ ÓÒ ÐÙÚÙØ Í ÑÑ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ð ÓØ Ý Ø Ò¹»Ø ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÌÑ ÓÒ Ð Ý Ø Ý Ò ØØ ÚØ Ú ÒÒÝ ¹ ÓÐ ÙØ ÓÐ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ÑÙ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ó Ò Ò ØÙ¹ ÐÓ Ø ÚØ ÓÐ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÙ Ù µº Ì Ñ Ð ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ð Ò Ô Ò Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ù Ø Òº Ä ÒÒ ÑÑ ÐÙ ÐÙ Ù ÐÙ ØØ N Ø Ò ØØ Ó ÐÐ Ð ÓÐÐ ÓÒ Ø ÙÙ ¹ ØÖÙ ØÙÙÖ Ð Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Z ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÌÐÐ Ò ÑÝ Ú ÒÒÝ Ð Ù ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÐÙ Ù ÐÙ Zº Á Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÑÙÓ ÓÐÐ Ò ÖÓØÙ Ò º ÂÓ m n ÓÚ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÙ Ù m n Ò Ò ÖÓØÙ m n ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙÓÒÒÓй Ð Ò ÐÙ ÙÒ ÓÒ Ý ØÐ Ò n+x = m Ö Ø Ù x Nº ÌÓ ÐØ ØÑ Ñ ÐÙÓÒÒÓй Ð Ò Ò ÐÙ Ù x ÚÓ Ò ØØ ÖÓØÙ Ò Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒ ÐÐ Ö Ø Ú ÐÐ º Ö ØÝ Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ m n = p q m + q = p + n. ÅÙØØ Ø Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÒØÝÝ Ú Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÓØ Ò Ó Ò ÔÙÓÐ Ò Ý ØÐ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ m,n,p,q N Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø ÓÒ Ó m n p qº ÌÑÒ Ú ÒÒÓÒ ÓÔ Ø Ñ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÓÙ ÓÓÒ N N Ö Ð Ø ÓÒ ØØ ¹ Ñ ÐÐ ½µ (m,n) (p,q) m + q = p + n. À Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØÑ Ø Ö Ó ØØ ÙÙÖ Ø ØØ ÐÙÚÙ ÐÐ m n ÓÒ Ñ ÖÓØÙ Ù Ò ÐÙÚÙ ÐÐ p qº 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 ÃÙÚ ½º Ê Ð Ø ÓÒ ÐÙÓ Ø [(0,1)] [(0,0)] [(1,0)]º Ä ÑÑ ¾º½º Ã Ú ÐÐ ½µ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ N N Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº

ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ m,n,p,q,r,s Nº ÌÐÐ Ò ½µ (m,n) (m,n) Ó m + n = m + nº ¾µ (m,n) (p,q) m + q = p + n p + n = m + q (p,q) (m,n)º µ (m,n) (p,q) = m+q = p+n (p,q) (r,s) = p+s = r+qº Ä Ñ ÐÐ ÒÑ Ý ØÐ Ø Ý Ø Ò Ò Ò ÒÔ (m + q) + (p + s) = (p + n) + (r + q) (m + s) + (p + q) = (r + n) + (p + q). ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÙÓÑ ØØ Ø Ø ÖÚ Ø Ú ÒÒÝ Ð Ù µ Ø Ø ÙÖ ØØ m + s = r + n, ÓØ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÑÖ ¹ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ (m,n) (r,s). ÇÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò ÓØ Ò ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº ÆÝØ ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓØ Ú Ø Ú Ò Ø ÓÙ ÓÒ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ Z = (N N)/, Ñ (m,n) (p,q) m + q = p + nº Å Ö Ø ÑÑ Ô Ö Ò (m,n) N N ÑÖÑ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ø Ó ÐÝ Ý Ø Ú Ò [m,n] = [(m,n)] Zº ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ ¾µ [m,n] + [p,q] = [m + p,n + q] ÖØÓÐ Ù ØØ Ñ ÐÐ µ [m,n] [p,q] = [mp + nq,mq + np]. ÀÙÓÑ ÙØÙ µ Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ö Ú ÃÙÒ [m,n] ¹ Ø ÐÐ Ò ÖÓØÙ Ò m n Ò Ò Ð Ù Ø ¾µ µ Ú Ø Ú Ø Ð Ù Ø (m n) + (p q) = (m + p) (n + q) (m n)(p q) = (mp + nq) (mq + np). µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ º ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ØÙÐÓ Ø ÚØ Ö ÔÙ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ø Ú Ð ØÙ Ø Ù Ø Ø º ÌÓ Ø ÑÑ ØÑÒ Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ (m,n ) [m,n] (p,q ) [p,q] ÓÐÐÓ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÔØ µ m + n = m + n p + q = p + q. ÃÓ Ý Ø ÒÐ Ù ÑÖ Ø ÐØ Ò ØØ Ñ ÐÐ [m,n] + [p,q] = [m + p,n + q] Ò Ò ÒÝØ ØÝØÝÝ Ó Ó ØØ ØØ µ [m + p,n + q] = [m + p,n + q ]. Ä Ñ ÐÐ Ó Ò µ Ý ØÐ Ø Ý Ø Ò Ò (m + n ) + (p + q ) = (m + n) + (p + q)

Ð (m + p) + (n + q ) = (m + p ) + (n + q). ÅÙØØ ØÐÐ Ò Ò (m + p,n + q) (m + p,n + q ) Ñ Ø µ ÙÖ Ä ÑÑ Ò ½º½½ ÒÓ ÐÐ º à ÖØÓÐ Ù Ø ÐÐÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚÒº ÀÙÓÑ ÙØÙ ÐÐ Ò ÙÓÑ ÙØÙ Ò µ¹ Ó Ò ØÙÐÓ ÚÓ Ò ÐÑ Ø ÑÝ Ù¹ Ö Ú Ø ÃÓ ½º ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÙ ÓÒ N N Ð ÙØÓ Ñ ØÙ (m,n) + (p,q) = (m + p,n + q) ÓÒ Ý Ø Ò ÓÔ Ú Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÑÖ ØØ Ð ÚÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Óй ÐÓ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù Ò Ú Ø Ú Ò Ø Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ú Ö¹ Ø Ó Ø Ò ½º½ µº ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÝÐ ØÝÚØ ÑÝ Ó ÓÒ ÐÙÚ٠й Ð Ð ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ Ò ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Ò Ä Ù ¾º º µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø Ó Ø Ú Ð ÐÐ a,b,c Zº a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú Ð ÐÐ a,b Zº a + b = b + a ab = ba µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Ò Ð ÐÐ a,b,c Zº (a + b)c = ac + bc µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒ [0,0] ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒ [1,0]º µ ÂÓ ÐÐ Ð ÓÐÐ [m,n] Z ÓÒ Ú Ø ÐÙ Ù [n,m] Z Ð ÒØ Ð Ó Ý Ø Ò¹ Ð ÙÒ Ù Ø Òµ [m,n] + [n,m] = [0,0]. ÌÓ ØÙ º µ ÌÓ Ø Ø Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ó Ø Ú ÙÙ º ÇÐ ÓÓØ a = [m,n] b = [p,q] c = [r,s] Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÃÝØØ Ò ÝÚ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ó Ø Ú ÙÙØØ ÑÑ (a + b) + c = [m + p,n + q] + [r,s] = [(m + p) + r,(n + q) + s] = [m + (p + r),n + (q + s)] = [m,n] + [p + r,q + s] = a + (b + c). à ÖØÓÐ ÙÒ ØØ ÐÝ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº µ [m,n] + [0,0] = [m,n] [m,n][1,0] = [m + 0,0 + n] = [m,n]º

µ ÆÝØ [m,n]+[n,m] = [m+n,n+m]º ÌÓ ÐØ ÐÐ k N ÔØ (k,k) (0,0) ÐÐ k + 0 = 0 + kµ ÓØ Ò [k,k] = [0,0] Ö ØÝ Ø [m + n,n + m] = [0,0]º Ë Ô [m,n] + [n,m] = [0,0]º Å Ö ÒØ Å Ö Ø ÑÑ Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ a = [m,n] Z Ú Ø ÐÙ Ù a ÓÐÐÓ Ò Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ a = [n,m]º ÀÙÓÑ ØØ ØÐÐ Ò a = [0,1][m,n]º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÅÖ ØØ Ð ÑÑ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ú ÒÒÝ Ð ÙÒ : Z Z Z ØØ Ñ ÐÐ a b = a + ( b)º ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÒØ Ð Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓ Ø Ò ÐÙÚÙ ÐÐ [1,0] [0,1] ØÓØ µ ÓØ Ò ÖØÓ¹ ÓÐ Ù Ò Ù Ø Ò Z ÓÒ Ú Ð Ð Ò Ô Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ô Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Òº À ÐÙ ÑÑ ØØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ð ÒÒÙ ÓØ Ò ÓÙ ÓÒ N ØÙÐ ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ Z Ó ÓÙ Óº ÃÙ Ø Ò Ò Z ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÙ ÓÒ N N ØÖ Ø Ò Ø ÓÙ ÓÒ N ÓÐ ØÑÒ ÓÙ ÓÒ Ó ÓÙ Óº ÎÓ ÑÑ Ö¹ Ø ØÑÒ ÓÒ ÐÑ Ò Ø ÑÐÐ Ñ Ø Ñ Ø ÝÚ Ò Ù Ò ÝØ ØÝÒ Ø ÑÔÙÒ Ñ ¹ Ø ÑÑ ÓÙ ÓÒ N ÓÔ Ú Ò ÓÙ ÓÒ N Ò Ø Ú Òµ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ ÓÒ Ò º Ä Ù ¾º º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù i: N Z ØØ Ñ ÐÐ i(n) = [n,0]º ÌÐÐ Ò i ÓÒ Ò Ø Ó ÓÐÐ ÔØ ÐÐ m,n Nº i(m + n) = i(m) + i(n) i(mn) = i(m)i(n) ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò ÐÙ Ò Ø Ú ÝÝ ÂÓ i(n) = i(m) Ò Ò [n,0] = [m,0]º ÅÙØØ ØÐÐ Ò n + 0 = m + 0 ÓØ Ò n = mº Ë Ô i ÓÒ Ò Ø Óº ÇÐ ÓÓØ ØØ Ò m,n Nº ÌÐÐ Ò i(m + n) = [m + n,0] = [m,0] + [n,0] = i(m) + i(n) Ú Ø Ú Ø i(mn) = [mn,0] = [m,0][n,0] = i(m)i(n). Ä Ù Ò ¾º ÑÙ Ò ÙÚ Ù Ø i Ò Ø Ó i: N i(n) Z Ó ¹ ÐÝØØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ð ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ø Ð Ø Ò Ó ÐÙÚÙØ m n Ý Ø Ò Ø ÖÖÓØ Ò Ó Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÐÙ Ù Ò Ú Ú Ø Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò [m,0] [n,0]º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó ÚÓ Ò ÑÝ Ð ÒØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÓÒ Zº ÅÙ Ø ØØ ÓÙ ÓÒ X Ö Ð Ø Ó R ÓÒ Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ó ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº ÂÓ Ð ÐÐ a,b X ÔØ arb Ø bra Ò Ò R ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º ÂÓ R ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ ÓÙ Ó X Ò Ò (X,R) ÓÒ ØÝ Ò Ö Ø ØØݺ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ ÓÒ Z Ö Ð Ø Ó ØØ Ñ ÐÐ [m,n] [p,q] m + q p + n. ÀÙÓÑ Ó Ø µ ÀÙÓÑ ØØ Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÒØÝÝ Ú Ò ÓÙ ÓÒ N Ö ØÝ º µ ÃÙÒ [m,n] Ø ÐÐ Ò ÖÓØÙ m n Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÒÓÓ m n p q m + q p + n.

½¼ Ä Ù ¾º º ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð Ø Ó ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Z ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º Ä ÐÐ m,n N ÔØ i(m) i(n) m n. ÌÓ ØÙ º ½µ Ç Ó Ø Ø Ò ÐÙ ØØ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÇÐ ÓÓÒ [m,n] [p,q] ÓÐ ÓÓØ (m,n ) [m,n] (p,q ) [p,q]º ÌÐÐ Ò m+q p+n ØÓ ÐØ m+n = m +n p+q = p +q Ô Ø Ó Ó ØØ ØØ ÑÝ m +q p +n º ÅÙØØ Ò Ò ÓÒ ÐÐ (m + q ) + (p + n) = (m + n) + (p + q ) = (m + n ) + (p + q) = (m + q) + (p + n ) (p + n) + (p + n ). ¾µ Ì Ö Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ó ØØ Ò Ö ØÝ Ò Ú Ø ÑÙ Ø ØÝØØÝÚØ [m,n] [m,n] ÓÒ ÐÚ ÂÓ [m,n] [p,q] [p,q] [m,n] Ò Ò m + q p + n m + q p + n ÓØ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ ÝÝ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ m + q = p + n Ð [m,n] = [p,q] ÂÓ [m,n] [p,q] [p,q] [r,s] Ò Ò m + q p + n p + s r + q ÓÐÐÓ Ò m + q + p + s p + n + r + q, Ñ Ø ÙÖ m + s r + n Ð [m,n] [r,s]º µ ÇÐ ÓÓØ [m,n],[p,q] Zº ÃÓ ÓÒ ÓÙ ÓÒ N ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ Ò Ò ÒÝØ Ó Ó m + q p + n Ø m + q p + n ÓØ Ò [m,n] [p,q] Ø [m,n] [p,q]º Ë Ø Ò ÓÒ ÓÙ ÓÒ Z ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º µ ÇÐ ÓÓØ m,n Nº ÌÐÐ Ò i(m) i(n) [m,0] [n,0] m + 0 n + 0 m n. ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Z + ØØ Ñ ÐÐ ÂÓÙ Ó Z + = {[k,0] Z : k N, k 0}. Z + = {[0,k] : k N, k 0} ÒÓØ Ò ÔÙÓÐ Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Å Ö ØÒ Ð 0 = [0,0] Zº ÌÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÔØ ÚØ Ä ÑÑ ¾º º µ ÃÙÒ a,b Z + Ò Ò a + b Z + ab Z + º µ Z = Z + {0} Z + º µ Z + Z + = º µ à ÐÐ a Z ÔØ a 2 Z + {0}º ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓØ a = [m,0], b = [n,0] m,n Nº ÌÐÐ Ò a + b = [m + n,0]º ÃÓ m + n N m + n 0 Ò Ò a + b Z + º Ë ÑÓ Ò ab = [mn,0] Z + º µ ÇÐ ÓÓÒ a = [m,n] Zº ÂÓ m = n Ò Ò a = 0 Ú ÖØ Ä Ù Ò ¾º Ó Ò µ ØÓ ØÙ Òµº ÂÓ Ø m > n Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ k N k 1 Ø Ò ØØ m = n+kº ÅÙØØ ØÐÐ Ò m+0 = k +n Ð [m,n] = [k,0] ÓØ Ò a Z + º Î Ø Ú Ø Ó m < n Ò Ò Ð ÝØÝÝ k N k 1 Ø Ò ØØ m + k = 0 + nº ÌÐÐ Ò [m,n] = [0,k] ÓØ Ò

½½ a Z + º ÃÓ Ó Ù ÐÐ Ø ÐÐÝ Ø Ú ØÓ Ó Ø ÓÒ Ò ÚÓ Ñ Ò Ò Ú Ø ÙÖ º µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº ËÓÔ ÑÙ Ì Ø Ñ Ø ÑÑ ÐÙ Ù ÐÙ Ò N Ú Ø Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ ÓÒ i(n) = Z + {0} Ò Ñ Ö Ø ÑÑ ÐÐ n N n = [n,0] Z. ÌÐÐ ØÙÐ ÒÒ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ø N ØÙÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Z Ó ÓÙ Óº Ä Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ò ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒ Ó Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ø Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÐÙ Ùµ Ø ÓÒ ÙÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ó Ó¹ Ò ÐÙÚÙÒ Ú Ø ÐÙ Ù Ð Ò Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Å Ö Ø ÑÑ Ò Ø Ó ÐÐ n N n = [0,n] Z. ÀÙÓÑ ÙØÙ µ ÃÙÒ [m,n] Z Ò Ò ÐÐ Ø Ñ Ö ÒØ ÝØØ Ò ÚÓ ÑÑ Ö¹ Ó ØØ ØØ [m,n] = [m,0] + [0,n] = m + ( n) = m n Ð ÐÙ Ù [m,n] ÓÒ ØÓ ÐÐ ÖÓØÙ m nº µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ ÚÓ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ ÓÙ ÓÒ Z + ÚÙÐÐ ÐÐ ¹ ÐÐ a,b Z ÔØ a b b a Z + {0} (= N ) Ø Ý ØÔ ØÚ Ø Ø Ý Ø Ý ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÑÑ Òµ a < b b a Z + ; Ý ØÝ Ó Ø Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ð ÑÙÙØ Ñ Ý ÝÐÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÓÑ Ò ¹ ÙÙ º Ä ÑÑ ¾º º µ ÂÓ a,b,c Z a + c = b + c Ò Ò a = bº µ ÂÓ a,b Z ab = 0 Ò Ò a = 0 Ø b = 0º µ ÂÓ a,b Z c Z \ {0} ac = bc Ò Ò a = bº ÌÓ ØÙ º µ ÃÓ c + ( c) = 0 Ò Ò ÓÐ ØÙ Ø a + c = b + c ÝØØ Ò ÑÑ a = a + 0 = a + (c + ( c)) = (a + c) + ( c) = (b + c) + ( c) = b + (c + ( c)) = b. µ ÂÓ a = 0 Ò Ò Ú Ø ÙÖ ÓØ Ò ÚÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ a 0º Ä ÑÑ Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÝØ Ð ÝØÝÝ k N k 1 Ø Ò ØØ a = [k,0] Ø a = [0,k]º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ b = [p,q] Zº ÂÓ a = [k,0] Ò Ò [0,0] = ab = [k,0][p,q] = [kp,kq], ÓØ Ò kp = kqº ÃÓ k 1 Ò Ò Ø Ø ÙÖ N Ò ÖØÓÐ ÙÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØØ p = q ÓÐÐÓ Ò b = [p,p] = 0º Ì Ô Ù a = [0,k] Ø ÐÐÒ Ú Ò Ú Ø Ú Ø º µ Ë ÙÖ µ¹ µ¹ Ó Ø Ö Ó ØÙ Ø ØÚº

½¾ À ØÓÖ Æ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ø Ú Ø Ò Ó ÝÚ Ò Ú Ö Ò Ð ÒØ Ð Ð Ø ÝÐ Ò ÙÚ Ñ Ò Ú Ð º Ò ÑÑ Ò Ò ØÙÒÒ ØØÙµ Ö Ø Ð¹ ÑÐÐ Ò Ò Ò Ø Ú Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÒÓÐÐ Ò µ Ö ØÑ Ø Ò ØÝ Ð ÝØÝÝ ÒØ Ð Ò Ö ¹ Ñ ÙÔØ Ò ¼µ Ø Øº ÁÒØ Ø Ò Ø Ú Ø ÐÙÚÙØ Ð Ú ÚØ Ø Ø Ö Ò ÐÐ Ò ÙÖÓÓÔÔ Ò ÑÙØØ Ò Ò ÝØØ ÓÐ ÐÙ ÝÚ Ò Ú Ö ÙØÙÒÙØØ º Ñ Ö ¹ Ð Ö ÐÐ Ø Ò Ý ØÐ Ò Ò Ø Ú Ø ÙÙÖ Ø Ø ØØ Ò Ý Ø Ñ ØØ Ø ÙÓÑ Ó Ñ Ø¹ Ø Ú Ð ½ ¼¼¹ÐÙÚÙÐÐ º Ò ÑÑ ÙÙ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó ÓØ ØØ Ð ÚØ Ò Ø Ú ÐÙ Ù ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ó Ò ÐÙ Ù Ö Ø ÐÑ ÓÐ Ú Ø Å Ð ËØ Ð ½ ½ Ë µ Ê Ð ÓÑ ÐÐ ½ ¾ ½ ¾ ÁØ Ð µº ØÐ Ò Ò Ø Ú Ø Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø Ð ÐÐ Ò Ò Ì ÓÑ À ÖÖ ÓØ Ò ½ ¼ ½ ¾½ Ò Ð ÒØ µ Ð ÖØ Ö Ð Ò ½ ½ ¾ Ê Ò»ÀÓÐÐ ÒØ µ Ø ÓØ ÚØ Ù Ø Ò Ò ØÙÐÐ Ø ÓÑ Ò Ò Ò ÓÚ Ò ØÙÒÒ ØÙ º Ö Ð ÓÐ ÐÑ Ø ÑÝ Ò ÑÑ Ó ØØ ØÙ Ò Ø¹ Ø Ò Ø Ú Ø ÐÙÚÙØ ØØÙÚ Ø Ú Ø Ò ÙÙÒØ Ò ÔÓ Ø Ú ÐÙ Ù Ò Ò Òº ÌÑ ØÝ ÝÐ ØÝ ½ ¼¼¹ ½ ¼¼¹ÐÙÚÙ ÐÐ ÙÒ Ò ÐÝÝØØ ÓÑ ØÖ Ð Ø¹ Ø Ò ÝØØ ÓÓÖ Ò ØØ Ð Ø Ó ÒØÝ ÑÝ Ò Ø Ú ÐÙ Ù º ÔÐÙÙÐÓ Ò Ø Ú ÐÙ Ù Ó Ø Ò ÓÐ Ù Ø Ò Ò ÝÚ Ò ÝÐ Ø Ú Ð ½ ¼¼¹ ½ ¼¼¹ÐÙÚÙ ÐÐ Òº Á Ò Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ô Ö Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò ÓÒ Ô Ö Ò Ä ÓÔÓÐ ÃÖÓÒ Ö ÐØ ½ ¾ ½ ½ Ë µ ÚÙÓ ÐØ ½ º ÀÒ Ò ØÝ Ò ØÓ Ò ÔÓ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ØÐÐ ÙÖ ÐÐ ÝØØÑ Øѹ Ñ ÓØ Ð ÑÔÒ ÓÒ Ê Ö Ò Ò ½ ½ ½ ½ Ë µ ÑÖ Ø ÐÑ ÚÙÓ¹ ÐØ ½ ½ º º Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ ÒÓ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ó ÐÐ ÓÒ ÒØ ÐÙ Ù ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÓÚ Ø 1 1º ÌÓ ¹ ÐØ ÓÐ Ù ÓÒÒ ØÙÙ Ó ÐÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÙØØ ÐÐ º ÂÓ Ù Ø Ò Ò a,b,c,d Z Ó ÑÖØ a b c d ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò a b = c ad = bc; d Ñ Ö 12 3 = 8 12 2 = 3 8. 2 ÌÑ Ú ÒØÓ Ó Ø Ñ Ø ÑÖ ØØ Ð ÑÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÑÙÓ¹ ÓÐÐ Ø Ò Ó ÑÖ Ò ÚÙÐÐ Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÑÖ Ø ÐØ Ò ÐÙÓÒ¹ ÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÑÙÓ ÓÐÐ Ò ÖÓØÙ Ò º Å Ö ØÒ Z = Z \ {0} ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ð Ø Ó ÓÙ Ó Z Z ØØ Ñ ÐÐ µ (a,b) (c,d) ad = bc. Ä ÑÑ º½º Ã Ú ÐÐ µ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ Z Z Ú Ú Ð Ò Ö ¹ Ð Ø Óº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ a,c,e Z b,d,f Z º ÌÐÐ Ò ½µ (a,b) (a,b) Ó ab = baº ¾µ (a,b) (c,d) ad = bc cb = da (c,d) (a,b)º µ (a,b) (c,d) = ad = bc (c,d) (e,f) = cf = deº à ÖØÓÑ ÐÐ ÒÑ Ý ØÐ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò Ò (ad)(cf) = (bc)(de), Ò ÒÔ (af)(cd) = (be)(cd).

ÂÓ ÒÝØ cd 0 Ò Ò Ä ÑÑ Ò ¾º µ¹ Ó Ò ÒÓ ÐÐ af = be ÓÐÐÓ Ò (a,b) (e,f)º ÂÓ Ø cd = 0 Ò Ò Ä ÑÑ Ò ¾º µ¹ Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ c = 0 Ó d Z µ ÓØ Ò ÑÝ ad = bc = 0 de = cf = 0. ÃÓ ÐÐ Ò d 0 Ò Ò a = 0 e = 0º Æ ÒÔ af = 0 = be ÓØ Ò Ø Ò Ø Ô Ù (a,b) (e,f)º ÃÓ ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ Q = (Z Z )/, Ñ (a,b) (c,d) ad = bcº Ð ÓÒ (a,b) Z Z ÑÖÑ Ú Ú ¹ Ð Ò ÐÙÓ Ñ Ö ØÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ý Ø [a,b] = [(a,b)] Qº Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ [a,b] + [c,d] = [ad + bc,bd] ½ ÖØÓÐ Ù [a,b][c,d] = [ac,bd]. ÀÙÓÑ ÙØÙ µ ÃÓ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ ÑÖ ØØ Ð Ú Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ÔÓ Ù¹ ØÙÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ ÙÙÒ ØÙÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ¹ ÑÑ Ò Ò Ò Ò Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù Ø º µ Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÒ ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ú Ø ÃÙÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù [a,b] Ø ÐÐ Ò Ó ÑÖÒ a b Ò Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÑÙÓ ÓÒ ÖØÓÐ Ù ÑÙÓ ÓÒ a b + c ad + bc = d bd a b c d = ac bd. µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ º ÆÝØ ØÒ ØÑ Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ ÇÐ ÓÓØ (a,b ) [a,b] (c,d ) [c,d]º È Ø Ó Ó ØØ ØØ Ð ØØ Ð Ý ØÔ ØÚ Ø µ ÅÙØØ Ó a b = b a c d = d c Ò Ò [a d + b c,b d ] = [ad + bc,bd] (a d + b c )(bd) = (b d )(ad + bc) a d bd + b c bd = b d ad + b d bc. a d bd = (a b)(d d) = (b a)(d d) = b d ad b c bd = (c d)(b b) = (d c)(b b) = b d bc, ÓØ Ò Ý ØÐ µ Ô Ø Ô Ò Ø Ò Ú Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº à ÖØÓÐ Ù Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Å Ö ÒØ Å Ö Ø ÑÑ Ø Ó Ù Ò [p,q] = p q = p/qº ÅÙ Ø Ù Ø Ò Ò ØØ Ø Ö Ó Ø ÑÑ ØÐÐ Ñ Ö ÒÒÐÐ Ô Ö Ò (p,q) Z Z ÑÖÑ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ º

½ Ã Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÝÚØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÔØ ÚØ ÑÝ Ö Ø ÓÒ ¹ Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ð Ó ÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙÐÐ Ò ÒØ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò Ä Ù º º µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø Ó Ø Ú º µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú º µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒ 0 = [0,1] ÖØÓÐ ÙÒ Ò Ùع Ö Ð Ð Ó ÓÒ 1 = [1,1]º µ ÂÓ ÐÐ [p,q] Q ÓÒ Ú Ø ÐÙ Ù [ p,q] Q Ð ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òµ [p,q] + [ p,q] = [0,1]. µ ÂÓ ÐÐ [p,q] Q \ {[0,1]} ÓÒ ÒØ ÐÙ Ù [q,p] Q \ {[0,1]} Ð ÒØ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òµ [p,q][q,p] = [1,1]. ÌÓ ØÙ º µ Ë ÙÖ Ñ Ð Ó ÙÓÖ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ó Ø Ú ¹ ÙÙ Ø Ñ Ö [a,b] ( [c,d][e,f] ) = [a,b][ce,df] = [a(ce),b(df)] = [(ac)e,(bd)f] =... µ Ë ÙÖ Ñ Ð Ó ÙÓÖ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú ÙÙ Ø Ñ Ö µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº µ À ÐÔÔÓ Ð Ùº [a,b] + [c,d] = [ad + bc,bd] = [cb + da,db] = [c,d] + [a,b]. µ Ì Ö ØØ ÙÓÑ Ø ØØ [0,m] = [0,1] ÐÐ m Z º µ Ì Ö ØØ ÙÓÑ Ø ØØ [m,m] = [1,1] ÐÐ m Z º ÀÙÓÑ ÙØÙ ÆÓÐÐ ÐÐ 0 = [0,1] ÚÓ ÓÐÐ ÒØ ÐÙ Ù Ó ÐÐ [p,q] Q [0,1][p,q] = [0 p,1 q] = [0,q] [1,1] = 1. Å Ö ÒØ Å Ö Ø ÑÑ ÐÙÚÙÒ a = [p,q] Q Ú Ø ÐÙ Ù a = [ p,q] ÒØ ¹ Ð ÓØ 1 a = a 1 = [q,p]º ÅÖ Ø ÐÑ º º ½µ ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÙÙ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÓÐ ÙÒ ÓÙ Ó ¹ Q = Q \ {0} ØØ Ñ ÐÐ a/b = a b 1 ÐÐ a,b Q Ñ b 1 ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙÒ b 0 ÒØ ÐÙ Ùº ÃÝØÑÑ ÑÝ Ñ Ö ÒØ a b = a/bº ¾µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ú ÒÒÝ Ð Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ a b = a+( b) ÐÐ a,b Qº ÐÐ ÐÙÚÙ Ñ Ø ÑÑ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ N ÐÙ Ù ÐÙ Ò Z Ó ÓÙ¹ Ó º ÆÝØ ÐÙ ÑÑ Ø Ñ Ò ÓÙ ÓÐÐ Z ÙÙ Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ò Q Ù Ø Òº ÌØ Ú ÖØ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÙÚ Ù Ò j : Z Q ØØ Ñ ÐÐ j(m) = [m,1]º Ä ÑÑ º º ÃÙÚ Ù j ÓÒ Ò Ø Ó ÓÐÐ ÔØ ÐÐ m,n Zº j(m + n) = j(m) + j(n) j(mn) = j(m)j(n)

½ ÌÓ ØÙ º Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ä Ù ¾º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚµº Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ø Ú ÖØ Ò ÓØ ÑÑ ÝØØ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ { m } Q + = n Q : m,n Z +. Î Ø Ú Ø Ò Ø Ú Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ { m } Q + = n Q : m,n Z +. ÅÙ Ø ØØ m n = [m,n]º ÂÓÙ ÓÐÐ Q + ÓÒ Ñ Ò ÐØ ÓÑ Ò ÙÙ Ù Ò ÔÓ Ø ¹ Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÐÐ Z + Ä ÑÑ º º µ ÂÓ a,b Q + Ò Ò a + b Q + ab Q + º µ Q = Q + {0} Q + º µ Q + Q + = º µ à ÐÐ a Q ÔØ a 2 Q + {0}º µ à ÐÐ a Q + ÔØ a 1 Q + º ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓØ a = m/n b = p/q Ñ m,n,p,q Z + º ÌÐÐ Ò a + b = (mq + np)/nqº Ä ÑÑ Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ mq,np,mq + np,nq Z + ÓØ Ò a + b Q + º Î Ø Ú Ø Ò Ò ØØ ab Q + º ÄÓÔÙØ Ó Ø Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÅÝ Ä ÑÑ ¾º ÝÐ ØÝÝ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ä ÑÑ º º µ ÂÓ a,b,c Q a + c = b + c Ò Ò a = bº µ ÂÓ a,b Q ab = 0 Ò Ò a = 0 Ø b = 0º µ ÂÓ a,b Q c Q ac = bc Ò Ò a = bº ÌÓ ØÙ º µ ÌÓ Ø Ø Ò ÙØ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ º µ ÇÐ ÓÓØ a = m/n b = p/q Ñ m,p Z n,q Z º ÂÓ ab = 0 Ò Ò mp nq = 0 = 0 1. ÌÐÐ Ò mp = 0 ÓØ Ò Ä ÑÑ Ò ¾º ÒÓ ÐÐ m = 0 Ø p = 0º Ë Ô a = 0 Ø b = 0º µ Ë ÙÖ µ¹ µ¹ Ó Ø ÙØ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ º ÎÓ Ò ØÓ Ø ÑÝ Ýع Ø Ò ÐÙÚÙÒ c ÒØ ÐÙ Ù Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò µ¹ Ó ÝØ ØÒ Ú Ø ÐÙ¹ Ù º ÆÝØ ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ö ØÝ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ º º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ ÓÒ Q Ö Ð Ø Ó < ØØ Ñ ÐÐ ÐÐ a,b Q a < b b a Q +. ÀÙÓÑ ÙØÙ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Ø Ò ÑÝ ÖÓØÙ µ ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÓØ Ò Ö ØØ ÙÓÑ Ø ØØ ÓÙ ÓÓÒ Q + ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ö ÔÙ Ú Ð ØÙ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ a Ù Ø Ø º ÌÐÐ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ö Ð Ø Ó < ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØݺ

½ ÌÓØÙØØÙÙÒ Ø Ô Ò Ø ÑÑ Ú Ð ÐÐ a,b Q a b a < b Ø a = b. ÀÙÓÑ ÙØÙ ÃÙÒ m,n,p,q Z + Ò Ò m µ n p mq np. q ÌÑ Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÝÚ Ø Ô ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ø ÔÓ ÒØ Ú Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÙ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ä Ù º º ÂÓÙ ÓÒ Q Ö Ð Ø Ó ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º Ä ÐÐ m,n Z ÔØ ÌÓ ØÙ º ½µ ÇÐ ÓÓØ a,b,c Qº ÌÐÐ Ò j(m) j(n) m n. a a ÂÓ a b b a Ò Ò b a Q + {0} b a = (a b) Q + {0}º ÃÓ Ä ÑÑ Ò º ÑÙ Ò Q + Q + = Ò Ò ÚÐØØÑØØ b a = 0 ÓÐÐÓ Ò a = bº ÂÓ a b b c Ò Ò b a Q + {0} c b Q + {0} ÓÐÐÓ Ò Ä ÑÑ Ò º µ¹ Ó Ò ÚÙÐÐ Ò Ò ÐÔÓ Ø ØØ Ë Ô a cº c a = (c b) (b a) Q + {0}. Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ ÓÙ ÓÒ Q Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ º ¾µ ÇÐ ÓÓØ a,b Qº Ä ÑÑ Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ b a = 0 b a Q + Ø a b = (b a) Q + º Æ ÒÔ a b Ø b a ÓØ Ò Ö ØÝ ÓÒ ÑÝ ØÝ ÐÐ Ò Òº µ ÇÐ ÓÓØ m,n Zº ÌÐÐ Ò j(m) j(n) [m,1] [n,1] m 1 1 n m n, Ñ ÑÑ Ò Ò Ú Ú Ð Ò ÙÖ Ú Ø µº ËÓÔ ÑÙ Ì Ø Ñ Ø ÑÑ Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ú Ø Ú Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ¹ ÓÒ j(z) Q Ò º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó m Z Ò Ò m = [m,1] = m/1 Qº ÀÙÓÑ ÙØÙ ÇÐ ÑÑ ÝØØÒ Ø Ñ Ö ÒØ a/b = a b Ø Ò Ø Ö Ø Ö¹ Ó ØÙ Ó (a,b) Z Z Ò Ò a/b = [a,b] Q Ó (a,b) Q Q Ò Ò a/b = a b 1 Qº ÃÙÒ Ñ Ø ÑÑ Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ Ó ÓÒ ÝÝØ Ø Ö Ø ØØ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ñ Ö ÒÒØ Ø Ö Ó ØØ Ú Ø Ñ º ÌÓ Ò Ò ÓÒ Ò ÐÐ Ó (a,b) Z Z Ò Ò Ñ ØÙ ÙÚ Ù Ø j ÝØØ Ò ÑÑ a b 1 = [a,1][b,1] 1 = [a,1][1,b] = [a,b]. À Ú ÒØÓ ÇÐ ÑÑ Ò Ø Ð ÒÒ ØØÙ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ N Ö ¹ Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Q Ó ÐØ ÓÙ ÓÒ N Ó ÓÙ ÓÒ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ¹ Ñ ØÙ Ø Ò ÙØØ N = i(n) Z = j(z) Q. Ø Ò¹ ÖØÓÐ Ù ÝØØÝØÝÚØ Ö ØØ Ò ÝÚ Ò ÐÙ Ù ÐÙ Q à ÐÐ a Q ÓÒ ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Ò Ú Ø ÐÙ Ù aµ ÐÐ a Q \ {0} ÒØ ¹ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÒØ ÐÙ Ù 1/aµº Ð Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò ÒÒ ÐØ Ö Ø Ó¹ Ò Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ú Ð Ö ØØÚÒ ÝÚ ÐÙ Ù ÐÙ º Ò ÖØ Ò Ò Ö ØÑ Ø Ò ÓÒ Ú Ð Ú Ø ÙØ Ò ÙÖ Ú Ñ Ö Ó Ó ØØ

½ Ñ Ö º½¼º ØÐ ÐÐ x 2 = 2 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÂÓ ÓÐ x = p/q Q Ø Ò ØØ x 2 = 2 Ò Ò ØÐÐ Ò p 2 = 2q 2 º ÅÙØØ ÒÝØ ÐÙ Ù 2 ÒØÝÝ ÐÙÚÙÒ p 2 Ð ÙØ ØÝ Ô Ö ÐÐ Ò ÑÓÒØ ÖØ ÐÙÚÙÒ 2q 2 ØÝ Ô Ö Ø¹ ØÓÑ Ò ÑÓÒØ ÖØ ÓÐÐÓ Ò Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÒÑ ÐÙÚÙØ ÚØ ÚÓ ÓÐÐ Ý Ø ÙÙÖ º ÂÓ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ ÐÙØ Ò Ö Ø Ù Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ð Ð ÑÔ ÐÙ Ù ÐÙ º Ò ÐÝÝ Ò Ø ÖÔ Ø Ú ÖØ Ò ØØ Ð ÑÑ ÙÖ Ú Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ó ØÓ Ñ ÑÙ Ò ØÝ Òµ Ö Ø ØÝ ÐÙ Ù ÐÙ º ÅÖ Ø ÐÑ º½½º ÄÙ Ù M Q ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Q ÝÐÖ Ó a M ÐÐ a Aº ÂÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ M Q ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ Ó M M ÐÐ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ Ó ÐÐ M º Î Ø Ú Ø ÐÙ Ù m Q ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Q Ð Ö Ó m a ÐÐ a Aº ÂÓÙ ÓÒ A Ð Ö m Q ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÙÙÖ Ò Ð Ö Ó m m ÐÐ ÓÙ ÓÒ A Ð Ö Ó ÐÐ m º ÂÓÙ Ó A Q ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÐÐ ÓÒ Ó Ò ÝÐÖ M Q Ú Ø Ú Ø Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÐÐ ÓÒ Ó Ò Ð Ö m Qº ÂÓ ÓÙ ÓÐÐ ÓÒ Ýй ØØ Ð Ö ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÀÙÓÑ ÙØÙ Í Ò ÓÙ ÓÒ A Ô Ò ÒØ ÝÐÖ ÙØ ÙØ Ò ÙÔÖ ÑÙÑ Ø Ý¹ Ø ØÒ Ñ Ö ÒØ supaº ËÙÙÖ ÒØ Ð Ö ÙØ ÙØ Ò Ò ÑÙÑ Ñ Ö ØÒ inf Aº Ò ÐÝÝ Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ Ö ÑÑ Ò ØÖ ØØ Ó ÐÐ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ ÓÙ¹ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÂÓÙ Ó Q Ò Ò Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ Ö º½¾º ÂÓÙ ÓÐÐ A = {x Q : x 2 2} ÓÐ Ô Ò ÒØ ÝÐÖ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Q ÇÐ Ø Ø Ò ØØ a = p/q Q ÓÒ Ò ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ º Ñ Ö Ò º½¼ Ô ÖÙ Ø ÐÐ a 2 = p 2 /q 2 2 ÓØ Ò a 2 < 2 Ð a Aµ Ø a 2 > 2º ÂÓ a 2 = p 2 /q 2 < 2 Ò Ò Ø ÖÔ ÙÙÖ ÐÐ n N ÔØ (1 + 1/n) 2 < 2q 2 /p 2 Ý ØÝ Ó Ø Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ µº ÌÐÐ Ò b = (1 + 1/n)p/q A a < b ÓØ Ò a ÚÓ Ò ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ º Î Ø Ú Ò Ø Ô Ò Ó Ó Ø Ø Ò ØØ Ñ Ò ÓÙ ÓÒ B = {x Q : x 2 > 2} Ð Ó ÓÐ ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÃÙ Ø Ò Ò Q = A B ÓØ Ò ÓÙ ÓÐÐ A ÚÓ ÓÐÐ Ô Ò ÒØ ÝÐÖ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º à ÒÒ ØØ ÒÒ ØØ ÙÓÑ ÓØ Ñ Ö Ò º½¼ º½¾ Ñ Ò ÐØ ÙÙØ Ò Ú Ð Ø Ó Ø ÓÒ Ò ÝÚ Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÑÑ Ý Ò ÖØ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ ØÓ Ô Ò ÑÑÒ ÝÐÖ Ò Ð ÝØÑ Ò Òº ÒÒ Ø Ò Ø Ú Ú Ð Ý Ø ÖÔ ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÅÖ Ø ÐÑ º½ º ÄÙÚÙÒ a Q Ø ÖÚÓ ÓÒ a, Ó a Q +, a = a, Ó a Q +, 0, Ó x = 0. Ä Ù º½ º ÁØ ÖÚÓÐÐ ÔØ µ a = 0 a = 0º µ a b a c + c b ÐÐ a,b,c Q ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ µº µ ab = a b ÐÐ a,b Qº

½ ÌÓ ØÙ º Ò ÐÝÝ ½» À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº ÀÙÓÑ ÙØÙ Ë Ñ ÑÖ Ø ÐÑ ØÓ Ñ ÑÝ ÑÙ ØÝ Ò Ö Ø ØÝ ÐÙ Ù ÐÙ Z ÑÝ ÑÑ Ò Rµº À ØÓÖ Ê Ø ÓÒ Ð ¹ Ø ÑÙÖØÓÐÙ Ù ÓÒ Ø ÐØÝ Ó Ú Ö Ú Ð Ø Ó º ÅÙ Ò ÝÔØ ÝØ ØØ Ò Ò º Ý ÑÙÖØÓÐÙ Ù ÓØ ÓÐ Ú Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÒØ ÐÙ Ù º à ÑÙÙØ ÑÙÖØÓÐÙÚÙØ Ø ØØ Ò Ò Ò ÙÑÑ Ò ¹ Ñ Ö ÐÙ Ù 3/5 Ø ØØ Ò ÑÙÓ Ó 1/3 1/5 1/15 º ÌÑ ÓÐÐÙØ Ð Ù Ò ÒÒ ÐØ ÓÚ Ò ÝØÒÒ ÐÐ Ø ÑÙØØ ÝÔØ Ð ÐÐ ÓÐ Ñ ØØ Ú Ø ÙÐÙ Ó Ø ÐÔÓØØ ¹ Ñ Ñ Ö Ý ÑÙÖØÓÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù º ÝÐÓÒ Ð ÐÐ ÓÐ ÝØ ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÓÙ Ø Ú ÑÔ Ý Ø Ñ Ó ÑÙÖØÓÐÙÚÙØ ÐÑ Ø Ò Ð ÒÒ ÐÐ Ø ¹ Ø Ú ¼¹ ÒØ Ö Ø ÐÑ Ò Ñ ØØ Ò 60,60 2 = 3600,... ÚÙÐÐ º Ë ¹ Ø Ò Ñ Ö 1/5 = (0;12) 60 Ó 1/5 = 12/60µ 1/50 = (0;1,12) 60 Ó 1/50 = 1/60 + 12/3600µº ÒØ Ò ÃÖ Ð Ø ØØ ÚØ ÑÙÖØÓÐÙÚÙØ Ø Ó Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ø Ô ØÙÙ Ò Ù Ø Øµ Ó Ó ØØ Ò Ò Ñ ØØ Ò ÚÙÐÐ ÑÙØØ Ñ Ö ÒÒØ ÔÓ Ú Ø ÒÝ Ý Øº Ñ Ö Ò º½¼ Ú ÒØÓ 2 / Q ÓÒ ÓÐ ÐÐ Ø Ô Ö Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÙÐÙ ÙÒÒ Ø ÒÓ Ò ¼¼¹ÐÙÚÙÐØ ÃÖº ÌÙÓÐÐÓ Ò ÙÓÑ ØØ Ò ØØ Ò Ð Ò ÚÙ ÐÚ Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ñ ¹ Ø ØØÓÑ Ø Ð Ò Ò Ù ØØ ÚÓ ÐÑ Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ù Ø Ò º Ì Ö Ò Ò ÑÙ Ò ØÑ Ö ÝØØ ÙÙÖ Ø ÈÝØ ÓÖ Ð Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÖÑÓÒ ÐÐ Ô ÖÙ ØÙÒÙØØ Ñ ÐÑ Ò ÙÚ Ý Ø Ñ Ø ØØÓÑÙÙ Ò ÔØ ØØ Ò Ò Ù ÙØØ Ñ Ö Ò Ø¹ Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ø ØÓ Ô Ð Ú ÑÒº Ì ÓÖ ØØ ÑÑ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ð ØØ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ù Ø Ò Ò Ú Ø ½ ¼¼¹ÐÙÚÙÒ Ð¹ ÙÔÙÓÐ ÐÐ º Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÔ Ö Ò ¹ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò ÒØÝÝ Ò Ò À ÒÖ Ï Ö Ò ½ ¾ ½ ½ Ë µ ÓÔÔ Ö ¹ Ä Ö Ù Ö Ð Ö ÚÙÓ ÐØ ½ ÃÖÓÒ Ö ØÓ Ò ØØ Ð Ú Ø Ú Ò ÑÙØØ ÑÓÒ ÑÙØ ÑÑ Òµ ÑÖ Ø ÐÑÒ Ó ÚÙÓÒÒ ½ º º Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÐÐ Ò ÐÙÚÙÒ ÐÓÔÙÒ Ñ Ö Ø º½¼ º½¾ Ó Ó ØØ Ú Ø ØØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ¹ Ó ÓÒ Ö º Ë ÙÖ Ú Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÑÑ ÓÒ Ò ØÝØØ ÒÑ Ö Ø ÓÔ Ú ÐÐ ÖÖ Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ØÓ Ò ÒÓ Ò Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÑ ÐÙ Ù ÐÙ R Ó Ò Ø Ö Ò ÒÒݺ À ÐÙ ÑÑ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ØØ Q ÚÓ Ò ÐÐ Ò ØÙÐ Ø ØÑÒ ÙÙ Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ò Ó Ø Ò ØØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ö ØÝ ÐÝÚغ Á Ò ÓÒ ÖÚ Ó Ñ Ö ÐÙ Ù 2 / Q Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÒÓÐÐ Ó ÙÔ¹ Ô Ò Ó Ø ÐÙ Ù 2 º ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ØÐÐ Ø ÐÙ Ù 2 ÓÐ Ú Ðµ ÓÐ Ñ ÓØ Ò ÚÓ ÑÝ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ñ Ø ØØ ÐÙ Ù Ó Ø ÙÔÔ ¹ Ò Ñ Ò Ò Ø Ö Ó ØØ º ÌÑ ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò ÖØ ÝØØÑÐÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ó Ø ØØ Ð ÑÑ Ø ÐÙÚÙ º Ë ÙÖ Ú ÐÙÚÙ ÑÙÓ Ó Ø Ñ¹ Ñ Ò Ø ÓÒÓ Ø ÐÙØÙÒ ÐÙ Ù ÐÙ Ò R ÓÔ Ú Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ø µ ÚÙÐÐ º ÐÓ Ø ÑÑ Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÒÓ º ÇÐ ÓÓÒ J = J (Q) = {(a n ) n=1 : a n Q}

½ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò ÓÙ Óº ÅÖ ØØ Ð ÑÑ Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÖØÓÐ ÙÒ ÓÙ Ó J ÓÑÔÓÒ ÒØ ØØ Òº ÂÓ α = (a n ) n=1 β = (b n) n=1 Ò Ò α + β = (a n + b n ) n=1 αβ = (a n b n ) n=1. Æ ÐÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ ÓÒ Ô Ð ÓÒ ØÙØØÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ä Ù º½º à ÐÐ α,β,γ J α = (a n ) n=1 β = (b n) n=1 γ = (c n) n=1 ÓÒÓ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ + ÔØ µ Ó Ø Ú ÙÙ µ ÓÑÑÙØ Ø Ú ÙÙ µ ØÖ ÙØ Ú ÙÙ α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ α + β = β + α αβ = βα (α + β)γ = αγ + βγ. Ä µ ÓÒÓ 0 = (0) n=1 = (0,0,0,... ) ÓÒ Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒÓ 1 = = (1,1,1,... ) ÓÒ ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó (1) n=1 µ Ó ÐÐ ÓÒÓÐÐ α = (a n ) n=1 ÓÒ ÒØ Ð Ó α = ( a n) n=1 Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÌÓ ØÙ º à ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò ÓÒÓ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÑÖ ¹ Ø ÐÑ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ú Ø Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ý ØÝ ¹ Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ñ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÀÙÓÑ ÙØÙ ÅÓÒ ÐÐ ÓÒÓ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ð ÓØ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö α = (0,a 2,a 3,... ) β = (b 1,b 2,b 3,...)º ÌÐÐ Ò αβ = (0,a 2 b 2,a 3 b 3,...) (1,1,1,... ) = 1, ÓØ Ò ÓÒÓÐÐ α ÚÓ ÓÐÐ ÒØ Ð ÓØ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÀÙÓÑ ÙØÙ ÂÓÒÓ α = (a n ) n=1 J ÚÓ Ò ØÙÐ Ø ÙÚ Ù α : Z + Q, α(n) = a n. ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ½µ ÂÓÒÓ (a n ) n=1 J ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÒ M Q Ø Ò ØØ a n M ÐÐ n Z + º ¾µ ÂÓÒÓ (a n ) n=1 J ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù a Q Ó ÐÐ ε Q + ÓÒ N N Ø Ò ØØ a n a < ε, ÙÒ n N. µ ÂÓÒÓ (a n ) n=1 J ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ó ÐÐ ε Q + ÓÒ N N Ø Ò ØØ a n a m < ε, ÙÒ n,m N. ÂÓ ÓÒÓ α = (a n ) n=1 J ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù a Q ÓÒ a ÓÒÓÒ α Ö ¹ ÖÚÓº ÌÐÐ Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ a = lim n a n ; a n n a; a n a, ÙÒ n.

¾¼ ÂÓ ÓÒÓ α J ÙÔÔ Ò Ó Ø ÓØ Ò ÐÙ Ù a Q ÒÓÑÑ ØØ ÓÒÓ α ÙÔÔ Ò ÓÙ Ó Qµº ÂÓ ÓÒÓ ÙÔÔ Ò ÒØÙÙº Ñ Ö º º µ ÂÓÒÓ (a n ) n=1 J ÓÒ Ú Ó ÓÒÓ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ a Q Ø Ò ØØ a n = a ÐÐ n Z + º ÌÐÐ Ò ÑÝ lim n a n = aº µ ÂÓÒÓ (1/n) n=1 J ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù 0º ÌÑ Ò Ò ÙÖ Ú Ø ÇÐ ÓÓÒ ε Q + ÓÐÐÓ Ò ε = p/q Ó ÐÐ Ò p,q Z + º ÃÙÒ n > q Ò Ò np > qp q 1 ÓÐÐÓ Ò 1/n < p/q = εº Æ Ò ÓÐÐ Ò 1/n 0 = 1/n < ε ÙÒ n > q Ð ÙÒ n q + 1 ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾ ¾µ ÐÙÚÙ N ÚÓ Ò Ú Ð Ø q + 1º ÅÖ Ø ÐÑÒ º¾ ØØ Ø Ð ØØÝÚØ Ð Ø ØÓ Ò Ä Ù º º µ ÂÓ ÓÒÓ α J ÙÔÔ Ò Ò Ò α ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓº µ ÂÓ ÓÒÓ α J ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ò ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÌÓ ØÙ º µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ ÝØ ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ º µ ÂÓ α = (a n ) n=1 J ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ò Ð ÝØÝÝ N N Ø Ò ØØ a n a m < 1 Q +, ÙÒ n,m N. ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ M = max{ a n a N : 1 n N}º ÌÐÐ Ò ÐÐ n Z + a n a n a N + a N max{1,m } + a N, ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾ ½µ ÐÙÚÙ M ÚÓ Ò Ú Ð Ø M = max{1,m } + a N º ÀÙÓÑ ÙØÙ ÅÓÒ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÚØ ÙÔÔ Ò ÓÙ Ó Qº Ñ Ö ÓÒÓ 1 = 1 1, 2 = 2 1, 3 2, 5 3, 8 5, 13 8, 21 13,..., Ó Ø ÙÙ ÒÒ ÐÐ p n q n = p n 1 + p n 2 q n 1 + q n 2, ÓÒ Ò ÐÙÚÙØ µ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ó ÙÔÔ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ¹ Ù Ò ÓÙ Ó º Ë ÚÙÙØ ÑÑ ØÑÒ Ò ØÓ ØÙ Òº Å Ò ØØ ÓÓÒ ØØ Ý Ò Ò ÓÒÓ Ð ØØÝÝ Ø ÙÑÙÖØÓÐÙ Ù Ò ÙÐØ Ò Ð Ù Ò ÐÐ Ø p n q n = 1 + 1 1 1 + 1+ 1 1+... 1 1 + 5 / Q. n 2 Å Ö ØÒ Ø Ø Ð Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Q Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó C = C (Q) = {(a n ) n=1 J (Q) : (a n ) n=1 ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ}. Ä Ù º º ÂÓÒÓ Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙØ ÑÖÚØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÑÝ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó Ø º Ó α,β C Ò Ò α + β C αβ C º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ α = (a k ) k=1 C β = (b k) k=1 C º Ç Ó Ø ÑÑ ØØ αβ C º ÃÓ Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÓÚ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ò Ð ÝØÝÝ M α, M β Q + Ø Ò ØØ a k M α b k M β ÐÐ k Z + º ÇÐ ÓÓÒ ØØ Ò ε Q + º ÃÓ α β ÓÚ Ø Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ò Ð ÝØÝÝ N α, N β N Ø Ò ØØ a n a m < ε/(2m β ) ÙÒ n,m N α b n b m < ε/(2m α ) ÙÒ n,m N β.

¾½ ÂÓ ÒÝØ Ú Ð Ø Ò N = max{n α,n β } Ó n,m N Ò Ò ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ a n b n a m b m a n b n a n b m + a n b m a m b m Ë Ô ÑÝ ØÙÐÓ ÓÒÓ αβ ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓº a n b n b m + a n a m b m ε < M α + ε M β ε 2M α 2M β 2 + ε 2 = ε. Ø ÒÐ ÙÙÒ Ð ØØÝÚ Ú Ø Ú Ø Ö Ø ÐÙ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ä Ù º º ÂÓÙ ÓÒ C Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø + ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ä Ù Ò º½ ÓÑ Ò ¹ ÙÙ Ø µ µº ÌÓ ØÙ º ÇÑ Ò ÙÙ Ø µ µ ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò Ä Ù Ò º½ Ú Ø Ú Ø Ó Ø º ÃÓ Ø µ Ú ÖØ Ò ØÝØÝÝ Ó Ó ØØ ØØ Ù ÝÒ ÓÒÓÒ ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÓÒ ÑÝ Ù ÝÒ ÓÒÓº ÌÑ ÙÖ Ä Ù Ø º ÐÐ ÒÝØ α = ( 1) n=1 α ( 1) n=1 ÓÒ Ú Ó ÓÒÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓº º Ê Ð ÐÙÚÙØ Á Ò ÑÑ ÓÐ ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÚÙÐÐ º Ë ¹ Ø Ò Ñ Ö ÓÒÓÒ 1;1,4;1,41;1,414 ;1,4142 ;... Ô Ø Ú Ø Ø Ö Ð ÐÙ Ù 2º ÅÓÒ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÙÔÔ Ò Ú Ø Ù Ø Ò Ò Ó Ø Ñ ÐÙ Ù ¹ Ñ Ö 1/n 0 ±1/2 n 0 ( 1) n /n 0 ÙÒ n º Ë ÑÓ Ò Ð Òµ ÑÓÒ ÐÐ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ð ÓØ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÑÑ ÚÓ ÑÖ Ø Ð¹ Ð Ö Ð ÐÙ Ù ÙÓÖ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó ÑÙØØ ÓÒ ÐÑ Ø Ò ÓÖ ØØÙ ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÐÐ ÓÔ Ú Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº ÅÖ Ø ÐÑ º½º Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒµ ÓÒÓ α = (a k ) k=1 ÓÒ ÒÓÐÐ ÓÒÓ Ó ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù 0 Qº Å Ö Ø ÑÑ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÒÓÐÐ ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó N (Q)º Ä ÑÑ º¾º ÇÐ ÓÓØ α N (Q) β C (Q)º ÌÐÐ Ò αβ N (Q)º ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ú ÖØ Ä Ù Ò º ØÓ ØÙ Òº ÀÙÓÑ ÙØÙ Ä ÑÑ Ò º¾ ØÙÐÓ Ô Ó ÓÐ Ø ÑÑ Ú Ò ØØ β J (Q)º ¹ Ñ Ö (1/n) n=1 N (Q) (n) n=1 J (Q) ÑÙØØ Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒÓ (1) n=1 ÓÐ ÒÓÐÐ ÓÒÓº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ Ó C (Q) Ö Ð Ø Ó ØØ Ñ ÐÐ µ α β α β N (Q). Ä ÑÑ º º Ã Ú ÐÐ µ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ C(Q) Ú Ú Ð Ò Ö Ð ¹ Ø Óº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ α,β,γ C (Q)º ÌÐÐ Ò ½µ α α Ó α α = (0) k=1 N (Q)º ¾µ ÂÓ α β Ò Ò α β N (Q) ÓÐÐÓ Ò Ä ÑÑ Ò º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÝ Ò ÒÔ β αº β α = ( 1) k=1 (α β) N (Q),

¾¾ µ ÂÓ α β β γ Ò Ò α β N (Q) β γ N (Q) ÓÐÐÓ Ò ÓÐÑ Ó¹ ÔÝ ØÐ Ò ÚÙÐÐ Ò Ò ØØ ÑÝ α γ N (Q)º Ë Ô ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº ÀÙÓÑ ÙØÙ Ê Ð Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø Ú ÙÙ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÑÝ ÙÖ Ù Ò ÝÐ ¹ ÑÑ Ø ØÙÐÓ Ø ÂÓ α,β N (Q) a,b Q Ò Ò ÑÝ aα + bβ N (Q) Ö Ó ØÙ Ø ØÚµº ÆÝØ ÚÓ ÑÑ ÐÓÔÙÐØ Òµ ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò ÚÙÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ º º Ê Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ø ÓÙ Ó ( R = C (Q)/ = C (Q)/N (Q) Ê Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÙØØÙÙÒ Ø Ô Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ ¹ Ò ÚÙÐÐ ÃÙÒ α = (a n ) n=1 β = (b n) n=1 C x = [α], y = [β] R Ò Ò x + y = [α] + [β] = [(a n + b n ) n=1 ] xy = [α][β] = [(a nb n ) n=1 ]. ÀÙÓÑ ÙØÙ µ Ä Ù Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ (a n + b n ) n=1 C (a nb n ) n=1 C ÓØ Ò Ò Ø ÓÒÓ Ú Ø Ú Ø Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ø ÓÚ Ø ØÓ ÐÐ Ö Ð ÐÙ Ù º µ Ê Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ º ÌÓ Ø Ò ØÑ ÐÐ Ò Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ ÖØÓÐ Ù Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α [α] β [β] ÓÐÐÓ Ò α α β β ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÓÒÓ º ÌÐÐ Ò Ä ÑÑ Ò º¾ Ð Ò ÙÓÑ ÙØÙ Ò ÒÓ ÐÐ (α + β) (α + β ) = (α α ) + (β β ) N (Q), ÓØ Ò [α + β] = [α + β ]º Ë Ô Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØݺ Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ø ØØÚ Ø Ò Ò Ò Ú ÒØÓ ÓÒ ÝÚ Ò Ó Ö ¹ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÑ Ò ÙÙ ØÓ Ø ØØ º Ä ÑÑ º º ÇÐ ÓÓÒ α C (Q)º ÌÐÐ Ò Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÖ Ú Ø Ú ØÓ Ó Ø ÓÒ ÚÓ Ñ µ α N (Q) µ ÓÒ c Q + N N Ø Ò ØØ a n c ÐÐ n N µ ÓÒ c Q + N N Ø Ò ØØ a n c ÐÐ n N º ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ú ØÓ ØÓ µ ÓÒ Ý ØÔ ØÚ Ò Ò ØØ ÓÒ c Q + N N Ø Ò ØØ c a n c ÐÐ n N Ó ÓÒ Q Ò ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ Ò Ò ÓÒ ÐÚ ØØ ÓÖ ÒØ Ò Ý Ú ØÓ Ó Ø µ µ ÚÓ ÓÐÐ ÚÓ Ñ ÓÒÓÐÐ α = (a n ) n=1 C (Q)º ÇÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ Ó Ù Ú ØÓ Ó Ø ÓÒ Ò ÚÓ Ñ º ÂÓ ÒÝØ α N (Q) Ò Ò Ú Ø ÔØ º Ë Ô ÚÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ α / N (Q) Ð ØØ ÐÐ ε Q + ÓÐ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù N N Ø Ò ØØ ÔØ a n ε ÙÒ n N º Ì Ø ÙÖ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ò ε Q + Ø Ò ØØ a n ε Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒ ÐÐ n Z + º ÌÓ ÐØ Ó α ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ò Ð ÝØÝÝ N N Ø Ò ØØ a n a m < ε/2 ÙÒ n,m N. ÆÝØ ÚÓ Ò Ú Ð Ø N N Ø Ò ØØ a N ε ÓÐÐÓ Ò Ó Ó a N ε Ø a N εº ÂÓ a N ε Ò Ò ÐÐ n N Ò ε < a N = a n + (a N a n ) a n + a n a N < a n + ε/2, ).

¾ ÓØ Ò a n ε/2 = c ÐÐ n N Ð µ ÓÒ ÚÓ Ñ º Î Ø Ú Ø Ó Ó Ø Ø Ò ØØ Ø Ô Ù a N ε ÓÒ ÚÓ Ñ Ú ØÓ ØÓ µº Ä ÑÑ º Ó Ó ØØ ØØ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò ÖØÝÑÐÐ ÓÐ ÑÑ Ô Ø ÖÓÓÒ ÖØÓÐ ÙÒ ÒØ Ð Ó Ò Ð ØØÝÚ Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÚÖغ Ä Ù Ò º½ Ð Ò ÙÓÑ ÙØÙ Òµº Ö ØÝ Ø ÚÓ ÑÑ ÒÝØ Ó Ó ØØ ØØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ¹ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÝÚØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÔØ ÚØ ÑÝ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ º Ä Ù º º µ Ê Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø Ó Ø Ú º µ Ê Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú º µ Ê Ð ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº µ ÄÙ Ù 0 = [(0) n=1 ] R ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÐÙ Ù 1 = ] R ÓÒ ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Óº [(1) n=1 µ ÂÓ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ x ÓÒ Ú Ø ÐÙ Ù x Ð ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº µ ÂÓ ÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ x ÓÒ ÒØ ÐÙ Ù x 1 Ð ÒØ ¹ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÌÓ ØÙ º ÇÑ Ò ÙÙ Ø µ µ ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ú Ú Ø Ä Ù Ò º½ Ú Ø Ú Ø Ó Ø Ó µ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ Ó x = [(a n ) n=1 ] R Ò Ò x = [( a n ) n=1 ] ÓÒ x Ò Ú Ø ÐÙ Ùº Ë Ø Ò Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ Ó Ø µ ÔØ Ð Ó ÐÐ x R \ {0} ÓÒ ÒØ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÃÙÒ x R ÚÓ ÑÑ Ò Ú Ð Ø ÐÙÚÙØ a k Q = Q \ {0} Ø Ò ØØ x = [(a k ) k=1 ] Ö Ó ØÙ Ø ØÚµº ÌÐÐ Ò ÓÒÓÐÐ (1/a k ) k=1 ÔØ (a k ) k=1 (1/a k) k=1 = (1) k=1. ÂÓ Ú Ð Ø ÑÑ x 1 = [(1/a n ) n=1 ] Ò Ò x x 1 = 1º ÀÙÓÑ Ù Ø Ò Ò ØØ Ò Ò ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ú Ò Ó ÑÝ ÓÒÓ (1/a k ) k=1 ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ ØÓ ÐÐ (1/a k ) k=1 C (Q)º Ì Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÓÐ ØÙ Ø x = [(a k ) k=1 ] R \ {0}º ÇÐ ÓÓÒ ε Q + º ÃÓ (a k ) k=1 / N (Q) Ò Ò Ä ÑÑ Ò º ÚÙÐÐ Ð ÝØÝÝ N 1 N q Q + Ø Ò ØØ a n q Ò ÙÒ n N 1 º ÌÓ ÐØ Ó (a k ) k=1 C (Q) ÚÓ ÑÑ Ú Ð Ø ÐÙÚÙÒ N 2 N Ø Ò ØØ a n a m < q 2 ε ÙÒ n,m N 2. ÂÓ ÒÝØ Ø ÑÑ N = max{n 1,N 2 } Ò Ò ÐÐ n,m N ÔØ 1 1 a n a m = a m a n a m a n = a m a n a m a n a m a n q 2 < q 2 ε/q 2 = ε. Ë Ô (1/a k ) k=1 ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ú Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ÅÖ Ø ÐÑ º º ÅÖ ØØ Ð ÑÑ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ú ÒÒÝ ¹ ÓÐ ÙØ Ú Ò ÙØ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÃÙÒ x,y R Ò Ò x y = x + ( y) Ó Ð y 0 Ò Ò Ø ÑÑ x/y = x y 1 º Ë ÙÖ Ú Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÑÑ ÓÒ ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ö ØÝ º Ì Ø ÖÚ Ø Ò ÔÙÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó R + = { [(a k ) k=1 ] : ÓÒ N N q Q + Ø Ò ØØ a n q ÐÐ n N } ; Ú Ø Ú Ø R + ÓÒ Ò Ø Ú Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Óº

¾ ÀÙÓÑ ÙØÙ ÂÓÙ Ó R + ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ó a k q Ò ÙÒ k N (a k ) k=1 (b k) k=1 Ò Ò Ð ÝØÝÝ N N Ø Ò ØØ b k a k < q 2 ÙÒ k N º ÃÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò ÚÙÐÐ Ò Ò ØØ ÒÝØ b k > q/2 ÙÒ k max{n,n} Nº Ä ÑÑ º ÓÙ ÓÐÐ Q + ØÓ Ø ØÙØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÔØ ÚØ ÑÝ ÓÙ ÓÐÐ R + Ä ÑÑ º º µ ÂÓ x,y R + Ò Ò x + y R + xy R + º µ R = R + {0} R + º µ R + R + = º µ à ÐÐ x R ÔØ x 2 R + {0}º µ à ÐÐ x R + ÔØ x 1 R + º ÌÓ ØÙ º µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÙÐÓ ÇÐ ÓÓØ x = [(a k ) k=1 ] y = [(b k) k=1 ] R +º ÌÐÐ Ò ÓÒ N 1 N q 1 Q + Ø Ò ØØ a k q 1 ÙÒ k N 1 Ú Ø Ú Ø Ð ÝØÝÝ N 2 N q 2 Q + Ø Ò ØØ b k q 2 ÙÒ k N 2 º ÆÝØ q 1 q 2 Q + a k b k q 1 q 2 Ò ÙÒ k max{n 1,N 2 } ÓØ Ò xy R + º Ø ÒÐ Ù Ø ÐÐÒ Ñ Ò Ø Ô Òº µ ÇÐ ÓÓÒ x = [(a k ) k=1 ] Rº ÎÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ x 0º ÌÐÐ Ò Ä ÑÑ Ò º ÒÓ ÐÐ Ð ÝØÝÝ q Q + N N Ø Ò ØØ Ó Ó µ a n q ÐÐ n N ÓÐÐÓ Ò x R + Ø µ a n q ÐÐ n N ÓÐÐÓ Ò a n q ÐÐ n Nº ÅÙØØ ÒÝØ x = [( a k ) k=1 ] R + ÓØ Ò x = ( x) R + º µ ÂÓ [(a k ) k=1 ] R + R + Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ q Q + Ø Ò ØØ a k q a k q ÙÒ k ÓÒ Ø ÖÔ ÙÙÖ º ÌÐÐ Ò a k Q + Q + = Ñ ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ º Ë Ô R + R + = º µ µ¹ Ó Ø Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Å Ö ÒØ ÃÝØÑÑ Ø Ó ÑÝ Ñ Ö ÒØ R = R \ {0} = R + R + º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ ÓÒ R Ö Ð Ø ÓØ < ØØ Ñ ÐÐ ÐÐ x,y R x < y y x R + x y x < y Ø x = y. ÀÙÓÑ ÙØÙ Ê Ð Ø ÓØ < ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ú ÒÒÝ Ð Ù ÓÙ ÓÓÒ R + ÙÙÐÙÑ Ò Ò ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ º Ä Ù º½¼º Ê Ð Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ R ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º ÌÓ ØÙ º Ì ÖÚ ØØ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ØÓ Ø Ø Ò Ä ÑÑ Ò º ÚÙÐÐ Ú Ò ÙØ Ò Ö ¹ Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ø Ó Ú Ä Ù º Ó ØÓ Ø ØØ Ò Ú Ø Ú Ò Ä Ñ¹ Ñ Ò º ÚÙÐÐ º À ÐÙ ÑÑ Ñ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ ÓÔ Ú Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ ÓÒ Ò º ÌØ Ú ÖØ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÙÚ Ù Ò i: Q R i(q) = [(q) k=1 ]º ÌÐÐ Ò ÔØ Ä Ù º½½º ÃÙÚ Ù i ÓÒ Ò Ø Óº Ä ÐÐ q,q Q i(q + q ) = i(q) + i(q ) i(qq ) = i(q)i(q ), i(q) i(q ) q q.

¾ ÌÓ ØÙ º ½µ ÃÙÚ Ù Ò i Ò Ø Ú ÝÝ Ò Ø Ö ØÙ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ¾µ ÇÐ ÓÓØ q,q Qº ÌÐÐ Ò i(q + q ) = [(q + q ) k=1 ] = [(q) k=1 ] + [(q ) k=1 ] = i(q) + i(q ); ÖØÓÐ Ù Ø ÐÐÒ Ú Ø Ú Ø º µ Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ ÙÚ Ù i ÐÝØØ Ö ØÝ Òº ÃÓ q = q i(q) = i(q ) Ò Ò Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ q < q i(q) < i(q )º ÆÝØ ØÓ ÐØ q < q q q Q + i(q) < i(q ) i(q ) i(q) = [ (q ) k=1] [(q) k=1 ] = [ (q q) k=1] R+. ÂÓÙ ÓÒ R + ÑÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø q q Q + ÙÖ ØØ [(q q) k=1 ] R + ÒØ Ò Ó [(q q) k=1 ] R + Ò Ò q q p ÓÐÐ Ò p Q + ÓÐÐÓ Ò ÑÝ q q Q + º Ë Ô q < q i(q) < i(q )º ËÓÔ ÑÙ Ì Ø Ñ Ø ÑÑ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ Ú Ø Ú Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ ÓÒ i(q) R Ò Ø º Ó q Q Ò Ò q = [(q) k=1 ] Rº ÀÙÓÑ ÙØÙ µ Â Ø Ó Ñ Ö ÒÒÐÐ a > 0 Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ò ØØ a R + º µ ÁØ ÖÚÓ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ú Ò ÑÓ Ò Ù Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÖ ¹ Ø ÐÑ ÓÙ Ó Q ÓÖÚ Ø Ò ÓÙ ÓÐÐ R ÓÙ Ó Q + ÓÙ ÓÐÐ R + º ÃÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ ØÓ Ø Ø Ò ÙØ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ä ÑÑ º½¾º à ÐÐ x,y R ÔØ x + y x + y. Ã Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ J (R)º ÄÙ Ù ÓÒÓ Ò Ð ØØÝÚØ ÑÖ ¹ Ø ÐÑØ ÓÚ Ø ÓÙ Ó R ØÝ Ò Ñ ÒÐ Ø Ù Ò ÓÙ Ó Q ÅÖ Ø ÐÑ º½ º ½µ ÂÓÒÓ (x n ) n=1 J (R) ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÒ M R Ø Ò ØØ x n M ÐÐ n Z + º ¾µ ÂÓÒÓ (x n ) n=1 J (R) ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù x R Ó ÐÐ ε > 0 ÓÒ N N Ø Ò ØØ x n x < ε ÙÒ n N. µ ÂÓÒÓ (x n ) n=1 J (R) ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ñ Ö ØÒ (x n) n=1 C (R) Ó ÐÐ ε > 0 ÓÒ N N Ø Ò ØØ x n x m < ε ÙÒ n,m N. ÀÙÓÑ ÙØÙ Ä Ù º ÔØ ÑÝ ÙÒ J = J (R) Ð ÙÔÔ Ò Ú Ø Ö Ð ÐÙ Ù ÓÒÓØ ÓÚ Ø Ù ÝÒ ÓÒÓ Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÓÚ Ø Ö Ó Ø ØØÙ º ÌÓ ØÙ ÓÒ ÙÓÖ ÓÔ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò Ø Ô Ù Ø º ÅÝ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÙÔ ØÙ ÒÒ Ø ÝÐ ØÝÚØ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ä ÑÑ º½ º µ ÂÓ x,y,z R x + z = y + z Ò Ò x = yº µ ÂÓ x,y R xy = 0 Ò Ò x = 0 Ø y = 0º µ ÂÓ x,y R z R xz = yz Ò Ò x = yº ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ø µ µ ØÓ Ø Ø Ò ÙØ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ µ¹ Ó Ø Ú Ø Ô ¹ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ Ó Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º

¾ Ç Ó Ø ÑÑ ÙÖ Ú ØØ ÄÙÚÙÒ ÐÓÔÙ Ú ØÙØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÓÒ Q Ð ØØÝÚØ Ò ÐÝÝ Ò ÓÒ ÐÑ Ø ÓÖ ÒØÙÚ Ø Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Ã Ö ÑÑ ÐÙ Ô ÒØ ÔÙØÙÐÓ Ø Ä ÑÑ º½ º ÇÐ ÓÓÒ γ = (c k ) k=1 Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓÐ ÓÓÒ c Q +º ÂÓ ÓÒ ÓÐ Ñ N N Ø Ò ØØ c k < c Ò ÙÒ k N Ò Ò [γ] cº ÌÓ ØÙ º ÂÓ [γ] = 0 Ò Ò Ú Ø ÔØ º ÂÓ [γ] R + Ò Ò [γ] = [γ]º ÂÓ ÒÝØ ÓÐ Ò [γ] > c Ò Ò [(c k c) k=1 ] = [(c k) k=1 ] [(c) k=1 ] = [γ] i(c) = [γ] c R +. ÌÐÐ Ò Ð ÝØÝÝ q Q + N N Ø Ò ØØ c k c q ÐÐ k N ÓØ Ò Ö ØÝ Ø c k c + q > c ÐÐ k N º ÌÑ Ó Ø Ö Ø Ö Ø Ò ÐÐ ÓÐ ØÙ Ø ÝØØ Ò ÑÑ ÐÐ k max{n,n } ØØ c < c k c k < cº Ì Ô Ù [γ] R + Ø ÐÐÒ Ñ Ò Ø Ô Òº Ä ÑÑ º½ º ÇÐ ÓÓÒ ε R + º ÌÐÐ Ò Ð ÝØÝÝ ε Q + Ø Ò ØØ 0 < ε < εº Ö ØÝ Ø Ó ÐÐ M N ÓÒ n N ÓÐÐ M/n < εº ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº ÀÙÓÑ ÙØÙ ÅÙ Ø ØØ Ø Ú Ñ Ø ÑÑ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙÒ q Q Ò Ú Ó ÓÒÓ (q) n=1 Ú Ø Ú Ò Ö Ð ÐÙÚÙÒ Ò ÓØ Ò Ö Ð ÐÙÚÙÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙÒ Ú ÖØ Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÐ ØØÙ Ä ÑÑ º½ º ÌÓØ ÑÑ ÐÐ ÐÙÚÙ ØØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓÐÐ α C (Q) ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ö ¹ ÖÚÓ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ ØÑ ÓÒ ÐÑ ÔÓ ØÙÙ ÙÒ ÓÒÓÒ α C (Q) ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ñ ØÙ Ò ÙØØ µº Ä Ù º½ º ÇÐ ÓÓÒ α = (a n ) n=1 Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓº ÌÐÐ Ò ÓÒÓ α ÙÔÔ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒ ÓÒÓ α Ú Ø Ú Ú Ú Ð Ò ¹ ÐÙÓ x = [α] Rº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ ε > 0º ÌÝØÝÝ Ó Ó ØØ ØØ Ð ÝØÝÝ N N Ø Ò ØØ ½¼µ a n x < ε Ò ÙÒ n N. Ä ÑÑ Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ε Q + Ø Ò ØØ 0 < ε < εº ÃÓ (a n ) n=1 ÓÒ Q Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓÒ ÓÐ Ñ N N Ø Ò ØØ ½½µ a n a m < ε Ò ÙÒ n,m N. ÃÓ ÚÓ ÑÑ Ö Ó ØØ a n = [(a n ) k=1 ] R ÙÓÑ Ú Ó ÓÒÓ µ ØÓ ÐØ x = [(a k ) k=1 ] Ò Ò a n x = [(an ) k=1 ] [(a k) k=1 ] = [(an a k ) k=1 ]. à ÒÒ Ø ØÒ ÒÝØ n N Ñ Ö ØÒ c k = a n a k º ÌÐÐ Ò Ó Ò ½½µ ÑÙ Ò c k = a n a k < ε Ò ÙÒ k N ÓÐÐÓ Ò Ä ÑÑ Ò º½ ÒÓ ÐÐ [(ck ) k=1 ] ε º ÅÙØØ ÒÝØ Ò a n x = [(ck ) k=1 ] ε < ε Ò ÙÒ n N ÓØ Ò Ú Ø ½¼µ ÔØ º Ë Ô x = lim n a n º Ä Ù Ò º½ ÚÙÐÐ ÚÓ ÑÑ ÒÝØ ØÓ Ø ØØ Ø ÑÙÙØ Ò Ö Ð ÐÙ¹ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÙÔÔ Ò Ú Ø ÓÙ Ó Rº

¾ Ä Ù º½ º ÂÓ Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÙÔÔ Ò º ÌÓ ØÙ º Á Ò ÓÒ ÖÚ Ó Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓÔ Ú ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓÐÐ ÓÐÐ ÓÒ ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ö ¹ ÖÚÓ ÓÙ Ó Rº Ç Ó Ø ÑÑ ØØ ØÑÒ Ö ¹ ÖÚÓÒ ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÑÝ Ð ÙÔ Ö Ò ÓÒÓÒ Ö ¹ ÖÚÓº ÇÐ ÓÓÒ (x n ) n=1 C (R)º ÂÓ Ò Ò x n R ÓÒ ÓÒ ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓÒ ÑÖÑ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ º ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ (a n,k ) k=1 ÐÙ Ù x n Ú Ø Ú Ò ÐÙÓ¹ Ò Ù Ø ØÓ Ò ÒÓ Ò x n = [(a n,k ) k=1 ]º Ä Ù Ò º½ ÒÓ ÐÐ x n = lim k a n,k ÓØ Ò ÐÐ n Z + Ð ÝØÝÝ Ò K n N Ø Ò ØØ Ë Ø Ò Ö ØÝ Ø Å Ö ØÒ q n = a n,kn º x n a n,k < 1 n x n a n,kn < 1 n Ò ÙÒ k K n. ÐÐ n N. ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ ε > 0º ÃÓ (x n ) n=1 C (R) Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ N N Ø Ò ØØ x n x m < ε/3 ÙÒ n,m Nº Ä ÑÑ Ò º½ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ð Ú Ð Ø N 1 N Ø Ò ØØ 1/N 1 < ε/3º ÌÐÐ Ò ÐÐ n N 1 ÔØ ½¾µ x n q n < 1 n 1 N 1 < ε/3. ÂÓ ÒÝØ n,m N 1 Ò Ò q n q m = q n x n + x n x m + x m q m q n x n + x n x m + x m q m < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Æ Ò ÓÐÐ Ò (q n ) n=1 ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓº ÂÓ x = [(q n) n=1 ] R ÓÒ ØØ ÓÒÓ Ú Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ò Ä Ù Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ x = lim n q n º ÇÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ x = lim n x n º ÃÓ x = lim n q n Ò Ò Ð ÝØÝÝ N 2 N Ø Ò ØØ x q n < ε/2 Ò ÙÒ n N 2 º ÌÐÐ Ò ÐÐ n max{n 1,N 2 } Ò ÖÚ ÓÒ ½¾µ ÚÙÐÐ x n x x n q n + q n x < ε/3 + ε/2 < ε, ÓØ Ò ØÓ ÐÐ Ò x n x ÙÒ n º ÀÙÓÑ ÙØÙ ÃÓ ÓÙ ÓÒ R Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÙÔÔ Ò Ú Ø ÒÓØ Ò ØØ R ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Òº Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ ÑÑ ÒÝØ ØÓ Ø ÙÖ Ú Ø Ò ÐÝÝ Ò Ò¹ Ò ÐØ Ö ØØ Ò ØÖ Ø Ô Ö ØØ Ø ÑÙ Ø ØØ Ô Ò Ò ÝÐÖ ÙÙÖ Ò Ð Ö Ñ¹ Ö Ø ÐÐÒ Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ Ó ÐÐ Ú Ò ÑÓ Ò Ù Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ Ó ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ º½½º Ä Ù º½ º µ ÇÐ ÓÓÒ A R ÔØÝ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò ÓÙ¹ ÓÐÐ A ÓÒ Ô Ò Ò ÝÐÖ ÓÙ Ó Rº µ ÇÐ ÓÓÒ B R ÔØÝ Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò ÓÙ ÓÐÐ B ÓÒ ÙÙÖ Ò Ð Ö ÓÙ Ó Rº ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø ÑÑ µ¹ Ó Ò µ¹ Ó Ø ÚÓ Ò Ó Ó ØÓ Ø Ñ Ò Ø Ô Ò Ø Ô Ð ÙØØ µ¹ Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÓÙ Ó Bº

¾ µ Î Ð Ø Ò ÐÐ n N Ô Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù y n ÓÐÐ y n /n ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ ØÓ Ò ÒÓ Ò y n = min{y Z : y/n ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ }. ÌÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù y n Ð ÝØÝÝ ÐÐ A ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓØ Ò y/n ÓÒ Ú ÖÑ Ø ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ Ø ÖÔ ÙÙÖ ÐÐ y Z ØÓ ÐØ Ó Ù Ò Ø ÝÐÖ Ó Ø y/n ÓÒ Ô Ò Ò ÐÐ Ó ÐÐ Ð ÐØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÔØÝ ÐÐ Ó ÓÙ ÓÐÐ ÓÒ Ñ Ò Ñ ØÑ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ µº ÄÙÚÙÒ y n ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ Ð ÝØÝÝ x n A ÓÐÐ ½ µ y n 1 n < x n y n n. ÇÐ ÓÓØ ÒÝØ m,n N Ø Ò ØØ yn n ym m º ÌÐÐ Ò y m m 1 m = y m 1 m < y n n y m m, ÐÐ ÑÙÙØ Ò y m ÓÐ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ñ Ø µº Ë Ô ÓØ Ò Ö ØÝ Ø 0 y m m y n n < 1 m, y m m y n < 1 n m. ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ ε > 0º ÃÙÒ m,n > 1/ε Ò Ò ÐÐ Ò ÖÚ ÓÒ ÒÓ ÐÐ y m m y n < ε, n ÓØ Ò ÓÒÓ (y n /n) n=1 ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Òµ Ù ÝÒ ÓÒÓº Ä Ù Ò º½ ÑÙ Ò ÙÔÔ Ò Ó Ø Ö ¹ ÖÚÓ w Rº µ Ç Ó Ø ÑÑ ØØ ÐÙ Ù w R ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÆÝØ ØÒ ÐÙ ØØ w ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ ÂÓ ÓÐ Ò x A ÓÐÐ w < x Ò Ò x w R + º ÌÐÐ Ò Ö ¹ ÖÚÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ Ð ÝØÝÝ n N ÓÐÐ w y n < x w. n 2 Ì Ø ÙÖ Ô Ò ÐÐ Ð ÙÐÐ Ú ÖØ Ó Ø Ò ½ µ ÐÐ µ ØØ x y n n x w 2 > 0. Ë Ô x > y n /n Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ò Ò ØØ y n /n ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÐÙÚÙÒ w ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ º ÌÝØÝÝ Ú Ð Ó Ó ØØ ØØ w ÓÒ ØÓ ÐÐ Ô Ò Ò ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ Ó Ø ÇÐ ÓÓÒ u < wº ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ò Ò ÙÙÖ n N ØØ y n n w w u R + 4 Ð 1/n (w u)/4 ÓÐÐÓ Ò Ó Ò ½ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ x n A Ø Ò ØØ y n n x n 1 n w u. 4

¾ ÆÝØ ½ µ x n u = x n y n n + y n n w + w u w u 4 y n n w }{{} w u 4 + w u w u 2 ÓØ Ò A x n > u Ò ÒÔ u ÚÓ ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ º Ë Ô w ÓÒ ÚÐØØÑØØ Ô Ò Ò ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ Ó Ø º > 0, ÀÙÓÑ ÙØÙ Ò ÐÝÝ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÒ Ø Ô Ò ÓØØ ØÓ Ø Ñ ØØÓÑ µ Ô ÖÙ ÓÐ ¹ ØÙ Ð ÓÓÑ µ Ó Ó µ ÙÐ ØØÙ Òµ Ø Ò ÚÐ Ò Ô Ö Ø ÂÓ I 1 I 2... ÓÚ Ø ÔØÝ ¹ ÙÐ ØØÙ Ö Ó Ø ØØÙ Ö Ð ÐÙ ÙÚÐ Ò Ò Ò Ò Ð Ù i=1 I i ÓÒ ÔØÝ Ø µ ØÝ ÐÐ ÝÝ ÓÓÑ ÂÓ ÐÐ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ ÔØÝ ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ A R ÓÒ Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÆÑ Ô Ö ØØ Ø ÓÚ Ø ÒÝØ Ð Ù Ø µ µ ÓÒ Ä Ù º½ µ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÙ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÀÙÓÑ ÙØÙ Ë Ø Ò ÚÐ Ò Ô Ö ØØ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ ÑÖØ Ñ Ð Ø ÐÑ Ø Ó Ñ Ö Ã ÐÔ Ð Ò Ò Ò ÐÝÝ Á µº Æ Ò Ù¹ ÝÒ ÓÒÓ Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò ÚÙÐÐ ØÖ Ø Ø ÑÖ Ø ÐÐÝ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÑ Ò ØÙØØÙ ÓÒ Ö ØØ Ò Ò ØÝ º Ã Ø ÐÐÒ Ú Ð Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÒ ÐÑ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ò Ø Ñ Ö Ø º½¼ º½¾ ÐÓÔÔÙÙÒ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ñ Ö º¾¼º ØÐ ÐÐ x 2 = 2 ÓÒ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º ÌÑ Ò ¹ Ò ÙÖ Ú Ø ÇÐ ÓÓÒ A = {x R : x 2 < 2}. ÌÓ Ø Ñ ÐÐ Ñ Ö Ò º½¾ ÔØØ ÐÝÒ ÓÙ Ó R ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ñ Ò ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙ Ø ÚÓ ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ º Î Ø Ú Ø Ò Ò ØØ Ñ Ò ÓÙ ÓÒ B = {x R : x 2 > 2} ÐÙÚÙ Ø ÚÓ ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÌÓ ÐØ A ÓÒ ÔØÝ Ñº 1 Aµ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØ٠Ѻ 2 ÓÒ ÝÐÖ µ ÓØ Ò Ä Ù Ò º½ ÑÙ Ò ÓÙ ÓÐÐ A ÓÒ Ô Ò Ò ÝÐÖ a Rº ÐÐ ØÓ ØÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ a 2 < 2 a 2 > 2 ÓØ Ò ÚÐØØÑØØ a 2 = 2º Ë Ñ ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ Ò ØØ ÑÝ ÓÙ ÓÒ A ÙÙÖ Ò Ð Ö ÓÒ Ý ØÐ Ò x 2 = 2 Ö Ø Ùº ÁØ ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÙÖ Ø Ä Ù º¾½º ÇÐ ÓÓÒ x R + ÓÐ ÓÓÒ n Nº ÌÐÐ Ò ÓÒ ( n x) n = xº Ä Ó x,y R + x < y Ò Ò n x < n yº n x R + ÓÐÐ ÔØ ÌÓ ØÙ º ÄÙÚÙÒ n x ÓÐ Ñ ÓÐÓ ØÓ Ø Ø Ò Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ñ Ö º¾¼ ØÓ Ø Ø Ò ÐÙÚÙÒ 2 ÓÐ Ñ ÓÐÓº ÂÖ ØÝ Ò ÐÝÑ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø Ø¹ Ú º

¼ ÀÙÓÑ Ó Ø µ ÄÙ Ù n x ÒÓØ Ò ÐÙÚÙÒ x R + n ÒÒ ÙÙÖ µ ÂÓ x R + Ò Ò Ý ØÐ ÐÐ r n = x ÓÒ Ö Ø Ù r R + Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ n ÓÒ Ô Ö ØÓÒº µ ÂÓ x R + n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ý ØÐ ÐÐ r n = x ÓÒ Ö Ø ÙØ ± n xº ÀÙÓÑ ÙØÙ Ê Ð ÐÙÚÙØ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ¹ Ò Ò Ð Ù Ø Ò ÚÙÐÐ Ë ÒÓÑÑ ØØ ÓÙ Ó A Q ÓÒ Ò Ò Ð Ù Äµ Ó ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓÚ Ø ÚÓ Ñ A A Q ÂÓ ÐÙÚÙÐÐ x Q Ð ÝØÝÝ a A Ø Ò ØØ x a Ò Ò x A à ÐÐ a A Ð ÝØÝÝ b A Ø Ò ØØ a < bº Ñ Ö ÓÙ Ó ÓÒ Ò Ò Ð Ù º A = {a Q : a < 0 Ø a 2 2} Ê Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÚÓ Ò ÒÝØ ÑÖ Ø ÐÐ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ò Ò Ð Ù Ø Ò ÓÙ ÓÒ R = {A Q : A ÓÒ Ä}, ÓÐÐÓ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù q Q ÚÓ Ò Ñ Ø ÓÙ ÓÒ Ò º Q = {a Q : a < q} Ê Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ ÙÓÖ Ú Ú Ò Ò Î ÒÒÝ Ð Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ö ØÝ Ø A + B = {a + b : a A, b B}. A B = {a b : a A, b Q \ B}, B = 0 B = {a b : a < 0, b Q \ B}. à ÖØÓÐ ÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ñ Ò ÑÙØ ÑÔ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ú ÖØ Ò Ò Ò Ö ØÝ ÓÙ ÓÓÒ R ØØ Ñ ÐÐ ÂÓ ÒÝØ A,B R A,B 0 Ò Ò A B A B. A B = {ab : a A, a 0 b B, b 0} {q Q : q < 0}. ÂÓ A < 0 Ø B < 0 Ò Ò ÖØÓÐ ÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ô Ð ÙØ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù ØØ Ñ ÐÐ ÑÙÓ ÓÐÐ Ø µ A B = ( A ( B) ) = ( A B) ) = ( A ( B) ) ; Ó Ò Ò Ø Ó Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø ÖÖÓØØ Ú Ø ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú ØÑ Ó Ø Ñ¹ Ö ØØ ÑÙÙØ ØÙÐÓغ

ÅÖ Ø ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ Ñ Ð Ó ÐÚ ØØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ØÓ¹ Ø Ñ Ò Ò ÓÒ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ØÝ ÐÑÔ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ñ¹ Ö Ø ÐÑ ÚÖغ Ä Ù º µº ÌÓ ÐØ Ò Ò Ð Ù Ø Ò ÚÙÐÐ ÓÙ ÓÒ R Øݹ ÐÐ ÝÝ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÔÔÓ ÂÓ A R ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ò ÐÙ Ù M = {q Q : q A ÓÐÐ Ò A A } = A ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÂÓ Ò Ñ ØØ Ò A A a A Ò Ò ÓÙ ÓÒ M ÑÖ ¹ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ a Mº Ë Ô A M Ð A M Ñ Ø Ò ÑÑ ØØ M ÓÒ A Ò ÝÐÖ º ÂÓ ØÓ ÐØ M ÓÒ Ó Ò A Ò ÝÐÖ q M Ò Ò q A ÓÐÐ Ò A A ÓÐÐÓ Ò A M Ð A M º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÑÝ q M ÓØ Ò M M Ð M M º Ë Ô M ÓÒ A Ò ÝÐÖ Ó Ø Ô Ò Òº Î ÖØ ØØ Ä Ù Ò º½ º½ ØÓ ØÙ Ò Ó Ñ Ô ÖÙ Ø ÐØ Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÚÙÐÐ À ØÓÖ Á Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÚÙÐÐ ÓÒ Ú Ò¹ ÒØÝÝ Ø Ú ÐÐ Ò Ó ÒØ Ò ÃÖ Ù Ó Ó Ò ¼ ÃÖºµ Øع Ñ Ù Ø Ò Ø ÓÖ º ÍÙ Ò Ò Ò ÑÑ Ò Ò ØÖ ÐÙ Ù ØØ Ò ØØ ÓÐ Ë ÑÓÒ ËØ Ú Ò ½ ½ ¾¼ ÀÓÐÐ ÒØ µ Ó ØØ ØÙ Ò ØØ ÐÙ Ù ÚÓ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÔØØÝÚ Òµ Ñ Ð ÐÙ Ù Ò ÚÙÐÐ º Ã Ø Ù Ø Ò Ò Ô Ø Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ø Ò Ø ÑÐÐ Ò Ò Ýع Ø ÐÔÓ Ò Ò ÑÖ Ø ÐѺ Ñ Ö Ù Ù Ø Ò¹ÄÓÙ Ù Ý ½ ½ Ê Ò µ ÒÒ ØØÒÝØ ÓÔÔ Ö Ò ÓÙÖ ³ Ò ÐÝ ½ ¾½µ ÙÙÖ ÑÔ ÙÓÑ ÓØ Ö Ð ÐÙ¹ Ù Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÓØ Ú Ò ØØ Ö Ð ÐÙÚÙØ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÒÓ Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ò Ò Ú Ö Ò Ø ÝØØÒÝØ Ù ÝÒ ÓÒÓ µµº Å Ø Ñ ØØ Ò Ò ÐÝÝ Ò Ø ÑÐÐ ØÝÑ Ò Ò ½ ¼¼¹ÐÙÚÙÒ ÙÐÙ ÐÓ Ù Ø Ò Ò Ø ÖÔ Ò ÑÝ Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ø Ö ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑÐÐ Ú Ò Ò Ò ØØ Ù Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓØ ÙÐ Ú Ø ÝÚ Ò ÐÝ Ý Ò Ò ÐÐ Ö Ð ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ê Ö Ò ½ ½ ½ ½ Ë µ ØØ Ð Ò Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ò Ö Ð ¹ ÐÙ Ù Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÓÒÒ ½ ÑÙØØ ÙÐ Ø Ò Ú Ø ½ ¾º ÓÖ ÒØÓÖ ½ ½ ½ Î Ò»Ë µ ØØ Ð Ñ Ò ÚÙÓÒÒ ½ ¾ ÓÑ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÑÖ ¹ Ø ÐÑÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÚÙÐÐ º ÌØ Ð ØÝÑ Ø Ô ÓØ Ñ Ò ØÐÐ ÙÖ ÐÐ ÒÓÙ Ø ÑÑ µ ÓÐ Ú Ø ÝØØÒ Ø Ñ Ò ÑÑ Ò ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ ÑÝ ÖÐ Å Ö Ý ½ ½ ½½ Ê Ò µ ÚÙÓÒÒ ½ Ù Ö À ¹ Ò ½ ¾½ ½ ½ Ë µ ÑÝ Ò ÚÙÓÒÒ ½ ¾º Å Ò Ø Ò Ø Ý Ø Ý Ú Ð Ã ÖÐ Ï Ö ØÖ ½ ½ ½ Ë µ Ó ÝØØ ÐÙ ÒÒÓ ÐÐ Ò Ø ÑÐÐ Ø Ñ Ð Ø Ð¹ Ñ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÚÙÓ Ø ½ Ð Ò ÙÐ Ø Ò ÚÙÓÒÒ ½ µº à ÒÑ Ö Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ó Ø Ú Ø Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÐÐ Ø Ñ Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Ò ÐÐ Ò ÓÚ Ø ÒÒ ÓÑÓÖ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ö Ñ ÐÐ Ò ÚРй Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ó Ó ÐÝØØ ÓÙ ÓÒ R Ö ÒØ Ò Ð Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ö ØÝ Òº A A ½ º ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙØ Ä Ù Ò º¾½ ÑÙ Ò Ó ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò n ÙÙÖ ÐÐ n Nº Ë Ò Ò Ñ Ö Ý ØÐ ÐÐ x 2 = 1 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù¹ Ò ÓÙ Ó 1 / R + ØÓ ÐØ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ò Ð Ø ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú º

¾ ÂÓØØ ØÐÐ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù ØÝØÝÝ ÐÙ Ù ÐÙ ØØ Ð ÒØ ÐÐ Òº ¹ ÑÑ Ð ÒÒÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÚÐ Ø ØÝØ ØØ Ò Ò Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ØØ Ò Ð ÐÐ Ò Ø Ö Ø Ø Ð ØØ Ò ÖÖ Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ º Æ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ò Ð Ò ÓÙ Ó R ÓÐ Ò Ö Ó Ò ÐÙ Ù ÐÙ ØØ ÚÓ ÐÐ Ò Ð ÒØ º Å Ø Ò ÙÙ Ð ÒÒÙ ØÙÐ Ø Á R ÓÒ Ó ØÝÒÒ ÓØ Ò Ð ÒÒ Ø Ò ÚÙÐÐ º À ÐÙ ÑÑ Ð Ø ÐÙ Ù Ö Ø ÐÑÑÑ ÑÙ Ò Ð ÓÒ 1 Ø Ò ØØ Ö ¹ Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÚÓ Ò ÙÓÖ ØØ ÑÝ Ø ÙÙ ÓÙ Ó ØÓ ÚÓÒ ÑÙ Ò ÑÝ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÝÚØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÐÝÚغ Ö ØÝ Ø ÐÙ ÙÙÒ 1 ØÝØÝÝ ÚÓ Ð Ø Ö Ð ÐÙ Ù Ø ØÝØÝÝ ÚÓ ÖØÓ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÙÙ Ò ÐÙ Ù ÐÙ ÑÑ ØÙÐ ÐØ Ò Ò ÑÙÓØÓ a + b 1 ÓÐ Ú Ø Ð ÓØ Ñ a,b Rº ÂÓ Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ð Ù ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÐÐ Ò ÚÓ Ñ Ò Ò ØØ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú Ò ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Ò ØÙÐÓ (a + b 1) + (c + d 1) = (a + c) + (b + d) 1 (a + b 1)(c + d 1) = ac + ad 1 + bc 1 + bd 1 1 = (ac bd) + (ad + bc) 1, Ñ ÝØ ÑÑ ÝÚ Ø ØÓ 1 1 = 1º Ë Ô Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ØÙ¹ ÐÓ Ø ÓÚ Ø ÑÝ Ñ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ÐÙ Ù º ÃÙÒ Ø Ð ÑÑ ÐÙ Ù a + b 1 Ö Ð ÐÙ ÙÔ Ö Ò (a,b) R 2 ÚÓ ÑÑ ØØ ÐÐ Ø Ò Ú ÒØÓ Ò Ð Ò Ø ÑÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÐÐ ÙÙ ÐÐ ÐÙ Ù ÐÙ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó C ÓÒ C = R 2 = {(a,b) : a,b R} Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ØØ ÐÐ Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) ÖØÓÐ ÙÐÐ Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ (a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). Ã Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÝÚØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÝÐ ØÝÚØ ØÓ ÐÐ ÑÝ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙ ÐÐ Ä Ù º¾º µ ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø Ó Ø Ú º µ ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú º µ ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº µ Ð Ó 0 = (0,0) ÓÒ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó Ð Ó 1 = (1,0) ÓÒ ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Óº µ ÂÓ ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÐÐ z ÓÒ Ú Ø ÐÙ Ù z = ( 1,0)z ÒØ Ð Ó Ý Ø Ò¹ Ð ÙÒ Ù Ø Òµº µ ÂÓ ÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÐÐ z = (x,y) ÓÒ ÒØ ÐÙ Ù ( ) x z 1 = x 2 + y 2, y x 2 + y 2 ÒØ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òµº